Tema_3-Extremos locales con restricciones

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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Optimización y Control
Ignacio Delgado, Ignacio Gómez,
José M. Perales, José M. Vega
Escuela de Ingeniería Aeronáutica y del Espacio
Programa: Grado en Ingeniería Aeronáutica
Curso 2013-2014
Tema #3: Extremos locales con restricciones
Ignacio Delgado, Ignacio Gómez, José M. Perales, José M. Vega
Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Index
1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
5 Comentarios finales
Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
Ignacio Delgado, Ignacio Gómez, José M. Perales, José M. Vega
Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
OPTIMIZACIÓN LOCAL CON RESTRICCIONES
Se trata ahora de abordar, mediante métodos locales, el cálculo de
mínimos locales con restricciones, es decir, calcular:
min F (u1, . . . ,uN)
en un dominio admisible definido por
Rk (u1, . . . ,uN) = 0, para k = 1, . . . ,m, con m < N,
Rk (u1, . . . ,uN) ≥ 0, para k = m + 1, . . . ,n.
Las primeras m restricciones son restricciones estrictas, y
deben definir una variedad suave de dimensión N −m.
Las restantes n −m restricciones son restricciones
unilaterales que definen la frontera del dominio. Por ejemplo,
en dimensión 3, si el dominio es un poliedro, las restricciones
unilaterales definen las caras del poliedro, cuyo número puede
ser cualquiera.
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Cálculo variacional en dimensión infinita
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RESTRICCIONES ESTRICTAS
Cada restricción estricta define una hipersuperficie del espacio
paramétrico (de dimensión N − 1). Para asegurar que el dominio
admisible es una variedad suave, se hacen las siguientes hipótesis
generales respecto de las restricciones estrictas:
Las restricciones son compatibles. Por ejemplo, no debe
permitirse que dos de las restricciones estrictas definan
hipersuperficies paralelas.
Las restricciones estrictas son tales que los vectores
∇R1,...,∇Rm son linealmente independientes entre sí. Por
ejemplo, no se admite que dos de las hipersuperficies sean
tangentes en el punto.
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Teoría básica
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RESTRICCIONES UNILATERALES
En cada punto de la frontera, una al menos de las restricciones
unilaterales es estricta (es decir, verifica la igualdad, en vez de la
desigualdad estricta).
Esas restricciones se conocen como restricciones activas en ese
punto; el resto son restricciones inactivas.
Por ejemplo, si la frontera es un poliedro, en los puntos de las caras,
aristas y vértices hay una, dos y tres restricciones activas,
respectivamente.
Para asegurar que la frontera es suave a trozos, se hace la siguiente
hipótesis para las restricciones unilaterales:
Las restricciones estrictas activas en cada punto de la frontera son
tales que los correspondientes vectores∇Rj son (i) linealmente
independientes entre sí y (ii) linealmente independientes de los
vectores∇R1,...,∇Rm asociados a las restricciones estrictas.
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COMENTARIOS PREVIOS (I)
Los mínimos locales del problema anterior pueden clasificarse en
dos tipos:
Interiores al dominio admisible: en puntos que satisfacen
estrictamente todas las restricciones unilaterales. Los posibles
extremos se calculan mediante el método de multiplicadores
de Lagrange (que también puede formularse mediante el uso
de operadores adjuntos).
Pertenecientes a la frontera del dominio admisible: en puntos
que satisfacen de modo no estricto alguna(s) de las
restricciones unilaterales (restricciones activas). Los posibles
extremos se calculan también mediante los multiplicadores de
Lagrange, convirtiendo en igualdades esas restricciones. Para
asegurar que pueden, en efecto, ser mínimos, deben verificar
las condiciones de Karush-Khun-Tucker (KKT).
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COMENTARIOS PREVIOS (II)
Salvo cuando el número de restricciones unilaterales es muy
pequeño, considerar todas las posibilidades de combinaciones
de restricciones unilaterales activas/inactivas conlleva un
problema combinatorio que puede ser computacionalmente muy
costoso.
Las regiones de confianza sortean la dificultad.
A veces sucede que algunas de las variables de diseño pueden
agruparse en funciones. En ese caso, que pertenece al dominio
del llamado cálculo de variaciones, las condiciones necesarias
de extremo involucran ecuaciones diferenciales, ordinarias o en
derivadas parciales, con sus correspondientes condiciones de
contorno. Esta situación tiene una gran riqueza, que sólo se
considerará brevemente al final del tema.
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
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1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
5 Comentarios finales
Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
ENFOQUE VARIACIONAL (I)
Para entender bien el método de los multiplicadores de
Lagrange, conviene utilizar el enfoque variacional que se
explica a continuación.
Este enfoque tiene interés en sí mismo, en muchas
aplicaciones. En particular, en dimensión infinita, en que se
minimizan funcionales y las variables independientes son
funciones, en vez de vectores de dimensión N, u.
Por claridad, se aplica ahora este enfoque al cálculo de
extremos sin restricciones, ya considerado en el tema anterior.
El enfoque variacional es otro modo operativo
(conceptualmente equivalente al empleado en el tema anterior)
de deducir la condición necesaria de óptimo local, g = 0.
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
ENFOQUE VARIACIONAL (II)Para calcular los mínimos locales de la función objetivo F , pueden
considerarse restricciones a rectas que pasan por el punto donde
hay un extremo. Tales restricciones deben tener también un extremo
en el punto.
Las rectas que pasan por el punto u0 pueden escribirse como
u = u0 + αũ
′
0, con ũ
′
0 6= 0. La condición es entonces
dF (u0 + αũ
′
0)/dα = 0 en α = 0 para todo ũ
′
0 ∈ RN .
Aplicando la regla de la cadena se obtiene
N∑
j=1
∂uj F (u0)ũ
′
j (0) = 0, es decir, g
>
0 ũ
′
0 = 0 para todo ũ
′
0 ∈ RN .
La condición anterior implica que g0 = 0, que es, precisamente,
la condición necesaria deducida en el tema anterior.
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
EJEMPLO: DEFINICIÓN VARIACIONAL DE AUTOVALORES
Maximizando la función objetivo
F (u) = u>Au/(u>u),
donde A es una matriz simétrica de orden N × N, se obtiene la
condición necesaria
Auo = λu0,
donde el escalar λ = F (u0). Esta condición se obtiene aplicando el
enfoque variacional a la función objetivo anterior.
Por tanto, los extremos de la función objetivo son los autovalores de
la matriz A (que son, todos ellos, reales, por ser A simétrica). El
mayor de tales extremos relativos es el autovalor mayor y, por tanto,
el máximo de la función objetivo.
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
Outline
1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
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Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (I)
Considerando sólo las restricciones estrictas (es decir, solamente
mínimos locales en el interior del dominio admisible), se busca
min F (u1, . . . ,uN), con Rk (u1, . . . ,uN) = 0, para k = 1, . . . ,m.
