MMC_Vol1_Chaves (1)

Vista previa del material en texto

Nomenclature 
 
III
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES 
 
Mecanica del Medio Continuo
(Conceptos Basicos) 
´ 
´ 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
 
IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 
Presentación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La Mecánica de los Medios Continuos es una materia clave de varias licenciaturas basadas 
en la ciencia física, tales como: Ingeniería de Caminos, Ingeniería Industrial, Meteorología, 
Magnetismo, Oceanografía, Aerodinámica, Hidrodinámica, Ingeniería Marítima, etc. 
Este libro surgió de los apuntes de la asignatura de introducción a la Mecánica del Medio 
Continuo de la carrera de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de 
Castilla-La Mancha, y está pensado para alumnos que están iniciando una carrera 
universitaria basada en la ciencia física, y puede ser de gran utilidad para cursos de post-
grado. Con el objetivo de aportar mayor claridad para los alumnos, este libro presenta un 
detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones. En el momento de 
redactar el libro se ha tenido una gran preocupación por intentar unificar la nomenclatura 
existente, y con este propósito se han consultado multitud de artículos y libros relacionados 
con el tema. Con respecto a la notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se 
presentan en notaciones tensorial, indicial y en la notación de Voigt. Otro aspecto a 
destacar es que el libro está autocontenido, de forma que los conceptos empleados son 
definidos en el propio texto. Con lo respecta esta tercera edición, el libro ha sido revisado y 
reestructurado. 
Finalmente, querría expresar mi gratitud a: Houzeaux (Guillaume), Vázquez (Mariano), 
Pulido (Loli), Benítez (José María), Casati (María Jesus), Vélez (Eduardo), Solares (Cristina), 
Olivares (Miguel Ángel), Escobedo (Fernando), Simarro (Gonzalo), Sanz (Ana), Gallego 
(Inmaculada) por la ayuda destinada a la revisión de la primera edición, sin la cual este libro 
jamás hubiera salido a la luz. 
Me gustaría agradecer también a dos profesores que marcaron mi carrera docente e 
investigadora: Prof. Xavier Oliver y Prof. Wilson Venturini (in memoriam). 
 
 
Eduardo W. V. Chaves 
Ciudad Real, 12 de noviembre de 2012. 
 
 
 
Presentacion ´ 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
 
VI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
Contenido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................V 
CONTENIDO...................................................................................................................................................VII 
NOMENCLATURA ..........................................................................................................................................XV 
ABREVIATURAS............................................................................................................................................XIX 
OPERADORES.................................................................................................................................................XX 
UNIDADES ....................................................................................................................................................XXI 
 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1 
1 LA MECÁNICA...........................................................................................................................................1 
2 ¿QUÉ ES LA MECÁNICA DEL CONTINUO?...........................................................................................1 
2.1 Hipótesis de la Mecánica del Continuo .............................................................................................1 
2.2 El Medio Continuo ...............................................................................................................................2 
3 ESCALA DE ESTUDIO DE LOS MATERIALES........................................................................................3 
3.1 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo ..............................................................................3 
4 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL................................................................................6 
4.1 Solución del Problema..........................................................................................................................6 
4.2 Simplificaciones del Problema ............................................................................................................7 
4.2.1 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática .....................................................7 
4.2.2 Simplificación desde del Punto de vista del Material .............................................................7 
4.2.3 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión .....................................................9 
5 CONTENIDO DEL LIBRO.........................................................................................................................9 
 
1 TENSORES.........................................................................................................................11 
1.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................................11 
1.2 VECTORES ...........................................................................................................................................12 
1.3 SISTEMA DE COORDENADAS...........................................................................................................18 
1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares.................................................................................18 
1.3.2 Representación de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas...................19 
1.3.3 Convenio de Suma de Einstein...............................................................................................22 
1.4 NOTACIÓN INDICIAL ........................................................................................................................23 
1.4.1 Delta de Kronecker ..................................................................................................................25 
1.4.2 Símbolo de Permutación..........................................................................................................26 
1.5 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON TENSORES............................................................................31 
1.5.1 Diádicas ......................................................................................................................................31 
1.5.1.1 Representación de las Componentes de un Tensor de Segundo Orden en la 
Base Cartesiana................................................................................................................36 
1.5.2 Propiedades de los Tensores...................................................................................................38 
1.5.2.1 Transpuesta....................................................................................................................38 
1.5.2.2 Simetría y Antisimetría .................................................................................................39 
1.5.2.3Cofactor de un Tensor. Adjunta de un Tensor........................................................46 
1.5.2.4 Traza de un Tensor.......................................................................................................46 
1.5.2.5 Tensores Particulares....................................................................................................48 
 
Contenido 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
VIII 
1.5.2.6 Determinante de un Tensor........................................................................................ 50 
1.5.2.7 Inversa de un Tensor ................................................................................................... 53 
1.5.2.8 Tensores Ortogonales (Transformación Ortogonal).............................................. 56 
1.5.2.9 Tensor Definido Positivo, Definido Negativo y Tensor Semi-Definido ............ 57 
1.5.2.10 Descomposición Aditiva de Tensores .................................................................... 59 
1.5.3 Ley de Transformación de las Componentes de Tensores................................................ 61 
1.5.3.1 Transformada de Coordenadas en 2 Dimensiones ................................................. 67 
1.5.4 Autovalores y Autovectores de un Tensor........................................................................... 71 
1.5.4.1 Ortogonalidad de los Autovectores........................................................................... 74 
1.5.4.2 Solución de la Ecuación Cúbica ................................................................................. 76 
1.5.5 Representación Espectral de Tensores ................................................................................. 79 
1.5.6 Teorema de Cayley-Hamilton................................................................................................. 84 
1.5.7 Módulo de un Tensor .............................................................................................................. 86 
1.5.8 Tensor Isótropo y Anisótropo ............................................................................................... 87 
1.5.9 Tensores Coaxiales ................................................................................................................... 88 
1.5.10 Descomposición Polar........................................................................................................... 89 
1.5.11 Derivada Parcial con Tensores............................................................................................. 91 
1.5.11.1 Derivada Parcial de los Invariantes.......................................................................... 93 
1.5.11.2 Derivada Temporal de Tensores.............................................................................. 94 
1.5.12 Tensor Esférico y Desviador................................................................................................ 95 
1.5.12.1 Primer Invariante del Tensor Desviador ................................................................ 96 
1.5.12.2 Segundo Invariante del Tensor Desviador............................................................. 96 
1.5.12.3 Tercer Invariante del Tensor Desviador................................................................. 98 
1.6 FUNCIONES DE TENSORES ............................................................................................................ 100 
1.6.1 Series de Tensores .................................................................................................................. 100 
1.6.2 Función Isótropa de Tensores.............................................................................................. 101 
1.6.3 Derivada Parcial de Función de Tensores .......................................................................... 103 
1.7 NOTACIÓN DE VOIGT.................................................................................................................... 106 
1.7.1 Tensores Identidad en Notación de Voigt ......................................................................... 107 
1.7.2 Producto Escalar en Notación de Voigt ............................................................................. 108 
1.7.3 Leyes de Transformación en Notación de Voigt .............................................................. 108 
1.7.4 Representación Espectral en Notación de Voigt............................................................... 109 
1.7.5 Tensor Desviador en Notación de Voigt............................................................................ 110 
1.8 CAMPO DE TENSORES .................................................................................................................... 113 
1.8.1 Campo Escalar ........................................................................................................................ 114 
1.8.2 Gradiente ................................................................................................................................. 114 
1.8.3 Divergencia.............................................................................................................................. 119 
1.8.4 Rotacional ................................................................................................................................ 121 
1.8.5 Campo Conservativo.............................................................................................................. 124 
1.9 TEOREMAS CON INTEGRALES....................................................................................................... 125 
1.9.1 Integración por Partes............................................................................................................ 125 
1.9.2 Teorema de la Divergencia.................................................................................................... 125 
1.9.3 Independencia del Camino.................................................................................................... 128 
1.9.4 Teorema de Kelvin-Stokes.................................................................................................... 129 
1.9.5 Identidades de Green............................................................................................................. 131 
1.10 COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS............................................................................. 132 
1.10.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas.................................................................................. 132 
1.10.2 Sistema de Coordenadas Esféricas .................................................................................... 135 
 
