T7-Plasticidad

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Caṕıtulo 7
Plasticidad
Una caracteŕıstica de los materiales reales es su resistencia limitada.
Esta propiedad fundamental, que hace entre otras cosas que las piezas y
estructuras se rompan, no se contempla en la respuesta elástica, ni siquiera
en la viscoelástica. El primer rasgo importante de las teoŕıas de plasticidad es
que incorporan un ĺımite a la capacidad resistente del material y lo codifican
matemáticamente.
Un segundo rasgo propio de la plasticidad es la caracterización de la
respuesta irreversible, que se observa, sobre todo, en los materiales dúctiles.
En estos tipo de materiales se aprecia claramente que cuando se supera un
cierto estado de carga las deformaciones que se producen posteriormente no
se recuperan, a pesar de que se retiren las solicitaciones. Este fenómeno,
conocido como fluencia, es clave para diseñar procesos de fabricación por
conformado, pero también para poder valorar la seguridad de estructuras o
veh́ıculos en situaciones extraordinarias como impactos, terremotos, etc.
7.1. Historia
La teoŕıa de la plasticidad se origina con los estudios de Tresca en 1864 en
los cuales describe que ciertos materiales fluyen cuando se someten a cargas
suficientemente altas y que la deformación que alcanzan permanece, incluso
cuando las cargas se retiran [1]. Colocando varias finas láminas de plomo y
sometiéndolas a punzonamiento, Tresca concluye, entre otras cosas, que el
material se deforma isocóricamente, y que el flujo plástico se inicia cuando
la máxima tensión tangencial alcanza un cierto valor cŕıtico, condición que
se asocia desde entonces a su nombre.
Casi a la vez, Saint-Venant propone la primera teoŕıa de lo que se conoce
actualmente como plasticidad ŕıgida y la aplica a problemas planos, teoŕıa
que posteriormente extiende Levy a problemas tridimensionales.
En 1913 von Mises propone un criterio de fluencia distinto al de Tresca
muy utilizado para estudio de metales y que mantiene su nombre hasta
139
140 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Figura 7.1: Detalle de los experimentos de Tresca sobre la plasticidad en
plomo.
hoy basado, no en el valor de la tensión tangencial, sino en consideraciones
energéticas.
La primera teoŕıa elasto-plástica completa la presenta Prandtl en 1924
para problemas bidimensionales y es Reuss quien la extiende a problemas
tridimensionales en 1930. Durante los años siguientes se desarrollan todas
las aplicaciones de la plasticidad perfecta, como el análisis ĺımite, la teoŕıa
de ĺıneas de fluencia, etc, y es en 1950 cuando Hill publica su libro sobre
la teoŕıa matemática de la plasticidad ([2]) que culmina y unifica todos
los trabajos anteriores a él. El trabajo de Hill prácticamente concluye toda
la formulación de la teoŕıa de la plasticidad en pequeñas deformaciones y
desde entonces los avances fundamentales han estado asociados a la teoŕıa
en grandes deformaciones ([3]).
7.2. Fenomenoloǵıa de la plasticidad
Las caracteŕısticas principales de la respuesta plástica son, como se ha
mencionado, la existencia de un ĺımite en la respuesta mecánica y la apari-
ción de fenómenos irreversibles. Estas dos cualidades serán replicadas en los
modelos que presentaremos pero existen otras, también importantes, que se
observan en los experimentos sobre materiales elastoplásticos.
7.2.1. El ensayo de tracción uniaxial
Todos los elementos básicos de respuesta elastoplástica se pueden iden-
tificar en el ensayo de tracción uniaxial, por lo que a continuación lo descri-
bimos con cierto detalle, basándonos en el esquema de la figura 7.2.
Supongamos que se ensaya a tracción una barra de un material metálico
libre de tensiones y se dibuja un diagrama tensión-deformación (ingenieriles)
del ensayo. En este se puede apreciar lo siguiente:
Caṕıtulo 7. Plasticidad 141
"
�
�f
P
Figura 7.2: Ensayo uniaxial de tracción en un material dúctil t́ıpico.
Al comenzar a cargar la probeta, el diagrama muestra una respuesta
proporcional: la tensión crece con la deformación, y además esta rela-
ción es proporcional. Esta constante de proporcionalidad, como ya se
explicó, es el módulo de Young del material. La respuesta proporcional
tiene además otra propiedad fundamental y es que es reversible. Cuan-
do la tensión disminuye, la deformación también lo hace, y además el
camino de descarga es la misma recta que la de carga.
Al continuar incrementando el valor de la tensión se observa que la
curva � − " pierde su linealidad. El valor de la tensión por encima del
cual esto ocurre se conoce con el nombre del ĺımite de proporciona-
lidad . Cuando la tensión supera este valor caracteŕıstico del material,
la respuesta (y por tanto la curva) pasa a ser no lineal, pero se sigue
manteniendo la reversibilidad del proceso: al igual que antes, al reducir
el valor de la tensión, observamos como la curva se recorre en sentido
contrario a la carga, hasta el origen.
Si se incrementa más la tensión, se supera un valor, también carac-
teŕıstico del material y que se conoce como ĺımite elástico, a partir
del cual las deformaciones que se producen no son completamente re-
cuperables. Al descargar la probeta se observa que el camino ya no
coincide con el de carga y que, al retirar las tensiones completamente,
la probeta queda con una deformaciones permanentes o deformacio-
nes plásticas. Este proceso se verifica de forma idéntica a tracción
y a compresión de la probeta, siendo el ĺımite elástico de ambos casos
idénticos.
