Guia de Ejercicios 2 - Modelo de Regresion Simple

Vista previa del material en texto

Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
 
 
 
 
 
 
 
ECONOMETRÍA 
 
MODELO DE 
REGRESIÓN 
SIMPLE 
 
 
 
 
 
 
 
Profesores: 
 
Verónica Gil Aroztegui 
Aldo Lema Navarro 
 
 
 
 
Marzo 2005 
 
 
 
 
Esta guía está en permanente revisión por lo cual sugerencias o correcciones serán bienvenidas. 
E-mails: vgila@vtr.net y alema@security.cl 
 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE 
 
2.1 Estimadores MICO, supuestos básicos y propiedades. 
 
Ejercicio 2.1.1 
 
Suponga una función de demanda por dinero de la forma: 
 
m k yi = . i
β 
donde: 
- mi es la demanda de dinero en términos reales. 
- yi es el ingreso nacional en términos reales. 
- k y β son parámetros. 
 
a) Linealizar la ecuación planteada, adicionando un término de perturbación aleatorio. 
b) Interpretar el significado de β. 
 
Ejercicio 2.1.2 
Dada la función de producción : 
 (i) Q A Ki = . i
β 
donde A y β son parámetros, Qi es el nivel de producción y Ki es el stock de capital. 
 
Observese que es posible transformar la ecuación (i) en: 
 (ii) ln Qi = ln A + β ln Ki 
 
y cambiando de notación: 
 (iii) qi = a + b ki + µi 
 
donde las variables en minúsculas indican los logaritmos naturales de las correspondientes variables. 
 
a) Plantee la relación entre los coeficientes de (iii) y los de (i). 
b) Justificar la inclusión de la variable aleatoria ut en (iii). 
c) ¿Es posible aplicar mínimos cuadrados ordinarios (MICO) para la estimación de (i)?. ¿Y los parámetros de 
(iii)? 
d) Si se define a= lnA, discutir las propiedades del estimador por MICO de “a” en el caso de que las 
perturbaciones ut cumplan los supuestos clásicos. Discutir las propiedades del estimador de A. 
 
Ejercicio 2.1.3 
Dadas las siguientes observaciones correspondientes a un período de 10 años, sobre la cantidad de dinero y el 
ingreso nacional 
 
Años Dinero Ingreso 
 
1 2.0 5.0 
2 2.5 5.5 
3 3.2 6.0 
4 3.6 7.0 
5 3.3 7.2 
6 4.0 7.7 
7 4.2 8.4 
8 4.6 9.0 
9 4.8 9.7 
10 5.0 10.0 
a) Representar los puntos en un diagrama de dispersión. 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
b) Estimar la regresión de la cantidad de dinero (Y) respecto a la cantidad de dinero (X), y trazar la línea 
obtenida en el diagrama de dispersión. 
c) Calcular el coeficiente de determinación múltiple (R2) 
 
Ejercicio 2.1.4 
Considerando el modelo de regresión simple, es decir, 
 
Yi = β1 + β2 Xi + ui i = 1,2, ...., N. 
 
a) Bajo el supuesto de que la variable explicativa X es no estocástica (fija), demuestre que los estimadores 
MICO son lineales. 
b) Además de dicho supuesto, asuma que la E(ui ) = 0 y demuestre que los estimadores MICO son 
insesgados. 
c) Calcule la varianza de los estimadores MICO. 
d) Calcule la covarianza entre los estimadores MICO de β1 y β2 y estudie los factores que determinan su 
valor y su signo. 
 
 
Ejercicio 2.1.5 
Demostrar que el coeficiente de determinación (R2 ) en el caso de regresión simple es igual al cuadrado del 
coeficiente de correlación (r). 
 
Ejercicio 2.1.6 
Dado el modelo lineal sin intercepto: 
 
Yi = β2 Xi + ui i = 1,2, ...., n. 
 
a) Calcule el estimador MICO de β1 y su varianza. 
b) Mostrar que la ∑ei no necesariamente suman cero. 
c) Mostrar que si el coeficiente de determinación R2 es calculado con la fórmula para el modelo con 
intercepto, puede ser negativo. Proponga la fórmula correcta a aplicar en este caso. 
 
 
Ejercicio 2.1.7 
Teniendo como objetivo la explicación de la producción en Chile en base a datos trimestrales, dos 
economistas especificaron las siguientes ecuaciones para el período 1986-1995: 
• ly = 13.61 + 0.017 tie 
• y = 776066 + 20168 *tie 
 
donde ly= logaritmo natural del PIB 
 tie= variable de tendencia (toma el valor 1 en el primer trimestre de 1986, 2 en el 2do 
trimestre, etc.) 
 
1. Explique el significado del coeficiente que acompaña a la tendencia en cada ecuación. ¿Podría deducir la 
tasa de crecimiento anual promedio de la economía chilena durante referido período? 
2. Comente la siguiente afirmación : “ la contante de la regresión puede interpretarse como el valor que 
estimaría la ecuación para el cuarto trimestre de 1985”. 
 
 
Ejercicio 2.1.8 
 
El modelo de regresión lineal simple a estimar es 
 
 Yi = β1 + β2 Xi + ui. 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
El tamaño de muestra es 25, la varianza de ui es 9 (σ2 = 9), X i∑ = 5 y X i
2∑ = 10 . 
 
Un investigador cree erroneamente que β1 es cero y en vez de usar el estimador MICO, utiliza como 
estimador β* = 
X Y
X
i i
i
∑
∑ 2
 
 
 
b) Calcular el error cuadrático medio de β* 
c)¿Qué valor debe tener β1 para que el investigador crea que β* es tan bueno como βMICO cuando aplica el 
criterio de mínimo error cuadrático medio?. 
 
 
Ejercicio 2.1.9 
 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son Verdaderas, Falsas o Inciertas. 
 
a) El análisis de regresión sirve para verificar si las variables explicativas son las causantes del 
comportamiento de la variable dependiente. 
b) En un modelo de regresión simple si los factores con que se escala la variable dependiente y la variable 
explicativa son iguales, es equivalente estimar los parámetros sin escalar las variables. 
c) Los estimadores MICO siempre son de mínimo error cuadrático medio dentro de los lineales. 
 
 
 
 
Ejercicio 2.1.10 (Control 1, 2do. Semestre ’97) 
 
a) (5 puntos) Usted debe elegir cuál es el mejor entre dos estimadores insesgados de un parámetro. Explique 
que criterio utilizaría para justificar su decisión. 
 
 
 
Ejercicio 2.1.11 (Control 2, 2do. Semestre ’97) 
 
a) (5 puntos) Explique el concepto de sesgo de especificación. 
 
b) (10 puntos) Demuestre que el estimador de la constante ( $β1) es insesgado. Encuentre una expresión para la 
varianza de $β1. 
 
c) (5 puntos) Desarrolle una prueba que permita testear la normalidad de los residuos. 
 
e) (5 puntos) Explique detalladamente por qué en el caso del modelo simple sin constante, el R2 obtenido es 
incomparable con el calculado en el modelo simple con constante. 
 
 
Ejercicio 2.1.12 (Control 1, 1er. Semestre ’97) 
 
1) (25 puntos) Considerando un modelo de regresión simple discuta la validez de los siguientes resultados, 
indicando si son verdaderos o falsos. 
 
a) ∑ei=0 
b) ∑µi=0 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
c) ECM ( iβ̂ )= Var( iβ̂ )+[Sesgo( iβ̂ )]2 
d) COV (X,e) = 0 
e) R2 = r2 donde R2 es el coeficiente de determinación de una regresión de Y en función de X y r es el 
coeficiente de correlación simple entre X e Y. 
 
