Guía de Ejercicios Resueltos Métodos de Optimización

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Problemas Complementarios de 
Optimización Lineal para la Toma de Decisiones 
 
 
 
Autor: Marcos Singer 
 
Escuela de Administración 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
 
Agosto de 2007 
 
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Índice 
I.- Modelación Básica ........................................................................................................... 3 
43 Ejercicios Resueltos 
II.- Resolución Gráfica de Problemas............................................................................... 69 
33 Ejercicios Resueltos 
III.- Estrategia, Álgebra y Geometría............................................................................. 143 
5 Ejercicios Resueltos 
IV.- Modelación Indexada ............................................................................................... 152 
34 Ejercicios Resueltos 
V.- Geometría Vectorial ................................................................................................... 205 
17 Ejercicios Resueltos 
VI.- Análisis Envolvente de Datos................................................................................... 238 
2 Ejercicios Resueltos 
VII. Geometría del Programa Lineal.............................................................................. 241 
16 Ejercicios Resueltos 
VIII. El Método Simplex.................................................................................................. 262 
34 ejercicios Resueltos 
 
 
 
 
 
 
 
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I. Modelación Básica 
 
Ejercicio 1 
 
 Una empresa de transporte cuenta con tres camiones de dos toneladas de capacidad para 
repartir productos desde un centro de distribución a tres centros de consumo. Cada centro de 
consumo tiene distintos requerimientos mínimos y máximos de productos. La empresa está obligada 
a transportar al menos trescientas toneladas de productos al mes desde el centro de distribución a los 
de consumo. Existen tres tipos de productos, los que poseen características similares en cuanto a 
costo, utilidades, peso y demanda. 
a) ¿Cuáles son las variables de decisión de la empresa? 
b) Describa verbalmente dos posibles funciones objetivo. 
c) Describa verbalmente tres restricciones. 
d) Identifique tres parámetros del problema. 
Solución Ejercicio 1 
 
a) Las variables de decisión son la cantidad de producto a transportar a cada centro de 
 consumo. 
b) Posibles funciones objetivo: 
 
• Maximizar utilidades de venta de productos, 
• Minimizar la demanda insatisfecha. 
c) Posibles restricciones: 
 
• El peso que transporta cada camión debe ser menor o igual a la capacidad del camión. 
• La cantidad transportada por los tres camiones debe ser mayor o igual a trescientas 
toneladas. 
• La cantidad transportada a cada centro debe ser mayor o igual a sus requerimientos 
mínimos. 
d) Parámetros del problema: capacidad de transporte de cada camión, demanda de cada 
 centro de consumo, costos asociados al transporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 2 
 
 Los problemas de planificación de recursos consisten en determinar el “mix” de producción 
o venta que maximiza la utilidad, sujeto a la disponibilidad de recursos limitados. Una cadena de 
producción es en serie cuando cada una de las actividades involucradas debe efectuarse de manera 
secuencial, tal como lo sugiere la parte izquierda de la Ilustración 1. Una cadena de producción es 
en paralelo cuando existen líneas de producción independientes, por lo cual pueden 
simultáneamente destinarse a dos líneas de trabajo distintas, tal como lo describe la parte derecha de 
la ilustración. 
Producto A A
B
C
A
B
C
A
B
C
Recursos en Serie
Producto B
Producto C
Producto A A
B
C
Recursos en Paralelo
Producto B
Producto C
Producto A A
B
C
Producto B
Producto C
R
ecurso 1
R
ecurso 2
R
ecurso 3
R
ecurso 1
R
ecurso 2
 
Ilustración 1: Recursos en Serie o en Paralelo 
 El siguiente problema muestra la diferencia entre ambas definiciones. Una fábrica que 
elabora tres tipos de teléfonos: celulares, inalámbricos y fijos. Las utilidades de los teléfonos son de 
$50, $20 y $25 respectivamente. Las máquinas 1, 2 y 3 pueden trabajar un máximo de 10 horas, 20 
horas y 22 horas diarias. Su productividad, expresada en unidades por hora, se muestra en la Tabla 
1. 
Tabla 1: Productividad de las Máquinas 
 Celulares Fijos Inalámbricos 
Máquina 1 9 3 5 
Máquina 2 5 4 1 
Máquina 3 3 1 2 
a) Formule el programa lineal de maximización de la utilidad si para producir un teléfono 
 éste debe pasar en serie por las tres máquinas. 
b) Formule el programa lineal si la producción se puede realizar en cualquiera de las tres 
 máquinas. 
 
 
 
 
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Solución Ejercicio 2 
a) Variables de decisión: 
 c : números de teléfonos celulares a producir. 
 y: números de teléfonos inalámbricos a producir. 
 f: números de teléfonos fijos a producir. 
 
Maximizar: z = fyc 252050 ++ 
 
Sujeto a: 
 
 10
539
≤++
yfc
 
 20
45
≤++ yfc 
 22
23
≤++
yfc 
 c, y, f ≥ 0 
 
b) El número de decisiones aumenta pues se debe determinar en cuál máquina producir qué 
 modelo de teléfono. Las variables de decisión son: 
ci : números de teléfonos celulares a producir en la máquina i 
yi : números de teléfonos inalámbricos a producir en la máquina i 
fi : números de teléfonos fijos a producir en la máquina i 
i : 1, 2, 3. 
Maximizar: z = ∑∑∑
===
⋅+⋅+⋅
3
1
3
1
3
1
252050
i
i
i
i
i
i fyc 
Sujeto a: 
10
539
111 ≤++
yfc
 
20
45 2
22 ≤++ yfc 
22
23
3
3
3 ≤++
yfc 
0,, ≥iii fyc 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 3 
 
 Las fuerzas aliadas de EE.UU. e Inglaterra creen que mientras mayor sea la presencia de sus 
tropas en suelo de Irak, menor es la probabilidad de combate. En total cuentan con 50 vehículos de 
transporte. Debido al equipamiento de los soldados, cada vehículo tiene la capacidad de transportar 
a 15 soldados norteamericanos o 20 soldados ingleses o una combinación lineal de ambos. Por 
motivos de organización, por cada 5 soldados norteamericanos no puede haber más de 2 soldados 
ingleses. Los primeros representan un costo unitario de $10, en tanto los segundos $8. Cada país 
debe financiar su contingente. EE.UU. dispone de un presupuesto de $800.000, que es cuatro veces 
el de Inglaterra. Modele el problema si el objetivo es minimizar la probabilidad de combate, y que 
todos los soldados queden efectivamente transportados por uno de los vehículos. 
 
Solución Ejercicio 3: 
Variables de decisión: 
 n: número de soldados Norteamericanos a movilizar 
 i : número de soldados Ingleses a movilizar 
Maximizar: z = n + i 
 
Sujeto a: 
 n / 15 + i / 20 ≤ 50 capacidad de vehículos 
 2 n ≥ 5i motivos de organización 
 10 n ≤ 800.000 presupuesto EE.UU. 
 8 i ≤ 200.000 presupuesto Inglaterra 
 n, i ≥ 0 no negatividad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 4 
 
 Un casino necesita $10.000.000 en fichas al mes. Las fichas vienen en 3 formatos, 
$5.000, $10.000 y $50.000, con un costo de $500, $800 y $3.000 respectivamente. Además se sabe 
que se pueden almacenar sólo 1.000 fichas, de las cuales como máximo 100 pueden ser de $50.000 
y 400 de $10.000. Cada 2 fichas de $5.000 debe tener al menos 3 fichas de $10.000. ¿Cuántas 
fichas de cada tipo debe tener el casino si desea minimizar el costo asociado? 
 
Solución Ejercicio 4 
Variables de decisión: 
 c : número de fichas de $5.000 a comprar. 
 d : número de fichas de $10.000 a comprar. 
 t : número de fichas de $50.000 a comprar. 
Minimizar: z = 500 c + 800 d + 3.000 t 
 
Sujeto a: 
 5.000 c + 10.000 d + 50.000 t = 10.000.000 
 c + d + t ≤ 1.000 
 t ≤ 100 
 d ≤ 400 
 3 c – 2 d ≤ 0 
 c, t, d ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 5 
 
 Una empresa debe realizar una encuesta masiva y rápida de 10.000 personas durante dos 
horas en el peak de la mañana y otras dos horas en el peak de la tarde, por cinco días. Se puede 
contratar a entrevistadores con y sin experiencia. La diferencia está en el tradeoff (relación detransacción) entre salario y tiempo que se demoran en encuestar. Un experto se demora cinco 
minutos por encuesta y se le debe pagar un 30% más que a los novatos, quienes se demoran ocho 
minutos por encuesta. La política de la empresa exige que por cada cinco expertos hayan al menos 
dos novatos. De los postulantes para el trabajo se encontró la relación mostrada en la Tabla 2 en 
cuanto a las comunas de las cuales provienen: 
Tabla 2: Proveniencia de Encuestadores 
 Las Condes La Reina Providencia Stgo. Centro Otras 
Experto 8% 15% 52% 15% 10% 
Novato 20% 25% 45% 10% - 
 
 Ya que la empresa se ubica en Providencia y realizará la encuesta en Santiago Centro, ha 
decidido que los encuestadores provenientes de estas dos comunas deben ser por lo menos dos 
tercios de los que provengan de las otras. Además, la diferencia entre dichos encuestadores debe ser 
a lo más de cuatro entrevistadores. Dadas algunas estadísticas que muestran el constante atraso para 
llegar al trabajo por parte de residentes de Las Condes, ha decidido que a lo más se contratarán 
cinco personas de dicha comuna. Formule el problema lineal que minimiza los costos. 
 
Solución Ejercicio 5 
 
Variables de decisión: 
 e : cantidad de encuestadores expertos a contratar 
 n : cantidad de encuestadores novatos a contratar 
Minimizar: z = 1,3 e + n 
 
Sujeto a: 
 5 n – 2 e ≥ 0 
 1,35 e + 0,75 n ≥ 0 
 0,37 e + 0,35 n ≤ 4 
 0,08 e + 0,2 n ≤ 5 
 12 e + 7,5 n ≥ 500 
 e , n ≥ 0 
 
 
 
 
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Ejercicio 6 
 
 Un médico atiende 40 horas a la semana en su consulta, a la cual van cuatro tipos de 
pacientes: muy sanos, sanos, enfermos y graves. El precio de la consulta es $5, $10, $30 y $70 
respectivamente y el arriendo de la consulta es de $100 mensuales. El médico es capaz de atender 
en una hora a 6 pacientes muy sanos, 4 pacientes sanos, 2 pacientes enfermos o un paciente grave. 
Su secretaria ha calculado que semanalmente acuden a la consulta 60 pacientes muy sanos, 100 
pacientes sanos, 40 pacientes enfermos y 10 pacientes graves. 
a) Modele este problema como problema lineal, para maximizar los ingresos del doctor. 
b) Describa qué le sucedería a las variables g y m (pacientes graves y muy sanos) si no 
estuvieran restringidas a la demanda máxima ni a ser no negativas. 
 
Solución Ejercicio 6 
 
a) Variables de decisión: 
 
 m : pacientes muy sanos atendidos 
 s : pacientes sanos atendidos 
 e : pacientes enfermos atendidos 
 g : pacientes graves atendidos 
Maximizar: z = 5 m +10 s +30 e +70 g 
 
Sujeto a: 
 
 m/6 +s/4 +e/2 +g ≤ 40 Capacidad de atención del médico 
 m ≤ 60 Pacientes muy sanos 
 s ≤ 100 Pacientes sanos 
 e ≤ 40 Pacientes enfermos 
 g ≤ 10 Pacientes graves 
 m, s, e, g ≥ 0 No negatividad 
 
b) Si se relaja la restricción de no negatividad de los pacientes muy sanos (m ≥ 0) y la de 
demanda de atención de los graves (g ≤ 10), z y g aumentarían y m disminuiría 
indefinidamente. Por ejemplo, si se deja de atender a 6 pacientes muy sanos se tendría una 
hora de capacidad de atención adicional, con la que se podría atender a un paciente grave 
más. Con ello se perdería 5 ⋅ 6 = 30 de utilidad pero obtendría 70 ⋅ 1 =70 de utilidad 
adicional, con lo que la ganancia neta sería de 40. 
 