142 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Si en el ensayo de tracción se supera el ĺımite elástico, se observa en
el diagrama una región en el que la tension se mantiene prácticamente
constante mientras la deformación crece, como si el material fluyera.
Este valor de la tensión se conoce como el ĺımite de fluencia . La
deformación que ocurre durante la fluencia es plástica.
Si se continúa deformando la probeta, la curva tensión-deformación
continua con pendiente positiva, siendo la deformación mayormente
plástica. Para identificar la parte de la deformación plástica de la
elástica basta con descargar la probeta en cualquier instante, pues
la deformación plástica es la que se corresponde con la tensión nula.
Después de una descarga completa se observan dos fenómenos: prime-
ro, al volver a cargar la probeta este proceso es elástico hasta que se
alcanza la tensión en la se comenzó la descarga. Esta tensión es mayor
que el ĺımite elástico y se dice que el material, debido a la deforma-
ción plástica, ha sufrido un endurecimiento isótropo. Además, si la
probeta se descarga y después se continúa ensayando a compresión se
comprueba que el ĺımite elástico a compresión ha disminuido respecto
a su valor original, conociéndose esto como el efecto Bauschinger .
Para modelar este efecto, se supone que la disminución del ĺımite elásti-
co en un sentido es igual al incremento del ĺımite elástico en el otro
debido al endurecimiento isótropo, siendo el primero conocido como
endurecimiento cinemático.
En los metales se observa experimentalmente que la deformación plásti-
ca es prácticamente toda ella desviadora, es decir, que el flujo plástico
es isocórico.
Si las tensiones de tracción siguen incrementándose se llega a la rotura
del material.
7.2.2. Efecto de la velocidad de deformación
En este caṕıtulo estudiaremos la deformación de cuerpos elastoplásticos
bajo velocidades de deformación pequeñas (≈ 10−2 s−1). En este orden de
velocidades de deformación las propiedades de los materiales elastoplásti-
cos son constantes. En cambio, si la velocidad de deformación es alta las
caracteŕısticas del material cambian: el ĺımite elástico se incrementa con la
velocidad de deformación y la rama plástica se acorta.
7.2.3. Efecto de la temperatura
Como en la viscoelasticidad, la temperatura tiene un efecto importante
en el comportamiento plástico de los materiales. Por ejemplo, a temperaturas
bajas los metales se comportan de manera frágil,mientras que lo hacen de
Caṕıtulo 7. Plasticidad 143
"
�
�f
"
�
�f
"
�
�f
"
�
�f
"
�
�f
"
�
Figura 7.3: Modelos simplificados del comportamiento plástico. De arriba
a abajo, izquierda a derecha, modelo: plástico perfecto, plástico con endu-
recimiento lineal, elastoplástico con plasticidad perfecta, elastoplástico con
endurecimiento no lineal, de Ramberg y Osgood.
manera dúctil a temperaturas altas. También la forma de la curva tensión-
deformación se modifica con la temperatura.
7.3. Modelos simplificados
Como la respuesta elastoplástica es tan compleja, incluso para el caso
uniaxial, se han propuesto varios modelos simplificados. Véase la figura 7.3.
Por ejemplo, el caso de la plasticidad perfecta ha servido para resolver, de
forma aproximada varios problemas de interés en ingenieŕıa de fabricación
donde las piezas se “conforman” por acumulación de deformación plásti-
ca. Este tipo de modelos pueden dar aproximaciones aceptables cuando la
magnitud de la deformación plástica sea mucho mayor que la de la parte
recuperable.
También se han propuesto varias modelos anaĺıticos que permiten repre-
sentar matemáticamente la curva de tensión-deformación unidimensional [3].
144 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Algunas de ellas, junto con el nombre de la persona que las propuso y la
fecha son:
Ludwick (1909): � = �
f
+H"n
Prager (1938): � = �
f
tanh � E
�
f
"�
Ramberg y Osgood (1943): " = �
E
+H � �
E
�n
siendo H y n en cada caso constantes escogidas para ajustar el comporta-
miento. Todos estos modelos sencillos permite ajustar el comportamiento
elastoplástico en un ensayo de carga, pero no puede representar ciclos de
carga y descarga o cualquier otro proceso más complejo.
7.4. Plasticidad unidimensional
De la misma manera que los modelos reológicos permiten una descrip-
ción “intuitiva” de la viscoelasticidad, existen modelos similares para pre-
sentar la el comportamiento plástico. El elemento básico para comprender la
plasticidad es el rozante , dibujado en la figura 7.4, un elemento mecánico
unidimensional cuya deformación viene dada por la relación
✏̇ = �������0 ��� < �f� sgn(�) ��� = �f , con � ≥ 0 . (7.1)
�f
� �
Figura 7.4: Modelo reológico del elemento rozante, caracterizado por un
ĺımite en la tensión �
f
, o tensión de fluencia.
