certamenes resueltos (No revisados)

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Universidad del Bio-Bio
 Facultad de Ingenieria
Dpto. de Ing. Industrial
´
Profesor: Ivan Santelices
Nombre: Christian Mackers
Fecha: Marzo del 2003
Los primeros 5 certamenes corresponderan a certámenes 1 y los restantes 5 a
certámenes 2.
Certamen 1:
Problema 1. Considerar el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar Z= -X1+4X2
 S/A
-3X1+X2<=6
X1+2X2<=4
X1 srs X2>= -3
1. Resolver el problema gráficamente.
2. Resolver el problema utilizando algoritmo simplex
 X2
 -3X1+X2=6
 OPTIMO
6 X1*=-8/7
X2*=18/7
X1+2X2=4 Z*=80/7 los cuales resultan de un sistema
 2
• X1
X2=-3 -3
Usando Simplex
Base X1 X1´ X2 X3 X4
Z 1 -1 -4 0 0 0
X3 -3 3 1 1 0 9
X4 1 -1 2 0 1 10
BASE X1 X1´ X2 X3 X4
Z 3 -3 0 0 2 20
X3 -7/2 7/2 0 1 -1/2 4
X2 ½ -1/2 1 0 ½ 5
BASE X1 X1´ X2 X3 X4
Z 0 0 0 6/7 11/7 164/7
X1´ -1 1 0 2/7 -1/7 8/7
X2 0 0 1 1/7 3/7 39/7
X1´=8/7
X1=0
X2=30/7
Z=164/7 ⇒ Z=164/7 (prob. De máximo)
X1*=X1-X1´=0-8/7=-8/7
X2*=X2-3=39/7-3=18/7
Z*=Z-12=164/7-12=80/7
Problema 2. Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de
cada uno de los próximos 5 años (llámese años del 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio
de cualquier año retribuye $1,40 (una ganancia de $0,40) 2 años después (a tiempo para la
reinversion inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1,70
tres años después. Además, las actividades C y D estarán disponibles para inversión una sola vez
en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1,90 al final del año 5. Cada
dólar invertido en D al principio del año 5 retribuye $1,30 al final de ese año. El inversionista
tiene $60000 para iniciar y desea saber cual plan de inversión maximiza la cantidad de dinero
acumulada al principio del año 6. Formule el modelo de programación lineal para resolver este
problema.
Variables de decisión:
A: cantidad invertida en la actividad A en el año i, i=1
B: cantidad invertida en la actividad B en el año i, i=1
C: cantidad invertida en la actividad C en el año 2
D: cantidad invertida en la actividad D en el año 5
Yi: cantidad no invertida en el año i, i=1,2,3,4,5
A1+B1+Y1 = 60000
A2+B2+C+Y2 = Y1
A3+B3+Y3 = Y2+1,4 A1
A4+Y4 = Y3+1,4 A2+1,7 B1
D+Y5 = Y4+ 1,4 A3 + 1,7 B2
Maximizar Z= 1,4 A4 + 1,7 B3 + 1,9 C + 1,3 D + Y5
Problema 3. Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción.
Las tres plantas pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de
la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y
chico que darán una ganancia de $420, $360 y $300 respectivamente. Las plantas tienen
capacidad de mano de obra y equipos para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de cada una,
sin importar el tamaño o la combinación de tamaños que se trate. La cantidad de espacio
disponible para almacenar material impone también una limitación en las tasas de producción del
nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 metros cuadrados de espacio en las plantas
1, 2 y 3 para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad
grande, mediana y chica que se producen requiere 20, 15 y 12metros cuadrados respectivamente.
Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias,
correspondientes a los tamaños grande, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de
trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna de flexibilidad, la gerencia ha decidido
que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad
adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuantas unidades de cada tamaño debe
producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal
para resolver este problema.
Producto Ganancia Neta Demanda Espacio Físico
Grande $420 900 20 m2
Mediano $360 1200 15 m2
Chico $300 750 12 m2
Plantas Capacidad de producción Espacio físico disponible
1 750 13000 m2
2 900 12000 m2
3 450 5000 m2
Variables de decisión:
Xij = cantidad de productos j producidos por la planta i con capacidad actual de producción
Yij = cantidad de productos j producidos por la planta i con la capacidad adicional de producción
Restricciones de demanda:
X11+Y11+X21+Y21+X31+Y31>=900
X12+Y12+X22+Y22+X32+Y32>=1200
X13+Y13+X23+Y23+X33+Y33>=750
Restricciones de capacidad de producción (actual):
X11+X12+X13<=750
X21+X22+X23<=900
X31+X32+X33<=450
Restricciones de espacio físico:
20(X11+Y11)+15(X12+Y12)+12(X13+Y13)<=13000
20(X21+Y21)+15(X22+Y22)+12(X23+Y23)<=12000
20(X31+Y31)+15(X32+Y32)+12(X33+Y33)<=5000
Restricciones de carga de trabajo uniforme:
Y11+Y12+Y13 / Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33=Y21+Y22+Y23 /
Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33
Y21+Y22+Y23 / Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33=Y31+Y32+Y33 /
Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33
Y31+Y32+Y33 / Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33=Y11+Y12+Y13 /
Y11+Y12+Y13+Y21+Y22+Y23+Y31+Y32+Y33
Funcion objetivo: Maximizar Z=
420(X11+Y11+X21+Y21+X31+Y31)+360(X12+Y12+X22+Y22+X32+Y32)+300(X13+Y13+X
23+Y23+X33+Y33)
Certamen 2:
Problema 1. Alexis Cornby se gana la vida comprando y vendiendo maíz. El 1 de Enero, tiene
50 toneladas (ton) de maíz y 1000 dólares. El primer día de cada mes, Alexis puede comprar maíz
a los siguientes precios por tonelada: enero 300 dólares, febrero 350 dólares, marzo 400 dólares,
abril 500 dólares. El ultimo día de cada mes, Alexis puede vender el maíz a los siguientes precios
por tonelada: enero 250 dólares, febrero 400 dólares, marzo 350 dólares, abril 550 dólares. Ella
guarda el maíz en una bodega que tiene una capacidad máxima de 100 ton de maíz. Tiene que
poder pagar al contado todo el maíz al momento de la compra. Utilice la programación lineal para
determinar como Alexis puede maximizar su efectivo al final del mes de abril.