APÉNDICE A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR................................... 139 
A.1 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 139 
A.2 PROYECCIÓN DE UN TENSOR DE SEGUNDO ORDEN SOBRE UNA DIRECCIÓN................. 139 
A.2.1 Componente Normal y Tangencial..................................................................................... 139 
A.2.2 Máxima y Mínima Componente Normal........................................................................... 141 
A.2.3 Máxima y Mínima Componente Tangencial de un Tensor Simétrico........................... 141 
A.3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN TENSOR DE SEGUNDO ORDEN ARBITRARIO .......... 144 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
CONTENIDO 
 
IX
A.3.1 Representación Gráfica de un Tensor de Segundo Orden Simétrico. Círculo de 
Mohr. .......................................................................................................................................149 
A.3.1.1 Obtención Gráfica del Vector Proyección en elCírculo de Mohr ....................152 
A.4 ELIPSOIDE DEL TENSOR ...............................................................................................................154 
A.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PARTE ESFÉRICA Y DESVIADORA ...............................155 
A.5.1 Tensiones Octaédricas...........................................................................................................155 
 
2 CINEMÁTICA DEL CONTINUO..................................................................................163 
2.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................163 
2.2 EL MEDIO CONTINUO....................................................................................................................164 
2.2.1 Tipos de Movimientos ...........................................................................................................165 
2.2.1.1 Movimiento de Cuerpo Rígido .................................................................................165 
2.2.2 Tipos de Configuraciones del Medio Continuo.................................................................167 
2.2.2.1 Densidad de Masa.......................................................................................................168 
2.3 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO.................................................................................................169 
2.3.1 Coordenadas Materiales y Espaciales...................................................................................169 
2.3.2 Vector Desplazamiento..........................................................................................................170 
2.3.3 Vector Velocidad.....................................................................................................................170 
2.3.4 Vector Aceleración .................................................................................................................170 
2.3.5 Descripción Lagrangiana y Euleriana ..................................................................................170 
2.3.5.1 Descripción Material o Lagrangiana del Movimiento...........................................170 
2.3.5.2 Descripción Espacial o Euleriana del Movimiento ...............................................171 
2.3.5.3 Variables Lagrangianas y Eulerianas ........................................................................171 
2.4 DERIVADA MATERIAL ....................................................................................................................176 
2.4.1 Velocidad y Aceleración Euleriana.......................................................................................178 
2.4.2 Campo Estacionario ...............................................................................................................179 
2.4.3 Línea de Corriente ..................................................................................................................181 
2.5 GRADIENTE DE DEFORMACIÓN ..................................................................................................183 
2.5.1 Introducción ............................................................................................................................183 
2.5.2 Estiramiento y Alargamiento Unitario.................................................................................183 
2.5.3 Gradiente de Deformación Material y Espacial .................................................................184 
2.5.4 Tensor Gradiente de los Desplazamientos (Material y Espacial)....................................188 
2.5.5 Derivada Material del Gradiente de Deformación. Derivada Material del 
Determinante del Jacobiano.................................................................................................192 
2.5.5.1 Derivada Material de F . Tensor Gradiente Espacial de Velocidad ..................192 
2.5.5.2 Tensor Tasa de Deformación y Tensor Spin .........................................................193 
2.5.5.3 Derivada Material de 1−F .........................................................................................195 
2.5.5.4 Derivada Material del Determinante del Jacobiano...............................................196 
2.6 TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA........................................................................................198 
2.6.1 Tensor Material de Deformación .........................................................................................199 
2.6.2 Tensor Espacial de Deformación (Tensor de Deformación de Almansi).....................204 
2.6.3 Tasas de los Tensores de Deformación...............................................................................206 
2.6.3.1 Tasa del Tensor Derecho de Deformación de Cauchy-Green............................206 
2.6.3.2 Tasa del Tensor de Deformación de Green-Lagrange .........................................206 
2.6.3.3 Tasa del Tensor 1−C ..................................................................................................207 
2.6.3.4 Tasa del Tensor Izquierdo de Deformación de Cauchy-Green ..........................207 
2.6.3.5 Tasa del Tensor de Deformación de Almansi........................................................208 
2.6.3.6 Relación entre la Tasa del Tensor de Deformación de Almansi y el Tensor 
Tasa de Deformación ...................................................................................................208 
2.6.4 Interpretación Física de los Tensores de Deformación....................................................210 
2.6.4.1 Relaciones entre Tensores de Deformación, Estiramiento y Alargamiento 
Unitario...........................................................................................................................211 
2.6.4.2 Variación de Ángulo...................................................................................................213 
2.6.4.3 Interpretación Física de las Componentes de los Tensores de Deformación. 
Tensor Derecho de Estiramiento...............................................................................214 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
X 
2.7 CASOS PARTICULARES DEL MOVIMIENTO ................................................................................. 216 
2.7.1 Deformación Homogénea..................................................................................................... 216 
2.7.2 Movimiento de Cuerpo Rígido.............................................................................................216 
2.8 DESCOMPOSICIÓN POLAR DE F ................................................................................................. 220 
2.8.1 Representación Espectral de los Tensores de Deformación........................................... 222 
2.8.2 Evolución de la Descomposición Polar.............................................................................. 228 
2.8.3 Tasas de los Tensores de Deformación en Función de los Estiramientos ................... 233 
2.9 DEFORMACIÓN DE ÁREA Y DE VOLUMEN ................................................................................ 241 
2.9.1 Deformación del Diferencial de Área ................................................................................. 241 
2.9.1.1 Derivada Material del Diferencial de Área ............................................................. 243 
2.9.2 Deformación del Diferencial de Volumen ......................................................................... 244 
2.9.2.1 Derivada Material del Diferencial de Volumen ..................................................... 246 
2.9.2.2 Deformación Volumétrica ........................................................................................ 246 
2.9.2.3Deformación Isocórica, Incompresibilidad............................................................ 246 
2.10 DOMINIOS MATERIALES Y DOMINIOS DE CONTROLES........................................................ 247 
2.10.1 Dominios Materiales ............................................................................................................ 247 
2.10.2 Dominios de Controles ....................................................................................................... 248 
2.11 ECUACIONES DE TRANSPORTE .................................................................................................. 249 
2.12 CIRCULACIÓN Y VORTICIDAD .................................................................................................... 250 
2.13 DESCOMPOSICIÓN DEL MOVIMIENTO EN UNA PARTE ISOCÓRICA Y OTRA 
VOLUMÉTRICA................................................................................................................................ 252 
2.13.1 Invariantes Principales ......................................................................................................... 254 
2.14 DEFORMACIÓN INFINITESIMAL ................................................................................................. 255 
2.14.1 Tensores de Deformación y Spin Infinitesimales ........................................................... 257 
2.14.2 Estiramiento. Alargamiento Unitario ................................................................................ 259 
2.14.3 Variación de Ángulo ............................................................................................................ 259 
2.14.4 Interpretación Física del Tensor de Deformación Infinitesimal................................... 260 
2.14.4.1 Deformación Ingenieril ........................................................................................... 261 
2.14.5 Deformación Volumétrica Lineal ...................................................................................... 264 
2.14.6 Caso Bidimensional (Deformación Plana) ....................................................................... 265 
2.14.7 Tensor de Deformación Infinitesimal en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas......... 265 
2.14.7.1 Coordenadas Cilíndricas.......................................................................................... 265 
2.14.7.2 Coordenadas Esféricas ............................................................................................ 265 
2.15 OTRAS MEDIDAS DE DEFORMACIÓN ....................................................................................... 269 
2.15.1 Motivación............................................................................................................................. 269 
2.15.2 Tensor de Deformación Logarítmica................................................................................ 271 
2.15.3 Tensor de Deformación de Biot ........................................................................................ 272 
2.15.4 Unificación de los Tensores de Deformación ................................................................. 272 
2.15.5 Las Medidas de Deformación en Una Dimensión (1D) ................................................ 273 
2.15.5.1 Deformación de Cauchy o Ingenieril o Deformación Lineal............................ 273 
2.15.5.2 Deformación Logarítmica o Deformación de Hencky o Deformación 
Verdadera ....................................................................................................................... 273 
2.15.5.3 Deformación de Green-Lagrange.......................................................................... 274 
2.15.5.4 Deformación de Almansi ........................................................................................ 274 
2.15.5.5 Deformación de Swaiger ......................................................................................... 274 
2.15.5.6 Deformación de Kuhn ............................................................................................ 274 
 