 
 
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Ejercicio 7 
 
 Una encuesta telefónica necesita contactar 150 señoras (casadas), 120 señores (casados), 
100 adultos solteros de sexo masculino y 110 adultos solteros de sexo femenino. El costo de una 
llamada en la mañana es de $20 y se alcanzan los siguientes resultados: 
• 30% de los llamados en la mañana contactan a una señora. 
• 10% de los llamados en la mañana contactan a un señor. 
• 25% de los llamados en la mañana contactan a un soltero. 
• 35% de los llamados en la mañana contactan a una soltera. 
El costo de una llamada en la tarde es de $50. Los resultados de los llamados en la tarde son los 
siguientes: 
• 30% de los llamados en la tarde contactan a una señora. 
• 30% de los llamados en la tarde contactan a un señor. 
• 20% de los llamados en la tarde contactan a un soltero. 
• 20% de los llamados en la tarde contactan a una soltera. 
Formule el programa lineal que alcanza el objetivo al menor costo. 
Solución Ejercicio 7 
Variables de decisión: 
 
 m : número de llamadas en la mañana 
 t : número de llamadas en la tarde 
 
Minimizar: z = 20 m + 50 t 
 
Sujeto a: 
 
 0,3 m + 0,3 t ≥ 150 
 0,1 m + 0,3 t ≥ 120 
 0,25 m + 0,2 t ≥ 100 
 0,35 m + 0,2 t ≥ 110 
 m, t ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 8 
 
 Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro 
opciones diferentes. El juego tiene tres desenlaces posibles. La Tabla 3 indica la ganancia, o 
pérdida, correspondiente por cada peso depositado en cada una de las cuatro opciones de los tres 
resultados. 
Tabla 3: Ganancia o Pérdida por Resultado y Opción 
Resultado Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4 
A –3 4 –7 15 
B 5 –3 9 4 
C 3 –9 10 –8 
 El jugador tiene un total de $500, que puede jugar sólo una vez. El resultado A tiene un 
30% de probabilidad de ocurrencia, el resultado B un 25% y el resultado C un 45%. Formule el 
problema como un modelo de programación lineal para maximizar la riqueza. 
 
Solución Ejercicio 8 
Variables de decisión: 
 xi = monto de dinero a jugar en la opción i, i = 1, 2, 3, 4. 
 
Maximizar: z = 0,3 · (–3 x1 + 4 x2 – 7 x3 +15 x4) + 0,25 · (5 x1 – 3 x2 – 9 x3 + 4 x4) + 0,45 · (3 x1 – 9 
 x2 – 10 x3 – 8 x4) 
 
Sujeto a: 
 
 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 500 
 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 9 
 
 Un centro de distribución despacha bebidas en envases de medio, uno y dos litros. Se sabe 
que las ventas máximas son de 40 mil unidades de medio litro, 80 mil unidades de un litro y 50 mil 
unidades de dos litros al mes. La capacidad de la flota es de 180.000 litros al mes y no se pueden 
transportar más de 10.000 litros de unidades de litro. Los márgenes unitarios para las unidades de 
medio, uno y dos litros son de $251, $207 y $303 respectivamente. 
a) Formule el problema mediante programación lineal. 
b) ¿Cómo modelaría el hecho que la empresa debe despachar como mínimo un 10% de su 
capacidad? 
c) ¿Cómo queda la función objetivo si la utilidad de las unidades de medio litro es el doble 
que la de dos litros, pero la mitad de la utilidad de las unidades de un litro? 
 
Solución Ejercicio 9 
a) Variables de decisión: 
 m: Unidades de bebidas de medio litro. 
 u: Unidades de bebidas de un litro. 
 d: Unidades de bebidas de dos litros. 
Maximizar: z = 251 m + 207 u + 303 d 
 
Sujeto a: 
 m ≤ 40.000 
 u ≤ 80.000 
 d ≤ 50.000 
 0,5 m + 1 u + 2 d ≤ 180.000 
 u ≤ 10.000 
 m, u, d ≥ 0 
b) Se debe agregar la restricción 0,5 m + 1 u + 2 d ≥ 18.000 
 
c) Maximizar: z = 4 u + 2 m + d 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 10 
 
 Una imprenta produce afiches para cuatro partidos políticos durante la campaña electoral. 
Cada partido tiene sólo un diseño para su afiche. Para imprimir cada diseño, se pueden usar de uno 
a cuatro colores de tinta. La cantidad de tinta (en mililitros) usados para imprimir cada uno de los 
afiches se resume en la Tabla . 
Tabla 4: Requerimiento de Tinta para Afiches 
 Rojo Azul Amarillo Negro 
Liberal 70 140 50 60 
Democrático 0 80 90 100 
Verde 0 10 10 100 
Independiente 0 0 0 50 
 Los costos de trabajo de producir cada afiche depende del número de colores usados: $70 
por el uso de 1, $210 por el uso de 2, $350 por el uso de 3 y $420 por el uso de 4. El costo de la 
tinta por litro es de $7, $21, $35 y $42 para el rojo, azul, amarillo y negro respectivamente. Los 
precios pagados por cada afiche son de $2.800, $2.100, $1.400 y $700 por el partido Liberal, 
Democrático, Verde e Independiente respectivamente. 
 La cantidad de tinta disponible cada día son: 300 litros de tinta roja, 100 litros de tinta azul, 
150 litros de tinta amarilla, y 500 litros de tinta negra. Losnúmeros de afiches requeridos cada día 
por el partido Liberal es a lo menos 300. Los otros partidos quieren cuantos pueda producir la 
imprenta. 
 El costo del papel por cada afiche es $119. Por razones políticas internas de la empresa, se 
ha decidido proveer al partido independiente con al menos el doble de los afiches que la suma de los 
otros tres partidos. Plantee el problema para ver cómo la imprenta maximizaría su utilidad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solución Ejercicio 10 
Variables de decisión: 
 l : cantidad de afiches a producir para el partido Liberal 
 d : cantidad de afiches a producir para el partido Democrático 
 v : cantidad de afiches a producir para el partido Verde 
 i : cantidad de afiches a producir para el partido Independiente 
 
Maximizar: z = 2253,30 l + 1621,97 d + 926,24 v + 508,90 i 
 
Sujeto a: 
 70 l ≤ 300.000 
140 l + 80 d + 10 v ≤ 100.000 
50 l + 90 d + 10 v ≤ 150.000 
60 l + 100 d + 100 v + 50 i ≤ 500.000 
l ≥ 300 
i ≥ 2 (d + l + v) 
d , v , i ≥ 0 
 
Ejercicio 11 
 
 Suponga que cocinará una gran cazuela de peso mínimo 100 kgs. La cazuela debe cumplir 
con ciertos requisitos en su composición nutricional: tener un contenido en materia grasa de al 
menos 0,8% y no más de 1,2%, en fibra no menor que un 22%, y no más de 5% de almidón. 
Suponga además que los principales ingredientes a utilizar son verduras, carnes y papas. En la 
Tabla 5 se resumen los contenidos de cada ingrediente. Se pide formular el problema para 
determinar la mezcla óptima de los ingredientes para preparar la cazuela con los nutrientes 
requeridos al mínimo costo. 
Tabla 5: Nutrientes y Costo de Ingredientes 
 Porcentaje de nutrientes por kilo de Ingrediente 
Ingrediente Grasa Fibra Almidón 
Costo [$] por kilo 
Carne 0,38 0,00 0,00 0,0164 
Papas 0,001 0,09 0,02 0,0463 
Verduras 0,002 0,5 0,08 0,125 
 
 
 
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Solución Ejercicio 11 
Variables de Decisión: 
xi [kgs.]: cantidad de carne, papas y verduras para producir la mezcla. 
 
Minimizar: z = 0,0164 xc + 0,0463 xp + 0,125 xv 
Sujeto a: 
 xc + xp + xv ≥ 100 Lote diario 
0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv ≤ 1,2 (xc + xp +xv) Grasa 
0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv ≥ 0,8 (xc + xp +xv) Grasa 
0,02 xp + 0,08 xv ≤ 5 (xc + xp +xv) Almidón 
0,09 xp + 0,5 xv ≥ 22 (xc + xp +xv) Fibra 
xc, xp, xv ≥ 0 No negatividad 
 
Ejercicio 12 
 
 Una empresa de construcción y dispone de un terreno de 800 há no urbanizadas. De acuerdo 
al plan de la comuna usted puede construir casas para 1, 2 ó 3 familias, donde las casas de 1 familia 
constituyen por lo menos el 50% del total de los inmuebles construidos. Estudios técnicos señalan 
que el 15% de los terrenos se utilizan en calles y vías de acceso. La casa sencilla se espera tenga un 
precio de venta de 10.000UF, la casa doble de 15.000UF y la triple en 20.000UF. Para limitar el uso 
de estanque de residuo de alcantarillados de las casas se requieren terrenos con tamaños de 2, 3 y 4 
há para casas de 1, 2 y 3 familias respectivamente. El costo de conexión del servicio de agua 
potable es proporcional al número de casas que se construya, el cual debe ser como mínimo de 
100.000UF. La empresa de agua potable también ha señalado que puede proporcionar a dichas 
casas un máximo de 200.000 m3 por día durante los períodos de prueba. El costo de conexión y el 
gasto promedio de las casas se indica en la Tabla 6. Plantee el modelo que permita maximizar 
utilidad. 
Tabla 6: Costo de Conexión y Gasto Promedio de Casas 
Tipo de Construcción A B C 
Costo de Conexión [UF] 1000 1200 1400 
Consumo [m3] 400 600 840 
 
 
 
 
 
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Solución Ejercicio 12 
Variables de Decisión 
 a: número de casas sencillas 
 b: número de casas dobles 
 c: número de casas triples 
 
Maximizar: z = 10.000 a +15.000 b + 20.000 c - (1000 a + 1200 b +1400 c) 
 
Sujeto a: 
 
 2 a +3 b + 4 c ≤ 680 (85% de 800) Disponibilidad de Terreno 
 1.000 a + 1.200 b +1.400 c ≥ 100.000 Agua potable 
 400 a + 600 b + 840 c ≤ 200.000 Consumo 
 a ≥ 0.5 (a + b + c) ⇒ a - b - c ≥ 0 Construcción de casas 
 a, b, c ≥ 0 No negatividad 
 
Ejercicio 13 
 
 Una empresa dispone de 7.000 litros de concentrado de Uva Tipo I y 12.000 litros de 
concentrado de Uva Tipo II, con los cuales produce dos productos: Pisco y Vinagre. El total de 
litros de concentrado utilizado es igual al de producto, es decir, no existen pérdidas. La Uva Tipo I 
tiene 10 puntos de calidad por cada litro mientras que la Uva Tipo II tiene 5. La mezcla de Pisco 
debe tener un nivel de calidad promedio de por lo menos 8 puntos de calidad por litro, y el vinagre 
de por lo menos 6. 
 La venta para cada uno de estos productos se genera a través de la publicidad. Por cada 
1.000 pesos usados en promocionar el Pisco, se venden 5 litros, mientras que por cada 500 pesos 
usados en promocionar el vinagre, se venden 2 litros. Si no se realiza publicidad las ventas son cero. 
 Plantee un modelo que le permita a la empresa maximizar utilidades si la disposición a 
pagar es $2.500 por litro de pisco y de $1.200 por litro de vinagre. Para ello usted está obligado a no 
definir más que cuatro variables de decisión. 
 
