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MeC-PRO-1314-3 Ejericios cinemÃtica sÃlido (II) resueltos
Estudiando Ingenieria
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Caṕıtulo 3 Composicíon de movimientos 3.1. Composicíon de movimientos Además de los problemas y ejercicios de este capı́tulo, es conveniente resolver los del an- terior con las técnicas de composición de movimientos, y comparar las ventajas de uno u otro camino. Ejercicio 3.1.1: Un disco de radior (sólido 2) rueda sin deslizar por el interior de una circun- ferencia fija de radio 2r y centroO (Sólido 1). El ejeOx0 del sistema intermedio 0 contiene en todo momento al centro del discoC. En un instante genérico, se pide: Velocidades angulares relativa y absoluta. Aceleración del punto de contactoI por composi- ción de movimientos. Aceleración deI mediante el campo de aceleracio- nes del sólido 2. Razonar los pasos que habrı́a que dar para calcular la aceleración deI derivando su vector posición. Se trabajará en ejes 0, dejando los resultados en función de las derivadas del ánguloθ que formanOx1 y Ox0. C I x1 x0 O θ Por definición,~ω01 = θ̇~k. El puntoC de 2 está fijo en 0, por lo que: ~vC21 =~v C 01 =−r ω21~j = r θ̇ ~j ⇒ ~ω21 =−θ̇~k En consecuencia, ~ω20 = ~ω21−~ω01 =−2θ̇~k El movimiento relativo es un giro alrededor deC, y el de arrastre otro alrededor deO: ~aI21 =~a I 20+~a I 01+2~ω01∧~vI20 =��~a C 20+ ~̇ω20∧ −→ CI+~ω20∧ ( ~ω20∧ −→ CI ) + � �~aI01+ ~̇ω01∧ −→ OI+~ω01∧ ( ~ω01∧ −→ OI ) +2~ω01∧ ( ~ω20∧ −→ CI ) = = 0 ✟✟ ✟−2r θ̈ 0 + ✘✘✘ ✘−4r θ̇2 0 0 + 0 ✟✟ ✟ +2r θ̈ 0 + −2r θ̇2 0 0 +2 ✟✟ ✟2r θ̇2 0 0 = ~aI21 = −2r θ̇2 0 0 37 38 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Para aplicar el campo de aceleraciones hay que conocer la aceleración de un punto de 2, y el único con un movimiento conocido esC. Para cualquier otro punto hay que calcular antes su aceleración por otro camino, y eso es tan complicado como hallar la deI . Es un error grave usarO pensando que no se mueve. El puntoO del sistema 0 sı́ está fijo, pero no el de 2: el punto del disco que en cada momento está pasando porO tiene su aceleración, que en algún caso podrá ser nula, pero que siempre hay que calcular. ~aI21 =~a C 21+ ~̇ω21∧ −→ CI+~ω21∧ ( ~ω21∧ −→ CI ) = = −r θ̇2 ��r θ̈ 0 + 0 ��r θ̈ 0 + −r θ̇2 0 0 = ~aI21 = −2r θ̇2 0 0 Por definición,~aP = d2 −→ OP dt2 , siendoP siempre el mismo punto material.PeroI es en cada momento un punto distinto del sólido, por lo que no tiene sentido derivar −→ OI. Eso nos darı́a~aI01. Para poder obtener su aceleración derivando, habrı́a que identificar un punto genérico de la periferia del disco con un parámetro cualquiera (el ángulo ϕ con una dirección fija del disco, por ejemplo); derivar sus coordenadas manteniendoϕ constante (pues lo que hace es identificar al punto); y calcular luego para cadaθ el valor deϕ que identifica en ese momento aI . Ejercicio 3.1.2: SeaS1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijas en el espacio; el ejeSz1 es normal a la órbita de la Tierra. SeaS0 un sistema con origen en el Sol, eje Sz0 ≡ Sz1, y el ejeSx0 pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, seaS2 un sistema de referencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama dı́a solar al periodo de rotación de la Tierra respecto al radio vector desde el SolSx0. Se llama dı́a sidéreo a su periodo de rotación respecto a los ejes de direcciones fijas. Se supondrá, para simplificar, que el eje de ro- tación absoluta de la Tierraωωω21 (Eje de polos) es paralelo aSz1. Se supondrá también que la órbita de la Tierra es circular y se recorre con velocidad uniforme. Inicialmente coincidenS1 y S0. Sabiendo que el periodo de la órbita (año) vale aproximadamente 365,25 dı́as y que el dı́a solar dura 24 horas, calcular la duración del dı́a sidéreo. x1 y1 z1 ≡ z0 x0 y0 ωωω21 A la vista de estos datos, razonar qué sentido tiene que cadacuatro años se añada un dı́a al calendario (año bisiesto). Y si se sabe que el valor exacto del periodo es 365,241897, comprobar que es razonable que no sean bisiestos los años que acaban en00, excepto si son divisibles por 400 (cfr. David Vallado,Fundamentals of Astrodynamics and Applications,§1.1.1). Para obtener la velocidad angular de la Tierra respecto a lasestrellas fijas (de ahı́ el nombre d́ıa sid́ereo) o ejes inerciales, hacemos una composición de movimientos: ωωω21 =ωωω20+ωωω01 = 2π 24 + 2π 365,25·24 = 2π Tsid = 0,262516 → → Tsid = 23,934 horas EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 39 Hay una diferencia de casi cuatro minutos entre el dı́a solary el sidéreo. Esto explica que, en el mismo lugar, una estrella salga cuatro minutos antes cada noche. El año no tiene un número exacto de dı́as. Como las estaciones están ligadas a la posición de la Tierra en su órbita, para que no se desplacen con los años se añade un dı́a cada cuatro años (dı́a bisiesto). Lo introdujo Julio César en 43 A.C., en el llamado calendario juliano. La pequeña diferencia de 0.0081 dı́as al año se compensa quitando el dı́a bisiesto una vez cada cuatrocientos años. Esta reforma la introdujo el PapaGregorio XIII e 1582. El ca- lendario de ese año tuvo diez dı́as menos. Hubo paı́ses, como Inglaterra, Rusia o Turquı́a, que tardaron en aceptarlo, y durante años o siglos sus calendarios estaban desfasados. Ejercicio 3.1.3: Se repetirá el ejercicio ante- rior, pero teniendo en cuenta la inclinación del eje polar: la dirección de la velocidad angular absoluta de la Tierraωωω21 es paralela al plano Sx1y1 y forma un ánguloθ = 23,45o conSz1, en la dirección negativa deSy1. Comparar la dura- ción del dı́a sidéreo con la calculada antes. (El International Earth Rotation Service da un valor |ωωω21|= 0,000072921 rad/s). x1 y1 z1 ≡ z0 x0 y0 θ ωωω21 El cálculo es más complicado. El valor exacto deωωω21 no debemos usarlo, porque estamos trabajando con datos aproximados (p.e., órbita circular)y precisamente queremos comparar la exactitud del valor aproximado que obtengamos. Los datos conocidos son: La velocidad angular del movimiento orbital,ωωω01 = Ωk1 = 2π365,241897 rad/dı́a. El módulo de la velocidad angular relativa,2π1 rad/dı́a, pero no su dirección,(0,ωy,ωz). La dirección de la velocidad angular absoluta,ωωω21= (0,ωy,Ω+ωz), pero no su módulo. La segunda condición esω2y +ω2z = ω2solar = 4π2 1 . La tercera, la inclinación del eje de giro, podemos expresarla comoΩ+ωzωy = 1 tan(incl) . Despejandoωy y sustituyendo en la anterior obtenemos una ecuación de 2o grado, ( 1+ tan2 inc ) ω2z +2tanincΩωz+ tan 2 incΩ2−ω2solar = 0 De aquı́ se obtieneωz = 5,76151 rad/dı́a, y sustituyendo en la primeraωy = 2,50666 rad/dı́a. Con esto obtenemos una velocidad angular absoluta |ωωω21|= 6,298963 rad/dı́a= 0,0000729046 rad/s que coincide con la del IERS hasta la tercera cifra significativa. El dı́a sidéreo durarı́a ahora Tsid = 23,9398 h. Ejercicio 3.1.4: Un discoS2 de radioR rueda y pivo- ta sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1 manteniéndose siempre perpendicular a él. Sean(x,y) las coordenadas en ejesS1 de la proyección del centro del disco. Expre- sar en función de estas coordenadas, de los ángulos de Euler y de sus derivadas la condición cinemática de no deslizamiento. x1 y1 z1 x0 y0 z0 ϕ̇ ϕ ψ ψ̇ I C EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 40 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Del movimiento del disco sabemos: El ángulo de nutación es constante,θ = π2 , al mantenerse siempre perpendicular al plano fijo. Por tanto, la velocidad angular seráωωω21 = ψ̇ k0− ϕ̇ j0. La de precesión es también la de arrastreωωω01, y la de rotación propia es la relativaωωω20. Conocemos las coordenadas deC y las de su proyecciónI . Este último es siempre el mismo punto cuando se considera como parte de los ejesS0. En cambio, como parte del disco va cambiando: en cada momento es un punto distinto de laperiferia el que estáen contacto con el plano fijo.C en cambio es siempre el mismo punto del disco, y también es el mismo punto deS0. La condición de no deslizamiento es que el punto de contacto(como parte del sólido) tiene velocidad nula. No podemos expresar esa velocidad derivando, porque el punto de contacto va cambiando. Necesitamos un punto que sea siempre el mismo (C es el único que conocemos) para aplicar el campo de velocidades. Como el campo de velocidades es una imagen instantánea del estado cinemático, vale aunque el punto que ocupe una posición sea distinto del que estaba un momento antes. vI21= v C 21+ωωω21∧CI = ẋ ẏ 0 1 + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 ϕ̇ ψ̇ 0 0 −R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = = ẋ−Rϕ̇ cosψ ẏ−Rϕ̇ sinψ 0 1 = ẋcosψ + ẏsinψ −Rϕ̇ −ẋsinψ + ẏcosψ 0 0 = 0 0 0 La velocidad deC se obtiene derivando en ejesS1. El término de giro está en ejesS0. Hay que pasarlo todo a los mismos ejes. Ejercicio 3.1.5: Un disco S2 de radioR rueda y pi- vota sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1. Sean(x,y) las coordenadas en ejesS1 de la proyección del centro del disco. Expresar en función de estas coordenadas, de los ángulos de Euler y de sus derivadas la condición ci- nemática de no deslizamiento. x1 y1 z1 x0 y0 z0 ϕ̇ ϕ θ̇ θ ψ ψ̇ I C La velocidad del disco la expresamos en función de los ángulos de Euler y sus derivadas, como se ve en la figura. Trabajaremos en los ejesS0, que es más simple: ωωω21 = ψ̇ k1+ θ̇ i0+ ϕ̇ k2 = θ̇ −ϕ̇ sinθ ψ̇ + ϕ̇ cosθ También conocemos las coordenadas del puntoC en ejes fijos. Como es siempre el mismo punto, podemos derivarlas para obtener su velocidad: O1C = (x,y,Rsinθ) → vC21 = (ẋ, ẏ,Rcosθ θ̇ ) EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 41 Ya podemos expresar la condición de no deslizamiento enI : vI21= v C 21+ωωω21∧CI = ẋ ẏ Rcosθ θ̇ 1 + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 θ̇ −ϕ̇ sinθ ψ̇ + ϕ̇ cosθ 0 −Rcosθ −Rsinθ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = = ẋ ẏ Rcosθ θ̇ 1 + R(ϕ̇ + ψ̇ cosθ) Rsinθ θ̇ −Rcosθ θ̇ 0 = ẋcosψ + ẏsinψ +R(ϕ̇ + ψ̇ cosθ) −ẋsinψ + ẏcosψ +Rsinθ θ̇ 0 0 = 0 0 0 Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radioR (sólidoS2) rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijo Ox1y1. Sean(x,y,R) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar la condición cinemática de no deslizamiento en función de las coordenadas, de los ángulos de Euler de la esfera, y de sus derivadas. Tenemos las coordenadas del centroC en ejes fijos. El punto de contacto está justo debajo, de modo queCI = (0,0,−R) . Habrá unos ejes ligados a la esfera que permitan determinar los ángulos de Euler, pero no nos vamos a preocupar: conocemos la proyección de la velocidad angular en ejes fijos, en función de los ángulos de Euler y sus derivadas: ωωω21 = θ̇ cosψ + ϕ̇ sinθ sinψ θ̇ sinψ − ϕ̇ sinθ cosψ ψ̇ + ϕ̇ cosθ Ası́ podemos trabajar con todos los vectores en ejes fijos: vI21= v C 21+ωωω21∧CI = ẋ ẏ 0 + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i1 j1 k1 ωx ωy ωz 0 0 −R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = = ẋ−R(θ̇ sinψ − ϕ̇ sinθ cosψ) ẏ+R(θ̇ cosψ + ϕ̇ sinθ sinψ) 0 = 0 0 0 Ejercicio 3.1.7: En la pelı́cula2001: Una odisea del espacio,se pre- senta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave. Se trata de un cilindro girando alrededor de su eje, y los astronautasviven en la superficie interior. La fuerza centrı́fuga proporciona unasensación de gravedad. Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angular del cilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g. Sea un caso genérico con un cilindro de radioRgirando con velo- cidad angularω. Un astronauta corre por la superficie interior del cilindro con velocidad constante en el mismo sentido de la rota- ción. Calcular la gravedad que experimenta (se puede despreciar la altura del astronauta frente al radio del cilindro. Supóngase ahora que corre en sentido opuesto a la rotación. ¿A qué velocidad empezarı́a a flotar? EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 42 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Experimentamos la gravedad en reposo porque el suelo nos impide el movimiento, y equilibra a la gravedad:F+mg= 0. Ası́, la gravedad que notamos es opuesta a la reacción del suelo. En el espacio, la fuerza del “suelo” equilibra a laderivada de la cantidad de movimiento:F = ma, y lo que se nota como “gravedad”, si no hay otras fuerzas, es el opuesto de la reacción de la superficie; en este caso, es la aceleración absoluta. Si no hay superficie que limite al astronauta, hay sensación de ingravidez: se mueve libremente bajo la acción de las fuerzas que actúen. Si el astronauta estáen reposo respecto al cilindro, solo interviene la aceleración centrı́peta: aC = ω2 r = g 10 → ω = √ g 10R = 0,313 rad/s Cuando hay movimiento relativo, hay que contar también la relativa y la de Coriolis, que son sencillas porque los movimientos son circulares y uniformes. Para los cálculos, tomamos coordenadas cilı́ndricas de modo queωωω01 = ω k ; r = Rur , y v = vuθ . Con esos ejes,v será positivo si corre en el sentido del giro. Los movimientos relativo y de arrastre son circulares uniformes. La fuerza que experimenta es N = m(a20+a01+2ωωω01∧v20) =−m ( v2 R +ω2R+2ω v ) ur Con los mismos ejes,v =−vuθ si corre en sentido contrario al giro (v siempre positivo). Para que se anule la gravedad artificial tiene que girar a una velocidad: 0=−m ( v2 R +ω2R−2ω v ) ur ⇒ ω = v R Se está moviendo con la misma velocidad que el cilindro, en sentido contrario, luego no se mueve respecto a la nave, y tiene la misma sensación de ingravidez que fuera del cilindro giratorio. Esto no quiere decir que no haya gravedad: experimenta la misma atracción gravitatoria que la nave, y los dos se mueven en la misma órbita. Pero,respecto a la nave, no experimenta gravedad. Ejercicio 3.1.8: Un disco de radioa rueda sin deslizar sobre el eje fijoOx1, manteniéndose siempre en el planoOx1z1. Su velocidad angular esω j1. Obtener la velocidad y aceleración del punto del disco en contacto con el eje,derivando el vector posición. No se puede. La velocidad de un punto es la derivada del vector posición de ese punto,siempre el mismo. En el puntoI de la figura hay tres puntos distintos: ElI del eje (negro), que va cambiando. En el instantet será el de coordenadas(aω t,0,0). El puntoI del disco (azul), que también cambia (el que forma el ánguloω t con la parte negativa deCz2). Y el puntoI (verde) como punto independiente. Cuando se deriva el vector posición deI se obtiene la velocidad de este punto, que no pertenece ni al disco ni a los ejes fijos, es parte de un sólido distinto: Ox1 z1 x2 z2 ω t aω ω I C aω t OI = (aω t,0,0) ; vI31 = (aω,0,0) ; a I 31 = (0,0,0) El puntoI se mueve con la misma velocidad y aceleración que el centro del disco, porque es su proyección sobre el eje. Sobre el disco recorre la periferia, sobre los ejes fijos recorre el ejeOx1 con la misma velocidad. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 43 Podemos, en cambio, identificar un punto del disco, siempre el mis- mo. Por ejemplo, el puntoM identificado por el ánguloα. Ese ángulo es una constante, corresponde a un punto determinado del sólido. Para cada valor deα tendremos un punto distinto. Sus coor- denadas en un instante dados serán OM = a [ω t+sin(α +ω t),0,1+cos(α +ω t)] Ox1 z1 x2 z2 M ω t α ω t I C aω t Podemos ya derivar porque, al serα constante, se trata siempre del mismo punto: vM21 = aω [1+cos(α +ω t),0,−sin(α +ω t)] aM21 = aω 2 [−sin(α +ω t),0,−cos(α +ω t)] Ya tenemos la velocidad y aceleración de un punto arbitrario. Solo falta identificar qué punto es el que, en un instante dado, pasa por el suelo. En la figura se observa que siα +ω t = π , M ≡ I . Sustituyendo, se tiene vI21 = 0; a I 21 =−aω2 [0,0,1] Aunque en cada momento coincidael vector posición, ni la velocidad ni la aceleración son iguales a las deI independiente. NOTA: este es un ejercicio disuasorio. Se pretende ver que este camino es mucho más complicado que otros ya estudiados, y que en general no compensa usarlo. Ejercicio 3.1.9: El sistema de referenciaOxyz (sólido 0) se mueve respecto al sistemaO1x1y1z1 (sólido 1) de modo que en todo instante: i) el puntoO está en el eje O1y1; ii) el eje Ox pasa por el punto fijoA del sistema 1 de coordenadasx1 = a, y1 = z1 = 0; iii) el ángulo entre el ejeOyy el planoO1x1y1 es igual an ángulo entre los ejes O1x1 y Ox. Llamemosθ a este último ángulo tal como aparece en la figura. Se pide: i) Determinar en función de θ y θ̇ los vectores~vO01 y ωωω01, ii) Determinar las axoides del movimiento 0/1. Este es el mismo problema 2.5, que ahora resolveremos por composición de movimientos. La velocidad de puntoO se calcula fácilmente observando la geometrı́a del problema: tanθ = |O1O| |AO1| → O1O = a tanθ j1 → vO21 = aθ̇ cos2 θ j1 La velocidad angular se calcula mucho más fácilmente por composición de movimientos. En figura se ve que el movimiento es la composición de un giro de precesión de velocidad angular−θ̇ mveck1, y uno de nutacióṅθ i0. No hay más que sumar los vectores. Conviene proyectarla en ejes fijos y en ejes móviles, para facilitar el cálculo de la axoide fija. ωωω21 = θ̇ (cosθ ,−sinθ ,−1)1 = = θ̇ (1,−sinθ ,−cosθ)0 x1 y1 z1 O1 b θ Ax0 y0 z0 θ θ̇ θ̇ Para calcular las axoides hallamos primeroOI : OI = ωωω21∧vO21 ω2 = a 2cos2θ (1,0,cosθ) EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 44 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Como estamos trabajando en ejes fijos, podemos ya escribir las ecuaciones de la axoide fija: rAF = a tanθ 0 1 0 + a 2cos2θ 1 0 cosθ +λ cosθ −sinθ −1 Para la axoide móvil, podemos pasar la velocidad deO a ejes sólido y repetir los cálculos, o pasarOI a ejes móviles. Por este último camino, rAM = a 2cos2θ cosθ 2cosθ sinθ cos2 θ −sin2 θ +λ 1 −sinθ −cosθ Ejercicio 3.1.10: Un sólidoSse mueve de tal forma que dos de sus puntosA y B, separados por una distanciaa, recorren respectivamente los ejesOxy Oyde un sistema de referencia ortogonal fijo Oxyz. Además un planoπ deSque pasa porAB ha de pasar en todo momento por el punto C(0,0,a/2) del ejeOz. Se pide: 1. Hallar el eje instantáneo de rotación y deslizamiento en el instante inicial, cuandoA está en(a,0,0) y B en (0,0,0). 2. Obtener la velocidad angular y la posición del E.I.R. en función del ánguloθ que forman AB y Oxy sus derivadas. Los ejes ligados al sólido se tomarán de modo que en el instante inicial coincidan con los fijos. 2 Este el el mismo problema 2.4, que aquı́ se resolverá mediante composición de movimien- tos. En el capı́tulo anterior se hizo solo el primer apartado; aquı́ se hará primero el segundo y luego se aplicará al caso particular del primero. Empezaremos estudiando la geometrı́a Si llamamosθ al ángulo entreABy Ox1, tendremos xA = acosθ eyB = asinθ . Llamaremosφ al ángulo girado alrededor deAB. Para que se apoye enC, φ no puede ser arbitrario. En el triánguloCOM, M es el pie de la perpendicu- lar desdeO aAB. Es obvio que el ángulo enC debe serφ . Como|OM|= xAsinθ , se tiene que cumplir: tanφ = |OM| |OC| = asinθ cosθ a/2 = sin2θ (3.1) x1 y1 z1 x2 y2 z2 φ b b b O C A θ B φ M EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 45 Los ejes de la figura se han escogido para que en el instante inicial coincidan todos. La velocidad angular la hallamos como la composición de los dos giros,ωωω21 = −θ̇ k0+ φ̇ i2, luego ωωω21 = φ̇ cosθ −φ̇ sinθ −θ̇ 1 = φ̇ −θ̇ sinφ −θ̇ cosφ 2 Derivando la relación geométrica obtenemos, φ̇(1+ tan2 φ) = 2cos2θ θ̇ ⇒ ⇒ φ̇ = 2cos2θ 1+sin22θ θ̇ (3.2) Con lo que podemos dejar todo en función deθ . x1 y1 z1 x2 ≡ x0 y2 z2 φ y0 z0 φ̇ θ̇ b b b C A θ B Hace falta la velocidad de un punto. Las deAo Bson fáci- les de calcular derivando sus coordenadas, pues se trata siempre del mismo punto del plano. Será más sencillo conB, que hemos tomado como origen: vB21= acosθ θ̇ j1 = acosθ θ̇ −sinθ cosθ 0 0 = = acosθ θ̇ −sinθ cosθ cosφ −cosθ sinφ 2 x1 y1 z1 x2 ≡ x0 y2 z2 φ y0 z0 vB b b b C A θ B Con la velocidad de un punto y la velocidad angular proyectadas en ejes fijos y en ejes cuerpo, podemos calcular las dos axoides: Axoide fija: rAF = OB+ ωωω21∧vB21 |ωωω21|2 +λωωω21 = 0 asinθ 0 + + acosθ θ̇ θ̇2+ φ̇2 θ̇ 0 φ̇ cosθ +λ φ̇ cosθ −φ̇ sinθ −θ̇ Todavı́a queda poneṙφ en función deθ , sustituyendo (3.2). Axoide móvil: rAM = ωωω21∧vB21 |ωωω21|2 +λωωω21 = = acosθ θ̇ φ̇2+ θ̇2 θ̇ cosθ φ̇ cosθ sinφ + θ̇ sinθ cosφ φ̇ cosθ cosφ − θ̇ sinθ sinφ +λ φ̇ −θ̇ sinφ −θ̇ cosφ Aún queda sustituiṙφ mediante (3.2) yφ mediante (3.1). Lo dejamos ası́. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 46 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 2 En el instante inicial,θ = 0 y φ = 0; los tres sistemas de ejes coinciden. El valor dėθ inicial será arbitrario, pues cuando se sustituyeφ̇ = f (θ , θ̇ ), desaparece de las ecuaciones. Tendremos entonces φ̇ = 2θ̇ ; vA21 = 0; ωωω21 = θ̇ (2,0,−1) Vemos pues que en el instante inicial el E.I.R. pasa por A y, viendo la dirección de la velocidad angular, también porC. x1 ≡ x2 y1 ≡ y2 z1 ≡ z2 vB ωωω b b b C A B Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radior se mueve rodando sin deslizar sobre un raı́l que traza una circunferencia de radioR en el plano horizontal. El plano que define la rueda es en todo momento tangente al raı́l y perpendicular alplano horizontal. Supongamos que el centro geométricoO de la rueda se mueve con una velocidad de módulo constante (v0). Consideremos un sistema de referenciaS0 ligado al movimiento de la rueda: su origen está en el centro de la rueda, el ejeZ0 es perpendicular a su superficie,Y0 es vertical yX0 es perpendicular a los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianas referidas a estos ejes para responder a las siguientes preguntas: 1) Velocidad angular y aceleración angular de la rueda respecto al sistema de referenciaS0 y respecto a otro fijo en la vı́a. (7 puntos) 2) Velocidad y aceleración del punto más alto de la rueda respecto al sistema de referenciaS0 y respec- to al fijo en la vı́a. (7 puntos) 3) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamien- to de la rueda, ası́ como su velocidad de mı́nimo deslizamiento. (6 puntos) R r O Z0X0 Problema 3.1.2: Un proyectil cilı́ndrico gira con velocidad angular constanteΩ alrededor de su eje. A su vez, el centro geométricoO del cilindro describe, respecto a un sistema de referencia absolutoS1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al ejedel cilindro. Definimos un sistema de referenciaS0 asociado al movimiento del proyectil: está centrado en el puntoO de forma que el ejeXO coin- cide con el eje de simetrı́a del cilindro. El ejeYO está en todo mo- mento contenido en el plano del movimiento del centro del cilin- dro, y es perpendicular a la trayectoria que describe el punto O. FinalmenteZO se define de forma que el sistema de ejes está orien- tado positivamente (a derechas). Estudiaremos dos casos: O XO YO O1 X1 Y1 Ω 1) El puntoO describe una circunferencia de radioRcon velocidad de módulo constantev0. Expresar en el sistema de ejesSO: a) Velocidad y aceleración angular absolutas del proyectil (7/20). b) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento. Velocidad de mı́nimo desliza- miento (6/20). 2) El puntoO describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabólico de ángulo 45◦ sobre la horizontal y velocidad inicialv0, sometido a un valor arbitrariog de la aceleración de la gravedad. Expresar en el sistema de ejesSO: EIAE.Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 47 c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto más alto de la trayectoria (7/20). Problema 3.1.3: Un disco de radioR gira sobre el plano horizontal con velocidad angular constanteΩ alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujados en la figura pertenecen a un sistema de referenciaS0 solidario al movimiento del disco. Sobre el disco hay dos barras,AB y CD, con las siguientes propiedades: Durante el movimiento del disco ambas barras permanecen en el planoY0Z0. La barraAB tiene una longitud 2Ry su extremoA está unido al borde del disco. La barraCD tiene una longitudR. Gira con velocidad angular constante 2ω en el planoY0Z0 de forma que su extremoC permanece fijo en el centro del disco y el extremoD desliza a lo largo de la barraAB mediante una corredera. Se pide calcular: R A B C D X0 Y0 Z0 2ω θ 1) Velocidad angular de la barraAB relativa al sistema de referenciaS0 ligado al disco (4 puntos). 2) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento de labarraAB respecto al sistema de referencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento(4 puntos). 3) Velocidad y aceleración del punto B relativas al sistemaS0. Velocidad y aceleración ab- solutas del punto B (2 puntos). Problema 3.1.4: Debido a un mal montaje, una de las ruedas del tren de aterrizaje de un avión se encuentra desalineada. En la figura puede observarse que este desalineamiento consiste en una desviación del eje de la rueda un ánguloβ respecto del eje de la rueda perfectamente alineada. Ambos ejes están contenidos en un plano horizontal, situado a una altura igual al radio de las ruedas (R). El movimiento de la rueda alineada es de rodadura sin deslizamiento y el movimiento de la rueda desalineada será aquel que haga mı́nima su velocidadde deslizamiento sobre el suelo. Si la velocidad del avión esv, constante, hallar para ambas ruedas (alineada y desalineada): 1. Velocidad angular absoluta. 2. Velocidad lineal absoluta de los puntos en contacto con elsuelo. 3. Eje Instantáneo de Rotación y Mı́nimo Deslizamiento. 4. Axoides de su movimiento respecto al suelo. EJERCICIO COMPLEMENTARIO: Si, manteniendo esa velocidad, el avión realiza un giro de radioH a la derecha en el sentido de la marcha (siendoH suficientemente grande como para despreciar la separaciónentre las ruedas frente al radio de giro), se pide: EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 48 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 5. Axoides del movimiento de la rueda alineada respecto al suelo. Problema 3.1.5: Se quiere estudiar el movimien- to de las hélices durante el despegue y transición a vuelo horizontal de la aeronave de rotores pivotantes Osprey. Para simplificar se supondrá que los rotores son sólidos rı́gidos, que giran con velocidad angu- lar constante respecto a ejes ligados a la barquilla, ωr i0 el derecho y−ωr i0 el izquierdo. Inicialmente los motores están verticales (θ = π/2), y se van in- clinando hasta alinearse con el eje longitudinal del aparatoOx1, según una ley conocidaθ(t). xT zT OT x1 z1 O x0 θ Los ejes ligados al aparato,Ox1y1z1 se mantienen siempre paralelos a los fijos en tierra, y a todos los efectos se considerarán como fijos. Se conoceOA= a, AB= b y BC= R. Todos los resultados se proyectaŕan en los ejes 0. Se pide: 1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (sólido 2), ωωω21, proyectada en los ejes Ox0y0z0 solidarios a las barquillas de los motores, en función deωr y las derivadas de θ . 2. Aceleración angular absoluta de este rotor,ααα21. 3. En el instante inicial, aceleración respecto al sistemafijo 1 (ejes aparato) del extremoC de la pala, que en ese momento se encuentra en(b,a+R,0), aplicando las expresiones del campo de aceleraciones del sólido 2. 4. Calcular esa misma aceleración~aC21 mediante la composición de movimientos 2/0 + 0/1, y comprobar que se obtiene la misma expresión. ωr −ωr x0 z0 x1 y1 ≡ y0 z1 O A B C θ θ EUITA 2002 EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 49 1 Usando la composición de velocidades angulares: ωωω21 =ωωω20+ωωω01 ⇒ ωωω21 = ωr i0+ θ̇ j0 2 Para obtener la aceleración angular, hay que tener en cuenta que los ejesS0 son móviles: ω̇ωω21|1 = ω̇ωω21|0+ωωω01∧ωωω21 = 0 θ̈ 0 + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̇ 0 ωr θ̇ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ⇒ ααα21 = 0 θ̈ −θ̇ωr 3 Para aplicar el campo de aceleraciones, hay que buscar un punto del sólido 2 cuyo movi- miento sea conocido. Como el eje se mueve con el sistemaS0, cualquier punto del eje servirı́a, comoA o B:1 Es posible calcular la aceleración deC basándose en el puntoO, pero entonces hay que calcular la aceleración~a021, con lo que no ganamos nada porque es tan difı́cil como la deC. Por eso es mejor apoyarse enB o A, que están fijas enS0. ~aC21 = a ︷︸︸︷ ~aB21 + b ︷ ︸︸ ︷ ω̇ωω21∧BC+ c ︷ ︸︸ ︷ ωωω21∧ (ωωω21∧BC) a) ~aB21 ≡~aB01 =��~a O 01+ω̇ωω01∧OB+ωωω01∧ (ωωω01∧OB) = = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̈ 0 b a 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̇ 0 0 0 −bθ̇ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −bθ̇2 0 −bθ̈ b) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̈ −θ̇ ωr 0 R 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = Rθ̇ ωr 0 0 c) ωωω01∧ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 ωr θ̇ 0 0 R 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 ωr θ̇ 0 0 0 Rωr ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = Rωr θ̇ −Rω2r 0 ⇒ ~aC20 = 2Rθ̇ ωr −bθ̇2 −Rω2r −bθ̈ Aquı́ se ha tomadoB, pero serı́a más sencillo tomandoA, que es un punto fijo de los sistemas S0 y S1, por lo que~aA21= 0. 