3 TENSIONES ....................................................................................................................277 
3.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................277 
3.2 FUERZAS............................................................................................................................................ 277 
3.2.1 Fuerzas de Superficie ............................................................................................................. 278 
3.2.2 Fuerzas Gravitatorias ............................................................................................................. 278 
3.3 TENSORES DE TENSIONES............................................................................................................. 279 
3.3.1 Tensor de Tensiones de Cauchy .......................................................................................... 280 
3.3.1.1 Vector Tensión ........................................................................................................... 280 
3.3.1.2 Postulado Fundamental de Cauchy ......................................................................... 281 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
CONTENIDO 
 
XI
3.4 RELACIONES ENTRE EL VECTOR TENSIÓN Y EL TENSOR DE TENSIONES ..........................284 
3.4.1 Convenio de Signos ................................................................................................................285 
3.4.2 Tensión y Presión Media. Estado Hidrostático .................................................................286 
3.4.3 Otras Medidas de Tensión.....................................................................................................295 
3.4.3.1 Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff ..................................................295 
3.4.3.2 Tensor de Tensiones de Kirchhoff ..........................................................................296 
3.4.3.3 Segundo Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff ...............................................297 
3.4.3.4 Tensor de Tensiones de Biot ....................................................................................297 
3.4.3.5 Tensor de Tensión de Mandel ..................................................................................298 
3.4.4 Representación Espectral de los Tensores de Tensiones .................................................300 
3.5 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO ...........................................................................................................302 
3.5.1 Ecuación de Equilibrio en Notación de Voigt...................................................................304 
3.5.2 Ecuación de Equilibrio en la Descripción Material...........................................................304 
3.6 SIMETRÍA DEL TENSOR DE TENSIONES DE CAUCHY ...............................................................305 
3.7 TENSIONES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS ..................................................309 
3.7.1 Coordenadas Cilíndricas ........................................................................................................309 
3.7.1.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Cilíndricas.............................................309 
3.7.2 Coordenadas Esféricas ...........................................................................................................313 
3.7.2.1 Ecuación de Equilibrio en Coordenadas Esféricas ...............................................314 
3.8 ESTADO TENSIONAL EN DOS DIMENSIONES............................................................................318 
3.8.1 Tensión Plana ..........................................................................................................................3183.8.2 Ecuaciones de Equilibrio en 2D...........................................................................................319 
3.8.2.1 Ecuaciones de Equilibrio en Coordenadas Polares...............................................319 
3.8.3 Ley de Transformación en 2D..............................................................................................320 
3.8.4 Tensiones y Direcciones Principales en 2D........................................................................324 
3.8.5 Círculo de Mohr en 2D..........................................................................................................329 
 
4 OBJETIVIDAD DE TENSORES ................................................................................... 335 
4.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................335 
4.2 OBJETIVIDAD DE TENSORES.........................................................................................................336 
4.2.1 “Tensor” Gradiente de Deformación..................................................................................339 
4.2.2 Tensores de Deformación .....................................................................................................340 
4.2.3 Tensores de Tensiones...........................................................................................................341 
4.3 TASAS DE TENSORES.......................................................................................................................343 
4.3.1 Tasas Objetivas de Tensores.................................................................................................344 
4.3.1.1 Tasa Convectiva ..........................................................................................................345 
4.3.1.2 Tasa de Oldroyd..........................................................................................................345 
4.3.1.3 Tasa de Cotter-Rivlin..................................................................................................346 
4.3.1.4 Tasa de Jaumann-Zaremba........................................................................................347 
4.3.1.5 Tasa de Green-Naghdi o Tasa Polar........................................................................348 
4.3.2 Tasas Objetivas de Tensores de Tensiones ........................................................................348 
 
