00_Leccion-05_CG_Motor-cohete-ideal

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MOTORES COHETE
Grado en Ingeniería Aeroespacial (Curso 4º)
Juan Manuel Tizón Pulido 
jm.tizon@upm.es
Departamento de Mecánica de Fluidos y Propulsión Aeroespacial
Lección 5a: Motor Cohete Ideal
• Introducción. Repaso
• Modelo de Motor Cohete Ideal (MCI).
I. Cámara de combustión.
II. Movimiento en la tobera.
• Relaciones con el número de Mach y s=As/Ag.
• Regímenes de funcionamiento de toberas.
• Definiciones de CE y c*.
• Ensayo de motor.
J. M. Tizón
Repaso de Termodinámica
J. M. Tizón
Estado de remanso (variables de remanso)
, ,T P V
2
21
2 1 2
    tp p t
p
T Vc T V c T
T c T
Evolución isentrópica
 
1
t tT T P P




Número de Mach
,t tT P
Consideremos la evolución en la que el sistema (definido por T, P que presenta un a velocidad V) sufre una evolución 
adiabática y sin realizar ni recibir trabajo hasta velocidad nula (V=0) de forma reversible
M V a V RT 
1 1
211
2
t t tT P M
T P
 
  

 
        
   
      1 1* * * 1 2t t tT T P P
        
Variables críticas (M*=1)
 1.4 * 1.2, * 1.89t tsii T T P P    
 2   s ctea dP d
Conservación de la energía del sistema 0pc dT VdV 
Repaso de fluidos compresibles
J. M. Tizón
Parámetro de gasto
El gasto que atraviesa una sección A es G VA , , ,T P V A ,t tT P
2
12
11
2
11
2
t
t
T M
T
P M
P



 

 
   
 
P P PAG VA M RT A M
RT RT RT
   
1
22
12
1
2 12
11
2
11
2
11
2
t
t
t
t
M
APG M
RT
M
APG M M
RT











  
 
  
 
   
 
 
1
2 1211
2
t
t
G RT
M M
AP




   
 
Repaso de fluidos compresibles
J. M. Tizón
Parámetro de gasto
,
,
T P
V A
,t tT P 
1
2 121( , ) 1
2
t
t
G RT
F M M M
AP

 


    
 
0 1F M
M

  

(0, ) 0
( , ) 0
F
F



 
 
1.4
1 3
2 1







  0, MF M M 
Repaso de fluidos compresibles
J. M. Tizón
Parámetro de gasto
 
1
2 121( , ) 1
2
t
t
G RT
F M M M
AP

 


    
 
Área crítica
 
1
2 12(1, ) 0.68
* 1
t
t
G RT
F
A P


 


 
    

El área critica (A*/G) es función exclusivamente de las 
variables de remanso y de la relación de calores 
específicos. Por lo tanto
   
1 1
2 1 2 121 2 11
* 1 2
A M
A M
 
 

 
          
 * * *G V A
( , )F M 
*A A
tP P
tT T
MOTOR COHETE IDEAL
J. M. Tizón
Aplicación
El modelo se aplica a motores térmicos (termo-químicos, termo-nucleares y termo-eléctricos) en los que el sistema de
aceleración es fluidodinámico mediante una tobera convergente-divergente.
Dependiendo del sistema el grado de aproximación es diferente.
Motor RS-68
Objetivos
• Identificar/describir/analizar los procesos que tienen lugar.
• Identificar las variables de diseño/operacionales más relevantes.
• Obtener la influencia de las variables de diseño/operacionales.
• Calcular las actuaciones del motor (error ≈ 5%-10%).
• Obtener diseños/dimensionados preliminares.
Naturaleza del problema
Las características de los procesos fluidodinámicos que tienen lugar en el 
interior del motor es muy compleja:
• No estacionario.
• Tridimensional.
• Mezcla reactante.
• Viscoso, turbulento.
• Flujo heterogéneo (gas, liquido, sólido).
• Diabático con efectos de radiación.
A la vista de la evidente complejidad del problema abordado, sorprende la 
precisión tan alta que se puede conseguir con modelos sencillos que como 
mucho requieren la intervención de un ordenador de sobremesa.
Análisis fenomenológico
J. M. Tizón
su
m
in
ist
ro
 d
e 
pr
op
ul
sa
nt
es
Inyección, vaporización, 
mezcla, etc…
velocidad
temperatura
presión

