Programa Aplicaciones Matematicas

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ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
FACULTAD DE ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN 
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EAF 200A Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios 
Segundo Semestre de 2020 – Sección 1 
 
Profesor: Prof. Bernardo F. Quiroga, Ph.D. (bfquirog@uc.cl) 
Horario de clases: Martes, 14:00 a 15:20 horas 
Horario de ayudantía: Viernes, 14:00 a 15:20 horas 
Office Hours: Martes, 9:30 a 10:20 horas 
Ayudantes: Jorge Alfaro (jealfaro@uc.cl) (coordinador), Constanza Soto 
(constanza.soto@uc.cl), Matías Flores (matias.flores@uc.cl), Francisco 
Olivares (fjolivares@uc.cl), Sebastián Ronda (saronda@uc.cl) 
Requisitos: MAT 1620 Cálculo II; MAT 1279 Introducción al Álgebra Lineal. 
 
NOTA: El alumno que ya haya cursado Cálculo III y Ecuaciones Diferenciales, NO debería 
tomar este curso. En caso de duda respecto de este punto, favor hablar con Secretaría Docente 
a comienzos del semestre. 
Objetivos 
Objetivos Generales 
 Plantear, resolver e interpretar los resultados de problemas en economía y administración 
(EyA) que involucren procesos de optimización en la toma de decisiones. 
 Plantear, interpretar solución, y comprender la noción de estabilidad de modelos sencillos 
dinámicos en EyA. 
Objetivos Específicos 
 Interpretar los principales conceptos relacionados con funciones de varias variables, en 
particular de dos variables. 
 Calcular e interpretar derivadas parciales de primer orden y de segundo orden, en el 
contexto de funciones que tengan relevancia en las ciencias económicas y administrativas. 
 Formular problemas de optimización sin y con restricciones y aplicar las técnicas para su 
resolución. 
 Aplicar e interpretar técnicas sencillas de estática comparativa en problemas de 
optimización. 
 Identificar los fenómenos que se modelan a través de una ecuación en diferencias o a través 
de una ecuación diferencial. 
 Resolver analíticamente modelos sencillos de una ecuación (en diferencias o diferenciales). 
 Aplicar la noción de estabilidad en sistemas dinámicos sencillos. 
Fuentes de Referencia 
Bibliografía Obligatoria 
 Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter; Carvajal, Andrés (SHC): Matemáticas para el análisis 
económico. 2da edición. Madrid, Pearson Educación S.A., 2012. 
 Edwards, Gonzalo (GE): Introducción al Análisis de Sistemas Dinámicos, Segunda Edición. 
Ediciones UC, 2013. 
 Edwards, Gonzalo (MO): Modelos de Optimización, Trabajo Docente Nr. 57, Instituto de 
Economía UC, 1994. 
Bibliografía complementaria 
 Arya, Jagdish C. et al. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. 5ta. 
edición. México, Pearson Educación, 2009. 
 Chiang, Alpha y Wainwright, Kevin. Métodos fundamentales de economía matemática. 4ta. 
edición. México DF, McGraw Hill Interamericana, 2006. 
 Jacques, Ian. Mathematics for Economics and Business. 8va edición. Edinburgh Gate UK, 
Pearson Education Limited, 2015. 
 Stewart, James. Cálculo de Varias Variables trascendentes tempranas. 7ª edición. Cengage 
Learning Editores, S.A. de C.V. 
Contenidos 
1. Funciones de varias variables 
1.1. Funciones de dos (o más) variables utilizadas en EyA. Dominio. Recorrido. 
1.2. Representación geométrica (curvas de nivel dos variables). 
1.3. Derivadas parciales de primer y de segundo orden. Relación con planos tangentes. 
Teorema de Young. 
1.4. Derivadas parciales en EyA. 
Ref.: SHC, cap. 15. 
 