5 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO353 
5.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................353 
5.2 DENSIDAD.........................................................................................................................................354 
5.2.1 Densidad de Masa...................................................................................................................354 
5.3 FLUJO .................................................................................................................................................355 
5.4 TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS.............................................................................356 
5.4.1 Teorema del Transporte de Reynolds para un Volumen con Discontinuidades..........357 
5.5 LEY DE CONSERVACIÓN ................................................................................................................359 
5.6 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE MASA ..360 
5.6.1 Ecuación de Continuidad en la Descripción Material.......................................................362 
5.6.2 Medio Incompresible .............................................................................................................364 
5.6.3 Ecuación de Continuidad de Masa para Volumen con Discontinuidades.....................364 
5.7 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL. ECUACIONES DE 
MOVIMIENTO..................................................................................................................................366 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
XII 
5.7.1 Momento Lineal...................................................................................................................... 366 
5.7.2 Principio de la Conservación del Momento Lineal ........................................................... 366 
5.7.3 Ecuaciones de Movimiento para Volumen con Discontinuidades ................................ 369 
5.8 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. SIMETRÍA DEL TENSOR 
DE TENSIONES DE CAUCHY ........................................................................................................ 371 
5.8.1 Momento Angular .................................................................................................................. 371 
5.8.2 Principio de la Conservación del Momento Angular........................................................ 371 
5.9 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. ECUACIÓN DE ENERGÍA.................. 376 
5.9.1 Energía Cinética ...................................................................................................................... 376 
5.9.2 Potencia Mecánica. Potencia Tensional .............................................................................. 377 
5.9.3 Teorema de las Fuerzas Vivas .............................................................................................. 380 
5.9.4 Energía Interna ....................................................................................................................... 382 
5.9.5 Potencia Calorífica.................................................................................................................. 383 
5.9.6 Primer Principio de la Termodinámica. Ecuación de Energía ........................................ 384 
5.9.6.1 Ecuación de Energía en la Descripción Material................................................... 385 
5.9.7 Ecuación de Energía para Volumen con Discontinuidades ............................................ 387 
5.10 PRINCIPIO DE LA IRREVERSIBILIDAD. DESIGUALDAD DE ENTROPÍA................................ 389 
5.10.1 Consideraciones Termodinámicas ..................................................................................... 389 
5.10.2 Segundo Principio de la Termodinámica.......................................................................... 389 
5.10.3 Desigualdad de Clausius-Duhem....................................................................................... 391 
5.10.4 Desigualdad de Clausius-Planck.........................................................................................392 
5.10.5 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Duhem............................................ 393 
5.10.6 Forma Alternativa de la Desigualdad de Clausius-Planck.............................................. 394 
5.10.7 Procesos Reversibles............................................................................................................ 395 
5.10.8 Desigualdad de Entropía para Volumen con Discontinuidad ...................................... 395 
5.11 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO .................. 398 
5.11.1 Casos Particulares ................................................................................................................. 399 
5.11.1.1 Movimiento de Sólido Rígido................................................................................. 399 
5.11.1.2 Problemas de Flujo .................................................................................................. 400 
5.12 PROBLEMAS DE FLUJO..................................................................................................................401 
5.12.1 Transferencia de Calor......................................................................................................... 401 
5.12.1.1 Conducción Térmica................................................................................................ 401 
5.12.1.2 Convección Térmica ................................................................................................ 402 
5.12.1.3 Radiación ................................................................................................................... 403 
5.12.1.4 Ecuación de Flujo de Calor .................................................................................... 403 
5.12.2 Flujo de Fluido en Medio Poroso (filtración) .................................................................. 407 
5.12.3 Ecuación Convección-Difusión......................................................................................... 408 
5.12.4 Generalización del Problema de Flujo .............................................................................. 411 
5.13 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL (PVCI) Y LA MECÁNICA 
COMPUTACIONAL .......................................................................................................................... 411 
 
6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS .....................................415 
6.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................415 
6.2 PRINCIPIOS CONSTITUTIVOS......................................................................................................... 417 
6.2.1 El Principio del Determinismo............................................................................................. 418 
6.2.2 El Principio de la Acción Local............................................................................................ 418 
6.2.3 El Principio de la Equipresencia .......................................................................................... 418 
6.2.4 El Principio de la Objetividad .............................................................................................. 418 
6.2.5 El Principio de la Disipación ................................................................................................ 418 
6.3 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL 
SIMPLE.............................................................................................................................................. 419 
6.4 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL 
TERMOVISCOELÁSTICO ................................................................................................................ 426 
6.4.1 Ecuaciones Constitutivas con Variables Internas.............................................................. 430 
6.5 EVIDENCIAS EXPERIMENTALES ................................................................................................... 435 
6.5.1 Comportamiento de los Sólidos...........................................................................................435 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
CONTENIDO 
 
XIII
6.5.1.1 Efecto de la Temperatura ..........................................................................................437 
6.5.1.2 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material .....................................................437 
6.5.2 Comportamiento de los Fluidos...........................................................................................447 
6.5.2.1 Viscosidad ....................................................................................................................447 
6.5.3 Materiales Viscoelásticos........................................................................................................448 
6.5.4 Modelos Reológicos ...............................................................................................................449 
 
7 ELASTICIDAD LINEAL................................................................................................. 453 
7.1 INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................................453 
7.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL ............................................................454 
7.2.1 Ecuaciones de Gobierno .......................................................................................................454 
7.2.2 Condiciones de Contorno e Iniciales...................................................................................455 
7.3 LEY DE HOOKE GENERALIZADA.................................................................................................455 
7.3.1 Ley de Hooke Generalizada en la Notación de Voigt ......................................................456 
7.3.2 Ley de Transformación para la Ley de Hooke Generalizada...........................................457 
7.3.2.1 Matriz de Transformación de los Tensores de Tensión y de Deformación......458 
7.3.2.2 Matriz de Transformación del Tensor de Propiedades Elásticas........................459 
7.4 TENSOR CONSTITUTIVO ELÁSTICO .............................................................................................460 
7.4.1 Anisotropía e Isotropía ..........................................................................................................460 
7.4.2 Tipos de Simetría del Tensor Constitutivo Elástico..........................................................461 
7.4.2.1 Simetría Triclínica .......................................................................................................461 
7.4.2.2 Simetría Monoclínica (Un Plano de Simetría) ........................................................461 
7.4.2.3 Simetría Ortótropa (Dos Planos de Simetría) ........................................................462 
7.4.2.4 Simetría Tetragonal.....................................................................................................463 
7.4.2.5 Simetría Transversalmente Ortótropa (Simetría Hexagonal)...............................465 
7.4.2.6 Simetría Cúbica............................................................................................................467 
7.4.2.7 Simetría en Todas Direcciones (Isotropía) .............................................................468 
7.5 MATERIAL ISÓTROPO......................................................................................................................470 
7.5.1 Ley Constitutiva ......................................................................................................................470 
7.5.2 Determinación de las Constantes Elásticas ........................................................................472 
7.5.2.1 Módulo de Elasticidad Longitudinal. Coeficiente de Poisson .............................472 
7.5.2.2 Módulo de Elasticidad Transversal. Módulo de Deformación Volumétrica. ...474 
7.5.3 Tensor Acústico Elástico.......................................................................................................477 
7.6 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN........................................................................................................479 
7.6.1 Descomposición de la Energía de Deformación...............................................................481 
7.7 LEY CONSTITUTIVA PARA MATERIAL ORTÓTROPO .................................................................485 
7.8 MATERIAL TRANSVERSALMENTE ORTOGONAL........................................................................485 
7.9 TEOREMA DE LA SUPERPOSICIÓN. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT.......................................487 
7.10 DEFORMACIÓN Y TENSIÓN INICIALES .....................................................................................488 
7.10.1 Deformación Térmica..........................................................................................................4887.11 ECUACIONES DE NAVIER.............................................................................................................490 
7.12 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL ..................................................................................................492 
7.12.1 Estado de Tensión Plana .....................................................................................................492 
7.12.1.1 Deformación Inicial..................................................................................................494 
7.12.2 Estado de Deformación Plana............................................................................................494 
7.12.2.1 Deformación Térmica..............................................................................................497 
7.12.3 Sólidos de Revolución..........................................................................................................499 
7.13 APLICACIONES DE LA ELASTICIDAD LINEAL A ELEMENTOS ESTRUCTURALES ................502 
7.13.1 Elementos Estructurales Unidimensionales .....................................................................502 
7.13.1.1 Esfuerzo Normal y Momento Flector...................................................................503 
7.13.1.2 Esfuerzo Cortante y Momento Torsor .................................................................505 
7.13.1.3 Energía de Deformación .........................................................................................506 
7.13.2 Placas a Flexión.....................................................................................................................507 
7.13.2.1 Hipótesis y Relaciones Básicas de la Teoría de Kirchhoff .................................507 
7.13.2.2 Campo de Desplazamientos....................................................................................507 
7.13.2.3 Campo de Deformación ..........................................................................................509 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
XIV 
7.13.2.4 Campo de Tensión ................................................................................................... 509 
7.13.2.5 Esfuerzos de Placas..................................................................................................510 
7.13.2.6 Ecuación Diferencial de Placas .............................................................................. 511 
7.13.2.7 Esfuerzo Cortante Equivalente.............................................................................. 513 
7.13.2.8 Condición de Contorno .......................................................................................... 514 
7.13.2.9 Esfuerzos según un Sistema Genérico de Coordenadas.................................... 515 
7.13.2.10 Ecuaciones de Placas en Coordenadas Polares ................................................. 518 
7.13.3 Torsión de Saint-Venant ..................................................................................................... 522 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................525 
ÍNDICE TEMÁTICO ...............................................................................................................533 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 
 