Utilizando un enfoque variacional, se consideran curvas del
espacio paramétrico que verifiquen las restricciones,
u = u0 + ũ(α), y se impone que la función objetivo tenga un
mínimo a lo largo de las curvas en el punto. La condición es
entonces dF (u0 + ũ(0))/dα = 0 para toda curva, es decir
∇F (u0)>ũ′0 = 0 con ũ
′
0 = ũ
′
(0).
Por otro lado, las curvas deben verificar las restricciones, es
decir, Rk (u0 + ũ(α)) = 0 para todo k y para todo α. Derivando
respecto de α y particularizando en α = 0, se obtiene
∇Rk (u0)>ũ′0 = 0 para k = 1, . . . ,m.
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Multiplicadores de Lagrange
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Condiciones de Karush-Khun-Tucker
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (II)
Resumiendo lo anterior, se tiene
∇F (u0)>ũ′0 = 0, si∇Rk (u0)>ũ
′
0 = 0 para k = 1, . . . ,m.
Es decir, ahora∇F (u0) no tiene porqué ser ortogonal a todos
los vectores de RN (lo cual hubiera implicado que∇F (u0) = 0),
sino sólamente a algunos de ellos.
∇F (u0) debe ser ortogonal a todos los vectores que sean
ortogonales, simultaneamente, a∇R1,...,∇Rm. Por tanto, debe
ser linealmente dependiente de esos vectores, es decir,
∇F (u0) = λ1∇R1(u0) + . . .+ λm∇Rm(u0).
Los escalares λ1, . . . , λm se conocen como multiplicadores de
Lagrange.
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Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (III)
Por tanto, los posibles extremos locales del problema con
restricciones deben verificar el siguiente sistema de Lagrange,
que es una condición necesaria de extremo condicionado
∇F (u0) = λ1∇R1(u0) + . . .+ λm∇Rm(u0),
Rk (u0) = 0, para k = 1, . . . ,m.
Se tiene así una ecuación vectorial de orden N (que equivale a
N ecuaciones escalares) y m ecuaciones escalares, es decir,
N + m ecuaciones. Y hay que calcular una incógnita vectorial
(u0 ∈ RN ) y m incógnitas escalares, es decir, N + m incógnitas.
Es decir, se tienen tantas ecuaciones como incógnitas.
El sistema es lineal en los multiplicadores de Lagrange, pero, en
general, es no lineal en su dependencia de u0.
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Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (IV)
El sistema de Lagrange puede considerarse como un sistema
no lineal de N + m ecuaciones con N + m incógnitas, que
puede resolverse, de modo iterativo, mediante el método de
Newton, un método de Broiden, o un método de descenso.
Al aplicar estos métodos, debe tenerse en cuenta que, tal como
se verá en las trasparencias siguientes, la matriz jacobiana del
sistema de Lagrange es simétrica, pero no es definida
positiva.
Por no ser definida positiva la matriz jacobiana, las
optimizaciones unidimensionales que deben realizarse en estos
métodos deben buscar extremos (máximos, mínimos o puntos
de inflexión) aunque en la optimización original se esté
buscando un mínimo.
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Condiciones de Karush-Khun-Tucker
DISCUSIÓN DEL SISTEMA DE LAGRANGE (I)
La matriz jacobiana del sistema de Langrange puede escribirse
por bloques como
J =
[
HL −A
−A> O
]
,
donde HL es la matriz hessiana de F −
∑
λk Rk , es decir,
HLij = ∂ui uj (F −
∑m
k=1 λk Rk ), A = [∇R1, . . . ,∇Rm], y O es la
matriz nula de orden m ×m. Nótese que HL es simétrica.
Por tanto, la matriz J es siempre simétrica. Y es no singular si,
y sólo si, se verifican las siguientes condiciones
Los vectores∇R1, . . . ,∇Rm son linealmente
independientes.
La restricción de H al subespacio de RN ortogonal a
∇R1, . . . ,∇Rm es no singular.
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DISCUSIÓN DEL SISTEMA DE LAGRANGE (II)
Por otro lado, se comprueba fácilmente que el sistema de
Lagrange puede verse como la búsqueda de puntos
estacionarios de la función
FL(u, λ1, . . . , λm) = F (u)− λ1R1(u)− . . .− λmRm(u).
Es decir, las soluciones del sistemade Lagrange son los puntos
estacionarios de esta función, cuya matriz hessiana, HL, es la
matriz jacobiana del sistema de Lagrange, es decir, la matriz J
de la transparencia anterior.
Pero, desgraciadamente, HL es indefinida, de modo que sus
puntos estacionarios son ‘puntos de ensilladura’, no mímimos.
Por ello, no puede reducirse el problema al cálculo de mínimos
de FL.
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Condiciones de Karush-Khun-Tucker
EJERCICIO
Para la función objetivo:
F (x , y , z) = 1− 2(x − y)2 + x3/3 + (x − y + z)4/4 + 100y2 + z2,
considere los siguientes grupos de restricciones
x = y ó x2 + z2 = 1 ó x = y , x2 + z2 = 1.
Para cada uno de estos juegos de restricciones,
1. Diseñe estrategias numéricas para calcular los extremos locales
y el mínimo global.
2. Elabore un programa Matlab para calcular todos los extremos
locales.
3. Discuta los resultados.
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Condiciones de Karush-Khun-Tucker
OPTIMIZACIÓN BASADA EN EL ADJUNTO (I)
El problema de optimización con restricciones estrictas puede
reformularse escribiendo las restricciones en forma vectorial. Es
decir, considerando la función vectorial R, cuyas componentes son
R1, . . . ,Rm.
El sistema de Lagrange se escribe entonces como
∇F = R>u λ, R = 0,
donde Ru es la matriz jacobiana de la función vectorial R, el
superíndice > denota la transpuesta y el vector λ = [λ1, . . . , λm]>
está formado por los multiplicadores de Lagrange.
En términos de operadores, la transpuesta de una matriz se conoce
como adjunto del operador asociado y, por tanto, este método se
conoce como optimización basada en el adjunto. El método es
especialmente conveniente cuando el problema se formula en
términos de operadores (no de matrices).
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OPTIMIZACIÓN BASADA EN EL ADJUNTO (II)
La formulación en términos del adjunto puede deducirse
directamente de la formulación variacional del problema
min F (u1, . . . ,uN), con R(u1, . . . ,uN) = 0,
que conduce a
∇F>ũ′0 = 0 para todo ũ
′
0 tal que Ruũ
′
0 = 0.
Es decir,∇F debe ser ortogonal al núcleo de Ru. De acuerdo con la
condición de resolubilidad que se da en la siguiente transparencia,
esta condición es equivalente a imponer que tenga solución el
sistema (adjunto)
R>u λ =∇F .
Este sistema es, precisamente, la condición basada en el adjunto.
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CONDICIÓN DE RESOLUBILIDAD (I)
Sea A una matriz de orden m × n y rango r < n, sea b un vector de
Rn, y sean 〈·〉m y 〈·〉n productos escalares de Rm y Rn,
respectivamente. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1 〈b, x̃〉m = 0 para todo x̃ tal que Ax̃ = 0.
2 La ecuación A∗x = b tiene solución, donde la matriz adjunta
de A∗ está definida por la siguiente condición
〈A∗x ,y〉m = 〈x ,Ay〉n para todo par de vectores x ,y .
