modelo_2

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Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
2.- Un aprovechamiento del Análisis de Varianza en el análisis de regresión 
 
 El aprovechamiento del análisis de varianza está basado en la partición de 
la suma de cuadrados y de los grados de libertad asociados con la variable 
respuesta y. 
 
22
23
24
25
26
27
0 1 2 3 4 5 6 7
yy j −
jj ŷy −
yŷ j −
 
 
De la figura vemos que la variación de una observación respecto de su 
media yyi − puede descomponerse en dos componentes, una componente que 
representa la desviación de la observación respecto de la línea de regresión, dada 
por , y la otra, una desviación del valor ajustado respecto del promedio, 
dado por 
ii ŷy −
yŷi − , es decir, 
 )yŷ()ŷy(yy iiii −+−=− 
 
Puede ser mostrado que 
 ∑∑∑
===
−+−=−
n
1i
2
i
n
1i
2
ii
n
1i
2
i )yŷ()ŷy()yy( (2.1) 
 
∑
=
−
n
1i
2
i )yy( es llamada suma total de cuadrados corregida, denotada por SCT 
∑
=
−
n
1i
2
ii )ŷy( llamada suma de cuadrados del error, denotada por SCE 
∑
=
−
n
1i
2
i )yŷ( llamada suma de cuadrados debida a la regresión, denotada por SCR 
 
De (2.1) podemos ver que SCT = SCR + SCE (2.2) 
 
 
Como formulas de cálculo alternativas podemos usar las siguientes: 
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2
n
1i
2
i ynySCT −= ∑
=
 
 ∑
=
−=
n
1i
2
i
2
i )xx(ˆSCR β 
 por (2.2) SCE=SCT – SCR 
 
 Correspondiente a la partición de la SCT hay una partición asociada a los 
grados de libertad (g. de l.), en efecto, hay n-1 g. de l. asociado con la SCT, 
puesto que hay 1 g. de l. perdido al emplear y como estimador de la media 
poblacional µ . 
 La SCE tiene n-2 g. de . asociada con ella puesto que se han ocupado 2 
grados de libertad en la estimación de los parámetros oβ y . Por diferencia 
tenemos que SCR tiene 1 grado de libertad. 
1β
 Por otra parte, la división de la suma de cuadrados por sus respectivos 
grados de libertad recibe el nombre de cuadrados medios, así: 
1
SCR llamada cuadrado medio debida a la regresión es denotada por CMR. 
2n
SCE
−
 llamada cuadrado medio del error es denotada por CME. 
 Como mencionamos anteriormente el cuadrado medio del error es un 
estimador insesgado de la varianza poblacional , es decir, 2σ [ ] 2CMEE σ= . 
 Además puede ser mostrado que 
 [ ] ∑
=
−+=
n
1i
2
i1
2 )xx(CMRE βσ
Observar que si entonces 01 =β [ ] 2CMRE σ= , luego un contraste para probar si 
 haciendo uso de la técnica del análisis de varianza sería comparar CMR 
con CME. 
01 =β
 
 Si CMR y CME son del mismo orden de magnitud entonces podemos 
pensar que 01 =β
 Si CMR es substancialmente mayor que CME entonces podemos pensar 
que . Este es el principio básico del test de análisis de varianza para la 
hipótesis 
01 ≠β
 
0:H
0:H
11
10
≠
=
β
β
 
cuyo estadístico de prueba está dado por el valor 
 
 
CME
CMRF = 
 
 17
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el cuál bajo tiene distribución F con 1 grados de libertad al numerador y n-2 
grados de libertad al denominador. La hipótesis será rechazada si el valor-p 
dado por: 
0H
0H
 Valor-p = P(F > Fc ) < 0.1 
donde Fc es el valor del estadístico de prueba evaluado por los datos. 
 
 Todos los resultados recién obtenidos pueden ser ordenados en una tabla, 
llamada tabla de análisis de varianza, o tabla ANOVA, cuyo formato es: 
 
Fuente de variación g. de l. S C C M F 
Regresión 
 
Error 
1 
 
n-2 
SCR 
 
SCE 
CMR 
 
CME 
CME
CMRF = 
 
Total n-1 SCT 
 
 
Ejemplo 4 : Considere nuevamente los datos del ejemplo 1, para ejercitar la 
técnica del análisis de varianza. 
 