Nomenclatura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
),( tXA
rr
 Aceleración (configuración de referencia) 
A Matriz de transformación de base 
),( txa rr Aceleración (configuración actual) 
0B Medio continuo en la configuración de referencia en 0=t 
B Medio continuo en la configuración actual, en t 
B∂ Contorno de B 
),( txr
r
b Fuerzas másicas (por unidad de masa) 
b Tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green, tensor de deformación 
de Finger 
B Tensor de deformación de Piola 
B Entropía creada interiormente 
b Manantial de entropía local por unidad de masa y por unidad de tiempo 
eC Tensor constitutivo elástico 
[ ]C Matriz elástica (notación de Voigt) 
inC Tensor constitutivo inelástico 
c Tensor de deformación de Cauchy 
vC Calor específico a volumen constante 
pC Calor específico a presión constante 
c Cohesión 
cc Concentración 
C Tensor derecho de deformación de Cauchy-Green 
VD Deformación volumétrica 
D Tensor velocidad de deformación o tensor tasa de deformación o tensor tasa 
de deformación Euleriana o tensor estiramiento 
A
r
d Diferencial de área en la configuración de referencia 
ard Diferencial de área en la configuración actual 
dV Diferencial de volumen 
E Tensor material de deformación Green-Lagrange, tensor de deformación de 
Green, tensor de deformación Green-St. Venant 
e Tensor de deformación finita Euleriana o tensor de deformación de Almansi
E Módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young 
iê Base Cartesiana en notación simbólica 
kji ˆ,ˆ,ˆ Base Cartesiana 
F Gradiente de deformación 
G Módulo de elasticidad transversal 
 
Notacion ´ 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
XVI 
H Tensor de deformación de Biot 
H Entropía 
OH
r
 Momento angular 
J Jacobiano 
),( tX
r
J Tensor gradiente espacial de los desplazamientos 
),( txrj Tensor gradiente material de los desplazamientos 
K Tensor de conductividad térmica 
K Energía cinética 
L
r
 Cantidad de movimiento lineal 
l Tensor gradiente espacial de velocidad 
m Masa total 
M Tensor de tensiones de Mandel 
n̂ Vector unitario normal a una superficie (configuración actual) 
N̂ Vector unitario normal a una superficie (configuración de referencia) 
p
r
 Fuerza por unidad de volumen 
P Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, tensor de tensiones 
nominales o tensor de tensiones Lagrangiano 
p Presión media 
p Presión termodinámica 
)(tP Potencia mecánica 
),( txr
r
q Flujo de calor o vector del flujo no convectivo 
Q Tensor ortogonal 
Q Potencia calorífica 
),( tr xr Función escalar que describe en forma espacial el calor generado por las 
fuentes internas por unidad de masa 
R Tensor ortogonal de la descomposición polar 
S Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff 
s
r Flujo de entropía 
T Tensor de tensiones de Biot 
)ˆ,,()ˆ( nt n txr
r
 Vector tracción (configuración de referencia) 
)ˆ(
0
Nt
r
 Pseudo vector tensión (configuración de referencia) 
),( tT xr Temperatura 
t Tiempo 
00 =≡ tt Tiempo inicial 
U& Potencia tensional 
u Energía interna específica o densidad de energía interna 
),( txr
r
u Vector desplazamiento 
U Tensor derecho de estiramiento, o tensor de estiramiento Lagrangiano, o 
tensor de estiramiento material 
V Tensor izquierdo de estiramiento, o tensor de estiramiento Euleriano, o 
tensor de estiramiento espacial 
),( tXV
rr
 Velocidad (configuración de referencia) 
),( txv rr Velocidad (configuración actual) 
W Tensor spin o tensor velocidad de rotación 
X
r
 Vector posición coordenada material 
xr Vector posición coordenada espacial 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
NOTACIÓN 
 
XVII
 
α Coeficiente de transferencia térmica de calor convectivo por unidad de área 
ijδ Delta de Kronecker 
321 ,, εεε Deformaciones principales 
ε Alargamiento unitario 
ijk Símbolo de permutación, componentes del tensor Levi-Civita 
Vε Deformación volumétrica (para pequeñas deformaciones) 
ε Tensor de deformación infinitesimal 
η Densidad de entropía por unidad de masa y por unidad de tiempo 
κ Módulo de deformación volumétrico 
κ Difusividad térmica 
λ Estiramiento 
µ,λ Constante de Lamé 
λ̂ Multiplicador de Lagrange 
ν Coeficiente de Poissonρ Densidad de masa 
Sρ Densidad de masa de la solución 
fρ Densidad de masa del fluido 
),(0 tx
rρ Densidad de masa en la configuración de referencia 
),( txrρ Densidad de masa en la configuración actual 
σ Tensor de tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas 
Nσ
r
 Componente normal del vector tracción 
Sσ
r
 Componente tangencial del vector tracción 
mσ Tensión media 
321 ,, σσσ Tensiones principales 
octσ
r
 Tensión normal octaédrica 
octτ
r Tensión tangencial octaédrica o tensión de corte octaédrica 
maxτ Tensión de corte máximo 
τ Tensor de tensiones de Kirchhoff 
φ Ángulo de fricción interno 
ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de masa 
Ψ Energía libre de Helmholtz por unidad de volumen 
eΨΨ =)(ε Densidad de energía de deformación 
ψ Ángulo de dilatancia 
Ω Tensor tasa del tensor de rotación material 
ω
r
 Tensor de vorticidad 
••• IIIIII ,, Primer, segundo y tercer invariantes del tensor • 
•≡• &
Dt
D Derivada material de • 
•
r Vector 
•̂ Vector unitario (versor) 
1 Tensor identidad de segundo orden 
I Tensor identidad de cuarto orden 
I≡symI Parte simétrica del tensor identidad de cuarto orden 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
XVIII 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 
 