 
2) (25 puntos) Defina en forma breve los siguientes conceptos: 
• Homocedasticidad o Igual Varianza de µi 
• No Autocorrelación entre las pertubaciones µi 
 
 
Ejercicio 2.1.13 (Control 1, 2do. Semestre ’98) 
 
a) Explique intuitiva y gráficamente el significado de las siguientes ecuaciones: 
(i) Yi = β1 + β2 Xi + ui 
(ii) E(Yi / Xi ) = β1 + β2 Xi 
(iii) i21i X
ˆˆŶ β+β= 
(iv) ii21i eX
ˆˆŶ +β+β= 
 
¿Qué razones llevan a la introducción del término ui en (i)? ¿Y ei en (iv)? Explique detalladamente las 
diferencias entre ui y ei? 
 
b) De 3 ejemplos (distintos a los del libro) de regresiones realizadas con variables provenientes de estudios de 
cross section, de series de tiempo y de pool data. 
 
c) (4 puntos) En el modelo de regresión simple con constante los residuos ei no están correlacionados con $yi . 
Sin embargo, dicha propiedad no se cumple en el modelo que no incluye constante. 
 
 
 
Ejercicio 2.1.14 (Control 1, 1er. Semestre ’99) 
 
a) (15 puntos) Explique intuitiva, gráfica y analíticamente los supuestos clásicos en el modelo de regresión 
lineal. 
b) (5 puntos) ¿Por qué debe formularse el supuesto de normalidad de los residuos? 
c) (5 puntos) Por definición, al minimizar la SCR estamos maximizando el R2 . Entonces, ¿qué finalidad 
tiene este indicador si siempre es máximo? 
 
 
 
Ejercicio2.1.15 (Control 1, 1er. Semestre ’99) 
 
Un economista keynesiano está interesado en estimar la relación entre el aumento salarial y la tasa de 
desempleo. El siguiente gráfico muestra la nube de puntos que vincula estas variables para un determinado 
país. 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
*
 *
*
 *
*
 *
 *
 * *
 *
tasa de desempleo
Aumento
salarial
 
a) (3 puntos) ¿Qué representa la línea en el dibujo? ¿Es la Función de Regresión Muestral o Poblacional? 
 
b) (3 puntos) ¿Qué representan los puntos en el dibujo? 
 
c) Sean los siguientes modelos: 
 i) Yi = β1 + β2 Xi + ui 
 ii) Yi = α1 + α2 (1/Xi )+ ui 
 
c1) (6 puntos) ¿Son lineales en los parámetros y en las variables? Explique detalladamente las diversas 
interpretaciones del concepto de linealidad en el análisis de regresión. 
 
c2) (4 puntos) Si el modelo ii) es el correctoy se estima con el modelo i se genera un sesgo de especificación. 
Comente. 
 
d) (6 puntos) Se estimó el modelo ii) obteniendo los siguientes resultados: 
 
 Yi = -1.43 + 8.27 (1/Xi )+ ei 
Interprete los coeficientes obtenidos. 
 
 
Ejercicio 2.1.16 (Prueba 1, 2do. Semestre ’99) 
 
Un economista desea estimar la pendiente del modelo Yi = α + β Xi + µi en que se cumplen todos los 
supuestos clasicos y propone utilizar el siguiente estimador iYiw * ∑=β 
 
a) Determine bajo que condiciones β* es un estimador insesgado. ¿Qué supuestos clásicos son necesarios? 
b) Calcule la varianza de β*, determinando qué condiciones se deben cumplir para que la misma sea 
mínima. ¿Qué supuestos clásicos son necesarios para el cálculo? 
c) Explique las conclusiones que se derivan de los puntos a y b. 
 
 
 
Ejercicio 2.1.17 (Control 1, 1er. Semestre 2000) 
 
a) (7 puntos) Suponga que se estiman las siguientes regresiones mediante MICO. 
 
 iii eXY +⋅+= 21 ˆˆ ββ iii YX εββ +⋅+= 21
~~ 
Guía Econometria E-250 Introducción 
Prof. Verónica Gil-Aldo Lema 
 
Demuestre que 
)var(
)var(
~
ˆ
2
2
X
Y
=
β
β
 
 
b) (3 puntos) El vector de residuos no está correlacionado con la variable explicativa, pero sí con el valor 
estimado de Y. Comente. 
c) (4 puntos) ¿Puede ser el R² mayor que 1? ¿Y menor que 0? ¿Por qué? 
d) (4 puntos) En la estimación de modelos econométricos, se incluye un término de perturbación estocástica 
µi que reemplaza todas aquellas variables que son omitidas del modelo, pero que afectan a Y. ¿Por qué no se 
introducen estas variables en el modelo explícitamente?. Explique al menos 4 razones. 
 
 
Ejercicio 2.1.19 (Prueba 1, 1er. Semestre 2000) 
 
El modelo de regresión lineal simple a estimar es 
 
 Yi = β1 + β2 Xi + ui. 
 
Un investigador cree erróneamente que β1 es cero y en vez de usar el estimador MICO de β2 que se deriva 
del modelo de regresión simple con intercepto, utiliza el estimador MICO de β2 que se deriva del modelo de 
regresión simple sin intercepto, al que denomina 2
~β . 
 
 
a) (9 puntos) Enumere los supuestos clásicos necesarios par verificar determinadas propiedades de 2
~β . En 
el ejercicio realizado por el investigador ¿cuál supuesto clásico no se cumplió? ¿Por qué? ¿Qué 
consecuencias podría traer en términos de las propiedades del estimador utilizado? Explique intuitiva y 
gráficamente. 
b) (6 puntos) Verificar si 2
~β es un estimador insesgado de β2, planteando en cada paso los supuestos 
respecto a ui utilizados. 
c) (6 puntos) Calcule la varianza de 2
~β , planteando en cada paso los supuestos respecto a ui utilizados. 
Compárela con la varianza del estimador MICO de β2 que se deriva del modelo de regresión simple con 
intercepto. 
d) (3 puntos) ¿Por qué el criterio de mínimo error cuadrático medio carece de aplicabilidad en este 
ejemplo?. ¿Cuándo resulta relevante? 
e) (3 puntos) ¿Por qué en el modelo estimado por el investigador la ∑ei no necesariamente es igual a cero?. 
f) (3 puntos) Mostrar que si el coeficiente de determinación R2 es calculado con la fórmula para el modelo 
con intercepto, puede ser negativo. Proponga la fórmula correcta a aplicar en este caso. 
 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Ejercicio 2.1.20 (Prueba 1, 2do. Semestre 2000) 
En el modelo de regresión lineal simple Yt = β1 + β2 X t + µt, se pretende utilizar el siguiente estimador de 
la pendiente: 
 
∑
=






−
−
−
=β
n
2t 1t
1t
XX
YY
1n
1~ 
 
 
a. (6 puntos) Interprete geométricamente e intuitivamente el estimador β~ 
b. (6 puntos) Muestre que β~ es insesgado. Explicite los supuestos necesarios para esta derivación 
c. (4 puntos) β~ es un estimador ineficiente respecto a MICOβ̂ . Explique por que se produce este resultado 
sin derivar la varianza de β~ . 
 
Ejercicio 2.1.21 (Prueba 1, 2do. Semestre 2000) 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
1. Si los errores µi son correlacionados y heterocedasticos, las estimaciones por MICO de la constante y de 
la pendiente aun serán insesgadas y consistentes, pero no serán eficientes. 
 
2. Si en el modelo de regresión simple no se incluye una constante ya no se cumple que la suma de los 
residuos sea cero, sin embargo, esto no invalida los restantes corolarios del modelo de regresión. 
 
3. Explique porque es necesario suponer E(µi)=0 si siempre que minimizamos la suma de los cuadrados de 
los residuos se obtiene que la sumatoria de los residuos es cero. 
 
4. Pese a que el R2 permite verificar la significancia global de un modelo no es buen criterio para 
seleccionar entre estimadores. 
 
