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D E P A R T A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTO DE CÁLCULO 
M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez 
Departamento de Ciencias Básicas 
INTRODUCCION
 Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de
recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la
fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado
nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una
formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.
 Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades
productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en
los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),
transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y
mantención en sectores productivos.
 Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar
fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en
mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones
escalares o vectoriales de una o varias variables.
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1
I N D I C E 
 
 
 
 
 
 Pág. 
I SUCESIONES Y SERIES 
 Sucesiones ........................................................................................................... 
 Límite de una sucesión ......................................................................................... 
 Serie .................................................................................................................... 
 Serie geométrica .................................................................................................. 
 Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 
 Teoremas sobre series ........................................................................................ 
 Criterio para establecer la convergencia de serie: 
 criterio de comparación .................................................................. 
 criterio de la integral ..................................................................... 
 criterio de la serie alterna ............................................................... 
 criterio de la razón ....................................................................... 
 Serie de potencias ................................................................................................ 
 Serie de Taylor ................................................................................................... 
 
 
3 
4 
7 
8 
9 
11 
 
13 
16 
19 
23 
26 
30 
II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 
 Funciones de más de una variable ...................................................................... 
 Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 
 
 
35 
36 
 
 
III DERIVADAS PARCIALES 
 Derivadas parciales .................................................................................. 
 Derivación implícita ........................................................................................... 
 Regla de la cadena ........................................................................................... 
 Aplicaciones de las regla de cadena: 
 problemas con enunciado ................................................................ 
 demostraciones .............................................................................. 
 Derivada direccional ......................................................................................... 
 Gradientes ......................................................................................................... 
 Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 
 Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 
 Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 
 Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 
 Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 
 
 
40 
45 
48 
 
55 
59 
62 
66 
70 
73 
73 
73 
77 
 
 
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2
IV INTEGRACION MULTIPLE 
 Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 
 planos ...................................................................................... .... 
 esfera ........................................................................................... 
 cilindro ........................................................................................... 
 cono .............................................................................................. 
 paraboloide .................................................................................... 
 Integrales dobles .................................................................................................... 
 Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 
 Aplicaciones de la integral doble: 
 cálculo de áreas en el plano ........................................................... 
 determinar el valor de la región ‘ ................................................. 
 cálculo de volúmenes ..................................................................... 
 Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 
 Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... 
 Coordenadas esféricas ........................................................................................ 
 
 
 
82 
82 
86 
87 
 89 
91 
92 
95 
 
98 
103 
108 
116 
123 
128 
 
V CAMPOS VECTORIALES 
 Campos vectoriales ............................................................................................ 
 campo vectorial conservativo ............................................................ 
 campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 
 Rotacional .......................................................................................................... 
 Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 
 Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 
 
136 
137 
137 
141 
141 
146 
 
 
VI ECUACIONES DIFERENCIALES 
 Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 
 Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 
 Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas .......................................................Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 
 
 
150 
151 
 154 
158 
 
 
VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162 
 
 
VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178 
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Sucesiones
 : Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los númerosConcepto
naturales a b ™œ 
 Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por , entonces una sucesión es el+ œ 0 88 a b
conjunto de parejas ordenadas de la forma , donde a ba b8 0 8 8 − 
Ejemplo: 
 
1) Si , 
2
)(
+
=
n
nnf entonces: 
 
 n 1 2 3 4 5 ... n 
)(nf 
 
3
1 
2
1 
5
3 
3
2 
7
5 
... 
 2+n
n 
 
 Los pares ordenados serán: 
 
...;
2
,...
7
5,5;
3
2,4;
3
1,3;
2
1,2;
3
1,1 





+






























n
nn 
 
 Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la 
notación { } { }nanf =)( para representarla. 
 
En el ejemplo 
 
{ } { }nanf =)( = { },...,...,,,,, 54321 naaaaaa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 { }






+
=






+
= ...,
2
...,,
7
5,
3
2,
5
3,
2
1,
3
1 
2
)(
n
n
n
nnf 
 
 2) si es impar si es par0 8 œ
" 8
$ 8
a b œ
 œ  œ a b0 8 œ "ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
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4
 
 
Concepto de Límite de una Sucesión 
 
{ }
Lan
n
Lna
MnLnaM
=
∞→
><−>>
lim
:por denota sey es sucesión la de límite el que dice se
 entonces , que siempre talque0 existe 0 para Si εε
 
 
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV 
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. 
 
 
Límite de una Sucesión 
 
Sea )(xfy = una función real definida ∈∀ x ™ + con lim Lxf =)( , 
 ∞→x 
 
entonces si { }na es una sucesión tal que )( ∈∀= xanf n se tiene que 
lim Lna = 
∞→n 
 Ejemplos À
 Determinar si la sucesión es CV o DV
 1) œ 8
8  #
 0 B œ H970 B œ  Ö  # ×
B
B  #
a b a b ‘
 ™ ‘ ©  Ö  # ×
 lim lim lim
B Ä _ B Ä _ B Ä _
B "
B  #
œ œ œ "
B
B
B # #
B B B
 " 
 Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim
8 Ä _
8
8  #
œ "
 2) œ "  &8
#8  %8
$
$
 0 B œ H970 B œ  Ö! ×
"  &B
#B  %B
a b a b$
$
‘
 ™ ‘ ©  Ö!×
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 lim lim lim
B Ä _ B Ä _ B Ä _
" &B &
#B  %B #
œ œ œ
" &B "
B B B
  &
#B %B
B B
 # 
%
B
$
$
$ $ $
$
$
$ $ #
 Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim
8 Ä _
"  &8 &
#8  %8 #
œ
$
$
 
 3) œ Š ‹8 † =/8
8
1
 0 B œ B † =/8 H970 B œ  Ö! ×
B
a b a bŠ ‹1 ‘
 ™ ‘ ©  Ö!×
 lim
B Ä _
B † =/8 œ _ † !
B
Š ‹1
 œ
B Ä _
=/8
B
"
B
lim
Š ‹1
 œ
!
!
 œ P L
B Ä _
 -9=
B B

"
B
w #
#
lim
1 1Š ‹
 œ
B Ä _
-9=
B
"
lim
1
1Š ‹
 œ 1
 Por lo tanto, , luego la sucesión CV.lim
8 Ä _
8 † =/8 œ
8
Š ‹1 1
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Teorema: Si { }na y { }nb y son sucesiones CV y es c un número, entonces: 
 
 a) La sucesión { }c tiene como límite c 
 
 b) lim ⋅=⋅ cac n lim na 
 ∞→n ∞→n 
 
 c) lim =± )( nn ba lim na ± lim nb 
 ∞→n ∞→n ∞→n 
 
 d) lim =⋅ nn ba lim ⋅na lim nb 
 ∞→n ∞→n ∞→n 
 
e) 
∞→n
lim na
nb
 = 
nn
nn
b
a
∞→
∞→
lim
lim
 si 0lim ≠
∞→
n
n
b 
 
Ejercicios
 Determine si la sucesión CV o DV
 a) b) c) œ  œ  œ 8  " #8  " 8  "
#8  " $8  " 8
# #
#
 d) e) f) œ  œ  œ È$8 / "#8  8 8
8
8  "  8
$
# #
 Solución
 a) CV b) CV
 c) DV d) DV
 e) DV f) DV
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Series
 
Concepto de Series Infinitas 
 
 
Si { }na es una sucesión infinita, entonces : 
......321
1
+++++=∑
∞
=
n
n
n aaaaa 
 
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números ,...321 ,...,,, naaaa 
se llaman términos de la serie infinita. 
 
 Sea la siguiente sucesión de sumas parciales 
 
 
nn aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
321
3213
212
11
 
 
Si { } { }nn SSSSS ,,,, 321 L= converge, entonces la serie ∑
∞
=1n
na converge. 
 Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
 Sea una serie infinita dada y sea la sucesión de sumas parciales." œ 
8 œ "
_
+ W8 8
Si existe y es igual a , entonces la serie dada es CV y S es la suma de la serielim
8 Ä _
W W8 convergente a b
y si no existe, entonces la serie dada es DV y la serie no tiene suma.lim
8 Ä _
W8 divergente a b
Teorema : Si la serie ∑
∞
=1n
na es CV, entonces 
 
Teorema : Si , entonces la serie dada ∑
∞
=1n
na es DV. 
0lim =
∞→
n
n
a
0lim ≠
∞→
n
n
a
 
 Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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Serie Geométrica
La serie 
 Primer término 
 
0con 32
0
≠+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅∑
∞
=
ararararaara n
n
n LL 
 razón 
 
razón la es y minoprimer tér el es donde geométrica serie denomina Se ra 
 
Teorema À + † < < W œ
8 œ !
_
8 +
"  <
La serie geométrica de razón converge a si, y sólo si,"
 y diverge si, y sólo si, ¸ ¸ ¸ ¸<  " <   "
 Ejemplos
 Determine si las series son CV o DV
 +Ñ œ < œ  "
8 œ ! 8 œ !
_ _" " "
# # #8
8" " Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ #
"
" 
"
#
 
 ,Ñ < œ  "
8 œ !
_ & &
% %
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie DV.
 
 -Ñ  < œ   "
8 œ !
_ " "
# #
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
" #
" 
"
#
$
 .Ñ # †  < œ   "
8 œ !
_ # #
$ $
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
# '
" 
#
$
&
 Por lo tanto, la serie DV./Ñ $ † < œ  "
8 œ !
_ ' '
& &
8" Œ 
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Serie p o serie Hiperarmónica
0con serie llama se
1
3
1
2
111 serie La
1
>
+++++=∑
∞
=
pp
nn pppn p
LL
 
 
.armónica serie denomina se
1
3
1
2
111 serie la entonces ,1 Si
1
LL +++++== ∑
∞
= nn
p
n
 
 
 
 La serie es si, y sólo si, y es si, y Teorema convergente divergenteÀ : :  "
8 œ "
_ "
8:
"
 sólo si, !  : Ÿ "
 
