Ejercicios Estadistica

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Estad́ıstica
1. ¿Cuántos números impares hay de cinco cifras? (Respuesta: 45000)
2. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar en fila 8 personas? (Respuesta:
40320)
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 2 cervezas y 3 cafés entre cinco
personas? (Respuesta: 10)
4. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4
y 5? (Respuesta: 120)
5. ¿Cuántas palabras distintas de 11 letras se pueden formar usando todas las letras
de ABRACADABRA? (Respuesta: 83160)
6. Si Juan, Pedro, Raúl y Maŕıa se sientan al azar en cuatro sillas en hilera ¿cuál es
la probabilidad de que Raúl y Maŕıa, que son novios, se sienten juntos? (Respuesta:
1/2) ¿Y si las sillas están en ćırculo? (Respuesta: 2/3)
7. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los d́ıgitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
en los casos: a) que no se repita ningún d́ıgito (Respuesta: 90); b) que pueda haber
d́ıgitos repetidos (Respuesta: 147)
8. Entre seis atletas, ¿cuántas clases de podios distintos se pueden dar?. Ver el caso en
que importa el orden y en el que no (Respuesta: 120; 20)
9. ¿Cuántas señales diferentes puede formar un barco con tres banderas distintas, si
dispone de un juego de doce? (Respuesta: 1320)
10. ¿Cuántas manos distintas puede recibir un jugador de póquer? (NOTA.- Una mano
de póquer se compone de cinco cartas escogidas al azar entre 52 distintas) (Respues-
ta:
(
52
5
)
= 2598960)
11. ¿De cuántas maneras distintas se pueden repartir 5 bolas en 7 cajas? (Respuesta:
75 = 16807)
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12. Cada ficha de dominó está marcada con dos números, que van del cero al seis, y no
son necesariamente distintos. Las fichas son simétricas, de forma que la pareja de
números no está ordenada. ¿Cuántas fichas de dominó distintas hay? (Respuesta:
28)
13. Si se lanzan cinco monedas, ¿Cuál es la probabilidad de que salgan tres caras y dos
cruces? (Respuesta: 5/16)
14. Se lanza un dado r veces. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 6? y ¿la
probabilidad de que salga algún 6? (Respuesta: (5/6)r y 1− (5/6)r)
15. Se reparten al azar N bolas en N cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las
cajas estén ocupadas? (Respuesta: N !/NN)
16. Una caja contiene 10 tornillos defectuosos y 90 no defectuosos. Si se usan diez
tornillos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea defectuoso? (Respuesta: 0.33)
17. Tres caballos, A, B y C, compiten en una carrera. El suceso ”A vence a B”se designa
AB, el suceso ”A vence a B, el cuál vence a C”se designa ABC, y aśı sucesivamente.
Se sabe que:
P (AB) =
2
3
P (AC) =
2
3
P (BC) =
1
2
P (ABC) = P (ACB) P (BAC) = P (BCA) P (CAB) = P (CBA)
a) Calcular las probabilidades: P (A gana la carrera), P (B gana la carrera), P (C
gana la carrera). (Respuesta: 5/9, 2/9 y 2/9)
b) Estudiar la independencia de los sucesos AB, AC y CB.(Respuesta: No son
independientes)
18. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos tiradas con tres dados cada una resulten
en la misma configuración, si a) los dados son distinguibles y b) los dados son
indistinguibles? (Respuesta: 1/216 y 83/3888)
19. El dado A tiene 4 caras rojas y 2 blancas. El dado B tiene 2 caras rojas y 4 blancas.
Se lanza una moneda una sola vez: si sale cara, se juega sólo con el dado A y si
sale cruz, se juega sólo con el dado B. Calcular:
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a) Probabilidad de que salga rojo tras un lanzamiento del dado.(Respuesta: 1/2)
b) Si en los dos primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, ¿cuál es la proba-
bilidad de que en el tercer lanzamiento también salga rojo? (Respuesta: 3/5)
c) Si en los tres primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, ¿cuál es la proba-
bilidad de que se esté utilizando el dado A? (Respuesta: 8/9)
20. En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de un tipo que llamaremos
A, el 30 % de tipo B y el 20 % de ambos tipos. Se escoge una persona al azar
a) Si consume aceite de tipo A ¿Cuál es la probabilidad de que consuma también
aceite de tipo B? (Respuesta: 4/11)
b) Si consume de tipo B ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de tipo A?
