RME-EXP1-1213-Alumnos_Solu_Examen_Parcial_Elasticidad_RMMyE_Feb_2012_Vers1

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1 
 
Universidad Politécnica de Madrid 
Escuela de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio 
4005 - Resistencia de Materiales y Elasticidad 
Examen Parcial - 28/02/12 
Cuadernillo versión 1 
 
Instrucciones: 
 Cada pregunta tiene una única respuesta correcta, que es la que ha de 
marcarse en la hoja de lectora. Sólo se tendrán en cuenta las respuestas 
marcadas adecuadamente en dicha hoja. 
 No se puntúa negativo por errar en la contestación. 
 DURACIÓN: 120 minutos 
 
 
 
1. Sea el estado de esfuerzos de la figura. El material es isótropo y linealmente 
elástico, caracterizado por el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson 
n . El incremento unitario de volumen ( )/V VD valdrá: 
a) 2
p
E
n 
b) ( )2 1 2p
E
n- 
c) 
1
2 3
p
E
n
æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
 
 
 
 
 
 
 
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1 2 1 2 3 2 2 1 2
x y z
x y z
x x y z
y y x z
z z x y
V
V
p
p p p
E E E
E
E
E
e e e
n s s s n n
e s n s s
e s n s s
e s n s s
D
+ +
- + + - + - -
- +
- +
- +

  



2 
 
2. Sea el estado de deformaciones de la figura. El material es isótropo y 
linealmente elástico, caracterizado por el módulo de elasticidad E y el 
coeficiente de Poisson n . El esfuerzo hidrostático vale: 
a) 
( )
2
3 1 2
Ee
n-
 
b) 
2
3
Ee 
c) 2
E
e
n 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
1
3
1 1 2
3 2
3 31 2 1 2 3 1 2
H x y z
x y z
x x y z
y y x z
z z x y
E E
E
E
E
E
s s s s
e e e e e e e
n n n
e s n s s
e s n s s
e s n s s
+ +
+ + + -
- - -
- +
- +
- +

  



3 
 
3. Sea un estado de esfuerzos en un punto, definido por los valores: 
 { }50 0 10 20 30 10, , , , , MPax y z xy xz yzs s s t t t -      
El esfuerzo normal en el plano trisector (igual ángulo con los tres ejes 
coordenados) vale: 
a) 
110
10
3
 MPa 
b) 2
140
3
 N/mm 
c) 2
10
30
9 81
 kgf/mm
.
 
 
 
 ( )
( )
2
50 20 30
3
20 0 10 1 1 1
3
30 10 10
50 20 30 1 100
3 3 1 140 140
1 1 1 20 0 10 1 1 1 1 10
3 3 3 3 3
30 10 10 1 30
 MPa; , , 
 MPa N/mm
S n
n S n S ns
é ù
ê ú
ê ú-ê ú
ê ú-ê úë û
⋅ ⋅ ⋅
é ù ì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïê ú ï ï ï ïê ú ï ï ï ïê ú ê ú- í ý í ýê úê ú ê úë û ë ûï ï ï ïê ú ï ï ï ï- ï ï ï ïê ú ï ï ï ïë û î þ î þ
 
 
   
4 
 
4. Sea un estado de deformaciones en un punto, definido por los valores: 
 { }50 0 0 0 0 0, , , , , mx y z xy xz yze e e g g g e         
 
La deformación lineal máxima vale: 
a) 0.058 
b) 5.8 mm 
c) 0.58 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Sea un campo de desplazamientos definido por las funciones: 
 
( )
( )
0
,
,
u u x y
v v x y
w



 
Puede afirmarse que: 
a) No es un estado plano 
b) No corresponde a un estado de deformaciones compatible 
c) Es un estado de deformaciones plano 
 
6. Sea el círculo de Mohr en deformaciones de la figura. Puede afirmarse que: 
a) Se ha producido calentamiento 
b) No se ha producido calentamiento 
c) Podría haber existido calentamiento 
 
( )( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 3
1
50 40 2 0 50 20 0
40 2 10 0 20 10 0 0
0 0 20 0 0 20
100 60 20 0 30 5 32 30 5 32 20 0
30 5 32 20 30 5 32
30 5 32 58 28 58
max
/
/ m ; ;
; 
; ; ; 
. m
l
e e l
l
l l l l l l
e e e
e e e
é ù -ê ú
ê ú -ê ú
ê ú -ê úë û
é ù é ù- + - - + - - -ê ú ê ú
ë û ë û
+ -
+
 
 
  