flujo
Congelado?
flujo en
Equilibrio?
Aceleración
TOBERACAMARA
MOTOR COHETE IDEAL
J. M. Tizón
i c g s
Aplicación
• Motores cohete termoquímicos (propulsante líquido, sólido e hibrido).
• Motores cohete termonucleares y termoeléctricos con pequeñas adaptaciones.
Objetivos
• Establecer el modelo más simple posible.
• Poner de manifiesto los procesos mas importantes.
• Identificar las variables que caracterizan las actuaciones del sistema
• Disponer de una metodología que permita incorporar mayor complejidad.
MOTOR COHETE IDEAL
J. M. Tizón
Cámara de combustión. Proceso i-c
• Modelo fluidodinámico cero-dimensional: Para un motor cohete químico corresponde a una situación idealizada
en la que el tiempo de residencia es mucho mayor que cualquier tiempo químico, es decir, una cámara con un
área de paso grande (infinita) en la que la velocidad convectiva es muy baja (cero). En las condiciones
anteriores el resultado del proceso de combustión es la obtención de composición de equilibrio.
• El resultado del análisis del proceso en la cámara de combustión tiene por respuesta las condiciones en la
sección ‘c’, es decir, presión y temperatura (de remanso en una sección de bajo número de Mach) y la
composición del fluido (que puede caracterizarse adecuadamente por el peso molecular medio, Mg, y la
relación de calores específicos  = cp / cv).
• El modelo mas simple posible es el de combustión completa y entre los posibles reactantes una de las
combinaciones mas simples (que sea de aplicación en motores cohete) es la que tiene por reactantes
hidrógeno y oxígeno.
• Este sistema, simple en principio, entraña cierta complejidad que puede ser abordada de forma escalonada,
empezando por el análisis del caso de combustión completa, que permite introducir la relación de equivalencia
( = f / fst) como parámetro fundamental de diseño/funcionamiento y continuando por el cálculo de la
composición de equilibrio químico, más realista, que se vuelve imprescindible a la vista de lo irreal de los
resultados de temperatura obtenidos y la evidente activación de las reacciones de disociación de especies
moleculares.
1
2 2 22 H O H O
Conservación de la entalpía
La ecuación de la energía se enuncia diciendo que la entalpía de los productos debe ser igual a la de los reactantes:
Para la reacción codificada de la forma:
Modelo de combustión completa
J. M. Tizón
Modelo de combustión completa
Introduciendo la relación de equivalencia como la medida de lo que se aparta la composición de la proporción
estequiométrica, el correcto ajuste de la reacción supuesta completa es el siguiente
      
   
1 1
2 2 2 2 22 2
1
2
1 1 1 1H O H O H O
x x x
      

       
 
   i i i i
i i
A A
         0 298.15 298.15o o o o o oi f i i i i f i i f i
i i
h h T h h h T h               
   
   
x x x
x x x
 
 
   

  
     0' 298.15 '' 298.15o oi f i pi i f i pi f
i i
h c T h c T         
Combustión completa: Ejemplo
J. M. Tizón
Ejercicio practico
2 2 2
2 2 2
00 298.15 39 /
241,83 / 36 / 53 /
      
    
o o
f H O ref pO
o
f H O pH pH O
h h T T c J molK
h kJ kmol c J molK c J molK
124 0.5
2
2
1
2 O
H
M
O F
M

 f
T
M
Composición de equilibrio
J. M. Tizón
Modelo de combustión: Composición de equilibrio
Para el modelo hidrógeno-oxígeno la reacción que se puede considerar es:
Donde, las especies H2O2 y HO2 han sido descartadas inicialmente.
2 2 2
1
2 2 2 2 22 H O H O H O OHH O n H O n H n O n H n O n OH       
Ecuaciones e incógnitas (regla de Volterra)
Para una mezcla de M especies se tienen M+2 incógnitas, correspondientes a las M concentraciones de las
especies presentes y dos propiedades intensivas, como por ejemplo la presión y temperatura de la mezcla.
Para una mezcla que contenga R átomos diferentes se pueden plantear R ecuaciones de conservación.
Por lo tanto es necesario plantear M-R ecuaciones de equilibrio independientes (a menudo es suficiente con
ecuaciones de formación para las especies presentes) para completar el sistema. Esta situación se puede complicar
cuando se admite la presencia de varias fases.
Cuando el cálculo pretende obtener la temperaturaadiabática de combustión las variables termodinámicas a
especificar son la presión y la entalpía inicial de los reactantes.
Para una mezcla de 6 especies se tienen 8 incógnitas, correspondientes a las 6 concentraciones de las especies
presentes y dos propiedades intensivas. Como se tienen dos átomos distintos es necesario plantear 4 ecuaciones
de equilibrio independientes para completar el sistema.
Composición de equilibrio
J. M. Tizón
Conservación de átomos
Las fracciones molares de las especies deben garantizar las proporciones adecuadas de los átomos presentes en la
mezcla inicial
 