Ejercicio 2.1.22 (Prueba 1, 2do. Semestre 2000) 
 
1. (8 puntos) Suponga que tiene dos estimadores insesgados independientes de un mismo parámetro θ , 
digamos θ̂ 1 y θ̂ 2, con diferentes varianzas v1 y v2. ¿Qué combinación lineal de θ̂ = c1θ̂ 1 + 
c2θ̂ 2, es el estimador insesgado de varianza mínima de θ ? 
 
2. (12 puntos) Se tiene un modelo Yi = βXi + εi. 
 
a) Una regresión alternativa que toma como variable dependiente a X y como independiente a 
Y, daría como resultado un coeficiente para la pendiente igual a 1/β. 
 
b) Un colega le sugiere el estimador para el mismo modelo anterior ∗β̂ = XY / ¿Es este 
estimador mejor que MICO? 
 
3. (10 puntos) Suponga que el siguiente modelo: Yi = β0 + β1D + ui en que D es una variable que 
representa el sexo (hombre=1, mujer=0). El valor promedio de la variable Y para los 20 varones es 3 
y para las 30 mujeres es 2. Además se sabe que la varianza de u es 60. 
 
Calcule los estimadores MICO de los β 
Calcule el estadístico t para verificar la hipótesis que: 3β1= 1,5 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
2.2. Inferencia en el Modelo de Regresión Simple 
 
Ejercicio 2.2.1 (Examen, 1er. Semestre de 1995) 
 
Considere el siguiente modelo: 
Yi = β1 + β2 Xi + ui 
 
donde a priori se sabe que la varianza verdadera de ui es 40 (σ2 = 40). 
Dado una muestra de 10 observaciones, se sabe que Xi∑ = 20 y Xi2∑ = 50. 
Usted está interesado en probar la hipótesis nula de que β2 = 1, versus la hipótesis alternativa de que β2 > 1, 
con un nivel de significación de 5%. Si el verdadero valor de β2 es 4, ¿cuál es la probabilidad de que usted 
rechaze correctamente la hipótesis nula? 
 
 
Ejercicio 2.2.2 
Se dispone de los siguientes datos sobre ingreso personal y ahorro en un país. 
 
 
Suponiendo la regresión Yi = β Xi + ui 
 
a) Encontrar el estimador MICO y su desvío estándar. 
 
b) Verificar que la suma de residuos es distinta de cero. 
 
c) Verificar la hipótesis H0: β = 0,1; H1: β≠0,1. 
 
Si suponemos que Yi = β0 + β1 Xi + ui 
 
d) Estimar β0 y β1 y sus desvíos estándares. Verificar que la propensión 
marginal a ahorrar es significativamente distinta de 0 con un α = 5%. 
 
e) Calcular el coeficiente de determinación múltiple(R2) 
 
 
 
 
Ejercicio 2.2.3 
Considere el siguiente modelo de regresión: 
Yi = β0 + β1 Xi + ui 
 
con los siguientes datos muestrales: 
Yi∑ = 20 Xi∑ = 30 Yi2∑ = 88 2, Xi2∑ = 92 Y Xi i∑ = 59 N= 10 
a) Calcule los estimadores MICO de β0 y β1 y el coeficiente de determinación R2. 
b) Testee la hipótesis H0: β1 = 0.1; H1: β1 < 0. 
 
 
Ejercicio 2.2.4 
En un estudio de consumo agregado se estimó las siguiente ecuación: 
 
C= 12589 + 0,9 Yp 
donde C= consumo agregado; Yp= ingreso permanente (supuestamente bien medido). 
 
Años Ingreso Ahorro 
 
1 940 21 
2 1000 8 
3 1000 20 
4 1100 10 
5 1190 12 
6 1270 41 
7 1350 50 
8 1430 43 
9 1550 59 
10 1670 90 
11 1770 95 
12 1860 82 
13 1970 104 
14 2110 153 
15 2280 194 
16 2390 175 
17 2520 199 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
“Estos resultados refutan la teoría del consumo permanente de Friedman ya que dicha teoría predice una 
constante igual a 0 y los resultados claramente indican que este no es el caso”. Comente. 
 
Ejercicio 2.2.5 
Demuestre que en el modelo de regresión lineal múltiple los residuos son ortogonales a las variables 
explicativas del modelo. 
 
Ejercicio 2.2.6 
Dadas las variables X e Y, para una muestra de 20 observaciones, las sumas de productos son: 
 
 1 X Y 
1 20 545 868 
X 19361 21924 
Y 50502 
 
Se consideran dos modelos: 
(i) Yi = β0 + β1 Xi + ui 
(ii) Yi = β Xi + ui 
 
a) Estimar los parámetros de ambos modelos. 
b) Calcular el coeficiente de determinación múltiple (R2) de ambos modelos. 
c) ¿Puede concluirse que son los parámetros en ambos modelos son significativos individualmente? 
 
 
Ejercicio 2.2.7 
Dadas las variables X e Y, las sumas de productos son: 
 1 X Y 
1 22 220 660 
X 3528 9256 
Y 25236 
 
 
a) Estimar por mínimos cuadrados ordinarios (MICO) los parámetros del modelo: 
Yi = β0 + β1 Xi + ui 
b) Estimar β0 y β1 aplicando las fórmulas vistas para regresión múltiple. 
c) Calcular el coeficiente de determinación múltiple (R2). 
d) Estimar la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores. 
e) Poner a prueba la significación de β1 (nivel de significación de 5%) 
f) Construir intervalos de confianza para al 10%, 5% y 1% de significación. 
g) Poner a prueba la hipótesis: 
H0: β1 = 1,85 
H1: β1 ≠ 1,85 
a un nivel de significación del 5% y 1%. 
 
 
Ejercicio 2.2.8 
Suponga que al estimar una regresión simple (una variable explicativa) con 30 observaciones usted tiene un 
R2= 0,9. Se le pide construir con estos datos un test para la hipótesis nula de que la pendiente del modelo es 0. 
 
 
Ejercicio 2.2.9 
 
Una cooperativa agraria desea estimar cómo afecta la cantidad de fertilizante aplicado por hectárea de cultivo 
al volumen de la cosecha anual. Para ello dispone de los datos observados durante los últimos 10 años que se 
muestran en la siguiente tabla. 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
Año 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fertilizante (Kg por Ha) 10 12 14 15 19 21 25 28 30 31
Cosecha (Tm por Ha) 45 49 51 55 62 5 69 72 73 79
 
a) Calcule la recta de regresión de la cosecha (C), sobre la cantidad de fertilizante (f), utilizando término 
constante. 
 
b) Dibuje la recta de regresión anterior junto con los puntos correspondientes a los datos reales. ¿Se ajusta 
bien dicha recta a los valores observados) ¿Observa algún dato que no se ajusta bien a la relación? (dato 
atípico o anómalo). 
 
c) Se sabe que en el sexto año se produjeron inundaciones en la zona. ¿Cree que este hecho distorsiona los 
resultados estimados anteriormente? 
 
d) Estime el mismo modelo del apartado (a) sin incluir el dato correspondiente al sexto año. Dibuje la nueva 
recta de regresión junto con los puntos de los datos observados. ¿Se ajusta ahora mejor la estimación a los 
valores observados? 
 
 
Ejercicio 2.2.10 
Con la siguiente información: 
Período 1 2 3 4 5 6 7 8 
Yi 19 16 20 22 18 15 12 13 
Xi2 4 5 7 7 9 10 11 12 
Xi3 2 2 8 8 6 6 4 4 
 
a) Estimar por MICO el siguiente modelo lineal: 
Yi = β1 + β2Xi2 + ui 
b) Estimar el mismo modelo utilizando las fórmulas generales de regresión múltiple. 
c) Presentar una Tabla ANOVA con los resultados de la estimación. 
d) Calcular el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de determinación 
múltiple corregido (Rc
2 ). 
d) Efectuar un test de significación del parámetro β2. Comprobar que dicho test tiene un resultado equivalente 
al que surge de efectuar un test F de significación del modelo. 
 
e) Estimar por MICO el siguiente modelo lineal: 
Yi = β1 + β2Xi2 +β3Xi3 + ui 
 
f) Estimar la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores. 
g) Presentar una Tabla ANOVA para el nuevo modelo. 
h) Calcular el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de determinación 
múltiple corregido (Rc
2 ). 
 