4 Aplicando la composición de aceleraciones: ~aC21= relativa ︷︸︸︷ ~aC20 + arrastre ︷︸︸︷ ~aC01 + Coriolis ︷ ︸︸ ︷ 2ωωω01∧vC20 r) ~aC20=� �~aB20+✟ ✟✟ω̇̇ω̇ω20∧BC+ωωω20∧ (ωωω20∧BC) = 0 −Rω2r 0 a) ~aC01=� �~aO01+ ω̇̇ω̇ω01∧OC+ωωω01∧ (ωωω01∧OC) = = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̈ 0 b a+R 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̇ 0 0 0 −bθ̇ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −bθ̇2 0 −bθ̈ C) 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 θ̇ 0 0 0 Rωr ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2Rωr θ̇ 0 0 ⇒ ~aC20 = 2Rθ̇ ωr −bθ̇2 −Rω2r −bθ̈ 1Un errorgrave es apoyarse en el puntoO para el movimiento del rotor:~aC21 = ~a 0 21+ . . . , y afirmar luego que ~a021= 0. O es un punto fijo de los sistemasS1 y S0, pero no del rotor: éste se fija aS0 enB. Un punto del rotor que pasara porO —eso es lo que significa~aO21— tendrı́a aceleración porque estarı́a girando alrededordeAB, que a su vez gira. Decir que~a021 = 0 equivaldrı́a a fijar un extremo del rotor enO y hacerlo girar alrededor de este punto, lo que es absurdo. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 50 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Problema 3.1.6: Un vehı́culo rectangular (sólido 0), de 4R de largo y 2R de ancho, tiene cuatro ruedas de radioRen los vértices. Todas están contenidas en planos verticales, y ruedan y pivotan sin deslizar sobre el plano horizontalO5x5y5. Las dos delanteras (1 y 2) son directrices y sus planos forman ángulosφ1 y φ2 con Ox0z0. Las dos traseras (3 y 4) son motrices y sus planos están fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas, el motor las mueve a través de un diferencial, de modo que sus velocidades angulares de rodadura cumplen la relación ω r45+ω r 35 = 2ω, siendoω constante. Se pide: 1. Determinarφ2 en función deφ1 para que el movimiento 0/5 sea posible. 2. Determinarω r45, ω r 35 y la velocidad angular del vehı́culo en función deω y φ1. 3. En el caso tanφ1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento del vehı́culo y la trayectoria deO (punto medio del eje trasero). En el instante inicial,O está sobreO5 y los ejes tienen las mismas direcciones. Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendoω constante, el vehı́culo se mueve de modo queO recorre el arco de cicloidex= R(1−cosu), y= R(u−sinu), u∈ [0,2π ]. Se pide: 4. Determinar la ley horariau= u(t). 5. Hallar la leyde mando de la rueda,φ1(t), para queO recorra dicha trayectoria. ETSIA 2001 O x y x y O 1 2 3 4 ψ φ φ 5 5 5 1 2 0 0 1 Al mantenerse el plano de cada rueda vertical, la velocidad angular de rodadura tiene que ser normal a este plano, y la velocidad delcentro —que está unido al vehı́culo— será horizontal y contenida en elplano:vCi5 = ω r i5R. Para que el vehı́culo se mueva como un sólido, el Centro Instantáneo de Rota- ción tiene que estar en la normal a las velocidades de los vértices, y por tanto a los planos de las ruedas: v ω c r D CIR φφ φφ 1 2 12 tanφ1 = 4R D ⇒ D = 4R tanφ1 tanφ2 = 4R D−2R ⇒ tanφ2 = 4R 4R tanφ1 −2R ⇒ tanφ2 = 2tanφ1 2− tanφ1 EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 51 También se podrı́a llegar a este resultado planteando las ecuaciones del movimiento de los centros de las ruedas —en las 9 coordenadas generalizadas del sistema— lo que darı́a lugar a 8 ecuaciones. Dos son iguales por la ligadura redundante de que las ruedas 3 y 4 no deslicen en la direccióny0. Estas 7 ecuaciones independientes, más la condición delenunciado, se pueden usar para obtenerφ2 = f (φ1). Obviamente, esto es mucho más largo y complejo, se calculan cosas que no se piden (ni se puntúan), y se multiplica la posibilidad de equivocarse. 2 Por ser parte del sólido, los centros de las ruedas 3 y 4 tienen que cumplir: vC335 = v C3 05 ⇒ ω r35R= ψ̇(D−2R) vC445 = v C4 05 ⇒ ω r45R= ψ̇D } ω r35 ω r45 = D−2R D = 4R tanφ1 −2R 4R tanφ1 ω r35 = ω r 45 2− tanφ1 2 ⇒ ω r45+ω r45 2− tanφ1 2 = 2ω ω r45 ( 2+2− tanφ1 2 ) = 2ω ⇒ ω r45 = 4ω 4− tanφ1 ω r35 = 4ω 4− tanφ1 2− tanφ1 2 ⇒ ω r35 = 2ω(2− tanφ1) 4− tanφ1 ψ̇D = ω r4R ⇒ ψ̇ = ω tanφ1 4− tanφ1 3 Cuandoφ1 es constante, el C.I.R. es un punto fijo del eje trasero —y por tanto, también del plano fijo: si la ruleta es un punto, la base también tieneque serlo— y el vehı́culo gira alrededor de él. en este caso, siendo tanφ1 = 2, el C.I.R. es el centro de la rueda 3. Base y ruleta: el centro de la rueda 3 (axoides: eje vertical que pasa por ese punto) Trayectoria deO: circunferencia de radioR y centro el de la rueda 3 4 Conocida la trayectoria deO, hay que hallar su velocidad. Basándose en el campo de velocidades del sólido: vO05 = ψ̇(D−R) = ω tanφ1 4− tanφ1 ( 4R tanφ1 −R ) = ωR De la ecuación de la trayectoria:vO05 = √ ẋ2+ ẏ2. ẋ= Rsinuu̇ ẏ= R(1−cosu)u̇ } ⇒ vO05 = Ru̇ √ 1−2cosu+cos2u+sin2u= Ru̇ √ 2−2cosu= 2Ru̇ √ 1−cosu 2 = 2Ru̇ sin u 2 = ωR Que se integra sin dificultad: ωt =−4cosu 2 +C Nótese que, en el intervalo pedido,u∈ [0,2π ], sinu2 es siempre positivo y no hay que preo- cuparse por el signo. Si recorriera otro arco, habrı́a que ajustar el signo de la raı́z —pues el módulo de la velocidad es siempre positivo— de modo que se tomara−sinu2 cuando el seno sea negativo. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 52 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS ComoO está en el origen ent = 0, x= 0,y= 0,u= 0, y se tiene: cos u 2 = 1− ωt 4 u∈ [0,2π ] , t ∈ [0,8/ω] Si recorriera otro arco, habrı́a que integrar con el nuevo signo, y ajustar las condiciones iniciales al comienzo del segundo arco. 5 Conocidas las ecuaciones horarias, se puede hallarψ̇ en función det, que da inmediata- menteφ1(t): tanψ = ẏ ẋ = 1−cosu sinu = 1− ( 2cos2 u2 −1 ) 2cosu2 sin u 2 = sin2 u2 sinu2 cos u 2 = tan u 2 ⇒ ψ = u 2 ; ψ̇ = u̇ 2 = ω 4sinu2 = ω 4 √ 1− ( 1− ωt4 )2 = ω tanφ1 4− tanφ1 ⇒ tanφ1 = 1 4 + √ 1− ( 1− ωt 4 )2 Problema 3.1.7: Un sistema material (un ratón de bola) está apoyado sobre el plano fijoO1x1y1 y consta de: Un paralelepı́pedo (S0) que se apoya y desliza sobre el plano fijo; lleva asocia- do el sistemaOxyzde ejes paralelos a los lados. Una esfera de radioR (S2) cuyo centro está fijo en el puntoO deS0; rueda y pi- vota sin deslizar sobre el plano fijo. Dos discos de radior (S3 y S4) que pue- den girar libremente alrededor de ejes fi- jos en S0; sus centros son(R+ r,0,0)0 y (0,R+ r,0)0, respectivamente, y sus velocidades angulares relativasω30 = (0, α̇,0) y ω40 = (β̇ ,0,0); están en con- tacto sin deslizamiento con la esfera en los puntosA y B respectivamente. x1 y1 z1 b x y z O α̇ β̇ θ (ξ ,η ,0) x z O A α y z O B β Se usarán:(ξ ,η), coordenadas en ejes fijos de la proyección deO; θ , ángulo entreO1x1 y una paralela aOx; ángulosα y β girados por los discosS3 y S4 alrededor de sus respectivos ejes (ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada en ejesS0: ω21= (ωx,ωy,ωz)0. Los resultados se proyectarán en ejesS0, salvo los que por definición exigen otros. Se pide: 1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esferasobre el plano fijo, proyectadas en ejesS0. 2. Expresar las componentes de la velocidad angularω21 en función deα̇, β̇ y θ̇ . 3. A continuación se estudia un movimiento particular: Se colocaO sobre el ejeO1z1, con los ejesS0 paralelos a los fijos, y se mueve el ratón de modo quevO01 = ΩRi1 y θ̇ = Ω, ambos constantes. Calcularω21(t). 4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija de la esfera,rAF(t,λ ) EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 53 5. Identificar qué superficie es. 6. Por razonamientos geométricos, identificar la axoide m´ovil. 7. Obtenerα(t) y β (t), suponiendo que ambas sean nulas ent = 0. 8. Calcular la aceleración angular relativa de la esfera,ω̇20. ETSIA 2009 1 El punto más bajo de la esfera tiene velocidad nula. La proyección deO (que es siempre el centro de la esfera) tiene coordenadas(ξ ,η,0) en ejes fijos. Por tanto, aplicando el campo de velocidades del sólido, vI21= 0 0 0 1 = vO21+ωωω21∧OI = ξ̇ η̇ 0 1 + ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 ωx ωy ωz 0 0 −R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = = ξ̇ cosθ + η̇ sinθ −ξ̇ sinθ + η̇ cosθ 0 0 + −Rωy +Rωx 0 0 ⇒ Rωy = ξ̇ cosθ + η̇ sinθ Rωx = ξ̇ sinθ − η̇ cosθ Se llegarı́a al mismo resultado basándose en el puntoI de velocidad nula: vO21 =� �vI21+ωωω21∧ IO 2 Para relacionar el giro de la bola con los de los discos, tenemos las ecuaciones del contacto sin deslizamiento enA y B. Nótese que se da la velocidad angular de la bola respecto aS1, y de los discos respecto aS0, por lo que hay que aplicar composición de movimientos en una u otra dirección. Es más fácil considerar los movimientosrespecto aS0, porque todos los sólidos tienen un punto fijo: vA20 = v A 30 v B 20= v B 40 ωωω20 =ωωω21−ωωω01 = (ωx,ωy,ωz)− (0,0, θ̇) vA20 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 ωx ωy ωz− θ̇ R 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 R(ωz− θ̇) −Rωy = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 α̇ 0 −r 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 0 rα̇ ⇒ ωy =− r Rα̇ ωz = θ̇ vB20 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 ωx ωy ωz− θ̇ 0 R 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −R(ωz− θ̇ ) 0 Rωx = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 β̇ 0 0 0 −r 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 0 −rβ̇ ⇒ ωx =− rRβ̇ 3 Sustituyendo los datos del enunciado en las ecuaciones de laP2 y en laωz de P3, con la condición inicialθ0 = 0, se obtiene directamente: ξ̇ = ΩR, η̇ = 0, θ̇ = Ω ⇒ ωωω21 = Ω(sinΩ t,cosΩ t,1) EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 54 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 4 La axoide fija está proyectada en ejes fijos por definición. Proyectamos la velocidad angular en ejes fijos: ωωω21 = Ω sinΩ t cosΩ t 1 0 = Ω 0 1 1 1 y queda un vector de dirección constante. Tenemos la velocidad de un punto de coordenadas conocidas (O) y la velocidad angular: podemos aplicar la ecuación de la Axoide Fija: rAF = rO+ ωωω21∧vO21 ω221 +λωωω21 El único vector que falta esrO, que se obtiene integrando trivialmente su velocidad:(RΩ t,0,R). No hay más que sustituir y operar. También se puede obtener directamente: conocemos un punto de velocidad nula(el de contacto de la bolaI , justo debajo deO) y la dirección del EIR, que es la velocidad angular. Podemos escribir