 
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 2
1
H H O H H OH Total
O H O O O OH Total
H O H O O H OH
n X X X X n
n X X X X n
X X X X X X
    
    
     
2 2
2 2
2 2 2
2 22
1 2
1
   

  
     
H O H H OH
H O O O OH
H O H O O H OH
X X X X
X X X X
X X X X X X
Que junto con la condición de que la suma de todas las fracciones molares sumen la unidad permite plantear dos 
relaciones independientes del número total de moles:
Composición de equilibrio
J. M. Tizón
Composición de equilibrio: Reacciones de formación
Para este modelo de hidrógeno-oxígeno las reacciones que se pueden considerar son:
1
2 2 22
1 1
2 22 2
1
22
1
22
H O H O
H O OH
H H
O O






2
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
   H O OH OHPfH O PfOH PfH PfO
H O H O H O
X X XXK p K K p K p
X X X X X X
Constantes de equilibrio
El sistema queda planteado en función de las constantes de equilibrio (que en la práctica dependen de la
temperatura y que aproximadamente se pueden poner de la forma A+B/T) para cada reacción de formación:
Composición de equilibrio
J. M. Tizón
Fr
ac
ci
on
es
 m
ás
ic
as
2H
H2HO
2H O
2O
2 2H O
OHO

010
110
210
310
410
510

fT
90
75
60
45
30
15
bar
bar
bar
bar
bar
bar
Composición de equilibrio del sistema H2-O2 en 
estado gaseoso con una temperatura inicial de 
300K
Los datos se presentan en función de la relación 
de equivalencia:
  stf f
Tra adiabática de combustión
J. M. Tizón
Temperatura adiabática de combustión e impulso específico de la combustión del propulsante AP-HTPB con aluminio.
(Kubota, N. “Propellant and Explosives: Thermochemical Aspect of Combustion”, Second Ed., Wiley-VCH, 2007)
Composición de Equilibrio
J. M. Tizón
Temperatura adiabática de combustión, impulso específico, peso molecular medio y composición de la combinación de HMX y GAP.
(Kubota, N. “Propellant and Explosives: Thermochemical Aspect of Combustion, Second Ed., Wiley-VCH, 2007)
Flujo en equilibrio vs. congelado
J. M. Tizón
Análisis fenomenológico
Una vez desencadenado el proceso de combustión mediante reacciones de iniciación la recombinación y
encadenamiento de las transformaciones químicas conduce, si se permite un lapso de tiempo suficiente, a que se
alcancen las condiciones de equilibrio químico, dando lugar a una composición de equilibrio estable mientras no
cambien las condiciones de presión y temperatura.
El proceso de expansión que se origina en el convergente de la tobera desencadena el desplazamiento del
equilibrio al modificarse las condiciones de presión y temperatura. Que se alcance localmente la composición de
equilibrio depende de la relación de tiempos característicos implicados:
• Tiempo de residencia
• Tiempo químico
El tiempo de residencia es alto a la salida de la cámara de combustión; el fluido ingresa a régimen subsónico en el
convergente de la tobera, el tiempo de residencia se va acortando a medida que aumenta la velocidad, alcanzando
valores realmente cortos (del orden del milisegundo) aguas debajo de la garganta.
Por otra parte el tiempo químico estará controlado por la reacción de recombinación más lenta del sistema de
cinética química, que se puede expresar mediante una relación de tipo Arrhenius, en la que la disminución de la
temperatura que sufre el fluido en la tobera va alargando el tiempo químico, ralentizando los procesos de
recombinación.
La relación entre estas dos magnitudes controla el tipo de flujo. Como quiera que a lo largo de la tobera uno
aumenta y el otro disminuye, puede existir algún punto intermedio del proceso de expansión en el que cambie la
relación inicial, que es la correspondiente a tiempo alto de residencia frente a tiempo pequeño químico.
1 

 c
r c g
M RTV
L D
1



aE
RT
q
q
A e
Límite de energía de activación alta
Utilizando el valor de Aq definido por la temperatura de corte, Tc, relacionando
los valores de ambos tiempos característicos y suponiendo temperaturas
próximas a Tc se obtiene:
En el caso de energía de activación alta, es decir;
Bastan pequeñas desviaciones de la temperatura para obtener grandes
disparidades en los tiempos característicos.
Flujo en equilibrio vs. congelado
J. M. Tizón
Temperatura de cruce
La temperatura a la que el tiempo de residencia y el tiempo químico se igualen marcará la frontera de validez de la
hipótesis de flujo en equilibrio o flujo congelado. Considerando que esto tiene lugar a una temperatura característica
Tc, su valor quedará determinado por la ecuación:
   

a
c
E
c c RT
q
g
M T RT
A e
D
1 1 1
  
 
   
  
a ca a
c cc
E T TE E
RT TRT RTc c
q r r
M T e e
M T
 
 
1
0 0
0, 11 ,
, 1

 