 Desarrollando el ejemplo con excel se tiene: 
Un primer paso es dibujar el diagrama de dispersión para así tener una idea clara 
sobre que modelo debemos ajustar. 
 
Diagrama Dispersión
y = -10.595x + 342.15
R2 = 0.9875
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Precio
C
an
tid
ad
 
 
Una vez que hemos dibujado el diagrama de dispersión y hemos trazado la 
tendencia sobre los puntos hacemos el análisis de regresión haciendo uso de la 
opción Análisis de Datos. 
 
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Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0.993746364
Coeficiente de determinación R^2 0.987531836
R^2 ajustado 0.985453809
Error típico 6.064997907
Observaciones 8
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de 
libertad
Suma de 
cuadrados
Promedio de 
los 
cuadrados F
Valor crítico 
de F
Regresión 1 17480.7948 17480.7948 475.22564 6.0855E-07
Residuos 6 220.705198 36.7841996
Total 7 17701.5
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
Superior 
95%
Intercepción 342.1501104 6.70106947 51.0590305 3.78658E-09 325.753172 358.547049
Precio -10.59522376 0.48602678 -21.799671 6.08553E-07 -11.7844893 -9.4059582 
 
Discuta la salida en clases, reconociendo previamente los elementos que le son 
familiares. 
 
 
2.1 Medida de la bondad del ajuste. 
 
 En todo lo visto hasta el momento nos hemos preocupado de la estimación 
de los parámetros del modelo, de realizar inferencias respecto de los parámetros y 
también de realizar predicciones de nuevas observaciones. Obviamente tales 
predicciones dependen por un lado de la precisión con que realiza y por otro lado 
del modelo ajustado. 
 Este último hecho puede ser observado a partir del grado de asociación 
lineal que existe entre las variables x e y, la cual puede ser medida por el 
coeficiente de determinación, el que denotaremos por 2R . 
 Se sabe que la variación total de los valores observados alrededor de la 
media está dada por SCT, en que 
 SCT = SCR + SCE 
o 
 
SCT
SCE
SCT
SCR1 += 
 
Observe que SCT mide la variación de los cuando la variable x no es tomada 
en cuenta, en cambio, SCE mide la variación de los cuando un modelo de 
regresión que utiliza la variable independiente x es empleada, luego una medida 
del efecto de x en la reducción de la variación en y está dada por: 
iy
iy
 
 
SCT
SCE1
SCT
SCR
−= 
 
 el cual se conoce con el nombre de coeficiente de determinación. Así 
 19
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SCT
SCR
SCT
SCE1R 2 =−= 
 
 1R0 2 ≤≤
 
2R puede ser interpretado como la reducción proporcional en la variación 
total asociada con el uso de la variable independiente x, así, mientras mayor sea 
el valor de 2R , mayor es la reducción de la variación total por la incorporación de 
la variable independiente x. 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
1) En ocasiones se desea predecir el gasto general basados en el nivel de 
producción. A continuación se muestran registros de gastos generales y 
unidades producidas en diferentes plantas: 
 
Gastos generales: 191 170 272 155 280 173 234 116 153 178 
Unidades produc: 40 42 53 35 56 39 48 30 37 40 
 
a) Desarrolle una ecuación para predecir los gastos. 
b) Pronostique los gastos generales cuando se producen 50 unidades. 
 
 
2) Se han obtenido datos acerca de la producción mensual (en miles de 
unidades) de un cierto tipo de medicamento y sus costos promedios de 
fabricación en US$: 
 
Producción 13 19 17 20 23 10 18 
Costos promedios 36 28 32 25 19 40 31 
 
a) Escriba una ecuación que permita predecir los costos de producción. 
b) Si se producen 11000 unidades ¿Cuál es el valor del costo de fabricación? 
 
 
3) Una compañía de seguros desea determinar el grado de relación que existe 
entre el ingreso familiar y el monto del seguro de vida del jefe familiar, para ello 
registró los siguientes datos. 
 
