Modelos Ejercicios de Clases

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Modelos de Programación Matemática 
Problema 1 
Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de LCD y Plasmas que debe 
producir en una de sus plantas este mes. La investigación de mercado indica que se pueden vender a 
lo más 40 unidades de LCDs y 10 Plasmas en cada mes. El número máximo de horas de trabajo 
disponibles es de 500 por mes; un televisor LCD requiere de 20 horas de trabajo y un Plasma 
requiere 10 horas de trabajo. Cada unidad de LCD vendida produce una ganancia (ingreso – costo) de 
$120.000 y cada unidad de Plasma, una ganancia de $80.000. Un distribuidor está de acuerdo en 
comprar todos los televisores producidos si los números no exceden los máximos indicados por la 
investigación de mercado. 
 
Problema 2 
Suponga que usted es un administrador de un fundo de 150 hectáreas y debe programar su 
producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz y papas. El cuadro 1 
muestra las horas hombre por hectárea y kilos de fertilizante por hectárea que se necesitan para cada 
producto durante la temporada, y sus respectivas disponibilidades. 
Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresados en términos de miles de pesos por 
hectárea) son 275, 440 y 525 para el trigo, maíz y papas respectivamente. 
Insumo Trigo Maíz Papas Disponibilidad total 
Mano de obra 
(HH/ha) 
15 25 85 3.000 HH 
Fertilizante (Kg/ha) 70 80 20 11.000 Kg 
 
Universidad de los Andes 
Facultad de ciencias económicas y empresariales 
Optimización 
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Problema 3 
 
El consejo directivo de la asociación de colegios Santiago Schools ha decidido cerrar uno 
de sus colegios de educación media (que tiene los cursos 1ero, 2ndo, 3ero y 4to medio) al 
terminar este año escolar y reasignar a todos los estudiantes de estos cursos a otros 3 
nuevos colegios de educación media que posee la asociación. 
La asociación proporciona autobuses de transporte para todos los estudiantes de educación 
media que tengan que viajar más de 2 km, por lo que el consejo necesita un plan para 
reasignar a los estudiantes que minimice el costo total del transporte en bus escolar. El 
costo anual por estudiante transportado desde cada una de las 6 áreas residenciales de la 
ciudad a cada uno de los 3 nuevos colegios se muestra en la siguiente tabla, donde 0 indica 
que no se requiere transporte y un guión (“-”) indica que esa ruta es infactible. La tabla 
también muestra la cantidad de alumnos que residen en cada área y la capacidad de cada 
colegio. 
 
 Costo anual de transporte 
por estudiante (dólares/año) 
Área 
N° de 
estudiantes 
Colegio 
1 
Colegio 
2 
Colegio 
3 
1 450 300 0 700 
2 600 - 400 500 
3 550 600 300 200 
4 350 200 500 - 
5 500 0 - 400 
6 450 500 300 0 
 capacidad 600 1000 1500 
 
Usted está contratado como un consultor de ciencia administrativa para ayudar al consejo 
directivo a determinar cuántos estudiantes de cada área deben asignarse a cada colegio. 
Formule un modelo de optimización que le permita resolver el problema, puede definir 
parámetros para referirse a la tabla de una forma más genérica. 
 
 
 
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Problema 4 (Variables Binarias) 
ICOM Brokers SA es una corredora de bolsa con muchos clientes en el mundo, la 
compañía una vez al año organiza una conferencia en donde invita a sus clientes 
(inversionistas) más importantes y a las principales empresas de las bolsas 
latinoamericanas. El objetivo de la conferencia es que los inversionistas puedan reunirse 
con las empresas para evaluar nuevas oportunidades de inversión. 
A cada inversionista se le pasa un formulario en donde se inscribe con las empresas que 
desea reunirse durante los módulos de la conferencia, no obstante debido a la alta demanda 
por ciertas empresas no todos los inversionistas pueden juntarse con todas las empresas que 
desean. 
Cada empresa tiene una oficina asignada en donde sólo puede recibir a un inversionista por 
módulo de tiempo, del mismo modo un inversionista no puede juntarse con más de una 
empresa en un mismo módulo. 
Tenga en cuenta también que durante toda la conferencia un inversionista no se junta más 
de una vez con la misma empresa y que a ningún inversionista se le asignan reuniones con 
empresas que no haya solicitado. 
Considere que a la conferencia asisten N inversionistas, M empresas para invertir y 
 