Nótese que:
Si los productos escalares son los usuales, A∗ = A>.
Es una condición de resolubilidad para el sistema lineal
A∗x = b cuando la matriz de coeficientes es singular.
Puede enunciarse también diciendo que el núcleo de una
matriz y la imagen de su adjunta son ortogonales.
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CONDICIÓN DE RESOLUBILIDAD (II)
La justificación de la condición de resolubilidad es como sigue:
Que la condición 2 implica la condición 1 se deduce suponiendo
que la ecuación A∗x = 0 tiene solución, multiplicando
escalarmente las ecuaciones A∗x = b y Ax̃ = 0 por x̃ y por x ,
respectivamente, y restando las ecuaciones resultantes, para
obtener 〈x̃ ,b〉 = 0.
Que (la condición 1 implica la 2, es decir, que) la condición 1 es
suficiente para que la ecuación A∗x = b tenga solución se
obtiene teniendo en cuenta que la condición 1 es necesaria y
que equivale a n − r condiciones escalares linealmente
independientes, que es, justamente, el número de condiciones
independientes que debe haber. Nótese aquí que las matrices A
y A∗ tienen el mismo rango.
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CONDICIONES NECESARIAS DE EXTREMO CON RESTRICCIONES (I)
Se considera ahora el caso general,
min F (u1, . . . ,uN), con
Rk (u1, . . . ,uN) = 0, para k = 1, . . . ,m,
Rk (u1, . . . ,uN) ≥ 0, para k = m + 1, . . . ,n,
y un extremo local que pertenece a la frontera del dominio. Por tanto,
algunas de las restricciones unilaterales son restricciones activas.
Considerando solamente las restricciones activas, y suponiendo que
éstas son las p primeras, se tiene un problema de multiplicadores de
Lagrange con m + p restricciones estrictas.
min F (u1, . . . ,uN), con Rk (u1, . . . ,uN) = 0 para k = 1, . . . ,m + p.
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CONDICIONES NECESARIAS DE EXTREMO CON RESTRICCIONES (II)
En virtud de lo anterior, el mínimo local en cuestión debe
verificar
∇F (u0) = λ1∇R1(u0) + . . .+ λp∇Rp(u0),
Rj (u0) = 0 para j = 1 . . . ,m + p.
Pero, además, para que pueda haber mínimo local, la función
objetivo debe ser no decreciente hacia el interior del dominio, lo
cual implica que
∇F (u0)>d ≥ 0 si d ∈ RN es tal que d>∇Rk > 0
para k = m + 1, . . . ,m + p (restricciones unilaterales activas).
Utilizando el lema de Farkas, esta condicion implica que, para
las restricciones activas debe ser
λk ≥ 0 para k = m + 1, . . . ,m + p.
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LEMA DE FARKAS
Lema de Farkas: Sea A una matriz de orden m × n y b un vector de
Rn. La ecuación
Ax = b con x ≥ 0
tiene solución si, y solamente si, no existe y ∈ Rm tal que
A>y ≤ 0 y b>y > 0.
Aplicando el lema de Farkas con A = [∇R1, . . . ,∇Rp], x = λ y
b =∇F , se obtiene la propiedad enunciada en la transparencia
anterior. Es esencial, para este argumento, que los vectores
∇R1,. . . ,∇Rp sean linealmente independientes para que haya una
solución, a lo sumo, de la ecuación Ax = b.
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CONDICIONES DE KARUSH-KHUN-TUCKER (KKT)
Considerando ahora el caso general,
min F (u1, . . . ,uN), con
Rk (u1, . . . ,uN) = 0, para k = 1, . . . ,m,
Rk (u1, . . . ,uN) ≥ 0, para k = m + 1, . . . ,n,
las condiciones necesarias pueden escribirse en la forma
(condiciones KKT):
∇F (u0) = λ1∇R1(u0) + . . .+ λn∇Rn(u0).
Rj (u0) = 0 para j = 1, . . . ,m,
λjRj (u0) = 0, λj ≥ 0 para j = m + 1, . . . ,n.
Nótese que la última condición implica que, o bien es λj = 0 ó
es Rj (u0) = 0.
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Teoría básica
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Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
MÉTODOS DE PENALIZACIÓN
La idea de los métodos de penalización es modificar la función
objetivo de modo que ésta crezca mucho cuando no se verifican
las restricciones; por tanto, si no se verifican, ‘se penaliza’ la
función objetivo.
Para ello, por ejemplo, se añaden nuevos sumandos a la función
objetivo, que son proporcionales al cuadrado de las
restricciones (funciones de penalización) y parámetros de
penalización, que se hace tender a infinito.
La nueva función objetivo, sin restricciones, se optimiza con los
métodos del tema anterior (que, ¡ojo! pueden dar problemas
para valores grandes de los parámetros de penalización).
Los distintos métodos difieren en la forma de las funciones de
penalización.
Son métodos que requieren calibrado, en cada caso particular.
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MÉTODO DE COURANT
Para resolver el problema
min F (u1, . . . ,uN), con
Rk (u1, . . . ,uN) = 0, para k = 1, . . . ,m,
Rk (u1, . . . ,uN) ≥ 0, para k = m + 1, . . . ,n,
se considera la función objetivo
F (u1, . . . ,uN)+
m∑
k=1
σk Rk (u1, . . . ,uN)2+
n∑
k=m+1
σk min{Rk (u1, . . . ,uN),0}2.
Se comienza resolviendo el problema de optimización modificado
con valores iniciales de los parámetros de penalización (p.e.,
σ1 = . . . = σN = 1) y se van aumentando en cada paso (p.e.,
multiplicándolos por 10) hasta conseguir la convergencia.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
OTROS MÉTODOS DE PENALIZACIÓN
Modificando la función de penalización, que es cuadrática en el
método de Courant, se obtienen otros métodos que pueden ser
más eficaces en situaciones concretas.
Si se utilizan métodos de tipo gradiente para minimizar la
función objetivo penalizada, los problemas resultantes suelen
estar mal condicionados cuando el parámetro de penalización
es grande y el óptimo es cercano a la frontera del dominio
admisible.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
FUNCIONES BARRERA
Se trata de un método similar a los métodos de penalización. Las
restricciones unilaterales se sustituyen por añadir a la función
objetivo una función barrera, que tiende a infinito cuando el punto se
acerca a la frontera del dominio admisible.
Las funciones barrera más utilizadas son la función inversa y la
función logarítmica, que darían lugar a funciones objetivo del tipo
F (u1, . . . ,uN) +
n∑
k=m+1
σk/Rk (u1, . . . ,uN),
y
F (u1, . . . ,uN)−
n∑
k=m+1
σk log[Rk (u1, . . . ,uN)].
En ambos casos se minimiza la función objetivo modificada para
valores decrecientes del parámetro σk > 0.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES (I)
En muchos problemas de interés práctico, la función objetivo es
un funcional y los parámetros de diseño son funciones (en vez
de vectores).
El valor óptimo óptimo del funcional se obtiene eligiendo una o
varias funciones de diseño (en vez de parámetros de diseño).