directamente la ecuación: r I +λωωω21 = (RΩ t,0,0)+λΩ(0,1,1)= rAF =Ω(Rt,λ ,λ ) 5 Un vector de dirección fija(0,1,1) se desplaza por el ejeO1x1: se trata de unplano que contiene al ejeO1x1 y al punto (0,1,1). Ω t Ω t ΩΩΩ x1 y1 z1 b b ωωω O I 6 Para estudiar cómo se mueve el EIR respecto a la esfera (Axoide Móvil), lo más conveniente es tomar unos ejes paralelos a los fijos con origen en O. En esos ejes,O es un punto fijo, y la esfera gira alrededor de un eje de dirección fija en el espacio (la deωωω21). El EIR pasa porI , que está a una distanciaR/ √ 2, y se ve girar alrededor del eje paralelo que pasa porO: describe uncilindro de centro O, eje de direccíon (0,1,1) (en ejes fijos), y radio R/ √ 2, que es la distancia deI al eje. 7 Sustituyendo el valor deωωω21 en las relaciones P3, ωx = ΩsinΩ t =− rRβ̇ ωy = ΩcosΩ t =− rRα̇ ⇒ α = − R r sinΩ t β = Rr (cosΩ t−1) x1 y1 z1 b b ωωω O I 8 Obtenida en P3 la velocidad angular relativa, proyectada enejesS0, no hay más que derivar: ωωω20 = Ω sinΩ t cosΩ t 0 ααα20 = dωωω20 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 0 = ααα20 = Ω2 cosΩ t −sinΩ t 0 Problema 3.1.8: Una esfera de radioa rueda y pivota sin deslizar por el interior de una super- ficie cónica de revolución de ejeOz1 y semiángulo cónico 60o. El centroC de la esfera describe, con velocidad angularω constante, una circunferencia de radioa contenida en un plano perpen- dicular aOz1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vista general del sistema y la otra es un corte por el plano auxiliarxOzque contiene el centro de la esfera y que gira alrededor deOzen el curso del movimiento con velocidad angularω. Se pide: 1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de la esfera ΩΩΩ ha de quedar contenido en el planoxOz. En lo sucesivo supondremos que la relación EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 55 entre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantiene constante a lo largo del movimiento. 2. Demostrar que con esta nueva condición el eje instantáneo de rotación de la esfera corta a Oz1 en un punto fijo. 3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angularΩ en los siguientes movimientos particulares: a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula. b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano. c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano. d) Cuando el punto de tangenciaH de la esfera y el ejeOz1 se mantiene fijo. 4. CalculardΩΩΩ/dt en el movimiento particular a). 5. calcular la aceleración deH en este caso particular. De la geometrı́a del cono y los contactos, se deduce:H(0,0,a √ 3),C(a,0,a √ 3), I(3a2 ,0, a √ 3 2 ), IC = ( −a2,0, a √ 3 2 ) . Sabemos que rueda y pivota sin deslizar,vI21 = 0, y que el centro describe una circunferencia con velocidadvC21=−ωaj0. 1 Supongamos que la velocidad angular valeωωω21= (ωx,ωy,ωz) . Aplicando el campo de velocidades, vC21=� �vI21+ωωω21∧ IC = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ io j0 k0 ωx ωy ωz −a2 0 a √ 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ωy √ 3 −ωz−ωx √ 3 −ωy ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 −aω 0 → ωy = 0 deducimos queωωω21 está contenida en el planoOx0z0. bb ωωω ωωωr ωωω p b x0 z0 ≡ z1 O H C I 2 Las velocidades de rodadura y pivotamiento son proporcionales. Las velocidades angulares de rodadura y pivotamiento tendrán las direcciones de la tan- gente al cono en el plano,ωωω r = λ IO y la normal,ωωω p = µ IC . El E.I.R. pasa siempre porI , que tiene velocidad nula, y está contenido en el planoOx0z0. Si la relación entreωp y ωr es constante, la velocidad angular (y el E.I.R.) forma un ángulo constante conOI o conIC . Luego, si pasa siempre por el mismo punto y tiene la misma dirección, corta aOz1 siempre en el mismo puntoV. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 56 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 3 El E.I.R. pasa siempre por el puntoI , fijo en S0, y por V, fijo en S0 y S1. Al girar S0, la axoide fija será el cono de vérticeV que genera el E.I.R. al girar alrededor deOz1. Y la axoide fija será otro cono con el mismo vértice: al girar la esfera respecto aS0, tieneV y C como puntos fijos. Ve variar al E.I.R. como un cono de vérticeV y ejeVC. Según las relaciones entre rodadura y pivotamiento (i.e.,la dirección del E.I.R.), tendremos los siguientes casos: a La velocidad de pivotamiento es nula. La velocidad angular es paralela a la generatriz del cono fijo, el corte al ejeOz1 esV ≡ O. El E.I.R. es la propia generatriz de contacto; al girar el sistemaS0 genera la axoide fija: el propio cono fijo. Para determinar la móvil, estudiamos el movimiento de la esfera respecto al planoOx0z0. Tiene los puntosC y O (de la esfera) fijos, luego el movimiento 2/0 es un gi- ro alrededor de ese eje. El E.I.R. es una recta que pasa siempre por el puntoO del eje de giro y forma un ángulo constante con él, luego al girar la esfera describe el cono de la figura. b b x0 z0 ≡ z1 O C I E.I.R. Otro modo de verlo es calcular la velocidad angular relativa. La absoluta tiene la dirección deIO, ( − √ 3 2 ,0,−12 ) ; sabiendo que la velocidad deC esaω j0, se deduce: ωωω21 = ω ( − √ 3 2 ,0,−1 2 ) Como la de arrastre esωωω01 = ω k0 , la relativa vale ωωω20 = ω √ 3 2 ( −1,0,− √ 3 ) que tiene precisamente la dirección deCO. b La axoide fija se reduce a un plano. La velocidad angular tiene que ser normal al ejeOz1, para que al girar genere un plano.V está en el eje, a la altura de I . La axoide móvil es el cono que generaVI, horizontal, al girar alrededor deVC. Si ωωω21 =−λ i0, y la velocidad deC esaω j0, se deduce: ωωω21 =−ω 2√ 3 j0 Es fácil comprobar que la velocidad angular del cono re- lativa al planoOx0z0 tiene la dirección deCV, restando ωωω01 = ω k0 de la absoluta. b b b x0 z0 ≡ z1 O V C I E.I.R.A.F. A.M. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 57 c El movimiento de la esfera es plano. Por definición de movimiento plano, todos los puntos de la esfera tienen que tener velocidades paralelas a un plano. Como el puntoC describe una circunferencia pa- ralela aOx1y1, la velocidad angular tiene que ser normal a ese plano. Y como la de arrastre y la absoluta lo son, la relativa también. El E.I.R. es una recta paralela aOZ0 que pasa porI . La axoide fija es el cilindro generado por esta recta al girar el planoOx0z0. La esfera gira respecto al planoOx0z0 al- rededor de un eje paralelo aOz0 que pasa porI : la axoide móvil será otro cilindro tangente al anterior cuyo eje pasa porC. b b x0 z0 ≡ z1 O C I E.I.R. A.M.A.F. d H es punto fijo. El E.I.R. pasa porI y por H. Al girar el planoOx0z0, ge- nera la axoide fija: cono de vérticeH, ejeOz1, semiángu- lo 60o. La esfera tiene los puntosH y C fijos en el plano S0; al girar, ve al E.I.R. describir un cono de vérticeH, eje HC, y generatrizHI . Es fácil comprobar que el se- miángulo es 30o. E.I.R. bb b x0 z0 ≡ z1 O H C I A.M. A.F. 3 En el caso a), la velocidad angular vale, ωωω21 = ω ( − √ 3 2 ,0, 1 2 ) constante en ejesS0. Para obtener la aceleración, aplicamos el teorema de Coriolis: ααα21 = dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 1 = ✚ ✚ ✚ ✚dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 0 +ωωω01∧ωωω21 =− √ 3 2 ω j0 4 Para calcular la aceleración deH (aclaremos: del punto de la esfera que en cada momento esté en contacto con el ejeOz1) podemos: Aplicar el campo de aceleraciones, basándonos en algún punto de aceleración conocida. Candidatos son:C, que describe un movimiento circular uniforme de aceleración trivial −ω2ai0 o, mucho mejor,O (como parte de la esfera), que está fijo: aH21 =� �aO21+ααα21∧OH+ωωω21∧ (ωωω21∧OH) = 3 4 aω2 ( −1,0,− √ 3 ) Hacer una composición de movimientos con el sistemaS0. En el movimiento de arrastre, H es un punto fijo. El relativo es un giro uniforme alrededor delejeCO, cuya velocidad angular se calculó más arriba. aH21 = a H 20+� �aH01+2ωωω01∧vH20 = 3 4 aω2 3 0 − √ 3 +3aω2 1 0 0 = 3 4 aω2 −1 0 − √ 3 Naturalmente,no se puede hacer derivando dos veces el vector posición, porque no en cada momento es un punto distinto de la esfera el que pasa porH. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 58 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Problema 3.1.9: El sistema material de la figura está constituido por: a) Un cono circular recto (Sólido 1) fijo en el espacio de semiángulo en el vértice 30o, radio de la baseR y eje verticalOz1. b) Un cilindro circular recto (Sólido 2) móvil de alturaR y radio de la baseR/2. El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma que en todo momento tienen una generatriz común. Se sabe que la generatriz de contacto cilindro/cono gira con velocidad angular constanteω alrededor del ejeOz1, y que la base inferior del cilindro rueda sin deslizar sobre la base del cono. En el movimiento cilindro/cono descrito se pide: 1. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 2. Velocidad angular. 3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento. 4. Axoides fija y móvil. 5. Aceleración angular. 6. Velocidad del puntoM situado en la base superior del cilindro según se indica. Nota: todos los cálculos deben realizarse en los ejesOx0y0z0 que se indican en la figura y que en todo momento acompañan a la generatriz de contacto cilindro/cono. ETSIA, septiembre de 1977 Este problema es análogo al 2.3. Aquel se resolvió por campo de velocidades, este se hará por composición de movimientos. Si los el cilindro y el cono están en contacto por una generatriz, necesariamente esta y los dos ejes están en el mismo plano, elOx0z0. El vértice del cono está a un alturaRtan30o, y el eje del cilindro corta aOz1 a una alturaRtan30o+ R/2 sin30o = R(1+ √ 3). 