(Respuesta: 1/3)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de ninguno de los dos tipos?
(Respuesta: 0.35)
21. Dos jugadores igualmente hábiles, A y B, apuestan 1000 euros cada uno en una
partida a los chinos, a tres juegos ganados. (La probabilidad de empatar en un
juego es 1/2)
a) Cómo deberán repartirse las 2000 euros apostadas si tienen que interrumpir la
partida cuando llevan: (b1) A un juego ganado y B ninguno (Respuesta: 1375
y 625); (b2) A dos juegos ganados y B ninguno (Respuesta: 1750 y 250); (b3)
A dos juegos ganados y B uno (Respuesta: 1500 y 500).
b) Calcular la probabilidad de que la partida dure exactamente n juegos si fuera
a dos juegos ganados. (Respuesta: n(n− 1)(1/2)n+2)
22. Cierto grupo tiene ocho miembros. En Enero se selecciona aleatoriamente a tres
miembros para colaborar en un comité. En Febrero se selecciona, aleatoria e inde-
pendientemente de la primera selección, a cuatro miembros para colaborar en otro
comité. En Marzo se selecciona, aleatoria e independientemente de las dos selec-
ciones previas, a cinco miembros para colaborar en un tercer comité. Calcular la
probabilidad de que:
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a) Cada uno de los ocho miembros colabore en al menos uno de los tres comités.
(Respuesta: 219/784)
b) Dos miembros concretos, A y B, colaboren juntos en al menos uno de los tres
comités (Respuesta: 3013/5488)
23. En un experimento se lanzan tres monedas consecutivamente, definiéndose las varia-
bles aleatorias X = {número de caras obtenidas}, Y = {número del lanzamiento en
el que aparece la primera cara, sabiendo que han salido dos caras} y Z = {número
de cruces obtenidas}. Se pide:
a) La función de probabilidad y la función de distribución de la v.a. X.
b) La función de probabilidad de la v.a. Y .
c) Establecer un cambio de variable que pase de la variable aleatoria X a la
variable Z, hallando la nueva función de probabilidad.
24. Cinco personas lanzan simultáneamente monedas para determinar quién ha de com-
prar los refrescos para todos. El sistema es el siguiente: el primero que obtenga un
resultado (ya sea cara o cruz) distinto de cada uno de los resultados obtenidos por
todos los demás, ése debe pagar los refrescos de todos. Sea X la v.a. que representa
el número de ensayos requeridos para concluir el juego. Se pide,
a) Calcular la función de probabilidad de X.
b) Calcular la función de distribución de X.
c) Calcular P (X > 2).
d) Calcular P (3 ≤ X ≤ 6).
25. Dos jugadores A y B lanzan simultánea y respectivamente 3 y 2 monedas. Gana
el jugador que obtenga más caras, repitiéndose el lanzamiento si ambos obtienen el
mismo número de caras.
a) Calcular la probabilidad de que gane el jugador A.
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b) Se realizan 10 lanzamientos simultáneos. Un observador apuesta en cada uno de
ellos x euros por A, de forma que si gana A, le devuelven 2x euros, si empatan
le devuelven x euros y si gana B no le devuelven nada. Calcular la ganancia
esperada del apostador.
26. Hay una ruleta con 24 casillas en blanco. Cada vez que la hacemos girar, marcamos
con una cruz la casilla en la que se ha parado.