 
 
 
 
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Solución Ejercicio 13 
Variables de decisión: 
 ap: litros de Uva Tipo I usado para producir Pisco 
 av : litros de Uva Tipo I usado para producir Vinagre 
 bp: litros de Uva Tipo II usado para producir Pisco 
 bv: litros de Uva Tipo II usado para producir Vinagre 
 
Maximizar: z = (ap + bp) · 2500 + (av + bv) · 1200 – 1000 ⋅ [( ap + bp ) / 5] – 500 · [( av + bv )/ 2] 
 
Sujeto a: 
 ap + av ≤ 7.000 litros de Uva Tipo I 
 bp + bv ≤ 12.000 litros de Uva Tipo II 
 10 · ap + 5 · bp ≥ 8 · ( ap + bp ) calidad Pisco 
 10 · av + 5 · bv ≥ 6 · ( av + bv ) calidad Vinagre 
 ap , av , bp , bv ≥ 0 no negatividad 
 
Ejercicio 14 
 Un taller especializado en pintar buses, camiones y taxis trabaja 50 horas a la semana. Para 
el pintado de cada bus son necesarias 3 horas, para cada taxi 2 horas, en tanto que es posible pintar 
2 camiones en una hora. La utilidad por vehículo pintado, los requerimientos de pintura y la 
demanda máxima se muestran en la Tabla 7. 
Tabla 7: Utilidad de Buses, Camiones y Taxis, Requerimientos y Demanda 
 Utilidad por 
vehículo pintado 
Pintura necesaria por 
vehículo 
Demanda máxima 
mensual 
Bus $5 15 litros 26 buses 
Camión $7 20 litros 24 camiones 
Taxi $4 12 litros 16 taxis 
 Si el costo de cada litro de pintura es de $30 y el taller dispone de un presupuesto semanal 
máximo de $6.000 para gasto en pintura, plantee el programa lineal que maximiza sus utilidades 
mensuales, definiendo las variables: 
 
wB : horas de trabajo destinadas a pintar buses. 
xC : porcentaje del presupuesto destinado a pintar camiones. 
yT : litros de pintura destinados a pintar taxis. 
 
 
 
18 
 
Solución Ejercicio 14 
 Tomaremos como variables de decisión los buses, camiones y taxis a pintar (B, C y T), pues 
eso lo haría más simple. Sin embargo, se pide plantearlo en función de wB, xC e yT, así es que 
reemplazaremos las variables auxiliares por las requeridas, para las que se dan las siguientes 
relaciones: 
 
 wB / 3 buses a pintar semanalmente 
 6000 xC/ (20 ⋅ 30) = 10 xC camiones a pintar semanalmente 
 yT / 12 taxis a pintar semanalmente 
 
Maximizar: z = 5 wB / 3 + 70 xC + yT / 3 
 
Sujeto a: 
 
 wB + 5 xC + yT / 6 ≤ 50 
 150 wB + 6000 xC + 30 yT ≤ 6000 
 wB / 3 ≤ 26/4 
 10 xC ≤ 24/4 
 yT / 12 ≤ 16/4 
 wB, xC , yT ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Ejercicio 15 
 
 Una panadería produce marraquetas, hallullas y pan especial, para lo cual realiza dos 
actividades. La primera es la preparación de las masas, a cargo de 15 panaderos, quienes tienen una 
disponibilidad semanal de 50 horas cada uno. La segunda actividad es el horneado, para lo cual se 
tiene dos hornos con una capacidad semanal de 60 horas cadauno 
 Los precios por kilo de marraquetas, hallullas y pan especial son $450, $390 y $600. Los 
costos de producción son $160, $140 y $190 por kilo. Para cubrir los costos de producción se 
cuenta con un presupuesto de $950.000. Además se cuenta con la información de la Tabla 8 para 
cada tipo de pan. Por ejemplo, cada horno puede procesar 60 kilos de marraqueta para lo cual 
requiere de 40 minutos de cocción. 
Tabla 8: Datos de Cada Tipo de Pan 
 Preparación Masa 
[Kilos/Hora] 
Horneado Masa 
[Minutos] 
Capacidad de cada 
Horno [Kilos] 
Marraquetas 12 40 60 
Hallullas 9 30 30 
Pan Especial 6 75 25 
 La demanda mínima entre hallullas y marraquetas es de 1.600 kilos y no se venden más de 
3.800 kilos de marraquetas ni más de 2.500 kilos de pan especial. Además existe la política de que 
la producción de pan especial debe ser al menos un cuarto de la producción total de hallullas y 
marraquetas sumadas. Modele como un problema lineal de modo de maximizar las utilidades de la 
panadería. Para esto se definen las siguientes variables: 
 m: Minutos dedicado a hornear marraquetas semanalmente 
 h: Minutos dedicado a la preparación de la masa de las hallullas 
 e: % del presupuesto semanal destinado a la producción de pan especial. 
 
Solución Ejercicio 15 
Maximizar: z = (450 – 160) · 1,5 · m + (390 – 140) · 0,15 · h + (600 – 190) · 5000 · e 
Sujeto a: 
 (60 / 12) · 1,5 · m + (60 / 9) · 0,15 · h + (60 / 6) · 5000 · e ≤ 45.000 Tiempo panaderos 
 (40 / 60) · 1,5 · m + (30 / 30) · 0,15 · h + (75 / 25) · 5000 · e ≤ 7200 Tiempo horneado 
 160 · 1,5 · m + 140 · 0,15 · h + 190 · 5000 · e ≤ 950.000 R. presupuestaria 
 1,5 · m + 0,15 · h ≥ 1.600 Mínima demanda hallullas y marraquetas 
 1,5 · m ≤ 3.800 Máxima demanda marraquetas 
 5000 · e ≤ 2.500 Máxima demanda pan especial 
 4 · 5000 · e ≥ 1,5 · m + 0,15 · h Política de producción 
 m, h, e ≥ 0 
 
20 
 
Ejercicio 16 
 
 Suponga que el cuerpo de Carabineros quiere maximizar su dotación total, que consiste en 
el número de efectivos motociclistas, número de efectivos destinados a radiopatrullas y número de 
efectivos a pie. Su objetivo debe cumplirse sujeto a un conjunto de condiciones. Desde el punto de 
vista de la seguridad: 
• Debe resguardarse una población de por lo menos 3 millones de habitantes. 
• El número mínimo de efectivos dedicados a la seguridad debe ser de 3.000. 
• Se debe tener capacidad para realizar un mínimo de 1.000 arrestos al mes. 
• El tiempo necesario por cada efectivo a pie para realizar una ronda es de 4 horas, y cada 
 uno de ellos trabaja 8 horas al día. 
Respecto del control de tránsito: 
• El porcentaje de efectivos dedicados a tránsito debe ser al menos un 30% del total del 
cuerpo de Carabineros. 
También existen requerimientos de participación en ceremonias oficiales tales como desfiles y 
convenciones: 
• Asumiendo que cada efectivo no puede participar en más de una ceremonia al año, la 
institución debe participar en por lo menos 20 ceremonias anualmente. 
• No pueden haber menos efectivos motociclistas que los destinados a radiopatrullas. 
Aspectos operacionales: 
• Por cada 4 efectivos destinados a radiopatrullas no debe haber más que 2 efectivos 
motociclistas. 
• Debe haber por lo menos 4 efectivos a pie por cada 3 efectivos motociclistas. 
• La proporción entre efectivos destinados a radiopatrullas y efectivos a pie no puede ser 
inferior a ½. 
• La diferencia entre efectivos a pie y efectivos motociclistas debe ser mayor o igual que 500. 
• Cada una de las 1.000 motos disponibles requiere de por lo menos 1,2 efectivos 
motociclistas, en tanto que cada una de los 500 radiopatrullas disponibles requiere de por lo menos 
3 efectivos dedicados. 
Restricciones presupuestarias: 
• El presupuesto anual de la institución para sueldos brutos es de 500 millones de pesos al 
año. 
• El presupuesto de operación, que es independiente del presupuesto de sueldos, alcanzaría 
para disponer en forma exclusiva de 3000 efectivos motociclistas, 1000 efectivos destinados a 
radiopatrullas ó 5000 efectivos a pie. 
 Plantee el programa lineal que describe esta situación, considerando los datos presentados 
en la tabla 9. 
 
 
 
 
 
21 
 
Tabla 9: Datos sobre Tipos de Efectivos de Carabineros 
 Efectivos 
motociclistas 
Efectivos en 
radio patrullas 
Efectivos a 
pie 
Porcentaje de efectivos dedicados a tránsito 30% 10% 40% 
Porcentaje de efectivos dedicados a la seguridad 40% 50% 30% 
Población resguardada por cada efectivo dedicados a 
la seguridad [habitantes / efectivo] 
300 500 200 
Sueldo bruto [$/(efectivo mes)] 500.000 600.000 300.000 
Tasa de arrestos [arrestos/(efectivo mes)] 2 3 2 
Necesidad de efectivos en cada ceremonia [efectivos 
/ ceremonia] 
10 20 100 
Solución Ejercicio 16: 
Variables de decisión: 
 m. número de efectivos en motocicletas 
 r: número de efectivos en radiopatrullas 
 p: número de efectivos a pie 
 
Maximizar: z = m + r + p 
 
Sujeto a: 300[hab/efectivo] ⋅ 0,4 m[efectivos] + 500 ⋅ 0,5 r + 200 ⋅ 0,3 p ≥ 3 MM. 
 
 0,4 m + 0,5 r + 0,3 p ≥ 3.000 
 2 ⋅ 0,4 m + 3 ⋅ 0,5 r + 2 ⋅ 0,3 p ≥ 1000 
 0,3 m + 0,1 r + 0,4 p ≥ 0,3 ⋅ (m + r + p ) 
 m ≥ 10 ⋅ 20 
 r ≥ 20 ⋅ 20 
 p ≥ 100 ⋅ 20 
 m – r ≥ 0 
 2 r – 4 m ≥ 0 
 3 p – 4 m ≥ 0 
 2 r – p ≥ 0 
 p – m ≥ 500 
 m ≥ 1,2[efectivos / moto] ⋅ 1000[motos] 
 r ≥ 3[efectivos / radiopatrullas] ⋅ 500[radiopatrullas] 
 12 ⋅ ( 500.000[$ al mes/ efectivo] m + 600.000 r + 300.000 p ) ≤ 500 MM 
 m/3000 + r/1000 + p/5000 ≤1 
 
 
 
22 
 
Ejercicio 17 
 
 Una bodega produce tres tipos de vinos de alta calidad: Cabernet, Merlot y Premium, siendo 
este último una mezcla de los dos primeros. Para poder producir los vinos debe decidir cuántas 
cajas de uva debe comprar. Los viñedos de donde provienen dichas uvas determinan el porcentaje 
de vino de alta calidad que se puede extraer, así como el tipo de vino, según la Tabla 10. El resto 
del vino se vende a productores de vino corrientes, a $300 pesos el litro, sin importar de cuál viñedo 
provino. 
Tabla 10: Datos de los Viñedos 
 Viñedo A Viñedo B 
Tipo de vino Cabernet Merlot 
Costo por caja $400 $600 
Rendimiento por caja 200 litros 400 litros 
Costo de proceso por caja $350 $500 
% de alta calidad extraíble 40% 50% 
 Para obtener la mezcla Premium, se deben usar 2 partes de Merlot por cada parte de 
Cabernet. De acuerdo a los precios y demandas que se muestran en la Tabla 11, modele el 
programa lineal que maximiza las utilidades de la bodega. 
Tabla 11: Información de Demanda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cabernet Merlot Premium 
Litros por unidad 1 1 1 
Precio por unidad $2500 $2400 $2200 
Demanda de unidades Máx 10.000 Min. 5.000 Entre 2000 y 9000 
23 
 