Este sistema no establece una relación uńıvoca entre tensión y defor-
mación, sino que simplemente limita el valor ĺımite de la tensión. La re-
lación (7.1) no es una función diferenciable, lo cual dificulta el análisis y
la resolución de problemas. Para ilustrar la forma en la que los rozantes
pueden emplearse para estudiar la respuesta de sólidos eslastoplásticos con-
sideremos, en primer lugar, un sólido con el modelo reológico de la figura 7.5,
compuesto de un resorte elástico de constante E y un rozante de constan-
te �
f
, indicando como � la tensión (fuerza) ejercida sobre el sistema, " su
deformación, que consta de un parte plástica "p y otra elástica "e, satisfa-
ciendo " = "p + "e.
Este modelo es sometido a un ciclo de carga y descarga con control de
deformación. Ver figura 7.6. Desde la situación sin deformar, la deformación
Caṕıtulo 7. Plasticidad 145
�f E
��
"p "e
"
Figura 7.5: Modelo reológico para el comportamiento elastoplástico perfecto.
total " se incrementa monotónicamente hasta que se alcanza la tensión de
fluencia en el estado 1. Si se sigue incrementando la deformación, ésta crece
hasta el estado 2, aunque la tensión ya no puede superar el valor �
f
. Si
en el estado 2 se inicia un ciclo de descarga, se puede ir decrementando
la deformación hasta encontrar un estado (correspondiente al punto 3) en
el que la tensión se anula. En la figura 7.6 también se puede observar la
evolución de la deformación en el rozante y en el resorte. En el primero, la
deformación crece durante la fase de carga 1 → 2, y se mantiene constante
una vez que se alcanza la tensión de fluencia, hasta la rama de descarga.
Sin embargo, la evolución de la deformación plástica es junto la opuesta:
permanece cero durante la rama inicial de carga y sólo cuando se alcanza �
f
la primera crece, hasta que se reinicia el proceso de descarga.
En este sencillo experimento se observan los dos fenómenos principales
de la plasticidad: la existencia de un ĺımite para el valor de la tensión
y la aparición de efectos permanentes en la deformación una vez retiradas
las cargas. También ilustra un aspecto que será muy útil para la formulación
matemática de la elastoplasticidad: la deformación " se puede descomponer
aditivamente de la siguiente manera:
" = "e + "p , (7.2)
siendo "p la parte plástica de la deformación. Además, la tensión total se
puede expresar como
� = E(" − "p) = E"e . (7.3)
Por último, para expresar matemáticamente las condiciones en las que se
inicia la deformación plástica resulta útil definir una función de fluencia
que depende sólo de la tensión y que para este modelo reológico es
f(�) = ��� − �
f
. (7.4)
Por la forma en la que hemos definido el elemento rozante esta función nunca
puede tener valor positivo. De hecho, cuando se verifica f = 0, quiere decir
que el rozante puede empezar a deslizar. De forma geométrica podemos decir
que la tensión � sólo puede tomar valores en el intervalo [−�,�] y que el flujo
146 Caṕıtulo 7. Plasticidad
�
"
1 2
3
�f
"e
t
1 2
3
"p
t
1
2 3
"
t
1
2
3
Figura 7.6: Ensayo tracción-compresión con modelo elastoplástico perfecto.
En la figura de la izquierda se muestra el ciclo de carga-descarga y en las
tres figuras de la derecha, la evolución de las deformaciones.
plástico sólo puede ocurrir cuando � está sobre el contorno de este conjunto.
� ≥ 0, f(�) ≤ 0, � f(�) = 0 , (7.5)
y la restricción adicional de que
�ḟ(�) = 0 (7.6)
cuando f = 0. Estas relaciones se suelen denominar las condiciones deKuhn-
Tucker . El modelo reológico empleado es tan sencillo que no posee ningún
tipo de endurecimiento.
7.5. Criterios de fallo
La función de fluencia f utilizada en el modelo unidimensional sirve para
caracterizar de manera única los casos en los que se puede dar deformación
Caṕıtulo 7. Plasticidad 147
permanente. Extendemos a continuación esta idea a problemas con estados
de carga completamente generales.
Los sólidos salen del régimen de comportamiento elástico por motivos
muy distintos, dependiendo de la microestructura de los materiales que los
constituyen. Por ejemplo, los metales dejan de ser elásticos cuando plasti-
fican debido a la nucleación de dislocaciones en la red cristalina de cada
grano. Los poĺımeros también salen del régimen elástico, pero en este caso
se debe a desenrollamiento de cadenas poliméricas. Por último, los materia-
les cerámicos o el hormigón dejan de ser elásticos debido a la aparición de
microfisuras. Por unificar conceptos, llamaremos fallo a la finalización del
comportamiento elástico de un material, independientemente del microme-
canismo responsable del mismo.
Un criterio de fallo es un modelo matemático que intenta explicar
cuándo se inicia el fallo de un punto material a partir del estado de tensio-
nes y/o deformaciones del mismo. Aunque están “inspirados” en la micro-
mecánica de los materiales, los criterios de fallo son sólo fórmulas sencillas
que, con uno o varios parámetros, ajustan los resultados experimentales de
la mejor forma posible. No hay ningún criterio de fallo exacto para todo
estado tensional �.
En este curso estudiaremos criterios de fallo de la forma f(�) ≤ 0. Cuan-
do la función f(�) es negativa, el punto se encuentra en régimen elástico.