Ingreso 45 20 40 47 30 25 20 15 35 40 55 55 60 15 30 35 45 
Seguro 70 50 60 50 9055 35 40 65 75 105 110 120 30 40 65 80 
 
a) Encuentre el mejor modelo predictor. 
b) Determine los errores y haga la gráfica. 
 20
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3.0 REGRESIÓN MÚLTIPLE 
 
 Suponga que tenemos una variable respuesta y, la cual puede ser 
explicada por k variables independientes Xi a través del modelo 
 iikk2i21i10i x...xxy εββββ +++++= (3.1) 
 
Modelo llamado de primer orden puesto que es lineal en los parámetros y 
lineal en las variables independientes. 
 Sea 1x , entonces el modelo (3.1) puede ser reescrito como 0i ≡
iikk2i21i10i0i x...xxxy εββββ +++++= (3.2) 
 
Los iε son variables aleatorias que satisfacen los siguientes 
supuestos: 
 
 i) cualquiera sea el valor de x dado. [ ] 0E =ε
 ii) cualquiera sea el valor de x dado. 22 )( εεσ =
iii) ( ) 0, ji =εεσ para ji xx ≠
Además las variables independientes en el modelo 3.2 deben ser no 
correlacionadas. 
Suponiendo que para todo x, la función respuesta para el modelo 
está dada por: 
[ ] 0E i =ε
 [ ] ikk2i21i10i x...xxyE ββββ ++++= 
la cual es representada por un hiperplano. 
 
Los parámetros , j=1,...,k , indican el cambio en la respuesta media jβ [ ]yE 
por una unidad de incremento en la variable independiente , cuando todas las 
otras variables independientes incluidas en el modelo se mantienen constante. 
jX
El modelo (3.1) define un modelo lineal general si los son variables 
aleatorias independientes, distribuidas normal con 
iε
0
i
=εµ y con 
i=1,...,k. 
2
i
2 )( σεσ =
El modelo (3.2) puede ser escrito matricialmente de la siguiente forma: 
 εβ += XY (3.3) 
 donde 
 
 21
Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
 
1nxn
2
1
y
y
y
Y
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
M
 
nxpnk2n1n
k22221
k11211
xxx1
xxx1
xxx1
X
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
L
MLMMM
L
L
 
1
1
0
pxk
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
β
β
β
β
M
 
1nxn
2
1
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ε
ε
ε
ε
M
 
con p=k+1. 
 
 Para encontrar los estimadores de jβ̂ jβ empleamos el método de los 
mínimos cuadrados ordinarios, que consiste en minimizar la suma de cuadrados 
de los errores dada por SCE= ( ) ( )ββ XYXY −− ' . Derivando SCE respecto los p 
parámetros de regresión kβββ ,...,, 10 se obtienen las ecuaciones normales dadas 
por: 
 ( ) Y'XˆX'X =β 
en que 'X es la matriz transpuesta de X y β̂ es el vector px1 de estimadores del 
vector β . 
 De las ecuaciones normales resulta que los estimadores mínimos 
cuadrados del vector de parámetros β está dado por: 
 ( ) Y'XX'Xˆ 1−=β 
 Estos estimadores tienen las propiedades ya mencionadas en los modelos 
de una variable independiente, es decir, son insesgados y de varianza mínima. 
 Si denotamos por Ŷ al vector de valores ajustados, entonces 
 β= ˆXŶ 
y luego el vector de los residuos muestrales será β−=−= ˆXYŶYe . 
 Para emplear la técnica de análisis de varianza usamos las siguientes 
formulas de cálculo: 
 Y'11'Y
n
1Y'YSCT −= donde 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1
1
1
1
M
 
 Y'11'Y
n
1Y'X'ˆSCR −β= 
 
 SCE = SCT-SCR 
 
La tabla de análisis de varianza para el modelo de regresión múltiple está dada 
por: 
 
 
 
 
 22
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 TABLA ANOVA 
Fuente de Variación g. de l. Suma 
Cuadrad. 
Cuad. Medios F 
Modelo o regresión 
Error 
p-1 
n-p 
SCR 
SCE 
CMR 
CME CME
CMRF = 
Total n-1 SCT 
 
 
 
La hipótesis a contrastar es ahora: 
 
 
0sonlostodosNo:H
0...:H
j1
k210
β
βββ ====
 
 
La hipótesis será rechazada si el valor-p dado por: 0H
 Valor-p = P(F > Fc ) < 0.1 
 
donde Fc es el valor del estadístico de prueba evaluado por los datos. 
 
