F_I-PRO-1314-Problemas de sistemas de partículas

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Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica 
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica 
ESCUELA DE INGENIERÍA
AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
Curso 2013-2014
PROBLEMAS DE FÍSICA I
Septiembre 2013
Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica 
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica 2
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Capítulo 5
Dinámica de un sistema de partículas
PROBLEMA 5.1. Movimiento del centro de masas. Sistema centro de masas
Figura 5.1:
Un avión de masa M y cuyo tamaño puede despre-
ciarse (�gura 5.1), pasa por el origen O de un triedro
de referencia inercial OXY Z con velocidad ~V0 = V0~i,
cuando, de repente, explota en dos fragmentos A y B
de masas MA = 23M y MB =
1
3
M , respectivamente.
Inmediatamente después de la explosión la velocidad
del fragmento A es ~VA(0) = VA0~j.
Tomando como valor de la aceleración de la gravedad
~g = −g~j, e ignorando el efecto de la resistencia del
aire, determinar:
1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del los fragmentos en función del tiempo.
2. Las posiciones ~rA(t) y ~rB(t) de los fragmentos respecto al sistema inercial mostrado.
3. Las posiciones ~rA ′(t) y ~rB ′(t) de los fragmentos respecto del sistema centro de masas.
4. La cantidad de movimiento del conjunto tanto en el sistema inercial, ~P , como en el sistema
centro de masas, ~P ′.
5. Representar la posición de los fragmentos en el sistema inercial una vez transcurridos
t = 10s desde la explosión, y tomando como datos: V0 = VA0 = 300 (m/s), g = 10 (m/s2).
SOLUCIÓN 5.1.
1.− ~rCM(t) = V0t~i−
1
2
gt2 ~j
2.− ~rA(t) =
(
VA0 t −
1
2
gt2
)
~j , ~rB(t) = 3~rCM(t)− 2~rA(t)
3.− ~r ′A(t) =
(
−V0~i+ VA0~j
)
t , ~r ′B(t) = −2~r ′A(t)
4.− ~P (t) = M(V0 ~i− gt ~j) , ~P ′(t) = 0
♣
3
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 4
PROBLEMA 5.2. Conservación de la cantidad de movimiento
Un hombre de masa MH y una mujer de masa MM , están de pie, uno al lado del otro, en
el mismo extremo de un bote de masa MB, listos para lanzarse al agua, cada uno con una
velocidad V ′ relativa al bote. Suponiendo despreciable el rozamiento de la barca con el agua,
determínese la velocidad ~V ′B del bote después de que se hayan lanzado ambos al agua, si:
1. La mujer se lanza primero.
2. El hombre se lanza primero.
3. Hágase aplicación numérica para: MH = 80kg, MM = 60kg, MB = 150kg y ~V ′ = 5m/s.
Figura 5.2:
SOLUCIÓN 5.2.
1.− ~V ′B (1) = −~V ′
[
MM
MM +MH +MB
+
MH
MB +MH
]
2.− ~V ′B (2) = −~V ′
[
MH
MM +MH +MB
+
MM
MB +MM
]
3.− ~V ′B (1) = −2.77~i (m/s) , ~V ′B (2) = −2.81~i (m/s)
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 5
PROBLEMA 5.3. Conservación de la cantidad de movimiento
Se dispara una bala de masa MA, con una velocidad ~V0 = V0~i, contra un bloque B de masa
MB que apoya sobre una plataforma horizontal OC, de masa MC , la cual, a su vez, apoya sin
rozamiento sobre un suelo horizontal como se muestra en la �gura 5.3. Inicialmente tanto el
bloque como la plataforma están en reposo.
Sabiendo que el coe�ciente de rozamiento dinámico entre el bloque y la plataforma es µ, y
que el bloque se detiene antes de abandonar la plataforma al cabo de un tiempo t1, determinar:
1. La velocidad �nal ~VF (t1) del conjunto en el instante t1.
2. El valor de t1.
3. La distancia L recorrida por el bloque sobre la plataforma.
4. Hágase aplicación numérica con los datos: MA = 30g, MA = 10kg, MC = 8kg,
µ = 0.5, V0 = 600 (m/s) y g = 9.8 (m/s2)
Figura 5.3:
SOLUCIÓN 5.3.