 Ejemplos
 Determine si las series son CV o DV
 Por lo tanto, la serie DV+Ñ : œ "
8 œ "
_ "
8
"
 Por lo tanto, la serie CV,Ñ : œ $
8 œ "
_ "
8
"
$
 Por lo tanto, la serie DV-Ñ : œ
8 œ "
_ " "
8 $
"
"Î$
 Por lo tanto, la serie CV.Ñ : œ
8 œ "
_ "
8
" 1 1
 Por lo tanto, la serie CV/Ñ : œ
8 œ "
_ " %
8 $
" È$ %
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Ejercicios
 I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.
"Ñ #Ñ  $Ñ #
8 œ ! 8 œ ! 8 œ !
_ _ _% ( )
# $ &8
8 8" " "Œ  Œ  
%Ñ &Ñ Ð  #&Ñ 'Ñ
8 œ ! 8 œ ! 8 œ !
_ _ _$ &'
Ð  ""Ñ $8
8
8" " " a b 
II Decida si las siguientes series CV. o DV.:
"Ñ #Ñ $Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ #
"&8 8"& 8%Î*
" " " 
%Ñ&Ñ 'Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# % (
8& 8 8&Î) "#Î&
" " " 
Solución
I
1) la serie CV 2) , la serie DV< œ ß < œ 
" (
# $
3) la serie DV 4) la serie CV< œ ß < œ  ß
) "
& ""
5) la serie DV 6) la serie DV< œ  #&ß < œ &' ß
II
1) la serie DV 2) la serie CV: œ " ß : œ "& ß
3) la serie DV 4) la serie CV: œ ß : œ &ß
%
*
5) la serie DV 6) la serie CV: œ ß : œ ß
& "#
) &
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Teoremas sobre Series
 : Si y son dos series infinitas que difieren solamente en un númeroTeorema 1 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.
 : Determine si la serie es CV o DVEjemplo "
8 œ "
_ "
8  "
 y"
8 œ "
_ " " " " " "
8  " # $ % & 8  "
œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ
 "
8 œ "
_ " " " " " "
8 # $ % & 8
œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ
 La serie equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como "
8 œ "
_ "
8  "
 es DV, entonces es también DV.! "
8 œ "
_ " "
8 8  "
8 œ "
_
 : Sea una constante no nula:Teorema 2 -
 a) Si es CV y su suma es , entonces es CV y su" " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _
+ W - † + œ - † +8 8 8
 
 suma es -WÞ
 b) Si es DV, entonces DV." "
8 œ " 8 œ "
_ _
, - † ,8 8
 :Ejemplo
 1) " " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# " "
$ $ $8 8 8
œ # † œ # †
 es serie geométrica con y por lo tanto CV."
8 œ "
_ " "
$ $8
< œ
 Así, es CV."
8 œ "
_ #
$8
 
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 2) " "È È
8 œ " 8 œ "
_ _# # "
$ 8 8
œ †
$
 es serie con y por lo tanto DV." È
8 œ "
_ " "
8
: : œ
#
 Así, es DV." È
8 œ "
_ #
$ 8
 
 : Si y son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,Teorema3 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
entonces:
 a) es CV y su suma es A B" a b
8 œ "
_
+  , 8 8
 b) es CV y su resta es A B" a b
8 œ "
_
+  , 8 8
 
 :Ejemplo
 " " "Œ 
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ " $
# & # &8 8 8 8
 œ 
 es CV y su suma es "
8 œ "
_ "
#8
"
 es CV y su suma es "
8 œ "
_ $ $
& %8
 Luego, es CV y su suma es " Œ 
8 œ "
_ " $ (
# & %8 8

 
 : Si es una serie CV y es una serie DV, entoncesTeorema 4 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
 es DV." a b
8 œ "
_
+ „ ,8 8
 
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Ejemplo:
 " " "Œ 
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _& # & #
) *8 ) *88 8
 œ 
 es una serie geométrica con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ & "
) )8
< œ
 es una serie con y por lo tanto DV"
8 œ "
_ # "
* 8
† : : œ "
 Luego, es DV." Œ 
8 œ "
_ & #
) *88

Criterios para establecer la convergencia de series infinitas
 
A.- Criterio de comparación 
 
 
 
Sea ∑
∞
=1n
na una serie de términos positivos: 
 
a) Si ∑
∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es CV y ∈∀≤ nba nn , entonces 
 
∑
∞
=1n
na es CV. 
 
b) Si ∑
∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es DV y ∈∀≥ nba nn , entonces 
 
∑
∞
=1n
na es DV 
 : Determine si la serie CV o DV.Ejemplos
 "Ñ
8 œ "
_ "
&8  "
"
 &8  " Ÿ '8 a8 − 
 
" "
&8  " '8
 
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 serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
'8 ' 8
œ †
 Luego, es DV"
8 œ "
_ "
&8  "
 #Ñ
8 œ "
_ "
8  %
"
#
 8  %   8 a8 −# # 
 
" "
8  % 8
Ÿ
# #
 
 serie con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ "
8
: : œ #
#
 Luego, es CV."
8 œ "
_ "
8  %#
 
 
 $Ñ
8 œ "
_ 8
8  "
"
#
 8
8 "
8  " #8
"
" "
# #
#
# "
& %
$
$ "
"! '
%
% "
"( )
&
& "
#' "!
#
 
 
8 "
8  " #8
 
#
 
 serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
#8 # 8
œ †
 Luego, es DV."
8 œ "
_ 8
8  "#
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Ejercicios
 Decida si la serie CV. o DV.
"Ñ #Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8  ($ %  $8
" " 
 
$Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8  # $8  "#
" " 
 
 &Ñ
8 œ "
_ "
8  %
" È 
Solución
 1) CV 2) CV
3) DV 4) CV
5) DV
 
V
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IO
 G
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16
B) Criterio de la Integral de Cauchy 
 
 
 Sea )(xfy = una función continua, positiva, decreciente y definida 1≥∀ x , entonces la 
 
serie ∑
∞
=1n
na es CV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es CV y la 
 
serie ∑
∞
=1n
na es DV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es DV . 
 :Ejemplos
 Determinar si la serie CV o DV.
 "Ñ 8 † /
8 œ "
_
8" 
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ B † / 0 B a B   "Ba b a b
 ( (
" "
_
 
,Ä_
B † / .B œ B † / .BB B
,
lim
 ( B † / .B ? œ B Ê .? œ .BB
 .@ œ / .B Ê @ œ  /B B 
 ( (B † / .B œ  B/   / .BB B B  
œ  B/  /  GB B 
œ  G
 B  "
/B
 lim lim
,Ä_ ,Ä_"

"
( º, B † / .B œB  B  "
/B
,
œ 
 ,  " "  "
/ /
lim
,Ä_ ,
œ 
 ,  " #
/ /
lim
,Ä_ ,
 œ P L 
 " #
/ /
w
,Ä_ ,
Œ lim
 œ
#
/
 
Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( "
"
_
 B † / .B Þ 8 † /B 8
#
/
8 œ "
_
V
IR
G
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#Ñ
8 œ "
_ E<->1 8
8  "
" 
#
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B   "
E<->1 B
B  "
a b a b
#
 ( (
" "
_
# #,Ä_
E<->1 B E<->1 B
B  " B  "
.B œ .B
,
lim
 
 ( E<->1 B "
B  " "  B
.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B
# #
 
 ( (E<->1 B
B  "
.B œ ?.?
#
œ  G
?
#
#
 œ G
E<->1 B
#
a b#
 lim lim
,Ä_ ,Ä_"
#
#
"
( a b º, E<->1 B E<->1 B
B  " #
.B œ
,
œ 
E<->1 , E<->1 "
# #
lim
,Ä_
# #a b a b
œ 
) $#
1 1# #
 œ
$
$#
1#
 Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( "
"
_
# #
#E<->1 B $ E<->1 8
B  " $# 8  "
.B Þ
8 œ "
_1
 $Ñ
8 œ "
_ "
8  " 68 8  "
" a b a bÈ
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B   "
"
B  " 68 B  "
a b a ba b a bÈ
 ( (a b a b a b a bÈ È" "
_
,Ä_
" "
B  " 68 B  " B  " 68 B  "
.B œ .B
,
lim
 ( a b a bÈ a b" "B  " 68 B  " .B ? œ 68 B  " Ê .? œ .BB  "
V
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 ( (a b a bÈ È" "B  " 68 B  " .B œ .??
œ ? .?( "#
œ # ?  GÈ
 œ # 68 B  "  GÈ a b
 lim lim
,Ä_ ,Ä_" "
( a b a bÈ È a b º
, "
B  " 68 B  "
.B œ # 68 B  "
,
œ # 68 ,  "  # 68#lim
,Ä_
È a b È
œ _ # 68#È
 œ _
 Por lo tanto, DV Luego la serie( a b a bÈ"
_ "
B  " 68 B  "
.B Þ
 es DV." a b a bÈ8 œ "
_ "
8  " 68 8  "
Ejercicios
 Determine si la serie CV o DV.
 "Ñ #Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" 8
#8  "
#
8  #$
" " 
 
 $Ñ %Ñ
8 œ # 8 œ "
_ _" /
8 688
"Î8
8
" "a b # #
 
 &Ñ
8 œ "
_ "
8  "#
" È 
 
Solución
 1) DV 2) DV
 3) CV 4) CV
 5) DV
V
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19
Series infinitas de términos positivos y negativos
 
Concepto: Si ∈∀> nan 0 , entonces: 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aaaaaaa
aaaaaaa
⋅−−−+−+−=⋅−
⋅−++−+−+−=⋅−
++
∞
=
∞
=
∑
∑
1
54321
1
1
54321
1
)1( )1(
y
)1( )1(
L
L
 
 
 
 Se denominan series alternas o series alternantes. 
 
 
 :Ejemplos
 "Ñ  " † œ      ÞÞÞ   " †
8 œ "
_
8 8" " " " " "
8  " # $ % & 8  "
" a b a b
 #Ñ  " † œ "      ÞÞÞ   " †
8 œ "
_
8  " 8  "" " " " " "
8 # $ % & 8
" a b a b
 
C.- Criterio de la serie alterna 
 
 Si ∈∀> nan 0  , entonces las series alternas n
n
n
a⋅−∑
∞
=1
)1( y 
 n
n
n
a⋅− +
∞
=
∑ 1
1
)1( convergen si, y sólo si: 
 
 a) ∈∀<< + naa nn 10  
 
 
b) lim 0=na 
∞→n 
 
V
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 :Ejemplos
 Determine si la serie CV o DV."Ñ  " †
8 œ "
_
8 "
$8
" a b
 + œ + œ8  "
" "
$ 8  " $8
8a b
 +Ñ  a8 −
" "
$8  $ $8

 ,Ñ œ !
"
$8
lim
8Ä_
 Por lo tanto, la serie CV.
 
 #Ñ  " †
8 œ "
_
8  " "
8  "
" a b
#
 + œ + œ8  "
" "
8  "  "
8
8  "a b# #
 +Ñ  a8 −
" "
8  #8  # 8  "# #

 Por lo tanto, la serie CV.,Ñ œ !
"
8  "
lim
8Ä_ #
 :Teorema
 a) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † +  " † +8 8  "8 8
 CVA si la serie es CV.Absolutamente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
 b) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † +  " † +8 8  "8 8
 CVC si la serie es DV.Condicionalmente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
V
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 :Ejemplos
 "Ñ  " †
8 œ "
_
8 &
%8
" a b
 + œ + œ8  "
& &
%8  "
8
%8
 +Ñ  a8 −
& &
%8  " %8

 ,Ñ œ !
&
%8
lim
8Ä_
 La serie es CV." a b
8 œ "
_
 " †8
&
%8
 es una serie geométrica con y por lo tanto, CV" " Œ 
8 œ " 8 œ "
_ _& " "
% % %8
œ & † < œ
8
 Luego la serie CVA" a b
8 œ "
_
 " †8
&
%8
 #Ñ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b È
 + œ + œ8  "
" "
8  "
8
8È È
 +Ñ  a8 −
" "
8  " 8È È 
 ,Ñ œ !
"
8
lim
8Ä_ È
 La serie es CV." a b È
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
 es una serie con y por lo tanto, DV" "È
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
8
œ : : œ
8 #
"
#
 Luego la serie CVC" a b È
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
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22
Ejercicios
 Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.
"Ñ Ð  "Ñ † #Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8
8  " 8  "#
" " 1 1 
$Ñ Ð  "Ñ † %Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ #
_ _
8 8  "
Ð8  "Ñ 8  "# $
" " 1 1 
 
&Ñ Ð  "Ñ † 'Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8  "
8 8 $8  "
" "È 1 1 
 Solución
 1) CVC 2) CVA 3) CVA
 
 4) CVA 5) CVA 6) CVC
V
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D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert 
 
Sea ∑
∞
=1n
na una serie infinita donde : 0≠na 
 
y ρ=+
∞→ n
n
a
a
n
1lim 
 
entonces: 
 
 a) cuando 1<ρ , la serie CVA. 
 
 b) cuando 1>ρ , la serie DV. 
 
 c) cuando 1=ρ el criterio no da información. 
 