El coeficiente de determinación múltiple está dado por 
 
SCT
SCE
1
SCT
SCR
R 2 −== 
 
y mide la reducción proporcional de la variación total en Y asociada con el uso del 
conjunto de variables independientes . k1 X,...,X
 Se debe tener presente que el valor de 2R aumenta conforme se agregan 
más variables al modelo, es decir, el valor de 2R puede adoptar un valor muy 
cercano a 1 aunque el modelo no contribuya con información a la predicción de y. 
De hecho, 2R es igual a 1 cuando el número de términos del modelo es igual al 
número de datos. 
 En un modelo de regresión múltiple se debe observar el coeficiente de 
determinación ajustado, puesto que es un valor más estable al incorporar varias 
variables independientes al modelo, este valor es dado por la expresión: 
 )R1(
pn
1n1ajustR 22 −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−=− 
 
Ejemplo 5: Los datos que a continuación se muestran corresponden al efecto que 
tiene el tamaño de una cuadrilla de trabajadores (X1) y el nivel de 
bonificación pagada (X2) sobre el puntaje de productividad de la 
cuadrilla Y. 
X1 4 4 4 4 6 6 6 6 
X2 2 2 3 3 2 2 3 3 
Y 42 39 48 51 49 53 61 60 
 
 23
Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
 
a) Escriba las matrices correspondiente al modelo lineal 
εβ += XY 
b) Encuentre la matriz β̂ 
c) Escriba la tabla Anova 
d) Calcule e interprete el coeficiente de determinación múltiple. 
Solución: 
 
a) 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
361
361
261
261
341
341
241
241
X 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
60
61
53
49
51
48
39
42
Y 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
1
0
β
β
β
β 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
8
7
6
5
4
3
2
1
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε 
 
Operando con las matrices tenemos 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
5210020
10020840
20408
X'X 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=−
128
64
128
0
128
160
128
0
128
16
128
80
128
160
128
80
128
816
)X'X( 1 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1026
2058
403
Y'X 
De esta forma 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
250.9
375.5
375.0
β̂ 
 
Así, nuestro modelo ajustado es 21 25.9375.5375.0ˆ XXY ++=
 
La gráfica correspondiente a los puntos y la superficie ajustada la podemos ver en 
la siguiente figura. 
 24
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Gráfico Ejemplo 5
 
Veamos ahora la salida excel para analizar este problema: 
 
Resumen
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0.97878661
Coeficiente de determinación R^2 0.95802322
R^2 ajustado 0.94123251
Error típico 1.87749834
Observaciones 8
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de 
libertad
Suma de 
cuadrados
Promedio de 
los 
cuadrados F
Valor crítico 
de F
Regresión 2 402.25 201.125 57.0567376 0.00036101
Residuos 5 17.625 3.525
Total 7 419.875
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
Superior 
95%
Intercepción 0.375 4.74045093 0.0791064 0.94001642 -11.8106971 12.5606971
X1 5.375 0.6637959 8.09736845 0.00046571 3.6686611 7.0813389
X2 9.25 1.3275918 6.96750309 0.00093658 5.8373222 12.6626778 
 
 
El valor del 2R ajustado es 0.941233, así la variación de la variable puntaje de 
productividad de la cuadrilla es explicada en un 94,1% por el uso de las variables 
tamaño de una cuadrilla de trabajadores (X1) y el nivel de bonificación pagada (X2) 
en el modelo. 
 
 
 
 
 
 25
Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
3.1.- Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis para los Parámetros del 
Modelo 
 
3.1.1.- Matriz de Varianzas y covarianzas de un vector aleatorio. 
 
 Sea 1Y('Y = ... un vector de variables aleatorias, en que cada v.a. 
 , i=1,..., n , tiene varianza y además dos variables aleatorias 
cualesquiera y tienen covarianza 
2Y )Yn
iY )Y( i
2σ
iY jY ( )ji Y;Yσ . De esta forma la matriz de 
varianzas y covarianzas del vector aleatorio Y ,denotada por )Y(2σ está dada 
por: 
 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)Y()Y,Y()Y,Y(
)Y,Y()Y()Y,Y(
)Y,Y()Y,Y()Y(
)Y(
n
2
n2n1
n22
2
21
n1211
2
2
σσσ
σσσ
σσσ
σ
L
MMMM
L
L
 