 
Ejercicio 2.2.11 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son Verdaderas, Falsas o Inciertas. 
 
a) Si los errores aleatorios de una regresión lineal simple, no se distribuyen en forma normal, el estimador 
MICO, ya no es el mejor estimador lineal e insesgado, pero aún es insesgado. 
 
b) En el modelo de de regresión simple, si se pudiera elegir entre dos muestras de valores para la variable X, 
una de ellas con x i
2 100∑ = y la otra con x i
2 1000∑ = , se elegiría la segunda porque la precisión al estimar 
por MICO sería mayor. 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
c) Supongamos que el valor de la estimación obtenida para la pendiente de una regresión simple es 1,2. Si 
tomaramos distintas muestras sobre la variable Y, se obtendrían otras estimaciones de β2. 
 
d) Usted desea realizar un test de hipótesis sobre si el verdadero valor de la pendiente de un modelo de 
regresión, β2 , es igual a uno. Si σ2 aumenta, entonces ceteris paribus, aumenta la probabilidad de cometer 
error de tipo II. 
 
e) En el modelo de regresión lineal general cuando contrastamos la significatividad individual de una variable 
explicativa y obtenemos el valor del estadístico t = 1,1 podemos concluir que el parámetro estimado asociado 
a dicha variable no es significativamente distinto de cero. 
 
f) La potencia de un test es un concepto similar al de nivel de significancia. 
 
g) La combinación lineal de dos variables aleatorias que se distribuyen chi-cuadrado, también se distribuye 
chi-cuadrado. 
h) El límite en probabilidad de $θ θ= +
c
n , donde c es una constante y n es el tamaño muestral es igual a θ. 
i) Si una hipótesis nula no es rechazada, ésta es verdadera. 
 
j) En el modelo de regresión simple, los test de hipótesis sobre la pendiente de una regresión, están basados 
en la distribución t-student, por tanto se requiere que el estimador de β2 se distribuya normal. 
 
k) En el modelo de regresión simple, si la variable X es no significativa (o sea no se rechaza la hipótesis nula 
de que β2 =0), la estimación puntual para el intercepto será la media muestral de la variable Y. 
 
l) Si el valor absoluto de un parámetro estimado es el doble de su desvío estándar estimado, entonces la 
variable asociada a dicho parámetro no será significativa. 
 
m) En regresión simple con 40 observaciones y R2 = 0,8, puede concluirse que la pendiente del modelo no es 
significativamente distinta de 0. 
 
n) Un intervalo de confianza 95% para β2 será aproximadamente igual a 
o) En un modelo de regresión simple con intercepto si se multiplican ambas variables (X e Y) por un mismo 
factor (por ejemplo λ), las estimaciones obtenidas para los parámetros se mantienen inalteradas. 
 
p) Al probar determinada hipótesis, el valor exacto de significancia (valor p o p-value) obtenido y el nivel 
alcanzado por el estadístico t son conceptos equivalentes. 
 
q) Si el valor p para una prueba de hipótesis es igual a 0.03 esto significa que al 5% se rechaza la hipótesis 
nula. Comente. 
 
r) Los residuos de una regresión de Y respecto a X no están correlacionados con X, perosi lo están con Y. 
 
s) A medida que el tamaño muestral aumenta, el test t debería incrementarse. 
 
 
Ejercicio 2.2.12 
A partir de diez observaciones sobre el consumo de un país y su ingreso, se ha estimado el siguiente modelo 
de regresión: 
Ci = β1 + β2 Yi + ui 
obteniendose los siguientes resultados: 
Ci = 10 + 1,04 Yi + ei 
)ˆ(2ˆ 22 ββ DS±
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
Las varianzas estimadas de los parámetros son 0,625 y 0,022 respectivamente. 
 
a) (4 puntos) Calcular un intervalo de confianza al 95% para β1 
b) (4 puntos) ¿Es β2 significativo? 
c) (4 puntos) Usted cree que es lógico pensar que el verdadero valor de la propensión marginal a consumir es 
uno. Verifique esta hipótesis respecto a la alternativa de que la pendiente de la regresión sea mayor que uno. 
d) (8 puntos) En otro estudio sobre los determinantes del consumo se ha encontrado que el estimador de β2 
toma el valor 1,2. Calcule la probabilidad de que usted esté aceptando que β2 es 1 cuando en realidad es 1,2. 
¿Cuál es la probabilidad de no rechazar correctamente que β2 es uno? 
Identifique estas probabilidades en un gráfico. 
 
 
Ejercicio 2.2.13 
Un investigador estimó por MICO la relación entre las variables X e Y. Obtuvo los siguientes resultados: 
 
(1) Yi= 5 + 2 Xi+ei 
 
Después de estimada la regresión se dio cuenta que, en ciertos casos, era mejor escalar alguna de las variables 
(multiplicándolas por 0,8) de forma que quedaran expresadas en otra base. 
 
a) Calcule los valores de los nuevos coeficientes β1∗ y β2∗ si tanto X como Y son escaladas (es decir cada 
valor de las variables es multiplicado por 0,8 y luego se realiza la regresión) 
 
b) Calcule los valores de los nuevos coeficientes β1∗ y β2∗ si Y es escalado, pero no X . 
 
c) Calcule los valores de los nuevos coeficientes β1∗ y β2∗ si X es escalado, pero no Y. 
 
d) Suponga que el investigador desea saber si la pendiente de la regresión calculada en c) es distinta de cero. 
¿ Cómo es el estadístico t (mayor, menor o igual) respecto al calculado con la regresión original?. Explique 
intuitivamente el resultado obtenido. 
 
e) Grafique las regresiones obtenidas y explique intuitivamente los resultados obtenidos. 
 
 
Ejercicio 2.2.14 
 
Conociendo sus excelentes cualidades como alumno de econometría, un profesor de la facultad lo contrata 
como ayudante de investigación y le propone las siguientes tareas. 
 
a) Su primera tarea consiste en estimar el coeficiente la regresión existente entre dos variables X e Y que 
siguen el siguiente modelo: 
Yi= βXi+ui 
y donde se cumplen los supuestos clásicos para el residuo. 
Ud dispone de los siguientes estimadores insesgados de β2 
 
~ )
)
β =
∑
∑
(
(
X Y
X
i i
i
2 β =
∑
∑
(
(
Y
X
i
i
)
)
 
 i ) Probar que ambos estimadores son insesgados 
 ii) ¿ Cuál de los dos estimadores elegiría?. Justificar rigurosamente. 
 
b) Dado su buen desempeño en la primera tarea, se le encarga seleccionar la mejor estimación posible para la 
pendiente de una regresión entre dos variables X e Y que siguen el siguiente modelo: 
Yi= β1+β2Xi+ui 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
Usted encuentra (buscando en libros) que generalmente se han utilizado dos estimadores para la pendiente, y 
que para una muestra dada, brindan los siguientes resultados 
 
 Estimación de β2 Varianza de β2 estimado R
2 
Estimador 1 5,0 8,0 0,86 
Estimador 2 6,0 4,0 0,43 
 
Como usted no está seguro de cuál es el mejor, solicita ayuda a un amigo, y este le aconseja utilizar la media 
de ambas estimaciones. 
¿ Cuál estimador elegiría usted? 
 
c) El otro ayudante del profesor ha estimado la siguiente regresión por MICO, 
 
(1) Yi= 1767,61+7,48 Xi+ei 
 
donde los desvío standar son 1262,58 y 0,4043 respectivamente. El R2 obtenido es 0,8. 
Dado que el test t para verificar la significatividad de la constante no rechaza la hipótesis nula, el ayudante ha 
estimado el siguiente modelo: 
 
 (2) Yi= 11,71 Xi+ei 
obteniendo un R2 de 0,91. 
Como el R2 es mayor en (2) que en (1), ha optado por (2). ¿Que haría usted? Justifique rigurosamente la 
respuesta. 
 