Solución Ejercicio 17 
Variables de decisión: 
 
 ap : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Premium 
 as : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Cabernet 
 bp : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Premium 
 bm : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Merlot 
Relaciones: 
 
 200 · 0,4 · as : litros de vino Cabernet 
 400 · 0,5 · bm : litros de vino Merlot 
 200 · 0,4 · ap + 400 · 0,5 · bp : litros de vino Premium 
 
Maximizar: z = 2500 · 80 as + 2400 · 200 bm + 2200 · (80 ap + 200 bp ) – 750 · (as + ap) 
 – 1100 ·(bm+ bp) + 300 · (120 as + 120 ap + 200 bm + 200 bp) 
 
Sujeto a: 
 
 2 · 80 ap = 200 bp Mezcla del Premium 
 80 as ≤ 10000 Demanda máxima Cabernet 
 200 bm ≥ 5000 Demanda mínima de Merlot 
 2000 ≤ 80 ap + 200 bp ≤ 9000 Demanda del Premium 
 as, ap, bm, bp ≤ 0 No negatividad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Ejercicio 18 
 
 Un empresario pesquero tiene un barco, “El Albatros”, con el cual puede pescar merluza, 
albacora o jurel, cuyas utilidades por kilo son $600, $1200 y $500. Su barco puede trabajar hasta 
250 horas por mes (supuesto: 1 mes = 30 días), donde por cada hora de trabajo se puede pescar 100 
kilos de merluza,70 kilos de albacora ó 120 kilos de jurel. El empresario tiene una licencia que le 
permite pescar mensualmente un máximo de 6.000 kilos de merluza, 7.000 kilos de albacora y 
8.000 kilos de jurel, pero también posee un compromiso de ventas por lo cual debe pescar como 
mínimo 3.000 kilos de merluza, 3.500 kilos de albacora y 5.000 kilos de jurel. 
a) Modele este problema como programa lineal para maximizar la utilidad mensual del 
empresario, suponiendo que las variables de decisión son: 
 
 m: kilos de merluza pescados al día 
 a: horas mensuales destinadas a la pesca de albacora 
 j: kilos de jurel pescados en un mes 
b) Suponga ahora que el empresario tiene dos barcos, “El Albatros” y “El Pelícano”, y que 
sólo puede pescar merluza y jurel. Las utilidades por kilo se mantienen en $600 y $500. Las 
capacidades de los barcos son diferentes En la Tabla 12 se entregan los datos en kilos de 
pescado por hora, por ejemplo, “El Pelícano” puede pescar en una hora 120 kilos de 
merluza o 150 kilos de jurel. Dispone de 250 horas por mes para “El Albatros” y 200 horas 
por mes para “El Pelícano”. La licencia se mantiene inalterada, y el empresario ya no posee 
compromisos de ventas. Modele este problema como programa lineal para maximizar la 
utilidad mensual del empresario, expresando las variables de decisión como kilos de 
pescado al mes. 
Tabla 12: Información de Barcos 
Barco Merluza [kilos/hora] Jurel [kilos/hora] 
El Albatros 100 120 
El Pelícano 120 150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Solución Ejercicio 18 
Empresario pesquero 
a) Definimos las variables auxiliares: 
 
 M : kilos de merluza pescados en un mes 
 A : kilos de albacora pescados en un mes 
 J : kilos de jurel pescados en un mes 
 Entonces se puede plantear el problema en base a las variables auxiliares y luego 
reemplazarlas por las variables que se piden en el enunciado. Las igualdades son: 
 M = 30 m 
 A = 70 a 
 J = j 
Maximizar: z = $600 ⋅ 30 m + $1.200 ⋅ 70 a +$500 ⋅ j 
Sujeto a: 
 30 m/100 + 70 a/70 + j/120 ≤ 250 Capacidad 
 30 m ≤ 6.000 Licencia merluza 
 70 a ≤ 7.000 Licencia albacora 
 j ≤ 8.000 Licencia jurel 
 30 m ≥ 3.000 Vtas. mínimas merluza 
 70 a ≥ 3.500 Vtas. mínimas albacora 
 j ≥ 5.000 Vtas. mínimas jurel 
 m, a, j ≥ 0 (son redundantes) 
b) Variables de decisión: 
ma : kilos de merluza pescados por “El Albatros” en un mes 
me : kilos de merluza pescados por “El Pelícano” en un mes 
 ja : kilos de jurel pescados por “El Albatros” en un mes 
 je : kilos de jurel pescados por “El Pelícano” en un mes 
Maximizar: z = $600 ⋅ (ma + me) + $500 ⋅ (ja + je) 
 
Sujeto a: 
 
 ma / 100 + ja / 120 ≤ 250 Capacidad “El Albatros” 
me / 120 + je / 150 ≤ 200 Capacidad “El Pelícano” 
 ma + me ≤ 6.000 Licencia merluza 
ja + je ≤ 8.000 Licencia jurel 
 ma, me, ja, je ≥ 0 No negatividad 
 
 
26 
 
Ejercicio 19 
 
 Una refinería de petróleo tiene en stock dos tipos petróleo: 3.000 litros del tipo DB y 2.000 
litros del tipo DR. La empresa debe ocupar este stock en un período máximo de dos años, para lo 
cual tiene dos opciones: producir bencina o parafina. Con 4 litros de DB produce 1 litro de bencina, 
y con 1 litro de DB obtiene 5 litros de parafina. Obtiene 8 litros de parafina con 1 litro de DR y 
requiere 3 litros de DR para producir 1 litro de bencina. Por cada litro de parafina vendido percibe 
una utilidad de $10 el primer año y de $15 el segundo; por cada litro de bencina la utilidad es de 
$70 el primer año y $110 el segundo. Además deben cumplirse las siguientes condiciones: 
i) Por lo menos la mitad de petróleo tipo DB debe destinarse a bencina. 
ii) Al menos el 30% de petróleo tipo DR debe procesarse el segundo año. 
iii) No se puede producir más de 15 litros de parafina en cada año. 
iv) Debe producirse al menos 170 litros de bencina. 
Modele el siguiente problema de decisión como programa lineal. 
 
Solución Ejercicio 19 
Variables de decisión: 
 DBbi: litros de petróleo del tipo DB destinados a bencina en el año i 
 DRbi: litros de petróleo del tipo DR destinados a bencina en el año i 
 DBpi: litros de petróleo del tipo DB destinados a parafina en el año i 
 DRpi: litros de petróleo del tipo DR destinados a parafina en el año i 
Tabla 13: Variables de Decisión 
DB DR 
Año 1 Año 2 Año 1 Año 2 
Bencina DBb1 DBb2 DRb1 DRb2 
Parafina DBp1 DBp2 DRp1 DRp2 
Relaciones: 1 litro de DB = 5 litros de parafina 
 1 litro de DB = 1/4 litros de bencina 
 1 litro de DR = 8 litros de parafina 
 1 litro de DR = 1/3 litros de bencina 
Maximizar: z = 10(5DBp1 + 8DRp1) + 15(5DBp2 + 8DRp2) + 70(DBb1 /4 + DRb1/3) + 
 110(DBb2/4 + DRb2/3 ) 
 
Sujeto a: i) DBb1 + DRb2 ≥ 1500 (0.5 ⋅ 3.000) 
 ii) DRb2 + DRp2 ≥ 600 (30% de 2.000) 
 iii) 5DBp1 + 8DRp1 ≤ 15 
 5DBp2 + 8DRp2 ≤ 15 
 iv) DBb1/4 + DRb1/3 +DBb2/4 + DRb2/3 ≥ 170 
 DBb1 + DBb2 +DBp1 + DBp2 = 3000 
 DRb1 + DRb2 +DRp1 + DRp2 = 2000 
 DRbi, DRpi, DBbi, DBpi ≥ 0 para i = 1,2 
27 
 
Ejercicio 20 
 
 Un astillero produce tres tipos de embarcaciones: Acorazados, Buques y Catamaranes. Para 
su producción las embarcaciones deben pasar por distintos procesos. El diagrama muestra los 
procesos por los que pasan las distintas embarcaciones. 
2 3
Acorazados
Buques
Catamaranes
Buques
Acorazados
Catamaranes6
5
Buques
1 4
 
 
 Las utilidades por cada acorazado, buque y catamarán que elaboran es de US$ 3.000, US$ 
2.000 y US$ 700 respectivamente. Para el proceso 1 se disponen de 200 horas, para el proceso 2 y 4 
se dispone de 350 horas (para cada uno) y el resto de los procesos se disponen de 180 horas (para 
cada uno). Los acorazados demoran 2 horas en cada proceso, los buques 3 horas y los catamaranes 
sólo una hora. Además se sabe que por cada 3 buques elaborados deben producirse al menos 5 
catamaranes. 
 
 Modele el problema para optimizar la producción del astillero. 
 
Solución Ejercicio 20 
 
Variables: 
 
 a : nº de acorazados producidos. 
 b3: nº de buques que pasan por proceso 3. 
 b5: nº de buques que pasan por proceso 5. 
 c : nº de catamaranes producidos. 
 
Maximizar: 
 
 z = 3000·a + 2000·(b3+b5) + 700*c 
 
Sujeto a: 
 
 2·a + 3·(b3+b5) + c ≤ 200 
 2·a ≤ 350 
 2·a + 3·b3 ≤ 180 
 3*b3 + 3*b5 + c ≤ 350 
 3*b5 ≤ 180 
 c ≤ 180 
 5·(b3+b5) ≤ 3*c 
 a, b3, b5, c ≤ 0 
 
 
28 
 
Ejercicio 21 
 
 Don Alfredo y su fábrica “Viva Italia” se especializa en hacer pastas frescas para llevar. Su 
fábrica trabaja 60 horas a la semana y produce tres tipos de pastas. Spaghetti, Lasaña y Canelones 
los que se venden en paquetes de 500 gramos cada uno. Por cada paquete de spaghetti se utilizan 
400 gramos de harina, 3 huevos y 1,5 hora de trabajo. Para la lasaña se necesitan 350 gramos de 
harina, 5 huevos y media hora de trabajo. Por último, para los canelones se utilizan 300 gramos de 
harina, 4 huevos y 2 horas de trabajo. 
 
 Se sabe que la harina se vende en bolsas de 100 gramos y que cada bolsa le cuesta a la 
fábrica $300 y que cada huevo le cuesta $35. Los precios de venta de los paquetes de pasta son 
$2500 para los spaghetti, $2200 para la lasaña y 1800 para los canelones. 
 
 La fábrica cuenta con un presupuesto mensual de $200.000 para la compra de insumos. 
 
 Según datos obtenidos por don Alfredo en un estudio de mercado, se sabe que 
semanalmente se venden al menos 20 paquetes de spaghetti y que la venta mensual de canelones no 
supera los 60 paquetes. 
 
 Modele el problema de optimización buscando maximizar las utilidades mensuales de Don 
Alfredo definiendo las variables como: 
 
 a: horas de trabajo destinadas a hacer spaghetti. 
 b: porcentaje del presupuesto destinado a producir lasaña. 
 c: bolsas de harina utilizadas en la producción de canelones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Solución Ejercicio 21 
 
Variables de decisión: 
 
 a: horas de trabajo destinadas a hacer spaghetti. 
 b: porcentaje del presupuesto destinado a producir lasaña. 
 c: bolsasde harina utilizadas en la producción de canelones. 
 
