Control 5 - Gibbons 55-61

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Trinidad Letelier R.
Control 5
Gibbons 55-61
Juegos dinámicos con información competa
Hay información completa y perfecta -> En cada momento del juego, el jugador a quien le corresponde decidir conoce la historia completa de todas las decisiones tomadas hasta ese momento.
EL tema central de todo juego dinámico es la credibilidad.
Ejemplo granada -> En primer lugar el jugador 1 escoge entre darle 1.000 pesetas al jugador 2 o no darle nada. En segundo lugar, el jugador 2 observa la decisión del jugador 1 y decide si hacer estallar o no una granada que los matara a los dos. Supongamos que el jugador 2 amenaza con hacer estallar la granada a no ser que el jugador 1 le page las 1.000 pesetas. Si el jugador 1 cree que puede cumplirse la amenaza, su mejor respuesta es pagar las 1.000 pesetas. Pero el jugador 1 no debería creerse una
Amenaza, porque si al jugador 2 se le diera la oportunidad de ejecutar la amenaza, escogería no hacerlo. Entonces el jugador 1 no debería pagar nada el jugador 2. 
Un juego dinámico con información completa puede tener muchos equilibrios de Nash, pero algunos de ellos pueden incluir amenazas o promesas que nos son creíbles. Los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos son aquellos que pasan la prueba de credibilidad.
1. Juegos dinámicos con información completa y perfecta
Hay información completa y perfecta de lo que hacen los jugadores, el jugador 1 decide primero, acto seguido el jugador 2 observa la decisión del jugador 1 y finalmente el jugador 2 toma su decisión.
A. Teoría: Inducción hacia atrás
El juego de la granada es un representante de este tipo donde:
1. El jugador 1 escoge una acción del conjunto factible .
2. El jugador 2 observa y escoge una acción del conjunto factible .
3. Las ganancias son y .
Las características claves del juego dinámico con información completa y perfecta son:
· Las decisiones se toman de manera sucesiva
· Todas las decisiones anteriores son conocidas antes de tomar la decisión siguiente.
· Los pay-off de los jugadores para cada combinación posible de jugadas son información del dominio público. 
Resolvemos el juego de la siguiente forma:
Cuando al jugador 2 le toque decidir, se enfrentara a lo siguiente, dado que el 1 opto 
Como la respuesta del jugador 2 depende de lo que haga el jugador 1 su solución será , la que será la mejor respuesta (reacción) a la acción del jugador 1. Como el jugador 1 puede resolver el problema de la maximización del jugador 2 entonces el problema de 1 en primera etapa es
El jugador 1 tiene una solución única , entonces el resultado por inducción hacia atrás de este juego es . Este resultado ignora las amenazas no creíbles, es decir, el jugador 1 predice que el jugador 2 responderá óptimamente a cualquier acción que 1 pueda escoger jugando ; el jugador 1 ignora las amenazas del jugador 2 que no favorezcan a 2 cuando el juego llegue a la segunda etapa. 
Supuestos de racionalidad inherentes en los argumentos de inducción hacia atrás.
Para esto consideramos el siguiente juego de tres etapas en la que el jugador 1 decide 2 veces:
1. Jugador 1 elige L o R donde L finaliza el juego con ganancias de 2 para el jugador 1 y 0 para el jugador 2.
2. Jugador 2 observa la elección de 1. Si 1 elige R entonces 2 elige L’ o R’, donde L’ finaliza el juego con ganancias de 1 para ambos jugadores.
3. El jugador 1 observa la elección de 2 (recuerda el paso 1). Si las decisiones anteriores fueran R y R’ entonces 1 elige L’’ o R’’ finalizando con ambas el juego, L’’ con ganancias de 3 para el jugador 1 y 0 para el jugador 2 y R’’ con ganancias de 0 y 2 respectivamente. 
Arriba ganancias de jugador 1 y abajo ganancias de jugador 2.
Para hacer inducción hacia atrás de este juego tenemos que partir por la tercera etapa (segunda elección de 1), acá el jugador 1 se enfrenta a elegir entre una ganancia de 3 (L’’) o uno de 0 (R’’); de manera que L’’ es el óptimo. En la segunda etapa, el jugador 2 anticipa que si se llega a la tercera etapa el jugador 1 elegirá L’’, lo que lo dejaría con una ganancia 0, entonces el jugador 2 elige L’ para de esta manera tener una ganancia de 1. En la primera etapa el jugador 1 anticipa que si el juego llega a la segunda etapa el 2 elegirá L’, lo que le da una ganancia de 1, entonces en la primera etapa, elige L que le genera ganancia de 2 que es mejor que 1 (se llega por R). L es el óptimo.
Aún cuando el uso de la inducción hacia atrás dice que el juego se acaba en la primera etapa, lo interesante es lo que dice sobre que pasaría si el juego no terminara en la primera etapa. Por ejemplo, en la segunda etapa cuando el jugador 2 anticipa que si se llega a la tercera el 1 decidirá L’’, 2 está suponiendo que 1 es racional, lo que parece inconsistente porque 2 solo puede elegir si el 1 se desvía del resultado obtenido por inducción hacia atrás, entonces 1 no estaría siendo racional. Pero no es así porque si el 1 elige R en la primera entonces no puede ser información de dominio público que los dos jugadores sean racionales, pero existen razones para que el 2 piense que el 1 es racional. 
Opciones: 
· Información del dominio público que el jugador 1 es racional pero que el 2 no lo sea.
· Información del dominio público que el jugador 2 es racional pero que el 1 no lo sea.
Aunque puede ser más razonable asumir que el 1 lo hizo porque era irracional.