Si la ruleta se para en una casilla en blanco, me dan 2.000 e
Si la ruleta se para en una casilla marcada, pierdo todo el dinero acumulado y
se acaba el juego.
Me puedo plantar cuando quiera.
¿Cuándo me conviene plantarme?
27. El periodo de hospitalización de un paciente sometido a cierta operación es de 4
d́ıas más que el tiempo que tarda en salir de la U.V.I. Suponiendo que el tiempo,
en d́ıas, de permanencia en la U.V.I. sigue una distribución de densidad: f(x) =
32/(x+ 4)3, x ≥ 0, calcular
a) El promedio de d́ıas que una persona está hospitalizada.
b) La probabilidad de que un paciente supere el promedio de d́ıas de hospitaliza-
ción.
28. Un jugador va a jugar a cara o cruz 400 partidas,en cada una de las cuales, y con
idéntica probabilidad, puede ganar o perder 1 Euro ¿Cuál es la mı́nima cuant́ıa de
dinero que debe llevar para que, suponiendo que los pagos o cobros se hacen al final
de la serie, tenga una probabilidad de 0.95 de hacer frente a sus posibles pérdidas?
29. La enerǵıa cinética de una molécula de gas ideal, W = 1
2
mV 2, es una v.a. con función
de densidad
f(w) = k w1/2 e−bw, w > 0
con k y b constantes. ¿Cuál es la probabilidad de que una molécula tenga velocidad,
V , mayor que la velocidad media?
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30. La función de densidad de una v.a. bidimensional, (X, Y ), es
f(x, y) =
x+ y
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0 ≤ x, y ≤ 3
a) Establecer si las variables son o no independientes.
b) Calcular la media y la varianza de cada componente.
c) Sabiendo que X > 2, calcular la probabilidad de que sea Y < 2.
31. Dada la v.a. bidimensional (X, Y ) con función de densidad conjunta
f(x, y) = e−(x+y) x ≥ 0 y ≥ 0
y las v.a. U = X + Y y V = X − Y , se pide:
a) Obtener la función de densidad conjunta de la v.a. (U, V )
b) Obtener las funciones de densidad marginales de las v.a. U y V
c) ¿Son U y V independientes?
32. En una especie animal, la probabilidad de que un hijo tenga alguna enfermedad
congénita es 0.6. Si el número de hijos de una familia sigue una distribución de
Poisson con parámetro λ = 4,
a) Calcular la probabilidad de que una familia no tenga hijos sanos.
b) ¿Cuál es el número esperado de hijos sanos en una familia?
33. Los astrof́ısicos aseguran que en el Universo hay k estrellas por unidad de volumen
distribuidas según una ley de Poisson.
a) Si nos fijamos en cierta estrella, α, calcular la probabilidad de encontrar n
estrellas que estén a una distancia menor o igual que R de α.
b) Si d es la distancia de la estrella más cercana a otra, calcular el valor medio de
d.
34. Un buscador de oro recorre un ŕıo de 3 km en busca de pepitas. Se sabe que, en
media, hay 10 pepitas por km. Se pide:
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a) Probabilidad de que encuentre 20 pepitas.
b) Probabilidad de que encuentre la segunda pepita antes de haber recorrido los
primeros 100 m.
c) Probabilidad de que encuentre la quinta pepita a una distancia menor de 200 m
del punto en que encontró la segunda.
35. Una población de 20 animales insect́ıvoros se introduce en una región donde el 14 %
de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al d́ıa
5 insectos. Suponiendo que los animales no se reproducen,
a) Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana queden vivos al menos
la mitad de los animales.
b) Calcular la esperanza de vida de un animal (número medio de d́ıas que tarda
en desaparecer un animal).
c) Calcular la esperanza de vida de la población (número medio de d́ıas que tardan
en desaparecer todos los animales).