 
Ejercicio 2.2.15 (Control 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
En el Programa de Estudios de una Universidad se cree que el promedio de nota de los alumnos ha 
disminuido en el tiempo. 
Se toma una muestra de 25 estudiantes del programa y se encuentra que la nota media es 4,7 con un desvío 
standard de 0,3. El promedio histórico obtenido por los alumnos es 5,0. 
 
a) Plantee una prueba de hipótesis que permita comprobar si realmente ha disminuido el promedio histórico. 
Establezca qué estadísticos y tablas deben utilizarse para realizar la prueba. Pruebe la hipótesis para un nivel 
de significancia de 5%. Identifique en un gráfico sus resultados. 
 
b) El director del Programa cree que la verdadera media de notas es 4.85. Calcule la probabilidad de que se 
rechace la hipótesis nula, dado que el director tiene la razón, es decir la hipótesis nula es incorrecta. 
Identifique en un gráfico la probabilidad calculada. 
 
c) Deduzca un intervalo de confianza para el parámetro µ considerando un 99% de confianza. 
 
 
Ejercicio 2.2.16 (Control 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
Un investigador desea aplicar el modelo de mercado a la acción de la empresa XX. Este modelo establece 
que la tasa de retorno de una acción en el momento t, depende de la tasa de retorno de un porfolio del 
mercado en igual período. Es decir, 
 
rit= α +β rm+ ui 
 
donde rit= tasa de retorno de la acción i en el momento t 
 rm= tasa de retorno del porfolio del mercado en t 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 ui = perturbación aleatoria que cumple los supuestos clásicos. 
 
En base a 31 datos trimestrales para la acción XX, el investigador encuentra los siguientes resultados. 
 
LS // Dependent Variable is RETORNO_XX 
Sample : 1989:2 1996:4 
Included observations: 31 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 0.059815 0.026461 2.260488 0.0315 
RETORNO_MERCADO 1.194130 0.156725 7.619266 0.0000 
 
R-squared 0.666870 Mean dependent var 0.142903 
S.E. of regression 0.134236 Sum squared resid 0.522560 
F-statistic 58.05321 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
Parte I 
a) (5 puntos) Realice un test de significancia para los coeficientes y un test de significancia del modelo en su 
conjunto. 
b) (5 puntos) Si el coeficiente β del modelo de mercado es estadísticamente mayor que uno, se dice que la 
acción es agresiva. ¿Fue agresiva la acción de la empresa XX en el período considerado?. 
 
c) (5 puntos) Verifique 
H0: σ2= 0,02; 
H1: σ2 ≠ 0,02. 
 
d) (5 puntos) Para la prueba de hipótesis 
H0: β= 1 
H1: β= 1,2 
 
Calcule la probabilidad de que usted esté aceptando que β2 es 1 cuando en realidad es 1,2. 
¿Cuál es la probabilidad de no rechazar correctamente que β2 es uno? 
Identifique estas probabilidades en un gráfico. 
 
 
Si fuera necesario usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, 
los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
 
Parte II. 
Un amigo le comenta que cree que su modelo está mal especificado ya que no debería incluir el termino 
constante. Como nuestro investigador tiene dudas acerca de incluir o no la constante en el modelo, realiza la 
regresión sin constante obteniendo los siguientes resultados: 
 
 
LS // Dependent Variable is RETORNO_XX 
Sample : 1989:2 1996:4 
Included observations: 31 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
RETORNO_MERCADO 1.340132 0.152264 8.801349 0.0000 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
R-squared ………… Mean dependent var 0.142903 
S.E. of regression 0.143136 Sum squared resid 0.614635a) (7 puntos) Usando toda la información disponible, calcule el R2 del modelo. 
b) (3 puntos) ¿Qué criterio emplearía usted para decidirse por uno u otro modelo?. 
c) (5 puntos) El valor del test t asociado al parámetro β del primer modelo es 7.62, mientras que el asociado 
al parámetro β del segundo modelo es 8.8; explique el por qué de este resultado. 
 
 
Ejercicio 2.2.17 (Control 1, 1er. Semestre de 1998) 
Suponga que el verdadero modelo es Yi = β2 Xi + ui., es decir, β1 =0. El estimador MICO de es 
X Y
X
i i
i
∑
∑ 2
. 
Sin embargo, alguien le sugiere utilizar un estimador alternativo: 
 
a) (10 puntos) Calcule el valor esperado de este estimador, planteando los supuestos estrictamente 
necesarios. 
b) (5 puntos) Sin efectuar derivaciones adicionales, explique por qué el estimador alternativo es “inferior” 
al estimador MICO. 
 
 
Ejercicio 2.2.18 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1998) 
 
a) (5 puntos) Muestre gráfica e intuitivamente que si un coeficiente de una regresión es no significativo para 
un α = 10%, tampoco será significativo para un valor menor. 
 
b) (5 puntos) Usted está interesado en explicar la trayectoria de las ventas de una empresa en función de la 
tasa de interés fijada por el Banco Central. Suponga que pudiera elegir la muestra en diferentes períodos, ¿la 
elegiría para un período en el cual las tasas de interés fueran fluctuantes o para uno en el cual fueran 
relativamente estables? ¿Qué ocurriría con los estimadores MICO de los parámetros de la regresión si fueran 
las ventas de la empresa las que han sido relativamente estables en torno a una constante durante el período 
muestral? 
 
c) (5 puntos) Demuestre que el coeficiente de determinación (R2) es igual al coeficiente de correlación simple 
al cuadrado entre Yi observado e Yi estimado. 
 
 
Ejercicio 2.2.19 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1998) 
 
La Dirección de Asuntos Estudiantiles de la Facultad de Economía y Administración de la PUC ha entregado 
información sobre el desempeño académico de 427 estudiantes en sus primeros seis semestres. La actuación 
individual se mide a través de la variable Promedio Ponderado Acumulado (PPA). 
 
Asimismo, para esta misma muestra se posee información respecto a los siguientes aspectos: 
-Resultado en la parte verbal de la Prueba de Aptitud Académica (PAAV) 
-Resultado en la parte matemática de la Prueba de Aptitud Académica (PAAM) 
-Resultado en la parte específica (matemática) de la Prueba de Aptitud Académica (PAAE) 
 
Con estos datos se han estimado las siguientes regresiones, donde la variable dependiente siempre es PPA. 
 
Variables Modelo A Modelo B Modelo C 
 
X
Y=2β̂
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Constante 3.2 4.0 3.2 
 (0.600) (0.28) (0.31) 
PAAM 0.524 
 (0.057) 
PAAV 0.157 
 (0.028) 
PAAE 0.2 
 (0.026) 
SCR 103.994 115.837 109.18 
SCT 124.599 
El valor entre paréntesis indica el desvío estándar estimado del parámetro correspondiente. 
a) (7 puntos) ¿Qué criterio emplearía usted para decidirse por uno u otro modelo?. ¿Cuál es el mejor modelo 
y por qué? Discuta también bondad absoluta. 
 
