Ejercicios Resueltos para Prueba 1 - Gustavo Perales Vivar

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ECONOMETRÍA 
 
 
GUÍA DE 
EJERCICIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marzo 2006 
 
 
 
 
 
ESTA GUÍA TIENE EJERCICIOS DE CONTROL O PRUEBA 
DE LOS PROFESORES 
 
Verónica Gil Aroztegui 
Aldo Lema Navarro 
 
 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
Ejercicio 1.1 
Las siguientes clases de datos constituyen generalmente insumos importantes del análisis cuantitativo y 
econométrico aplicado en Chile: 
 
- Indice de producción industrial de la SOFOFA. 
- Consumo familiar basado en la encuesta de Gastos e Ingresos de los Hogares del INE. 
- Embarques de exportación por países para 2003. 
- Importaciones totales en millones de pesos de 1996. 
- Encuesta cualitativa realizada por el investigador para medir la capacidad ociosa en la rama de textiles. 
- Distribución de la fuerza de trabajo (oferta laboral) femenina por sector económico. 
- PIB total en valores nominales, período 1960-2003. 
- IPSA (Indice de Precios Selectivo de Acciones), base 30 de diciembre de 1980=100. 
- Tasas de desempleo por región a nivel trimestral. 
- Tasas de inflación durante 2003 para los países industrializados. 
- Tasas de crecimiento del PIB de los países industrializados para el período 1980-2003. 
 
Clasifiquelos de acuerdo a su carácter de serie temporal o corte transversal (“cross section”). 
 
 
Ejercicio 1.2 
Determine cuáles de los siguientes modelos son lineales en los parámetros, en las variables o en ambos. 
¿Cuáles de estos modelos son modelos de regresión lineal? 
 
a) Yi = β1 + β2 1/Xi + ui 
b) Yi = β1 + β2 lnXi + ui 
c) ln Yi = β1 + β2 Xi + ui 
d) ln Yi = β1 + β2 lnXi + ui 
e) ln Yi = β1 + β2 1/Xi + ui 
 
 
Ejercicio 1.3 
¿ Corresponden los siguientes modelos a modelos de regresión lineal? ¿Por qué? 
 
a) Y ei
Xi i= + +β β µ1 2 
b) Y
ei Xi
=
+ + +
1
1 2β β µ1
 
c) i
i
i X
Y µββ ++= 1ln 221 
 
d) i
X
i
ieY µββ β +−+= −− )2(21 2)75.0( 
 
e) Y Xi i i= + +β β µ0 1
3 
 
 
Ejercicio 1.4 
Determine si los siguientes modelos no estocásticos son lineales en los parámetros. Si no, ¿es posible, 
utilizando operaciones algebraicas, convertirlos en modelos lineales? 
 
a) Y
Xi i
=
+
1
1β β0
 
b) Y X
Xi
i
i
=
+β β0 1
 
c) Y
ei Xi
=
+ − −
1
1 1β β0
 
 
 
Ejercicio 1.5 (Control 1, 2do. Semestre ’97) 
 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son Verdaderas, Falsas o Inciertas. 
 
a) La econometría es una disciplina que permite dar contenido empírico a las teorías económicas. Por esta 
razón se ha convertido en un instrumento para destruir aquellas teorías que no encuentran apoyo en la 
realidad. 
 
 
 
Ejercicio 1.6 (Control 1, 2do. Semestre ’97) 
 
a) (10 puntos) Usted desea modelar el comportamiento del PIB en Chile. Desarrolle los pasos del método 
econométrico refiriéndose permanentemente a este ejemplo. 
 
b) (5 puntos) Explique la diferencia entre relaciones determinísticas y estocásticas. 
 
c) (5 puntos) De ejemplos que demuestren la diferencia entre una serie de tiempo y una variable cross section. 
 
d) (10 puntos) Defina en forma breve los siguientes conceptos: 
 
 
Ejercicio 1.7 (Control 1, 2do. Semestre 1999) 
 
a) (4 puntos) Explique la relación entre regresión y causalidad 
b) (4 puntos) Explique con un ejemplo la diferencia entre linealidad en los parámetros y linealidad en las 
variables. 
c) Un investigador desea explicar la diferencia de rentabilidad que durante 1998 obtuvieron las acciones 
que componen el IPSA en función de la relación precio-utilidad de cada empresa: 
c1) (2 puntos) ¿se trata de un estudio con datos cross section o series de tiempo? 
c2) (8 puntos) Explique los siguientes conceptos basado en el ejemplo: 
-función de regresión poblacional 
-función de regresión muestral 
-µi 
-ei 
 
d) (5 puntos) Comente la siguiente afirmación: “una relación estadística como la estimada en un modelo de 
regresión implica por sí misma una causalidad entre la variable dependiente y la independiente”. 
 
 
 
2. ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS. 
 
EJERCICIO 2.1. 
 
Suponga una función de demanda por dinero de la forma: 
 
m k yi = . i
β 
donde: 
- mi es la demanda de dinero en términos reales. 
- yi es el ingreso nacional en términos reales. 
- k y β son parámetros. 
 
a) Linealizar la ecuación planteada, adicionando un término de perturbación aleatorio. 
b) Interpretar el significado de β. 
 
Solución. 
 
a) 
µβ eykm ii .= 
 
iiiiii yykeykm i µβαµβ
µβ ++=++== )ln(.)ln(.)ln().ln()ln( 
 
b) 
)ln(
)ln(
i
i
y
m
∂
∂
=β por tanto corresponde a la elasticidad ingreso de la demanda por dinero. Refleja cuanto cambia 
porcentualmente la cantidad demandada real por dinero ante un cambio de 1% en el ingreso nacional real. 
 