Estos problemas son generalizaciones a dimensión infinita
de los problemas considerados hasta ahora. Las funciones son
vectores de dimensión infinita (o muy grande si se discretizan).
Ejemplo 1: optimizar una trayectoria de un satélite (funciones
del tiempo) minimizando el tiempo de vuelo (integral a lo largo
de la trayectoria).
Ejemplo 2: obtener la forma de un ala (funciones de dos
variables espaciales) minimizando la resistencia aerodinámica
(una integral a lo largo del ala).
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES (II)
Podrá haber una o varias funciones de diseño.
Las funciones de diseño podrán depender de una o varias
variables independientes.
Sólamente se consideran funcionales definidos a través de
integrales extendidas a dominios acotados e integrales sobre
las fronteras de estos dominios, con integrandos dependientes
de las funciones de diseño y de sus derivadas.
La generalización de la condición necesaria de gradiente de la
función objetivo nulo consiste en una o varias ecuaciones
diferenciales, ordinarias o en derivadas parciales, con
condiciones iniciales o de contorno.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finalesCálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES (III)
Se deducen condiciones necesarias de extremo, que se
llamarán siempre, en lo que sigue, ecuaciones Euler; en
algunos textos, se emplea un segundo nombre (Lagrange,
Poisson, Ostrogradski, etc).
También aparecen condiciones de contorno, de dos modos:
Como parte del proceso de optimización (condiciones de
contorno naturales).
Porque se imponen a las funciones admisibles; estas
condiciones de contorno estarán sujetas a limitaciones.
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Algunas cuestiones preliminares
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Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES (IV)
Lo anterior corresponde al cálculo de variaciones ‘elemental’, que
puede verse como un problema ‘limpio’ de optimización sin
restricciones. Pero hay otras situaciones de interés práctico, que
también se tratarán brevemente al final de este apartado:
Las variables de diseño pueden incluír funciones y escalares.
En este caso, aparece una condición adicional por cada
parámetro de diseño escalar.
Además, pueden imponerse restricciones, estrictas o
unilaterales.
Las restricciones estrictas dan lugar a ecuaciones de Euler
con multiplicadores de Langange.
Si las restricciones estrictas incluyen ecuaciones diferenciales,
conviene formular las ecuaciones de Euler mediante
operadores adjuntos.
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Algunas cuestiones preliminares
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Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE VARIACIONES (V)
En lo que sigue, solamente se consideran algunos casos
generales para ilustrar los métodos básicos. La variedad de
problemas (número de variables independientes, número de
funciones a determinar, orden de las derivadas que aparecen en
el funcional, etc.) es demasiado grande para intentar un estudio
exhaustivo en este curso.
Se considera, en primer lugar, un caso general en que la
función objetivo depende de una sóla función de diseño
dependiente de dos variables independientes (2D) y de sus
derivadas primeras. La restricción a 1-D y la generalización a
dimensión mayor son sencillas.
El resto de los casos (dependencia de derivadas de orden
superior, varias funciones de diseño, etc,) se consideran sólo
para ejemplos representativos concretos.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
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Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
Outline
1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
5 Comentarios finales
Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
LEMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO DE VARIACIONES
Éste es el resultado matemático que nos permitirá deducir
condiciones de extremo:
Sea Ω ∈ Rn, con n ≥ 1 un dominio (conjunto abierto y conexo)
de frontera suave a trozos y sea f : Ω→ R una función continua.
Si ∫
Ω
f ũ dx = 0, con dx = dx1 . . . dxn,
para toda función ũ ∈ C∞(Ω), que sea identicamente nula en un
entorno de la frontera (esta condición define a funciones de
soporte compacto), entonces la función f = 0 en Ω.
Nótese que una función con soporte compacto es tal que
ũ = ∂ν ũ = ∂νν ũ = . . . = 0 y, por tanto, verifica cualquier
condición de contorno homogénea que involucre a la función y a
su derivadas, de cualquier orden, respecto de la normal unitaria
exterior ν, tales como ũ = 0 (Dirichlet) o ∂ν ũ = 0 (Neumann).
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
FORMULACIÓN GENERAL (I)
Considérese el problema de seleccionar la función
u = u(x1, . . . , xn) para minimizar el funcional
F (u) =
∫
Ω
f (x ,u,Du,D2u, . . . ,Dmu) dx
+
∫
∂Ω
g(x ,u, ∂νu, . . . , ∂kν...νu) dA, con k < m,
donde f y g son funciones suaves, Ω ⊂ Rn es un dominio con
frontera (que se denota como ∂Ω) suave a trozos, Dju donota la
diferencial de orden j (conjunto de las derivadas parciales de
ese orden), y ∂ jν...νu denota la derivada de orden j de u respecto
de la normal unitaria exterior.
Nótese que, en la frontera, el funcional involucra derivadas de, a
lo sumo, un orden menor que el funcional en el interior del
dominio.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
FORMULACIÓN GENERAL (II)
En principio, las funciones admisibles (sobre las que se
minimiza el funcional) son derivables con continuidad m veces
(para que el funcional esté bien definido). Sin embargo, se
exigirá que las funciones admisibles sean derivables 2m
veces porque, como se verá, ese es el orden de las derivadas
que aparecerán en las ecuaciones de Euler.
Si no se impone ninguna condición adicional a las funciones
admisibles, el proceso de minimización producirá m condiciones
de contorno, que se denominarán naturales.
También pueden imponerse hasta m condiciones de contorno a
las funciones admisibles, que podrán involucrar a la propia
función y a sus derivadas respecto de ν, hasta orden m − 1, a lo
sumo.
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CÁLCULO DE VARIACIONES EN 2D (I)
Considérese el problema de seleccionar la función u para
minimizar el funcional
F (u) =
∫
Ω
f (∂xu, ∂y u,u, x , y) dxdy +
∫
∂Ω
g(u, s) ds,
donde f = f (p,q,u, x , y) y g = g(u, s) son funciones suaves,
Ω ⊂ R2 es un dominio con frontera (∂Ω) suave a trozos, y s es
un parámetro longitud de arco a lo largo de la frontera.
Nótese que, en la frontera, el funcional involucra derivadas de
un orden menor que el funcional en el interior del dominio; es
decir, no involucra a las derivadas en este caso.
Enfoque variacional: Si u(x , y) minimiza el funcional,
sustituyendo u = u(x , y) + αũ(x , y) en el funcional, la expresión
resultante debe tener un mínimo en α = 0. Por tanto, la derivada
de esa expresión respecto de α debe ser nula en α = 0.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
CÁLCULO DE VARIACIONES EN 2D (II)
Se obtiene así la ecuación∫
Ω
[∂x ũ∂pf + ∂y ũ∂q f + ũ∂uf ] dxdy +
∫
∂Ω
ũ∂ug ds = 0,
que debe verificarse para toda función admisible (derivable con
continuidad).
Integrando por partes en la expresión anterior, se obtiene∫
Ω
[−∂p∂x f−∂q∂y f +∂uf ]ũ dxdy +
∫
∂Ω
ũ[∂ug+ν ·(∂pf , ∂q f )] ds = 0,
donde ν es la normal unitaria exterior a la frontera del dominio.