 
Considerando el modelo A: 
 
b) (5 puntos) Interprete el significado de los valores obtenidos para los parámetros de la regresión. (Suponga 
que la variable explicativa también fluctúa entre 1 y 7). 
 
c) (5 puntos) Calcule en forma aproximada el valor p resultante al testear H0) β2= 0 en el modelo A. Interprete 
el resultado. 
 
d) (5 puntos) Realice un test de significancia para la constante del modelo y un test de significancia del 
modelo en su conjunto usando la distribución F. 
 
e) (5 puntos) Verifique la hipótesis de que el desvío estándar de la regresión es 0,5. 
 
f) (5 puntos) Pruebe la hipótesis 
H0: β2= 0,5 
H1: β2≠ 0,5 
 
Considerando los tres modelos: 
g) (5 puntos) Sugiera una regresión más general que las presentadas en la Tabla anterior para explicar el 
comportamiento de la variable dependiente. ¿Por qué deberíamos esperar que la regresión sugerida fuera 
“mejor”? 
 
 
 
Ejercicio 2.2.20 (Control 1, 2do. Semestre ’98) 
 
a) (8 puntos) Explique intuitiva y matemáticamente los supuestos de homocedasticidad y no autocorrelación 
de los errores. Utilice gráficos. 
b) (4 puntos) Explique por qué es necesario realizar el supuesto clásico de que el modelo de regresión está 
bien especificado. 
c) (8 puntos) ¿Qué propiedades estadísticas tiene los estimadores MICO bajo el supuesto de normalidad de 
los ui? Explique cuidadosamente. 
d) (5 puntos) ¿Por qué el enfoque de prueba de significancia es complemenario al enfoque de intervalo de 
confianza? 
 
 
 
Ejercicio 2.2.21 (Control 1, 2do. Semestre ’98) 
 
a) Explique como testearía la siguiente hipótesis 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Ho) σ2=1 
H1) σ2≠1 
 
b) ¿Por qué la decisión de rechazo o aceptación de la hipótesis nula depende de la elección del valor elegido 
para α (nivel de significación)? ¿Qué consideraciones efectuaría usted al momento de optar por un 
determinado α? 
 
c) En un modelo de regresión simple con intercepto si se multiplican ambas variables (X e Y) por un mismo 
factor (por ejemplo λ), las estimaciones obtenidas para los parámetros se mantienen inalteradas. 
 
 
 
Ejercicio 2.2.22 (Prueba 1, 2do. Semestre ’98) 
 
Un economista está interesado en explicar la evolución del consumo privado en Chile en el período 1976-
1997. A estos efectos se estimó la siguiente regresión entre el logaritmo natural de dicha variable (LCP) y el 
logaritmo natural del ingreso (LY): 
 
 
LS // Dependent Variable is LCP 
Sample(adjusted): 1976 1997 
Included observations: 22 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 0.081721 ................ ................ 0.8182 
LY 0.968665 0.023066 0.0000 
 
R-squared 0.988786 Mean dependent var 14.81541 
 S.D. dependent var 0.336482 
S.E. of regression ............... F-statistic ................ 
Sum squared resid ............... Prob(F-statistic) ................ 
 
AJUSTE DE LA ECUACIÓN ESTIMADA 
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96
Residuos (ei) Y efectivos (Yi) Yi estimados
 
a) (4 puntos) ¿Puede eliminarse la constante del modelo? ¿Por qué? 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
b) (8 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 95% para el coeficiente asociado al ingreso y pruebe la 
siguiente hipótesis 
 
H0) β2= 0 
H1) β2 ≠ 0 
 
Interprete el resultado. 
c) (5 puntos) ¿Qué significado económico le adjudica a la pendiente del modelo? ¿Es posible afirmar que 
en términos estadísticos es distinta de 1? 
d) (9 puntos) Calcule el R2 y el desvío estándar de la regresión ( σ̂ ). Realice un test de significancia del 
modelo en su conjunto usando la distribución F. 
 
 
Otro economista le sugiere el siguiente modelo alternativo para explicar la evolución del consumo privado en 
Chile. 
 
 
LS // Dependent Variable is LCP 
Sample(adjusted): 1976 1997 
Included observations: 22 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 14.25671 0.052929 269.3534 0.0000 
TIE 0.048582 0.004030 12.05527 0.0000 
 
R-squared 0.879029 Mean dependent var 14.81541 
Adjusted R-squared 0.872981 S.D. dependent var 0.336482 
S.E. of regression 0.119921 Sum squared resid 0.287623 F-
statistic 145.3295 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
donde TIE es una variable de tendencia que toma el valor 1 en el primer año, 2 en el segundo, etc. 
 
AJUSTE DE LA ECUACIÓN ESTIMADA 
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96
Residuos (ei) Y Efectivos (Yi) Y Estimados
 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
e) (4 puntos) Desde un punto de vista estrictamente económico (no estadístico)¿qué modelo preferiría? 
¿Por qué? 
f) (6 puntos) Desde un punto de vista estrictamente estadístico ¿puede corroborar la conclusión obtenida 
en el literal anterior? ¿Qué otros elementos relacionados con la variable explicativa consideraría para 
optar entre un modelo y otro? 
g) (4 puntos) A partir de la observación del comportamiento de los residuos en los gráficos antes 
presentados, discuta el potencial incumplimiento de algún supuesto clásico. 
 
 
Ejercicio 2.2.23 (Prueba 1, 2do. Semestre ’98) 
 
a) Indique que valores de R2 se obtendrían con las siguientes muestras: 
* * *
* * * *
Y
Y
X X
Y
Y
X
 
(1) (2) 
Justifique cuidadosamente su respuesta. 
 
b) ¿Por qué en el modelo de regresión simple sin intercepto la ∑ei no necesariamente es siempre cero. 
c) Suponga que usted dispone de una muestra de tamaño 2 (sólo dos puntos en la muestra) y busca estimar 
una regresión simple. ¿Obtendrá estimaciones únicas para el intercepto y la pendiente del modelo? 
¿Puede calcularse el R2? ¿Por qué? 
d) El estimador β* con varianza V1 proporciona mejores estimaciones que el estimador β** con varianza 
V2, siempre que V1 sea menor a V2. 
e) Con el R2 de un modelo de regresión simple, no sólo se dispone de información respecto al grado de 
ajuste de la ecuación, sino que además es posible verificar si la variable X es significativa. 
f) En el modelo de regresión simple también es posible usar que 
( $ )β β
σ
2 2
2− ∑ xi
∼N(0,1) para 
efectuar un test de hipótesis sobre el parámetro β2. 
g) Los estimadores MICO son variables aleatorias. 
 
h) Para probar que los estimadores MICO son insesgados sólo es necesario suponer que la E(ui )=0 ∀i. 
 
i) Los estimadores MICO son de mínimo error cuadrático medio dentro de los lineales. 
 
j) Para que un modelo esté correctamente estimado se requiere que los errores (ei) sean aleatorios. 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
k) El cuadro que sigue contiene información acerca del estadístico de Jarque-Bera calculado para el residuo 
de una regresión estimada por MICO. Testee la presencia de normalidad en el residuo. ¿Qué propiedades 
estadisticas tienen los estimadores utilizados? 
0
5
10
15
20
25
30
-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
Series: Residuals
Sample 1986:01 1998:06
Observations 150
Mean 4.81E-16
Median -0.002499
Maximum 0.180521
Minimum -0.161703
Std. Dev. 0.051253
Skewness 0.310621
Kurtosis 4.844146
Jarque-Bera 23.66759
Probability 0.000007
 
 
 
 
 
Ejercicio 2.2.24 (Prueba 1, 1er. Semestre ’99) 
 
Luego de la crisis económica internacional de los últimos dos años, un economista está interesado en explicar 
la evolución del retorno en el mercado accionario chileno en base a la trayectoria del retorno accionario en 
países emergentes. A estos efectos, usando datos mensuales y expresados en dólares, estimó la siguiente 
regresión entre el retorno accionario porcentual en Chile obtenido a partir del índice IPSA (RETIPSA) y el 
retorno accionario porcentual de los emergentes obtenido a partir del respectivo índice elaborado por Morgan 
Stanley (RETEM). 
 