 
 
EJERCICIO 2.2 
Dadas las siguientes observaciones correspondientes a un período de 10 años, sobre la cantidad de 
dinero y el ingreso nacional 
 
Años Dinero Ingreso 
 
1 2.0 5.0 
2 2.5 5.5 
3 3.2 6.0 
4 3.6 7.0 
5 3.3 7.2 
6 4.0 7.7 
7 4.2 8.4 
8 4.6 9.0 
9 4.8 9.7 
10 5.0 10.0 
 
a) Representar los puntos en un diagrama de dispersión. 
b) Estimar la regresión de la cantidad de dinero (Y) respecto al ingreso (X), y trazar la línea obtenida 
en el diagrama de dispersión. 
c) Calcular el coeficiente de determinación múltiple (R2) 
 
Solución. 
a) 
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
 
 
b) 
y = 0.5588x - 0.4988
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
 
 
 M (dinero) Y (ingreso) M cuadrado Y cuadrado MY 
1 2 5 4 25 10 
2 2.5 5.5 6.25 30.25 13.75 
3 3.2 6 10.24 36 19.2 
4 3.6 7 12.96 49 25.2 
5 3.3 7.2 10.89 51.84 23.76 
6 4 7.7 16 59.29 30.8 
7 4.2 8.4 17.64 70.56 35.28 
8 4.6 9 21.16 81 41.4 
9 4.8 9.7 23.04 94.09 46.56 
10 5 10 25 100 50 
 
suma 37.2 75.5
 
147 597.03 295.95 
promedios 3.72 7.55 
 
iii YM µββ ++= 21 
∑ === 72.310
2.37
n
M
M i ∑ === 55.710
5.75
n
Y
Y i 
 
587.0
)55.7)(10(03.597
)55.7)(72.3)(10(95.295ˆ
2222 =−
−
=
−
−
=
∑
∑
XX
YXnYX
i
iiβ 
498.0)55.7)(587.0(72.3ˆˆ 21 −=−=−= XY ββ 
 
c) 
( ) ( ) 96.0
)72.3(10147
)55.7(1003.597)587.0(ˆ
)(
)(ˆˆ
2
22
22
222
2
22
2
22
2 =
−
−
=
−
−
=
−
−
==
∑
∑
∑
∑
∑
∑
YnY
XnX
YY
XX
y
x
R
i
i
i
i
i
i βββ
 
 
Ejercicio 2.3 
Una cooperativa agraria desea estimar cómo afecta la cantidad de fertilizante aplicado por hectárea de cultivo 
al volumen de la cosecha anual. Para ello dispone de los datos observados durante los últimos 10 años que se 
muestran en la siguiente tabla. 
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fertilizante (Kg por Ha) 10 12 14 15 19 21 25 28 30 31
Cosecha (Tm por Ha) 45 49 51 55 62 5 69 72 73 79
 
a) Calcule la recta de regresión de la cosecha (C), sobre la cantidad de fertilizante (f), utilizando término 
constante. 
b) Dibuje la recta de regresión anterior junto con los puntos correspondientes a los datos reales. ¿Se ajusta 
bien dicha recta a los valores observados) ¿Observa algún dato que no se ajusta bien a la relación? (dato 
atípico o anómalo). 
c) Se sabe que en el sexto año se produjeron inundaciones en la zona. ¿Cree que este hecho distorsiona los 
resultados estimados anteriormente? 
d) Estime el mismo modelo del apartado (a) sin incluir el dato correspondiente al sexto año. Dibuje la nueva 
recta de regresión junto con los puntos de los datos observados. ¿Se ajusta ahora mejor la estimación a los 
valores observados? 
 
SOLUCIÓN: 
a) debemos encontrar valores para los coeficientes de una recta del tipo ii21i eXˆˆY +β+β= , donde 
X: Fertilizante (Kg / Ha) 
Y: Cosecha (Tm /Ha) 
 
( )
iii
i
i
i
ii
eXY
XY
datosloscalcularparaasíes
XNX
YXXY
x
yx
++=∴
=−=
=++
=
−
−
=
−
−
==
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
422.185.26
85.26ˆˆ
12240(31)(79) ...49)*(1245)*(10 decir, es XY de obtiene se 12240 :Ojo
422.1
5.20*104737
560*5.2012240ˆ
21
22222
ββ
β
 
 
b) 
ATÍPICO 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
10 12 14 15 19 21 25 28 30 31
Fertilizante (Kg/Ha)
C
os
ec
ha
 (T
m
/H
a)
Real
estimada
 
 
c) El valor actual o real del sexto año es un valor atípico pues de no haber existido inundaciones, el modelo predice un 
resultado en las cosechas de 56,7 
 
d) 
( )
( )
( )
ajustedelMedida9843.0667.61935411
8576.535*1778.2
y
xˆ
T.C.S
E.C.SR
eX4757.174.25Y
74.25XˆYˆ
4757.1
44.2094296
55544.2012135ˆ
22
i
2
i
2
22
iii
21
22
→=
−
=
β
==
++=∴
=β−=β
=
−
⋅−
=β
∑
∑
 
 
 
 
Ejercicio 2.4 (Control 1, 1er. Semestre 2000) 
 
a) (7 puntos) Suponga que se estiman las siguientes regresiones mediante MICO. 
 
 iii eXY +⋅+= 21 ˆˆ ββ iii YX εββ +⋅+= 21
~~ 
 
Demuestre que 
)var(
)var(
~
ˆ
2
2
X
Y
=
β
β
 
 
b) (3 puntos) El vector de residuos no está correlacionado con la variable explicativa, pero sí con el valor 
estimado de Y. Comente. 
c) (4 puntos) ¿Puede ser el R² mayor que 1? ¿Y menor que 0? ¿Por qué? 
d) (4 puntos) En la estimación de modelos econométricos, se incluye un término de perturbación estocástica 
µi que reemplaza todas aquellas variables que son omitidas del modelo, pero que afectan a Y. ¿Por qué no se 
introducen estas variables en el modelo explícitamente?. Explique al menos 4 razones. 
 