Cuando f(�) = 0, el criterio predice que se produce el fallo. Lo que ocurre
si f > 0 no tiene interés porque el criterio no proporciona entonces infor-
mación útil. Cuando el valor de f(�) es negativo, su módulo indica, la
“distancia” que está el punto del fallo. Aunque no lo definamos con preci-
sión, si f(�
1
) < f(�
2), entonces el estado �
1
está más lejos del fallo que el
estado �
2
.
Por simplificar más aún los criterios de fallo, nos basaremos en el ensayo
de tracción/compresión pura para definir los criterios de fallo. En un material
dúctil, sabemos que el fallo plástico ocurre cuando la tensión alcanza el ĺımite
elástico �
e
; en cambio, un material frágil falla cuando la tensión alcanza el
valor �
r
, la tensión de rotura. Si definimos la tensión última �
u
al ĺımite
elástico, si el material es dúctil, o la tensión de rotura, si el material es
frágil, consideraremos en este curso criterios de fallo siempre de la forma:
f(�) = �
eq
(�) − �
u
, (7.7)
siendo �
eq
un escalar que denominamos la tensión equivalente y que
siempre ha de definirse de acuerdo a un criterio de fallo.
Para cuantificar la severidad de un estado tensional respecto de un cri-
terio de fallo, se define el coeficiente de seguridad del estado tensional �
respecto al criterio de fallo f como el escalar n tal que
f(n�) = 0 . (7.8)
148 Caṕıtulo 7. Plasticidad
De acuerdo a las dos definiciones anteriores, la tensión equivalente �
eq
(�)
es aquella tensión que en un ensayo de tracción/compresión pura tendŕıa el
mismo coeficiente de seguridad que �.
Un criterio de fallo no puede depender de � de cualquier manera. Para
que éste sea f́ısicamente correcto, por ejemplo, no puede ser una función
de las componentes de la matriz asociada a � que dependa del sistema de
coordenadas escogido. Expresado de otra manera, la función f sólo puede
depender de invariantes de � y si además, es isótropa, no puede depender de
ninguna dirección. Existen infinitos invariantes del tensor tensión, pero sólo
se pueden escoger tres que sean funcionalmente independientes. T́ıpicamente
se escogen, bien los invariantes principales descritos en el 1, o bien las tres
tensiones principales. Por unificar conceptos utilizaremos siempre estas tres
últimas y, abusando de la notación, escribiremos:
f(�) = f(�
I
,�
II
,�
III
) = �
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) − �
u
. (7.9)
Como en última instancia la función de fluencia depende únicamente
de las tres tensiones principales se puede dibujar la superficie de fluencia
f(�
I
,�
II
,�
III
) = 0 en un sistema cartesiano. Esta representación puede ser
útil para comprender cualitativamente los criterios y para compararlos entre
ellos.
7.5.1. Criterios de fluencia para materiales dúctiles
Independientemente de los micromecanismos responsables de la finaliza-
ción del comportamiento elástico en los materiales dúctiles, estos se carac-
terizan por una rama plástica muy larga hasta el fallo definitivo. Por ello,
todos los criterios de fallo de materiales dúctiles se llaman criterios de
fluencia .
Entre los materiales dúctiles, los más comunes son los metales. Existen
varios criterios para modelar su fallo y a continuación describimos los dos
más habituales.
El criterio de Tresca
El criterio de Tresca (1814-1885) se basa en una serie de experimentos
llevados a cabo entre 1864 y 1873 por dicho ingeniero francés. En ellos, Tresca
estudió la deformación plástica y el punzonamiento de placas y cilindros de
plomo, cobre, parafina, hielo, ... Los informes de estos experimentos fueron,
durante 80 años, los más completos sobre el tema de plasticidad. En ellos se
describen, por primera vez, el régimen elástico, el endurecimiento plástico y
la fluencia de los metales. Sobre este último aspecto, además de identificar
por vez primera que los metales fluyen como ĺıquidos, de forma isocórica,
demostró que esto ocurre siempre bajo un estado tensional en el que la
tensión tangencial máxima tiene un valor caracteŕıstico, constante para cada
Caṕıtulo 7. Plasticidad 149
Figura 7.7: Henri Édouard Tresca (1814–1885).
material. Como en un ensayo de tracción pura la tensión tangencial máxima
toma el valor ��2 propuso la siguiente función de fluencia:
f
Tresca
(�
I
,�
II
,�
III
) = �Tresca
eq
(�
I
,�
II
,�
III
)−�
e
, �Tresca
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) = �
I
− �
III
.
(7.10)
En ocasiones resulta más útil expresar el criterio de Tresca como una
función de la tensiones principales sin ordenar. En este caso, la tensión
equivalente se puede escribir como
�Tresca
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) =máx [��
I
− �
II
�, ��
II
− �
III
�, ��
III
− �
I
�] . (7.11)
Usando esta última expresión es sencillo comprobar que la superficie de
fluencia en el espacio �
I
,�
II
,�
III
se obtiene extruyendo un hexágono a lo
largo del eje �
I
= �
II
= �
III
.
El criterio de von Mises
El segundo criterio de fluencia que consideramos fue formulado por Max-
well hacia 1865, pero se suele atribuir a von Mises (1883–1953) que lo pu-
blicó en 1913. La motivación para este criterio también se encuentra en el
comportamiento de los metales y expresa matemáticamente que la plastici-
dad ocurre cuando la enerǵıa de distorsión alcanza un umbral caracteŕıstico
del material.