que la duración de la conferencia es de L módulos. 
Usted conoce con qué empresas quiere juntarse cada inversionista, dicha decisión 
corresponde al parámetro (dato) , donde si el inversionista i solicita juntarse con 
la empresa j y 0 en caso contrario. 
Elabore un modelo de optimización que permita armar las agendas de la forma más 
eficiente posible minimizando las reuniones solicitadas insatisfechas. 
HINTS: 
 Utilice como única variable de decisión la variable binaria , donde: 
 si el inversionista i es recibido por la empresa j en el módulo k y 0 en caso 
contrario, donde { } { } { } 
 Para su función objetivo minimice el número de reuniones solicitadas insatisfechas, 
puede serle más fácil ver cómo sería si hubiera sólo un módulo ( ) para 
después generalizar con un número genérico ( ). 
 No necesita ningún parámetro adicional a los que se muestran en el enunciado. 
 Utilice notación de sumatorias. 
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Problema 5 
ENAP produce 3 tipos de gasolina (1,2,3). Cada tipo se obtiene a partir de la mezcla de 3 
tipos de petróleo crudo (1,2,3). El precio de venta por barril de gasolina y el precio de 
compra por barril de crudo se proporcionan en las siguientes tablas (valores en dólares): 
 
Crudo Precio de compra Gasolina Precio de venta 
1 $45 1 $70 
2 $35 2 $60 
3 $25 3 $50 
 
ENAP tiene la capacidad de comprar al día hasta 5000 barriles de cada tipo de crudo por 
día. Los 3 tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en el contenido de azufre. El 
crudo mezclado para producir la gasolina 1 debe tener un índice de octano promedio de por 
lo menos 10 y contener a lo más 1% de azufre; en caso de la gasolina 2 debe tener un 
octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre; para la gasolina 3 estas 
cantidades son 6 y 1% respectivamente. 
El índice de octano y el contenido de azufre de los 3 tipos de crudo se presentan en la 
siguiente Tabla: 
Crudo Octano Azufre (%) 
1 12 0.5 
2 6 2.0 
3 8 3.0 
 
Cuesta 4 dólares la transformación de un barril de crudo a un barril de gasolina, y la 
refinería de ENAP tiene capacidad para refinar hasta 14.000 barriles de gasolina. 
Los clientes de ENAP requieren (sí o sí) las siguientes cantidades de cada gasolina por día: 
3.000 barriles diarios de gasolina tipo 1; 2.000 del tipo 2 y 1.000 del tipo 3. 
La compañía considera que es obligación cumplir con esta demanda. Asimismo tiene la 
opción de hacer marketing para promover sus productos. Cada dólar que gasta diariamente 
en anunciar un tipo específico de gasolina incrementa la demanda diaria por ese tipo en 10 
barriles. 
Formule un modelo de optimización que le permita a ENAP maximizar sus utilidades 
diarias. 
 
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Problema 6 
 
Usted debe definir las dimensiones de una caja de cartón de 1 m3 de volumen, de modo que 
su costo sea mínimo. Para eso, debe emplear el diseño básico dado en la Figura 1 
El costo de cada cm3 de cartón es c y el costo de cada cm lineal de pegamento es p. 
Considere que al pegar dos lados, no se necesita pestaña y que se debe aplicar el pegamento 
en ambos lados. 
 