    
5 
 
x y
z
 
7. Sea el material transversalmente isótropo de la figura, sometido a la acción de la 
solicitación z ps  . Puede afirmarse que: 
a) 
x zy
z
p
E
e n  
b) 
z xz
x
p
E
e n  
c) 
xy
xy
p
G
g  
 
 
 
 
 
8. Se dispone de una roseta rectangular adherida sobre un punto de la superficie de 
un sólido, que está sometido a una cierta solicitación mecánica (que se modeliza 
como un estado plano de esfuerzos). Se conocen las lecturas de los canales de las 
bandas de los extremos, iguales y contrarias (pero no nulas). Puede afirmase 
que la señal de la banda central: 
a) Ha de valer el doble 
b) Ha de valer la mitad 
c) Puede ser nula 
 
 
( )
( )
; j iz
z ij
z z i i
zx zx z x y zy z zy
z z
Pp
E E P
p p
E E
es
e n
e
n n e e e n e n
º
- - - -
  
    
6 
 
9. Se conoce la matriz de transformación de ejes (o matriz de cambio de base) F , 
que permite transformar la matriz de esfuerzos en un punto S a la matriz 1S , 
tal que: 
 
1
1 2
3
0 0
0 0
0 0
TS S
s
s
s
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çF F ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
  
La expresión del esfuerzo S

en un plano cualquiera, en el nuevo sistema de ejes 
(es decir, en la nueva base) es: 
a) 1S SF
 
 
b) 1
TS SF
 
 
c) 1
TS SF F
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. El módulo de elasticidad en cortadura, en materiales isótropos linealmente 
elásticos: 
a) Puede coincidir con la resistencia a cortadura 
b) Puede ser positivo o negativo 
c) Tiene por dimensiones 2FL- (sistema técnico) 
 
( )
  ( )
1 1 1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
; 
; 
T
T
T
S n
T
S S S S n
S S n
S S n
S S S S
S Sn
n n
F F ⋅
F F ⋅
F FF F
ìïF  FïíïFïî
 


 


7 
 
11. Sea el estado de deformación definido por los valores principales: 
 { }1 2 330 0 0, , e e e me     
La deformación angular máxima es: 
a) 640 10-´ 
b) 30 me 
c) 0 006. % 
 
 
 
 
12. Sea la matriz de esfuerzos S : 
 
50 0 0
0 30 0
0 0 10
 MPaS
é ù-ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
 
 
a) Puede ser una matriz desviadora 
b) Puede corresponder a una matriz esférica o hidrostática 
c) Puede descomponerse en dos: parte hidrostática y parte desviadora 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 61 3 1 3 30 10 40 40 102 2 max
max
 
e eg
g e e me -
æ ö -÷ç ÷  - - ´ç ÷ç ÷çè ø
    
( ) ( )1 2 3
50 0 0 0 0 14 0 0
0 30 0 0 0 0 0
0 0 10 0 0 0 0 4
1 1 10
30 10 50
3 3 3
+
Hidrostática Desviadora
H
s s s s
é ù é ù é ù- -ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê úë û ë û ë û
+ + + -
 
     
      
     
   
8 
 
 
13. Sea el estado de esfuerzos definido por su matrizS : 
 
50 0 0
0 30 0
0 0 10
 MPaS
é ù-ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
 
El esfuerzo normal en el plano donde el esfuerzo cortante es máximo valdrá: 
 
a) 10 MPa, a tracción 
b) 20 MPa, a compresión 
c) 10 MPa, a compresión 
 
 
 
 
14. Un buque transporta gas metano en cuatro depósitos monocasco, bajo 
condiciones de temperatura controlada de -160º C. Cada depósito tiene 18m de 
radio y 2 mm de espesor, y tienen una placa en la que puede leerse: 
Presión de servicio: 15 kPa 
El esfuerzo máximo en dichos depósitos valdrá, aproximadamente: 
a) 68 MPa 
b) 98 kgf/mm2 
c) 908 ksi 
 
 
 
 
 
( ) 1 3 30 50 10
2 2max
 MPa
t t
s s
s
+ -

   
31 1 1 18 10
15 67 5
4 2 2 2max
 mm
 kPa . MPa
 mm
D R
p p
t t
s
´
   
9 
 
 
15. Se adhiere una roseta rectangular sobre una estructura de aluminio (E = 70 
GPa, 0 3.n  ). Las lecturas que presentan, -todas en me -, para un 
determinado caso de carga (que se admite como un estado plano de esfuerzos) 
son: 
 
240
640
480
a
b
c



 
 
  
Los esfuerzos principales valdrán, aproximadamente: 
a) 57 MPa, 0 MPa y -33 MPa 
b) 33 MPa, 0 MPa y -57 MPa 
c) 57 MPa, 33 MPa y 10 MPa 
 