Variables de decisión:
Xi=toneladas de maíz compradas en el mes i
Yi=toneladas de maíz vendidas al final del mes i
Ii=toneladas guardadas en inventario al final del mes i
Pi=dinero no invertido en el mes i
Max Z= P4 + 550Y4
S/A
300X1 + P1 = 1000 50 + X1 = Y1 + I1 50 + X1 <= 100
350X2 + P2 = P1 + 250Y1 X2 + I1 = Y2 + I2 X2 + I1 <= 100
400X3 + P3 = P2 + 400Y2 X3 + I2 = Y3 + I3 X3 + I2 <= 100
500X4 + P4 = P3 + 350Y3 X4 + I3 = Y4 X4 + I3 <= 100
 Xi, Yi, Ii, Pi >= 0
Problema 2. Dado el siguiente problema de P.L.
Min 4X1 + 6X2
S/A
2X1 – 4X2 <= 20
X1 – X2 >= 4
5X1 + 3X2 <= 15
3X2 + 2X1 >= -6
X1 >= 2 , X2 <= 0 Resolver por el método grafico.
 X2
 X1>=2
 5
 4
 3 X1-X2>=4
 2 2X1-4X2<=20
 1
 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X1
 -1
 -2
 P1
 -3
 -4 P2 5X1+3X2<=15
 Z-5 3X2+2X1>=-6
P1=(2,-10/3)⇒Z=-12
P2=(18/7,-26/7)⇒Z=-12
Problema 3. Se desea programar la producción de una fabrica de muebles para los próximos 3
meses. Dada la gran variedad de productos que elabora la empresa, la Gerencia General ha
solicitado a la Gerencia Comercial que realice un estudio para identificar los principales
productos. Después de un arduo análisis, se ha estimado que el 80% de los ingresos corresponden
a tres tipos de muebles: Escritorio Ejecutivo (EE), Comedor Normando (CN) y Vanitorio Frances
(VF). La demanda estimada para cada producto es de:
Mes Mes Mes
MUEBLE 1 2 3 Precio Venta Inventario Actual
EE 150 200 300 900 40
CN 180 140 200 1500 30
VF 190 250 230 800 20
El proceso productivo consta de 2 etapas: Dimensionado y Corte (DC), Ensamble (E) y Pintado y
Terminación (PT). Los requerimientos de cada producto por estos recursos son los siguientes:
PROCESO PROCESO PROCESO
MUEBLE DC E PT Costo Mat.Prima
EE 5 4 3 100
CN 3 9 8 250
VF 4 3 2 80
Horas Disp.(hr/proceso) 3500 2900 4700
Costo ($/hr) 16 18 20
El proceso de ensamble es posible trabajarlo con doble tiempo, con un costo adicional de un 50%
en este proceso, y una cantidad máxima de 1500 hr/mes.
Por razones de espacio, al final de cada mes no pueden haber mas de 100 unidades almacenadas
en total, siendo el costo de almacenamiento de 80 $/u-mes.
Se ha establecido como meta que al final del trimestre no exista en bodega mas de $60000 en
inventario (evaluado en términos de Ingresos por Ventas). Formular un modelo de P.L. que
permita resolver el problema de programación de la empresa.
Definición de variables de decisión
Iik : cantidad de unidades de producto i sin inventario al final del mes k
Xijk : cantidad de muebles tipo i fabricados por j durante el mes k.
i= 1:EE 2:CN 3:VT
j= 1:SST 2:CST
k= 1: mes 1 …… 3: mes 3
Proceso j Proceso j
Producto i 1 2
1: EE 588 552
2: CN 880 799
3: VF 562 535
Max U = 588(X111+X112+X113)+880(X211+X212+X213)+562(X311+X312+X313)+
552(X121+X122+X123)+799(X221+X222+X223)+535(X321+X322+X323)-80
(I11+I12+I13+I21+I22+I23+I31+I32+I33)
Restricciones:
De Demanda:
40+X111+X121-150=I11
I11+X112+X122-200=I12 Producto 1
I12+X113+X123-300=I13
30+X211+X221-180=I21
I21+X212+X222-140=I22 Producto 2
I22+X213+X223-200=I23
20+X311+X321-190=I31
I31+X312+X322-250=I32 Producto 3
I32+X313+X323-230=I33
De Espacio:
I11+I21+I31<=100
I12+I22+I32<=100
I13+I23+I33<=100
De Inventario:
900I13+1500I23+800I33<=60000
De Disponibilidad de Recurso:
DC: 5(X11k+X12k)+3(X21k+X22k)+4(X31k+X32k)<=3500
E,SST: 4X11k+9X21k+3X31k<=2900
E,CST: 4X12k+9X22k+3X32k<=1500
PT: 3(X11k+X12k)+8(X21k+X22k)+2(X31k+X32k)<=4700
Xijk <=0
Certamen 3:
Problema 1. Considerar el siguiente problema de programacion lineal.
Min Z= X1-X2
S/A
5X1+7X2<=35
X1-X2>=4
X1>=-2 X2>=2
a) Encontrar la solución optima. ¿Existe mas de una solución?,justifique.
b) Escriba el problema en la forma estándar.
c) Determine dos soluciones básicas factibles e indiquen a cuales vértices corresponden.
 X2
 X1-X2>=-4
 5
 X1>=-2 C X1=7/12 X2=55/12
 4
 3
 A 2 B X2>=2
 1
 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
 -1
 -2 5X1+7X2<=35
 -3
 -4
Solución Optima:
X1= 7/12= 0,58
X2= 55/12= 4,58
Z= -4
El problema tiene multiples soluciones pues la pendiente de la recta Z=0 coincide en el optimo
con la pendiente de ka recta X1-X2= -4
Forma Estandar:
X1>=-2 ⇒ X1+2>=0 ⇒ X1´=X1+2>=0 ⇒ X1=X1´-2
X2>=2 ⇒ X2-2>=0 ⇒ X2´=X2-2>=0 ⇒ X2=X2´+2
Z= X1-X2 ⇒ Z=X1´-2-X2´-2 ⇒ Z=X1´-X2´-4
 ⇒ Z+4=X1´-X2´ ⇒ Z´=Z+4=X1´-X2´
Min Z= X1´-X2´
S/A
5X1´+7X2´+X3 = 31
X1´-X2´-X4 = 0
X1´>=0, X2´ >=0, X3 >=0, X4 >=0
Solucion basica factible
X1´=0, X2´=0, X3 =31, X4 =0 ⇒ X1 = -2, X2 = 2 Vertice A
X1´ =31/12, X2´ =31/12, X3 =0, X4 =0 ⇒ X1 = 7/12, X2 = 55/12 Vertice B
Problema 2. Una empresa de transportes forestales tiene 10 camiones con capacidad de carga de
40 toneladas cada uno y 5 camiones con capacidad de 30 toneladas cada uno. Los camiones
grandes tienen costos de operación de 30 $/km y los mas pequeños de 25 $/km. En la próxima
semana la empresa debe transportar 400000 kgs de astillas para un recorrido de 800 kms. La
posibilidad de otros compromisos significa que por cada 2 camiones pequeños mantenidos en
reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el numero optimo de camiones
de ambas clases que deben movilizarse para transportar las astillas de manera de minimizar los
costos de transporte?. Identifique las variables de decisión y formule un modelo de programación
lineal para resolver este problema. Determine la solución optima.