Y esta ecuación debe verificarse para toda función admisible ũ.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
ECUACIÓN DE EULER
Considerando sólamente funciones ũ con soporte compacto
(para las que ũ = 0 en ∂Ω), y utilizando el lema fundamental del
cálculo de variaciones, la condición∫
Ω
[−∂p∂x f−∂q∂y f +∂uf ]ũ dxdy +
∫
∂Ω
[∂ug +ν ·(∂pf , ∂q f )]ũ ds = 0,
implica que (condición necesaria de extremo)
−∂p∂x f − ∂q∂y f + ∂uf = 0 en Ω.
Ésta es, en general, una ecuación diferencial, en derivadas
parciales, que recibe el nombre de ecuación de Euler.
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CONDICIONES DE CONTORNO NATURALES
Por tanto (como la primera integral es nula), la condición original
se reduce a ∫
∂Ω
[∂ug + ν · (∂pf , ∂q f )]ũ ds = 0
para toda función ũ continua sobre la frontera. Esto implica que
∂ug + ν · (∂pf , ∂q f ) = 0 en ∂Ω.
Esta condición de contorno (que no se impuso a las funciones
admisibles) aparece al minimizar. Recibe el nombre de
condición de contorno natural.
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OTRAS CONDICIONES DE CONTORNO
Si, en cambio, se hubiera impuesto una condición del tipo
u = h(s) a las funciones admisibles, ésa sería precisamente la
condición de contorno a imponer a la ecuación de Euler. Nótese
que la condición de contorno a imponer a las funciones
admisibles debe involucrar derivadas de un orden inferior a las
que aparecen en la integral doble, es decir, debe depender sólo
de u en este caso.
Con esa condición de contorno, todo es consistente, ya que:
La integral de línea que aparece en el funcional es
constante, y no juega ningún papel en la minimización.
ũ debe ser idénticamente nula en la frontera (para que
u + αũ verifique la condición de contorno), de modo que la
integral de línea que aparece al integrar por partes es nula.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: UN EJEMPLO (I)
Se procede igual, pero hay que integrar por partes varias veces.
Por ejemplo, para minimizar
∫
Ω
[(∆u)2 + |∇u|2 − u + u2] dxdy , se
sustituye u = u + αũ, y se impone que la derivada respecto de α
en α = 0 sea nula, para obtener∫
Ω
[2∆u∆ũ + 2∇u · ∇ũ − ũ + 2uũ] dxdy = 0.
O, integrando por partes dos veces y dividiendo por 2,∫
Ω
[∆2u−∆u+u−1/2]ũ dxdy+
∫
∂Ω
[(∆u+u)∂ν ũ−ũ∂ν(∆u)] ds = 0,
para toda función admisible ũ (con derivadas parciales
segundas continuas); ∂ν es la derivada respecto de la normal
unitaria exterior.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: UN EJEMPLO (II)
Imponiendo la condición anterior para toda función ũ de soporte
compacto (para las cuales ũ = ∂ν ũ = 0 en ∂Ω), se obtiene la
ecuación de Euler
∆2u −∆u + u − 1/2 = 0 en Ω.
Por tanto, la integral doble es nula y la condición queda∫
∂Ω
[(∆u + u)∂ν ũ − ũ∂ν(∆u)] ds = 0
para toda función ũ derivable dos veces; ũ y ∂ν ũ pueden tomar
cualquier valor sobre la frontera, independientes una de otra.
Por tanto, los coeficientes de ũ y ∂ν ũ deben ser nulos, y se
obtienen las siguientes condiciones de contorno naturales:
∆u + u = 0, ∂ν(∆u) = 0 en ∂Ω.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: UN EJEMPLO (III)
Las condiciones de contorno naturales aparecen sin haber
impuesto ninguna condición de contorno a las funciones
admisibles.
Si, en cambio, se impusiese una condición de contorno del
tipo (la condición de contorno debe involucrar solamente a u y a
∂νu)
g(u, ∂νu) = 0 en ∂Ω
a las funciones admisibles, se tendría ũ∂ug + ∂ν ũ∂pg = 0 (para
que u + αũ verifique la condición de contorno para todo α).
Sustituyendo esta expresión en la integral de línea, se obtendría
la siguiente condición de contorno natural (además de la
condición anterior)
∂ν(∆u)∂pg + (∆u + u)∂ug = 0 en ∂Ω.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: UN EJEMPLO (IV)
Si se impusiesen dos condiciones de contorno
independientes (que determinen unívocamente a u y a ∂νu en
cada punto de la frontera) del tipo
g1(u, ∂νu) = 0, g2(u, ∂νu) = 0 en ∂Ω,
tales condiciones se impondrían directamente a las ecuaciones
de Euler y no aparecería ninguna condición de contorno natural.
Nótese que las conditiones de contorno podrían escribirse como
u = h1(s) y ∂νu = h2(s), y todo sería consistente porque:
La integral de línea que aparece en el funcional es
constante y puede ignorarse al minimizar.
Las funciones ũ serían tales que ũ = ∂ν ũ = 0 en ∂Ω (para
que u + αũ verifique las condiciones de contorno) y, por
tanto, la integral de línea que aparece al integrar por partes
sería identicamente nula.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: CONCLUSIONES (I)
Aunque se ha considerado sólo un ejemplo, las siguientes
conclusiones tienen validez general, en casos genéricos en que:
El funcional depende de derivadas parciales de hasta orden dos
de la variable de diseño.
Considerandosólo las derivadas segundas, se tiene un
funcional definido positivo. Esta condición es necesaria para que
el funcional esté acotado inferiormente y pueda tener un mínimo
global.
La ecuación de Euler que se obtiene (al aplicar el método
variacional) es una ecuación elíptica de cuarto orden y, por tanto,
requiere dos condiciones de contorno independientes.
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ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR: CONCLUSIONES (II)
Para las dos condiciones de contorno de la ecuación de Euler, se
pueden dar tres situaciones:
Si no se imponen condiciones de contorno a las funciones
admisibles, el proceso de minimización produce, precisamente,
dos condiciones de contorno naturales independientes.
Si se impone una condición de contorno a las funciones
admisibles (¡ojo!, ésta no puede involucrar derivadas de orden
superior al primero), el proceso de minimización produce una
condición de contorno natural. Esa condición adicional se
impone, junto con la condición impuesta de entrada.
Si se imponen dos condiciones de contorno independientes
a las funciones admisibles, éstas son las que deben imponerse
a la ecuación de Euler (no hay condiciones de contorno
naturales a adicionales).
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VARIAS VARIABLES DEPENDIENTES: UN EJEMPLO (I)
Nuevamente, se considera un ejemplo: minimizar el funcional∫
Ω
[|∇u|2 + |∇v |2 + 2uv ] dxdy . Para ello, se sustituyen u = u + αũ y
v = v + αṽ en el funcional. En la expresión resultante, se iguala a
cero la derivada respecto de α en α = 0 y se integra por partes en la
expresión resultante, para obtener∫
Ω
[∇u · ∇ũ +∇v · ∇ṽ + ũv + uṽ ] dxdy ≡∫
Ω
[(v −∆u)ũ + (u −∆v)ṽ ] dxdy +
∫
∂Ω
(ũ∂νu + ṽ∂νv) ds = 0
para todo par de funciones admisibles ũ y ṽ .