 
 
 
 
 
            
c
c
T T
T ca r
cc q
T TE Lim Lim e
T TRT
1
 r
1
 q
1.2
* 1300 /
18
120 /
20
 




a
g
V m s
M
E kJ molK
D cm
1000 T
garganta
El lector puede situar el valor de tiempo químico en el otro límite de energía de activación pequeña 
(cero) y observar la posición de esta línea en el gráfico y las  implicaciones que esto tiene
Equilibrio vs. Congelado
J. M. Tizón
Motor cohete con LH2-LO2 como propulsantes
La relación O/F es 5.55 y el flujo se modela de manera que se congela en la garganta de la tobera. Se observa
que el equilibrio se desplaza liberando calor y oponiéndose al descenso de la temperatura que tiene lugar en el
divergente de la tobera CONGELADO EQUILIBRIO
Comentarios
En el caso en equilibrio en el divergente:
• La temperatura de salida aumenta.
• El peso molecular medio aumenta.
• La presión de salida aumenta.
Principio de Le Châtelier
Si un sistema químico que en principio esté en equilibrio experimenta un cambio en la concentración, en la temperatura, en el 
volumen o en la presión parcial, el equilibrio se desplazará para contrarrestar ese cambio. Este principio es equivalente al de la 
Ley de masas.
Programa CEA
Los ejemplos de cálculo presentados 
están realizados con el programa de la 
NASA CEA (Chemical Equilibrium with 
Applications) que tiene un interesante 
módulo de cálculo de actuaciones 
ideales de motores cohete.
Modelo: MOTOR COHETE IDEAL
J. M. Tizón
Tobera. Proceso c-g-s
• Funcionamiento del motor estacionario (régimen permanente).
• El flujo a través de la tobera es axil-simétrico e irrotacional.
• Solución unidimensional (Relación diámetro/longitud apropiada, es decir, pequeña).
• Composición del fluido es homogénea y constante a lo largo de la tobera (flujo congelado).
• Mezcla perfecta de gases perfectos (calores específicos y gamma constantes).
• La expansión de flujo resulta ser isentrópica, como consecuencia de que:
i. Se desprecia el flujo de calor a las paredes (movimiento adiabático).
ii. Se desprecia el efecto de la viscosidad (no hay pérdidas por fricción).
iii. No existen discontinuidades (ondas de choque).
• La velocidad, presión y temperatura son uniformes en secciones transversales al eje.
• La coordenada longitudinal queda fijada por la distribución de áreas.
Resultado. Proceso i-c
• Temperatura de remanso…………………….
• Presión de suministro de propulsantes……..
• Composición …………………………………..
cT
cp
, ,iX 
Condiciones de referencia
En el modelo ideal de tobera permanece constante la
temperatura y la presión de remanso e iguales a los que el flujo
tiene a la salida de la cámara de combustión.
Presión de remanso:
Determinada porel proceso de alimentación de los propulsantes
debe ser un dato proporcionado al modelo de tobera.
Temperatura de remanso:
Determinada por el cálculo realizado en la cámara (proceso de
combustión con el modelo correspondiente, etc..) y las
condiciones iniciales de los propulsantes (temperatura inicial).
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
Consideraciones adicionales
El modelo de tobera ideal debe ser modificado teniendo en cuenta los siguientes efectos que afectan a las hipótesis que desembocan en que la
temperatura y la presión de remanso permanezcan constates:
• En general, a lo largo de la tobera se desplazará el equilibrio químico (al menos en la región inicial es inevitable pues se parte de la situación en
la que el tiempo químico es pequeño, reacción química rápida, y el de residencia grande). La temperatura de remanso aumenta pues el
equilibrio se desplaza compensando el descenso de temperatura.
• El proceso de adición de calor que tiene lugar al desplazarse el equilibrio conlleva un descenso de la presión de remanso que se verá ayudado
por las pérdidas por fricción en la capa límite.
• En situaciones anómalas las ondas de choque que pueden alojarse en el divergente producen aumentos bruscos de la presión de remanso.
cT
cp
cp
cT
 p x
 T x
Relaciones integrales
Consideremos un conducto de área variable por el que evoluciona un fluido
compresible en ausencia de efectos de viscosidad y de transmisión de calor y
apliquemos las ecuaciones en forma integral:
Continuidad:
Cantidad de movimiento
Energía:
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
     