LS // Dependent Variable is RETIPSA 
Sample: 1989:11 1999:04 
Included observations: 102 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 1.713255 0.674867 2.538657 0.0127 
RETEM 0.566718 0.102471 5.530498 0.0000 
 
R-squared 0.319721 Mean dependent var 1.621568 
Adjusted R-squared 0.305549 S.D. dependent var 8.008980 
S.E. of regression 6.674182 
Sum squared resid 4276.292 
 F-statistic 22.55933 
 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
AJUSTE DE LA ECUACIÓN ESTIMADA 
-20
-10
0
10
20
-30
-20
-10
0
10
20
30
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Residuos (e) Y efectivo Y estimado
 
 
 
a) (6 puntos) ¿Qué hubiera sucedido con las estimaciones de los parámetros y sus varianzas si los retornos 
en vez de estar expresados en base porcentual hubieran estado expresados en base 1? Justifique 
cuidadosamente su respuesta. 
b) (5 puntos) .¿Qué significado económico a la pendiente del modelo? ¿Y la constante? 
c) (5 puntos) Usando el enfoque de pruebas de significación responda si los parámetros son significativos y 
si es posible afirmar que la pendiente es distinta de 1 en términos estadísticos. 
d) (5 puntos) Calcule intervalos de confianza al 95% para los parámetros del modelo. Ratifique las 
respuestas que entregó en literal anterior. 
e) (4 puntos) ¿Qué opina sobre el valor absoluto de la constante? ¿Le parece razonable? ¿Cuál es su 
conclusión general sobre el comportamiento de las acciones chilenas en los últimos años? 
f) (6 puntos) Estime el valor de σ2 usando un estimador insesgado de este parámetro. Construya un 
intervalo de confianza para el mismo. Utilice α = 5%. 
g) (4 puntos) A partir de la observación del comportamiento de los residuos en el gráfico antes presentado, 
discuta el potencial incumplimiento de algún supuesto clásico. 
 
 
Ejercicio 2.2.25 (Prueba 1, 1er. Semestre ’99) 
 
Un investigador desea estimar el siguiente modelo: 
 
(i) Yi = β Xi + ui 
con 
X no estocástica 
E(ui ) = 0 ∀ i 
V(ui) = σ2 
E(ui ui) = 0 ∀ i, j 
Ausencia de errores de especificación. 
y utiliza como estimador β* = 
Y
X
i
i
∑
∑
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
a) (4 puntos) Verificar si β* es un estimador insesgado de β, explicitando en cada paso los supuestos 
requeridos. 
 
b) (7 puntos) Calcular la varianza de β*, explicitando en cada paso los supuestos requeridos. 
 
c) (8 puntos) Desarrolle el procedimiento para encontrar el estimador MICO de β y su varianza, explicitando 
en cada paso los supuestos requeridos. 
d) (4 puntos) Compare la varianza de β* con la varianza MICO. ¿Podría haber llegado a la misma conclusión 
sin haber realizado ninguno de los tres pasos anteriores? ¿Por qué? 
 
 
Ejercicio 2.2.26 (Prueba 1, 1er. Semestre ’99) 
 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son verdaderas, falsas o inciertas. Justifique 
cuidadosamente su respuesta. 
 
a) (3 puntos) La econometría es una disciplina que permite dar contenido empírico a las teorías económicas. 
Por esta razón se ha convertido en un instrumento para destruir aquellas teorías que no encuentran apoyo 
en la realidad. 
b) (3 puntos) Al minimizar la suma de cuadrados residuales ya se garantizan ciertas propiedades sobre los 
residuos. Entonces, ¿por qué son necesarios los supuestos clásicos? 
c) (3 puntos) ¿Por qué la prueba de bondad global del modelo basado en el Análisis de Varianza es poco 
relevante en la regresión simple? 
d) (3 puntos) ¿Por qué el R2 se considera una medida de bondad absoluta del modelo y una medida de 
bondad relativa entre modelos? 
e) (8 puntos) Usted está interesado en explicar la trayectoria de Y en función de X. Suponga que pudiera 
elegir la muestra en diferentes períodos, ¿la elegiría para un período en el cual X tuviera alta volatilidad o 
para uno en el cual fuera relativamente estable? ¿Por qué? Si X fuera relativamente estable, qué otra 
condición exigiría para sentirse más confiado con los resultados obtenidos?¿Qué ocurriría con los 
estimadores MICO de los parámetros de la regresión si fuera Y la que ha sido relativamente estable en 
torno a una constante durante el período muestral? ¿Serían ambos iguales a cero? ¿Y que R2 aproximado 
se obtendría? 
 
Ejercicio 2.2.27 (Examen 1, 1er. Semestre ’99) 
 
a) (5 puntos) A partir de la observación del conjunto de puntos presentados en el gráfico siguiente puede 
concluirse que existe una relación estadísticamente significativa entre la variable dependiente Y y la 
variable explicativa X. Comente. 
 
 
b) (5 puntos) Existe discrepancia entre economistas respecto al efecto de la tasa de interés sobre la 
evolución de la actividad económica. Mientras algunos analistas plantean que dicha variable es muy 
significativapara explicar el crecimiento económico considerando datos trimestrales, otros –en base a 
resultados con datos anuales- argumentan su irrelevancia. ¿Cómo podría justificar esta discrepancia 
desde un punto de vista puramente econométrico (no de teoría económica)? Si le ayuda, discuta estos 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
planteamientos en base a un modelo de regresión simple que tenga como variable dependiente el 
crecimiento económico (g) y como independiente la tasa de interés (r)? 
 
 
Ejercicio 2.2.28 (Prueba 1, 2do. Semestre ’99) 
 
Un profesor de Econometría cree que el resultado obtenido por sus alumnos en la primera prueba es el 
principal determinante de la nota final del curso. 
Para probarlo realiza regresiones utilizando datos de 336 alumnos donde explica la nota final obtenida por 
los alumnos por los resultados de la primera prueba (Regresion 1), de la segunda prueba (regresión 2) y de la 
tarea (regresión 3). 
 
Regresión 1 
LS // Dependent Variable is NF 
Sample(adjusted): 1 336 
Included observations: 336 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 2.470361 0.129141 .............. ............ 
P1 .............. 0.028109 17.37977 ........... 
 
R-squared .............. Mean dependent var ............... 
S.D. dependent var .............. S.E. of regression 0.539855 
Sum squared resid .............. 
 
Regresión 2 
LS // Dependent Variable is NF 
Sample(adjusted): 1 336 
Included observations: 336 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 2.103962 0.139911 15.03784 0.0000 
P2 0.530173 0.028462 18.62750 0.0000 
 
R-squared 0.509533 Mean dependent var 4.655658 
S.D. dependent var 0.743879 S.E. of regression 0.521742 
Sum squared resid 90.91987 
 
Regresión 3 
LS // Dependent Variable is NF 
Sample(adjusted): 1 336 
Included observations: 336 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 3.403362 0.161508 21.07247 0.0000 
T 0.245936 0.030863 7.968695 0.0000 
 
R-squared 0.159749 Mean dependent var 4.655658 
S.D. dependent var 0.743879 S.E. of regression 0.682898 
Sum squared resid 155.7609 
a. (4 puntos) Complete la salida de Eviews para la regresión 1. 
b. (4 puntos) ¿Qué criterio emplearía usted para decidirse por uno u otro modelo?. ¿Cuál es el mejor 
modelo y por qué? 
c. (6 puntos) Interprete cuidadosamente los coeficientes obtenidos y su significancia estadistica. ¿Coinciden 
con los resultados esperados? 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
d. (4 puntos) En base a los resultados anteriores ¿cree usted que se está violando algún supuestos clásico? 
Justifique, indicando su efecto sobre los estimadores. 
e. (2 puntos) El profesor siempre ha creido que la nota de la tarea no debe incluirse para el calculo de la 
nota de aprovación .¿La evidencia encontrada justifica este procedimiento? 
f. (5 puntos) Realice un intervalo de confianza para σ2 en base a la información de la Regresión 1. 
g. (5 puntos) Sugiera una regresión más general que las presentadas en la Tabla anterior para explicar el 
comportamiento de la variable dependiente. ¿Por qué deberíamos esperar que la regresión sugerida fuera 
“mejor”? 
 