Variables de decision:
X1 = numero de camiones grandes a movilizar
X2 = numero de camiones pequeños a movilizar
Min Z = 24000 X1 + 20000 X2
S/A
40 X1 + 30 X2 >= 400
X1 <= 10
X2 <= 5
2X1 – X2 <=15
X1 >= 0, X2 >= 0
Desarrollando por el metodo grafico:
 X2
 13 X1=10
 12
 11
 10
 9
 X1=6,25
 8 X2=5
 Z=250000
 7
 6
 5 X2=5
 4 RF
 X1=8,5 X1=10
 3 X2=2 X2=5
 Z=244000 Z=340000
 2
 1 X1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
 4X1+3X2=40
 2X1-X2=15
Solucion Optima:
X1 = 8,5
X2 = 2
Z = 244000
Problema 3. Un inversionista tiene 2 actividades para hacer dinero, codificadas como Alfa y
Beta, disponibles al comienzo de cada año de los próximos 4 años. Cada dólar invertido en Alfa
al comenzar un año reditúa $1,4 dos años mas tarde (a tiempo para una reinversion inmediata).
Cada dólar invertido en Beta reditúa $1,8 tres años después. Una tercera posibilidad de inversión,
la construcción de proyectos, estará disponible al comienzo del segundo año. Cada dólar
invertido en construcciónreditúa $1,2 un año mas tarde. (La construcción estará disponible
también al comienzo de los años tercero y cuarto). El inversionista comienza con $100000 al
principio del primer año y desea maximizar la cantidad de dinero que tendrá disponible al
termino del cuarto año. Identifique las variables de decisión y formule un modelo de
programación lineal para este problema.
Variables de decisión:
 αi = dinero invertido en Alfa en el año i, i = 1, 2, 3
βi = dinero invertido en Beta en el año i, i = 1, 2
Ci = dinero invertido en construcción en el año i, i = 2, 3, 4
Yi = dinero no invertido en el año i, i = 1, 2, 3, 4
Max Z = Y4+1,4 ∝3+1,8 Β2+1,2C4
S/A
∝1+ Β1+Y1=10000
∝2+Β2+C2+Y2=Y1
∝3+C3+Y3=Y2+1,4∝1+1,2C2
C4+Y4=Y3+1,4∝2+1,8Β1+1,2C3
∝1, ∝2, ∝3, β1, β2, C2, C3, C4, Y1, Y2, Y3, Y4 >=0
Certamen 4:
Problema 1. Una empresa de muebles de madera fabrica mesas y sillas. Para la producción de
estos productos necesita dos materias primas (madera y pintura) y utiliza el recurso horas hombre
disponible. Las mesas y sillas se venden a 12 y 18 pesos la unidad, respectivamente. Cada mesa
producida requiere 1 litro de pintura, 3 m3 de madera y 3 horas hombre. Cada silla consume 3
litros de pintura, 2 m3 de madera y 4 horas hombre. Actualmente, debido a un convenio con un
productor de pintura, recibe la pintura gratis pero en una cantidad no superior a 21 litros. La
madera, en cambio, es propiedad de la empresa y se dispone de 30 m3 de madera. Para el
próximo periodo de producción se pueden utilizar hasta 36 horas hombre. El gerente de ventas de
la empresa esta seguro que se pueden vender al menos 3 mesas y a lo menos 1 silla.
a) Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar las utilidades de la
empresa. Determine el numero de mesas y sillas que conviene producir. ¿Cuántos litros de
pintura utiliza en la producción optima de los productos?
b) Suponga ahora que la empresa debe comprar la pintura a 3 pesos el litro y no puede adquirir
mas de los 21 litros establecidos en el convenio. ¿Cuántas mesas y sillas se deberán producir
ahora? ¿Cuántos litros de pintura estará dispuesto a comprar la empresa?
Madera Pintura Horas Hombre Precio Venta
Mesas 3 m3 1 lt 3HH $ 12 >= 3
Sillas 2 m3 3 lts 4HH $ 18 >= 1
<= 30 m3 <= 21 lts <= 36 HH
X1 = numero de mesas a producir.
X2 = numero de sillas a producir.