 
0
0
0
  
  

     
  

VA d V dV A dA
VdA dVA d VA
d VA
, , , , P T V A ,
,
 
 
 
d
P dP T dT
V dV A dA
Valores “medios”
Las variables cinemáticas y termodinámicas consideradas deben
interpretarse como valores medios representativos para los principios
físicos empleados. En este sentido el gasto másico es (no tenga en
cuanta los signos):
La velocidad se puede definir
y, finalmente, la densidad debe cumplir
Lo que genera una inconsistencia cuando se define la presión media
con la intención de emplearla como una fuerza:
Al intentar emplear la ecuación de estado y la definición de entalpía
de remanso media simultáneamente.
  
 m v n dA
  
  mV v v n dA
m VA
 
AP pndA
       2
0
 


        
 
 
V A VA V dV PA P dP A dA PdA
VdVA AdP
VdV dP
 
21
2
0
( ) 0
0
   
  
 
 t t t
t p
p
mh m h dh
dh d c T V
c dT VdV
Ecuaciones
Las ecuaciones son las correspondientes al movimiento estacionario de un gas ideal en un conducto de área lentamente
variable. Para el problema que nos ocupa el área es una función conocida de una coordenada longitudinal:
Continuidad
Cantidad de movimiento
Energía
Ecuación de estado
Salvo en condiciones termodinámicas extremas la ecuación de los gases perfectos proporciona aproximaciones
aceptables al comportamiento de mezclas de gases empleando el peso molecular medio para el cálculo de la constante
del gas, (R = 8.314 kJ/molK)
Alternativamente se puede utilizar la siguiente relación como ecuación de estado:
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
  0
0
0



 
 p
d VA
VdV dP
c dT VdV  A x
x
Planteamiento
Se dispone de CUATRO ecuaciones y CINCO variables (densidad, velocidad, temperatura, presión y área). Es posible,
por tanto, expresar las variaciones de todas en función de una de ellas que es el tratamiento clásico del problema.
,   R P RTM
  2 SdP d a
Evolución isentrópica
Eliminando el término cinético de las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía:
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
 1 1 
 

  
dP dT d
P T
0
0


  
    
p p
p
VdV dP
dP c dT dP RT P c dT
c dT VdV
 p
dT dPds c R
T P
 
1
2
2 1
1



 ps c
T e P P
T
   
1 1
2 1 2 1 2 1P P T T
 
  

 
Evolución isentrópica
Alternativamente, partiendo de la ecuación de evolución de la entropía para un gas semiperfecto:
Relación área-velocidad
Expandiendo la relación diferencial de la ecuación de continuidad
el término con la densidad se puede eliminar considerando la ecuación de cantidad de movimiento
Lo que recordando la definición de velocidad del sonido, finalmente, queda
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
0d dV dA
V A


  
  
 
   
     
   
d d d P d VdV
d P d P
 21 dV dAM V A  
 
2
1 0

  
        
   
d dV dA V dV dAVdV
d P V A d P d V A
Consideraciones previas
La variables termodinámicas presentan un comportamiento monótono respecto a la velocidad:
• Si la velocidad aumenta la presión disminuye (ecuación de cantidad de movimiento).
• Si la velocidad aumenta la densidad disminuye (ecuación de estado).
• Si la velocidad aumenta la temperatura disminuye (ecuación de la energía).
Sin embargo, el área de la sección puede aumentar o disminuir dependiendo del signo del factor (1-M2).

 

 p
VdV dP
VdV c dT
Regímenes de funcionamiento
J. M. Tizón
0, aceleracion
1
< 0, expansion
CONVERGENTE ( 0)
0, deceleracion
1
> 0, compresion
dV
M
d p
dA
dV
M
d p
 
  
  
    
0 , deceleracion
1
0 , compresion
DIVERGENTE ( 0)
0 , aceleracion
1
< 0 , expansion
d V
M
d p
dA
dV
M
d p
 
     
    
0 1 (condiciones criticas)
GARGANTA ( = 0)
0, 1
d V M
dA
d V M
  
  
 21 dV dAM
V A
  
MCI: Modelo de tobera
J. M. Tizón
2
12
1
12
11
2
11
2
11
2





 



   
 