Procediendo como en los casos anteriores, las ecuaciones de Euler
son
∆u − v = ∆v − u = 0 en Ω.
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VARIAS VARIABLES DEPENDIENTES: UN EJEMPLO (II)
Se dan tres situaciones para las condiciones de contorno:
Si no se impone ninguna condición de contorno a las funciones
admisibles, las condiciones de contorno naturales son
∂νu = ∂νv = 0 en ∂Ω.
Si se impone la condición de contorno
g(u, v , s) = 0 en ∂Ω
(no puede involucrar derivadas de u y v ), las funciones
admisibles deben verificar (∂ug)ũ + (∂v g)ṽ = 0, y se obtiene la
condición natural (que se añade a la anterior)
[∂v g(s,u, v)]∂νu − [∂ug(s,u, v)]∂νv = 0 en ∂Ω.
Si se imponen dos condiciones de contorno independientes a
las funciones admisibles, ésas son las que deben imponerse a
las ecuaciones de Euler.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
EJEMPLOS
Para resolver directamente, aplicando el método visto anteriormente
F =
∫ 1
0 |u
′(x)|2/2 + xu dx , (i) sin condiciones adicionales, o (ii)
con la condición de contorno u = 1 en x = 1.
F =
∫
Ω
|∇u|2/2 + (x2 + y2)u dxdy , (i) sin condiciones
adicionales, o (ii) con la condición de contorno u = 1 en ∂Ω.
F =
∫
Ω
|∇u|2/2 + (x2 + y2)u dxdy +
∫
∂Ω
u2 ds, (i) sin condiciones
adicionales, o (ii) con la condición de contorno u = 1 en ∂Ω.
F =
∫
Ω
|∇u|2dxdy/
∫
Ω
u2dxdy , (i) sin condiciones adicionales, o
(ii) con la condición de contorno u = 0 en ∂Ω.
F =
∫
Ω
|∆u|2/2 + (x2 + y2)u dxdy , (i) sin condiciones
adicionales, o (ii) con la condición de contorno u = 1 en ∂Ω.
En todos los casos, Ω es el círculo de radio unidad, con centro en el
origen.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
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Comentarios finales
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1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
5 Comentarios finales
Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
Ignacio Delgado, Ignacio Gómez, José M. Perales, José M. Vega
Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
VARIABLES DE DISEÑO ESCALARES ADICIONALES: UN EJEMPLO (I)
Por sencillez, se minimiza la función objetivo particular
F (u) =
∫
Ω
[(1 + u2)|∇u|2 − Pu + P2 + u4] dxdy ,
para calcular la función u y el escalar P. Se consideran ‘curvas’ del
espacio de diseño, se sustituye u = u + αũ, P = P + αP̃, en el
funcional, y se impone que la derivada respecto de α se anule en
α = 0. Integrando por partes, en la ecuación resultante se obtiene∫
Ω
[−2∇ ·
(
1 + u2)∇u
)
+ 2u|∇u|2 − P + 3u3]ũ dxdy
+
∫
Ω
(2P − u)P̃ dxdy + 2
∫
∂Ω
(1 + u2)(∂νu)ũ ds = 0
para toda función ũ y todo escalar P̃.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
VARIABLES DE DISEÑO ESCALARES ADICIONALES: UN EJEMPLO (II)
La condición anterior implica que
−2∇·
(
1 + u2)∇u
)
+2u|∇u|2−P+3u3 = 0 en Ω, ∂νu = 0 en ∂Ω,∫
Ω
(2P − u) dxdy = 0.
Se tiene así una incógnita adicional, P, y una ecuación escalar
adicional.
Como hasta ahora, ha aparecido la condición de contorno
natural ∂νu = 0 por no haber impuesto ninguna condición de
contorno a las funciones admisibles. Si se hubiese impuesto
u = g(x , y) en ∂Ω,
que involucra sólo a la función u, como en los casos anteriores,
sería esta condición la relevante para integrar las ecuaciones de
Euler.
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Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
VARIABLES DE DISEÑO ESCALARES ADICIONALES: UN EJEMPLO (III)
Procediendo del mismo modo, en general, si se tienen m funciones y
n escalares, se obtiene un sistema acoplado, con:
m ecuaciones de Euler con sus condiciones de contorno, una
por cada función,
n ecuaciones escalares, una por cada variable escalar.
Por tanto, el sistema resultante tiene ‘tantas ecuacionescomo
incógnitas’.
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
Outline
1 Algunas cuestiones preliminares
2 Teoría básica
Enfoque variacional
Multiplicadores de Lagrange
Optimización basada en el adjunto
Condiciones de Karush-Khun-Tucker
3 Métodos de penalización y funciones barrera
4 Cálculo variacional en dimensión infinita
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
5 Comentarios finales
Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
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Algunas cuestiones preliminares
Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
Cálculo de variaciones ‘elemental’
Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
RESTRICCIONES ESTRICTAS: UN EJEMPLO
La minimización de funcionales puede venir afectada de restricciones
estrictas, que pueden ser:
Escalares. En este caso, el enfoque más natural es generalizar
el método de los multiplicadores de Lagrange, que producirá
ecuaciones de Euler con multiplicadores de Lagrange.
Funcionales, tales como ecuaciones diferenciales, integrales, o
integrodiferenciales, que pueden verse como infinitas
restricciones escalares. Ahora, el método de los multiplicadores
de Lagrange no tiene una extensión obvia y es preferible
extender el método de minimización basada en el adjunto,
que producirá un sistema adjunto de ecuaciones.
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Teoría básica
Métodos de penalización y funciones barrera
Cálculo variacional en dimensión infinita
Comentarios finales
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Variables de diseño escalares adicionales
Restricciones estrictas, escalares o funcionales
RESTRICCIONES ESTRICTAS ESCALARES (I)
Por sencillez, se minimiza la función objetivo
F (u) =
∫
Ω
[(1 + u2)|∇u|2 − u + u4] dxdy , con
∫
Ω
(u2 − u) dxdy = 0,
que está sujeta a una restricción escalar adicional. El enfoque
variacional (u = u + αũ) proporciona la ecuación∫
Ω
{−2∇ · [(1 + u2)∇u] + 2u|∇u|2 − 1 + 3u3}ũ dxdy
+2
∫
∂Ω
[(1 + u2)∂νu]ũ ds = 0
para toda función ũ que verifique∫
Ω
(2u − 1)ũ dxdy = 0.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
RESTRICCIONES ESTRICTAS ESCALARES (II)
Considerando primero funciones ũ con soporte compacto, se tiene∫
Ω
H1 dxdy ≡
∫
Ω
{−2∇· [(1 + u2)∇u] + 2u|∇u|2−1 + 3u3}ũ dxdy = 0
para toda función ũ que verifique∫
Ω
H2 dxdy ≡
∫
Ω
(2u − 1)ũ dxdy = 0.