2. Técnicas de Estática Comparativa 
2.1. Regla de la cadena. 
2.2. Derivadas de funciones implícitas. Ecuación general de la tangente. 
2.3. Elasticidades parciales. 
2.4. Funciones homogéneas y funciones homotéticas aplicadas a EyA. 
Ref.: SHC, cap. 16, secciones 16.1, 16.3-16.6, 16.8. 
 
3. Métodos de optimización en varias variables sin restricciones 
3.1. Formas cuadráticas de dos variables. Signo. Formas indefinidas. 
3.2. Conjuntos convexos, conjuntos cerrados y acotados. 
3.3. Optimización en dos variables sin restricciones. Condiciones necesarias y condiciones 
suficientes. 
3.4. Puntos óptimos locales y globales. Teorema de los valores extremos: su aplicación para 
la obtención de puntos óptimos globales. 
3.5. Funciones cóncavas y convexas. Condiciones de concavidad y convexidad. Tests de la 
segunda derivada para funciones de dos variables y generalización para n variables. 
Aplicación: Inequidad de Jensen. 
Ref.: SHC, cap. 17, secciones 17.1-17.3; 17.5-17.11. MO, cap. 1-3. 
 
4. Métodos de optimización en varias variables con restricciones de igualdad 
4.1. Método de Lagrange para el caso de dos variables con una restricción. 
4.2. Interpretación del multiplicador. 
4.3. Explicación geométrica y analítica del método de Lagrange. 
4.4. Condiciones suficientes (suficiencia global y suficiencia local). 
4.5. Optimización en más de dos variables. Generalización del método de Lagrange. 
4.6. Teorema de la envolvente, Caso particular: Unicidad vía convexidad (Shephard’s 
Lemma). 
Ref.: SHC, cap. 18.1-18.3, 18.5-18.6 (complementable con Chiang, sección 12.3 en la parte de 
condiciones de segundo orden), 18.7-18.8. 
 
5. Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
5.1. Problemas de optimización en dos variables. 
5.2. Aplicación práctica de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Explicación 
geométrica. 
5.3. Optimización en más de dos variables. Generalización de las condiciones de KKT. 
5.4. Optimización con condiciones de no negatividad para las variables. Adecuación de las 
condiciones de KKT. 
5.5. Optimización restringida con funciones objetivo no diferenciables en todo su dominio en 
dos variables: funciones de mínimo y de máximo. 
5.6. Optimización restringida con funciones objetivo lineales (dos variables). 
5.7. Aplicaciones. 
Ref.: SHC, cap. 18.9-18.12. 
 
6. Sistemas dinámicos en tiempo discreto 
6.1. Ecuaciones en diferencias de primer orden aplicadas a EyA. 
6.2. Teorema de existencia y unicidad 
6.3. Ecuaciones en diferencias de primer orden con coeficientes constantes. Solución. 
6.4. Estados estacionarios y estabilidad. Aplicaciones. 
6.5. Ecuaciones en diferencias de segundo orden lineales con coeficientes constantes. 
Solución (homogéneo y no homogéneo). 
6.6. Ecuaciones en diferencias de segundo orden. Estabilidad. Aplicación: modelo de 
crecimiento del multiplicador-acelerador. 
6.7. Diagramas de fase para ecuaciones en diferencias autónomas. 
Ref.: GE, cap. 1-6 (omitiendo partes que dicen “tiempo continuo” o “ecuaciones 
diferenciales”); SHC, cap. 20 
 