SOLUCIÓN 
a) 
)Yvar(
)Y,Xcov(
S N
S N
y
xy~
2
Y
XY
2
i
ii
2 ===β ∑
∑
 
)Xvar(
)Y,Xcov(
S N
S N
x
yxˆ
2
X
XY
2
i
ii
2 ===β ∑
∑
 
 
 
 
por lo que: =
β
β
2
2
~
ˆ
)var(
)var(
)var(
),cov(
)var(
),cov(
X
Y
Y
YX
X
YX
= 
b) La afirmación es falsa. Los residuos no están correlacionados ni con la variable explicativa, ni con el valor estimado de Y. 
Cov(X,e)= )e( )X X( 
n
1 )e e( )X X( 
n
1
iiii −=−− ∑∑ 
[ ] [ ] 0 e X 0 
n
1 eX e X 
n
1 iiii =−=−= ∑∑∑ 
 
Como el valor estimado de Y es una combinación lineal de X, 
0 )e ,Ŷ( Cov i = 
 
c) En un modelo con intercepto, por corolario de la derivación mico, siempre se cumple que SCT = SCE+SCR , por lo que el 
R² = SCE/SCT nunca será mayor que 1 ni menor que 0. Sin embargo, si el modelo no tiene intercepto nada garantiza que 
dicha descomposición de cuadrados se cumpla. Por lo tanto, si se dichas expresiones se usan para calcular el R², éste 
podría ser menor que cero o mayor que 1. 
 
d)Variables omitidas. 
Variables omitidas por imposibilidad de cuantificarlas. 
La influencia conjunta de ciertas variables puede ser insignificante o no sistemática (ruido blanco), por lo que basados en 
razones de costo no se justificaría su introducción explícita en el modelo. 
Aleatoriedad intrínseca en Y. 
Errores de medición en las variables. 
Por parsimonia (tener un modelo simple) pueden dejarse variables sin incluir. 
 
 
 
Ejercicio 2.5 
Dadas las variables X e Y, para una muestra de 20 observaciones, las sumas de productos son: 
 1 X Y 
1 20 545 868 
X 19361 21924 
Y 50502 
 
Se consideran dos modelos: 
(i) Yi = β0 + β1 Xi + ui 
(ii) Yi = β Xi + ui 
 
a) Estimar los parámetros de ambos modelos. 
b) Calcular el coeficiente de determinación múltiple (R2) de ambos modelos. 
 
SOLUCIÓN 
a) De la tabla se obtiene: 
n = 20, Σxi = 545, Σxi2 = 19361, Σyi = 868, Σyi2 = 50502 Σxi yi = 21924, ∴ 4.43y
n
x
25.27x i =
Σ
== 
estimación de i) 
( )
3833.0
75.4509
729.1
25.27*2019361
4.43*25.27*2021924ˆ
22221
−=
−
=
−
−
=
−
−
==
∑
∑
∑
∑
xnX
xynYX
x
yx
i
ii
i
iiβ 
844.5325.27*3833.04.43xˆyˆ 10 =+⇒β−=β 
 
estimación de ii) 132.1
19361
21924ˆ
2 =⇒= ∑
∑
i
ii
X
YX
β 
 
b) R2 de ambos modelos ⇒ 
 
( ) ( ) ( )
( )
( ) 045.
8.12830
75.4509132.1ˆ)
005.
8.12830
58.662
4.432050502
75.45093833.0ˆˆ)
2
2
22
2
2
2
22
222
2
2
22
12
=
⋅
==
==
⋅−
−
=
−
−
===
∑
∑
∑
∑
∑
∑
i
i
i
i
i
i
Y
X
Rii
ynY
xnX
y
x
SCT
SCERi
β
ββ
 
 
 
 
Ejercicio 2.6 
Dadas las variables X e Y, las sumas de productos son: 
 1 X Y 
1 22 220 660 
X 3528 9256 
Y 25236 
 
 
a) Estimar por mínimos cuadrados ordinarios (MICO) los parámetros del modelo: 
Yi = β0 + β1 Xi + ui 
b) Calcular el coeficiente de determinación (R2). 
c) Estimar la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores. 
 
a) Tenemos que 
N = 22 
ΣXi = 220 
ΣYi = 660 
ΣXi2 = 3528 
ΣYi2 = 25236 
ΣXY = 9256 
 
10ˆˆ
2
1328
2656ˆ
21
222
=−=
==
−
−
=
∑
∑
XY
XNX
YXnYX
i
ii
ββ
β
 
 
b) 
( )
977.0
YNY
XNXˆ
SCT
SCER
22
i
22
i
2
22 =
−
−β
==
∑
∑
 
 
c) 
( ) 004669.02.6ˆˆ
2.6
20
53125436
202
ˆ
222
2
2
2
2
=
−
==
=
−
=
−
=
−
=
∑∑
∑
XNXx
VAR
SCESCT
n
e
ii
i
σβ
σ
 
( )
( ) ( ) ( )
04669.0
004669.0*10
ˆV10ˆVXˆ,ˆCOV
748686.0
xN
XˆˆVAR
2221
2
i
2
i
2
1
−=
−=
β−=β−=ββ
=
σ
=β
∑
∑
 