   
 
   
 
c
c
c
T M
T
P M
P
M c 
cP P
cT T
*A A
   
1 1
2 1 2 121 2 11
* 1 2
A M
A M
 
 

 
          
Flujo en conductos de área variable
La evolución de un fluido ideal compresible en un conducto de
área variable tiene lugar manteniendo las condiciones de
remanso (presión y temperatura) a lo largo del conducto.
1
1
1
1
* 2
1
* 2
1
* 2





 



   
 
   
 
   
 
c
c
c
T
T
P
P
R
EL
A
C
IÓ
N
 D
E 
PR
ES
IO
N
ES
 p
/p
c
EJE DE LA TOBERA x/Rg
Garganta bloqueada
RÉGIMEN SUPERSÓNICOSOBREEXPANSIONADO
RÉGIMEN SUPERSÓNICO SOBREEXPANSIONADO
RÉGIMEN SUPERSÓNICO SUBEXPANSIONADO
RÉGIMEN SUBSÓNICO ADAPTADO
REGIMEN SUPERSÓNICO ADAPTADO
Onda de choque normal en la salida
(ondas de choque en el interior de la tobera)
(ondas de choque oblicuas en la salida)
(ondas de expansión la salida) 
ga
rg
an
ta
REGÍMENES DE FUNCIONAMIENTO
J. M. Tizón
Regímenes de funcionamiento
J. M. Tizón
J. M. Tizón
Regímenes de funcionamiento
Velocidad característica (c*)
J. M. Tizón
Eficiencia de combustión
El parámetro de velocidad característica (se nombra “ce-estrella”) se puede utilizar para comparar diferentes diseños,
configuraciones y propulsantes en motores cohete, fundamentalmente, químicos. Su definición es:
Básicamente, es función de las características del propulsante y el diseño de la cámara de combustión. Su evaluación
experimental permite comparar diferentes diseños y cuantificar la eficiencia de los procesos de combustión con el valor
idealizado. Considerando evolución isentrópica hasta la garganta y condiciones uniformes en esta:
El valor idealizado del parámetro depende de la relación de calores específicos, , del peso molecular medio de los
productos, M, y de la temperatura de cámara, Tc, lo que inmediatamente sugiere que el nivel de consecución de este
valor está relacionado con el grado de liberación de energía alcanzado (lo completo que haya sido el proceso de
combustión).
*  c gc P A m
* **
* **  
    c g c g ccc g
g g g cg
P A P A RTRT P Tc P A m
V A P P TRT A
 
* c
RT
c


  
 
1
2 12,
1
R


 


 
      
M
Relación de presiones (p/pc)
J. M. Tizón
Número de Mach
Es conveniente expresar las variables fluidas de interés en función de la relación de presiones a lo largo de la tobera, en
vez de en funcióndel número de Mach, puesto que las actuaciones del motor cohete deben relacionarse con la presión
ambiente que caracteriza la operativa del motor.
     
1 1 12 2
1
11 1
2

    

   

           
c
c c
P M M P P P P
P
Velocidad del fluido
Una sencilla manipulación algebraica conduce a la expresión de la velocidad del fluido en cada sección
y recordando la expresión del parámetro de velocidad característica:
    12212 12 1 1
 



         p c p p c c c cc T c T V V c T T T V RT P P
     
  12 1* * 1  

    
c
c
RT
c V c P P
Relación de áreas 
J. M. Tizón
Relación de áreas
Nuevamente en el contexto de motores cohete se expresa la relación de áreas de la tobera en función de la relación de
presiones de la forma
 
    
 
 
1
2 1
1 12
1
2,
11


  


  





  
        
g
c c
A
A p p P P
Relación de áreas: Cálculo
J. M. Tizón
 
    1 12 1 1
  






 
  
g
c c
A
A P P P P
Relación de presiones
Como no es posible obtener una solución analítica de la relación
de presiones para un valor dado de la relación de áreas (lo que
implicaría una posición determinada en la geometría de la tobera)
es necesario recurrir a procedimientos aproximados o iterativos en
la solución de la ecuación. Si se busca la solución de la rama
supersónica se puede emplear:
    
0
12
11
0
..........
1

 
 



           
c
c cn n
P P
P P P P
Expresión aproximada
Para relaciones de áreas altas y relación de calores específicos no
muy bajos, el número de Mach de la rama supersónica de la
solución se puede poner como:
     