(Respuesta correcta con valor triple) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
1 3
2
1
1 1 3 3 3 1
3
1
240 480 240 480
640 2 45 2 45 760
2 2 2 2
240 480 240 480
760 120 10 7072
2 2
3 720
240 480
7 71
,
cos sin
 ;
a c a c
ac ac
b
z a c a c
E
E
E E
E

  
  
      
 

n
e e s s
g g
e
e
n n
e s s e e e
n
e s ns e s ns
e
s
-
+ +
- +
+ ´ - ´  -
æ ö- + ÷ç ÷ + - ç ÷ç ÷çè ø
+ + - º
-
- -
+

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3
1
2
3
1 3
3 2
1 2 1
70
120 1 0 3 1 0 3 10 7072 57 28
0 911
70
120 1 0 3 1 0 3 10 7072 33 28
0 911
33 28 0 57 28
= . . MPa . MPa
.
. . MPa . MPa
.
 . MPa > MPa . MPa
E


  
 
ne
n
e ne
s
n
s s s
-
-
´ é ù+ - - = -ê úë û-
+ ´ é ù+ + - =ê úë û-
= > -
10 
 
 
16. La deformación angular máxima (en el problema de la pregunta nº 15) valdrá: 
a) 841 me 
b) 1.68 me 
c) 0 
(Respuesta correcta con valor triple) 
 
 
 
 
17. Sea el estado plano de deformaciones, definido por: 
 { }2 1 3, , mx y xyx y x ye e g e+ +   
El alargamiento del segmento que une el origen de coordenadas con el punto P 
(-3,-2,0) mm valdrá, aproximadamente: 
a) 0.5 mm 
b) 0.05 mm 
c) 11.5 mm 
(Respuesta correcta con valor triple) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2
1 1
3
1 3 2 0
1 3 2 2 0
0 0 0
1 3 2 0 3
13 13
3 2 0 1 3 2 2 0 2
13 13
0 0 0 0
1
17 22 6
13
1
17 22 6
13
/
 / 
/
 /
n
L
dy
ds dx
dx
x y
y y x m
x y
n n y y x
x y
x y ds
e e
e e
d
æ ö æ÷ç ÷ç+ +÷ç ÷÷çè ø è
é ù+ê ú
ê ú= + +ê ú
ê ú
ê úë û
é ù ì üï ï+ -ï ïê ú ï ïê ú ï ïê ú= ⋅ ⋅ = - - + + -í ýê úê úë û ï ïê ú ï ïï ïê ú ï ïî þë û
= + +
+ +ò
 
 

2
3
0
1 2 13
17 22 6 11 51
13 3 3
 mm
 m . 
dx
x x dxe me
-
ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ø
é ùæ ö÷çê ú÷+ +ç ÷ê úç ÷çè øê úë û
ò

 
1 3 1 2 10 7072
2 2 2
2 20 7072 1681 1 68
2
max
max
max
 . m
e eg
g
g me e
æ ö -÷ç ÷ = = ´ ´ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷= ´ = = =ç ÷ç ÷çè ø
11 
 
18. La deformación angular en el origen de coordenadas (en el problema de la 
pregunta nº 17), entre la dirección que le une con el punto P y su perpendicular 
valdrá: 
a) 0 
b) 385 radm 
c) 0.25 mrad 
(Respuesta correcta con valor triple) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
0 0 0
0 0 0
2 2
0 0 0
0 0 0
6
13
0 1 2 0 3 1
13 13
1 2 0 0 2 3 2
13 13
0 0 0 0 0
1
1 1
1 3 2 0 3 2
13 4
0
1 6
2
4 13
, ,
, ,
, ,
, ,
 m
/
/ / m
/ / m
/
n
e e
e e
e e
g
=
é ù ì ü ì üï ï ï ï- -ï ï ï ïê ú ï ï ï ïê ú ï ï ï ï= - -í ý í ýê ú ï ï ï ïê ú ï ï ï ïï ï ï ïê ú ï ï ï ïë û î þ î þ
ì üï ï-ï ïï ïï ïê ú- - -í ýê úë û ï ïï ïï ïï ïî þ
æ ö÷ç= -çççè ø

 
( )( )
2
0 0 0
0 1923 2 384 6
, , ,
. mrad / . rad
OP
g g m^÷ ´÷÷
   
12 
 
 Versión 1 Versión 2 Versión 3 
1 b a c 
2 a c a 
3 b a a 
4 a c a 
5 c c c 
6 c c b 
7 a b c 
8 c c a 
9 b c b 
10 c c b 
11 a a c 
12 c c a 
13 c a c 
14 a c c 
15 b c b 
16 b b c 
17 c c a 
18 b c a