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18/10/2012 Física III MAC II-2012
Física III (sección 1)
(230006-230010)
Ondas, Óptica y Física Moderna
Profesor: M. Antonella Cid
Departamento de Física, Facultad de Ciencias
 Universidad del Bío-Bío
Carreras: Ingeniería Civil Civil, Ingeniería Civil 
Mecánica, Ingeniería Civil Industrial
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18/10/2012 Física III MAC II-2012
∇× E⃗=
−∂ B⃗
∂ t
∇×B⃗=μ0ϵ0
∂ E⃗
∂ t
∇⋅E⃗=0
∇⋅B⃗=0
∇
2 E⃗=
1
c2
∂ E⃗
∂ t
∇2 B⃗=
1
c2
∂ B⃗
∂ t
Ecuaciones de 
Maxwell en el vacío
Ecuación de onda 
electromagnética
en el vacío
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18/10/2012 Física III MAC II-2012
Solución de la ecuación de onda
E⃗=E⃗mcos( k⃗⋅⃗r±ω t±φ)
B⃗=B⃗mcos( k⃗⋅⃗r±ω t±φ)
Al introducir estas 
funciones de onda 
en las ecuaciones 
de Maxwell 
encontramos:
E⃗⊥ k⃗
B⃗=
k⃗×E⃗
ω
El campo eléctrico y el campo magnético oscilan en fase
∣B⃗∣=
∣E⃗∣
c
∣B⃗m∣=
∣E⃗m∣
c
∣⃗k∣=ω
c
vector 
posiciónr⃗
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E⃗
B⃗ k⃗
B⃗=
k⃗×E⃗
ω
Dirección de 
propagación 
de la onda
Campo
eléctrico
Campo
magnético
Dirección de propagación de una OEM
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18/10/2012 Física III MAC II-2012
Energía que transporta una OEM
• La tasa de flujo de energía en una onda electromagnética 
(OEM) es cuantificada por el vector de Poyntingvector de Poynting:
• La magnitud del vector de Poynting representa la tasa a la 
cual la energía fluye a través de una superficie perpendicular 
a la dirección de propagación de la OEM, esto es, la potencia 
por unidad de área.
S⃗=
E⃗×B⃗
μ0
[
NT /C
Tm / A
=
N
ms
=
W
m²
]
E⃗
B⃗ k⃗ , S⃗
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Intensidad de una OEM
S⃗=
E⃗×B⃗
μ0 ∣⃗S∣=
∣E⃗∣∣B⃗∣
μ0
=
∣E⃗∣2
μ0 c
=
c∣B⃗∣2
μ0
∣B⃗∣=
∣E⃗∣
c
• La intensidad de la onda corresponde al promedio temporal 
de la potencia por unidad de área: 
I= S̄=∫0
T
∣⃗S∣dt=
EmBm
2μ0
=
c Bm
2
2μ0
=
ϵ0 c Em
2
2
[
W
m²
]
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Densidad de energía y 
• En un capacitor de placas paralelas cargado, la carga 
almacenada es proporcional a la diferencia de 
potencial
• El trabajo necesario para transferir un incremento de 
carga desde una placa a otra es dado por:
• El trabajo hecho para cargar el capacitor corresponde 
a la energía almacenada en el capacitor
E⃗ B⃗
+Q -Q
A A
d
U E=
Q2
2C
=
QΔV
2
=
C ΔV 2
2
=
ϵ0E
2
(Ad)
2
W=∫0
Q
ΔVdq=
1
C
∫0
Q
qdq=
Q 2
2C
ΔV =Ed
C=
ϵ0 A
d
ΔV =Q /C
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18/10/2012 Física III MAC II-2012
Densidad de energía y 
• Finalmente, la densidad de energía (instantánea) 
asociada a un campo eléctrico será:
• Análogamente, podemos calcular la densidad de 
energía almacenada en el campo magnético de un 
solenoide:
• Para una OEM tenemos :
E⃗ B⃗
uE=
U E
Ad
=
ϵ0E
2
2
uB=
B2
2μ0
uB=
B2
2μ0
=
ϵ0μ0 E
2
2μ0
=
ϵ0 E
2
2
=uE∣B⃗∣=∣E⃗∣c
[J /m3]
[J /m3]
uOEM=uE+uB
uOEM=2uE=2uB
Promediando en un ciclo obtenemos 
la densidad de energía del campo 
electromagnético
ū=
ϵ0 Em
2
2
=
Bm
2
2μ0
I=c ū
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Momento y presión de radiación
• Una OEM transporta energía y también momentum lineal.
• Si el momento es absorbido por una superficie se ejerce una 
presión en esa superficie (fuerza!)
• Maxwell mostró que si la superficie absorbe toda la energía 
incidente U (incidencia normal), el momentum total 
transportado a la superficie es dado por:
• Esto muestra que no sólo las partículas con masa tienen 
momentum lineal, también la radiación electromagnética!
• La presión de radiación para absorción perfecta es dada por:
• El momentum transferido a una superficie reflectora es:
∣p⃗∣=
U
c
p=
∣F⃗∣
A
=
1
A
d∣p⃗∣
dt
=
1
cA
d U
dt
=
P̄
cA
=
I
c
=
S̄
c
∣p⃗∣=2
U
c
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Ejercicios
• En una región del espacio libre el campo eléctrico y el campo magnético en 
un instante determinado de tiempo son: 
 
 
Demuestre que estos campos son perpendiculares y calcule el vector de 
Poynting en ese instante.
• Considere una OEM que se propaga en la dirección x con una longitud de 
onda de 50[m]. El campo eléctrico vibra en el plano xy con amplitud 22.0 
[V/m]. Determine: la frecuencia de la onda, la magnitud y dirección del 
campo magnético cuando el campo eléctrico tiene su valor máximo en la 
dirección y negativa
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Ejercicios
• Una fuente de luz monocromática con una potencia de salida de 60 [W] 
irradia luz uniformemente en todas direcciones con una longitud de onda de 
700 [nm]. Calcule Em y Bm de esta luz a 5 [m] de la fuente
• Una onda electromagnética sinusoidal emitida por un teléfono celular tiene 
una longitud de onda de 35.4 [cm] y una amplitud de campo eléctrico de 
 a una distancia de 250 [m] de la fuente. Calcule la 
frecuencia de la onda, la amplitud del campo magnético y la intensidad de 
la onda
• Un láser de He-Ne emite luz roja visible con una potencia de 3.6 [mW] en 
un haz que posee un diámetro de 4.0 [mm] ¿cuál es la amplitud del campo 
eléctrico? ¿cuál es la densidad media de energía asociada al campo 
magnético? ¿cuál es la energía total contenida en una longitud de 0.5 [m] 
de este haz?
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Ejercicios
• Un puntero láser de 3 [mW] de potencia crea una mancha de 2 [mm] de 
diámetro en la pantalla. Determine la presión de radiación en la pantalla si 
ésta refleja el 70% de la luz incidente
• El sol entrega 1000 [W/m2] de energía a la superficie de la Tierra mediante 
radiación electromagnética. Calcule la potencia total que incide en un techo 
de (8×20) [m2]. Determine la presión de radiación y la fuerza ejercida en el 
techo por dicha radiación.
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