 
Ejemplos:
 Determine si la serie CV o DV.
 
!
"Ñ
8 œ "
_ $8  "
8
"
 !
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a b
+8  "
+ $ † $ 8  "8
œ œ † œ
$8  #
8  "
$8  "
8
$ † $ † $ 8 $8
8  " † 8
8
 lim
8Ä_
$
8  "
œ !  "
 Por lo tanto, CV
!
"
8 œ "
_ $8  "
8
 
!
#Ñ  " †
8 œ "
_
8 #8
8
" a b a b
 
!
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a b a b a b a b a b+8  "+ #88 œ œ †
#8  #
8  "
#8
8
#8  # † #8  " † #8 8
8  "
 œ
%8  '8  #8
8  "
$ #
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
$ #
$ #
%8  '8  #8
8  "
œ
%  '  #
8 8 8
8 8 8
8 "
8 8

V
IR
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IN
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 G
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œ %8  '8  #
" 
"
8
lim
8Ä_
#
œ
_
"
œ _  "
 Por lo tanto, DV.
!" a b a b
8 œ "
_
 " †8
#8
8
 
 $Ñ  " †
8 œ "
_
8 #
8
8
" a b
$
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b+8  "
+8
œ œ †
#8  "
8  "
#8
8
# † # 88
8  "
#8
$
$
$
Š ‹$
 œ
#8
8  $8  $8  "
$
$ #
 lim lim
 8Ä_ 8Ä_
$
$ #
$
$
$ #
$ $ $ $
#8
8  $8  $8  "
œ
#
8
8
8 8 8 "
8 8 8 8
 $  $ 
 œ #
"   
$ $ "
8 8 8
lim
8Ä_
# $
 œ #  "
 Por lo tanto, DV." a b
8 œ "
_
 " †8
#8
8$
 %Ñ  " †
8 œ "
_
8 8  #
&8
" a b
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
+8  "
+ & † & 8  # &8  "!8
œ œ † œ
8  $
&8  "
8  #
&8
8  $ & 8  $
8
8
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
w8  $ " "
&8  "! & &
œ P L œ  "
 Por lo tanto, CVA." a b
8 œ "
_
 " †8
8  #
&8
V
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Ejercicios
 Determine si la serie CV o DV.
 "Ñ #Ñ Ð  "Ñ
8 œ ! 8 œ "
_ _8 " x &
# #8 x8
8
8" "a b a b 
 
$Ñ Ð  "Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 8 x 8
8 $ $ 8  "8 8
#" "a b a b 
 
&Ñ Ð  "Ñ
8 œ "
_
8 "
Ð#8  "Ñx
" 
 Solución
1) DV 2) CVA 3) DV 
 
4) CV 5) CVA
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Serie de Potencias
 
 
Concepto: Una serie de potencias en ax − es una serie de la forma : 
 
 variable.es , númerosson y
)(
0
)(3)(3
2)(2)(10
xaib
nax
n
nb
naxnbaxbaxbaxbb −∑
∞
=
=−++−+−+−+ L
 
 
Si x es un número particular, entonces ax − se transforma en un número 
y nax
n
nb )(
0
−∑
∞
=
es una serie infinita de términos constantes. 
 
Si 0=a , entonces se obtiene la siguiente serie 
nxnbxbxbxbb
nx
n
nb +++++=∑
∞
=
L33
2
2100
 
 
 Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.
Como aparece la variable , entonces una serie de potencias es una función B 0 B œ , B  +
8 œ !
_
8
8a b a b"
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación , además se debe hacer el análisis de los extremos.3  "
 :Ejemplos
 Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
 "Ñ  " †
8 œ "
_
8  " # † B  "
8 8
8 † $8
" a b a b
 º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a ba b+8  "+8 œ
# † B  "8  " 8  "
8  " † $8  "
# † B  "8 8
8 † $8
 œ †
# † # † B  " † B  " 8 † $8 8 8
8  " † $ † $8 # † B  "8 8
º ºa b a ba b a b
 œ † † B  "
# 8
$ 8  "
¸ ¸
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
# 8 # 8
$ 8  " $ 8  "
† † B  " œ † B  "¸ ¸ ¸ ¸
 œ P L † B  "
# "
$ "
w
8Ä_
¸ ¸ lim
 œ † B  "
#
$
¸ ¸
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# #
$ $
† B  "  " Í  "  ÐB  "Ñ  "¸ ¸
Í   B  " 
$ $
# #
 Í   B 
& "
# #
 Análisis de los extremos
Para B œ 
&
#
" "a b a bŒ 
a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † œ  " †8  " 8  "
# † 8
$
#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8
 " $8 8
#8 
 œ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b#
 œ 
8 œ "
_ "
8
"
Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV."
8 œ "
_ "
8
Para B œ
"
#
" "a b a bŒ 
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † œ  " †8  " 8  "
# †8
$
#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8
$8
#8 
 œ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b
 
Pero, es una serie alterna que es CVC." a b
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie
 es " a b a b
8 œ "
_
 " †   B Ÿ8  "
# † B  " & "8 8
8 † $ # #8
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#Ñ  " †
8 œ "
_
8 B  $
8
8
" a b a b
!
 !
!
º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a ba ba b+8  "+8 œ
B  $ 8  "
8  "
B  $ 8
8
 
!
!
œ †
B  $ † B  $ 88
8  " † 8 B  $ 8
º ºa b a ba b a b
 œ † B  $
"
8  "
¸ ¸
 
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
" "
8  " 8  "
† B  $ œ B  $¸ ¸ ¸ ¸
 œ B  $ † !¸ ¸
 œ !  "
 Por lo tanto, la serie es CVA 
!
" a b a b
8 œ "
_
 " † a B −8
B  $ 8
8
‘
 
!
$Ñ  " †
8 œ "
_
8 8
"! † B8 8
" a b
 
!
!º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
+8  "
+8
œ
8  "
"! † B8  " 8  "
8
"! † B8 8
 
!
!
œ †
8  " † 8 "! † B
"! † "! † B † B 88 8
8 8º ºa b
 œ 8  " †
"
"! B
a b ¸ ¸
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
a b ¸ ¸ ¸ ¸8  " † œ Ð8  "Ñ" ""! B "! B
 œ †_
"
"! B¸ ¸
 œ _  "
 Por lo tanto, la serie es DV 
!
" a b a b
8 œ "
_
 " † a B −8
B  $ 8
8
‘
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29
Ejercicios
 Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
"Ñ Ð#8Ñx † #Ñ Ð  "Ñ †
8 œ ! 8 œ "
_ _B ÐB  &Ñ
#
8
8  "
8
8 † &8
" "Œ  
$Ñ %Ñ Ð  "Ñ †
8 œ" 8 œ "
_ _ÐB  #Ñ ÐB  (Ñ8  " 8
Ð8  "Ñ † $8  "
8  "
8 † (8
" " 
&Ñ Ð  "Ñ † 'Ñ Ð  "Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8B 8x ÐB  %Ñ
8  " 8
Ð#8  "Ñ $8
" " #
!
 †
(Ñ )Ñ † Ð  #BÑ
8 œ " 8 œ "
_ _8x † B 88
Ð#8Ñx 8  "
8  "" " Œ  
*Ñ "!Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _# † B # † B8 8 #8  " #8
8 Ð#8Ñx
8" " 
#
 
Solución
 No existe intervalo de convergencia"Ñ
 #Ñ !  B Ÿ "!
 $Ñ  " Ÿ B  &
 %Ñ !  B Ÿ "%
 &Ñ ‘
 No existe intervalo de convergencia'Ñ
 (Ñ ‘
 )Ñ   B 
" "
# #
 *Ñ  Ÿ B Ÿ
" "
# #
 "!Ñ ‘
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30
Serie de Taylor
Concepto : La expresión ∑
∞
=
−⋅
=
0 !
)()(
)(
n n
naxanfxf corresponde a la serie de Taylor de 
f alrededor de ax = o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de ax = . 
 
)(af n es la n-ésima derivada de f evaluada en ax = . 
 
Si la serie de Taylor toma la forma ∑
∞
=
⋅
=
0 !
)0(
)(
n n
nxnfxf que se conoce con el nombre de 
serie de Maclaurin de f . 
 
 Ejemplos
 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a , la función B œ " 0 B œ
"
B
a b
 0 B œ Ê 0 " œ "
"
B
! !a b a b
 0 B œ  œ  B Ê 0 " œ  "
"
B
w
#
# wa b a b
 0 B œ œ #B Ê 0 " œ #
#
B
ww
$
$ wwa b a b
 0 B œ  œ  'B Ê 0 " œ  '
'
B
www
%
% wwwa b a b
 0 B œ œ #%B Ê 0 " œ #%
#%
B
3@
&
& 3@a b a b
0 B œ    
" † B  "  " † B  " # † B  "  ' † B  " #% † B  "
! " #x $ %
a b a b a b a b a b a b a b a b! # $ %
! ! ! !
 0 B œ    
B  " B  " # † B  " ' † B  " #% † B  "
" " # ' #%
a b a b a b a b a b a b! # $ %
 0 B œ B  "  B  "  B  "  B  "  B  "a b a b a b a b a b a b! # $ %
 Por lo tanto, 0 B œ œ  " † B  "
"
B
8 œ !
_
8 8a b a b a b"
V
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31
 2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 B œ -9=Ba b
 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "! !a b a b
 0 B œ  =/8B Ê 0 ! œ !w wa b a b
 0 B œ  -9=B Ê 0 ! œ  "ww wwa b a b
 0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w ww ww wa b a b
 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "3@ 3@a b a b
 
 
! ! ! !
0 B œ    
" † B ! † B  " † B ! † B " † B
! " #x $ %
a b a b! # $ %
 
! ! !
0 B œ  !   ! 
B B B
! # %
a b ! # %
 
! ! !
0 B œ  
B B B
! # %
a b ! # %
 Por lo tanto, 
!
0 B œ -9=B œ  " †
8 œ !
_
8 B
#8
#8
a b a b" a b
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À
 +Ñ 0 B œ 68 "  Ba b a b
 0 B œ 68 "  B Ê 0 ! œ !! !a b a b a b
 0 B œ œ "  B Ê 0 ! œ "
"
"  B
w " wa b a b a b
 0 B œ  œ  "  B Ê 0 ! œ  "
"
"  B
ww
#
# wwa b a b a ba b
 0 B œ œ # "  B Ê 0 ! œ #
#
"  B
www
$
$ wwwa b a b a ba b
 0 B œ  œ  ' "  B Ê 0 ! œ  '
'
"  B
3@
%
% 3@a b a b a ba b
 