Ejercicio 2.2.28 (Prueba 1, 2do. Semestre ’99) 
 
a) (10 puntos) Explique intuitivamente y demuestre matematicamente por qué cuando la hipótesis a probar 
es: 
H0: β2 = 0 
H1: β2 ≠ 0 
Es equivalente utilizar un test t o un test F. 
 
 
b) ( 5 puntos) Explique por que es necesario el supuesto de normalidad del residuo. ¿Qué test utilizaría para 
testear la presencia de normalidad? 
 
c) (8 puntos) ¿Por qué en el modelo de regresión simple sin intercepto la ∑ei no necesariamente es siempre 
cero?.Explique la implicancia de este resultado en el cálculo del R2. 
 
 
Ejercicio 2.2.29 (Prueba 2, 1er. Semestre 2000) 
 
En el siguiente modelo de regresión múltiple: iizixi e Z ˆ X ˆ ˆ Ŷ +β+β+β= 
 
a) (5 puntos) Realice una interpretación del significado de los coeficientes estimados en base al uso de 
diagramas de Ballentine. Distinga los siguientes casos 
i) X y Z son no ortogonales. 
ii) X y Z son ortogonales. 
 
b) (7 puntos) Suponiendo que se cumple ii) demuestre que el R2 de la regresión es la suma de dos 
componentes: uno que mide la capacidad explicativa de la variable X ( 2XR ) y otro que mide la capacidad 
explicativa de la variable Z ( 2ZR ). Ayuda: haga la derivación a partir del calculo de la SCE en base a 
desvíos respecto a la media. ¿Por qué esta distribución es más compleja y menos intuitiva en el caso i)? 
c) (10 puntos) Suponiendo que Z es no ortogonal con X, es decir se cumple i), pero es ortogonal con Y, 
postule el modelo teórico a estimar. ¿Será un modelo de regresión múltiple o uno de regresión simple? 
¿Por qué? Acompañe su explicación con derivación algebraica y diagramas de Ballentine. 
 
Ejercicio 2.2.29 (Prueba 1, 2do. Semestre 2000) 
 
Usted esta interesado en conocer la relación que existe entre el gasto total destinado a programas para 
jóvenes y el ingreso total de las distintas comunas de Chile. 
Para eso consigue información sobre 51 comunas y realiza la siguiente regresión: 
 
Gi= β1+β2 Yi+µi donde 
 
Gi= millones de pesos gastados por la comuna i en programas destinados a jóvenes 
Yi= ingreso total de la comuna i en millones de pesos. 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Se obtienen los siguientes resultados (los valores entre paréntesis corresponden al desvío estándar estimado 
del coeficiente) 
 
Gi= 0.49812 + 0.055573 Yi 
 (0.535515) ( 0.003293) 
 
SCR: 417.110335 
SCT: 2841.330489 
 
a) (3 puntos) Cuál es la interpretación económica del coeficiente estimado para el ingreso? ¿Resulta 
razonable el resultado? 
 
b) (5 puntos) Testee la significancia individual de los coeficientes. Explicite la hipótesis nula, la alternativa, 
el estadístico a utilizar y el criterio de decisión. 
 
 
c) (2 puntos) Calcule un indicador de la bondad de ajuste de la regresión 
 
d) (4 puntos) Presente un test de significancia global de la regresión. Explique intuitivamente el test 
utilizado. 
 
e) (10 puntos) Suponga que los datos de gasto e ingreso ahora están disponibles en pesos y usted estima 
otro modelo G*i = β*1+β*2 Y*i+µi* donde las variables con asteriscos indican que son los datos 
transformados. Calcule los coeficientes β*1 y β*2, sus desvíos estándar estimados, la nueva suma de 
cuadrados residuales y la nueva suma de cuadrados totales. Muestre sus cálculos. 
 
 
Ejercicio 2.2.29 (Prueba 1, 2do. Semestre 2000) 
 
Usted estimó una función de demanda de dinero para la economía chilena utilizando datos trimestrales para 
el período 1986.1 a 1999.1. 
 
Dependent Variable: LOG(M) 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1986:1 1999:1 
Included observations: 53 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -3.428454 0.352084 -9.737609 0.0000
LOG(Y) 1.155913 0.024946 46.33568 0.0000
R-squared 0.976797 Mean dependent var 12.88223
S.E. of regression 0.052006 S.D. dependent var 0.338114
Sum squared resid 0.137934 
 
donde log(M) es el logaritmo natural de la cantidad real de dinero 
y log(Y) es el logaritmo natural del PIB en millones de pesos de 1986. 
 
 
Un amigo le comenta: “ que casualidad; en el curso de Econometría me pidieron como tarea verificar la 
significancia del dinero como indicador líder de la evolución del producto. Puedo utilizar tus resultados para 
realizar mi tarea”. 
 
Complete la salida que se adjunta explicitando los cálculos realizados y ayude a su amigo a responder su 
tarea. 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
 
Dependent Variable: LOG(Y) 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1986:1 1999:1 
Included observations:53 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 
LOG(M) 
R-squared Mean dependent var 
S.E. of regression Sum squared resid 
 
 
Recordar que 








+σ=β
∑ n
1
x
X)ˆ(Var 2
i
2
2
1 
 
 
Ejercicio 2.2.30 
 
1. El gerente de estudios de la empresa “Cíclica” está interesado en estimar el siguiente modelo: 
 
(i) Vt = β1 (PIBt)β2 
 
Donde Vt son las ventas agregadas reales de la empresa y PIBt es el producto interno bruto de la 
economía, también en términos reales. 
 
a) ¿Es posible estimar el modelo i por MICO?. ¿Por qué?. En caso que la respuesta sea negativa 
explique qué transformaciones realizaría para convertirlo en estimable. 
b) Explique qué entiende por las siguientes expresiones: 
 
- E(Vt/PIBt). 
 
- Vt = Vt (estimado) + et 
 
c) Dado que el Banco Central bajó las tasas de interés, el gerente cree que sería interesante conocer el 
efecto de la tasa de interés sobre las ventas, por lo que propone estimar el siguiente modelo: 
 
(ii) Vt = eγ2 i 
 
Al estimar los modelos i y ii, se obtienen los siguientes resultados: 
 
Modelo i: 
β1 = 500 
β2 = 0.8 R2 = 0.89 
 
Modelo ii: 
γ2 = 0.8 R2 = 0.89 
 
c.1) Interprete los coeficientes obtenidos. 
c.2) ¿Son comparables los valores de R2 ? 
c.3) ¿Cuáles son las limitaciones del R2 como indicador de bondad de un estimador? 
 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Ejercicio 2.2.31 
 
1. El estimador β* con varianza V1 proporciona mejores estimaciones que el estimador β** con varianza 
V2, siempre que V1 sea menor a V2. 
2. Si los errores µi son correlacionados y heterocedásticos, las estimaciones por MICO de la constante y de 
la pendiente aun serán insesgadas y consistentes, pero no serán eficientes. 
3. Explique por qué es necesario suponer E(µi) = 0 si siempre que minimizamos la suma de los cuadrados 
de los residuos se obtiene que la sumatoria de los residuos es cero. 
4. Explique la implicancia de la siguiente afirmación: “en este modelo no existe sesgo de especificación”