Max Z = 12X1 + 18 X2
S/A
3X1+2X2 <= 30
X1+3X2 <= 21
3X1+4X2 <= 36
X1 >= 3, X2 >= 1
 X2
 15 3X1+2X2=30
 14
 13
 X1=3
 12
 11
 10
 9
 8 X1=24/5, X2=27/5, Z=774/5 = 54,8
 7
 6
 X1=8, X2= 3, Z= 150
 5
 4
 Z=0
 3
 X2=1
 2 X1+3X2=21
 3X1+4X2=36
 1 X1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Producir 24/5 mesas y 27/5 sillas
Pintura Utilizada:
X1+3X2 = 24/5+3(27/5) = 24+81/5 = 105/5 = 21 LTS
Precio de compra: 3 $/lt de pintura
∴ el costo por la pintura utilizada es 3(X1+3X2)
UTILIDAD = ingreso – costo
 = 12X1+18X2-3(X1+3X2)
 = 9X1+9X2
Max Z = 9X1+9X2
S/A
3X1+2X2 <= 30 X2
X1+3X2 <= 21
3X1+4X2 <= 36 15
X1>= 3, X2 >= 1 14
 13
 12
 11
 10
 9
 8 X1=24/5, X2= 27/5, Z= 459/5= 91,8
 7
 6
 5 X1=8, X2=3, Z= 99
 4
 3
 2
 1 X1
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
 Producir 8 mesas y 3 sillas
Comprar X1+3X2= 8+3(3)= 17 LITROS DE PINTURA
Problema 2. Una empresa forestal produce madera aserrada de pino y eucalipto y dos tipos de
tableros de contrachapado. La empresa obtiene un beneficio de $400 por pulgada de madera
aserrada de pino y $600 por pulgada de madera aserrada de eucalipto. Por la venta de tableros de
contrachapado del tipo 1 se obtiene un beneficio de $1200 por tablero y por cada tablero del tipo
2 obtiene un beneficio de $1500. La empresa posee 2580 pulgadas de madera de pino, los cuales
puede usar para obtener madera aserrada o tableros de contrachapado; además posee 2040
pulgadas de madera de eucalipto que puede usar para madera aserrada o tableros. Un tablero de
contrachapado del tipo 1 requiere 16 pulgadas de pino y 8 pulgadas de eucalipto, en cambio, un
tablero del tipo 2 necesita 12 pulgadas de cada especie. La producción de madera aserrada esta
limitada solo por la capacidad del aserradero, el que puede procesar hasta 400 pulgadas de
cualquier especie en un mes cualquiera. La producción de tableros de contrachapado esta limitada
en la planta por la maquina pulidora y por la secadora. En un mes no se puede pulir mas de 250
tableros y hay solo 6 horas de tiempo de secado disponible. Cada tablero tipo 1 requiere 4
minutos de secado y cada tablero tipo 2 necesita de 6 minutos. Las condiciones del mercado
limitan el numero de tableros tipo 1 que se pueden vender a un máximo de 120 y para el tablero
tipo 2 el limite es de 100. Se puede vender cualquier cantidad de madera aserrada. Formule un
modelo de programación lineal que permita maximizar los ingresos por concepto de ventas.
Variables de decisión:
X1 = pulgadas de madera aserrada de pino.
X2 = pulgadas de madera aserrada de eucalipto.
X3 = cantidad de tableros de contrachapado tipo 1.
X4 = cantidad de tableros de contrachapado tipo 2.
Max Z= 400X1+600X2+1200X3+1500X4
S/A
X1+16X3+12X4 <= 2580
X2+8X3+12X4 <= 2040
X1+X2 <= 400
X3+X4 < 250
4X3 + 6X4 <=360
X3 <= 120
X4 <= 100
X1, X2, X3, X4 >= 0
Problema 3. Un aserradero de la octava región espera vender el próximo semestre las siguientes
cantidades de madera. Durante el primer bimestre se esperan ventas por 200 m3 de madera
aserrada, 150 m3 de madera elaborada y 100 m3 de clear; para el segundo bimestre se espera
vender 160 m3 de madera elaborada, 100 m3 de madera aserrada y 300 m3 de madera clear; para
el tercer bimestre se esperan ventas de 300 m3, 100 m3 y 150 m3 de madera aserrada, elaborada
y clear respectivamente. No hay existencia al comenzar el semestre. No hay existencia al
comenzar el semestre. Al termino de cada bimestre deben existir al menos 15 m3 de madera
aserrada, 10 m3 de madera elaborada y 12 m3 de madera clear. Para los dos primeros bimestre se
disponen de 800 horas de producción y para el tercer bimestre hay 500 horas disponibles de
producción. Cada m3 de madera aserrada necesita media hora para ser producido, cada m3 de
madera elaborada requiere de 2 horas de trabajo y cada m3 de madera clear necesita de 1,5 horas
de producción. Por limitaciones de espacio fisico, el volumen máximo que puede almacenarse
bimestralmente es de 350 m3 de madera. Debido a cambios en la línea de producción, no se
producirá madera aserrada durante el tercer bimestre. El costo dealmacenamiento es de $30, $50
y $20, por cada m3 de madera aserrada, elaborada y clear, respectivamente, que queda en bodega
al terminode cada bimestre. El aserradero requiere un plan de producción que satisfaga las
necesidades por demanda y minimice los gastos de almacenamiento. Identifique las variables de
decisión y formule un modelo de programación lineal para resolver este problema.
Madera Bimestre 1 Bimestre 2 Bimestre 3 Stock Tiempo Costo
Aserrada 200 160 300 15 0,5 30
Elaborada 150 100 100 10 2 50
Clear 100 300 150 12 1,5 20
Horas 800 800 500
Volumen máximo bimestral = 350 m3
Variables de decision:
X1i = m3 de madera aserrada producida en el bimestre i
X2i = m3 de madera elaborada producida en el bimestre i
X3i = m3 de madera clear producida en el bimestre i
Y1i = m3 de madera aserrada almacenada en el bimestre i
Y2i = m3 de madera elaborada almacenada en el bimestre i
Y3i = m3 de madera clear almacenada en el bimestre i
i = 1, 2, 3
Min Z = 30(Y11+Y12+Y13)+50(Y21+Y22+Y23)+20(Y31+Y32+Y33)
S/A
X11 = 200+Y11
X21 = 150+Y21
X31 = 800+Y31
Y11 >= 15
Y21 >= 10
Y31 >= 12
Y11+Y21+Y31 <= 350
0,5X11+2X21+1,5X31 <= 800
X12+Y11 = 160+Y12
X22+Y21 = 100+Y22
X32+Y31 = 800+Y32
Y12 >= 15
Y22 >= 10
YY32 >= 12
Y12+Y22+Y32 <= 350
0,5X12+2X22+1,5X32 <= 800
Y12 = 300+ Y13
X23+Y22 = 100+Y23
X33+Y32 = 150+Y33
Y13 >= 15
Y23 >= 10
Y33 >= 12
Y13+Y23+Y33 <= 350
0,5X13+2X23+1,5X33 <= 500
X11, X12, X13, X21, X22, X23, X31, X32, X33, Y11, Y12, Y13, Y21, Y22, Y23, Y31, Y32,
Y33 >= 0
Certamen 5:
Problema 1. K.O. Enologo de Viña San Rafael, debe elaborar, combinando los diferentes caldos
que la viña mantiene en sus bodegas, una nueva partida de sus dos afamadas marcas de vino
tinto: Estrella Negra y Estrella Blanca. La demanda estimada por estos vinos es de a lo menos
35000 lt. Para Estrella Negra y 20000 lt. para Estrella Blanca. Tras un rapido inventario K.O.
Fido establece que para la elaboracion de ambos vinos dispone de los siguientes caldos:
Cosecha Tres Tiritones 1980 25000 lts.
Cosecha Bigoteado 1983 20000 lts.
Cosecha Trovador 1987 16000 lts.