 0 B œ    
! † B " † B " † B # † B ' † B
" " # ' #%
a b ! # $ %
 0 B œ !  B   
B B B
# $ %
a b # $ %
 Por lo tanto, 0 B œ 68 "  B œ  " †
8 œ !
_
8 B
8  "
8  "
a b a b a b"
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32
 Intervalo de convergencia
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
¸ ¸ Œ +8  "
+ 8  # B † B 8  #8 B
œ œ † œ B †
B8  #
8  #
8  "
8  "
B † B 8  " 8  "8
8
#
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ  Œ B † œ B †8  " 8  "
8  # 8  #
 œ P L B †w
8Ä_
"
"
¸ ¸ lim
 œ B¸ ¸
 ¸ ¸B  " Í  "  B  "
 Análisis de los extremos
 Para B œ  "
 " "a b a b a b
8 œ ! 8 œ !
_ _
 " † œ8
 "  "8  " #8  "
8  " 8  "
 œ 
8 œ !
_ "
8  "
"
 œ 
8 œ "
_ "
8
"
 Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV"
8 œ "
_

"
8
 Para B œ "
 " "a b a ba b
8 œ ! 8 œ !
_ _
 " † œ  " †8 8
" "8  "
8  " 8  "
 Pero, es una serie alterna que CVC" a b
8 œ !
_
 " †8
"
8  "
 Luego el intervalo de convergencia de la serie es " a b
8 œ !
_
 " †  "  B Ÿ "8
B8  "
8  "
 
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33
 ,Ñ 0 B œ /Ba b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "B! !a b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw wa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw ww wa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bwww wwwa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "B3@ 3@a b a b
 
 
! ! ! ! !
0 B œ    
" † B " † B " † B " † B " † B
! " # $ %
a b ! # $ %
 Por lo tanto, 
!
0 B œ / œB
8 œ !
_ B8
8
a b "
 Intervalo de convergencia
 !
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b a b ¸ ¸ Œ + B † B 8 "+ 8  " † 8 B 8  "œ œ † œ B †
B8  "
8  "
B8
8
8
8
8"
8
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ  Œ B † œ B †" "
8  " 8  "
 œ B † !¸ ¸
 œ !  "
 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie es 
!
"
8 œ !
_ B8
8
‘
Ejercicios
I Desarrollar en serie de Taylor
"Ñ 0ÐBÑ œ B + œ " #Ñ 0ÐBÑ œ + œ  "$
"
B
È con con 
$Ñ 0ÐBÑ œ 68 B  " + œ " %Ñ 0ÐBÑ œ -9= B + œ
$
a b con con 1
 
II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
"Ñ 0ÐBÑ œ / #Ñ 0ÐBÑ œ =/8 $B $Ñ 0ÐBÑ œ -9= B BÎ#
"
#
 Œ 
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Solución
I
"Ñ 0 B œ "    
B  " B  " & † B  " & † B  "
# ' &% )"
a b a b a b a b# $ %
#Ñ 0 B œ  B  "
8 œ !
_
8a b a b"
$Ñ 0 B œ 68#    
B  " B  " B  " B  "
# ) #% '%
a b a b a b a b# $ %
%Ñ 0 B œ †  " †  †  " †
" $
# #8 # #8  "
8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8  "
B  B 
$ $
#8 #8  "
a b a b a b" "Š ‹ Š ‹a b a b
È1 1
! !
II
"Ñ 0 B œ aB −
8 œ !
_ B8
# † 88
a b "
!
 CV ‘
#Ñ 0 B œ  " † a B −
8 œ !
_
8 $ † B
#8  " #8  "
#8  "
a b a b" a b! CV ‘
$Ñ 0 B œ -9= †  " †  =/8 †  " †
" B " B
# #8 # #8  "
8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8  "
8 8  "a b a b a bŒ  Œ " "a b a b
# #
! !
CV aB − ‘
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Funciones de más de una variable
 Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma
C œ 0 B C B B −a b , donde la variable depende de la variable , . Se extenderá ahora este concepto a‘
funciones de más de una variable.
 Por ejemplo À
 
22),( yxyxfz +== e variableslas de depende yxz 
yzxzyxfw +== ),,( zyxw y , variableslas de depende 
 En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos
de otros espacios numéricos.
 Si , entonces los elementos del dominio de son pares ordenados y , por lo tanto, seD œ 0 Bß C 0a b
está trabajando en el espacio numérico real bidimensional .a b‘#
 Si , entonces los elementos del dominio de son triadas o ternas y , por lo tanto, seA œ 0 Bß Cß D 0a b
está trabajando en el espacio numérico real tridimensional .a b‘$
 Concepto de función de dos variables
 Sea un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de e El conjunto es el dominio de y el0 Bß C 0 B CÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß C 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ B  C # #
#Ñ 0 À È‘ ‘# 
a b a bBß C È 0 Bß C œ B  C
BC
 
#
$Ñ 0 À È‘ ‘# 
a b a bBß C È 0 Bß C œ /BC
B  C
 
 
 
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 Concepto de función de tres variables
 Sea un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de El conjunto es el dominio de y el0 Bß Cß D 0 Bß Cß DÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß Cß D 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B  C  D # # #
#Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B  C
BC  D
 
#
$Ñ 0 À È‘ ‘$ 
a b a b a ba bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ -9= BC  D68 C  D  B #
 Dominio de funciones de dos variables
 Para determinar el dominio de funciones de dos variables sedeben considerar las mismas
restricciones que para funciones de una sola variable, es decir,
 a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad
subradical debe ser mayor o igual a cero.
 b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero.
 c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la
cantidad subradical debe ser mayor que cero.
 d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del
logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejemplos:
 Determinar el dominio de las siguientes funciones
 "Ñ 0 Bß C œ #&  B  Ca b È # #
 #&  B  C   !# #
 B  C    #& Î †  "# # a b
 B  C Ÿ #&# #
 corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada deB  C œ #&# #
radio cinco.
 corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de laB  C  #&# #
circunferencia de radio cinco.
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H970 œ Bß C − Î Bß C{ se encuentra en y dentro de la circunferenciaa b a b‘#
 }B  C œ #&# #
 #Ñ 0 Bß C œ
$B  &C
B  C
a b
 B  C Á !
B Á C
 corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C B œ C
 { no está en la recta H970 œ Bß C − Î Bß C B œ C ×a b a b‘#
 
 $Ñ 0 Bß C œ 68 #B  Ca b a b
 #B  C  !
 #B  C
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta #B œ C C œ #B
 corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta #B  C C œ #B
 { está bajo la recta H970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B ×a b a b‘#
 
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 %Ñ 0 Bß C œ
*B  #&C  ##&
C  B  #
a b È # #
 *B  #&C  ##&   !# #
*B  #&C   ##& Î À ##&# # 
 
B C
#& *
   "
# #
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse
B C
#& *
 œ "
# #
 
B C
#& *
 œ "
# #
 corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la
B C
#& *
  "
# #
 elipse 
B C
#& *
 œ "
# #
 C  B  # Á !
C Á B  #
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la rectaC œ B  #
C œ B  #
 corresponde a todos los puntos del plano que no están en la rectaC Á B  #
 C œ B  #
 { está en y fuera de la elipse H970 œ Bß C − Î Bß C  œ "
B C
#& *
a b a b‘# # #
 y no están en la recta C œ B  # ×
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Ejercicios
 Determine el dominio de las siguientes funciones À
 
 +Ñ 0ÐBß CÑ œ
B  C  "
%C  &B
# #
È
 
 ,Ñ 0ÐBß CÑ œ 68Ð*  B  $C Ñ# #
 -Ñ 0ÐBß CÑ œ
B  C  $'
#B  $C
È # #
#
 
 .Ñ 0ÐBß CÑ œ
/ C  #B
68ÐC  BÑ
È
Solución
 está sobre la recta +ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ B
&
%
œ a b a b‘#
 está en el interior de la elipse ,ÑH970 œ Bß C − Î Bß C  œ "
B C
* $
œ a b a b‘# # #
 está en y dentro de la circunferencia-ÑH970 œ Bß C − Î Bß Cœa b a b‘#
 y no pertenece a la parábola B  C œ $' C œ  B
#
$
# # # 
 { está sobre las rectas e y está en la.ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B C œ Ba b a b‘#
 recta C œ #B ×
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Derivadas Parciales
 
 :por definidas
 , funciones lasson a respectocon y a respectocon de Primeras
parciales derivadas las entonces , variablesdos defunción una , ),( Sea
Conceptos
yx ffyxf
yxfz = 
siempre que exista el límite. 
 
),(),(lim),(),(
0 x
yxfyxxfyxf
x
z
x
yxf
xx ∆
−∆+
==
∂
∂
=
∂
∂
→∆ 
y
yxfyyxfyxf
y
z
y
yxf
y
y ∆
−∆+
==
∂
∂
=
∂
∂
→∆
),(),(lim),(),(
0
 
 Es decir, si entonces para determinar se considera constante la variable y seD œ 0 Bß C ß 0 Ca b B
deriva con respecto a . De la misma forma , para obtener se considera constante la variable y seB 0 BC
deriva con respecto a C
Ejemplos À
Obtener en 0 ß 0 ÀB C
"Ñ 0 Bß C œ $B  #C  (B  %Ca b # $
0 œ 'B  ( 0 œ  'C  %B C
# 
 
#Ñ 0 Bß C œ #BC  *B  &Ca b $ %
0 œ #C  #(B 0 œ #B  #!CB C
# $ 
 
$Ñ 0 Bß C œ $BC  %Ba b a b# $
0 œ $ $BC  %B $C  % 0 œ ")BC $BC  %BB C
# # ## #a b a b a b 
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%Ñ 0 Bß C œ
#B  &C
$B  #C
a b $
0 œ 0 œ
# $B  #C  $ #B  &C  "&C $B  #C  # #B  &C
$B  #C $B  #C
B C
$ # $
# #
a b a b a b a b
a b a b 
0 œ 0 œ
%C  "&C  #!C  %&BC  %B
$B  #C $B  #C
B C
$ $ #
# #a b a b 
 
&Ñ 0 Bß C œ BC  B C  B Ca b # $ % (
0 œ C  #BC  %B C 0 œ B  $B C  (B CB C
$ $ ( # # % ' 
 
'Ñ 0 Bß C œ B/  >1 #B  $CBCa b a b
0 œ /  BC/  #=/- #B  $C 0 œ B /  $=/- #B  $CBC BC BCB C
# # #a b a b 
 
(Ñ 0 Bß C œ 68 B  C  =/8 BC  BC -9= BCa b a b a b a b# #
0 œ  C -9= BC  C-9= BC  BC =/8 BC
#B
B  C
B # #
#a b a b a b
0 œ  B -9= BC  B-9= BC  B C=/8 BC
 #C
B  C
C # #
#a b a b a b
 El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables.
 Sea , una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de A œ 0 Bß Cß D 0a b
con respecto a , a y a están definidas porB C D À
 
`0 Bß Cß D `A 0 B  Bß Cß D  0 Bß Cß D
`B `B B
œ œ 0 Bß Cß D œ
B Ä !
a b a b a ba bB lim
?
?
?
 