1.− ~VF (t1) =
MA
MA +MB +MC
~V0
2.− t1 =
1
µg
MAMC
(MA +MB)(MA +MB +MC)
V0
3.− L = 1
2µg
(
MA
MA +MB
)2
MC
MA +MB +MC
V 20
4.− t1 = 0.16s , L = 14.6cm
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 6
PROBLEMA 5.4. Conservación de la cantidad de movimiento
Dos esferas A y B de tamaño despreciable y masa M pueden deslizar sin rozamiento sobre
una super�cie horizontal. La esfera A se está moviendo con una velocidad ~V0 = V0~i cuando
golpea a la esfera B que está en reposo; como consecuencia del impacto, la esfera B se rompe
en dos pedazos, cada uno de los cuales conserva una masa igual a M
2
. Al cabo de un tiempo t1,
un pedazo alcanza el punto C de la �gura 5.4; al cabo de un tiempo t2 el otro pedazo llega a
D. Determinar:
1. La velocidad ~V ′A de la esfera A después del choque.
2. El ángulo θ y las velocidades ~V ′C y ~V
′
D de los dos fragmentos después del choque.
Figura 5.4:
SOLUCIÓN 5.4.
1.− ~V ′A =
[
V0 −
L
2
(
1
t1
+
1
t2
)]
~i
2.− tan θ = t2
t1
tan 30o
~V ′C =
L
t1
(
~i+ tan 30o ~j
)
, ~V ′D =
L
t2
~i− L
t1
tan 30o ~j
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 7
PROBLEMA 5.5. Conservación de la cantidad de movimiento
Tres esferas A, B y C de tamaño despreciable, cada una de masa M , pueden deslizar
libremente sin rozamiento sobre una super�cie horizontal. Las esferas A y B, unidas a una
cuerda ideal de longitud L, están en reposo en la posición indicada en la �gura 5.5, cuando la
esfera C, que se mueve con velocidad ~V0, choca frontalmente con la esfera B. Si la cuerda no
está tensa cuando C choca con B, y se supone un impacto perfectamente elástico entre ellas
-en el que la energía cinética se conserva-, determinar:
1. Las velocidades ~V ′′A, ~V ′′B y ~V ′′C de cada esfera inmediatamente después de que la cuerda
se tense.
2. La fracción EC(1)−EC(2)
EC(1)
de la energía cinética inicial del sistema que se disipa cuando la
cuerda se tensa.
Figura 5.5:
SOLUCIÓN 5.5.
1.− ~V ′′A =
1
6
V0 ~j , ~V
′′
B =
√
8
3
V0 ~i+
1
6
V0 ~j , ~V
′′
C = ~0
2.− EC(1)− EC(2)
EC(1)
=
1
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 8
PROBLEMA 5.6. Conservación de la cantidad de movimiento y de la energía
Una bola B de tamaño despreciable cuelga mediante una cuerda ideal de longitud L de un
carrito A, el cual puede moverse libremente sin rozamiento sobre un suelo horizontal. La bola
y el carrito tienen la misma masa M .
Si a la bola se le imprime una velocidad horizontal ~V0, (V0 < 2gL), mientras el carrito está
en reposo (�gura 5.6), determinar en función del ángulo θ que formará la cuerda con la vertical
(supuesto positivo en sentido contrario al de las manecillas del reloj):
1. La velocidad relativa ~VBA(θ) de la bola respecto al carrito.
2. La velocidad ~VA(θ) del carrito.
3. Los valores máximo θmax y mínimo θmin del ángulo θ.
4. La velocidad ~VB(θ) de la bola para: θ = θmax, θ = 0 y θ = θmax.
Figura 5.6:
SOLUCIÓN 5.6.