1 Para determinar el E.I.R.M.D. necesitamos dos pun- tos de velocidad nula: La base del cilindro rueda y pivota sin deslizar so- bre la del cono. El puntoI que en cada momento esté en contacto es parte del E.I.R. Los puntos del eje del cilindro están fijos en el planoOx0z0. El puntoV en que el eje corta aOz1 está también fijo en los ejesS1, y por tanto tiene velocidad nula. El E.I.R. es la recta que pasa porI y porV, y está fi- ja en los ejesS0. Observando la figura, se deduce que su dirección es(−1,0,1+ √ 3) x0 z0 ≡ z1 b C M V b R 2 IO R R √ 3 R EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 59 2 Para hallar la velocidad angular hacemos una compo- sición de movimientos conS0. Según el enunciado, la generatriz de contacto y el plano que la contiene giran alrededor deOz1 con velocidad angular constanteωωω01 = ω k1. El eje del cilindro está fijo en el planoS0, y es para- lelo a la generatriz. El movimiento relativo será un giro alrededor de este eje. Conocemos solo ladirec- ción de la velocidad angular:ωωω20 = λ (−1,0, √ 3) Conocemos el E.I.R. y por tanto ladirección de la velocidad angular absoluta:ωωω21 = µ (−1,0,1+√ 3) x0 z0 ≡ z1 ωωω01 ωωω20 b C V b ωωω21 IO Aplicamos la composición de velocidades angulares, µ −1 0 1+ √ 3 = λ −1 0√ 3 +ω 0 0 1 → µ = λ µ = ω ⇒ ⇒ ωωω20 = ω −1 0√ 3 ; ωωω21 = ω −1 0 1+ √ 3 3 El plano tangente común contiene a la generatriz de contacto y es normal aOx0z0. El vector normal común tendrá la direcciónn = (√ 3 2 ,0, 1 2 ) . ωωω p = (ωωω21 ·n) n = ω 4 (√ 3,0,1 ) ωωω r =ωωω21−ωωω p = ω 4 ( −4− √ 3,0,4 √ 3+3 ) x0 z0 ≡ z1 b C V ωωω p ωωω r b IO 4 El E.I.R. pasa por el punto fijoV (común al cono y al cilindro), y por el puntoI que gira con el planoOx0z0. Axoide fija: Sobre el cono, el puntoI recorre la base. La A.F. es el cono de vérticeV que se apoya sobre la base del cono. Axoide móvil: Sobre el cilindro,I recorre también la base. La A.M. es el cono de vérticeV que se apoya sobre la base del cilindro. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 60 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS x1 y1 z1 ≡ z0 x0 y0 I V b b x1 y1 z1 ≡ z0 x0 y0 b b x1 y1 z1 ≡ z0 x0 y0 b b 5 Derivamos la velocidad angular, teniendo en cuenta que est´a proyectada en ejes móviles: ααα21 = dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 1 = ✚ ✚ ✚ ✚✚❃ Cte. dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 0 +ωωω01∧ωωω21 =−ω2 j0 6 Para calcular la velocidad deM ( R 2 ,0, R √ 3 2 ) tenemos varios caminos: Campo de velocidades: vM21 =� �vI21+ωωω21∧ IM =− ωR 2 j0 Composición de velocidades: vM21 = v M 20+v M 01 = ωRj0− ωR 2 j0 = ωR 2 j0 Problema 3.1.10: Se considera el sistema material constituido por: a) Una esferaE, de centroO1 y radioR (sólido 3) cuyo movimiento respecto a un sistema fijo (sólido 1) es una rotación pura de valorω constante alrededor de un diámetro vertical AB. b) Un plano horizontalπ (sólido 4) cuyo movimiento respecto al sólido 1 es también una rotación pura de valorΩ constante alrededor de la verticalAB. Dicho plano está situado a una distancia 2R por debajo del centroO1 de la esferaE. c) Un cono circular rectoC (sólido 2) de vértice el puntoO (intersección de la rectaAB y el planoπ), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la cara superior del planoπ . En la figura se representa la sección meridiana del sistema material considerado. Los ejes Ox0y0z0 están ligados a dicha sección y deben utilizarse para el c´alculo de todas las magni- tudes vectoriales que intervienen en el problema. Se pide: 1. Velocidad angular absoluta del eje del cono. 2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono. 3. Axoides fija y móvil del movimiento absoluto del cono. 4. Aceleración angular absoluta del cono. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 61 Para el caso en queΩ =−ω/2. 5. ¿Cuáles son las superficies axoides? 6. Aceleración del puntoM del cono en contacto con la esfera. Datos geoḿetricos: O≡ O≡ O≡ O≡ O, OO1 = R(0,0,2) , OM = R ( 3 2,0, √ 3 2 ) . N cualquier punto de la generatriz común. Datos cineḿaticos: ωωω31 = ω k1 ; ωωω41 = Ωk1 vM23= 0; v N 34 = 0 x0 z0 ≡ z1 S2 C b M b O b O1 b NS4 S3 ω Ω 1 En primer lugar hay que aclarar que la pregunta “velocidad angular de un eje” es ambigua. Una recta es un sólido degenerado (5 grados de libertad en vez de 6). El giro alrededor de ella misma no la afecta. Por tanto, la componente paralela de su velocidad angular es arbitraria. Habrı́a que interpretar la pregunta como “velocidad angular del plano que la contiene”, que en este caso es elOx0z0. Como dato contamos con las velocidades de tres puntos del cono: O, en reposo, yM y N, que por el no deslizamiento se mueven con la velocidad de los respectivos puntos deS3 y S4. N puede ser cualquiera, pero conviene tomar uno que esté a la misma distancia deO queM. El camino serı́a: Con los campos de velocidades de la esfera y el plato, calcular vM31 = v M 21 y v N 41= v N 21. Basándose enO, aplicar el campo de velocidades aM y N y calcularωωω21 Calcular la velocidad de un punto cualquiera del eje del cono, vC21 = v C 01. Como el eje está siempre fijo en el planoOx0z0, se obtieneωωω01. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 62 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS vM31 = R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 0 ω√ 3 2 0 3 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = √ 3 2 ωRj0 = vM21 vN41 = R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 0 Ω√ 3 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = √ 3ΩRj0 = vN21 x0 z0 ≡ z1 S2 C b M b L b O b N Aquı́ se podrı́a ir directamete a porωωω01, o calcular antesωωω21. Por el primer camino, apro- vechamos queM y N estén a la misma distancia deO, para que el punto medioL ( 3 √ 3R 4 ,0, 3R 4 ) sea parte del eje. Aplicarı́amos el campo de velocidades aM y L, vM21= v N 21+ωωω21∧NM → ωωω21∧NM = vM21−vN21 ; NL = 1 2 NM vL21 = v N 21+ωωω21∧NL = vN21+ vM21−vN21 2 = √ 3R 4 (2Ω+ω) j0 vL01 = √ 3R 4 (2Ω+ω) j0 ⇒ ωωω01 = ∣ ∣vL01 ∣ ∣ xL k0 = 2Ω+ω 3 k0 Otro camino se basa en conocer las direcciones de las velocidades angulares relativa (eje del cono) y de arrastre (ejeOz0), y permite obtener a la vez las tres velocidades.ωωω21 =ωωω20+ωωω01 = λ √ 3 2 0 1 2 +µ 0 0 1 Ahora aplicamos el campo de velocidades, apoyándonos en elpunto fijoO, vM21 =ωωω21∧OM = R √ 3 2 (µ −λ ) j0 = Rω √ 3 2 j0 vN21 =ωωω21∧ON = R √ 3 ( µ − λ2 ) j0 = RΩ √ 3j0 → → µ −λ = ω 2µ +λ = 2Ω } → λ = 2 3 (Ω−ω) µ = ω +3Ω 3 ωωω01 = ω +3Ω 3 j0 ; ωωω20 = 1 3 (Ω−ω) √ 3 0 1 ;ωωω21 = Ω−ω√ 3 0 Ω 2 Por el camino anterior ya se obtiene la velocidad angular absoluta. Para calcularla directa- mente, se aplica el campo de velocidades del cono aM y N, basándose enO. Podemos dejar como incógnitas las tres componentes, y que salgan de las ecuaciones, o hacer directamente ωy = 0 (si no el cono se levantarı́a); es más sencillo esto último: vM21 = R √ 3 2 ( ωz− √ 3ωx ) = R √ 3 2 ω j0 vN21 = R √ 3ωz= R √ 3Ω j0 } ⇒ ωωω21 = Ω−ω√ 3 0 Ω 3 Sabiendo queO es un punto fijo del cono, y que la velocidad angular tiene una dirección fija en ejesS0, las axoides son triviales. Axoide fija: El cono de vérticeO que describe la recta soporte de la velocidad angular al girar el planoOx0z0 alrededor deOz0. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 63 Axoide móvil: El cono de vérticeO que describe la recta soporte de la velocidad angular al girar alrededor de el eje del movimiento relativo 2/0,OC. 4 Derivamos la velocidad angular, teniendo en cuenta que est´a proyectada en ejes móviles: ααα21 = dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 1 = ✚ ✚ ✚ ✚✚❃ Cte. dωωω21 dt ∣ ∣ ∣ ∣ 0 +ωωω01∧ωωω21 = (Ω−ω)(2Ω+ω) 3 √ 3 j0 CuandoΩ =−ω2 , la velocidades angulares absoluta y de arrastre valen: ωωω01 = 0; ωωω01 = ω − √ 3 2 0 −12 La aceleración angular también es nula, pues el vector velocidad angular está fijo en el espacio. El E.I.R. coincide con el eje del cono, cuyo movimiento es unarotación con eje fijo. En estas condiciones: 4 Las axoides fija y móvil se reducen al propio eje del cono, queno se mueve en el espacio. 5 La aceleración deM se calcula directamente: aM21 =� �aO21+✘✘✘ ✘✘✘ααα21∧OM +ωωω21(ωωω21∧OM) = √ 3 2 ω2R ( 1 2 ,0,− √ 3 2 ) Problema 3.1.11: Un diferencial de automóvil está formado por dos conos iguales (sólidos 1 y 2) de eje común y semiángulo en el vértice de 30o. Dichos conos pueden girar libremente alrededor de su eje con movimientos independientes. El tercer cono (sólido 3) de semiángulo en el vértice de 60o, puede moverse sobre los conos anteriores girando alrededor de su eje OE3 y rodando sin deslizar sobre las generatrices de contacto con los conos 1 y 2. El eje del cono 3,OE3, es un radio fijo de una corona circular (sólido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje de los conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angular constanteΩ4. Si la velocidad angular del cono 1 esΩ1, se pide: 1. Velocidades angularesωωω30 y ωωω20. 2. Eje instantáneo de rotación en el movimiento del sólido 3. 3. Axoides fija y móvil del movimiento anterior. 4. Para una velocidad angularΩ4 dada, ¿qué valor debe tomarΩ1 para que el módulo de ω34 sea mı́nimo? ¿Cuál será en ese caso la velocidad angularω20? 5. Representar gráficamenteω20 en función deΩ1 para unaΩ4 dada y determinar el valor deΩ1 que hace máxima la rotación deω20. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 64 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Los ejesOx0y0z0 corresponden al chasis del vehı́culo. El motor mueve la corona❹, que a través de dos engranajes cónicos (el❸ y su opuesto❺, que no se tiene en cuenta en el pro- blema), mueve los engranajes❶ y ❷ conectados a las ruedas. Trabajaremos en los ejesOx4y4z4, ligados a la corona, que en el instante inicial coinciden con losS0. Sabemos que el motor mueve a la corona con una velocidad angular constanteωωω40 = Ω4 j0, y que el cono❶ gira con velocidad angularωωω10= Ω1 j0. 