`0 Bß Cß D `A 0 Bß C  Cß D  0 Bß Cß D
`C `C C
œ œ 0 Bß Cß D œ
C Ä !
a b a b a ba bC lim
?
?
?
 , z
`0 Bß Cß D `A 0 Bß Cß D  D  0 Bß Cß D
`D `D D
œ œ 0 Bß C œ
D Ä !
a b a b a ba bD lim
?
?
?
 siempre que el límite exista
 
 Es decir, si para determinar se consideran constantes las variables y y seA œ 0 Bß Cß D 0 C DBa b
deriva con respecto a la variable . De esta misma forma para obtener se consideran constantes lasB 0C
variables y y se deriva con respecto a la variable . Por último, por igual camino para calcular seB D C 0D
consideran constantes las variables e y se deriva con respecto a la variable .B C D
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Ejemplos À
Obtener en0 ß 0 ß 0 ÀB C D
"Ñ 0 Bß Cß D œ #B  %C  &D  $B  %C  Da b # $ %
0 œ %B  $ 0 œ  "#C  % 0 œ #!D  "B C D
# $ 
 
#Ñ 0 Bß Cß D œ BC  $CD  %BD  BCDa b
0 œ C  %D  CD 0 œ B  $D  BD 0 œ  $C  %B  BCB C D 
 
$Ñ 0 Bß Cß D œ BC/  68 B  C  DBDa b a b
0 œ C/  BCD/ BD
"
B  C  D
B
BD
0 œ B/ BD
"
B  C  D
C
0 œ B C/ BD
"
B  C  D
D
#
%Ñ 0 Bß Cß D œ
$B  &C
#C  D
a b
0 œ
$
#C  D
B
0 œ œ
 & #C  D  # $B  &C &D  'B
#C  D #C  D
C # #
a b a b
a b a b
0 œ
$B  &C
#C  D
D #a b
 
&Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B  C  D  =/8 $B  C  >1 &C  %Da b a b a b a b# # #
0 œ  $ -9= $B  C
#B
B  C  D
B # # #
a b
0 œ  -9= $B  C  &=/- &C  %D
#C
B  C  D
C # # #
#a b a b
0 œ  %=/- $B  C
#D
B  C  D
D # # #
#a b
 
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'Ñ 0 Bß Cß D œ B/  C -9= BCD  D BCDBCDa b a b È
0 œ /  BCD/  C D =/8 BCD BCD BCD
CD
# BCD
B
#
#a b È
0 œ B D/  -9= BCD  BCD =/8 BCD BCD
BD
# BCD
C
#
#a b a b È
0 œ B C/  BC =/8 BCD  BCD BCD
BCD
# BCD
D
# # a b È È
 
(Ñ 0 Bß Cß D œ =/8 #B  $C  >1 $C  %D  68 &D  Ba b a b a b a b$ #$ %
0 œ '=/8 #B  $C -9= #B  $C  )Ò68 &D  B Ó †
"
&D  B
B
# %a b a b a b a b
0 œ  *=/8 #B  $C -9= #B  $C  *Ò=/- $C  %D Ó $C  %DC
# # $ #a b a b a b a b
0 œ  "#Ò=/- $C  %D Ó $C  %D  %!Ò68 &D  B Ó †
"
&D  B
D
# $ # %a b a b a b a b
Ejercicios
 I Determine y en:0 0B C
 +Ñ 0 Bß C œ $B  %C  B C  BCa b # $
 ,Ñ 0 Bß C œ 68 $B  'C  -9= $BC  '  B >1 #C  "!a b a b a b a b
 -Ñ 0 Bß C œ $B  %C  $B  C  %B  )Ca b a bÈ ) ( '
 .Ñ 0 Bß C œ
(B  )C
%C  *B
a b
 II Determiney en:0 ß 0 0B C D
 +Ñ 0 Bß Cß D œ BCD  68 $B  %C  &D  %B  'C  *Da b a b
 ,Ñ 0 Bß Cß D œ %B  *C  (Da b È$ % % (
 -Ñ 0 Bß Cß D œ -9= $B  'C  (D  /  B C D-9= BCDa b a b a b $ % '
 .Ñ 0 Bß Cß D œ
B68C  D=/8C
C>1B  BC/
a b
D
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44
Solución
I +Ñ 0 œ $  #BC  C 0 œ  %  B  $BCB C$ # #
 ,Ñ 0 œ  $C † =/8 $BC  '  >1 #C  "!
$
$B  'C
B a b a b
 0 œ   $B † =/8 $BC  '  #B † =/- #C  "!
'
$B  'C
C
#a b a b
 -Ñ 0 œ  #% $B  C  #)B
$
# $B  %C
B
( 'È a b
 0 œ   ) $B  C  %)C
#
$B  %C
C
( &È a b
 .Ñ 0 œ 0 œ 
"!!C "!!B
%C  *B %C  *B
B C# #a b a b
II +Ñ 0 œ CD   % 0 œ BD   '
$ %
$B  %C  &D $B  %C  &D
B C
 0 œ BC   *
&
$B  %C  &D
D
 ,Ñ 0 œ 0 œ
"'B  $'C
$ %B  *C  (D $ %B  *C  (D
B C
$ $
% % ( % % (# #É Éa b a b$ $
 0 œ
%*D
$ %B  *C  (D
D
'
% % ( #Éa b$
 -Ñ 0 œ  $=/8 $B  'C  (D  CD † =/8 BCD † /  $B C D-9= BCDB # % 'a b a b a b
 0 œ  '=/8 $B  'C  (D  BD † =/8 BCD † /  %B C D-9= BCDC $ $ 'a b a b a b
 0 œ (=/8 $B  'C  (D  BC † =/8 BCD † /  'B C D-9= BCDD $ % &a b a b a b
 .Ñ 0 œ
68C C>1B  BC/  B68C  D=/8C C=/- B  C/D
C>1B  BC/D
B
D #
#
a b a ba b
a b
 0 œ
B
C
 D-9=C C>1B  BC/  B68C  D=/8C >1B  B/D D
C>1B  BC/D
C #
Œ a b a ba b
a b
 0 œ
 =/8C C>1B  BC/  B68C  D=/8C BC/D D
C>1B  BC/D
D #
a ba b a ba b
a b
V
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45
Derivación implícita
 Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de
derivada implícita.
 Si , es decir, es una función de dos variables que depende de e . Para obtener D œ 0 Bß C D B C
`D
`B
a b
se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a . C D B
 Para obtener se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a
`D
`C
B D
C.
 Obtener , enEjemplo À À
`D `D
`B `C
 "Ñ B  C  D œ #&# # #
 Para 
`D
`B
 #B  #D † œ ! Ê œ 
`D `D B
`B `B D
 Para 
`D
`C
 #C  #D † œ ! Ê œ 
`D `D C
`C `C D
 
 #Ñ >1 B  C  >1 C  D œ "a b a b
 Para 
`D
`B
 =/- B  C  =/- C  D † œ !
`D
`B
# #a b a b
 
`D =/- B  C
`B =/- C  D
œ 
#
#
a ba b
 Para 
`D
`C
 =/- B  C  =/- C  D † "  œ !
`D
`C
# #a b a b Œ 
 
`D =/- B  C  =/- C  D
`C =/- C  D
œ 
# #
#
a b a ba b
 $Ñ D † /  C † /  / œ #BD CD BC
 Para 
`D
`B
 
`D `D `D
`B `B `B
† /  D † / † D  B †  C † / †  C/ œ !BD BD CD BCŒ  #
V
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46
 
`D D /  C/
`B /  BD/  C /
œ 
BD BC
BD BD CD
#
#
 Para 
`D
`C
 
`D `D `D
`C `C `C
† /  BD † / †  /  C † / † D  C †  B/ œ !BD BD CD CD BCŒ 
 
`D /  CD/  B/
`B /  BD/  C /
œ
CD CD BC
BD BD CD#
 %Ñ /  >1 CD œ 68 BCD  -9= BDBCD a b a b a b
 Para 
`D
`B
 / CD  BC  C=/- CD œ CD  BC  =/8 BD † D  BBCD
`D `D " `D `D
`B `B BCD `B `B
Œ  Œ  Œ a b a b#
 
`D
`B
œ
"
B
 D=/8 BD  CD/BCD
BC/  C=/- CD   B=/8 BDBCD
"
D
a b
a b a b#
 
 Para 
`D
`C
 / BD  BC  =/- CD D  C œ BD  BC  B=/8 BDBCD
`D `D " `D `D
`C `C BCD `C `C
Œ  Œ  Œ a b a b#
 
`D
`B
œ
"
C
 D=/- CD  BD/BCD
BC/  C=/- CD   B=/8 BDBCD
"
D
#
#
a b
a b a b
Ejercicios
 Obtener y en
`D `D
`B `C
À
 
 +Ñ B  %C  *D œ $' ,Ñ CD  BD  BC  BCD œ !# # #
 -Ñ $B  %C  'D œ '! .Ñ #B  C  D œ 68D% $ &
 /Ñ =/8ÐB  CÑ  -9=ÐC  DÑ  =/-ÐD  BÑ œ " 0Ñ B/  C=/8 CD œ D>1 BDBC a b a b
V
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47
Solución
 +Ñ œ  œ
`D B `D %C
`B *D `C *D
 ,Ñ œ œ
`D CD  D  C `D BD  D  B
`B C  B  BC `C C  B  BC
 -Ñ œ  œ 
`D #B `D #C
`B &D `C &D
$ #
% %
 .Ñ œ œ
`D # `D  "
`B `C" "
D D
 "  "
 /Ñ œ
`D  -9= B  C  =/- B  D >1 B  D
`B =/8 C  D  =/- B  D >1 B  D
a b a b a ba b a b a b
 
 
`D  -9= B  C  =/8 C  D
`C =/8 C  D  =/- B  D >1 B  D
œ
a b a ba b a b a b
 0Ñ œ
`D D =/- BD  /  BC/
`B C -9= CD  >1 BD  BD =/- BD
# # BC BC
# #
a ba b a b a b
 
 
`D B /  =/8 CD  CD -9= CD
`C >1 BD  BD =/- BD  C -9= CD
œ
# BC
# #
a b a ba b a b a b
 
 
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Regla de la cadena
 
 
Teorema : Supóngase que ),( yxfz = , es una función de dos variables y que existen 
 
 y 
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
con ),( srfx = e ),( srfy = funciones de sr y para las cuales 
 
 existen las derivadas .,,,
s
y
r
y
s
x
r
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 Luego, 
s
z
r
z
∂
∂
∂
∂ y existen y vienen dadas por: 
 
 
 
 
 
 
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
Ejemplos
 1) Determine en:
`D
`<
 D œ B  C# #
 B œ =  <$ %
 C œ =<
 
`D `D `B `D `C
`< `B `< `C `<
œ †  †
 
`D `D `B `C
`B `C `< `<
œ #B œ #C œ %< œ =$
 
`D
`<
œ #B %<  #C =a b a ba bˆ ‰$
 
 2) Determine en:
`D
`=
 D œ C  $B C$ #
 B œ <-9= =a b
 C œ <=/8 =a b
 
 
`D `D `B `D `C
`= `B `= `C `=
œ †  †
 
 
`D `D `B `C
`B `C `= `=
œ  'BC œ $C  $B œ  <=/8 = œ <-9= =# # a b a b
 
`D
`=
œ  'BC  <=/8 =  $C  $B <-9= =a ba b a ba b a bˆ ‰# #
V
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49
 3) Determine y en:
`D `D
`+ `,
 D œ =/8 #B  $Ca b
 B œ >1 +  /a b ,
 C œ 68 "  +  -9= $,a b a b
 
`D `D `B `D `C
`+ `B `+ `C `+
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ #-9= #B  $C œ $-9= #B  $Ca b a b
 
`B `C "
`+ `+ "  +
œ =/- + œ #a b
 
`D "
`+ "  +
œ #-9= #B  $C =/- +  $-9= #B  $C a b a b a ba b a bˆ ‰ Œ #
 
 
`D `D `B `D `C
`, `B `, `C `,
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ #-9= #B  $C œ $-9= #B  $Ca b a b
 
`B `C
`, `,
œ  / œ  $=/8 $,, a b
 
`D
`+
œ #-9= #B  $C  /  $-9= #B  $C  $=/8 $,a b a ba ba b a b a bˆ ‰,
 El teorema también es aplicable para funciones de tres variables 
Si ),,( zyxfw = es una función de tres variables para la cual existen 
 
z
w
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ,, con ),(;),(;),( srfzsrfysrfx === . 
 