1.− ~VBA(θ) = ±
√
V 20 − 4gL(1− cos θ)
2− cos2θ
~u(θ)
2.− ~VA(θ) =
(
V0 − VBA cos θ
2
)
~i
3.− θmáx = −θmı́n = arc cos
(
1− V
2
0
4gL
)
4.− ~VB(θmáx) = ~VB(θmı́n) =
V0
2
~i , ~VB(0) = V0 ~i ~VB(0) = ~0
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 9
PROBLEMA 5.7. Conservación del momento cinético
Un sistema de partículas está formado por tres partículas idénticas A, B y C, de masa
M = 3kg, cuya posición, con respecto a un triedro inercial OXY Z y en un cierto instante t, es
la representada en la �gura 5.7.
Las velocidades respectivas de las partículas en ese instante son ~VA = VA~j, ~VB = VB~i y
~VC = VC~k, y el módulo de la cantidad de movimiento total del sistema es |~P | = 450 (kg.m/s).
Sabiendoque el momento cinético ~LCM del sistema alrededor del centro de masas coincide
en ese instante con el momento cinético ~LO del sistema alrededor del punto �jo O, determínense:
1. El módulo VA, VB y VC de las velocidades de las partículas.
2. El valor de ~LO.
Figura 5.7:
SOLUCIÓN 5.7.
1.− VA = VC = 100 (m/s) , VB = 50 (m/s)
2.− ~L0 = 90~i+ 45 ~j − 90 ~k
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 10
PROBLEMA 5.8. Conservación del momento cinético y la energía cinética
En el plano horizontal XY de un triedro inercial de referencia OXY Z hay dos partículas
de masas m1 y m2 unidas entre sí por un hilo ideal de longitud L. La masa m1, además, está
unida al origen O mediante otro hilo ideal de longitud L y la masa m2 está obligada a moverse
siempre a lo largo del eje X (mediante un dispositivo no dibujado). Cualquier rozamiento se
considera despreciable.
En el instante inicial, �gura 5.8(a), ambas partículas están situadas sobre el eje X con
velocidades ~v1(0) = v0~j y ~v2(0) = ~0.
Para un instante genérico t, �gura 5.8(b), se pide:
1. Comprobar si se conserva el momento cinético del sistema respecto al origen �jo O.
2. Comprobar si se conserva la energía cinética del sistema.
3. Calcular las velocidades de las partículas ~v1(θ) y ~v2(θ) en función del ángulo θ mostrado.
(a) (b)
Figura 5.8:
SOLUCIÓN 5.8.
1. No.
2. Sí.
3. ~v1(θ) = v0
√
m1
m1 + 4m2 sen2 θ
(−sen θ~i+ cos θ~j)
~v2(θ) = −2v0
√
m1
m1 + 4m2 sen2 θ
~i
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 11
PROBLEMA 5.9. Conservación del momento cinético y la energía cinética
En el plano vertical Y Z de un triedro inercial de referencia OXY Z hay dos guías horizontales
(1) y (2), �jas y separadas una distancia H. Los abalorios m1 y m2 se pueden mover sin
rozamiento sobre las guías (�gura 5.9), mientras permanecen unidos por un muelle de constante
elástica k y longitud natural nula.
Inicialmente los abalorios están sobre el eje Z con velocidades ~v1(0) = v0~j y ~v2(0) = ~0.
Se pide:
1. Comprobar si se conserva el momento cinético del sistema respecto al origen �jo O.
2. Comprobar si se conserva la energía cinética del sistema.
3. Determinar la velocidad ~vCM(t) del centro de masas del sistema.
4. Calcular el máximo alargamiento Lmax del muelle.
Figura 5.9:
SOLUCIÓN 5.9.
1. No.
2. No.
3. ~vCM(t) =
m1
m1 +m2
v0~j
4. Lmax =
√
H2 +
m1m2
m1 +m2
v20
k
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 12
PROBLEMA 5.10. Conservación del momento lineal y el momento cinético
Dos esferas A y B, de pequeño tamaño, con masas MA y MB, respectivamente, se conectan
mediante una varilla rígida de longitud l y masa despreciable. Las dos esferas descansan sobre
una super�cie horizontal sin rozamiento.