36. En un motel confluyen dos carreteras, A y B. El número de clientes que, por d́ıa,
acuden al motel por cada carretera son dos variables de Poisson independientes, X
e Y , de parámetros a y b respectivamente.
a) Sabiendo que el número total de clientes que acudió un d́ıa fue n, calcular la
probabilidad de que el número de clientes que llegaron por la carretera A fuera
k (0 ≤ k ≤ n).
b) Particularizar para a = 6, b = 4, n = 9, k = 4.
37. X e Y son dos variables aleatorias cuya distribución conjunta es una normal bidi-
mensional. Se sabe que :
E[X] = 4, E[X2] = 20, E[Y ] = 3
La covarianza de ambas variables es 2.
La probabilidad P [Y ≥ 3 +
√
3] ≈ 0.1587
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Calcular:
a) Las distribuciones marginales.
b) La probabilidad Pr 1.5 < X < 2.5.
c) La probabilidad Pr 2X − Y < 2.
d) Coeficiente de correlación lineal.
38. Sea (X, Y ) una v.a. Normal bidimensional con µX = µY = 0, σX = σY = 1 y
coeficiente de correlación lineal ρ = 1/2. Sean ahora las variables Z = X + Y y
W = aX + Y .
¿Son Z y W independientes?
39. Se sabe que, en probabilidad, los dos progenitores de una sexta parte de los gradua-
dos en un colegio asisten a la ceremonia de graduación; sólo uno de los progenitores
de la mitad de estos graduados asiste a la ceremonia; y ninguno de los progenitores
de la tercera parte restante de los graduados asiste a la ceremonia. Si en una clase
hay 600 graduados, ¿cuál es la probabilidad de que a la ceremonia de graduación
asistan más de 520 progenitores?
40. Las ventas diarias de una empresa siguen una distribución uniforme entre 300 y 600
euros ( U(300,600) ). Suponiendo independientes las ventas de los distintos d́ıas del
año, calcular la probabilidad de que el volumen de ventas anual supere la cifra de
138.000 euros, si la empresa trabaja 300 d́ıas al año.
41. Dos equipos, A y B, de aficionados a las carreras pedestres deciden enfrentarse en
una prueba con las siguientes normas:
La prueba se hará por relevos que durarán 17 minutos cada uno.
El equipo A, que pertenece a una categoŕıa superior, hará 36 relevos mientras
que el equipo B hará 42.
Ganará el equipo que, al terminar todos sus relevos, haya recorrido más dis-
tancia.
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La distancia, en km, que recorre un atleta del equipo A en 17 min. sigue una dis-
tribución N(4,0.25), mientras que la que recorre un atleta del equipo B sigue una
distribución con función de densidad
g(y) =
2
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y 3 < y < 4
Calcular la probabilidad de que el equipo B gane la carrera.
42. Dada una población, X, con función de densidad
f(x) =
θ
(1 + x)1+θ
x ≥ 0, θ > 0
se pide:
a) Comprobar que la v.a. Y = log(1 +X) sigue una distribución Exponencial de
parámetro θ.
b) Obtener el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ, a partir de una
m.a.s. sacada de la población.
c) ¿Es este estimador insesgado?
43. De una población, X, con función de densidad dada por
f(x, θ) = eθ−x x ≥ θ
se ha sacado una muestra de tamaño n, {x1, . . . , xn}. Comprobar que el estad́ıstico
θ̂ = min{Xi} −
1
n
es un estimador insesgado de θ.
44. Se lanza una moneda 10 veces obteniendo 8 caras. ¿Podemos concluir que la moneda
no es perfecta, sino que tiende a caer de cara? ¿Con qué nivel de significación?