1 21 2 2; ; ; 1 1gM x x x A A
              
1.3 
Coeficiente de empuje
J. M. Tizón
 
1
2 1
1
s s s a
E
c g c c
p A p pC
p A p p



                  
Empuje adimensional
Para las aplicaciones relacionadas con motores cohete, en las que la presión de funcionamiento de la cámara está
determinada por el sistema de alimentación, en ningún caso por las condiciones de vuelo, es conveniente emplear este
valor junto con un área característica (el área de garganta) para adimensionalizar el empuje.
 c g EE P A C
 
*
   
     
 
 c gs s s a s s s a
E
c g c g c g g c c
P AmV A P PE V A P PC
P A P A c P A A P P
     12 1* 1     s s cV c P P
Dependencia funcional
El coeficiente de empuje es función de la relación de calores específicos, de la
relación de presiones y de la presión ambiente adimensionalizada con la presión de
cámara (obsérvese que la relación de áreas es función de la relación de presiones).
, , 
  
   
  
s a
E
c c
P PC f
P P
Coeficiente de empuje a altura constante (pa/pc fijo)
Al aumentar la relación de áreas disminuye la presión de salida con lo que el
término bajo la raíz cuadrada aumenta monótonamente, mientras que el último
sumando decrece, también monótono.
existiendo la posibilidad de que se alcance un máximo intermedio.
Coeficiente de empuje
J. M. Tizón
   
12 1
1

 

            
s a
E s c
c c
P PC P P
P P
 
 
 
 
0
0 0
   
     
 
  
   
   
     



s s s a
s s s a s s
s s s s s s s s s
s s a s a
E mV A P P
E m V A P P A P
m V A P A V V P
E A P P P P
Relación de áreas óptima a altura constante
La búsqueda de un extremo en la ecuación del coeficiente de empuje respecto
a la relación de áreas puede ser una tarea ardua que se puede abordar mejor
a partir de la expresión original del empuje:
Impulso específico
J. M. Tizón
Expresión en función del coeficiente de empuje
De las definiciones hechas
se deduce fácilmente
 spI E m E c gC E P A
*sp EI c C
 
*

 

 cc g
RT
c P A m
     
12 1
1

 
 
               
c s a
sp s c
c c
RT P PI P P
P P
   
   
1
11
2 1
1 2 1
1



 

 



         
sp s c a c
s c
c
s c s c
I P P P P
P P
RT P P P P
Coeficiente de empuje
J. M. Tizón
 
0
2 2
1aE p
C 




  
   
12 1
1

 

            
s a
E s c
c c
P PC P P
P P
Actuaciones: Impulso (altura)
J. M. Tizón
Impulso total
El impulso total proporcionado por el motor es el incremento global de cantidad de movimiento experimentado por el vehículo 
durante la fase propulsada de vuelo.
IMPULSO TOTAL
J. M. Tizón
b
T t
I Edt 
2
1
    
b b
h
T c g E c g Et t h
dhI Edt P A C dt P A C
V
Situación óptima
La tobera permanece adaptada a cada altura de funcionamiento (por ejemplo,
corresponde con una situación idealizada para LAR, Linear Aerospike Rocket)
Impulso total máximo con geometría fija
La relación de áreas óptima será un valor intermedio entre los casos extremos
de adaptar la tobera al inicio o al final de la fase propulsada.
Consideremos que el vuelo tiene lugar entra dos alturas h1 y h2 a una
velocidad ascensional V(t) conocida, durante un tiempo tb:
 2 1
bt
h h V t dt  
Impulso total máximo con geometría fija
Introduciendo la definición de coeficiente de empuje
y operando, se obtiene una expresión en la que se define una presión
ambiente ponderada a lo largo de la trayectoria que permite evaluar el impulso
total con una expresión similar a la que se obtendría en operación a la altura
con esa presión ambiente
Impulso Total
J. M. Tizón
   
1
2
1
2 1
1

 

               

h
s a
T c g s ch
c c
P P dhI P A P P
P P V
   
12 1
1

 

               
s a
T c g b s c
c c
P PI P A t P P
P P
   2
1
2 1
2 1
1 ,   
 
b
h
media
a a a media bh
b t
V dhP P dt P h V h h t
t h h V
Impulso total máximo con geometría fija
La expresión presenta un máximo relativo cuando la relación de áreas “adapta” la tobera a la altura definida por la “presión 
ambiente media”:
En esta situación el valor del Impulso total máximo es:
Impulso Total Óptimo
J. M. Tizón
0    T s aI P P
     