 Entonces w es función de sr y , luego 
 
s
w
r
w
∂
∂
∂
∂ y existen y están definidas por: 
 
 
 
 
 
r
z
z
w
r
y
y
z
r
x
x
w
r
w
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
 
s
z
z
w
s
y
y
z
s
x
x
w
s
w
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
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 :Ejemplos
 1) Obtener en:
`A
`<
 A œ B  #CD  D# $
 B œ -9= <  /=a b
 C œ #<  $=
 D œ 68 <  >1 #=a b a b
 
`A `A `B `A `C `A `D
`< `B `< `C `< `D `<
œ †  †  †
 
`A `A `A
`B `C `D
œ #B œ #D œ #C  $D#
 
`B `C `D "
`< `< `< <
œ  =/8 < œ # œa b
 
`A "
`< <
œ #B  =/8 <  #D #  #C  $Da ba b a ba ba b ˆ ‰Œ #
 2) Obtener en:
`A
`=
 A œ -9= B  C  Da b# $
 B œ < =$ %
 C œ =/8 $<#a b
 D œ >1 %=  (a b'
 
`A `A `B `A `C `A `D
`= `B `= `C `= `D `=
œ †  †  †
 
`A `A
`B `C
œ  #B=/8 B  C  D œ =/8 B  C  Dˆ ‰ ˆ ‰# $ # $
 
`A
`D
œ  $D =/8 B  C  D# # $ˆ ‰
 
`B `C `D
`= `= `=
œ %< = œ ! œ #%=/- %=  ( † %=  ($ $ # ' &a b a b
 
`A
`=
œ  #B=/8 B  C  D %< =   $D =/8 B  C  D #%=/- %=  ( † %=  (ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b# $ $ $ # # $ # ' &
 
 
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 3) Determine en :
`A
`+
 A œ
BC
D
 B œ +-9= ,  =/8 ,a b a b
 C œ 68 +  +=/8 ,a b a b
 D œ #+  $,
 
`A `A `B `A `C `A `D
`+ `B `+ `C `+ `D `+
œ †  †  †
 
`A C `A B `A BC
`B D `C D `D D
œ œ œ 
#
 
`B `C " `D
`+ `+ + `+
œ -9= , œ  =/8 , œ #a b a b
 
`A C B " BC
`+ D D + D
œ -9= ,   =/8 ,   #Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b a ba b Œ  #Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente: 
 
1) Sea ),( yxfz = una función de dos variables donde y 
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂ existen, 
 con )(tfx = e )(tfy = , entonces z depende de t y 
t
z
∂
∂ queda definida por: 
 
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
 
 
2) Sea ),,( zyxfw = una función de tres variables donde 
z
w
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂ y , existen, 
con )(tfx = , )(tfy = y )(tfz = , entonces w depende de t y 
t
w
∂
∂ queda definida por: 
 
 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
 
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 Ejemplos
 1) Determine en:
.D
.>
 D œ BC/BC
 B œ >  >% È
 C œ > † 68 >  "$a b
 
.D `D .B `D .C
.> `B .> `C .>
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ C/  BC / œ B/  B C/BC BC BC BC# #
 
.B " .C "
.> .> >  "
œ %>  œ 68 >  "  $> † 68 >  " †
# >
$ $ #È a b a b
 
 
.D " "
.> >  "
œ C/  BC / %>   B/  B C/ 68 >  "  $> † 68 >  " †BC BC BC BC
# >
ˆ ‰ ˆ ‰ È Œ a b a b# $ # $ #
 Determine en:#Ñ
.A
.>
 A œ BCD
 B œ >  $>  &(
 C œ
>
>  $#
 D œ E<-=/8 >a b
 
.A `A .B `A .C `A .D
.> `B .> `C .> `D .>
œ †  †  †
 
`A `A `A
`B `C `D
œ CD œ BD œ BC
 
.B .C " >  $  > #> .D "
.> .> .>
œ (>  $ œ œ
>  $ "  >
'
#
# # #
a b a b
a b È
 
.A $  > "
.>
œ CD (>  $  BD   BC
>  $ "  >
a b a b a bˆ ‰    a b È'
#
# # #
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Ejercicios
 Determine À
 
 si+Ñ
`A
`<
 A œ 68ÐB  C Ñ# #
 
 B œ < -9= >
 C œ < =/8 >
 si,Ñ
.E
.>
 E œ B  C  #B  $C$ $ È
 
 B œ E<->1 >  -9=> =/8>a b
 C œ > † >1 >a b
 si-Ñ ß ß
`? `? `?
` ` `3 ) 9
 ? œ B  #C  #D# # #
 B œ -9= =/83 ) 9
 C œ =/8 =/83 ) 9
 D œ -9=3 9
 Hallar en el punto si.Ñ Ð"ß "ß "Ñ
`A
`B
 A œ -9= +,a b
 + œ BCD
 , œ
%ÐB  C Ñ
1
# #
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Solución
 +Ñ œ -9= >   =/8 >
`A #B #C
`< B  C B  C
Œ  Œ # # # #
 
 ,Ñ œ $B   =/8 >  -9= >
`E B "
`> "  >#B  $C È Œ # # ##
   $C  >1 >  > =/- >
$
# #B  $C È a b# #
 -Ñ œ #B -9= =/8  %C =/8 =/8  %D -9=
`?
`3
) 9 ) 9 9a ba b a ba b a ba b
 
`?
`
œ #B  =/8 =/8  %C -9= =/8
)
3 ) 9 3 ) 9a ba b a ba b
 
`?
`
œ #B -9= -9=  %C =/8 -9=  %D =/8
9
3 ) 9 3 ) 9 9a ba b a ba b a ba b
 .Ñ "ß "ß " œ !
`A
`B
a b
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Aplicaciones de la regla de la cadena
 A) Problemas con enunciado
 1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm..
En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué
rapidez cambia el volumen en ese momento?
 
 Z œ < 2 Z œ 0 <ß 21 # a b
 cm
cm
seg
< œ 0 > œ  & < œ "#
.<
.>
a b
 cm
cm
seg
2 œ 0 > œ % 2 œ $'
.2
.>
a b
 
.Z `Z .< `Z .2
.> `< .> `2 .>
œ †  †
 
.Z .< .2
.> .> .>
œ # <2 †  < †a b ˆ ‰1 1 #
 
.Z
.>
œ )'% †  &  "%% † %a b a b a b a b1 1
 
.Z
.>
œ  %$#!  &('1 1
 
 
.Z
.>
œ  $(%%1
 El volumen decrece a razón de cm /seg$(%%1 3
 
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56
 2) En cierto instante, el ángulo de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el!
lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de cm/seg."#
Hallar la velocidad de variación del lado a.
 
 Por teorema del coseno
 + œ ,  -  #,- † -9=# # # !
 ; ; ; + œ 0 ,ß -ß , œ 0 > - œ 0 > œ 0 >a b a b a b a b! !
 + œ ,  -  #,- † -9=È # # !
 º cm 
grados cm
seg seg
!
!
œ '! œ & , œ "' œ 
. ., "
.> .> #
 cm 
cm
seg
- œ "! œ "
.-
.>
 
.+ `+ . `+ ., `+ .-
.> ` .> `, .> `- .>
œ †  †  †
!
!
.+ ,- † =/8 . ,  - † -9= ., -  , † -9= .-
.> .> .> .>
œ  
,  -  #,- † -9= ,  -  #,- † -9= ,  -  #,- † -9=
     È È È! ! ! !! ! !# # # # # #
.+ " "
.> #
œ ,- † =/8 &  ,  - † -9=   -  , † -9= "
,  -  #,- † -9=È ” •a ba b a b a ba bŒ # # ! ! ! !
.+ " ""
.> "% #
œ   #  %!! $Œ È
.+ " (
.> "% #
œ   %!! $Œ È
 
El lado a crece a razón de 
cm
seg
" (
"% #
  %!! $Œ È
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57
 3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg,
su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg
 a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es
10 y la altura es 8 cm.?
 b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?
 