La enerǵıa de distorsión es la enerǵıa que tiene la parte desvidora de
la tensión definida como s = � − p
m
I con p
m
= 1
3
tr(�). En un ensayo de
tracción pura, el valor de esta enerǵıa cuando se alcanza el ĺımite elástico
se puede calcular y es (1 + ⌫)�(3E)�2
e
. Calculando también esta enerǵıa en
función de las tensiones principales se puede establecer la siguiente función
de fluencia:
f
vM
(�
I
,�
II
,�
III
) = �vM
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) − �
e
, (7.12)
150 Caṕıtulo 7. Plasticidad
siendo la tensión equivalente respecto al criterio de von Mises igual a
�vM
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) =�1
2
[(�
I
− �
II
)2 + (�
II
− �
III
)2 + (�
III
− �
I
)2] . (7.13)
Al dibujar f
vM
= 0 en el espacio de las tensiones principales se observa
que la superficie de fluencia es un cilindro con eje en la recta �
I
= �
II
= �
III
que
pasa por el origen de coordenadas. Aśı, por ejemplo, se puede apreciar que
según este criterio, tensiones esféricas nunca tocan la superficie de fluencia.
▶ Ejemplo 7.5.1. Un punto de un cuerpo deformable dúctil está sometido
a un estado tensional cuya matriz asiociada, en un sistema de referencia
cartesiano, es
[�] = �������
10 −10 0−10 20 0
0 0 15
������� MPa . (7.14)
Calcular la tensión equivalente en el punto según los criteriosd de Tresca
y von Mises. Si se sabe que el ĺımite elástico del material es �
e
= 80 MPa,
calcular además el factor de seguridad del estado tensional anterior según
cada uno de los dos criterios indicados.
Las tensiones principlales de este estado tensional son
�
I
= 15+5√5 MPa , �
II
= 15 MPa , �
III
= 15−5√5 MPa . (7.15)
Las tensiones equivalentes según los criterios de Tresca y von Mises son:
�Tr
eq
= 10√5 = 22,36 MPa , �vM
eq
= 19,37 MPa . (7.16)
En cada caso, el factor de seguridad es
n
Tr
= 80
22,36
= 3,58 , n
vM
= 80
19,37
= 4,13 . (7.17)
◀
7.5.2. Criterios de rotura para materiales frágiles
Los materiales frágiles fallan de forma súbita, sin aparente fluencia, y
por ello los criterios de fallo se denominan criterios de rotura . Además,
otra caracteŕıstica que distingue los materiales frágiles de los dúctiles es su
habitual anisotroṕıa pues resisten mucho más a compresión que a tracción.
Caṕıtulo 7. Plasticidad 151
El criterio de Rankine
El criterio de Rankine predice que un punto material falla cuando, bien la
tensión principal mayor �
I
alcanza la tensión de rotura a tracción �
rt
, o bien
la menor tensión principal �
III
alcanza la tensión de rotura a compresión �
rc
.
Matemáticament el criterio de Rankine se puede expresar como
f
Rankine
(�
I
,�
II
,�
III
) = �Rankine
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) − �
rt
, y
�Rankine
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) =máx(�
I
,−�
III
�
rt��
rc
�) (7.18)
El criterio de Mohr-Coulomb
La motivación para el criterio de Mohr-Coulomb surge de la observación
experimental que indica la resistencia al cortante de ciertos materiales es
sensible a la presión media. Este tipo de comportamiento se asemejaa la ley
de Coulomb de la fricción y fue Mohr en 1882 quien notó que la condición de
fallo en este caso coincide con el instante en el que el mayor ćırculo de Mohr
es tangente a una recta, denominada la recta caracteŕıstica del material.
�rt�rc
�n
|⌧ |
�3 �1
 
(0, C)
H
Figura 7.8: Representación gráfica del criterio de Mohr-Coulomb.
Como se puede apreciar en la figura 7.8, la recta caracteŕıstica intersecta
el eje vertical del diagrama de Mohr en el punto (0, C). La constante C del
material indica su resistencia a cortante cuando la tensión normal es nula y
se llama por ello la cohesión del mismo. El ángulo � determina cuánto crece
la resistencia a la cortadura en función de la tensión normal. Por analoǵıa
con la ley de Coulomb del rozamiento, esta constante material se llama el
ángulo de fricción del material.
En la figura 7.8 se observa que los estado tensionales correspondientes a
los estados de tensión y compresión pura en el punto de rotura son tangentes
a la recta caracteŕıstica del material. Por tanto se puede escribir:
sin� = �rt�2
H − �
rt
�2 , y también sin� = ��rc��2H + ��
rc
��2 . (7.19)
152 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Igualando ambas expresiones del seno del ángulo de fricción se obtiene que
H = �rt
1 − k , con k = �rt��
rc
� . (7.20)
Una vez obtenida el valor de la tensión H para la cual el material no resiste
ningún esfuerzo tangencial, se puede despejar el valor del seno del ángulo de
fricción como:
sin� = 1 − k
1 + k . (7.21)
Por último, y también a partir de la 7.8, se puede escribir que, en cual-
quier estado de fallo se ha de verificar:
sin� = �I−�III2
H − �I+�III
2
. (7.22)
Y sustituyendo los valores de sin� y H obtenidos, respectivamente, en (7.21)
y (7.20) resulta que en cualquier estado de fallo:
�
I
− k�
III
− �
rt
= 0 . (7.23)
Concluimos que la función de fluencia para el criterio de Mohr-Coulomb se
puede escribir como:
f
MC
(�
I
,�
II
,�
III
) = �MC
eq
(�
I
,�
II
,�
III
)−�
rt
, y �MC
eq
(�
I
,�
II
,�
III
) = �
I
−k�
III
.