 
Problema 7 
La compañía SAT hace publicidad en telenovelas y programas de fútbol. Cada comercial en 
una telenovela cuesta 50.000um. y cada comercial en un programa de fútbol 100.000um. Si 
se compran S comerciales en telenovelas serán vistos por 5√s hombres y por 20√s 
mujeres (los datos vienen en millones de espectadores). 
 
Si se compran F comerciales en programas de fútbol, serán vistos por 17√f hombres y por 
7√f mujeres.SAT quiere que por lo menos 40 millones de hombres y por lo menos 60 
millones de mujeres vean sus comerciales. Formule un modelo que minimice el costo de 
SAT para alcanzar suficientes espectadores. 
 
 
 
Problema 8 
Un terreno de 10 hectáreas en Santiago va a ser remodelado, mediante la construcción de 
viviendas para familias de ingresos bajos y medios, conforme a un plan de construcción de 
viviendas para cada tipo de familia. Del primer tipo de vivienda se puede construir un 
máximo de 20 viviendas por hectárea y del segundo tipo solo 15 viviendas por hectárea. 
Los costos unitarios de estas viviendas son de 13 y 18 millones de pesos, respectivamente. 
Por otro lado, por consideraciones sociales, se debe construir a lo menos 60 viviendas 
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económicas y no más de 100, de las mismas, así como, a lo menos 30 y no más de 70 de 
nivel medio. La demanda máxima agregada de viviendas de ambos tipos es de 150 
unidades. El presupuesto para llevar a cabo esta iniciativa es de 2 mil millones de pesos. 
Por último, por razones de urbanización, la cantidad de viviendas económicas debe ser a lo 
menos superior en 50 unidades a la mitad del total de viviendas de nivel medio. 
 Formule el modelo de optimización que permita minimizar el costo total del 
programa. 
 
Problema 9 
Una empresa de lácteos quiere lanzar un nuevo tipo de leche al mercado. Dicho 
producto está dirigido a niños de entre 1 y 3 años de edad. Para la compañía no 
es tan complejo fabricar el nuevo tipo de leche ya que ésta se pueden elaborar a 
partir de la mezcla de cuatro tipos de leche que actualmente fabrica la 
compañía, estos tipos de leche son: Super Calcio, Huesillos, Entera y 
Descremada. 
 
Los costos de elaboración, por litro de leche, para Super Calcio, Huesillos, 
Entera y Descremada son de $95, $90, $60 y $77 respectivamente. Asuma que 
no hay costos adicionales en mezclar las leches. 
 
El nuevo tipo de leche, dado que está dirigido a niños pequeños, debe satisfacer 
exigentes requerimientos del Ministerio de Salud, donde se debe cumplir que 
en cada litro de leche debe haber al menos 1,15 gr de Calcio y 0,88 gr de 
Fósforo, así también, un litro de su mezcla no puede superar los 0,7 gr de Sodio 
ni los 15 gr de Grasa. Así también se le pide que por cada gramo de grasa haya 
al menos 0,2 gr de Calcio para que la leche esté más equilibrada. 
 
La cantidad de nutrientes que contiene cada tipo de leche se muestran en la 
tabla adjunta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Insumo 
Tipo de Leche 
Super 
Calcio 
Huesillos Entera Descremada 
Calcio 
(g/litro) 
1,28 1,00 1,18 1,12 
Fósforo 
(g/litro) 
1,03 0,90 0,85 0,68 
Sodio 
(g/litro) 
0,48 0,90 0,61 0,52 
Grasa 
(g/litro) 
20 17 31 1 
 
 
 Formule un modelo de optimización que le permita a la compañía 
determinar cómo elaborar el nuevo tipo leche de modo que su costo por 
litro sea lo más económico posible, satisfaciendo los requerimientos del 
ministerio. 
 