 
 
Ejercicio 2.7 
1. El gerente de estudios de la empresa “Cíclica” está interesado en estimar el siguiente modelo: 
(i) Vt = β1 (PIBt)β2 
Donde Vt son las ventas agregadas reales de la empresa y PIBt es el producto interno bruto de la economía, 
también en términos reales. 
a) ¿Es posible estimar el modelo i por MICO?. ¿Por qué?. En caso que la respuesta sea negativa 
explique qué transformaciones realizaría para convertirlo en estimable. 
b) Explique qué entiende por las siguientes expresiones: 
• E(Vt/PIBt). 
• Vt = Vt (estimado) + et 
c) Dado que el Banco Central bajó las tasas de interés, el gerente cree que sería interesante conocer el 
efecto de la tasa de interés sobre las ventas, por lo que propone estimar el siguiente modelo: 
(ii) Vt = eγ2 i 
Al estimar los modelos i y ii, se obtienen los siguientes resultados: 
Modelo i: 
β1 = 500 
β2 = 0.8 R2 = 0.89 
Modelo ii: 
γ2 = 0.8 R2 = 0.89 
c.1) Interprete los coeficientes obtenidos. 
c.2) ¿Son comparables los valores de R2 ? 
c.3) ¿Cuáles son las limitaciones del R2 como indicador de bondad de un estimador? 
SOLUCIÓN 
a. El modelo tal cual esta especificado no es estimable porque no es lineal (el parámetro se encuentra en el exponente) y 
no tiene término estocástico, sino que es una relación deterministica. Para estimarlo: 
• lo primero que debemos hacer es convertirlo en un modelo econométrico, agregandole un término aleatorio ⇒ 
µβ⋅β= e)PIB(V 21t . 
• Como el modelo no es lineal debo linealizarlo aplicandole logarítmos: 
µ+⋅β+β= )PIBln(ln)Vln( 21t 
 
b. 
- E(Vt/ PIBt) : corresponde a la función de regresión poblacional (FRP) y es el lugar lugar geométrico de las esperanzas 
condicionales de Yi dado Xi. 
- µi: es todo lo que afecta las ventas y que no está considerado en el modelo.Es la diferencia entre un valor especifico 
del logaritmo de ventas y el valor que tienen la ventas en promedio para un valor dado del PIB. 
- ei: es el residuo no explicado para la muestra en particular con que se trabaja. Es la diferencia entre un valor específico 
del logaritmo de ventas y el valor predicho por el modelo de regresión. 
- ttt eV̂V += : implica que cualquier valor de ventas de la empresa se puede dividir en dos partes, una parte que 
será explica por el modelo de regresión y un error. 
 
c. 1 
Modelo i. 
β1: corresponde a la estimación de la ordenada en el orígen del modelo i. Es la media de todo lo que influye en el logarítmo 
de las ventas de la empresa y que no es explicado por el logarítmo del PIB. 
β2: 0.8, corresponde a la elasticidad de las ventas respecto al PIB. Indica que por cada 1% de aumento en el PIB, las 
ventas de la empresa aumentan en un 0.8%. 
 
MODELO II 
i2t
i.
t i.)Vln(eV i2 µ+γ=→=
µ+γ
 
γ2: - 0.1 , corresponde a la semielasticidad de las ventas respecto a la tasa de interés. Indica que por cada punto de 
aumento en la tasa de interés, las ventas de la empresa disminuyan en un 0.1%. Al aumentar la tasa de interés aumenta el 
costo de financiamiento para los compradores por lo que se esperaría un efecto negativo en las ventas. 
 
 
c.2. 
No, los R2 de los dos modelos no son comparables, porque el segundo modelo no tiene constante. 
Al no tener constante, la suma de los residuos no necesariamente es cero, y por lo tanto ya no se cumple que 
SCT=SCE+SCR, por lo que si se calcula el R2 de este modelo utilizando la formula tradicional (R2=VE/VT) el resultado no 
necesariamente estará comprendido entre 0 y 1. 
Solamente son comparables si el R2 del segundo modelo se calcula como el coeficiente de correlación entre las ventas y la 
tasa de interés elevado al cuadrado. 
 
c.3El R2 es un coeficiente de bondad de ajuste de los puntos de la muestra a la recta de regresión. A mayor ajuste 
de una muestra mayor R2. Pero no da ninguna pista sobre la relación del estimador con el verdadero valor del 
parámetro. Puedo tener R2 altos para estimaciones muy lejanas del verdadero valor. 
 
 
Ejercicio 2.8 
Considera el siguiente conjunto de posibles especificaciones para la parte sistemática de la función de 
regresión: 
I) Logarítmica Yt = a (X1t)b1 (X2t)b2 
II) Semilogarítmica Yt = exp (a + bXt) 
 Xt = a bY 
III) Inversa Yt = a + b / Xt 
IV) Polinómica Yt = a + b1 Xt + b2 X2t 
 
¿Es necesario hacer alguna transformación para poder estimar por MICO los parámetros de los modelos 
anteriores? ¿Qué interpretación tienen los coeficientes en los distintos casos? ¿Cómo se introduciría 
aleatoriedad en cada especificación? 
 