(7.24)
En el caso en el �
rt
= �
rc
el criterio de Mohr-Coulomb coincide con el de
Tresca.
▶ Ejemplo 7.5.2. Un sólido está sometido a una solicitación de forma que
en un punto el estado tensional se puede expresar, en una base cartesiana,
como
[�] = �������
−10 10 0
10 −15 0
0 0 2
������� MPa . (7.25)
La tensión de rotura a tracción del material es �
rt
= 10 MPa y la de com-
presión es �
rc
= 40 MPa. Calcular la tensión equivalente en el punto según
los criterios de Rankine y de Mohr y los factores de seguridad en cada caso.
Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional en el punto y los diagra-
mas de los estados tensionales cuando la tensión es �′ = n�, siendo n cada
uno de los coeficientes de seguridad previamente calculados.
Las tensiones principales son
�
I
= 2,00 MPa , �
II
= −2,19 MPa , �
III
= −22,81 MPa ,
y, empleando las expresiones (7.18) y (7.24), las tensiones equivalentes de
Rankine y Mohr-Coulomb son:
�Rankine
eq
= 5,70 MPa , �MC
eq
= 7,70 MPa ,
Caṕıtulo 7. Plasticidad 153
�n (MPa)
|⌧ | (MPa)
-40 -30 -20 -10 0 10
Figura 7.9: Ejemplo 7.5.2. Diagramas de Mohr del estado tensional original
(gris), del estado escalado según el factor de seguridad del criterio de Ran-
kine (amarillo), del estado escalado según el factor de seguridad de Mohr-
Coulomb (rojo).
por lo que sus correspondientes factores de seguridad son
nRankine = 1,75, nMC = 1,29 .
En la figura 7.9 se observan el diagramas de Mohr correspondiente al
estado tensional �. Cuando este estado se escala según nRankine, se sigue un
diagrama de Mohr (amarillo) que se puede dibujar multiplicando por dicho
factor cada una de las tensiones principales y volviendo a completar los
ćırculos. El nuevo estado es tangente a la ĺınea �
n
= −40 MPa. Por último, al
dibujar el diagrama de Mohr asociado al estado � ⋅nMC (en rojo) se observa
que éste es tangente a la recta caracteŕıstica del material. ◀
▶ Ejemplo 7.5.3. El cilindro de la figura es de un material cerámico cuyo
fallo puede predecirse con el criterio de Mohr-Coulomb. Se desea conocer la
resistencia del material y para ello se realizan dos ensayos. En el primero,
la probeta se comprime lateralmente con una presión p = 2 MPa; después se
tracciona en dirección axial y se observa que el fallo se produce cuando � =
0,7 MPa. En el segundo ensayo se emplea una presión lateral de p = 4 MPa
y la probeta se comprime axialmente, observándose que en este caso el fallo
ocurre cuando esta compresión es de 14 MPa. Determinar la cohesión y el
ángulo de fricción del material.
El criterio de Mohr-Coulomb indica que el fallo en un material ocurre
cuando se verifica
�
1
− �
3
− �
rt
= 0 ,
154 Caṕıtulo 7. Plasticidad
�
�
p
Figura 7.10: Cilindro sometido a un estado triaxial del ejemplo ??.
siendo �
1
y �
3
la mayor y menor tensión principal, respectivamente, �
rt
el ĺımite de rotura a tracción y  = �
rt
��
rc
, con �
rc
el ĺımite de rotura
a compresión. Como en los dos ensayos realizados se llega a la rotura del
material se cumple que
0,7 +  2 − �
rt
= 0 ,−4 +  14 − �
rt
= 0 .
Resolviendo este sistema de ecuaciones se sigue que
 = 0,392 y �
rt
= 1,48 MPa ,
por lo que �
rc
= 3,79 MPa. De aqúı se sigue el la cohesión C y el ángulo de
fricción ✓ son:
✓ = arcsin 1 − 
1 +  = 25,9o , C = �rt1 −  sin ✓ = 1,73 MPa . ◀
7.5.3. Otros criterios
Existen numerosos otros criterios de fallo, adaptados especialmente para
un tipo particular de materiales.