En un cierto instante, que tomaremos como instante inicial, a la esfera A se le imprime una
velocidad ~V0 = V0~i, como se muestra en la �gura 5.10. Determinar:
1. La cantidad de movimiento ~P del sistema en el triedro inercial OXY Z mostrado.
2. El momento cinético ~LCM del sistema respecto al centro de masas.
3. Las velocidades ~VA(ϕ) y ~VB(ϕ) de las esferas después de que la varilla AB haya girado
un ángulo ϕ.
Figura 5.10:
SOLUCIÓN 5.10.
1.− ~P = MAV0 ~i
2.− ~LCM =
(
MAMB
MA +MB
)
lV0
(
−~k
)
3.− ~VA(ϕ) =
(
MAV0
MA +MB
)
~i+
MBV0
MA +MB
[
cosϕ~i− sinϕ ~j
]
~VB (ϕ) =
(
MAV0
MA +MB
)
~i− MAV0
MA +MB
[
cosϕ~i− sinϕ ~j
]
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 13
PROBLEMA 5.11. Teorema de conservación de la energía mecánica
Un bloque A de masa M puede moverse sin rozamiento sobre el plano horizontal del triedro
inercial de referencia OXY Z mostrado en la �gura 5.11. Simultáneamente, una partícula P de
la misma masa M puede moverse sin rozamiento sobre el canal circular de radio R del bloque.
Sabiendo que en el instante inicial tanto el bloque como la partícula estaban en reposo en
el triedro OXY Z, con la partícula situada en B, determinar, para un instante posterior:
1. La velocidad ~vA(θ) del bloque A, la velocidad ~vP (θ) de la partícula y la velocidad ~vCM(θ)
del centro de masas del conjunto, todo ello en función del ángulo θ mostrado y de su
variación con el tiempo θ̇.
2. Valor de θ̇ para un θ genérico.
3. Trabajo WN realizado por la fuerza ~N que ejerce el bloque sobre la partícula entre las
posiciones B y C ocupadas por ésta.
Figura 5.11:
SOLUCIÓN 5.11.
1.− ~vA =
1
2
Rθ̇ sen θ~j , ~vP (θ) = −Rθ̇ (
1
2
sen θ~j + cos θ ~k )
~vCM(θ) = −
1
2
Rθ̇ cos θ ~k
2.− θ̇2 = 4gsen θ
R(1 + cos2 θ)
3.− WN = −
MgR
2
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 14
PROBLEMA 5.12. Teorema de conservación de la energía mecánica
Un bloque B, de masa M , se encuentra en reposo sobre una super�cie horizontal sin roza-
miento, como se indica en la �gura 5.12.
En el punto A de la �gura se suelta una partícula P , de la misma masa que el bloque, sin
velocidad inicial. Sabiendo que entre la partícula y el bloque no existe rozamiento, se pide:
1. Velocidad ~vB(θ) del bloque en función del ángulo θ.
2. Espacio ∆yB recorrido por el bloque cuando la partícula pasa por C.
3. Trabajo WN realizado por la fuerza ~N que ejerce la partícula sobre el bloque, entre el
instante inicial y el instante en el que la partícula llega a D.
Figura 5.12:
SOLUCIÓN 5.12.
1.− ~vB(θ) = −
√
gR
senθ
1 + cos2 θ
~j
2.− ∆yB = −
1
2
R
3.− WN =
1
2
MgR
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 15
PROBLEMA 5.13. Conservación del momento cinético. Colisión inelástica
Figura 5.13:
Dos patinadores "puntuales" de masaM se mue-
ven sin rozamiento sobre una super�cie horizon-
tal con velocidad ~V0 = V0~i cada uno, asidos a
una cuerda inextensible y de masa despreciable
cuya longitud, L = 2R, coincide con la separa-
ción entre los dos patinadores.
En un cierto instante, que se toma como origen
de tiempos, la cuerda hace contacto con un ár-
bol O (obstáculo �jo puntual), que dista en ese
instante una distancia R de cada patinador (ver
�gura 5.13).