Con el producto escalar de L2 (〈u1,u2〉 =
∫
Ω
u1u2), esta condición
puede expresarse diciendo que la función H1 debe ser orthogonal a
todas las funciones que sean ortogonales a H2, lo cual implica que
H1 tiene que ser proporcional a H2, es decir,
−2∇ · [(1 + u2)∇u] + 2u|∇u|2 − 1 + 3u3 = λ(2u − 1) en δΩ.
Razonando como en los casos anteriores, se tiene, además, la
condición de contorno natural ∂νu = 0 en ∂Ω.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
RESTRICCIONES ESTRICTAS ESCALARES (III)
Reuniendo lo anterior, se ha deducido la ecuación de Euler
−2∇ · [(1 + u2)∇u] + 2u|∇u|2 − 1 + 3u3 = λ(2u − 1) en δΩ,
que contiene el multiplicador de Lagrange λ, y la condición de
contorno natural
∂νu = 0 en ∂Ω.
Se tienen, además, la restricción∫
Ω
(u2 − u) dxdy = 0.
Es decir, se tiene una incógnita adicional, λ, y una restricción
adicional a la ecuación de Euler.
Si hubiera m restricciones estrictas, se tendrían m multiplicadores de
Lagrange.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
EJEMPLO EN 1D
Para el funcional objetivo
Fc(u) =
∫ 1
0
[(1+x2)(du/dx)2/10+u2(du/dx)/10+8u4−xu3+P2−Px2u] dx ,
dependiente de la función u tal que u(±1) = 0 y
∫ 1
−1 u dx = 0, y del
escalar P:
Discretice el funcional en una malla equiespaciada,
aproximando du/dx con diferencias centradas y las integrales
mediante la fórmula del trapecio, y resuelva el problema discreto
resultante mediante Newton, descenso más rápido, gradiente
conjugado y Broiden.
Deduzca la formulación contínua, en términos de una ecuación
de Euler restringida, y analice lo bien que los óptimos
calculados en el punto anterior verifican esta formulación.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
RESTRICCIONES ESTRICTAS FUNCIONALES
En la formulación natural de muchos problemas de ingeniería, se
tienen restricciones funcionales, no escalares. Por ejemplo:
En la optimización de la forma de un ala, el funcional a
minimizar depende de la forma y de las variables aerodinámicas
en la superficie (presión, esfuerzos, etc), y las restricciones
incluyen a las ecuaciones de la aerodinámica externa, que son
ecuaciones diferenciales o integrales y deben ser verificadas por
las variables aerodinámicas.
Análogamente, en la optimización se trayectorias, éstas deben
verificar las ecuaciones del movimiento.
En lo que sigue, se consideran solamente dos ejemplos tipo,
sencillos, para ilustrar la aplicación del el método de optimización
mediante el adjunto, que es el método relevante en este caso.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
PRIMER EJEMPLO: FORMULACIÓN Y ENFOQUE VARIACIONAL
Calcular las funciones u y v para minimizar el funcional objetivo
F (u) =
∫
Ω
(u2 + v2 − u − uv) dxdy ,
imponiendo la restricción funcional adicional
∆u − v = 0 en Ω, u = 0 en ∂Ω.
El enfoque variacional (sustituyendo u = u + αũ, v = v + αṽ )
proporciona la ecuación∫
Ω
[(2u − v − 1)ũ + (2v − u)ṽ ] dxdy = 0
para todo par de funciones ũ y ṽ que verifiquen
∆ũ − ṽ = 0 en Ω, ũ = 0 en ∂Ω.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
PRIMER EJEMPLO: REFORMULACIÓN DE LA CONDICIÓN NECESARIA
La condición anterior puede interpretarse del siguiente modo
todas las soluciones de LŨ = 0 verifican 〈Ũ,H〉1 = 0,
donde el operador L, los ‘vectores’ Ũ y H, y el producto escalar 〈·, ·〉1
vienen dados por
L =
[
∆ −I
], Ũ =
{
ũ
ṽ
}
, H =
{
2u − v − 1
2v − u
}
,
〈U1,U2〉1 =
∫
Ω
(u1u2 + v1v2) dxdy .
Por consistencia, el operador ∆ incluye la condición homogénea de
tipo Dirichlet ũ = 0 en ∂Ω.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
PRIMER EJEMPLO: ANALOGÍA CON DIMENSIÓN FINITA
En dimensión finita (piénsese en cualquier discretización del
problema), si el operador L fuese una matriz (y Ũ y H vectores
usuales), puede aplicarse la condición de resolubilidad que se
utilizó en el método de minimización mediante el adjunto. Esta
condición implica que la propiedad
todas las soluciones de LŨ = 0 verifican 〈Ũ,H〉1 = 0,
es equivalente a exigir que la siguiente ecuación tenga solución
L∗w = H,
donde la matriz L∗ es la adjunta de la matriz L, definida por
〈L∗w ,U〉2 = 〈U,LV 〉1 para todo par de vectores U,V .
Nótese que 〈·, ·〉1 y 〈·, ·〉2 deben ser productos escalares en los
espacios de partida y de llegada, respectivamente, del operador L.
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PRIMER EJEMPLO: ADJUNTO DEL OPERADOR L =
[
∆ −I
]
Esta condición se aplica también en dimensión infinita. Require
definir productos escalares en los espacios de partida y de llegada
del operador L y calcular el adjunto de L. Los productos escalares
más sencillos son
〈U1,U2〉1 =
∫
Ω
(u1u2 + v1v2) dxdy , 〈w1,w2〉2 =
∫
Ω
w1w2 dxdy .
El adjunto del operador L =
[
∆ −I
]
respecto de estos productos
escalares es el operador L∗ =
[
∆
−I
]
. En efecto, si U =
[
u
v
]
y
w = [w ], utilizando la definición de los productos escalares, se tiene
〈L∗w ,U〉2 ≡
∫
Ω
[(∆w)u−wv ] dxdy =
∫
Ω
(w∆u−wv) dxdy ≡ 〈w ,LU〉1,
donde la igualdad entre las integrales resulta de integrar por partes e
imponer que w = 0 (u ya era cero) en ∂Ω.
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PRIMER EJEMPLO: RESUMEN
Reuniendo lo anterior, los minimizantes del funcional objetivo
F (u) =
∫
Ω
(u2 + v2 − u − uv) dxdy ,
con la restricción adicional
∆u − v = 0 en Ω, u = 0 en ∂Ω
deben ser tales que el problema adjunto (L∗w = H, con L∗ y H
definidos en transparencias anteriores, es decir)
∆w = 2u − v − 1, −w = 2v − u en Ω, w = 0 en ∂Ω
tiene solución. Este problema adjunto (dos ecuaciones), junto con la
restricción (una ecuación) determina los minimizantes u y v , así
como la variable adjunta w .