 +Ñ Z œ 6+2 Z œ 0 +ß 6ß 2a b
 ; 
cm cm
seg seg
+ œ "! œ  # 6 œ "& œ $
.+ .6
.> .>
 
cm
seg
2 œ ) œ "
.2
.>
 
.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2
.> `+ .> `6 .> `2 .>
œ †  †  †
 
.Z .+ .6 .2
.> .> .> .>
œ 62  +2  6+a b a b a b
 
.Z
.>
œ "#!  #  )! $  "&! "a ba b a ba b a ba b
 El volumen crece a razón de 150 cm /seg.
.Z
.>
œ "&! 3
 
 ,ÑE œ #+6  #+2  #62
 
.E `E .+ `E .6 `E .2
.> `+ .> `6 .> `2 .>
œ †  †  †
 
.E .+ .6 .2
.> .> .> .>
œ #6  #2  #+  #2  #+  #6a b a b a b
 
.E
.>
œ %'  #  $' $  &! "a ba b a ba b a ba b
 El área total crece a razón de 66 cm /seg.
.E
.>
œ '' 2
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Ejercicios
 La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El"Ñ
radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono
en ese instante ?
 Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son largo 15 cm., ancho 8#Ñ À
cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece
a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del:
 volumen.+Ñ
 área total si el sólido es sin tapa.,Ñ
 área total si el sólido es con tapa.-Ñ
 Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el$Ñ
radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de
cambio del À
 volumen.+Ñ
 área total , si el cilindro no tiene tapa.,Ñ
 área lateral, si el cilindro tiene tapa.-Ñ
Solución
 El volumen del cono decrece a razón de cm /min."Ñ (#Þ!!! 1 3
 #Ñ
 
 El volumen del sólido rectangular crece a razón de cm /seg.+Ñ $%) 3
 El área total del sólido rectangular decrece a razón de cm /seg si el sólido es sin ,Ñ ( #
 tapa.
 El área total del sólido rectangular crece a razón de cm /seg si el sólido es con tapa.-Ñ &# #
 $Ñ
 El volumen del cilindro crece a razón de cm /seg.+Ñ $)%! 1 3
 El área total del cilindro crece a razón de cm /seg .,Ñ #!) #
 El área lateral del cilindro crece a razón de cm /seg .-Ñ )! #
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 B) Demostraciones
 Sea . Haciendo "Ñ A œ 0 C  B  >ß D  C  > ? œ C  B  > à @ œ D  C  >a b
Demostrar que 
`A `A `A `A
`B `C `D `>
 #   œ !
 con y A œ 0 ?ß @ ? œ C  B  > @ œ D  C  >a b
 
`A `A `? `A `@
`B `? `B `@ `B
œ †  †
 
`A `A `A `A `A
`B `? `@ `B `?
œ  "  ! Ê œ a b a b
 
`A `A `? `A `@
`C `? `C `@ `C
œ †  †
 
`A `A `A `A `A `A
`C `? `@ `C `? `@
œ "   " Ê œ a b a b
 
`A `A `? `A `@
`D `? `D `@ `D
œ †  †
 
`A `A `A `A `A
`D `? `@ `D `@
œ !  " Ê œa b a b
 
`A `A `? `A `@
`> `? `> `@ `>
œ †  †
 
`A `A `A `A `A `A
`> `? `@ `> `? `@
œ  "  " Ê œ  a b a b
 
`A `A `A `A `A `A `A `A `A `A
`B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@
 #   œ   #  #   
 
 
`A `A `A `A
`B `C `D `>
 #   œ !
 Por lo tanto, 
`A `A `A `A
`B `C `D `> #   œ !
 
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 2) Suponga que donde y son constantes. Demostrar que:? œ 0 B  +>ß C  ,> ß + ,a b
 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 Sea y: œ B  +> ; œ C  ,>
 
`? `? `: `? `;
`> `: `> `; `>
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `? `?
`> `: `; `> `: `;
œ +  , Ê œ +  ,a b a b
 
`? `? `: `? `;
`B `: `B `; `B
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `?
`B `: `; `B `:
œ "  ! Ê œa b a b
 
`? `? `: `? `;
`C `: `C `; `C
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `?
`C `: `; `C `;
œ !  " Ê œa b a b
 
 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 +  , œ +  ,
`? `? `? `?
`: `; `: `;
 Por lo tanto, 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 
 3) Para con e , demostrar que:A œ 0 Bß C B œ <-9= C œ <=/8a b ) )
 Œ  Œ  Œ  Œ Œ `A `A `A " `A
`B `C `< < `
 œ 
# # # #
# )
 
`A `A `B `A `C
`< `B `< `C `<
œ †  †
 
`A `A `A
`< `B `C
œ † -9=  † =/8a b a b) )
 Œ  Œ  Œ `A `A `A `A `A
`< `B `B `C `C
œ -9=  # † -9= =/8  =/8
# # #
# #) ) ) )
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`A `A `B `A `C
` `B ` `C `
œ †  †
) ) )
 
`A `A `A
` `B `C
œ †  <=/8  † <-9=
)
) )a b a b
 Œ  Œ  Œ `A `A `A `A `A
` `B `B `C `C
œ < =/8  #< † -9= =/8  < -9=
)
) ) ) )
# # #
# # # # #
 Œ Œ  Œ  Œ " `A `A `A `A `A
< ` `B `B `C `C
œ =/8  # † -9= =/8  -9=
#
# # #
# #
)
) ) ) )
 Œ  Œ Œ  Œ  Œ a b a b`A " `A `A `A
`< < ` `B `C
 œ -9=  =/8  =/8  -9=
# # # #
#
# # # #
)
) ) ) )
 Œ  Œ Œ  Œ  Œ `A " `A `A `A
`< < ` `B `C
 œ 
# # # #
# )
 Por lo tanto, Œ  Œ  Œ  Œ Œ `A `A `A " `A
`B `C `< < `
 œ 
# # # #
# )
Ejercicios
 Si tiene derivadas parciales continuas respecto a"Ñ A œ 0ÐB  Cß B  CÑ
 ? œ B  C ß @ œ B  CÞ
 Pruebe que 
`A `A `A `A
`B `C `? `@
† œ 
# #Œ  Œ 
 Si y con #Ñ + œ 0ÐBß CÑ , œ 1ÐBß CÑ B œ < -9= > à C œ < =/8 >
 Demuestre que y 
a` " `, `, " `+
`< < `> `< < `>
œ œ 
Solución
 
 Se cumple"Ñ
 Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:#Ñ
 y 
`+ `, `+ `,
`B `C `C `B
œ œ 
 
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 Derivada direccional
 La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón
de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con
respecto a puede considerarse como la derivada en la dirección y la derivada parcial con respecto a B B C
puede considerarse como la derivada en la dirección .C
 
 Sea una función de dos variables y sea un vector unitario.D œ 0 Bß C ? œ -9= 3  =/8 4a b p ) )
Entonces la derivada direccional de en la dirección de , denotada por es0 ? H 0 Bß C Àp ? a b
 
 si existe el límiteH 0 Bß C œ
2 Ä !
0 B  2-9= ß C  2=/8  0 Bß C
2
? a b a b a blim ) )
 Si y se obtiene? œ 3 Ê œ ! Ê -9=! œ " à =/8! œ ! Àp )
 H 0 Bß C œ œ
2 Ä !
0 B  2ß C  0 Bß C `0
2 `B
3 a b a b a blim
 Si y se obtiene? œ 4 Ê œ Ê -9= œ !à =/8 œ " À
# # #
p
)
1 1 1
 H 0 Bß C œ œ
2 Ä !
0 Bß C  2  0 Bß C `0
2 `C
4 a b a b a blim
 
 Así, y son casos especiales de la derivada direccional.
`0 `0
`B `C
 
Teorema: Si ),( yxf y sus derivadas parciales son continuas y 
 
 jseni θθµ += cosr , entonces: 
 
 
 θθµ senyxfyxfD yx ),(cos),( +=r 
 
 
 
 
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 Ejemplos
 1) Dada la función , hallar la derivada direccional de en la0 Bß C œ B  C  #B  #C 0a b # #
dirección en el punto ) 1œ # Î$  #ß  &a b
0 Bß C œ #B  # Ê 0  #ß  & œ  #B Ba b a b 
0 Bß C œ #C  # Ê 0  #ß  & œ  "#C Ca b a b 
? œ -9= 3  =/8 4 Ê ? œ  3  4
# # " $
$ $ # #
p pŒ  Œ  È1 1 
H 0  #ß  & œ  #    "#
" $
# #
? a b a b a bŒ   È
H 0  #ß  & œ "  ' $? a b È
 2) Calcular la derivada direccional de en en la dirección de0 Bß C œ C -9=#B Î'ß "a b a b# 1
@ œ $3  %4
p
0 Bß C œ  #C =/8 #B Ê 0 Î'ß " œ  # " =/8 œ  $
$
B B
# #a b a b a b Š ‹ È 1 1
0 Bß C œ #C -9= #B Ê 0 Î'ß " œ # " -9= œ "
$
C Ca b a b a b Š ‹ 1 1
m@m œ *  "' œ & ß @ ? œ Ê ? œ 3  4
@ $ %
m@m & &
p p p p
p
È no es unitario, 
H 0 Î'ß " œ  $  " 
$ %
& &
? a b a bŠ ‹È Œ  Œ 1
H 0 Î'ß " œ 
$ $  %
&
? a b È1
 Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En , la dirección de un‘3
vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À
, ? œ -9= 3  -9= 4  -9= 5! " #
 Sea una función de tres variables y unConcepto À 0 Bß Cß D ? œ -9= 3  -9= 4  -9= 5a b p ! " #
vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de está dada por? Àp
 si existe elH 0 Bß Cß D œ
0 B  2-9= ß C  2-9= ß D  2-9=  0 Bß Cß D
2
?
2Ä!
a b a b a blim ! " #
límite
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Teorema: Si ),,( zyxf es una función de tres variables y 
 
 kji γβαµ coscoscos ++=r , entonces: 
 
 
 γβαµ cos),,(cos),,(cos),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxfD zyx ++=r 
 
 
 
Ejemplos À
 1) Dada la función . Encontrar la derivada direccional de0 Bß Cß D œ B  BC  BD  C  Da b # # #
0 Bß Cß D T  "ß #ß " @ œ #3  4  #5a b a ben en la dirección del vector p
0 Bß Cß D œ #B  C  D Ê 0  "ß #ß " œ  "B Ba b a b 
0 Bß Cß D œ B  #C Ê 0  "ß #ß " œ $C Ca b a b 
0 Bß Cß D œ  B  #D Ê 0  "ß #ß " œ  "D Da b a b 
m@m œ %  "  % œ $ ß @ ? œ Ê ? œ 3  4  5
@ # " #
m@m $ $ $
p p p
p
È no es unitario, 
H 0 Bß Cß D œ  "  $    " 
# " #
$ $ $
? a b a b a b a bŒ  Œ  Œ 
H 0 Bß Cß D œ  "? a b
 2) Hallar la derivada direccional si en en la dirección0 Bß Cß D œ / -9= B  / =/8 C T !ß !ß #a b a bC D
del vector si TU U  #ß "ß #
p a b
0 Bß Cß D œ  / =/8B Ê 0 !ß !ß # œ !B B
Ca b a b 
0 Bß Cß D œ / -9= B  / -9= C Ê 0 !ß !ß # œ "  /C C
C D #a b a b 
0 Bß Cß D œ / =/8 C Ê 0 !ß !ß # œ !D D
Da b a b 
TU œ U T œ  #ß "ß #  !ß !ß # œ  #ß "ß !
Ä a b a b a b
m@m œ %  "  ! œ &ß @ ? œ Ê ? œ  3  4
@ # "
m@m & &
p p p p
p
p
È È È È no es unitario, 
H 0 Bß Cß D œ !   "  /  ! !
# "
& &
?
#a b a b a b a ba b   È È
H 0 Bß Cß D œ
"  /
&
?
#a b È
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Ejercicios
 Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la
dirección o vector.
 el punto es y la dirección +Ñ 0 Bß C œ ß "ß # œ
C $
B  C %
a b a b ! 1
 el punto es y la dirección ,Ñ 0 Bß C œ B  BC  C ß $ß " œ
&
'
a b a b# # ! 1
 el punto es y la dirección -Ñ 0 Bß C œ C  B-9= ÐBCÑ ß !ß ! œ
#
$
a b a b ! 1
 el punto es y el vector .Ñ 0 Bß C œ #B  $BC  C ß "ß  " @ œ 3  4a b a b# # p
 el punto es y el vector /Ñ 0 Bß Cß D œ BE<->1ÐCDÑ ß %ß "ß " @ œ Ò#ß  "ß "Óa b a b p
 el punto es y el vector 0Ñ 0 Bß Cß D œ ß Ð#ß $ß &Ñ @ œ 5
BC
D
a b p
 el punto es y el vector está en la dirección 1Ñ 0 Bß Cß D œ 68ÐB  C  D Ñ ß !ß "ß ! TUa b a b# # Ä
 si yT !ß "ß ! U $ß %ß "a b a b
 el punto es y el vector está en la dirección 2Ñ 0 Bß Cß D œ ß "ß "ß " EF
B  C  D
68ÐB  C  DÑ
a b a bÈ # # # Ä
si yE #ß  "ß " F "ß !ß #a b a b
 