Función Objetivo: 
 
 Max z: 796,6a + 159183,375b + 253,33 c 
 
Sujeto a: 
 
No negatividad: 
 
a, b, c ≥ 0 
 
Restricción de horas de trabajo: 
 
a +81,63 b + 0,66c ≤ 240 
 
Restricción de demanda de canelones: 
 
c ≤ 180 
 
Restricción de demanda de spaghetti: 
 
120 ≤ a 
 
Restricción presupuesto: 
 
870a + 200.000b +346,66 c ≤ 200.000 
 
Variables Auxiliares: 
 
 Otra forma de resolverlo es definiendo variables auxiliares de la siguiente forma: 
 
 x: paquetes de spaghetti producidos en un mes: a/1,5. 
 y: paquetes de lasaña producidos en un mes: b*163,26. 
 z: paquetes de canelones producidos en un mes: c/3. 
 
Función Objetivo: 
 
 Max z: 1195x + 975y + 760 z 
 
 
 
 
 
30 
 
Ejercicio 22 
 
 En el restaurante “mata hambre” se sirven tres tipos de ensaladas las que están listas para 
llevar. En dicho lugar trabajan dos maestros de cocina los cuales hacen un total de 20 horas 
semanales cada uno. Las ensaladas son “Cesar”, “Griega” y la “Granjera” cuya composición se 
describe en la siguiente tabla: 
 
Cesar Griega Granjera 
1 pechuga de pollo 2 huevos duros 3 huevos duros 
½ lechuga 1/3 lechuga 1 lechuga 
8 aceitunas 10 aceitunas 2 tomates 
2 anchoas 3 tomates ½ pechuga de pollo 
15 minutos de trabajo 20 minutos de trabajo 30 minutos de trabajo 
 
 Se sabe que semanalmente el restaurante es abastecido con 55 lechugas, 50 huevos, 150 
aceitunas, 40 tomates, 40 pechugas de pollo y 60 filetitos de anchoas. 
 
 Dada la información entregada por el último estudio de mercado realizado por el dueño, se 
sabe que por cada 5 ensaladas cesar se venden al menos 3 Griegas, y que la venta de ensaladas 
granjeras no supera a la mitad del total de ensaladas vendidas. 
 
 Se le pide a usted que maximice las utilidades del restaurante sabiendo que las ensaladas 
Cesar, Griega y Granjera dejan una utilidad de $780, $910 y $890 respectivamente. 
 
Solución Ejercicio 22 
 
Variables de decisión: 
 
 a: ensaladas Cesar producidas semanalmente. 
 b: ensaladas Griega producidas semanalmente. 
 c: ensaladas Granjera producidas semanalmente. 
 
Función Objetivo: 
 
 Max z: 780a +910 b + 890c 
 
Sujeto a: 
 
a, b, c ≥ 0 no negatividad 
0,25a + 0,3333 b + 0,5d ≤ 40 n° horas de trabajadores 
0,5a + 0,3333 b + c ≤ 55 restricción lechugas 
2 b + 3c ≤ 50 restricción huevos 
3 b + 2c ≤ 40 restricción tomates 
a + 1/2c ≤ 40 restricción pollo 
2 a ≤ 60 restricción anchoas 
10 b + 8a ≤ 150 restricción aceitunas 
3 a ≤ 5b restricción de demanda 
c ≤ 0,5 (a + b + c ) restricción de demanda 
31 
 
Ejercicio 23 
 
 Una panadería produce marraquetas, hallullas y pan especial, para lo cual necesita dos 
procesos. El primero es la preparación de las masas, a cargo de 15 panaderos, quienes tienen una 
disponibilidad semanal de 50 horas cada uno. El segundo proceso es el horneado de las masas, para 
lo cual se tiene dos hornos con una capacidad de utilización semanal máxima de 60 horas cada uno. 
 
 El precio del kilo de marraquetas, hallullas y pan especial son respectivamente de $450, 
$390 y $600; y sus costos directos de producción respectivos son $160, $140 y $190 por kilo. Para 
cubrir los costos de producción se cuenta con un presupuesto de $950.000. Además se cuenta con la 
información de la Tabla 12 para cada tipo de pan. Por ejemplo, cada horno puede procesar 60 kilos 
de marraqueta para lo cual requiere de 40 minutos de cocción. 
 
 Al mismo tiempo se sabe que la demanda mínima entre hallullas y marraquetas es de 1600 
kilos y que históricamente, no se venden más de 3800 kilos de marraquetas ni más de 2500 kilos de 
pan especial. Conjuntamente, la panadería tiene una política de que la producción de pan especial 
debe ser al menos un cuarto de la producción total de hallullas y marraquetas sumadas. 
 Modele como un problema lineal de modo de maximizar las utilidades de la panadería. Para 
esto se definen las siguientes variables: 
 
m : Minutos dedicado a hornear marraquetas semanalmente. 
h : Minutos dedicado a la preparación de la masa de las hallullas. 
e : % del presupuesto semanal destinado a la producción de pan especial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Solución Ejercicio 23 
 
Maximizar: 
 
 z = (450 – 160) · 1,5 · m + (390 – 140) · 0,15 · h + (600 – 190) · 5000 · e 
 
Sujeto a: 
 
Restricción tiempo panaderos 
 
(60 / 12) · 1,5 · m + (60 / 9) · 0,15 · h + (60 / 6) · 5000 · e ≤ 45.000 
 
Restricción tiempo horneado 
 
 (40 / 60) · 1,5 · m + (30 / 30) · 0,15 · h + (75 / 25) · 5000 · e ≤ 7200 
 
Restricción presupuestaria 
 
160 · 1,5 · m + 140 · 0,15 · h + 190 · 5000 · e ≤ 950.000 
 
Mínima demanda hallullas y marraquetas 
 
1,5 · m + 0,15 · h ≥ 1.600 
 
Máxima demanda Marraquetas 
 
1,5 · m ≤ 3.800 
 
Máxima demanda pan especial 
 
5000 · e ≤ 2.500 
 
Política de producción 
 
4 · 5000 · e ≥ 1,5 · m + 0,15 · h 
 
No negatividad 
 
m, h, e ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Ejercicio 24 
 
 Pancho y Diego están organizando un asado pero tienen dudas respecto a cuántos hombres 
y cuántas mujeres invitar. Por un lado Pancho dice que valora a cada mujer en 1,5 veces lo que 
valora a un hombre, mientras que para Diego (por su orientación sexual) la valoración es justo la 
inversa, un hombre en su asado vale por 1,5 mujeres. Ambos han hecho una lista de gente a la que 
no pueden dejar de invitar, en la cual hay 35 hombres y 20 mujeres. Por otra parte, saben que a las 
mujeres no les gusta ir a este tipo de eventos si hay muchas mujeres, por lo que si invitan a más de 2 
por cada 3 hombres corren el riesgo de que no asista ninguna. El asado se realizará en la casa de 
Pancho, la que tiene una capacidad para 70 invitados. 
 
a) Modele y grafique. Indique ambas funciones de utilidad, señale el área de acuerdo y el 
óptimo para cada uno con su respectiva utilidad. 
 
b) Suponga que decidieron invitar a 45 hombres y a 25 mujeres. Pancho sabe que muchas de 
sus amigas no lo pescan como él quisiera. Por ello propone sacar a 10 hombres e invitar a 
10 mujeres más que conoció en un local del sector sur de la capital. Determine la nueva 
solución óptima. 
 
c) Diego dice: “Si quieres que te pesquen, yo en vez de invitar más mujeres sólo reduciría el 
número de hombres en 5, aunque no me guste la idea”. Indique que sucedería bajo este 
nuevo escenario. 
 
 Para las preguntas b y c suponga que se llegó al acuerdo de invitar 45 hombres y 25 
 mujeres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Solución Ejercicio 24 
 
a) Variables de decisión: 
 
 X: Cantidad de hombres a invitar. 
 Y: Cantidad de mujeres a invitar. 
 
70
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70
x
X+Y ≤
70
2X
 - 3
Y ≤
0
X
 ≥
35
Y ≥ 20
F.O. 2X + 3Y
F.O. 3X + 2Y
 
Maximizar: 
 
 Pancho: Z = 2X + 3Y 
 : Z = 3X + 2Y 
 
Sujeto a: 
 
 X ≥ 35 
 Y ≥ 20 
 3 X – 2Y ≥ 0 
 X + Y ≤ 70 
 
 El óptimo para Pancho es (42, 28), donde Z = 168 
 El óptimo para Diego es (50, 20), donde Z = 190 
 
b) La nueva solución sería (35, 35), pero está fuera del área factible, ya que no cumple con el 
requisito de las mujeres. Por eso, no se puede hacer lo que dice Pancho. 
 
c) La solución sería (40, 25) lo que está dentro del área factible, pero no es un óptimo ya que 
todas las restricciones tienen holgura positiva, por lo tanto podría llegarse a una solución 
mejor. 
 
 
35 
 
Ejercicio 25 
 
 Ahora deben determinar la cantidad de hamburguesas, pollo y salchichas que deben 
comprar. El problema que tienen es que la mamá de Pancho quiere que le utilicen el menor espacio 
posible de su freezer. Cada kilo de pollo ocupa el mismo espacio que un kilo de hamburguesas, 
mientras que las salchichas no necesitan estar congeladas. Calculan que la gente no come más de 
una salchicha (50 gramos), pero que como mínimo se debe considerar 300 gramos para cada 
hombre y 250 para cada mujer entre los 3 tipos de carnes. Pedro considera que dado que viene el 
verano el promedio calórico de las hamburguesas y pollo ofrecidono debe superar las 1500 kcal., 
siendo que las hamburguesas aportan 1800 kcal. por kilo y el pollo sólo 1000. Por último, existe el 
problema de la capacidad de la parrilla, ya que pueden ponerse 6 kg. de pollo ó 5 kg. de carne, pero 
dado que el asado es largo alcanzan a cocinarse 2 rondas de pollo sabiendo que éste demora 4 veces 
más que las hamburguesas. Con las salchichas no hay problema porque éstas se preparan al 
principio, antes que se pongan las hamburguesas y el pollo. 
 
a) Modele y grafique, indicando función objetivo, área factible y solución óptima. 
 
b) ¿Qué sucedería si deciden irse a la segura y considerar que tanto hombres como mujeres 
 comen 300 grs. de entre las 3 carnes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Solución Ejercicio 25 
 
a) Como las salchichas no necesitan freezer quedan fuera de la función que se quiere 
minimizar y por lo tanto se asume que se consumirá el máximo de ellas, esto es 50grs. por 
persona, es decir, 3,5 Kgs 
 
Variables de decisión: 
 
 X: Kgs. de hamburguesas 
 Y: Kgs. de pollo 
 
8 16 24 32 40
16
4
8
12
20
4 12 20 28 36
36
24
28
32
40
3X 
- 5Y
 ≤ 0
X/40 + Y/12 ≤ 1
X + Y ≥ 16,25
F.O: X+Y
 
Minimizar: Z= X + Y 
 
Sujeto a: 
 
 300X – 500Y ≤ 0 
 X/40 + Y/12 ≤ 1 
 X + Y ≥ 19.75 – 3.5 
 X ≥ 0 
 Y ≥ 0 
 
 La función objetivo tiene la misma pendiente que la restricción del mínimo cantidad de 
carne, por lo tanto la solución no es un punto sino que un segmento de recta: 
 
 X + Y = 16.25, con : 6.07 ≤ X ≤ 10.15 y 6.09 ≤ Y≤ 10.17. 
 
b) La restricción cambia a X + Y ≥ 21 – 3.5. 
 