Transcurrido un tiempo t1 = πR6V0 la cuerda se
rompe. Se pide:
1. Indicar cuáles de las siguientes magnitudes físicas se conservan a lo largo del movimiento del
sistema para t > 0, y por qué:
(a) Cantidad de movimiento de cada patinador y cantidad de movimiento del sistema.
(b) Ídem para el momento cinético respecto al origen O.
(c) Ídem para la energía cinética.
2. Calcular el vector de posición ~rCM(t) del centro de masas del sistema.
Tras la rotura de la cuerda, los patinadores continúan moviéndose y al cabo de un cierto
tiempo t2 > t1, se produce un choque inelástico entre ellos, en el que la fracción de la energía
cinética que se disipa vale E
antes
C −E
desp.
C
EantesC
= 3
16
. Determinar:
3. Punto Q donde se produce el choque y tiempo t2 transcurrido hasta entonces.
4. Velocidades ~V ′1 y ~V
′
2 de los patinadores tras el choque.
SOLUCIÓN 5.13.
2.− ~rCM(t) =

R sin
(
V0
R
t
)
~i , 0 6 t 6 t1[
R
2
+
√
3
2
V0(t− t1)
]
~i , t > t1
3.−
−→
OQ = 2R~i , t2 = t1 +
√
3R
V0
4.− ~V ′1 = V0
(√
3
2
~i+
3
4
~j
)
, ~V ′2 = V0
(√
3
2
~i− 3
4
~j
)
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 16
PROBLEMA 5.14. Conservación del momentocinético. Colisión inelástica
En el plano horizontal OXY , dos partículas de masas m1 = m y m2 = 3m están unidas
por un muelle de constante elástica k y longitud natural despreciable. Las partículas se pueden
mover sin rozamiento mientras permanecen ensartadas en un alambre circular �jo de radio R
(�gura 5.14)
Sabiendo que en el instante inicial t = 0 las partículas están en reposo y situadas de forma
tal que θ1 = 60o y θ2 = 0o, se pide:
1. Relación entre θ1 y θ2 en cualquier instante.
2. Valor de θ1, θ1F , en el instante en el que las dos partículas chocan.
3. Velocidades ~v1F y ~v2F de las partículas inmediatamente antes de que se produzca el
choque.
4. Velocidades ~v ′1F y ~v
′
2F de las partículas inmediatamente después de que se produzca el
choque, si se supone que éste es parcialmente elástico con coe�ciente de restitución e.
Figura 5.14:
SOLUCIÓN 5.14.
1.− θ1 =
π
3
+ 3θ2
2.− θ1F =
5
6
π
3.− ~v1F = −3~v2F , ~v2F =
1
4
√
k
m
R
(
~i+
√
3~j
)
4.− ~v ′1F = −3~v ′2F , ~v ′2F = −
1
4
e
√
k
m
R
(
~i+
√
3~j
)
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 17
PROBLEMA 5.15. Conservación del momento cinético respecto al CM
Dos partículas A y B, de la misma masa m, se pueden mover sin rozamiento sobre un plano
horizontal y se atraen con una fuerza proporcional a su distancia, siendo k la constante de
proporcionalidad, �gura 5.15.
En el instante inicial, las partículas estan separadas una distancia l0 y se mueven con
velocidades ~vA(0) = v0~j y ~vB(0) =
√
3v0~i, respecto al sistema �jo OXY Z mostrado.
Supóngase que kl20 = 2mv
2
0. En estas condiciones, se pide:
1. Determinar para cualquier instante t la velocidad ~vCM(t) y la posición ~rCM(t) del centro
de masas de las dos partículas con respecto al sistema �jo.
2. Calcular la distancia mínima Dmin y maxima Dmax entre las dos partículas.
Figura 5.15:
SOLUCIÓN 5.15.
1.− ~vCM(t) =
v0
2
(√
3~i+~j
)
~rCM(t) =
v0
2
t
(√
3~i+~j
)
2.− Dmin = l0
√
1−
√
3
2
Dmax = l0
√
1 +
√
3
2
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 18
PROBLEMA 5.16. Conservación del momento cinético en el sistema CM
Sobre una mesa horizontal (el plano XY de la �gura 5.16) hay dos partículas de masas M1
y M2 unidas por un hilo ideal de longitud l. El hilo permanece siempre tenso.