El costo por litro de cada caldo es de $85, $75 y $60 respectivamente. K.O. Fido sabe que para
mantener la calidad de la marca cada litro de Estrella Negra debe contener por lo menos un 40%
de Tres Tiritones pero no mas de un 70% del mismo; por lo menos un 20% de bigoteado y a lo
mas un 15% de tronador. Por otra parte, cada litro de Estrella Blanca debe tener a lo menos un 25
% de Tres Tiritones, no mas de 50% de Bigoteado y a lo mas un 40% de tronador, pero no menos
de un 15% del mismo. La produccion de cada litro de Estrella Negra cuesta $15 y su precio de
venta es de $150 el litro. La produccion de Estrella Blanca cuesta $10 y su precio de venta es de
$120 el litro. Formule un modelo de Programacion Lineal que optimice el proceso productivo de
Viña San Rafael.
Variable de decision:
Xij: Cantidad de litros de caldo tipo i contenidos en el vino tipo j.
i: 1 a 3
j: 1 a 2
Funcion Objetivo: Max U = 50X11+25X12+60X21+35X22+15X31+50X32
S/A
Demanda de vino:
X11+X21+X31 >= 35000
X12+X22+X32 >= 20000
Disponibilidad de caldos:
X11+X12 <= 25000
X21+X22 <= 20000
X31+X32 <= 18
Mezcla:
X11 >= 0,4 (X11+X21+X31) -0,6X11+0,4X21+0,4X31 <= 0
X11 <= 0,7 (X11+X21+X31) 0,3X11-0,7X21-0,7X31 <= 0
X21 >= 0,2 (X11+X21+X31) 0,2X11-0,8X21+0,2X31 <= 0
X31 <= 0,15 (X11+X21+X31) -0,15X11-0,15X21+0,85X31 <= 0
X12 >= 0,25 (X12+X22+X32) -0,75X12+0,25X22+0,25X32 <= 0
X22 <= 0,5 (X12+X22+X32) -0,5X12+9,5X22-0,5X32 <= 0
X32 <= 0,4 (X12+X22+X32) -0,4X12-0,4X22+0,6X32 <= 0
X32 >= 0,15 (X12+X22+X32) 0,15X12+0,15X22-0,85X32 <= 0
No Negatividad:
Xij >= 0 ; i: 1 a 3 ; j: 1 a 2
Problema 2. El administrador de dinero Boris Milkem maneja la divisa francesa (el euro) y la
divisa estanounidense (el dólar). A medianoche, puede comprar euros a 0,25 dolares por euro
ydolares a 3 euros por dólar. Sea X1=numero de dolares comprados (pagados en euros) y
X2=numeros de euros comprados (pagados en dolares). Supongase que ambas transacciones se
realizan simultaneamente y la unica restriccion es que a las 12:01 a.m., Boris tiene que tener un
numero no negativos de euros y dolares. Formule un PL que permita a Boris maximizar el
numero de dolares que tiene despues de terminar las transacciones. Resuelva graficamente el PL
y comente la respuesta.
Max Z = X1-0,25X2
S/A
X1-0,25X2 >= 0 (restriccion de dolares)
-3X1+X2 >= 0 (restriccion de euros)
X1, X2 >= 0
 X2
 8 B
 7
 6 C
 5
 4
 3
 2
 F.Objetivo
 1
 A 1 2 X1
La region de soluciones factible esta representada por la región formada entre los segmentos
representados por las rectas AB y AC (no acotadas).
La F.O. es paralela a la recta AB y se puede desplazar indefinidamente.
Por lo tanto nos encontramos frente a una solución no acotada.
Problema 3. ¿Por qué no permitimos la existencia de restricciones < o > en un PL?
Si las restricciones con menor estricto o mayor estricto tenemos que el problema no
tendría una solución optima. Considere el problema Max Z= X1, sujeto a X1 < 1, X1 > 1.
Claramente, este problema no tendria solucion optima.
Problema 4. La granja CO-OP posee 1000 hectareas de tierra, las cuales cultiva para vender los
productos a su cadena de tiendas. Los planes actuales especifican que la granja cultive maiz y
trigo en sus terrenos. Los costos de semillas y de las labores de cultivo son de 100 dolares por
hectarea de maiz y de 120 por hectarea de trigo. El maiz requiere 10 horas de trabajo por hectarea
y el trigo requiere 8 horas por hectarea. La cosecha al final del año es de 120 bushels de maiz por
hectarea y 100 de trigo. La granja puede cultivar cualquier combinacion de los 2 cultivos. La
granja recibe 4,25 dolares por cada bushel de maiz que venda y 5,25 bushel de trigo. La cadena
de tiendas puede comprar, a lo sumo, 100000 bushels de maiz y 175000 de trigo. La granja
considera la posibilidad de criar hasta 2000 reses para la venta de carne a las tiendas de la cadena.
Para lograrlo, se puede dedicar parte de la tierra que se consideraba para el cultivo de maiz o trigo
como pastizal para la crianza de reses y su alimentacion durante un año. Las reses cuestan 150
dolares y se venden a 800 dolares despues de alimentarlas un año. Cada res requiere 20 horas de
trabajo, media hectarea de terreno y consume 80 bushels de maiz durante el engorde. El maiz
para las reses se puede cultivar en la granja, si hay suficiente, o se puede comprar a un costo de
4,50 dolares el bushel. La granja puede emplear estudiantes como mano de obra, con un costo de
6 dolares la hora, o granjeros experimentados a diez dolares la hora. Cada hora de un estudiante
requiere 9 minutos de supervicion y los trabajadores experimentados necesitan tres minutos de
supervicion por hora. Hay 2000 horas de supervicion diponibles. La granja cuenta con 200000
dolares para financiar sus operaciones. Formule claramente el modelo de Programacion Lineal,
para llevar a cabo de manera eficiente las operaciones de la Granja Co-Op.
Nota: El valor del dólar observado es $655,62.
Utilizaremos las siguientes definiciones de variables:
M = hectareas sembradas de maiz.
T = hectareas sembradas de trigo.
R = reses compradas y vendidas luego de un año.
TES = horas de trabajo de estudiantes.
TEX = horas de trabajo de granjeros experimentados.
MAR = bushels de maiz compradas para alimentar reses.
MCR = bushels de maiz producidos para alimentar reses.
VM = bushels de maiz vendidos.
VT = bushels de trigo vendidos.
Restriciones:
T + M + 0,5R <= 1000 Limite de hectareas.
8T + 10M + 20R – TES – TEX <= 0 Demandade fuerza de traba.