 
 
 
 
 
Abreviaturas 
 
 
 
 
 
 
PVCI Problema de Valor de Contorno Inicial 
PVC Problema de Valor de Contorno 
MEF Método de los Elementos Finitos 
MEC Método de los Elementos de Contorno 
MDF Método de las Diferencias Finitas 
 
 
 
 
Latin 
 
i.e. id est es decir 
et al. et alii y otros 
e.g. exempli gratia por ejemplo 
etc. et cetera y así sucesivamente 
v., vs. versus versus 
viz. vidilicet a saber 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abreviaturas 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 
 
 
Operadores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
•+•
=〈•〉 paréntesis de MacAuley 
• norma Euclidiana de • 
)(•Tr traza de )(• 
T)(• transpuesta de )(• 
1)( −• inversa de )(• 
T−•)( inversa de la transpuesta de )(• 
sym)(• parte simétrica de )(• 
anti)(• parte antisimétrica de )(• 
esf)(• parte esférica de )(• o parte hidrostática 
dev)(• parte desviadora de )(• 
• módulo de • 
[ ][ ]• salto de • 
⋅ producto escalar 
( ) •≡•det determinante de ( )• 
)(•cof Cofactor de • ; 
( )•Adj adjunta de ( )• 
( )•Tr traza de ( )• 
: doble producto escalar 
2∇ operador diferencial escalar (Laplaciano) 
⊗ producto tensorial 
)(•≡• grad∇ gradiente de • 
)(•≡•∇ ⋅ div divergencia de • 
∧ producto vectorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operadores 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 
 
 
Unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
longitud m - metro energía, trabajo, calor NmJ = - Joules 
masa kg - kilogramo potencia W
s
J ≡ Vatio 
tiempo s - segundo coeficiente de transferencia de calor Km
W
2 
temperatura K - Kelvin permeabilidad 2m 
velocidad 
s
m viscosidad dinámica 
s
Pa 
aceleración 2s
m tasa de flujo 
s
m3 
energía NmJ = - Joules conductividad térmica: 
mK
W 
fuerza N - Newton frecuencia Hz
s
≡1 Hertz 
presión, tensión 2m
NPa ≡ - Pascal densidad de masa 3m
kg 
 densidad de energía 3m
J 
 
 
Prefijo Símbolo Potencia 
10 
Prefijo Símbolo Potencia 
10 
pico p 1210− kilo k 310 
nano η 910− Mega M 610 
micro µ 610− Giga G 910 
mili m 310− Tera T 1210 
centi c 210− 
deci d 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades (SI) 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
A THREE DIMENSIONAL SETTING FOR STRONG DISCONTINUITIES MODELLING IN FAILURE MECHANICS 
 
XXII 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
 Introducción 
 
 
 
 
 
1 La Mecánica 
La Mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, y su 
evolución en el tiempo, bajo acción de fuerzas. La Mecánica se puede dividir en: 
 Mecánica Teórica; 
 Mecánica Aplicada; 
 Mecánica Computacional. 
La Mecánica Teórica establece las leyes y principios fundamentales. 
La Mecánica Aplicada transfiere los conocimientos teóricos para aplicarlos a problemas 
científicos e ingenieriles. 
La Mecánica Computacional resuelve problemas específicos mediante la simulación a través de 
herramientas numéricas implementadas en el ordenador. 
2 ¿Qué es la Mecánica del Continuo? 
La mecánica del continuo es la parte de la mecánica que trata del estudio del movimiento 
(deformación o tasa de deformación) de un medio, constituido por materia, bajo la acción 
de fuerzas. Por ejemplo ¿cómo se deformaría una viga de madera, y cómo se deformaría 
dicha viga si fuese de hormigón? En el caso de fluidos, para una presión dada, ¿cómo fluye 
el agua o el aceite en una tubería? 
2.1 Hipótesis de la Mecánica del Continuo 
Como es sabido, un cuerpo físico consiste de pequeñas moléculas (aglomeración de dos o 
más átomos). A través de experimentos sofisticados, podemos observar que estos 
“elementos constituyentes” no están distribuidos homogéneamente, es decir, existen 
huecos entre ellos. En el estudio de la mecánica del medio continuo estos fenómenos no se 
consideran. Para tratar un fluido con las hipótesis de la mecánica del medio continuo las 
propiedades: densidad de masa, presión y velocidad son funciones continuas. La forma de 
tratar un sistema de moléculas como un medio continuo es válida cuando se compara el 
 
Introduccion ´ 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
2 
camino libre medio de las moléculas (Λ ) con la longitud característica del sistema físico 
( l ). Al cociente entre estas longitudes 
l
Λ se le denomina número de Knudsen ( Kn ). Si 
este número es mucho menor que la unidad, el dominio puede ser tratado como medio 
continuo. 
camicroscópión aproximaci1
camacroscópión aproximaci1
⇒>Λ=
⇒<<Λ=
l
l
Kn
Kn
 
Por ejemplo, para los sólidos y los líquidos cm710−≈Λ y para los gases cm610−≈Λ , Chung 
(1996). 
Las hipótesis básicas de la mecánica del medio continuo son: la materia que constituye el 
medio está distribuida de forma continua; y las variables involucradas en el problema 
(velocidad, aceleración, presión, densidad de masa, etc.) son continuas. 
A través de aproximaciones razonables o de ecuaciones adicionales al problema 
inicialmente propuesto, podemos caracterizar un medio continuo con variables 
discontinuas asociadas al problema. Ejemplos que pueden presentar discontinuidades 
podemos citar: problema de fractura; ondas de choques, entre otros. 
2.2 El Medio Continuo 
Desde de un punto de vista muy general, cuando aplicamos una fuerza a un sólido este es 
capaz de recuperar su estado inicial cuando quitamos la fuerza. En el caso de los líquidos 
esto no pasa. Por ello, tradicionalmente la mecánica del medio continuo fue dividida en dos 
grandes grupos: Sólidos y Fluidos (líquido o gas). 
Durante muchas décadas, la Mecánica de Sólidos y la Mecánica de Fluidos han caminado 
paralelamente sin que hubiera interacción entre ellas. En la actualidad eso ya no debería 
pasar, por varias razones. Una de las razones es por la necesidad de simular materiales más 
complejos (materiales que poseen características de sólidos y de fluidos simultáneamente). 
Estos materiales además de presentar propiedades elásticas (obedeciendo las leyes 
constitutivas de sólidos) también presentan características de fluidos. Como ejemplo de 
dichos materiales podemos mencionar los materiales Viscoelásticos. Otra razón que ha 
llevado al estrechamientode la relación Fluido-Sólido fue la necesidad de simular 
problemas de interacción Fluido-Estructura. 
En la actualidad ha surgido otra rama de la mecánica del continuo, que está relacionado con 
los problemas Multifísicos, que están caracterizados con el cambio de fase, cambio de la 
fase sólida a la fase líquida o viceversa, donde se incluye sistemas mecánicos que 
transcienden los contornos clásicos de la mecánica de sólidos y de fluidos. Con eso, 
tradicionalmente se divide el medio continuo como: 










osMultifísic
Gas
Líquido
Fluido
Sólido
Continuo Medio 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
INTRODUCCIÓN 
 