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
PRIMER EJEMPLO: REFORMULACIÓN ELIMINANDO LA RESTRICCIÓN
En realidad, el ejemplo anterior se ha elegido para poder eliminar la
función de diseño v del funcional, y las funciones v y w del problema
adjunto. Se tiene así el funcional, sin restricciones
F (u) =
∫
Ω
[u2 + (∆u)2 − u − u∆u] dxdy , u = 0 en ∂Ω,
y la condición necesaria de extremo
∆[∆u − u] + u + 1/2 = 0 en Ω, u = ∆u = 0 en ∂Ω,
que podría haberse obtenido también minimizando el funcional
anterior directamente, sin restricciones.
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SEGUNDO EJEMPLO: PROBLEMA INVERSO
Se trata ahora de calcular las funciones u y v para minimizar el
funcional objetivo
F (u) =
∫
Ω
p(x , y)[u(x , y)− u0(x , y)]2 dxdy ,
imponiendo la restricción funcional adicional
∇ · (v∇u) = f (x , y) en Ω, u = g en ∂Ω,
donde el peso p ≥ 0, la distribución u0 y los términos forzantes f y g
son conocidos.
Este problema inverso puede modelar, por ejemplo, la búsqueda de
la conductividad térmica v para que la distribución de temperatura u
sea lo más próxima posible a una distribución prefijada u0, si la
fuente de calor f es conocida. El peso p modela la medida de la
temperatura. El problema directo sería determinar u0 conocida la
conductividad v y la fuentes de calor f y g.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
SEGUNDO EJEMPLO: FORMULACIÓN VARIACIONAL
El enfoque variacional aplicado al funcional objetivo
F (u) =
∫
Ω
p(x , y)[u(x , y)− u0(x , y)]2 dxdy ,
con la restricción
∇ · (v∇u) = f (x , y) en Ω, u = g(s) en ∂Ω,
supone sustituír u = u + αũ, v = v + αṽ , en ∂Ω, que proporciona la
ecuación ∫
Ω
2p(u − u0)ũ dxdy = 0
para todo par de funciones ũ y ṽ que verifiquen
∇ · (v∇ũ) +∇ · (ṽ∇u) = 0 en Ω, ũ = 0 en ∂Ω.
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SEGUNDO EJEMPLO: REFORMULACIÓN DE LA CONDICIÓN NECESARIA
Como en el primer ejemplo, esta condición puede escribirse como
todas las soluciones de LŨ = 0 verifican 〈Ũ,H〉1 = 0,
donde
Ũ =
{
ũ
ṽ
}
, LŨ =∇· [v∇ũ] +∇· [ṽ∇u], H =
{
2p(u − u0)
0
}
.
Utilizando los mismos productos escalares que en ejemplo anterior,
el adjunto resulta de integrar por partes dos veces, e imponer que
w = 0 en ∂Ω (ũ ya se anulaba en ∂Ω)
〈w ,LŨ〉1 ≡
∫
Ω
w [∇ · (v∇ũ) +∇ · (ṽ∇u)] dxdy =∫
Ω
{[∇ · (v∇w)]ũ − (∇u · ∇w)ṽ}dxdy ≡ 〈L∗w , Ũ〉2.
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Restricciones estrictas, escalares o funcionales
SEGUNDO EJEMPLO: ECUACIÓN ADJUNTA
De la última igualdad en la expresión anterior, se deduce que
L∗w =
{
∇ · (v∇w)
−∇u · ∇w
}
.
Por tanto, la ecuación adjunta Lw = H puede escribirse como
∇ · (v∇w) = 2p(u − u0), ∇u · ∇w = 0 en Ω, w = 0 en ∂Ω.
Estas dos ecuaciones, junto con la restricción
∇ · (v∇u) = f (x , y) en Ω, u = g(s) en ∂Ω,
es un sistema de tres ecuaciones que, en principio, permite calcular
las incógnitas u, v y w . Sin embargo, este problema está mal
planteado si, por ejemplo, el peso g es nulo salvo en una subregión
pequeña de Ω (donde se efectúan la medidas).
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Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
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Optimización vs. discretización
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OPTIMIZACIÓN VS. DISCRETIZACIÓN (I)
En muchos problemas de diseño, la función objetivo es, en
realidad, un funcional y los parámetros de diseño son funciones.
El cálculo numérico de un diseño óptimo require discretizar el
problema, pero la discretización puede hacerse antes o después
de la optimización.
Si primero se optimiza, se obtienen unas ecuaciones de Euler o
ecuaciones adjuntas, como las obtenidas en la segunda parte
de este tema. Estas ecuaciones son, en general, diferenciales o
integro-diferenciales. Tales ecuaciones deben discretizarse para
su tratamiento numérico.
Si se comienza discretizando el problema, se obtiene un
problema de optimización en dimensión finita, como los tratados
en la primera parte de este tema.
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Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
OPTIMIZACIÓN VS. DISCRETIZACIÓN (II)
El modo más sensato de proceder es, por tanto, primero
discretizar las ecuaciones asociadas a las distintas disciplinas
técnicas y luego optimizar el problema de dimensión finita
resultante.
Esto permite un diseño modular de las distintas disciplinas
técnicas.
Las ecuaciones de cada disciplina técnica dependen, en
general, sólo de una parte de los parámetros/funciones de
diseño.
Cada disciplina técnica puede tratarse por separado en lo
relativo a la consistencia y estabilidad numéricas de cada
discretización.
Todo ello favorece la robustez y flexibilidad de los métodos.
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Diseños modulares y modelos reducidos
COMPLEJIDAD DE LOS SISTEMAS DE INGENIERÍA
En general, los sistemas de ingeniería son muy complejos, de
modo que obtener las ecuaciones de Euler suele ser altamente
laborioso, cuando no imposible/sutil (algunos datos pueden
venir dados ya de modo discreto si, por ejemplo, provienen de
simulaciones numéricas o de experimentación).
Por otro lado, las ecuaciones de Euler resultantes pueden ser
muy complejas, de modo que su discretización puede ser muy
laboriosa. Esto es así porque:
Esas ecuaciones dependen, en general, de todos los
parámetros/funciones de diseño.
Contienen, en general, ecuaciones acopladas que
provienen de las distintas disciplinas técnicas
(aerodinámica, estructuras, etc), que son de naturaleza
muy distinta. Por tanto, pueden presentar requisitos de
consistencia y estabilidad numérica contradictorios entre sí.
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Optimización vs. discretización
Diseños modulares y modelos reducidos
MODELOS SIMPLIFICADOS
En realidad, la discretización numérica es sólo un caso
particular de simplificación de las descripciones.
Otras simplificaciones posibles son los modelos reducidos y las
fórmulas semiempíricas.
Los diseños modulares de las herramientas de optimización
proporcionan flexibilidad en la elección de las simplificaciones.
Las simplificaciones apropiadas para las distintas disciplinas
técnicas pueden ser distintas.
Existe software comercial y libre, tanto para discretizar y/o
simplificar las ecuaciones como para implementar los métodos
de optimización.
El uso de software comercial/libre requiere conocer bien los
métodos matemáticos subyacentes, tanto para elegir los
métodos/simplificaciones como para interpretar los resultados.
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