0,15TES + 0,05TEX <= 2000 Limite de horas supervicion.
120T + 100M + 150R + 4,5MAR + 6TES + 10TEX <= 200000 Limite por restriccion de
presupuesto.
-80R + MAR + MCR >= 0 Demanda de maiz para alimentar reses.
120M - VM – MCR >= 0 Uso total del maiz cultivado.
100T – VT >= 0 Produccion de trigo.
R <= 2000 Limite superior de las reses.
VT <= 175000 Limite superior de ventas de trigo.
VM <= 100000 Limite superior de ventas de maiz.
M, T, R, TES, TEX, MAR, MCR, VM, VT >= 0
La funcion objetivo seria maximizar utilidades totales.
Max U = 120T – 100M + 5,25VT + 4,25VM + 650R – 4,5MAR – 6TES – 10TE
S/A las restricciones mencionadas anteriormente.
Certamen 6:
 Problema 1. En el problema de transporte que sigue, la demanda total excede la oferta total.
A B C
1 5 1 7 10
2 6 4 6 80
3 3 2 5 15
75 20 50 105
a) Suponga que los costos de penalización por unidad de demanda insatisfecha son 5, 3 y 2
pesos para los destinos A, B y C respectivamente. Encuentre la solución optima.
b) Suponga que no hay costos de penalización y que la demanda en el destino C debe
satisfacerse en forma exacta. Vuelva a formular el problema y obtenga la solución optima.
c) Suponga que no hay costos de penalización y que desde el destino B se pueden
redistribuir unidades a los destinos A y C con un costo de 4 y 1 peso, respectivamente.
Formule el problema como un modelo de transbordo.
a) El modelo toma la forma:
 10
 75
 80
 20
 15
 40
 50
A B C Ui
1 2 5 1 4 7 10 -3
2 6
6
 4 6 80 0
1
2
3
4
A
B
C
10
60 1010
3 3
3
1 2 2 5 15 -3
4 3 5 3 3 12 40 -4
75 20 50 145
Vj 6 4 6
Solución Optima
Costo Total Mínimo = 10*1+60*6+10*4+10*6+15*3+40*2 = 595
Todos los Cij – (Ui + Vj) ≠ 0 ⇒ solución única
b) Se requiere que el destino C se satisfaga completamente. Para ello basta con prohibir que
del origen ficticio haya una asignación al destino C. Luego el modelo toma la forma:
A B C Ui
1 2 5 1 4 7 10 -3
2 6 4 6 80 0
3 3 1 2 2 5 15 -3
4 0 2 0 ∞ ∞ 40 -6
75 20 50
Vj 6 4 6
Cij – (Ui + Vj) >= 0 ⇒ Solución Optima
Costo Total Minimo = 10*1 + 20*6 + 10*4 + 50*6 + 15*3 = 515
Y como todos los Cij – (Ui+Vj) >= 0 ⇒ solución única.
c) En un problema de transbordo le sumamos la cota U = ∑ ai = ∑ bj solamente a los nodos
que actuan como origen y destino. En primer lugar tenemos que igualar las ofertas con las
demandas. Notar que el destino B tiene inicialmente como demanda 20 y como oferta 0.
A B C Ui
15
40
10
20 10 50
15
40
1 2 5 1 5 7 10 -3
2 6 4 1 6 80 0
3 3 1 2 3 5 15 -3
B 2 4 0 1 145 0+u
0+145
4 0 2 0 1 0 40 -1
75 165 (20+145) 50
Vj 6 4 5
Solución Optima: u = ∑ 0i = 145
Costo Mínimo: 10*1 + 20*6 + 60*4 + 15*3 + 50*1 = 465
Problema 2. Resuelva el siguiente problema de programación lineal por el metodo Simplex.
Max Z = X1-2X2+X3-X4
S/A
X1+X3-2X4 >= 5
-X1+X2+X3 <= -2 ⇒ X1-X2-X3 >= 2
X2+2X3-3X4 >= 1
X1+X2-X4 = 7
X1, X2, X3 >= 0, X4 s r s
X4 = X1+X2-7
Remplazando:
Max Z = X1-2X2+X3-X1-X2+7
S/A
X1+X3-2X1-2X2+14 >=5
X1-X2-X3 >= 2
X2+2X3-3X1-3X2+21 >= 1
X1, X2, X3 >= 0
Max Z = -3X2+X3+7
S/A
-X1-2X2+X3 >= -9
X1-X2-X3 >= 2
10
20 60
15
95 50
40
-3X1-2X2+2X3 >= -20
X1, X2, X3 >= 0
Sea Z´ = Z-7
Max Z´ = -3X2+X3
S/A
X1+2X2-X3 <= 9
X1-X2-X3 >= 2
3X1+2X2-2X3 <= 20
X1, X2, X3 >= 0
Max Z´ = -3X2+X3
S/A
X1+2X2-X3+X4´ = 9
X1-X2-X3-X5 = 2
3X1+2X2-2X3+X6 = 20
X1, X2, X3, X4, X5, X6 >=0
Luego:
Min W = X7
S/A
X1+2X2-X3+X4´ = 9
X1-X2-X3-X5+X7 = 2
3X1+2X2-2X3+X6 = 20
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 >= 0
Tableau inicial:
Base X1 X2 X3 X4´ X5 X6 X7
Z´ 0 0 0 0 0 0 -1 0
X4´ 1 2 -1 1 0 0 0 9
X7 1 -1 -1 0 -1 0 1 2
X6 3 2 -2 0 0 1 0 20
Tableau final:
Base X1 X2 X3 X4´ X5 X6
Z´ 0 8 0 0 3 1 14
X4´ 0 3 0 1 1 0 7
X1 1 4 0 0 2 1 16
X3 0 5 1 0 3 1 14
∴ X1= 16, X2 = 0, X3 = 14, X4´ = 7, X5 = 0, X6 = 0, Z´ = 14
La solución del problema original es :
X1 = 16, X2 = 0, X3 = 14, X4 = X1+X2-7 = 16+0-7 = 9, Z = Z´+7 = 14+7 = 21
Problema 3. La compañía SIC Ltda.. pronostica una demanda de 5000 juegos de dormitorios
para la próxima temporada. El juego de dormitorio consta de tres componentes principales:
una comoda, un velador y una cama. Hasta ahora la compañía ha fabricado los tres
componentes. Sin embargo, debido al volumen de la demanda se duda que la empresa tenga
suficiente capacidad de producción para fabricar todos los componentes. La compañía esta
considerando contratar a una empresa local para que fabrique, si fuese necesario, parte de los
componentes. Los requerimientos de tiempo de producción por unidad son los siguientes:
T. de producción T. de producción T. de producción Tiempo disp.
Departamento Comoda Velador Cama Horas
A 0,03 0,02 0,05 400
B 0,04 0,02 0,04 400
C 0,02 0,03 0,01 400
Después de considerar los gastos globales de la empresa y los costos de materiales y de mano
de obra, el departamento de contabilidad ha determinado el costo unitario de fabricación para
cada componente. Estos datos, junto con las cotizaciones de precio de compra para la
empresa contratista, son los siguientes:
Comoda Velador Cama
Costo fabricación $0,75 $0,40 $1,10
Costo compra $0,95 $0,55 $1,40
Defina las variables de decisión y formule un modelo de programación lineal que permita a la
empresa satisfacer la demanda de 5000 unidades con un costo total minimo:
Variables de decisión:
X1 = numero de cómodas a producir
X2 = numero de veladores a producir
X3 = numero de camas a producir
Y1 = numero de cómodas a comprar
Y2 = numero de veladores a comprar
Y3 = numero de camas a comprar
Min Z = 0,75X1 + 0,40X2 + 1,10X3 + 0,95Y1 + 0,55Y2 + 1,40Y3
S/A
0,03X1 + 0,02X2 + 0,05X3 <= 400
0,04X1 + 0,02X2 + 0,04X3 <= 400
0,02X1 + 0,03X2 + 0,01X3 <= 400
X1 + Y1 >= 5000
X2 + Y2 >= 5000
X3 + Y3 >= 5000
X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3 >= 0
Certamen 7:
Problema 1. Max Z = 3X1+2X2
 S/A
 X1+X2 <= 30
 X1-X2 <= 10
 X1+3X2 <= 60
 X1, X2 >= 0
Tableau Optimo:
VB X1 X2 H1 H2 H3 SOL.
Z 0 0 5/2 ½ 0 80
X1 1 0 ½ ½ 0 20
X2 0 1 ½ -1/2 0 10
H3 0 0 -2 1 1 10
a) ¿Qué sucede si C1 cambia a 6?
Z´j – C´j = Zj – Cj + (∆Cb * Y∧-1j - ∆Cj)
Z´1 – C´1 = 0 + 3, 0, 0 1 -3 = 0
 0
 0
Z´2 – C´2 = 0 + 3, 0, 0 0 - 0 = 0
 1
 0
Z´3 – C´3 = 5/2 + 3, 0, 0 ½ - 0 = 4
 ½
 -2
Z´4 – C´4 = ½ + 3, 0, 0 ½ - 0 = 2
 -1/2
 1
Z´5 – C´5 = 0 + 3, 0, 0 0 - 0 = 0
 0
 1
∴ Como todos los Z´j – C´j >= 0, el problema es optimo
Z´ = Z + ∆CbXb = 80 + 3, 0, 0 20 = 14010
 10
b) Si b3 cambia a 50:
30 30
b = 10 b´ = 10
60 50
Z* = Y* * b´ = 5/2, ½, 0 30 = 80
 10
 50
b* = S* b = ½ ½ 0 30 20
 ½ -1/2 0 10 = 10
 -2 1 1 50 0
Luego:
VB X1 X2 H1 H2 H3 SOL SOL´
Z 0 0 5/2 ½ 0 80 80
X1 1 0 ½ ½ 0 20 20
X2 0 1 ½ -1/2 0 10 10
H3 0 0 -2 1 1 10 0
c) Si se le agrega un nuevo producto X3, con las siguientes condiciones:
Max Z = 3X1+2X2+4X3
S/a
X1+X2+2X3 <= 30
X1-X2+3X3 <= 10
X1+3X2+4X3 <= 60
X1, X2, X3 >= 0
Z3 – C3 = Y* * a3 - C3 = 5/2 ½ 0 2 - 4 = 5/2
 3
 4
∴ Como Z3-C3 = 5/2 > 0 ; no conviene fabricar el producto.
d) Si se agrega la restriccion X1+3X2 >= 60, que ocurre:
X1 = 20 ; X2 = 10
20*3+3*10 = 50, NO ES MAYOR O IGUAL A 60, no cumple con la ecuacion, se agrega la
restriccion.
Problema 2. Chilectra tiene tres plantas de generacion de energia electrica que suministran la
energia requerida a 4 ciudades. Cada planta puede suministrar las siguientes cantidades de Kw/h
de energia electrica: la planta 1, 35 millones; la planta 2, 50 millones; la planta 3, 40 millones,
estos datos, asi como las demandas maximas de las y los costos (en dolares) de mandar 1 millon
de Kw/h de energia de una planta a una ciudad se presenta en la siguiente tabla:
Hacia Hacia Hacia HaciaDesde
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4
Oferta
(millones de
Kw/h)
Planta 1 8 6 10 9 35
Planta 2 9 12 13 7 50
Planta 3 14 9 16 5 40
Demanda
(millones de
Kw/h)
45 20 30 30
Formule un PL que minimice el costo para satisfacer la demanda maxima de energia de cada
ciudad.
∑ oferta = ∑ demanda ; si no se cumple hay que agregar ficticios
Xij = Kw/h (en millones) producidos en la planta i y enviados a la ciudad j
Min Z = 8X11+6X12+10X13+9X14+9X21+12X22+13X23+7X24+14X31+9X32+16X33+5X34
S/A
X11+X21+X31 >= 45
X12+X22+X32 >= 20 de demanda
X13+X23+X33 >= 30
X14+X24+X34 >= 30
X11+X12+X13+X14 <= 35
X21+X22+X23+X24 <= 50 de oferta
X31+X32+X33+X34 <= 40
Xij >= 0 ; i=1, 2, 3 ; j=1, 2, 3, 4
Problema 3. La Ayatola Oil Company controla 2 campos petroleros. El campo 1 puede
prooducir hasta 40 millones de barriles de petroleo al dia, y el campo 2 puede producir hasta 50
millones. En el campo 1, cuesta 3 dolares extraer y refinar un barril de petroleo; en el campo 2
cuesta 2 dolares extraer y refinar un barril de petroleo. Ayatola vende el petroleo a 2 paises:
Inglaterra y Japon. En la tabla se muestra el costo de envio por barril de petroleo. Cada dia
Inglaterra, esta dispuesta a comprar hasta 40 millones de barriles de petroleo (a 6 dolares el
barril) y Japon esta dispuesto a comprar hasta 30 millones de barriles de petroleo por dia (a 6,5
dolares el barril. Elabore un problema de transporte balanceado para maximizar la utilidad de
Ayatola.