En el instante inicial M1 está en reposo y M2 tiene una velocidad ~v2(0) = v0~j.
Considerando despreciable el rozamiento entre las partículas y la mesa, determinar:
1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del sistema en todo instante.
2. Las posiciones ~s1(t) y ~s2(t) de las partículas respecto del triedro SCM .
3. La tensión T del hilo.
4. La posición ~r2(t∗) de M2 en el instante t∗ en el que su velocidad vuelve a tener el mismo
valor inicial ~v2(0).
Figura 5.16:
SOLUCIÓN 5.16.
1.− ~rCM(t) =
M2
M1 +M2
[
l~i+ v0t~j
]
2.− ~s1(t) = −
M2
M1 +M2
l
(
cos
v0t
l
~i+ sin
v0t
l
~j
)
~s2(t) = +
M1
M1 +M2
l
(
cos
v0t
l
~i+ sin
v0t
l
~j
)
3.− T = M1M2
M1 +M2
(
v20
l
)
4.− ~r2(t∗) = l~i+
M2
M1 +M2
(2πl)~j
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 19
PROBLEMA 5.17. Teorema de la energía cinética en un sistema no inercial
En una varilla horizontal AB hay dos abalorios de masas m1 y m2 unidos por un muelle de
constant elástica k y longitud natural despreciable.
La varilla gira alrededor del eje vertical Z de un triedro (O;X;Y ;Z) �jo, con velocidad
angular constante ~Ω0 = Ω0~k.
No existe rozamiento e inicialmente los abalorios se encuentran �jos a la varilla mediante
topes (no dibujados) en la posición mostrada en la �gura 5.17(a).
Una vez retirados los topes, en una posición genérica como la representada en la �gura
5.17(b), se pide:
1. La velocidad ~vCM(R) del centro de masas del sistema, en el triedro OXY Z, en función
de su distancia R al origen.
2. Mínimo valor de Ω0, Ω
(1)
0,min, para que m2 se aleje del eje Z en el instante inicial.
3. Mínimo valor de Ω0, Ω
(2)
0,min, para que la distancia entre los dos abalorios aumente con el
tiempo.
(a) (b)
Figura 5.17:
SOLUCIÓN 5.17.
1.− ~v = v′~i′ + Ω0R~j′ , donde v′ = Ω0
√
R2 − m
2
2
(m1 +m2)2
l20
2.− Ω(1)0,min =
√
k
m2
3.− Ω(2)0,min =
√
m1 +m2
m1m2
k
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 20
PROBLEMA 5.18. Junio 2011
Dos masas m y M , que consideraremos puntuales, están unidas entre sí por un muelle de
constante k, longitud natural l0 y masa despreciable. El conjunto descansa sobre una plataforma
en forma de cuña, la cual permanece �ja sobre un suelo horizontal (�gura 5.18).
En el instante inicial t = 0, las dos masas se mantienen en reposo respecto al sistema
de referencia OXY Z �jado a la cuña, estando situadas, respectivamente, en los puntos de
coordenadas xm(0) = 0 y xM(0) = 2l0.
Para t > 0 se libera el conjunto, y éste empieza a moverse sobre la plataforma libremente,
sin rozamiento.
Determinar en función del tiempo t y los datos del problema m,M, l0, k, g y α :
1. La posición ~rCM(t) del centro de masas del conjunto.
2. Ecuaciones de movimiento para cada una de las dos masas.
3. La frecuencia angular Ω con la que el muelle oscila.
4. La separación ∆x(t) = xM(t)− xm(t) entre las dos partículas.
5. La energía potencial elástica EelP del muelle.
6. La energía cinética EC(t) del conjunto.
7. El tiempo t0 que tarda m en alcanzar a M por primera vez.
8. La velocidad ~Vm(t0) de la masa m en ese instante.
Figura 5.18:
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Capítulo 5: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 21
SOLUCIÓN 5.18.