 La restricción sigue teniendo la misma pendiente que la función objetivo por lo que la 
solución es 
 
 X + Y =17.5, con: 7.8 ≤ X ≤ 10.9 y 6.56 ≤ Y≤ 9.6. 
37 
 
 
Ejercicio 26 
 
 Por último, deben decidir cuánta coca-cola y cuánto pisco comprar. La idea es comprar lo 
justo dado que no quieren gastar demasiado, y calculan que cada litro de coca-cola les cuesta $500 
mientras que el litro de pisco $2500. Por un lado saben que cada persona se toma por lo menos 2 
vasos de bebida (cada vaso es de 200 cc.) y que cada mujer se toma 2 piscolas y cada hombre 3. La 
medida para una piscola “rica” son 60 cc. de pisco y que la coca-cola sea por lo menos 2 veces el 
pisco. También existe el problema del hielo, ya que cuentan con aproximadamente 900 cubos de 
hielo y cada piscola necesita por lo menos 4 hielos, mientras que el vaso de bebida no necesita 
hielo. Por otro lado, sólo tienen 35 envases de 2 lts. cada uno, y por ningún motivo quieren comprar 
bebidas desechables. 
 
a) Modele, grafique y encuentre la solución óptima. 
 
b) Señale restricciones activas, inactivas y redundantes, calculando sus 
 respectivas holguras. 
 
c) ¿Qué ocurre con la solución óptima si ahora existe una promoción que 
 permite comprar el pisco por $2000? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Solución Ejercicio 26 
 
a) Variables de decisión: 
 
 X: Lts. de coca-cola 
 Y: Lts. de pisco 
 
4
10
X
20 30 40 50
8
12
16
807060
14
10
2
6
70
 ≥
X
X 
- 2
 Y
 ≥
28
Y ≥ 11.1
Y ≤ 13.5
F.O.: 500X + 2500Y
 
 
Minimizar: 
 
 Z= 500X + 2500Y 
 
 
Sujeto a: 
 
 X ≥ 2Y + 28 
 Y/0.06 ≥ 185 
 66.6Y ≤ 900 
 X ≤ 70 
 
 La solución óptima es (50.2, 11.1), por lo que tendrán que comprar 52 lts. de coca cola y 12 
pisco, con un costo total de $56.000. 
 
b) Rest. activas: Mínimo de pisco, la proporción pisco/coca-cola. Ambas 
 tienen holgura cero. 
 
c) Inactiva: Hielo. Holgura = 100 
 Envases. Holgura = 18 
 
 Redundante: No hay, todas determinan el área factible. 
 
d) No ocurre nada con la solución óptima. 
39 
 
Ejercicio 27 
 
 Una empresa productora de bebidas gaseosas tiene tres tipos de bebidas en su línea de 
producción (A, B y C). El costo de producción de estas tres bebidas es de $50 por litro, los que 
cubren el costo en materiales y mano de obra. La empresa cuenta con un único envase para 
distribuir las bebidas, el cual tiene una capacidad de dos litros. El costo de producir estos envases es 
de $30 cada uno. La bebida A utiliza una receta que no es creada por la propia empresa, por lo que 
debe pagar un derecho a utilizarla de $40 por botella, además de una política de producción 
impuesta por la empresa dueña de la receta de que la producción máxima de la bebida A debe ser 
menor a un tercio de la producción sumada de las bebidas B y C. Los precios de venta de las tres 
bebidas son de $800, $670 y $650 en ese orden para A, B y C. 
 
 Se sabe además que la empresa vende directamente a consumidores finales, así como 
también a distribuidores. Sobre las demandas de estos últimos se sabe que se debe cumplir con un 
requerimiento semanal de botellas a los distintos distribuidores de 5.000, 7.000 y 7.500 de A, B y C 
respectivamente. De la demanda de consumidores finales sabemos por estimaciones de mercado e 
información histórica que contamos con la siguiente tabla (demandas semanales de botellas). 
 
Bebida Máximo Mínimo 
A 3000 No Hay 
B 4000 1000 
C 4000 No Hay 
 
Modele el problema de maximización de utilidades como programa lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Solución Ejercicio 27 
 
(Existen dos maneras de definir las variables) 
 
Primera manera 
 
Variables: a: litros a producir de la bebida A. 
 b: litros a producir de la bebida B. 
 c: litros a producir de la bebida C. 
 
Maximizar: 
 
 z = (400-50-15-20)·a + (335-50-15)·b + (325-50-15)·c 
 
Sujeto a: 
 
 10.000 ≤ a ≤ 16.000 (Restricción de demanda de A) 
 16.000 ≤ b ≤ 22.000 (Restricción de demanda de B) 
 15.000 ≤ c ≤ 23.000 (Restricción de demanda de C) 
 3·a ≤ b + c (Restricción de producción) 
 a, b, c ≥ 0 (No negatividad) 
 
Segunda manera 
 
Variables: a: botellas a producir de la bebida A. 
 b: botellas a producir de la bebida B. 
 c: botellas a producir de la bebida C. 
 
Maximizar: 
 
 z = (800-100-30-40)·a + (670-100-30)·b + (650-100-30)·c 
 
Sujeto a: 
 
 5.000 ≤ a ≤ 8.000 (Restricción de demanda de A) 
 8.000 ≤ b ≤ 11.000 (Restricción de demanda de B) 
 7.500 ≤ c ≤ 11.500 (Restricción de demanda de C) 
 3·a ≤ b + c Restricción de producción) 
 a, b, c ≥ 0 (No negatividad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Ejercicio 28 
 
 Se quiere abrir un local de pizzas de reparto a domicilio. Se decide que se producirán dos 
tipos de pizzas, medianas y grandes. El precio de venta de cada una será de $3000 y $5000 
respectivamente. Se cuenta con 5 hornos, 5 cocineros y 15 repartidores. El tiempo que toma en el 
horno cada pizza es de 15 minutos para las pizzas grandes y de 12 para las pizzas medianas. 
Preparar la pizza toma 5 minutos las medianas y 8 minutos las grandes al cocinero que la hace. 
Cada reparto toma en promedio 20 minutos (que por simplicidad supondremos que cada reparto 
consiste en una pizza, ya sea mediana o grande). Sabemos que el tiempo de trabajo es de 8 horas 
diarias, lo que incluye el tiempo de funcionamiento de los hornos también. 
 
 Las demandas por pizzas para este local han sido estimadas en un máximo de 600 para las 
medianas y 450 para las grandes. Las grandes deberían ser demandadas como mínimo 150 y las 
medianas no tienen un mínimo (todas estas son demandas semanales). 
 
 Modele el problema de maximización de ingresos semanales de la pizzería como programa 
lineal. 
 
 
Solución Ejercicio 28 
 
Variables: g: número de pizzas grandes a producir. 
 m: número de pizzas medianas a producir. 
 
Maximizar: 
 
 z = 5.000·g + 3.000·m 
 
Sujeto a: 
 
 m·(1/5) + g·(1/4) ≤ 280 (Restricción tiempo hornos) 
 m·(1/12) + g·(1/7,5) ≤ 280 (Restricción tiempo cocinero) 
 (g + m)·(1/3) ≤ 840 (Restricción tiempo repartidores) 
 m ≤ 600 (Restricción de dda. pizzas medianas) 
 150 ≤ g ≤ 450 (Restricción de dda. pizzas grandes) 
 m, g ≥ 0 (No negatividad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Ejercicio 29 
 
 Un artesano produce tres productos distintos, para lo cualsu insumo único es la greda. Este 
artesano trabaja mensualmente 200 horas. La producción de ceniceros le toma media hora cada uno 
para lo cual ocupa 200 gramos de greda. Para producir jarrones necesita 750 gramos de greda y se 
demora una hora en su elaboración. Y por ultimo, hace bandejas que necesitan de un kilo y medio 
de greda, en las que utiliza una hora y 15 minutos. 
 
 Las demandas mensuales por cada producto están en la siguiente tabla. 
 
 
Producto Dda. Máxima Dda. Mínima 
Ceniceros 250 50 
Jarrones 150 50 
Bandejas 100 20 
 
 A esto debemos sumar el precio de la greda, que es de $1.000 el kilo, y que este artesano 
dispone de $30.000 mensuales para la compra de su insumo. 
 
 Finalmente, el precio de venta de estos productos son de $1.000 los ceniceros, $2.500 los 
jarrones y $3.500 las bandejas. 
 
 Maximice las utilidades mensuales del artesano como programa lineal con las siguientes 
variables ya definidas. 
 
Variables: 
 
 c: horas de trabajo destinadas a hacer ceniceros. 
 j: kilos de greda utilizados en hacer jarrones. 
 b: porcentaje del presupuesto destinado a hacer bandejas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Solución Ejercicio 29 
 
Variables: c: horas de trabajo destinadas a hacer ceniceros. 
 j: kilos de greda utilizados en hacer jarrones. 
 b: porcentaje del presupuesto destinado a hacer bandejas. 
 
Maximizar: 
 
 z = (1.000-200)·(2·c) + (2.500-750)·(j/0,75) + (3.500-1.500)·(20·b) 
 
Sujeto a: 
 
 (0,4·c + j + 30·b)·1.000 ≤ 30.000 (Restricción presupuestaria) 
 c + (j/0,75) + 25·b ≤ 200 (Restricción de tiempo) 
 25 ≤ c ≤ 125 (Demanda de ceniceros) 
 37,5 ≤ j ≤ 112,5 (Demanda de jarrones) 
 1 ≤ b ≤ 5 (Demanda de bandejas) 
 c, j, b ≥ 0 (No negatividad) 
 
(Hint. Para lograr este resultado es conveniente definir variables auxiliares) 
 
Variables Auxiliares: x: nº de ceniceros a producir. 
 y: nº de jarros a producir. 
 z: nº de bandejas a producir. 
 
Transformación de las variables: 
 
 x = 2·c 
 y = j/0,75 
 z = 20·b 
 
 Si resolvemos el problema para las variables auxiliares, podemos resolver, de manera más 
simple, el problema de la manera que se pide en el enunciado, reemplazando las variables auxiliares 
por las variables definidas en el problema original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Ejercicio 30 
 
 Una empresa textil produce tres tipos de camisas. Para la fabricación de estas se utilizan dos 
tipos de telas, de algodón y de poliéster. Se estudia la manera de optimizar los insumos en la 
producción. Cada camisa utiliza 2,5 metros cuadrados de tela. 
 
 A continuación se muestra una tabla con el porcentaje de utilización de cada tipo de tela en 
la fabricación de cada camisa. 
 
Camisas Algodón Poliéster 
Tipo 1 100% 0% 
Tipo 2 30% 70% 
Tipo 3 0% 100% 
 
 Por una política interna de la empresa que consiste en producir más de 
su producto de lujo que es la camisa Tipo 1, se ha determinado que al menos la mitad de la 
producción total de la empresa debe ser de este tipo de camisas. 
 
 Estudios determinan que la camisa Tipo 1 no se demanda más que 450 unidades mensuales, 
y que de los otros dos tipos no exceden las 600 unidades mensuales. Una observación adicional es 
que la diferencia de demanda entre las camisas Tipo 2 y 3 no es de más de 30 unidades en cada mes. 
El mínimo demandado de cada tipo es de 50 unidades, también mensuales. 
 
 La empresa tiene un compromiso mensual con una multitienda que consiste en abastecer de 
30 camisas Tipo 1 y de 40 de las Tipo 3. 
 
 El costo del metro cuadrado de algodón es de $500 y el de poliéster es de $300. El 
presupuesto de la empresa para la compra de telas es de $800.000. Finalmente se sabe que los 
precios de venta de las camisas son de $15.000, $9.000 y $7.000 respectivamente. 
 
 Maximice las utilidades mensuales de la empresa textil modelándolo como un programa 
lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Solución Ejercicio 30 
 
(Proliferación de variables) 
 
Variables: 
 
 a1: m2 de tela algodón destinada a la elaboración de camisas Tipo 1. 
 a2: m2 de tela algodón destinada a la elaboración de camisas Tipo 2. 
 p2: m2 de tela poliéster destinada a la elaboración de camisas Tipo 2. 
 p3: m2 de tela poliéster destinada a la elaboración de camisas Tipo 3. 
 