Caṕıtulo 7. Plasticidad 155
El criterio de Drucker-Prager
De la misma manera que el criterio de Mohr-Coulomb generaliza el crite-
rio de Tresca introduciendo una dependencia de la resistencia con la presión,
Drucker y Prager en 1950 propuesieron una extensión del criterio de von Mi-
ses para capturar el mimo efecto. La función de fallo en este caso es de la
forma
f
DP
(�
I
,�
II
,�
III
) = �desv�� − ↵p −K , (7.26)
7.6. Las ecuaciones de Prandtl-Reuss
El modelo completo de plasticidad en pequeñas deformaciones lo propuso
por primera vez Prandtl en 1924, para dos dimensiones, y Reuss en 1930 para
tres dimensiones. Estos son los principales ingredientes de la teoŕıa:
Descomposición aditiva de la deformación. En todo punto, la defor-
mación infinitesimal se descompone en una parte “elástica” y otra “plástica”,
es decir,
" = "e + "p . (7.27)
Por consiguiente, y dada la linealidad del operador traza, también se pueden
descomponer la deformación volumétrica y la desviadora:
✓ = ✓e + ✓p , e = ee + ep . (7.28)
Flujo plástico isocórico. Para adecuarse a la evidencia experimental
que indica que la deformación plástica no tiene componente volumétrica se
admite la simplificación:
✓p = 0 . (7.29)
Esta simplificación es muy útil y se verifica de forma muy precisa para
pequeñas deformaciones, aunque no es tan precisa cuando las deformaciones
son grandes.
Respuesta elástica. La tensión depende únicamente de la parte elástica
de la deformación, aśı pues
� = s + pI , s = 2µ(e − ep) , p = k(✓ − ✓p) = k✓ . (7.30)
Superficie de fluencia en el espacio de tensiones. Se supone que
existe una función f , la llamada función de fluencia, tal que la ecuación
f(�) = 0 define la superficie de fluencia y tal que la tensión siempre nunca
puede estar en el exterior de la región del espacio de tensiones delimitada
por la función de fluencia, es decir, f(�) ≤ 0. Más aún, sólo puede haber
flujo plástico cuando la tensión esté en la superficie de fluencia.
156 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Ley de flujo plástico. La evolución de la deformación plástica "p viene
dada por la ecuación diferencial
ė
p = �s . (7.31)
El parámetro � no queda determinado todav́ıa pero, como en caso del ele-
mento rozante, expresamos que el flujo plástico sólo puede darse cuando la
tensión alcanza la superficie de fluencia mediante las ecuaciones
� ≥ 0 , f(�) ≤ 0 , � f(�) = 0 (7.32)
y que además si f = 0, entonces
�ḟ(�) = 0 . (7.33)
7.7.Endurecimiento
En el modelo simplificado del rozante, una vez que la tensión alcanza el
valor ĺımite �
f
, éste permanece constante mientas el modelo sufre deforma-
ción plástica. Sin embargo, ya en el ensayo de tracción de metales se observa
un comportamiento distinto, en el que a medida que la deformación plástica
crece, la tensión necesaria para seguir deformando plásticamente el material
también crece. Este efecto se conoce con el nombre de endurecimiento
isótropo. Para modelar matemáticamente este fenómeno, se modifica la
expresión de función de fluencia: en el caso, por ejemplo, de la función de
fluencia de von Mises, escribimos
f(�) = �vM
eq
− (�
f
+ k(↵)) , (7.34)
siendo k una función de endurecimiento isótropo y ↵ la deformación plástica
acumulada
↵(t) = � t
0
� d⇠ . (7.35)
La función k de endurecimiento puede ser de varias maneras, entre ellas
Endurecimiento lineal: k(↵) =H
iso
↵, con H
iso
constante;
Con saturación: k(↵) = (�∞ − �
f
)(1 − e⌘↵)
En términos geométricos el endurecimiento isótropo implica que la región
elástica crece con la deformación plástica.
El segundo tipo de endurecimiento, el cinemático, modela que la región
elástica se desplaza a medida que el material se deforma plásticamente.
Matemáticamente requiere que se defina una tensión ↵ tal que la función
de fluencia se escriba como
f(�) = �
eq
(� −↵) − �
y
. (7.36)
Caṕıtulo 7. Plasticidad 157
La forma más sencilla de modelar la tensión ↵ es mediante la regla de
Melan-Prager:
↵̇ =H
cin
"̇
p . (7.37)
Este tipo de relaciones indican que el endurecimiento cinemático ocurre en
la misma dirección y sentido que la deformación plástica.
7.8. Consideraciones termodinámicas
En las ecuaciones que describen la respuesta elastoplástica se han em-
pleando funciones de fluencia, de endurecimiento, de flujo plástico, etc sin
considerar en ningún momento si cualquier función es válida para modelar
estos fenómenos. Empleando ahora los resultados del caṕıtulo 7.39 exami-
namos algunas de estas funciones.
Limitándonos al caso de las ecuaciones de Prandl-Reuss, la enerǵıa libre
de un punto material es
A(","p) = 1
2
✓2 + µ(e − ep) ∶ (e − ep) , (7.38)
siendo  y µ el módulo de rigidez volumétrica y el de cortante, respectiva-
mente. En este modelo la deformación plástica "p cumple el papel de variable
interna y por lo tanto se sigue
� = @A
@"
= ✓ + 2µ(e − ep) = pI + s , q = − @A
@"p
= 2µ(e − ep) = s . (7.39)
La segunda ley de la termodinámica implica que la tasa de las variables
internas verifique "̇p ∶ q ≥ 0 y, a la vista de los resultados anteriores,
s ∶ ėp ≥ 0 . (7.40)
Una manera de garantizar que esta igualdad se cumpla es imponer que ėp
sea paralelo a la tensión desviadora, como de hecho se postulaba en (7.31).