recordar que 
 )Y,Y()Y,Y( ijji σσ = j,i∀ 
por lo que la matriz de varianzas y covarianzas es simétrica. 
 Por otra parte, como el vector ( ) Y'XX'Xˆ 1−=β el cual es un estimador 
insesgado del vector de parámetros, se tiene que la matriz de varianzas y 
covarianzas de β̂ es calculada mediante la expresión ( ) 212 X'X)ˆ( σβσ −= . Así si 
denotamos la matriz 1)X'X( − como 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
kk1k0k
k11110
k00100
1
ccc
ccc
ccc
)X'X(
L
MOMM
L
L
 
entonces se tiene que 
 j=0,1, ....,k 2jjj
2 c)ˆ( σβσ =
y 
 2ijji c),( σββσ = j,i∀ 
Cuando la varianza de los errores es desconocida, entonces el estimador de 2σ
)ˆ(2 βσ está dado por ( ) CMEX'X)ˆ(S)ˆ(ˆ 122 −== ββσ , de esta forma 
CMEc)ˆ(S jjj
2 =β j=0,1, ....,k 
y 
 CMEc),(ˆ ijji =ββσ j,i∀ 
Ahora bien, dado un nivel de confianza del )%1(100 α− , podemos encontrar el 
intervalo de confianza para el parámetro jβ utilizando la variable aleatoria 
 26
Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
 
)ˆ(S
ˆ
T
j
jj
β
ββ −
= 
con 
 CMEc)ˆ(S jjj =β 
De esta forma el intervalo de confianza del )%1(100 α− para el parámetro está 
dado por 
jβ
 ; )ˆ(Stˆ( joj ββ − ))ˆ(Stˆ joj ββ +
 
donde es un valor tal que 0t
 ( ) α−=≤≤− 1tTtP 00 para n-p grados de libertad 
 
Ahora, para realizar una prueba de hipótesis respecto de algún parámetro 
procedemos de la forma siguiente: 
i) Formular la hipótesis 
0:H
0:H
j1
j0
≠
=
β
β
 
ii) Calcular el valor de la estadística de prueba 
)ˆ(S
ˆ
T
j
j
β
β
= 
iii) Calcular el valor-p, donde valor-p =2P(T > |tc |) 
 
iv) Concluir. 
 
3.2 Intervalos de confianza para [ ]jYE 
 
 Sean los valores observados correspondientes a las variables 
independientes . 
jk2j1j x,...,x,x
k21 X,...,X,X
 Definamos ahora el vector jX mediante j'X = x1( ji xj2 . . . xjk) de modo que 
la respuesta media correspondiente al vector jX es: 
 [ ] β= jj 'XYE 
 
De esta forma, la respuesta media estimada es β= ˆ'XŶ jj , el cual es un 
estimador insesgado de [ ]jYE , puesto que [ ] [ ]jj YEŶE = . 
 La varianza del estimador es dada por jŶ
 j2jj
2 X)ˆ('X)Ŷ( βσ=σ 
donde 
 ( ) 212 X'X)ˆ( σβσ −= 
 
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Apunte de clases preparado por el profesor Sr. Rosamel Sáez Espinoza para su uso en docencia 
El estimador de la varianza , es )Ŷ( j
2σ
 j2jj
2
j
2 X)ˆ(S'X)Ŷ(S)Ŷ(ˆ β==σ 
con 
 ( ) CMEX'X)ˆ(S 12 −=β 
 
Luego, el intervalo de confianza del )%1(100 α− para el [ ]jYE está dado por 
 ; )Ŷ(StŶ( joj − )Ŷ(StŶ joj +
 
donde es un valor tal que 0t
 ( ) α−=≤≤− 1tTtP 00 para n-p grados de libertad. 
 
3.3 Intervalo de Predicción para una nueva observación NY
 
Sea NX un valor específico de la variable X , donde N'X = x1( Ni xN2 . . . xNk). 
Los límites de predicción correspondiente al valor específico NX para un 
nivel de confianza del están dados por: )%1(100 α−
 
 ; )Ŷ(StŶ( Noj − )Ŷ(StŶ Noj +
 
donde es un valor tal que 0t
 ( ) α−=≤≤− 1tTtP 00 para n-p grados de libertad. 
 
Y 
 ( )CMEX)X'X('X1)Ŷ(S N1NN2 −+= 
 
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