Maximizar: 
 
 z = 15.000·(a1/2,5) + 9.000·((a2 + p2)/2,5) + 7.000·(p3/2,5) 
 - 500·(a1 + a2) - 300·(p2 + p3) 
Sujeto a: 
 
(0,3)· p2 = (0,7)·a2 (Composición camisa Tipo 2) 
a1 ≥ (a1 + a2 + p2 + p3)/2 (Política de producción) 
80 ≤ (a1/2,5) ≤ 480 (Demanda por camisas Tipo 1) 
50 ≤ ((a2 + p2)/2,5) ≤ 600 (Demanda por camisas Tipo 2) 
90 ≤ (p3/2,5) ≤ 640 (Demanda por camisas Tipo 3) 
│((a2 + p2)/2,5) - (p3/2,5)│ ≤ 30 (Diferencias de demanda 2 y 3) 
500·(a1 + a2) + 300·(p2 + p3) ≤ 800.000 (Restricción de ppto.) 
a1, a2, p2, p3 ≥ 0 (No negatividad) 
 
Ejercicio 31 
 
 Un restaurante del centro de Santiago ha definido sus políticas comerciales y desea 
maximizar sus ingresos. El restaurante vende “comidas caseras” y “comida Chatarras”, para esto 
cuenta con 3 chef y 6 ayudantes de cocina. Las comidas caseras son ofrecidas tanto en el menú o 
‘carta’ y bajo promociones, en tanto la comida chatarra sólo se puede ofrecer bajo promociones. 
Así la empresa definió que por cada 3 comidas en promoción debe elaborarse al menos una comida 
casera de menú. Se sabe además, que la demandas por comidas de menú tiene como un mínimo 200 
y un máximo de 500 comidas semanales. En tanto las comidas en promoción tienen una demanda 
mínima de 500 y una demanda máxima de 1500 por semana. Las comidas caseras de menú sólo 
pueden ser preparadas por los chef, cada chef es capaz de elaborar 6 comidas por hora; las comidas 
caseras en promoción, pueden ser elaboradas por chef o por ayudantes de cocina, cada chef puede 
hacer 10 comidas por hora, en tanto cada ayudante de cocina hace una comida en 15 minutos. Las 
comidas chatarras por su fácil elaboración sólo requieren la presencia de los ayudantes de cocina, 
cada ayudante puede elaborar 8 comidas por hora. La jornada de trabajo es de 40 horas semanales. 
 
 Se pide maximizar los ingresos semanales del restaurante sujeto a las políticas definidas, 
sabiendo que el margen de una comida casera de menú, comida casera en promoción y comidas 
chatarras son de $1.000, $ 600, $300 respectivamente. 
 
 
 
46 
 
Solución Ejercicio 31 
 
Variables: 
 
Cm: Número de comidas caseras de menú producidas. 
CH: Número de comidas chatarras producidas. 
Cp,ch: Número de comidas caseras en promoción producidas por el chef. 
Cp,ac : Número de comidas caseras en promoción producidas por el ayudante de cocina. 
 
Maximizar: 
 
 z = 1000*Cm + 300 * CH + 600 * ( Cp,ch + Cp,ac ) 
 
Sujeto a: 
 
500 ≤ ( Cp,ch + Cp,ac + CH) ≤ 1500 (restricción de demanda promociones) 
200 ≤ Cm ≤ 500 (restricción de demanda menú) 
( Cp,ch + Cp,ac + CH) ≤ 3 * Cm (política comercial) 
1/10 * Cp,ch + 1/6 * Cm ≤ 120 (restricción laboral Chef) 
¼ * Cp,ac + 1/8 * CH ≤ 240 (restricción laboral Ayudante de 
 Cocina) 
Cp,ch , Cp,ac , CH, Cm ≥ 0 ( no negatividad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Ejercicio 32 
 
 Una empresa dedicada a la fabricación y venta de muebles (mesas, sillas y bancos), está 
estudiando la manera de optimizar sus recursos. Los insumos básicos en el proceso productivo son 
de tres tipos de madera: roble, pino y caoba, en ese mismo orden van de más resistentes a menos. El 
peso de cada producto está representado en el cuadro que sigue (en el proceso de transformación no 
ocurren pérdidas). 
 
 Mesas Sillas Bancos 
Pesos (en Kg.) 60 10 5 
 
 El costo del kilo de madera de roble, pino y caoba es de $ 1.000, $ 500 y $ 250, 
respectivamente. La utilización de estos insumos en la producción está representada en el siguiente 
cuadro. 
 
 Roble Pino Caoba 
Mesas 70% 30% 0% 
 Sillas 0% 50% 50% 
Bancos 0% 0% 100% 
 
 Los precios de venta de lasmesas, sillas y bancos son de $100.000, $ 20.000 y $ 10.000, en 
ese orden. Se cuenta con un Presupuesto de $ 1.000.000 para compra de maderas. Por estimaciones 
que se han realizado, se ha determinado que la venta de sillas y la venta de bancos no difieren nunca 
en más de 20 unidades, por lo que la producción de éstos no debe ser distinta a esta estimación. Por 
motivos de demanda la producción de mesas no debe ser de más de un quinto de las sillas. Y se 
sabe que la máxima demanda de mesas es de 150. Modele el problema de maximización de 
utilidades como programa lineal. 
 
Solución Ejercicio 32 
 
 rm : kilos de roble utilizados en la fabricación de mesas. 
 pm : kilos de pino utilizados en la fabricación de mesas. 
 ps : kilos de pino utilizados en la fabricación de sillas. 
 cs : kilos de caoba utilizados en la fabricación de sillas. 
 cb : kilos de caoba utilizados en la fabricación de bancos 
 
Maximizar: 
 
z = 100.000 {(0,7* rm + 0,3* pm)/60}+ 20.000 {(0,5* ps + 0,5* cs)/10} + 10.000 (cb/5 ) - 1000* 
rm – 500 * (pm + ps ) – 250 * (cs + cb) 
 
Sujeto a: 
 
 1000* rm – 500 * (pm + ps ) – 250 * (cs + cb) ≤ 1.000.000 
 │{(0,5* ps + 0,5* cs)/10} - (cb/5 )│≤ 20 
 5* { (0,7* rm + 0,3* pm)/60} ≤ {(0,5* ps + 0,5* cs)/10} 
 { (0,7* rm + 0,3* pm)/60 }≤ 150 
 rm , pm , ps , cs, cb ≥ 0 
48 
 
Ejercicio 33 
 
 Una entidad financiera debe decidir las inversiones a realizar para los próximos tres 
períodos. La entidad cuenta con un capital disponible de $80 para el período inicial y $8 para el 
período 1. La empresa cuenta con cuatro proyectos (únicos e irrepetibles) en los que podrá 
participar en el porcentaje que estime conveniente. Los flujos para cada alternativa de inversión en 
proyectos se muestran en la siguiente tabla: 
 
Proyecto\Período 0 1 2 3 
A -100 0 0 +120 
B 0 -10 -2 +15 
C +50 -15 -15 -20 
D -25 +10 +10 +15 
 
 Todos los valores están expresados en moneda del período inicial (0). Así por ejemplo el 
proyecto B implica invertir $10 en el periodo 1, $2 el período 2 para recibir $15 el período 3. El 
proyecto C recibe $50 el período 0, pero deberá devolver $15, $15 y $20 los períodos siguientes. Al 
ser los proyectos únicos e irrepetibles no se podrá sobre invertir en ninguno de ellos, así, la máxima 
inversión en el proyecto A es de $100. Suponga que para poder invertir en cada período sólo cuenta 
con el capital propio y los flujos positivos generados por los proyectos durante ese mismo período, 
es decir, si existen períodos en los que no se utiliza la totalidad del dinero disponible, éste no puede 
ser utilizado en inversiones de otros períodos. 
 
 Las inversiones en los proyectos deberán cumplir las siguientes condiciones: 
 
• Por cada peso invertido en A deberá invertir al menos 3 pesos en D. 
 
• La inversión en B no podrá superar el 20% del total de la inversión realizada en los otros 3 
proyectos. 
 
 Además de estas alternativas la empresa podrá prestar/pedir prestado un máximo de $50 el 
período 0 para obtener/devolver el principal el período 3 más una tasa del 15%. 
 
 Modele el problema, donde la unidad de medida de las variables debe ser en $. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Solución Ejercicio 33 
 
Variables: 
 
 a: pesos invertidos en A. 
 b: pesos invertidos en B. 
 c: pesos invertidos en C. 
 d: pesos invertidos en D. 
 p: pesos que se piden prestados o se prestan. 
 
Maximizar: 
 
 z = a•(120/100-1) + b•(15/12-1) + d•(35/25-1) + p•(0,15) 
 
Sujeto a: 
 
a + d + p ≤ 80 + c 
(5/6)•b + (3/10)•c ≤ 8 + (10/25) •d 
(1/6)•b + (3/10)•c ≤ (10/25)•d 
(4/10)•c ≤ (120/100)•a + (15/12) •b + (15/25) •d + p• (1,15) 
3a ≤ d 
b ≤ 0,2 (a + c + d) 
|p| ≤ 50 
a ≤ 100 
b ≤ 12 
c ≤ 50 
d ≤ 25 
a, b, c, d ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Ejercicio 34 
 
 Una agencia de viajes ofrece cuatro planes para viajar a Buenos Aires en las vacaciones. 
Dichos planes y sus costos para la agencia se detallan en la siguiente tabla: 
 
 Plan “A la 
Medida” 
Plan “Turista” Plan “Ejecutivo” Plan “De lujo” 
Pasaje $40.000 $55.000 $73.400 $97.000 
Alimentación $30.000 $42.500 $57.800 $68.700 
Traslados $5.000 $7.200 $10.450 $15.300 
Hotel $50.000 $64.000 $82.000 $103.000 
 
 A lo largo del país existen 4 agencias con 20 empleados cada una. Cada empleado trabaja 
un total de 45 horas semanales, distribuidas equitativamente durante los 5 días de la semana. Todos 
los empleados presentan la misma productividad y son capaces de vender un máximo de 10 “A la 
medida” , 7 “Turista” , 9 “Ejecutivo” ó 6 “De lujo”. 
 
 Los empleados deben cumplir un requisito de que el total de horas dedicadas a vender 
planes “Turista” debe ser al menos el doble del total de horas dedicadas a vender planes “De lujo” . 
 
 Debido a políticas internas de la compañía, el gasto en pasajes del plan “A la medida” no 
debe superar al 20% del gasto total en pasajes. 
 
 El presupuesto semanal de la compañía para los gastos de pasajes, hotel, traslados y comida 
asciende a los 20 millones de pesos. También se sabe que no más del 40% de dicho presupuesto 
debe ser usado en hoteles de “Turismo”, “A la medida” y “De lujo” 
 
 Si los precios de venta de los planes son $205 mil, $251 mil, $304 mil y $ 392 mil para los 
planes “A la medida”, “Turista”, “Ejecutivo” y “De lujo” respectivamente modele el problema 
maximizando las utilidades mensuales de la agencia, asumiendo como restricción que la agencia 
paga los servicios antes de recibir el dinero de la venta, por lo que debe atenerse a su presupuesto 
(asuma que la tasa de descuento del dinero es de 0%). 
 
 Defina las siguientes variables de decisión: (sólo debe ocupar estas variables): 
 
 a: % del presupuesto mensual de la empresa destinado a costos de “A la medida”. 
 t:: Horas de trabajo totales destinadas a vender planes “Turista” en un mes. 
 e: Gasto en hoteles de plan “Ejecutivo” en relación al presupuesto mensual. 
 l: Cantidad de planes “De lujo” vendidas en el mes respectivo. 
 