3
3 Escalas de Estudio de los Materiales 
Según Willam(2000), la ciencia de los materiales puede ser estudiada en diferentes escalas, 
ver Figura 1, a saber: 
 Nivel métrico 
La mayoría de los problemas de ingeniería civil, mecánica y aeroespacial. 
 Nivel milimétrico 
En este nivel se pueden inscribir las probetas utilizadas para medir las características 
mecánicas de los materiales en el laboratorio. 
 Nivel micrométrico 
Características micro-estructurales, tales como micro-defectos y productos de la 
hidratación del cemento, son observados en esta escala 
 Nivel nanométrico 
En este nivel se contemplan los procesos moleculares y atómicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Multiescalas en la mecánica de los materiales, Willam(2000). 
3.1 Escala de Estudio de la Mecánica del Continuo 
La mecánica del Medio Continuo está planteada a un nivel macroscópico. Es decir, las 
variables del problema a nivel macroscópico se consideran como un promedio de estas 
variables a nivel mesoscópico. Valga como ejemplo la sangre, que se puede modelar de 
 
Nano Mecánica 
Meso Mecánica 
Macro Mecánica 
Mecánica Estructural 
Micro Mecánica 
 m0101× 
 m3101 −× 
 m6101 −× 
 m9101 −× 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
4 
diferentes maneras, dependiendo de la escala que estamos considerando. En la escala 
m610− consideramos el flujo de sangre alrededor de una célula sanguínea, en la escala 
m410− consideramos el flujo de fluido a través de un conjunto de células sanguíneas, 
pudiéndose observar los efectos del fluido sobre las células, a una escala m310− 
(macroscópica) podemos considerar el flujo de fluido a través de las arterias o venas, 
ignorando las células individualmente y considerando la sangre como un fluido que 
presenta ciertas propiedades macroscópicas (velocidad, presión, etc.), ver Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Niveles de escala de la sangre. 
Otro ejemplo sería un material formado por mezclas de materiales, como por ejemplo el 
hormigón, que está formado básicamente por la mezcla de cemento, áridos, y agua. En la 
escala m910− podemos distinguir la estructura atómica del cemento y de los áridos. En la 
escala m610− es posible identificar los granos individuales de cemento antes de la 
hidratación, pudiéndose apreciar, tras la hidratación, los granos de silicato de calcio e 
hidróxido de calcio. En la escala milimétrica, m310− , distinguimos individualmente cada 
uno de los áridos y los poros (huecos). En este nivel, la interacción entre partes de cemento 
y áridos es importante. 
En la escala métrica, m10 , y en la escala de laboratorio, m1 , se puede considerar la 
estructura interna del material de tal manera que sus propiedades sean idénticas en todos 
los puntos y en todas direcciones del sólido, caracterizando así un material homogéneo e 
isótropo. 
 
flujo de sangre en una arteria 
(Escala macro – 10-3m) 
Escala Meso - 10-4 m 
Escala Micro - 10-5 m 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
INTRODUCCIÓN 
 
5
Otro ejemplo para comprender la escala en la que está planteada la mecánica del medio 
continuo es a través de la medida de la densidad de masa (ρ ), que es una variable 
macroscópica para la mecánica del continuo. 
Podemos determinar la densidad de masa de un medio continuo a partir de la densidad de 
masa de un cubo, dividiendo la masa del cubo (de lado a ) por su volumen. Consideremos 
un cubo de lado a′ , de menor volumen que el anterior. En la Figura 3(b) se puede 
observar que dependiendo de la posición del nuevo cubo, se obtiene distintos valores de la 
densidad de masa, ya que dependiendo de la posición considerada, el cubo contendrá 
distintas cantidades de materia y de huecos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Medida de la densidad de masa. 
Es decir, si vamos variando la dimensión de a desde valores muy pequeños, notaremos 
que el valor de la densidad de masa oscilará, ver Figura 4. Sin embargo habrá un intervalo 
en la dimensión de a en el que el valor de la densidad de masa se mantendrá constante. La 
mecánica del medio continuo está planteada en este intervalo. 
Podemos extender la mecánica del medio continuo a otras escalas, añadiendo ciertas 
consideraciones, como por ejemplo el denominado efecto de escala. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Densidad de masa. 
 )(alog 
 ρ 
Escala de la 
mecánica del 
continuo 
 a 
 a 
 a′ 
 a′ 
 cubo con menos materia 
(más vacíos) 
cubo con más materia 
(menos vacíos) 
(a) (b) 
 . . . ...
...
...
...
...
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
6 
4 Problema de Valor de Contorno Inicial 
La mecánica del medio continuo, partiendo de ciertas hipótesis, intenta formular las 
ecuaciones que gobiernan un problema físico dado a través de ecuaciones en derivadas 
parciales. A estas ecuaciones hay que añadir las condiciones de contorno e iniciales, 
resultando así un Problema de Valor de Contorno Inicial (PCVI), ver Figura 5. 
Para problemas estáticos o cuasi estáticos el PVCI se convierte en un Problema de Valor de 
Contorno (PVC), donde las condiciones iniciales son redundantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Planteamiento y solución del problema. 
4.1 Solución del Problema 
Una vez que el problema físico está planteado, llega el momento de obtener la solución del 
problema. La solución del PVCI puede ser Analítica, solución exacta, o Numérica, solución 
aproximada, ver Figura 5. 
La obtención de la solución analítica del PVCI, en la mayoría de los casos, es muy 
complicada o imposible, por presentar complejidad en la geometría, o en las cargas, o en las 
condiciones de contorno, por lo que recurrimos a la solución numérica del PVCI. La 
solución analítica, para problemas sencillos, es muy importante, ya que nos sirve de 
referencia para indicar el grado de aproximación (precisión) de la técnica numérica 
empleada. 
Entre las técnicas numéricas más utilizadas para la solución del PVCI podemos citar: 
 Método de las Diferencias Finitas - MDF; 
Analítica 
Numérica 
• Ecuaciones en Derivadas Parciales 
• Condiciones de contorno 
• Condiciones Iniciales 
Problema Físico 
 PVCI 
SOLUCIÓN 
 σ C 
 ε 
 u
r
 