7. Sistemas dinámicos en tiempo continuo 
7.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden aplicadas a EyA. Solución. 
7.2. Ecuaciones diferenciales de variables separables. Método para encontrar la solución. 
7.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Método para encontrar la solución. 
El problema del valor inicial. 
7.4. Equilibrio y estabilidad: diagramas de fase para ecuaciones diferenciales autónomas. 
7.5. Introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. 
Ref.: GE, cap. 2-3; SHC, cap. 21 
Evaluación: 
Controles (𝐶 ): 36% 
Interrogación (𝐼 ): 28 % 
Examen Final (𝐸): 36 % 
La nota final (𝑁𝐹) del curso, para alguien que rinda todas las evaluaciones del semestre, se 
calcula como: 𝑁𝐹 = 0,09 𝐶 + 0,09 𝐶 + 0,09 𝐶 + 0,09 𝐶 + 0,28 𝐼 + 0,36 𝐸. 
Las fechas de las distintas pruebas están fijadas en el material docente y repetimos aquí las 
fechas. En caso de reprogramación, seguiremos las instrucciones de la Facultad. 
Pruebas: 
 Interrogación 1 (𝐼 ): Octubre 13, 8:30 a 10:30 horas. 
 Examen (𝐸): Diciembre 16, 11:30 a 13:30 horas. 
Controles: 
 Control 1 (𝐶 ): Agosto 21, 14:00 horas. 
 Control 2 (𝐶 ): Septiembre 11, 14:00 horas. 
 Control 3 (𝐶 ): Noviembre 6, 14:00 horas. 
 Control 4 (𝐶 ): Noviembre 20, 14:00 horas. 
Ausencias y justificaciones 
Respecto de inasistencias a las evaluaciones (pruebas y controles) o a clases obligatorias, sólo se 
justificará a aquellos alumnos que realicen el proceso de justificaciónante la Subdirección de 
Asuntos Estudiantiles de la Facultad de Economía y Administración, dentro de los plazos 
reglamentarios (3 días hábiles siguientes a la fecha de la evaluación). Los alumnos de otras 
Facultades deben justificar su inasistencia ante su respectiva Unidad Académica, de acuerdo a 
los criterios y procedimientos establecidos por las respectivas Facultades para estos efectos. La 
ponderación de dicha evaluación cuya ausencia se ha justificado es traspasada al examen final. 
En cualquier caso, independientemente de las justificaciones que pueda tener un alumno, 
ningún examen puede tener una ponderación superior a 70% de la nota final. Si por cualquier 
motivo la ponderación del examen supera el 70%, el exceso sobre 70% se califica con nota 1,0. 
Asistencia obligatoria 
 Ausencia a las ayudantías con evaluaciones se rige según el punto anterior del programa. 
La suspensión de alguna evaluación otorgada por la Facultad deberá ser re-agendada según 
los lineamientos de la Facultad. 
 La asistencia a clases regulares a la sección en la que usted se encuentre registrada/o es 
obligatoria. En caso de no venir, usted es responsable de ponerse al día. 
 Las tres secciones del curso son coordinadas, pero los profesores se reservan el derecho a que 
las evaluaciones no sean idénticas. 
Requisitos para rendir el examen final 
Es obligación rendir el examen final para aprobar el curso. De acuerdo con el reglamento 
académico, los requisitos para rendir el examen son los siguientes: 
1. Haber sido evaluado en al menos el 50% del porcentaje total del curso sin considerar la 
ponderación del examen (vale decir, al menos un 33%). 
2. El alumno que, al no cumplir el requisito precedente, no pueda rendir el examen y tenga 
nota de presentación inferior a 4,0, se le mantendrá la nota de presentación como calificación 
final del curso. Si, por el contrario, el alumno tiene una nota de presentación igual o mayor 
a 4,0 y no pueda rendir el examen por no cumplir con el punto 1 antes señalado, será 
calificado con una nota final en el curso de 3,9. 
Recorrecciones 
En caso necesario, se puede solicitar recorrección de pruebas. Estas solicitudes de recorrección 
deben estar bien fundamentadas, y se deben entregar por escrito en hoja aparte (no se admiten 
evaluaciones con anotaciones u otra modificación), a más tardar cinco días hábiles después de 
la fecha en que la evaluación correspondiente esté disponible para ser retirada. La evaluación 
entregada para recorrección será revisada en su totalidad, y la nota puede mantenerse, subir o 
bajar tras la recorrección. Respecto al examen final, no se aceptarán pedidos de recorrección en 
una etapa previa a la solicitud de recorrección oficial y todo pedido de recorrección deberá 
gestionarse según el reglamento de la Facultad. El plazo de entrega de las evaluaciones 
recorregidas es de 15 días hábiles. 
Atención de Alumnos (Office Hours) 
El horario de atención de alumnos corresponde al listado al principio del programa bajo el 
nombre Office Hours. Si usted no puede asistir en este horario, entonces puede enviar un correo 
a bfquirog@uc.cl con su consulta. Si por alguna razón se debe suspender la atención de alumnos 
programada, se avisará el día y horario en que se reemplazará. 
También pueden enviar preguntas y consultas por correo electrónico (bfquirog@uc.cl) o usando 
el sistema de mensajes de Canvas. Estos mensajes los contestaré dentro de los 2 días hábiles 
desde enviados. Por lo tanto, si tiene una pregunta relevante para una evaluación, es importante 
que la realice con al menos 48 horas de anterioridad a dicha evaluación para asegurar su 
respuesta. 
En el área de foro del sitio web del curso se colocará un repositorio resumen de las preguntas y 
consultas que sean relevantes para el curso completo y/o que parezcan ser consultas 
generalizadas. El profesor se guarda el derecho de responder los correos directamente en dicho 
foro del sitio web, y si la respuesta se incluye en dicha sección, se dará por respondida. 
Es misión de cada estudiante del curso de verificar si su pregunta se encuentra respondida en 
dicho foro/repositorio. 
Código de Honor 
En el desarrollo personal del alumno y futuro egresado de la Pontificia Universidad Católica de 
Chile la integridad académica es fundamental. Ella se basa en cinco valores: 
Honestidad 
Confianza 
Imparcialidad 
Respeto 
Responsabilidad 
 