1.− ~rCM(t) =
[
2l0M
m+M
+
1
2
gt2 senα
]
~i
2.− d
2xM
dt2
= g senα− k
M
[xM − xm − l0] ,
d2xm
dt2
= g senα +
k
m
[xM − xm − l0]
3.− Ω =
√
k(m+M)
mM
4.− ∆x(t) = l0(1 + cos Ωt)
5.− Eelp (t) =
1
2
kl20 cos
2 Ωt
6.− EC =
1
2
kl20 sen
2Ωt+
1
2
(m+M)g2t2 sen2α
7.− t0 =
π
Ω
8.− ~Vm(t0) =
πg
Ω
senα~i
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PROBLEMA 5.19. Julio 2013
Dos partículas A y B, de masas mA = m y mB = m/2, res-
pectivamente, se mueven sobre una super�cie horizontal sin
rozamiento, -plano XY de un triedro inercial S(O;X,Y, Z)-.
Las dos partículas están unidas mediante una varilla ideal de
longitud L y masa despreciable.
En el instante inicial t = 0, -ver �gura-, el centro de masas C
del sistema pasa por el origen O de S, con velocidad:
~VC(0) =
LΩ0
6
~i
siendo Ω0 una constante positiva. En ese mismo instante, el conjunto gira en torno al eje Z con
velocidad angular ~Ω(0) = Ω0 ~k. Las partículas se mantienen unidas hasta que, transcurrido un tiempo
t1 = π/(3Ω0), la varilla se rompe.
A) ¾Cuáles de las siguientes magnitudes se conservan en el intervalo [0, t1]?
1.a) La velocidad del centro de masas del sistema, ~VC(t).
1.b) La velocidad angular de la varilla, ~Ω(t).
1.c) La energía cinética del sistema, EC(t).
1.d) La fuerza ~TA(t) que ejerce la varilla sobre la partícula A.
1.e) El módulo de la velocidad de la partícula A, |~vA ′|, con respecto a un triedro S′(C;X ′, Y ′, Z ′)
con origen en C y que se traslada (sin girar) con la velocidad del centro de masas del sistema.
En función de los datos del problema: m,L,Ω0, y en el triedro S(O;X,Y, Z), determinar:
B) Inmediatamente antes de que la varilla se rompa:
2. La cantidad de movimiento del sistema, ~P (t1).
3. El vector de posición del centro de masas del sistema, ~rC(t1).
4. El momento cinéticodel sistema, ~LO(t1), con respecto al origen O de S.
5. La energía cinética del sistema, EC(t1).
6. Las velocidades de la partículas ~vA(t1) y ~vB(t1).
7. El módulo de la tensión |~T (t1)| en la varilla.
8. El trabajo W0→ t1 realizado por las fuerzas que actúan sobre A hasta que la varilla se
rompe.
C) En el instante t2, (t2 > t1), en el que la partícula B pasa por el punto P (b, 0, 0) del eje X:
9. La distancia a de la partícula A al eje Y .
10. El valor de b.
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SOLUCIÓN 5.19.
1.-
Se conserva No se conserva Explicación razonada
~VC X
∑
i
~F exti = ~0
~Ω X ~MC = ~0⇒ ~LC = IC ~Ω =
−→
Cte
EC X ∆EC =
∫
~T · d(~rA − ~rB) = 0
~TA, ~TB X Cambian de dirección.
|~VA ′|, |~VB ′| X ~TA y ~TB son fuerzas centrales en S′
2.- ~P (t1) =
1
4 mLΩ0
~i
3.- ~rC(t1) =
π
18 L
~i
4.- ~LO(t1) =
1
3 mL
2Ω0 ~k
5.- EC(t1) =
3
16 mL
2Ω20
6.- ~vA(t1) = −LΩ02√3 ~j , ~vB(t1) =
LΩ0
2
(
~i+ 2√
3
~j
)
7.- |~T (t1)| = 13 mLΩ
2
0
8.- W0→ t1 =
1
36 mL
2Ω20
9.- a = L6
(
π
3 −
√
3
)
10.- b = L2
(
π
9 +
√
3
)
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