Solución
 +ÑH 0 "ß # œ ,ÑH 0 $ß " œ -ÑH 0 !ß ! œ
# &  ( $ $  "
' # #
? ? ?a b a b a bÈ È È
 .ÑH 0 "ß  " œ  # # /ÑH 0 %ß "ß " œ 0ÑH 0 #ß $ß & œ 
' '
"# #&
? ? ?a b a b a bÈ È 1
 1ÑH 0 !ß "ß ! œ 2ÑH 0 "ß "ß " œ
$ 68$  "
"* $ 68 $
? ? #
a b a bÈ a b
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 Gradientes
 1) De H 0 Bß C œ 0 Bß C -9=  0 Bß C =/8? B Ca b a b a b) )
 œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † Ò -9= ß =/8 ÓB Ca b a b ) )
 œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † ?B C
pa b a b
 
 
El vector jyxfiyxf yx ),(),( + 
 
se conoce como vector gradiente 
 
 jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇=jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇=
 
 
 De #Ñ H 0 Bß Cß D œ 0 Bß Cß D -9=  0 Bß Cß D -9=  0 Bß Cß D -9=? B C Da b a b a b a b! " #
 œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † Ò -9= ß -9= ß -9= ÓB C Da b a b a b ! " #
 œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † ?B C D
pa b a b a b
 
El vector kzyxfjzyxfizyxf zyx ),,(),,(),,( ++ 
 
se conoce como vector gradiente 
 
 kzyxfjzyxfizyxfzyxfzyxfgrad zyx ),,(),,(),,(),,(),,( ++=∇= 
 
 Así ß H 0 Bß C œ ? † f0 Bß C?
pa b a b
 H 0 Bß Cß D œ ? † f0 Bß Cß D?
pa b a b
 Sea la medida en radianes del ángulo formado por los vectores y entonces! ? f0ßp
 , pero ? † f0 œ m?m † mf0m † -9= m?m œ "p p p!
 ? † f0 œ mf0m † -9=p !
 Si entonces alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su! œ !ß -9=! œ "
máximo valor cuando está en la misma dirección y sentido que ? f0p
 
),,(),,(Máx 
),( ),(Máx 
zyxfzyxfD
yxfyxfD
∇=
∇=
µ
µ
r
r
 
 
 Si ° entonces ° alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional! œ ")! ß -9=")! œ  "
alcanza su mínimo valor cuando está en la misma dirección, pero sentido contrario con ? f0p
 
),,(),,(Mín 
),( ),(Mín 
zyxfzyxfD
yxfyxfD
∇−=
∇−=
µ
µ
r
r
 
 
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 Ejemplos À
 1) La temperatura en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano esT Bß C BCa b
X Bß C œ
 C
B  C
a b 
# #
 a) Determine el vector gradiente en el punto T $ß %a b
 b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto
 c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto
 +Ñ X Bß C œ Ê X $ß % œ
#BC #%
B  C '#&
B B
# # #
a b a ba b
 X Bß C œ Ê X $ß % œ
 B  C  #C (
B  C '#&
C C
# # #
# # #
a b a ba ba b
 fX $ß % œ ß
#% (
'#& '#&
a b ” •
 Máx,Ñ H X $ß % œ mfX $ß % m œ  œ
#% ( "
'#& '#& #&
?
# #a b a b ËŒ  Œ 
 -Ñ ? œ œ œ ß
fX $ß % #% (
mfX $ß % m #& #&
#% (
'#& '#&
ß
"
#&
p a ba b
” • ” •
 
 2) Si volts es el potencial eléctrico en cualquier punto en y Z T Bß Cß D Z œ
'!
B  C  D
a b È‘3 # # #
Þ ÀEncontrar
 a) Rapidez de cambio del potencial en el punto en la dirección del vectora b "ß "ß  "
@ œ $3  '4  #5
p
 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto.
 +Ñ Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ œ $
'!B '! #!
B  C  D $ $
$
B B
# # # $
a b a bÉa b È È
 Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ  œ  $
'!C '! #!
B  C  D $ $
$
C C
# # # $
a b a bÉa b È È
 Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ œ $
'!D '! #!
B  C  D $ $
$D
a b a bÉa b È È# # # $ D
 fZ  "ß "ß  " œ $ß  $ß $
#! #! #!
$ $ $
a b ” •È È È
 no es unitario, m@m œ *  $'  % œ ( @ ? œ 3  4  5
$ ' #
( ( (
p p pÈ
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 H Z  "ß "ß  " œ $ß  $ß $ † ß  4 ß 5
#! #! #! $ ' #
$ $ $ ( ( (
? a b ” • ” •È È È
 H Z  "ß "ß  " œ $
##!
#"
? a b È
 Mín,Ñ H Z  "ß "ß  " œ  mfZ  "ß "ß  " m œ  #!? a b a b
 Dirección ? œ œ
fZ  "ß "ß  "
 mfZ  "ß "ß  " m  #!
#! #! #!
$ $ $
$ß  $ß $
p a ba b
” •È È È
 œ  ß 
$ $ $
$ $ $
” •È È È
Ejercicios
 Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto"Ñ
indicado À
 +Ñ 0 Bß C œ B  -9=ÐBCÑ T Ð"ß Î% Ña b # 1
 ,Ñ 0 Bß C œ B C  B  C TÐ$ß %Ña b È
 -Ñ 0 Bß Cß D œ /  D T Ð!ß  $ß "ÑBCa b #
 Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto#Ñ
indicado À
 +Ñ 0 Bß C œ B  BC  C T  "ß "a b a b# #
 ,Ñ 0 Bß Cß D œ ÐB  CÑ  ÐC  DÑ  ÐD  BÑ T #ß  "ß #a b a b# # #
 $Ñ
 La densidad , en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano , es+Ñ ÐBß CÑ BC
H Bß C œ Þ
BC
B  C  $
a b È # #
 Halle la razón de cambio de la densidad en el punto 2,3 en la dirección de +Þ"Ñ œ & Î$Þa b ! 1
 Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese+Þ#Ñ
punto.
 Suponga que la temperatura en cualquier punto está dada,Ñ Bß Cß Da b
por À X Bß Cß D œ B C  CD  /BCa b #
 Determinar la razón de cambio de en el punto P 1,1,1 en la dirección del vector OP donde,Þ"Ñ X a b p
O es el origen del sistema.
 ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?.,Þ#Ñ
 
 El potencial eléctrico es en volts en el plano y -Ñ Z Bß C BC Z Bß C œ $B C  %C  BCa b a b a b $ #
-Þ"ÑDetermine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD
p
con en el punto G #ß " àH 'ß #  "ß  % Þa b a b a b
-Þ#ÑObtener el vector gradiente en este mismo punto.
 Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en-Þ$Ña b "ß  % Þ
 Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en . Con ese vector calcule-Þ%Ñ  "ß  %a b
la derivada direccional en el mismo punto.
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Solución
 "Ñ
 Máx+Ñf0 "ß Î% œ #  ß  H 0 "ß Î% œ
# #
) # )
# †  "' #  "%%a b a b È È È ÈÉ1 11 1 1? #
 Máx,Ñ f0 $ß % œ "ß H 0 $ß % œ
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a b a bŒ  È?
 Máx-Ñ f0 !ß  $ß " œ  $ß !ß # H 0 !ß  $ß " œ "$a b a b a b È?
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 Mín+Ñ f0  "ß " œ  "ß " H 0  "ß " œ  #a b a b a b È?
 Mín,Ñf0 #ß  "ß # œ "!ß %ß "! H 0 #ß  "ß # œ  ' 'a b a b a b È?
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 Máx +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ ? œ ß
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pa b È  È È
 
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 Mín +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ  #/  )/  *? #a b È
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/  # /  # "
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p
# # # È È È
 -Þ"ÑH 0  "ß  % œ 
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"(
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 -Þ#ÑfZ  "ß  % œ  $#ß  $%a b a b
 Máx -Þ$Ñ H 0 #ß $ œ # &%& ? œ  ß 
"' "(
&%& &%&
?
pa b È  È È
 los vectores unitarios ortogonales al gradiente son -Þ%Ñ
    È È È È"( "' "( "'&%& &%& &%& &%&ß   ß
 El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.
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Derivadas Parciales de orden superior
 Si es una función de dos variables, es decir, , entonces y son funciones0 D œ 0 Bß C
`0 `0
`B `C
a b
también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de
segundo orden que se definen como:
 +Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß C  0 Bß C ` 0
`B 2 `B2 Ä !
a b a b a bB B B
BB
#
#
lim
 ,Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2  0 Bß C
`C 2 `C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CC
#
#
lim
 -Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2  0 Bß C ` 0
`C 2 `C`B2 Ä !
a b a b a bB B B
BC
#
lim
 .Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß C  0 Bß C
`B 2 `B`C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CB
#
lim
 : Para funciones continuas . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas.Nota 0 œ 0BC CB
 :Ejemplos
 Dada la función, obtener 0 ß 0 ß 0BB CC BC
 "Ñ 0 Bß C œ #B  $B C  BC  $Ca b $ # # #
 0 œ 'B  'BC  C 0 œ  $B  #BC  'CB C# # #
 0 œ "#B  'C 0 œ #B  'BB CC
 0 œ  'B  #CBC
 
 #Ñ 0 Bß C œ / -9=B  =/8Ca b a bBC
 0 œ C/ -9=B  =/8C  / † =/8BB BC BCa b
 0 œ B/ -9=B  =/8C  / † -9=CC BC BCa b
 0 œ C / -9=B  =/8C  C/ † =/8B  C/ † =/8B  / † -9=BBB # BC BC BC BCa b
 0 œ B / -9=B  =/8C  B/ † -9=C  B/ † -9=C  / † =/8CCC # BC BC BC BCa b
 0 œ / -9=B  =/8C  BC/ -9=B  =/8C  C/ † -9=C  B/ † =/8BBC BC BC BC BCa b a b
 Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables
 Sea una función de tres variables con , y funciones también de tresA œ 0 Bß Cß D
`0 `0 `0
`B `C `D
a b
variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:
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 +Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß Cß D  0 Bß Cß D ` 0
`B 2 `B2 Ä !
a b a b a bB B B
BB
#
#
lim
 ,Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2ß D  0 Bß Cß D
`C 2 `C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CC
#
#
lim
 -Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß Cß D  2  0 Bß Cß D ` 0
`D 2 `D2 Ä !
a b a b a bD D D
DD
#
#
lim
 
 .Ñ