   
12 1
1





      

a
T c g b a cmaximo
T bh h pmaximo
I P A t P P
I E t
Observaciones
• La expresión define, únicamente, la presión de salida del sistema. No
se define el valor de la relación de áreas.
• La relación de áreas quedará fijada una vez que se haya
seleccionado una presión de cámara, atendiendo a otros criterios
(estructurales, operacionales, etc.)
• Al inicio de la fase propulsada, la tobera funciona sobre-expandida y
los problemas derivados del posible desprendimiento no han sido
tenidos en cuenta en esta análisis.
Atmósfera Standart
J. M. Tizón
 
 
3
0
0
3
0
0
0 0
1
0 0
11000
6.5 10
288.15
101325
1.225





 


 

  



 


z
g R
z z
g R
z z
H
K m
T K
P Pa
kg m
T T z
P P T T
T T
 
 
11000
11000
3
11000
11000
11000
11000
11000
11000
11000 25000
0
216.65
22552
0.3629


 
 
 
 







z
g z RT
z
g z RT
z
H
K m
T K
P Pa
kg m
T T
P P e
e
 
 
 
3
25000
25000
3
25000
25000
25000 25000
1
25000 25000
25000 47000
3 10
216.65
2481
0.0399
25000



 


 
 
 



  


z
g RT
z z
g RT
z z
H
K m
T K
P Pa
kg m
T T z
P P T T
T T
H (km) T0 P0 0  
0.00 288.15 101325.0 1.2250 1.000 1.000
1.00 281.65 89874.6 1.1116 0.977 0.887
2.00 275.15 79495.2 1.0065 0.955 0.785
3.00 268.65 70108.5 0.9091 0.932 0.692
4.00 262.15 61640.2 0.8191 0.910 0.608
5.00 255.65 54019.9 0.7361 0.887 0.533
6.00 249.15 47181.0 0.6597 0.865 0.466
7.00 242.65 41060.7 0.5895 0.842 0.405
8.00 236.15 35599.8 0.5252 0.820 0.351
9.00 229.65 30742.5 0.4663 0.797 0.303
10.00 223.15 26436.3 0.4127 0.774 0.261
11.00 216.65 22632.1 0.3639 0.752 0.223
12.00 216.65 19330.4 0.31080.752 0.191
13.00 216.65 16510.4 0.2655 0.752 0.163
14.00 216.65 14101.8 0.2268 0.752 0.139
15.00 216.65 12044.6 0.1937 0.752 0.119
Atmosfera isoterma
Con el objetivo de emplear expresiones cerradas, en primera aproximación, se puede
emplear el modelo de atmosfera isoterma en la que la distribución de presiones se
obtiene fácilmente de la distribución hidrostática:
(con errores relativos puntualmente importantes ~15%)
La presión ambiente promedio es:
Con los siguientes valores límite
Perfiles verticales
La estandarización de los perfiles verticales de presión, densidad y temperatura admite varias hipótesis y enfoques dando
lugar a perfiles verticales adecuados para usos diversos. Habitualmente, se estipula el perfil de temperaturas en función
de las observaciones y el de presión se calcula mediante relaciones obtenidas de la Hidrostática (mientras que la densidad
se supone que responde a la ecuación de los gases ideales). Este proceder da lugar a la definición por tramos de los
perfiles que obtienen alto nivel de fidelidad.
Modelos de Atmósfera
J. M. Tizón
0
0 0 0 0, , 6898
h h
a hP P e h RT g h m

  
2
0
2 1
1
0 21
1 1
2 1 1
1
h h h
a h h h
h PP Pe dh P
h h P


 
     

 
 
1 0 2 1 2 1 0
1 2 1 0 2 1 0
,
1 ,a
P h h h h h h
P
P h h h h h h
  
     


Recapitulación
J. M. Tizón
Repaso de termodinámica
Evolución isotrópica
Variables de remanso y críticas
Ecuaciones del gasto
Modelo de motor cohete ideal
Aplicación y utilidad.
Modelo de cámara + tobera.
Cámara de combustión
Combustión completa.
Composición de equilibrio.
Tobera
Hipótesis. Ecuaciones. Solución.
Flujo de un fluido ideal en conductos de sección variable.
Regímenes de funcionamiento de toberas.
Relaciones con el número de Mach y relación de presiones.
Definiciones
Parámetro de velocidad característica
Coeficientes de empuje
Impulso especifico
Actuaciones de toberas en función de la altura
Optimización de la relación de áreas
*sp EI c C
   
12 1
1

 

            
s a
E s c
c c
P PC P P
P P
 
    1 12 1 1
  






 
  
g
c c
A
A p p P P
*  c gc P A m
 c g EE P A C
     12 1* 1      cV c P P
1 1211
2
 
  

                  
c c cP T M
P T