 ρ 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
INTRODUCCIÓN 
 
7
 Método de los Elementos Finitos - MEF; 
 Método de los Elementos de Contorno - MEC; 
 Método del Volumen Finito - MVF; 
 Método sin malla, entre otros. 
De forma general, todas las técnicas transforman el problema planteado de forma continua 
en un sistema discretos de ecuaciones. 
No podemos decir que una de las técnicas citadas anteriormente sea la mejor. Primero 
debemos preguntarnos qué problema queremos resolver. Dependiendo del tipo del 
problema una técnica es mejor que otra, e incluso una combinación de distintas técnicas 
también puede ser empleada para optimizar la solución. 
El método de las diferenciasfinitas se basa en discretizar el dominio en puntos donde son 
válidas las ecuaciones de gobierno del problema. El MDF fue la primera en surgir, hoy aún 
se utiliza esta técnica en problemas donde se producen problemas de estabilización del 
problema y para la discretización en el tiempo. 
El método de los elementos finitos se basa en discretizar el dominio en sub-dominios 
denominados elementos finitos, donde las ecuaciones de gobierno son válidas. Su grado de 
precisión en la solución es mejor que MDF. Hoy por hoy, la técnica del MEF es la más 
utilizada y difundida en el ámbito de la mecánica de sólidos. 
En el método de los elementos de contorno se discretiza solamente el contorno del 
dominio. Desde de un punto de vista de la aproximación de la solución, es más preciso que 
el MEF para el caso de problema elástico. Cuando el dominio a discretizar es infinito o 
semi-infinito, es también más ventajoso que el MEF. El MEC tiene su desventaja en los 
problemas no-lineales, donde se necesita una discretización del dominio en células. 
De forma general el PVCI contiene variables espaciales (desplazamientos, presión, etc.) y 
variables temporales (las tasas de las variables espaciales), por ello para la solución numérica 
necesitamos hacer una discretización espacial (dominio) y una discretización temporal (tiempo). 
Como ejemplo, para la discretización espacial podemos emplear la técnica de los elementos 
finitos y para la discretización temporal podemos emplear otra técnica como el MDF. 
4.2 Simplificaciones del Problema 
4.2.1 Simplificación desde del Punto de vista de la Cinemática 
Un medio continuo sometido a una acción (fuerza) presenta una determinada respuesta 
(desplazamiento, velocidad). En general, la relación fuerza-desplazamiento es no-lineal 
(teoría de grandes deformaciones). Sin embargo, dependiendo de la magnitud de la acción, 
la relación entre fuerza-desplazamiento puede ser lineal. Esta relación se cumple cuando el 
sólido está sometido a pequeños desplazamientos (teoría de pequeñas deformaciones). De 
esta manera, podemos clasificar el problema, desde del punto de vista de la cinemática, 
como perteneciente a la: 



nesDeformacio Pequeñas deTeoría 
nesDeformacio Grandes deTeoría 
 
4.2.2 Simplificación desde del Punto de vista del Material 
Experimentalmente se verifica que distintos materiales sometidos a una misma acción 
presentan una respuesta completamente distinta. Por ejemplo, una viga de madera se 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
8 
deformará de forma distinta a una viga de hormigón, por lo que, cada material estará 
representado matemáticamente por una ley denominada Ecuaciones Constitutivas o Leyes 
Constitutivas. Para una real caracterización de los materiales, es necesario entender bien el 
comportamiento de los materiales que constituyen el medio continuo. La evolución de un 
mejor entendimiento del comportamiento de los materiales está directamente ligada a la 
precisión de la instrumentación utilizada en los ensayos de laboratorio de dichos materiales. 
Con respecto a la respuesta del material, las leyes constitutivas pueden ser: 
 Elasticidad Lineal; 
 Hiperelasticidad (elasticidad no-lineal); 
 Plasticidad; 
 Viscoelasticidad; 
 Viscoplasticidad, entre otras. 
Para la Mecánica de Sólidos esbozamos dichas simplificaciones en la Figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Visión general de la mecánica de sólidos. 
 
Mecánica del Medio Continuo 
Sólidos Fluidos Multifísicos 
Grandes deformaciones 
(Deformación Finita) 
Pequeñas deformaciones 
(Deformación infinitesimal) 
Plasticidad 
Modelos Viscosos 
Hiperelasticidad 
Hiperplasticidad, ... 
Elasticidad Lineal 
Ley Constitutiva 
Cinemática 
Teoría de estructuras 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
INTRODUCCIÓN 
 
9
4.2.3 Simplificación desde del Punto de vista de la Dimensión 
Ciertos problemas, por presentar ciertas características geométricas, y ciertas características 
de cargas pueden ser tratados como problemas planos (bidimensionales) e incluso como 
unidimensionales, reduciendo enormemente el problema a resolver. Con estas 
aproximaciones, en ciertos casos, es hasta posible obtener la solución analíticamente 
(solución exacta). Es responsabilidad del ingeniero determinar cuando esas aproximaciones 
son aceptables o no para un problema dado. POr ello, una base sólida de la teoría general 
es extremadamente importante. 
 
5 Contenido del Libro 
Este libro está dividido en siete capítulos. En el capítulo 1 una especial atención es dada a 
los tensores, el cual es esencial para el desarrollo de la Mecánica del Medio Continuo y 
donde se introducen las nomenclaturas empleadas en el libro. En el capítulo 2 se hace un 
análisis del movimiento del continuo, planteando así los tensores de deformación. En el 
capítulo 3 se introduce el concepto de fuerzas y de tensores de tensiones así como sus 
particularidades. En el capítulo 4 introducimos la objetividad de tensores. En el capítulo 5 
planteamos los cinco principios fundamentales de la Mecánica del Medio Continuo: 
principio de la conservación de la masa; principio de la conservación del momento lineal; 
principio de la conservación del momento angular; principio de la conservación de la 
energía y el principio de la irreversibilidad. En el capítulo 6 introducimos las ecuaciones 
constitutivas y las condiciones que tienen que satisfacer dichas ecuaciones desde del punto 
de vista de la mecánica del continuo, y el capítulo 7 está dedicado al estudio de los 
problemas que caen en el ámbito de la elasticidad lineal. 
Los sietes capítulos mencionados anteriormente proporcionan al lector una buena base 
para el desarrollo de otros modelos constitutivos tales como: Hiperelasticidad, 
Hipoelasticidad, Plasticidad, Viscoelasticidad, Viscoplasticidad, Mecánica del Daño entre 
otros, cuyos temas son abordados en el libro: Mecánica del Medio Continuo: Modelos 
Constitutivos, ver Chaves (2009). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chaves, E.W.V. (2007). Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. 
CIMNE, Barcelona, España (3er Edición).
1 Tensores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Introducción 
Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales, 
por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el 
concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema 
de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste. 
Los tensores pueden ser clasificados según su orden como: 
Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo: 
densidad de masa, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y 
del tiempo y no necesariamente han de ser constantes. 
Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad, 
aceleración, fuerza). Será simbolizado por una letra en negrita con una flecha en la parte 
superior del tensor, i.e.: •r . 
Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos 
direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra en negrita. 
Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita. 
Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector, tensor de segundo 
orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al 
desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores. 
Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del 
sistema