Hacia Hacia
Desde Inglaterra (dolares) Japon (dolares)
Campo 1 1 2
Campo 2 2 1
Xij = cantidad de petroleo producido en el campo i, llevado al pais j
i= 1) campo 1 j= 1) Inglaterra
 2) canpo 2 2) Japon
Inglaterra Japon Ficticio Oferta
Campo 1 -2
 40
-1,5 2
 ---
0 0
 ---
40
Campo 2 -2
 0
-3,5
 0
0
 20
50
Demanda 40 30 20 90
Min Z = -2X11-1,5X12-2X21-3,5X22
Max Z = 2X11+1,5X12+2X21+3,5X22
Z = 2(40) + 1,5(0) + 2(0) + 3,5(30) + 0(20)
Z = 80 + 105 = 185 millones.
Certamen 8:
Problema 1. La siguiente es la tabla optima de un problema de maximizacion con todas sus
restricciones <=.
V X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solucion
Z 0 0 0 4 0 9 5
X1 1 1 0 2 0 1 2
X3 0 0 1 1 0 4 3/2
X5 0 -2 0 1 1 6 1
 (X4, X5, X6 variables de holgura)
a) ¿Cuál es la solucion optima? Describir.
b) Si tiene oportunidad de comprar una unidad adicional del primer recurso a un costo de 5/2,
¿lo haria? ¿por qué?.
c) Suponga que otra firma desea comprarle una unidad del tercer recurso, ¿Qué precio le
pondria? ¿Por qué?.
d) ¿Existe otra solucion optima?. Si existe muestre cual es.
a) La solucioin optima es Z=5; X1=2; X2=0; X3=3/2.
b) El precio sombra del primer recurso es 4 y es la ganancia neta de una unidad adicional de
dicho recurso, luego si compro a 5/2, lo hago pues 5/2 < 4
c) A lo menos 9, pues por cada unidad de recurso 3 gano dicha cantidad.
d) Si existe X2 puede entrar a la base en lugar de X1.
V X1 X2 X3 X4 X5 X6 Solucion
Z 0 0 0 4 0 9 5
X1 1 1 0 2 0 1 2
X3 0 0 1 1 0 4 3/2
X5 0 -2 0 1 1 6 1
Z 0 0 0 4 0 9 5
X2 1 1 0 2 0 1 2
X3 0 0 1 1 0 4 3/2
X5 2 0 0 5 1 8 5
La solucion optima alternativa es: Z=5; X1=0; X2=2; X3=3/2.
Problema 2. Albano predice las siguientes demandas de zapatos para los siguientes seis meses:
mes 1, 200; mes 2, 260; mes 3, 240; mes 4, 340; mes 5, 190; mes 6, 150. La produccion de un pr
de zapatos, con tiempo regular (TR), cuesta 7 dolares y con tiempo extra (TE), 11 dolares. En
cada mes, la produccion regular se limita a 200 pares de zapatos y la produccion de tiempo extra
se limita a 100 pares de zapatos. Cuesta un dólar al mes, mantener un par de zapatos en
inventario. Plantee un problema de transporte balanceado para minimizar el costo total para
satisfacer, a tiempo, las demandas de los siguientes seis meses.
i= 1)TR j= 1) mes 1
 2)TE 2) mes 2
 3) mes 3
 4) mes 4
 5) mes 5
 6) mes 6
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 Mes fict. Oferta
TR1 7 8 9 10 11 12 0 200
TE1 11 12 13 14 15 16 0 100
TR2 M 7 8 9 10 11 0 200
TE2 M 11 12 13 14 15 0 100
TR1 M M 7 8 9 10 0 200
TE2 M M 11 12 13 14 0 100
TR1 M M M 7 8 9 0 200
TE2 M M M 11 12 13 0 100
TR1 M M M M 7 8 0 200
TE2 M M M M 11 11 12 100
TR1 M M M M M 7 0 200
TE2 M M M M M 11 0 100
Demand. 200 260 240 340 190 150 420
Problema 3. Una compañía suministra articulos a tres clientes; cada uno necesita 30 unidades.
La compañía tiene 2 almacenes. El almacen 1 dispone de 40 unidades y el 2, de 30 unidades. En
la tabla se muestran los costos de envio para una unidad desde el almacen hasta el cliente. Hay
una multa por pedido no cumplido. Por cada unidad no surtida del pedido del cliente 1 se incurre
en un costo de penalizacion de 90 dolares; por cada unidad no surtida del pedido del cliente 2 se
incurre en un costo de penalizacion de 80 dolares; por cada unidad no surtida del pedido del
cliente 3 se incurre en un costo de penalizacion de 110 dolares. Plantee un problema de transporte
balanceado para minimizar la suma de los costos de escasez y de envio.
C1 C2 C3 Oferta
Almacen 1 15 35
 10
25
 30
40
Almacen 2 10
 10
50
 20
40 30
Ficticio 90 80 110 20
Demanda 30 30 30 90
 No estan llegando a C1
20
Xij = cantidad de articulos del almacen i al cliente j.
 40 30
 30 30
 30
Min Z = 15X11 + 35X12 + 25X13 + 10X21 + 50X22 + 40X23 + 90X31 + 80X32 + 110X33
S/A
X11+X12+X13 <= 40
X21+X22+X23 <= 30 DE OFERTA
X31+X32+X33 <= 20
X11+X21+X31 >= 30
X12+X22+X32 >= 30 DE DEMANDA
X13+X23+X33 >= 30
Certamen 9:
Problema 1.
A1
A2
F
C2
C3
C1
	Universidad del Bio-Bio
	
	Profesor( Ivan Santelices
	Certamen 1(
	X1*\(X1-X1´\(0-8/7\(-8/7
	A\( cantidad invertida en la actividad A en el a
	B\( cantidad invertida en la actividad B en el a
	C\( cantidad invertida en laactividad C en el a
	D\( cantidad invertida en la actividad D en el a
	Yi\( cantidad no invertida en el año i, i\(1,2
	Certamen 2(
	Certamen 3(
	Certamen 5:
	A 1 2 X1
	La region de soluciones factible esta representad
	Certamen 6(
	Certamen 7(
	Certamen 8(