Para obtener el mejor provecho de este curso, el profesor y los estudiantes deben trabajar juntos 
en un ambiente que propicie estos valores. Acciones que violen estos valores son incompatibles 
con los objetivos de este curso y no serán tolerados. 
Se espera que cada estudiante promueva siempre el espíritu de integridad académica, 
reforzándolo entre sus compañeros. 
Avisos por contingencia 
Dada la situación actual y siguiendo las instrucciones oficiales del Gobierno y la Universidad se 
ha ajustado el curso del siguiente modo: 
- Las clases se realizarán en la plataforma Zoom; los links para unirse a las clases están 
disponibles en la plataforma Canvas. 
o Producto de que las clases este semestre son completamente online, las clases en 
general durarán alrededor de 60 minutos. El profesor se reserva el derecho de 
utilizar el módulo completo (con recreos correspondientes) si es necesario. El 
profesor se compromete, en cualquier caso, en respetar la finalización de la clase 
a más tardar entre 10 y 15 minutos antes del inicio del módulo siguiente. 
o El módulo de ayudantía, y los módulos de evaluación, no tienen esta restricción. 
- Las clases serán grabadas y quedarán disponibles en el sitio Canvas el semestre 
completo. 
o Se compartirán las transparencias con anotaciones hechas durante la clase. Las 
transparencias serán colocadas junto al video de la clase respectiva. 
o Se harán disponibles ejercicios en cada tópico, ya sea en las transparencias o en 
un documento subido al web del curso. Estos ejercicios son para facilitar el estudio 
y pueden ser discutidos en los horarios de atención de alumnos. 
- Las office hours serán vía Zoom en los horarios anunciados, y los links se encuentran 
disponibles en el web de Canvas. Las sesiones de office hours no se grabarán. 
- Es importante el trabajo estudiantil fuera de los horarios de clase, para eso sirven los 
ejercicios adicionales y las office hours. Es importante que las aprovechen.