1 Por composición de movimientos, sabemos que el cono❸ se mueve con: ωωω30 =ωωω34+ωωω40 = Ω3k4+Ω4 j0 ωωω10 z4 x0 y0 z0 ωωω40 ωωω20 ❷ ❸ ❺ ❹ ❶ Sea un puntoM de la generatriz común 3/2, a una distancia 2d arbitraria del centro, y por tanto de coordenadasd(0, √ 3,1). Por rodar sin deslizar un cono sobre otro, tendrá la velocidad vM20 = dΩ2 i0 = v M 30 = d ( Ω4− √ 3Ω3 ) i0 Un puntoN simétrico en la generatriz 3/1 tendrá la velocidad vN10 = dΩ1 i0 = v N 30 = d ( Ω4+ √ 3Ω3 ) i0 Y por tanto, ωωω30 = Ω3 j0 = Ω1−Ω4√ 3 j0 ; ωωω20 = Ω2 j0 = (2Ω4−Ω1) j0 El giro del cono❸ permite que las dos ruedas tengan velocidad angular distinta. Ası́ recorren longitudes diferentes en el mismo tiempo, y el vehı́culo puede tomar una curva sin que ninguna de las dos deslice. CuandoΩ3 = 0, Ω1 = Ω2 = Ω4, y el vehı́culo se mueve en lı́nea recta. 2 El cono❸ tiene vértice fijo en el origen; su velocidad angularΩ3k4+Ω4 j4 es un vector constante en ejes giratorios❹. Por tanto, el E.I.R. será, rE.I .R. = λ (Ω3k4+Ω4 j4) En el movimiento rectilı́neo coincide con el ejeOy0 ≡ Oy4. 3 Si el E.I.R. es una recta fija en ejes❹, Axoide fija: Es el cono de vérticeO y ejeOy0 que forma el E.I.R. al girar los ejes❹. Axoide móvil: Es el cono de vérticeO y ejeOz4 que forma el E.I.R. al girar alrededor de dicho eje (en realidad el que gira es el cono❸, el que acabamos de mencionar es el movimiento inverso). 4 Si entendemos “mı́nimo” aplicado al valor absoluto, tiene que serΩ3 = 0. EntoncesΩ1 = Ω2=Ω4. El vehı́culo se mueve en lı́nea recta, y los piñones❸ y ❺ no giran respecto a la corona. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 65 5 Hay una relación lineal entre las dos. Podemos distinguir varios casos: A: Pivota alrededor de la rueda 1 B: Movimiento rectilı́neo C: Pivota alrededor de la rueda 2 A: Con Ω4 = 0, el vehı́culo gira sobre su centro. Las ruedas tienen velocidades opuestas. Ω1 Ω2 O Ω4 2Ω4 Ω4 2Ω4 b A b B b Cb D Problema 3.1.12: Un disco infinitamente delgado (sólido 2), de radioR, rueda y pivota sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1 (sólido 1). Sea I el punto de contacto del disco y el plano. Para especificar su configuración se usarán:ξ , η coordenadas en ejes 1 de la proyección del centro del discoC sobre el plano;ψ, θ y ϕ, ángulos de precesión, nutación y rotación propia del disco, respectivamente. Los resultados se proyectarán en los ejes auxiliaresIx0y0z0 (sólido 0), con origen en el punto de contacto y girado el ángulo de precesión respecto aS1. Para el caso general, se pide: 1. Velocidad angular del disco en función de los ángulos deEuler y sus derivadas. 2. Obtenerξ̇ y η̇ en función de los ángulos de Euler y sus derivadas. Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro en el origen, ejeOz1, radio de la baseR, y semiángulo en el vértice 30o. En el instante inicial el punto I está sobre el ejeOy1. La proyección deC se mueve sobre el plano con velocidad de módulo constanteω R ( 1+ √ 3/2 ) . Para este movimiento, se pide: 3. Basándose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente: a) Dirección del vector velocidad angular en el momento inicial b) Axoide móvil c) Valores de los ángulos de Euler en el momento inicial. 4. Velocidad angular del disco. 5. Aceleración angular del disco ψ ϕ I C θ θ x1 y1 z1 x0 ≡ x3 y0 z0 y3 z3 y1 z1 IO EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 66 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS ➊ La velocidad angular en función de los ángulos de Euler se obtiene directamente; usando los ejes de la figura: ωωω21 =ωωω23+ωωω30+ωωω01 = ϕ̇ k3+ θ̇ i0+ ψ̇ k1 = θ̇ −ϕ̇ sinθ ψ̇ + ϕ̇ cosθ 0 ➋ El disco está siempre en contacto con el plano: con las coordenadas del enunciado, esto equivale a la ligadura geométrica zC = ζ = Rsinθ Al derivarla se obtiene la velocidad vertical del centro: żC = ζ̇ = Rcosθ θ̇ Para expresar la condición de no deslizamiento, podemos usar el campo de velocidades del disco: vI21 = 0= v C 21+ωωω21∧CI dondevC21 y ωωω21 son conocidas en función de las coordenadasy de la ligadura. También se puede escribir en la forma vC21 = ξ̇ η̇ ζ̇ 1 =� �vI21+ωωω21∧ IC = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 θ̇ −ϕ̇ sinθ ψ̇ + ϕ̇ cosθ 0 Rcosθ Rsinθ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −Rϕ̇ −Rψ̇ cosθ −Rθ̇ sinθ Rθ̇ cosθ 0 La tercera es la misma ligadura geométrica, ya derivada. Las otras dos se pueden proyectar en ejes 1, para obteneṙξ y η̇ ξ̇ = R [ −(ϕ̇ + ψ̇ cosθ)cosψ + θ̇ sinθ sinψ ] η̇ = R [ −(ϕ̇ + ψ̇ cosθ)sinψ − θ̇ sinθ cosψ ] o en ejes 0, que parece más simple para usarla más adelante: −R(ϕ̇ + ψ̇ cosθ) = ξ̇ cosψ + η̇ sinψ −Rθ̇ sinθ =−ξ̇ sinψ + η̇ cosψ ➌ Movimiento del disco: a Dirección del vector velocidad angular en el instante inicial: El punto de contacto ent = 0 está sobre la base de la AF, en(0,a,0); por tanto, la dirección de la velocidad angular es la del E.I.R. en ese punto, es decir, la generatriz del cono: ωωω21 ∣ ∣ 0 = λ ( 0,−12, √ 3 2 ) x1 y1 z1 ωωω21 b Axoide móvil: Del movimiento del disco sabemos: Rueda sin deslizar: el punto de contacto tiene velocidad nula (mı́nima) y pertenece al eje; por tanto: La axoide móvil se apoya en la periferia del disco. La axoide fija se apoya en una curva del plano, lugar geométrico de los puntos que han estado en contacto con el disco. Las dos curvas tienen tangente común: por plano tangente común de los dos sólidos, o por trayectoria del seguidor del EIR como punto independiente. b b b b b b b b b b b b EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 67 x1 y1 z1 d d d d′ La axoide fija es un cono: la móvil tiene que ser otro cono (o unplano) con el mismo vértice (aristas de retroceso en contacto). Por tanto: • La axoide móvil es otro cono que se apoya en el borde del disco. • Tiene que ser un cono recto, porque todas las generatrices, del vértice al disco, tienen que tener la misma longitudd que en la fija. Si no, cuando el disco rueda por la circunferencia base de la axoide fija, los vértices no coincidirı́an. • Serı́a un plano si el radio del disco fuera igual a la generatriz del cono fijo, pero no es ese nuestro caso, pues lo que son iguales son los radios de las bases. c Se coloca el disco en el punto inicial, de modo que las axoides estén en contacto sobre la generatriz. Los ángulos son obvios: ψ = 0 θ = π 3 (Cte.) ϕ = arbitrario x1 z1 x0 ≡ x3 y0 ≡ y1 z0 y3 z3 θ ➍ Velocidad angular: conocemos la dirección de la velocidad angular en un punto arbitrario, y la velocidad deC. El enuncia- do habla de la proyección, pero visto queθ es constante, es la misma velocidad deC. Aplicamos el campo de velocidades: vC21=ωωω21∧ IC = = −ωR ( 1+ √ 3 2 ) 0 0 = λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 0 −12 √ 3 2 0 √ 3 2 R 1 2R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1 y1 z1 ωωω21 x0 ≡ x3 y0 z0 y3 z3 vC θ −ωR ( 1+ √ 3 2 ) =−λR √ 3 2 ⇒ ωωω21 = ω ( 1+ 2√ 3 ) 0 −12√ 3 2 También se podrı́a obtener por composición de velocidades angulares: de la velocidad deC se deduce queωωω01 = ω k0, y la velocidad angular relativa tiene la dirección del ejedel cono. ➎ Aceleración angular: la velocidad angular es constante enejes 0; por tanto, ω̇ωω21 ∣ ∣ 1 =✟✟ ✟ω̇ωω21 ∣ ∣ 0+ωωω01∧ωωω21 ⇒ ω̇ωω21 = ω2 √ 3 18 ( 2+ √ 3 )2 i0 Otros caminos: EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 68 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS Se ha obtenido la axoide móvil basándose en las propiedades de las axoides desarrollables. Hay otras lı́neas de razonamiento, todas basadas en las propiedades del movimiento de sólidos en contacto; por ejemplo: Como el punto de contacto del disco tiene velocidad nula, es siempre parte del EIR. La periferia del disco rueda sin deslizar por la circunferencia base del cono, lugar geométri- co de los cortes del EIR con el plano. Al rodar una circunferencia sobre otra, tienen la tangente común, precisamente el ejeIx0. La proyección de la velocidad angular sobre ese eje es la de nutaciónθ̇ . La velocidad angular tiene la dirección de la generatriz, ypor tanto es normal aIx0, θ̇ = 0 y el ángulo de nutación es constante. Si θ es constante, el eje del disco —que tiene que estar contenidoen el plano meridiano OIz1 por la tangencia de las circunferencias— corta siempre al eje Oz1 en un punto fijo, que va a tener velocidad nula: es un punto fijo para el disco y elplano intermedioIy0z0. Si tiene velocidad nula, es parte del EIR y tiene que ser necesariamente el vértice de la AF; de ahı́ se deduce que la axoide móvil es un cono de vértice ese punto y base la periferia del disco. Problema 3.1.13: Una esfera de radioa y cen- tro C (S2) rueda y pivota sin deslizar sobre un cilindro circular fijo de radioR (S1). El punto de contactoM recorre sobre el cilindro la hélice R(cosθ i1+sinθ j1+θ tanα k1) con velocidadRω. Sobre la esfera recorre una circunferencia de radioacosβ . De las dos posi- ciones posibles, la circunferencia queda por en- cima del centroC. En la resolución convendrá usar los ejes in- termediosMx0y0z0 asociados a las coordena- das cilı́ndricas del punto de contacto. Salvo que algún resultado exija otra cosa, las soluciones vectoriales se proyectarán en estos ejes. Se pide: x y z x0 y0 z0 b b θ M C b b β C M 1. Velocidad angular deMx0y0z0. 2. Eje instantáneo de rotación del movimiento 2/0. 3. Módulo de la velocidad angularω20. 4. Aceleración angular absolutaα21 5. Axoide fija del movimiento 2/1. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 69 1 Los ejesMx0y0z0 son los mismos que los de las cilı́ndri- cas deM: ur , uθ , uz, que por definición están girados un ánguloθ respecto a los fijos. Por tanto, su velocidad angu- lar será(0,0, θ̇). Se obtiene fácilmente de la velocidad deM (dato). vM01= ṙ M = ṙ r θ̇ ż rθz = 0 Rθ̇ Rθ̇ tanα = Rω 0 cosα sinα θ̇ = ω cosα ⇒ ω01 = (0,0,ω cosα) x y z x0 y0 z0 b θ M vM01 2 Para obtener el EIR20 tenemos que situar correctamente la esfera. Tenemos dos datos: Contacto entre la esfera y el cilindro: La normal común es eleje Mx0. El centro de la esfera está a un radio, y por tanto es unpunto fijo en ejesS0: (a,0,0). Trayectoria deM sobre la esfera:M recorre la hélice sobre el cilindro, y una circunferen- cia de radioacosβ sobre la esfera. Como no hay deslizamiento, las recorre con la misma velocidad,vM01 = v M 02, que determina latangente coḿun a las dos curvas. Para situar la circunferencia, tendremos que dar: • Giro α alrededor deMx0 para que las dos tangentes coincidan • Giro β alrededor de la tangente común (velocidad deM) para situar la circunferencia de radioacosβ respecto a un cı́rculo máximo. Con esto podemos definir el movimiento 2/0: Es un giro alrededor del punto fijoC En el movimiento 0/2, el puntoM independiente recorre sobre la esfera la circunferencia de radioacosβ ; en el movimiento 2/0, los puntos de la esfera que van a ser punto de contacto recorren esa misma circunferencia. Por tanto, el movimiento 2/0 es un giro alrededor de un eje normal a la circunferencia y que pasa porC. El eje instantáneo 2/0 será EIR2/0 = a 0 0 +λ −sinβ −cosβ sinα cosβ cosα αβ x0 y0 z0 b b b C M 3 El punto independienteM, en el movimiento 0/2, recorre sobre la esfera la circunferencia de la figura. En el movimiento inverso, el 2/0, los puntos de lacircunferencia van pasando por el origenM deS0 con una velocidad igual y de sentido contrario. Como ya conocemos la dirección del EIR20, el módulo de la velocidad angular se calcula mediante la expresión del campo de velocidades 2/0: vM20 =−vM02 =−Rω 0 cosα sinα = Ω ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i0 j0 k0 −sinβ −cosβ sinα cosβ cosα −a 0 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ → Ω = Rω a cosβ 4 La velocidad angular es conocida, pues hemos calculadoωωω01 y ωωω20. Es constante en ejes móvilesS0: ω̇ωω21 ∣ ∣ 1 =✟✟ ✟ω̇ωω21 ∣ ∣ 0+ωωω01∧ (✟✟✟ωωω01+ωωω20) = ααα21 =ααα20 = Rω2cosα a (sinα,− tanβ ,0) EIAE. Problemas de Mecánica Clásica70 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 5 La Axoide Fija se obtiene sin problemas: conocemos un punto de velocidad nula,M, y la dirección de la velocidad angular. Lo único necesario es proyectar el vector velocidad angular, que conocemos en ejesS0, en los ejes fijosS1. Y tampoco completa, pues la componenteωωω01 ya está en los ejes adecuados. Como los ejesS0 han girado un ánguloθ , se tiene: AF21 = rM +λ cosα 0 0 1 +λ R a − tanβ cosθ +sinα sinθ − tanβ sinθ −sinα cosθ cosα Problema 3.1.14: Una esfera de radioa se mueve sobre un cilindro circular fijo, de eje vertical y radioR, de manera que: La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro. La velocidad angular de la esfera es un vector de móduloω(t), contenido en el plano tangente común a los dos sólidos, y que forma un ánguloθ constante con la vertical. En un instante arbitrario la posición del punto geométrico de contactoM viene dada por sus coordenadas cilı́ndricas(ψ,z), y su velocidadv forma un ánguloα con la horizontal. Se pide: 1. Trabajando en los ejes auxiliaresMx0y0z0, determinar la condición de no deslizamiento de la esfera sobre el cilindro, en función deω, θ , α y v. 2. Hallarv y α en función deω y θ . Identificar la trayectoria del puntoM sobre el cilindro para las condiciones inicialesψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v (√ 2 2 j1+ √ 2 2 k1 ) . 3. Identificar la trayectoria deM sobre la esfera. Para ello puede ser útil introducir como sistema intermedio el triedro intrı́nseco de la trayectoria deM sobre el cilindro. 4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija. Identificar laaxoide móvil, sin necesidad de hallar su ecuación. 5. Aceleración del puntoM considerado como de la esfera en el movimiento absoluto. 6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unosejes paralelos a los fijos con origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y móvil, sin hallar sus ecuaciones. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 71 Problema 3.1.15: El helicóptero de la figura se encuentra volando al altitud constante, sin avance, girando con velocidad absoluta~ωc constante sobre un eje vertical coincidente con el del rotor principal. Las velocidades de los rotores principal (sólido 2) y antipar (sólido 3) respecto al cuerpo del helicóptero (sólido 0) son también constantes, de móduloωp y ωa respectivamente. El radio del rotor principal (desde el eje hasta la punta de las palas) esrp y el del rotor antipar esra. La distancia entre los ejes de ambos rotores esL y, para simplificar la resolución, puede considerarse que las palas del rotor antipar están situadas en el plano de simetrı́a del helicóptero. Es imprescindible mostrar en el dibujo los ejes que se vayan autilizar. En caso de que se empleen ejes móviles, debe especificarse también su movimiento, indicando claramente a qué sólido están ligados. 1. Obtener las velocidades angulares absolutas de ambos rotores. 2. Obtener y dibujar el eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento del movimiento absoluto del rotor antipar. EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 72 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 3. Calcular la velocidad absoluta de la punta de la pala del rotor antipar en un instante genérico, tomando el ángulo de giro de la pala, desde la horizontal, comoβ , tal y como se indica en el dibujo. 4. Calcular la aceleración absoluta de la pala del rotor antipar en un instante genérico, to- mando el ángulo de giro de la pala, desde la horizontal, comoβ , tal y como se indica en el dibujo. EIAE, enero de 2012 Problema 3.1.16: Se estudia el movimiento de un tren de aterrizaje delantero,con un modelo simplificado. SeanAx1y1z1 unos ejes ligados al avión. SeanBx2y2z2 unos ejes ligados a la pata, que puede girar un ánguloθ alrededor del ejeO1x1 ‖ O2x2 mediante un cojinete con restricción axial situado enA. Bx3y3z3 son unos ejes ligados a la horquilla, que pueden girar un ángulo ψ alrededor deBz2 ≡ Bz3 mediante otro cojinete con restricción situado enB. Finalmente, la ruedaCx4y4z4 considerada como un disco plano puede girar un ánguloφ alrededor de su eje Cx4 ‖ Bx3 por otro cojinete situado en su centroC, que está en el ejeBy3. Seaa la distanciaAB, b la BC, y c el radio de la rueda. Cuando los tres ángulos son cero, los cuatro sistemas de referencia son paralelos. Se darán los resultados en función de los ángulos y sus derivadas, y se proyectarán en ejesS3. Se pide: 1. Velocidad angularωωω31. 2. Aceleración angulaṙωωω31. 3. Velocidad angularωωω41. 4. Velocidad del punto de la periferia del disco que, en un instante genérico, pase porBy3 (el más alejado deB). 5. Se supone ahora que el avión rueda sobre la pista, conAx1y1 paralelo al suelo yθ = 0, y que la rueda (disco) no desliza. Se gira la horquilla un ángulo ψ constante, de modo que el puntoA recorre una circunferencia de centro(0,d,0) en ejesS1 (d > c) con velocidad constantevi1. Calcularφ̇ . x1 y1 z1 A B x2 y2 z2 ≡ z3 x3 y3C ψ ψ φ θ EIAE, octubre de 2013 1 ωωω31 =ωωω21+ωωω32 = θ̇ i2+ ψ̇ k2 = (θ̇ cosψ,−θ̇ sinψ, ψ̇) 2 Derivando cada velocidad angular elemental, ω̇ωω21 = θ̈ i2+ θ̇ ✁✁̇i2+ ψ̈ k2+ ψ̇ ωωω21∧k2 = (θ̈ cosψ − θ̇ ψ̇ sinψ,−θ̈ sinψ − θ̇ ψ̇ cosψ, ψ̈) o derivando directamente la velocidad angular; el términode Coriolis se anula: ω̇ωω31 ∣ ∣ 1 = ω̇ωω31 ∣ ∣ 3+✭✭ ✭✭✭✭ωωω31∧ωωω31 = (θ̈ cosψ − θ̇ ψ̇ sinψ,−θ̈ sinψ − θ̇ ψ̇ cosψ, ψ̈) 3 ωωω41 =ωωω31+ φ̇ i3 = (θ̇ cosψ + φ̇ ,−θ̇ sinψ, ψ̇) 4 SeaP(0,b+c,0) el punto del disco buscado. Hay que tener cuidado de NO aplicar el campo de velocidades del sólidoS4 a partir del origenO1, porque ese punto es fijo para los sólidos 1, EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 73 2 y 3, pero no para el 4. El centro del discoC es un punto fijo en el movimiento 4/3 respecto a la horquilla, pero no respecto a los fijos. Sabemos: vO131 = v O1 21 = v O1 11 = 0 v C 41 = v C 31 6= 0 Podemos aplicar el campo de velocidades del sólido 4, apoy´andonos enC, cuya velocidad se calcula con el campo de velocidades de 3: vP41 = vC31 ︷︸︸︷ vC41 +ωωω41∧CP=ωωω31∧O1C+ωωω41∧CP Otro camino es hacer una composición de movimientos. Observando con atención, se ve que es la misma que la anterior: vP41= v P 43+v P 31 =ωωω43∧CP+ωωω31∧O1P= θ̇ sinψ a− ψ̇(b+c) θ̇ cosψ a φ̇ c+ θ̇ cosψ(b+c) 5 Si ψ y θ son constantes, la horquilla se mueve junto con el avión como un sólido.A y C tienen que cumplir el campo de ve- locidades. SiA describe una circunferencia plana, el centro es el CIR, y la velocidad deC—que al ser el centro de la rueda tiene que tener la direcciónCA—tiene que ser normal al radio vector por el centro, como se aprecia en el dibujo. Se conoce la hipotenusad y un catetoc, luego cosψ = b/d. Por equiproyectividad, vC = v·cos (π 2 −ψ ) = v √ 1− b 2 d2 Al mismo resultado se llega imponiendo que las velocidades sean proporcionales a las distancias al CIR: v d = vC√ d2−b2 Finalmente, esa velocidad se debe al giro sin deslizar de la rueda, luego vC = φ̇ c → φ̇ = v c √ 1− b 2 d2 Ax1 y1 b d CIR ψ π 2 −ψ v C b Los sentidos se han tomado de forma que, siv es positivo,φ̇ también. Se puede comprobar que ese movimiento es imposible sic > d (ningún coche o bicicleta puede girar en un radio menor que la distancia entre las ruedas delanteras y las traseras). EIAE. Problemas de Mecánica Clásica 74 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 3.2. Movimiento plano Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano móvil pasa siempre por un punto fijo O, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por O. Hallar la base y la ruleta. Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano móvil recorre otra recta que forma un ánguloϕ con la anterior. Hallar la ruleta. Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilátero planoABCD, AB= CD = a, BD= AC= b> a, CD es fijo. Hallar la base y la ruleta del movi- miento deAB.
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