Nota: Use dos decimales aproximando el segundo. 
 
 
 
 
 
51 
 
Solución Ejercicio 34 
 
 Una agencia de viajes ofrece cuatro planes para viajar a Buenos Aires en las vacaciones. 
Dichos planes y sus costos para la agencia… 
 
Maximizar: 
 
 z = 51.200.000×a + 12.805,2×t + 78.390.263,5×e +108.000×l 
 
Sujeto a: 
 
 No negatividad: 
 
 a, t, e, l ≥ 0 
 
 Restricción de proporcionalidad: 
 
 a, e ≤ 1 
 
 Horas de trabajo: 
 
 2880 a + t + 4878,05e + 7,5 l ≤ 14400 
 
 Pasajes a la medida: 
 
 25600000a ≤ 0,2 (25600000a + 8800t +71609774e +97000l 
 
 Ppto: 
 
 80.000.000 a + 26992 t +218195176,5 e +284000 l ≤ 80.000.000 
 
 Gasto en hoteles: 
 
 32000000a + 1024 t +103000 l ≤ 32.000.000 
 
 Horas de trabajo en plan “Turista” y “De lujo”G: 
 
 t ≥ 15l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Ejercicio 35 
 
 Inversiones Caja S.A. tendrá excedentes de caja disponibles los próximos tres períodos, tal 
como se muestra en la tabla 1. 
Tabla 14: Excedentes de caja por período [$] 
Período 0 1 2
Excedentes 120 5 20 
 Con el objetivo de rentabilizar estos excedentes la empresa cuenta con distintas alternativas 
de inversión, en las que se puede participar en el porcentaje que se desee, sabiendo que son 
proyectos únicos e irrepetibles. La información de las alternativas se muestra en la tabla 2. 
Tabla 15: Flujos, VPN, y tasa de descuento de las alternativas de Inversiones 
Período 0 1 2 VPN Tasa descto
Alternativa 1 -100 -10 249 140 10%
Alternativa 2 -15 35 -11 7 5%
Alternativa 3 -50 60 31 36 10% 
 Además de las alternativas descritas la empresa podrá prestar o pedir prestado hasta un 
monto máximo de $8, el que le será devuelto o tendrá que devolver en el período siguiente, tal 
como lo muestra la tabla 3. 
Tabla 16: Flujos, VPN y tasa de descuento al prestar ó pedir dinero 
Período 0 1 2 VPN Tasa descto
Prestar/Pedir -8/8 11/-11 2/-2 10% 
 Así por ejemplo si la empresa presta $8 el período 0, le devolverán $11 el período 1, 
teniendo esta operación un VPN igual a $2. En caso deprestar $8 deberá devolver $11 obteniendo 
un VPN de $ -2. 
 
 Como condición de inversión, la administración dispone que para el período 0, que por cada 
peso invertido en la alternativa 1 deberá invertir al menos $3 en la alternativa 3. 
 
 Se pide modelar este problema para optimizar la utilización de los excedentes de la 
empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Solución Ejercicio 35 
 
 Inversiones Caja S.A. tendrá excedentes de caja disponibles los próximos tres períodos, tal 
como se muestra en… 
 
Se definen las variables: 
 
xi = porcentaje de inversión en la alternativa i, i = 1, 2, 3. 
xp = porcentaje del monto máximo a prestar (pedir prestado cuando la variable es negativa). 
 
Maximizar: 
 
 z = 140 x1 + 7 x2 + 36 x3 + 2 xp 
 
Sujeto a: 
 
 100 x1 + 15 x2 + 50 x3 – 8 xp ≤ 120 (período 0) 
 10 x1 + 11 xp – 35 x2 – 60 x3 ≤ 5 (período 1) 
 11 x2 – 249 x1 – 31 x3 ≤ 20 (período 2) 
 3 x1×100 – 50 x3 ≤ 0 (restricción de administración) 
 0 ≤ xi ≤ 1 i = 1, 2, 3 
 -1 ≤ xp ≤ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Ejercicio 36 
 
 El Ministerio de Planificación y Presupuestos está analizando la manera más eficiente en 
materia de costos de abastecer de energía al país este año. La siguiente tabla muestra las 
características de las fuentes energéticas disponibles: 
 
Fuente Energética Unidad de Medida 
Costo por Unidad 
($/m3) 
Contaminación por 
Unidad (Particulas por 
m3) 
Petróleo Metros Cúbicos 3.000 60 
Gas Natural Metros Cúbicos 1.500 15 
 
 El petróleo no se vende como tal, sino que se procesa para obtener dos combustibles; diesel 
y bencina. Para la producción de diesel son necesarios 3 trabajadores por cada 100 m3 de petróleo y 
para la producción de bencina son necesarios 5 trabajadores por cada 100 m3 de petróleo. El costo y 
contaminación por metro cúbico de bencina y diesel es igual al del petróleo. 
 
 El gas natural se puede vender tal cual, o procesar para obtener energía termoeléctrica. Para 
la obtención de Gas Natural son necesarios 15 trabajadores por cada 1.000 m3, si se desea vender 
como energía termoeléctrica es necesario incluir un proceso adicional que requiere de un trabajador 
por cada 100 m3 de Gas. Se sabe que 100 m3 de gas se transforman en 500 nudos de energía 
termoeléctrica. Al igual que en el Petróleo, no se altera el nivel de contaminación ni se incurre en 
mayores gastos en el proceso de transformación. 
 
 La generación de calorías de cada combustible esta dado en la siguiente tabla: 
 
Combustible 
Calorías por Unidad 
(KCal/Unidad) 
Diesel 1.500 (Kcal/m3) 
Bencina 1.900 (Kcal/m3) 
Gas Natural 400 (Kcal/m3) 
Termoeléctrica 800 (Kcal/nudo) 
 
 Por requerimientos de país, se sabe que no puede bajar la generación de calorías de 
1.000.000 KCal anual, y que por motivos de una capacidad de absorción máxima de calorías anual 
no deben producirse más de 15.000.000 KCal. 
 
 El Ministerio del Trabajo ha pedido que se imponga en la planificación nacional de que al 
menos se creen 80.000 puestos de trabajo en la generación de las calorías necesarias. 
55 
 
 
 Como medida medioambiental, el gobierno ha impuesto un límite de 250.000 partículas 
anuales, por concepto de generación, como máximo. 
 
 Modelar el problema como programa lineal de minimización de costos para el Gobierno en 
la planificación energética del país. 
 
Solución Ejercicio 36 
 
(Existen más maneras de definir las variables, por ejemplo, la energía termoeléctrica puede ser 
definida en nudos) 
 
Variables: 
 
 b: m3 de Petróleo utilizados para producir Bencina. 
 d: m3 de Petróleo utilizados para producir Diesel. 
 g: m3 de Gas Natural utilizados como tal. 
 t: m3 de Gas Natural para producir energía Termoeléctrica. 
 
Minimizar: 
 
 z = 3.000·(b + d) + 1.500·(g + t) 
 
Sujeto a: 
 
 0,03·d + 0,05·b + 0,015·g + 0,025·t ≥ 80.000 
 1.000.000 ≤ 1.300·d + 1.900·b + 400·g + 160·t ≤ 15.000.000 
 60·(b + d) + 15·(g + t) ≤ 250.000 
 b, d, g, t ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Ejercicio 37 
 
 Una empresa de transporte público necesita reemplazar la totalidad de sus buses para 
cumplir con las nuevas disposiciones gubernamentales. La empresa cuenta con distintos fabricantes, 
que ofrecen distintos buses cuyas características se muestran en la tabla: 
 
Número máximo Capacidad del bus Número de viajes por mes Costo de compra
Proveedor de buses ofrecidos [buses] [pasajeros/bus] que realiza cada bus [viajes/bus] de un bus [$/bus]
Antuco Ma Ca Va Pa
Bólidos Ltda Mb Cb Vb Pb
Cono Sur Mc Cc Vc Pc 
 La empresa debe realizar al menos D viajes al mes. Además, para no perder su licitación, la 
capacidad mínima de transporte de la flota deberá ser de E pasajeros. Por políticas ningún 
proveedor podrá representar más del 50% de los costos por compra de buses, ni menos del 5%. 
 
 Modele como Programación Lineal este problema de forma de optimizar la compra de la 
flota de buses. 
 
Solución Ejercicio 37 
 
 En este ejercicio hay que optimizar la compra de la flota de buses. 
 
Variables de decisión: 
 
 a: número de buses comprados a Antuco. 
 b: número de buses comprados a Bólidos Ltda. 
 c: número de buses comprados Cono Sur. 
 
Minimizar: 
 
 aPa + bPb + cPc 
 
Sujeto a: 
 
 Restricción de viajes: 
 
 aVa + bVb + cVc ≥ D 
 
 Restricción pasajeros: 
 
 aCa + bCb + cBc ≥ E 
 
 Restricciones de oferta de buses: 
 
 a ≤ Ma , b ≤ Mb , c ≤ Mc 
 
 Limite inferior proveedores: 
 
 aPa; bPb; cPc ≥ 0,05(aPa + bPb + cPc) 
57 
 
 Limite superior proveedores: 
 
 aPa; bPb; cPc ≤ 0,5 (aPa + bPb + cPc) 
 
 No negatividad: 
 
 a,b,c ≥ 0 
 
Ejercicio 38 
 
 Una cadena internacional de cines está pronta a inaugurar su nuevo complejo de 16 salas en 
una nueva ciudad. Estas salas están equipadas con tecnología de vanguardia y tienen una capacidad 
máxima de 400 personas cada una. 
 
 Las salas pueden operar en 3 horarios: matiné, vermouth y noche, cada uno de los cuales 
tendrá un precio por entrada distinto. Las funciones de matiné tendrán un precio promocional de 
$1.500 por persona, en tanto para vermouth y noche las entradas costarán $2.000 y $2.500 
respectivamente. 
 
 Se sabe que en la noche acuden al menos 3.600 personas diariamente al cine y que en la 
mañana no asiste más de un tercio de esta cantidad de personas. Además, la experiencia de la 
empresa ha determinado que por cada 3 funciones que se den en la noche, se deben dar a lo más 2 
en la tarde (vermouth). 
 
 El funcionamiento de las salas tiene costos fijos que dependen del horario de operación (si 
una sala no tiene función en algún horario, no incurre en estos costos): 
 
Costos y Horario de Funciones Matiné Vermouth Noche 
Costo Equipos de Proyección y 
Otros 
$100.000 por 
función 
$100.000 por 
función 
$100.000 por 
función 
Costo Iluminación, Ventilación y 
Calefacción 
$60.000 por 
función 
$75.000 por 
función 
$90.000 por 
función 
Costo Aseo, Mantenimiento y 
Otras Labores 
$30.000 por 
función 
$30.000 por 
función 
$50.000 por 
función 
 
 Además de los ítemes anteriores, existe un costo administrativo por cada persona que asiste 
al cine de $200 independiente del horario (costo del ticket, atención al cliente, uso de baños, 
etcétera) y un costo fijo de $250.000 diarios asociado al complejo y que es independiente de las 
funciones que se estén dando en las salas (arriendo de espacios físicos, seguros, remuneraciones del 
personal de planta, servicios básicos, etc). 
 
 El complejo de cines tiene un staff de 40 personas trabajando por turnos. Cada función de 
matiné requiere de 1 empleado trabajando en ese turno, lo mismo en el caso de las funciones de 
vermouth. Las funciones de noche, debido a la mayor afluencia de público y a mayor necesidad de 
seguridad, requieren de 2 personas trabajando por sala. Se asume que cada empleado trabaja sólo en 
1 turno diariamente (matiné, vermouth o noche). 
58 
 
 
a) Usted, como gerente de operaciones de la empresa, ¿qué debe decidir?, ¿cuáles son sus