También relacionadas con la termodinámica de los procesos irreversibles,
están todas las consideraciones que históricamente se han discutido sobre la
estabilidad de la respuesta elastoplástica. De entre ellas, la más interesante
es quizás la asociada con el llamado principio de máxima disipación
plástica que establece que, para una velocidad de deformación plástica
conocida "̇p, la tensión en el punto es aquella que maximiza la disipación
� ∶ "̇p de entre todas las que satisfacen f(�) ≤ 0. Matemáticamente este
principio se escribe como
� = arg máx
⌧ ,f(⌧)≤0 ⌧ ∶ "̇p . (7.41)
Las consecuencias de este principio son numerosas y indicamos sin demos-
tración que implica la convexidad de la región elástica y la normalidad del
flujo plástico.
158 Caṕıtulo 7. Plasticidad
Problemas
7.1. El criterio de fluencia de Tresca establece que la fluencia se inicia en
un punto cuando se verifica la condición:
�
I
− �
II
2
= ⌧
adm
.
Si llamamos �
1
,�
2
,�
3
a las tensiones principales, en cualquier orden, enton-
ces la condición anterior se puede reescribir como
máx���1 − �2�
2
,
��
2
− �
3
�
2
,
��
3
− �
1
�
2
� = ⌧
adm
.
Demostrar que esta última expresión también se puede escribir como
[(�
1
− �
2
)2 − 4⌧2
adm
][(�
2
− �
3
)2 − 4⌧2
adm
][(�
3
− �
1
)2 − 4⌧2
adm
] = 0 .
7.2. Demuestra que el criterio de von Mises predice la iniciación de la fluen-
cia cuando la parte desviadora de la enerǵıa por unidad de volumen alcanza
el valor cŕıtico W = ⌧2
adm
�2µ.
7.3. Para un estado tensional � definimos sus invariantes J como:
J
2
(�) = I
2
(s) , J
3
(�) = I
3
(s) , (7.42)
siendo s la parte desviadora de � e I
2
, I
3
los invariantes principales. De-
mostrar que la función de fluencia de von Mises depende sólo del invarian-
te J
2
(�), que justifica por qué la teoŕıa más habitual de plasticidad para
metales se conoce a veces como “plasticidad J
2
”.
7.4. Dibuja la intersección de la superficie de fluencia de Tresca con el plano
�
I
,�
II
.
�f
E
��
" = "p
Figura 7.11: Modelo reológico del problema ??.
7.5. Dibuja y acota el diagrama � − " del ensayo de tracción uniaxial del
modelo reológico de la figura 7.11.
Caṕıtulo 7. Plasticidad 159
�f
E1
E2
��
"p
"
Figura 7.12: Modelo reológico del problema ??.
7.6. Dibuja y acota el diagrama � − " del ensayo de tracción uniaxial del
modelo reológico de la figura 7.12.
7.7. Un punto de un sólido se encuentra en un estado de tensión plana cuya
expresión matricial es
[�] = �������
�
e
3
t 0
t 0 0
0 0 0
������� ,
siendo �
e
el ĺımite elástico del material. Se pide:
a) Dibujar el diagrama de Mohr del estado tensional.
b) Encontrar el valor de la tensión t sabiendo que el coeficiente de segu-
ridad de dicho estado tensional es 3�2 (utiĺıcese el criterio de Tresca).
7.8. Los planos octaédricos de tensión son aquellos cuya normal forma el
mismo ángulo con los tres ejes principales de tensión (↵ = � = �). Demuestra
que el criterio de fluencia de von Mises predice el fallo plástico cuando la
tensión tangencial sobre cualquiera de dichos planos alcanza el valor
⌧
eq
= √2
3
�
e
.
7.9. Se desea emplear el criterio de Mohr-Coulomb para estudiar la rotura
de un material frágil. Se sabe que el ángulo de fricción de dicho material
es � = 30o y que, al someter una probeta a un ensayo de cortante puro, la
tensión tangencial en el instante del fallo es ⌧
r
= 10 MPa. Determinar la
cohesión del material.
7.10. Un tubo de acero con diámetro exterior � y espesor e está sometido
a un par torsor M . Determinar el valor del par que provoca el inicio de la
plastificación en el tubo según los criterios de Tresca y von Mises (Datos:
módulo de cortante G, ĺımite elástico �
f
. Suponer e� �).
160 Bibliograf́ıa
t
"
�f/E
t0 t1 t2 t3 t4 t5
Figura 7.13: Evolución en el tiempo de la deformación del problema ??.
7.11. Un punto elastoplástico perfecto se encuentra sometido a un proceso
de deformación uniaxial cuya historia se dibuja en la figura 7.13. Dibuja
en una gráfica � − " el proceso y también la evolución de la tensión en un
diagrama � − t, identificando en ambos casos el valor de la tensión y de la
deformación en los tiempos caracteŕısticos t
0
�t
5
.
7.12. Dibujar la curva par-curvatura de la respuesta a flexión de una sección
de material elástico-perfectamente plástico, con módulo de Young E, ĺımite
de fluencia �
f
y sección unidad.
Bibliograf́ıa
[1] J F Bell. Mechanics of Solids. In The experimental foundations of solid
mechanics. Springer Verlag, 1984.
[2] R Hill. The mathematical theory of plasticity. Oxford University Press,
1950.
[3] A S Khan and S Huang. Continuum theoory of plasticity. Wiley inters-
cience, 1995.