45. El consumo diario de agua, en m3, de un hogar sigue una distribución uniforme entre
0 y el consumo máximo, a, (es decir, U(0, a)). Se quiere contrastar, con un nivel de
significación del 5 %, la hipótesis nula de que el consumo máximo es de 25 m3 frente
a la alternativa de que es menor que esa cantidad. Para ello, se toma una muestra
de diez d́ıas, en los que el consumo de agua en m3 fue: 10, 12, 15, 12, 20, 16, 9, 17,
14 y 11.
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a) ¿Qué hipótesis resultó aceptada?
b) Si el verdadero consumo máximo fuese de 20 m3, ¿qué probabilidad tendŕıamos
de aceptar la hipótesis nula?
46. Se sabe que la aspirina tradicional tiene una eficacia del 70 % en el alivio de los
dolores reumáticos. Una empresa farmacéutica, que lleva varios años intentando
mejorar la fórmula, asegura haber aumentando la eficacia hasta el 80 %, simplemente
cambiando las proporciones de los componentes. El Ministerio de Sanidad, antes de
incluir la nueva fórmula en la lista de medicamentos financiados por la Seguridad
Social, decide contrastarlo por su cuenta.
a) De una muestra de 100 pacientes tratados con la nueva fórmula, 75 han expe-
rimentado un alivio considerable. ¿Puede admitirse significativamente que la
eficacia del nuevo medicamento es efectivamente del 80 %?
b) Si realmente la nueva fórmula no supusiera ninguna mejora respecto de la tra-
dicional, ¿qué probabilidad tendŕıamos de detectarlo con el contraste anterior?
c) ¿Cuántos pacientes debeŕıamos estudiar para detectar el fraude con una pro-
babilidad del 90 %?
47. El número de accidentes en un cruce muy transitado sigue una distribución de
Poisson, con una media de 2’5 accidentes por semana. El concejal de tráfico decide
reducir el ĺımite de velocidad en las dos avenidas que intersecan en el cruce.
La decisión respecto a si la reducción en el ĺımite de velocidad disminuye el númeromedio de accidentes por semana, se tomará en base al número total de accidentes
que se observen durante un periodo de cuatro semanas, a partir de la aplicación de
la nueva ley.
a) Obtener la región cŕıtica, para un tamaño máximo de error tipo I igual a 0.1.
b) Si realmente el número medio de accidentes disminuyó a 2 por semana, calcular
la probabilidad de error tipo II.
48. Un fabricante de chocolatinas asegura que la distribución de colores de las mismas
en las bolsas que comercializa mantiene la siguiente proporción:
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30 % marrones, 20 % azules, 20 % naranjas
10 % rojas, 10 % amarillas y 10 % negras
Abriendo varias bolsas hasta conseguir un total 400 chocolatinas se han contabili-
zado 111 marrones, 98 azules, 76 naranjas, 37 rojas, 33 amarillas y 45 negras.¿Es
razonable aceptar la palabra del fabricante?
49. Un agricultor ha pesado una m.a.s. de 350 patatas de una cosecha. Los pesos obte-
nidos, en gramos, fueron
Peso 0 — 50 50 — 100 100 — 150 150 — 200 200 — 250 250 — 300
No de patatas 20 65 100 95 60 10
Contrastar, usando un test χ2, si la distribución del peso de las patatas se ajusta a
una N(145,61)
50. Si el agricultor del ejercicio anterior sólo dispone de 10 patatas cuyos pesos son: 45,
210, 95, 150, 140, 270, 130, 170, 75 y 250, contrastar, usando un test de Kolmogorov-
Smirnov, si la distribución del peso de las patatas se ajusta a una N(154,72)
51. Al pedirle a un programa estad́ıstico 20 números aleatorios uniformemente distri-
buidos en [0, 1] nos devuelve la siguiente lista de valores:
0.05 0.06 0.07 0.10 0.18 0.20 0.26 0.37 0.42 0.49
0.58 0.63 0.65 0.68 0.73 0.74 0.79 0.83 0.91 0.95
Comprobar si la lista corresponde a dicha distribución empleando dos contrastes
distintos.
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