Problema 10 
La universidad necesita comprar 1.100 computadores y está cotizando con tres 
proveedores. El proveedor 1 cobra US$500 por computador, más un costo de 
envío de $5.000 (del envío completo, no por computador). El proveedor 2 cobra 
$350 por computador, más un costo de envío de $4.000. El tercer proveedor 
cobra $600 por computador, más un costo de envío de $3.000. El proveedor 1 le 
ha ofrecido a la universidad un máximo de 900 computadores, mientras que el 
segundo proveedor un máximo de 500. El proveedor 3 puede venderle cualquier 
cantidad de computadores a la universidad. Además, la compra mínima que 
acepta cada uno de estos proveedores es 200 computadores. 
Lamentablemente, el sistema operativo de los 1.100 computadores debe ser 
compatible, y el tercer proveedor vende computadores que no son compatibles 
con los que vende el proveedor 1 y el proveedor 2. 
Determine cómo minimizar el costo de la compra de los computadores. 
 
 
 
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Problema 11 
 
La línea área de carga AVANT dispone de un solo avión con tres compartimientos. La 
capacidad máxima, en peso y volumen, de cada compartimiento se presenta en la 
Tabla 1. 
Para mantener el balance del avión, es necesario que la relación entre el peso de la 
carga en cada compartimiento y la capacidad máxima (en peso) de dicho 
compartimiento, sea la misma en los 3 compartimientos. 
 
AVANT tiene solicitudes para transportar 4 cargas con el mismo destino y con 
características específicas, las que se presentan en la Tabla 2. La empresa puede 
escoger transportar sólo parte de cada una de estas cargas, y desea determinar cuánto 
debe aceptar de cada una, y cómo debe cargar el avión, de modo de maximizar el 
beneficio neto derivado del vuelo. 
Formule un modelo de Programación Lineal que permita resolver este problema (note 
que una carga en particular puede ser fraccionada y transportada en dos o más 
compartimientos). 
 
Tabla 1. Capacidades por compartimento 
 
Compartimento Peso (tons) Volumen (pies3) 
1 (adelante) 12 7.000 
2 (centro) 18 9.000 
3 (atrás) 10 5.000 
 
Tabla 2. Solicitudes de transporte 
N° Solicitud Peso (tons) Densidad 
(pies3/tons) 
Beneficio Neto 
(MMUS$) 
1 20 500 320 
2 16 700 400 
3 25 600 360 
4 12 400 290 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Problema 12 
 
El famoso ladrón de joyas conocido como El Fantasma ha entrado a robar al 
Museo del Louvre en París, el ladrón sabe que en ese museo, en la sección de 
joyas, existen n joyas diferentes, donde cada una de ellas tiene un peso conocido 
de (en kilos) y un valor también conocido de (en dólares), con i=1,2,…,n. 
Considere que las joyas son indivisibles. 
 
El Fantasma dispone de un gran saco en donde colocará las joyas robadas, 
dicho saco soporta un peso máximo de kilos y su objetivo es llevarse el 
mayor botín posible en dicho saco. 
 
a) Formule un modelo de optimización que le permita a El Fantasma llenar el 
saco de tal manera que el valor de su contenido (botín) sea máximo sin que 
éste se rompa. 
 
b) Suponga que el Fantasma ingresó al museo con dos secuaces con sus 
respectivos sacos, en donde el primero de ellos puede cargar como máximo 
 kilos y el segundo puede cargar como máximo kilos, asumiendo que el 
Fantasma puede cargar como máximo kilos, formule un modelo que le 
permita maximizar el valor total del botín sin sobrepasar los pesos máximos 
que puede transportar cada ladrón. 
 
c) Considere que El Fantasma estaría interesado en robar La Pantera Rosa 
(esta joya no está considerada en las n iniciales), la cual tiene un peso y 
valor de K kilos e Y dólares respectivamente, ambos valores conocidos. 
Ahora bien, dicha joya es tan delicada que si ésta se coloca en un saco, no 
puede echarse ningún otro objeto más a dicho saco. Asumiendo que todos los 
objetos son indivisibles y que las capacidades máximas de los sacos de El 
Fantasma y sus secuaces son de y kilos respectivamente, formule 
un modelo para determinar cómo cargar los tres sacos para así maximizar el 
valor del botín.