I) Logarítmica: 
 Este modelo no es lineal en los parámetros, por lo que, si queremos estimar los parámetros a, b1 y b2 por MICO, es 
preciso transformarlo previamente tomando logaritmos: 
 
t22t11t XlnbXlnbaYln ++= 
En este modelo de regresión, los parámetros b1 y b2 recogen las elasticidades de la variable Y respecto a los regresores X1 
y X2, respectivamente: 
 
( ) ( )
( ) 2.1iYE
X
X
YE
Xln
YlnE
b
t
it
it
t
it
t
i =∀∂
∂
=
∂
∂
= 
 
El componente aleatorio debe introducirse multiplicando en el modelo I): 
( ) ( ) t2bt21bt1t XXaY µ= 
 
para que al tomar logaritmos obtengamos: 
tt22t11t lnXlnbXlnbaYln µ+++= 
 
Si, por el contrario, la perturbación se añadiera de forma aditiva en el modelo: 
( ) ( ) t2bt21bt1t XXaY µ= 
 
no sería posible linealizarlo tomando logaritmos y habría que estimar los parámetros a, b1 y b2 mediante técnicas de 
estimación no lineales que no están dentro del alcance de este libro. 
 
II) Semilogarítmica: 
Este tipo de funciones no son lineales en los parámetros, por lo que es preciso transformarlas tomando logaritmos. 
 
 II.1) 
( )
tt
tt
bXaYln
bXaexpY
+=
+=
 
Los coeficientes de este modelo se suelen conocer con el nombre de semielasticidades: 
( ) ( )
( )tt
t
t
t
YE
1
X
YE
bb
X
YlnE
∂
∂
=⇒=
∂
∂
 
 
El componente aleatorio debe introducirse como sigue: 
( )ttt ubXaexpY ++= 
 
y tomando logaritmos, obtenemos el siguiente modelo: 
ttt ubXaYln ++= 
 
II.2) 
t21t
tt
tY
t
XlnY
Xln
bln
1
bln
aln
Y
baX
δ+δ=
+−=
=
 
donde δ1 = ln a/ln b y δ2 = 1/ln b. La pendiente del modelo transformado es, en este caso: 
t
2
t
t
2
t
t
XXln
)Y(E
Xln
)Y(E δ
∂
∂
⇒δ=
∂
∂
 
En lo que se refiere al comportamiento aleatorio, se introduciría en el modelo como sigue: 
( )
tt21t
tutY
t
uXlnY
baX
+δ+δ=
= −
 
 
lo que es equivalente a sumar directamente la perturbación al modelo previamente linealizado. 
 
III) Inversa 
Este modelo es lineal en los parámetros a y b, y no es necesario llevar a cabo ninguna transformación para poder 
estimarlos por MICO. La interpretación del coeficiente b es la habitual en el MRLG, pero teniendo en cuenta que esta 
función establece explícitamente una relación inversa entre la variable Xt e Yt. por lo tanto, 
( ) ( ) 2
t
t
t
2
tt
t X
X
YE
b
X
b
X
YE
∂
∂
−=⇒−=
∂
∂
 
 
IV) Polinómica: 
Esta función también es lineal en los parámetros, y no es preciso transformarla. En lo que se refiere a los coeficientes: 
( )
( )
22
t
t
2
t21
t
t
b2
X
YE
Xb2b
X
YE
=
∂
∂
+=
∂
∂
 
El coeficiente b2 que acompaña a Xt2 recoge la tasa de variación de Yt cuando aumenta la variable Xt 
 
Para introducir aleatoriedad en las especificaciones III) - IV) que no han de sufrir ninguna transformación, basta con sumarle 
al modelo un término de perturbación que satisfaga las condiciones de tener media cero, varianza constante y covarianza 
nula. 
 
 
 
Ejercicio 2.9 
Dada la siguiente información: 
( )
, , ,
, ,
,
X X′ =
− −









−1
0 78741 0 17961 0 03531
0 06028 0 00515
0 00241
 X Y′ =










460
820 9
5227 5
,
,
 
 Yi
2∑ = 12516 N =20 
a) (4 puntos) Estime los parámetros del modelo: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 
b) (4 puntos) Calcule el R2 y el Rc
2 . 
a) Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 










=










−=










−−−
++−
−−
=




















−
−
−−
== −
3
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
5833,0
2151,6
18,30
)5,5227(00241,0)9,820(00515,0)460(03531,0
)5,5227(00515,0)9,820(06028,0)460(17961,0
)5,5227(03531,0)9,820(17961,0)460(78741,0
5,5227
9,820
460
00241,000515,003531,0
00515,006028,017961,0
03531,017961,078741,0
')'(ˆ
β
β
β
β YXXX
 
b) 
[ ] 77,11831
5,5227
9,820
460
5833,021,618,30''ˆ
6465,0
)23)(20(12516
)23)(20(77,11831
'
''ˆ
2
2
2
2
2
=










−=
=
−
−
=
−
−
==
YX
YNYY
YNYX
SCT
SCER
β
β
 
23460
5,5227
9,820
460
3
2 =⇒=⇒










=










=′ ∑
∑
∑
∑
YY
YX
YX
Y
YX i
ii
ii
i
 
6049.0
320
13 )6465.01(646576.01 )1( 222 =





−
−
−−=





−
−
−−=
kn
kRRRC 
 
 
Ejercicio 2.10 
Usted tiene el siguiente modelo: Yi = β1 + β2 Ci + ui 
La variable explicativa sólo puede tomar valores cero o uno. En N1 observaciones tomó el valor cero y en N2 el valor 
uno. El valor medio de la variable dependiente cuando Xi = 0 fue igual a 2 y cuando Xi = 1 fue cinco. Se pide encontrar 
los valores de los estimadores de los coeficientes. 
Total Observaciones- N = N1 + N2 
Entonces si 
5NY5NY5Y1C
2NY2NY2Y0C
2
2N
1
i2ii
1
1N
1
i1ii
⋅=⇒=→=→=
⋅=⇒=→=→=
∑ ∑
∑ ∑
 
Por tanto 21
2
1
1
11
52 NNYYY
N
i
N
i
N
i +=+= ∑∑∑ 
Para calcular 2β̂ , nosotros sabemos que este es 
∑
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
∑
−
−
=β
−
−
=
=β
22
i
iii
2
22
i
iii
2
i
ii
2
CNC
YCYCˆ
es modelo del variables las para caso esteEn 
XNX
YXYX
aeequivalentesquelo
x
yxˆ
 
 
donde calculando cada componente, se obtiene: 
( )
( )
3
2N1N
2N1N3ˆ
2N2N2N1N
2N52N1N22N51N2N5ˆ
2N1N
2N2N1N2N
2N51N22N1N2N5ˆ
tantoloPor
2NC
111000C)iii
2N1N
2NC
2N1N
111000
N
C
C)ii
2N5YYC
Y1Y1Y1Y0Y0Y0Y0YC)i
2
22
22
2
22
2
i
VECES2N
222
VECES1N
2222
i
VECES2NVECES1N
i
2N
1
2N,iii
VECES2N
2N,2N2N,22N,1
VECES1N
1N,1N1N,31N,21N,1ii
==β→
−+
−−+
=β→






+
⋅+−
+−++
=β→
=∴
++++++=
+
=∴
+
++++++
==
⋅==∴
⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
44 344 21 K444 3444 21 K
48476
K
4484476
K
444444 3444444 21
K
44444444 344444444 21
K
 
Por otro lado 1β̂ es equivalente a 
CˆYˆ 21 β−=β→ 
donde = 
( )
( )
( ) 2
2N1N
2N1N2
2N1N
2N21N2ˆ
2N1N
2N3
2N1N
2N51N2ˆ
tantoPor
anteriorcálculopor
2N1N
2N
N
C
Cii
2N1N
YY
2N1N
2N51N2Yi
1
1
i
i
2N
1
i
1N
1
i
=
+
+
−
+
+
=β→
+
−
+
+
=β→
+
==
+
+
=
+
+
=
∑
∑∑
 
 
 
Otra forma de hacerlo es en términos matriciales: 






=






=




















=
= −
22
2
'
1100
1111
X' 
11
11
1.
01
01
')'(ˆ 1
NN
NN
XX
X
YXXX
KK
LLMM
β
 
 
( )
( )












−
−
=












−
−
=
=





−
−
−
=





−
−
−
=−
)1(21
1
1
1
1
1
)1(2)1(2
2
)1(2
2
)1(2
2
2
22
)2(2
1
2
22
22
1' 2
1
NN
N
N
NN
NN
N
NN
N
NN
N
NN
N
NN
NN
NNNNN
NN
NNN
XX
 
 





 +
=












=






















=
∑
∑
25
2512
'
2
1
1
1100
1111
X' '
2
1
1
N
NN
Yi
Yi
YX
Yn
Yn
Y
YX
n
N
M
M
KK
LL
 
 






=








+−=








−+−=








+−−=










+−−=










+
−−
−+
=




 +






−
−
== −
3
2
1
1512
2
ˆ
1
)2(512
2
1
52512
2
12
25225212
1
12
ˆ
12
25
1
2512
1
252512
25
2512
')'(ˆ
121
1
1
1
1
1
1
N
NN
N
NNN
N
NNN
NN
NNNNNN
N
N
NN
NN
N
NN
N
NNN
N
NN
YXXX
NN
N
N
NN
β
β
β
 
 
 
Ejercicio 3.11 
Sea el modelo Yi = β2 Xi + ui ∀ i (1) 
Asumiendo que se cumplenlos supuestos clásicos se calcula ei = Yi - $β 2 Xi y se estima por MICO 
Yi = α2 Xi + α3 ei + εi ∀ i (2) 
a) Definir las matrices en (2) especificando las dimensiones. 
b) Calcular los estimadores MICO de αi. 
c) Calcular el vector de residuos de la regresión (2). 
d) Calcular el R2 de la regresión (2). 
Se debe resolver en forma matricial. Explique cuidadosamente los resultados. 
 
a) Yi = α2 Xi + α3 ei + εi ∀ i (2) 
 
1
2
1
122
1
2
2
1
2
1
1
2
1
×
×
××
















+





















=
















nn
Z
nnnnn
e
e
e
X
X
X
Y
Y
Y
ε
ε
ε
α
α
M
43421
MMM 
 
b) YZZZ ')'(ˆ 1−=α 
1
2
2
1
2
0
0
2
1
2
1
2
1
21
211
0
0
)'(
−
−
−
−








=
























=






































=
∑
∑
∑∑
∑∑
i
i
iii
iii
nn
n
n
e
X
eeX
eXX
e
e
e
X
X
X
eee
XXX
ZZ
321
876
MM












=
∑
∑−
2
2
1
10
01
)'(
i
i
e
X
ZZ 






=






















=
∑
∑
ii
ii
n
n
n
eY
YX
Y
Y
Y
eee
XXX
YZ M
2
1
21
21' 
e
eY
X
YX
eY
YX
e
X
YZZZ
i
ii
i
ii
ii
ii
i
i












=



















==
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑−
2
2
2
2
1
10
01
')'(α̂ 
( ) }
e
eeX
e
eeX
i
iii
i
iii 





=












+=










+=
∑
∑ ∑
∑
∑
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 2
2
2
0
2
2
2
2
2 β
β
β
β
β
α 
 
c) 
















=






















−−
−−
−−
=
















+
+
+
−
















=





















−
















=
















0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ
2
2222
1211
2
222
121
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
M
48476
M
48476
48476
MM
43421
MMMM
n
e
nn
e
e
nnn
Z
nnnn
eXY
eXY
eXY
eX
eX
eX
Y
Y
Y
e
e
e
X
X
X
Y
Y
Y
n
β
β
β
β
β
β
β
ε
ε
ε
 
d) 10...000111
2
2 =
+++
−=−=−= ∑
SCTSCTSCT
SCRR i
ε
 
 
Primero explico Y por X y tomo el residuo, luego explico Y por X la misma X y por el residuo (la parte de Y que no es X) por 
tanto tiene que darme que la explicación es el total de Y. 
 
Ejercicio 3.12 (Prueba 2, 1er. Semestre 2000) 
 
En el siguiente modelo de regresión múltiple: iizixi e Z ˆ X ˆ ˆ Ŷ +β+β+β= 
 
a) (5 puntos) Realice una interpretación del significado de los coeficientes estimados en base al uso de 
diagramas de Ballentine. Distinga los siguientes casos 
i) X y Z son no ortogonales. 
ii) X y Z son ortogonales. 
 
b) (7 puntos) Suponiendo que se cumple ii) demuestre que el R2 de la regresión es la suma de dos 
componentes: uno que mide la capacidad explicativa de la variable X ( 2XR ) y otro que mide la capacidad 
explicativa de la variable Z ( 2ZR ). Ayuda: haga la derivación a partir del calculo de la SCE en base a 
desvíos respecto a la media. ¿Por qué esta distribución es más compleja y menos intuitiva en el caso i)? 
c) (10 puntos) Suponiendo que Z es no ortogonal con X, es decir se cumple i), pero es ortogonal con Y, 
postule el modelo teórico a estimar. ¿Será un modelo de regresión múltiple o uno de regresión simple? 
¿Por qué? Acompañe su explicación con derivación algebraica y diagramas de Ballentine. 
 
 
a) 
X y Z no ortogonales 
YX
Z 
 
 
X y Z ortogonales 
Y
X Z
 
 
{ {
excluyo
sequeX
deEfecto
Contiene
B
excluyo
sequeZ
deEfecto
Contiene
A
iZBi
iXAi
ˆˆ
ZˆˆY
XˆˆY
β≠β
ν+β+β=
ε+β+β=
 
 
b) Si X y Z son ortogonales 
⇔ Cov (X, Z) = 0 ⇔ Σxz = 0 
 
No se utiliza esta información 
- no puede aislarse efectos individuales 
- No se pueden asignar a cada estimador 
[ ]
2
Z
2
X
2
ORIG
2
i
2
i
2
X
iiXi
2
i
2
i
2
Z
2
i
2
i
2
X
2
i
2
i
2
Z
2
i
2
X2
2
i
2
Z
2
i
2
X
Z
X
2
i
2
i
ZX
RRR
tantoloPor
ySCTyxˆSCE
XydecasoelEn
y
zˆ
y
xˆ
y
zˆxˆ
SCT
SCERquesabeSe
zˆxˆSCE
ˆ
ˆ
zxz
xzxˆˆ
ˆx'x'ˆSCE
+=
=β=
ε+β=
β
+
β
=
β+β
==
β+β=⇒






β
β








ββ
ββ=
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
 
 
[ ]
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑ ∑∑
ββ+β+β=
β+ββ+ββ+β
β
β
β+β+β+β=
xzˆˆ2ZˆXˆ
XˆxzˆˆxzˆˆXˆ
ˆ
ˆ
XˆxzˆxzˆXˆSCE
ZX
2
iZ
2
i
2
X
2
Z
2
ZZXXZ
2
i
2
X
Z
X2
ZZXZ
2
iX
 
 
 
YX
Z 
 
c) 
COV (X, Z) ≠ 0 ⇒ ΣXiZi ≠ 0 
COV (Z, Y) = 0 ⇒ ΣXiYi = 0 
 
Y
X Z
 
 
( )
( )2ii2i2i
ii
ii
2
iii
ii
2
i
ii
ii
1
2
iii
ii
2
i
1
zxzx
yz
yx
·
xzx
zxz
yz
yx
zzx
zxx
y'xx'xˆ
∑∑∑
∑
∑
∑∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑∑
−














−
−














=β
−
−
 
 
MULTIPLE SIMPLE 
( )
( )∑ ∑∑
∑∑
∑ ∑∑
∑∑
−
−
=β
−
=β
2
ii
2
i
2
i
iiii
z
2
ii
2
i
2
i
ii
2
i
x
zxzx
yxzx
zxzx
yxz
 ∑
∑=β 2
i
ii
x x
yx
 
 
 
Ejercicio 3.13 (Prueba 1, 2do. Semestre de 2005) 
En términos generales es posible especificar una demanda por dinero de la siguiente forma: M.V(i) = P 
Qλ.Asumiendo que la elasticidad ingreso es unitaria (λ=1), se tiene entonces 
que: )(ifónmonetizaci
PQ
M
== 
 
 
El gráfico de la izquierda muestra la relación 
entre el logaritmo natural del nivel de 
monetización(ln(M/PQ) y la tasa de interés 
nominal para el período 1986.1 a 2005.3 
 
 
 
Dos economistas han dado distinta forma a la 
función f(i), estimando dos modelos para la 
misma variable dependiente: 
 
 
 
 
Modelo 1. 
 Modelo 2. 
Dependent Variable: LOG(M1AN/YN) Dependent Variable: LOG(M1AN/YN) 
Included observations : 231 Included observations : 231 
Variable Coefficient Std. Error Variable Coefficient Std. Error
C -6.786356 0.013381 C -7.139486 0.008665
I -0.178004 0.009794 1/i 0.093122 0.003825
S.E. of regression 0.112090 S.E. of regresión 0.092476 
S.D. dependent var 0.174792 S.D. dependent var 0.174792 
-7.4
-7.2
-7.0
-6.8
-6.6
-6.4
-6.2
0 1 2 3 4 5
I
LO
G
(M
1A
N
/Y
N
)
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
-8.0
-7.6
-7.2
-6.8
-6.4
-6.0
86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
Residual Actual Fitted
-.4
-.2
.0
.2
.4
-7.4
-7.2
-7.0
-6.8
-6.6
-6.4
-6.2
86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
Residual Actual Fitted
 
 
a) (4 puntos) Discuta la bondad relativa y absoluta de ajuste de los modelos. 
b) (4 puntos) Interprete los coeficientes estimados en ambos modelos 
c) (4 puntos) Interprete el gráfico de los residuos reportados para cada modelo. 
c) (5 puntos) ¿Qué criterio emplearía usted para decidirse por uno u otro modelo?. ¿Por qué? 
 
 
a) (4 puntos) Discuta la bondad relativa y absoluta de ajuste de los modelos. 
 
Primer modelo (lineal) 
112090.0ˆ
2
=
−
= ∑
kn
ei
eσ 52.87719449229112090.0)(ˆ
22 =×=−=⇒ knSCR eσ 
174792.0
1
)( 2
=
−
−
= ∑
n
yyi
yσ 17.02701595230174792.0)1(
22 =×=−=⇒ nSCT yσ 
 
 
60.59055244
027015951.7
877194495.2112 =−=−=
SCT
SCRR , esto significa que la variable exógena i explica el 59,1% 
de la volatilidad de la variable monetización. En términos absolutos el ajuste es bueno. 
 
segundo modelo (inverso) 
092476.0ˆ
2
=
−
= ∑
kn
ei
eσ 21.95836462229092476.0)(ˆ
22 =×=−=⇒ knSCR eσ 
174792.0
1
)( 2
=
−
−
= ∑
n
yyi
yσ 17.02701595230174792.0)1(
22 =×=−=⇒ nSCT yσ 
 
 
10.72130921
027015951.7
958364622.1112 =−=−=
SCT
SCRR 
esto implica que la variable independiente 1/i explica el 72,1% de la volatilidad de la variable monetización. En términos 
absolutos el ajuste es bueno. 
 
Como la variable dependiente es la misma en los dos modelos, los R2 se pueden comparar para ver cual es el modelo que 
mejor se ajusta a la muestra. Claramente el segundo modelo es el mejor en términos relativos que el primero 
 
b) (4 puntos) Interprete los coeficientes estimados en ambos modelos. ¿Son significativos? 
 
tt
t
ui
PQ
M
++=











21log ββt
tt
iPQ
M εββ ++=










 1log 21 
 
En el primer modelo 1β es el intercepto el cual muestra el valor del logaritmo de la monetización que no es explicado por 
la tasa de interés y que probablemente dependa de otras variables omitidas que no afectan al comportamiento de la 
perturbación por ser poco relevantes. El valor negativo de este se debe a que la variable M/PQ se encuentra entre 0 y 1 por 
lo que su logaritmo es negativo. 
2β es la pendiente del modelo lineal (considerando la variable dependiente al log de la monetización y no a la 
monetización) . El valor de esta muestra varia la tasa de monetización ante un cambio en la tasa de interés. Su valor en 
esta muestra es negativo lo que implica una relación inversa entre estas variables, resultado acorde con la teoría 
económica. 
 
En el segundo modelo el significado de 1β es distinto al primero ya que esta función no intercepta al eje Y por lo que 1β 
no es el valor del intercepto en el eje Y. La inversa de 1β es el intercepto de la regresión en el eje X. 
La pendiente del modelo inverso no es 2β , es 22
1
ti
β− la cual, como 2β es positivo da un valor negativo para todo el 
rango de la tasa de interés, resultado acorde con la teoría económica. 
 
 
 
 
c) (4 puntos) Interprete el grafico de los residuos reportados para cada modelo. 
 
Hasta los últimos 2 años de la muestra se observa un buen comportamiento de los errores de la regresión, no se ve 
presencia de heteroscedasticidad, autocorrelación , no normalidad ni error de especificación. Pero a fines de 2001 hasta el 
final de la muestra se observa un aumento en los valores de los errores con una tendencia creciente en especial en el 
primer modelo. Esto se debe en parte a que el modelo lineal no estima bien los valores de la monetización cuando la tasa 
de interés es muy baja a diferencia del modelo inverso. Pero como este modelo también presenta un comportamiento 
autocorrelacionado en los últimos años, esto puede deberse a un error de especificación producto de un cambio 
estructural en la economía Chilena debido a la nominalización de la tasa de interés de política monetaria. También puede 
deberse a que las autoridades monetarias han dejado de seguir una política “monetarista” producto de la implementación 
de las metas de inflación en un escenario de baja producción y bajas tasas de interés tanto a nivel local como internacional. 
 
 
d) (5 puntos) ¿Qué criterio emplearía usted para decidirse por uno u otro modelo?. ¿Por qué? 
 
 
El mejor criterio es el modelo que tenga los mejores fundamentos económicos, ya que muchas de las conclusiones que 
podemos sacar de la regresión están ligadas a la muestra que elegimos, y por lo tanto, sin una buena teoría las 
conclusiones que obtendremos pueden ser muy distintas al comportamiento de la variable a explicar en el futuro.