Parte 1 Resumen Vic Moretti

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Resumen Aplicaciones vicnoretti
PARTE1
1 Dominio
determineeldominiode flx.us Fxyt3COND2x yt370C.o.Domfflxiy ElR22x yt3zoY
determineeldominiode flx.us logCXy 1
C0ND Xy 170xy70Cs Domf Srlxy elR2Nxy o
4 CurvasdeNivel altura
2 f x g loglxaty 2 L 1,011,2
si c 1 10gMty 1 xa y e1 y c X
c O o eO y 1
1 p en y c x
c 2 2 ez y ez xa
er
luego en
A
r an aO a
111 continuidad
Flxiylescontinuaen 40yo Ssi
i Flxoiyotexiste
Ii 1in FCx.glexiste
lxiyltlxo.JO
Iii 5 xoyo tim Flxiylrlxo.jo
Iv Derivadas parciales
2 F x y
y
JF Ex TF Fy
TX v v try
Jaf Fxx O'E Fxy RF Fyi RF Fyydx2 0yd fxdy Oyed
Derivadasparciales pordefinición
las derivadas de FIXy en 401yo son
Fx Xoyo tifo FIN th yo FlNyoh
FyHo yo 4 ElXOiyo tk F xo yok
lousamosenptoproblema
4 Regladelacadena
g F
Av
U v
nu ay y v
vill Derivación Implícita
Sea 2 El y1 definidaimplícitamente porlaecuación
H yiz 0
Luego queremoscalcular y paralocualusamos
JI OHIt DX Oz OY cuando nopodemos
si µ ay despejar
Oz Oz
1 Diferenciabilidad
La función Flx y es diferenciable en 1 0 yo Ssilasprimerasderivadas
soncontinuas
A Diferencial total
dy fp.dk t f2DXa t tfn.ch n
suponiendoque ma e dir y dir pequeños
y f xp taxi xatdxal f.CM Xz f1lX1iXz dxrtfzlxriXr dXz
Aproximaciónlineal
Mcasilomismo
si f esdiferenciable en 1 0yoentonces enunavecindaddeHoyo setieneque
F Xy Fla yo t Fxlxo yo Xo t Fy1 0yo y yo
XDDerivadadireccional
i F gradiente vector a larectatangente en el ptodetangencia deuna
curvadenivel E c
ü F jiji a Fx Fy
iii Idirección
í vectorunitarioGargos till
iY Dv Flp derivadadireccional deF enelpuntoPyen ladirección J
DvFLP ftp.v
Olas Lamayorrazóndecambio sealcanzacuando Te OFy suvalor es 11 FH
XII RegladeLeibniz
f t Off fab fix dx tlblttldbftl tlaltddaa.IT ab dfffitldxde tucambio las derivoblt
porbtt conrespectoat
XIII Elasticidad
haydosmanerasdesacarla
Ey Xi xyi.ly Ey xi dirty0 1 µ Unai
Elasticidadde sustitución LOmismo condistintasvariables
OLE
K
JIMMY y cambio derivadadel
JTMS JIN TMS logaritmo
TMS
CobbDouglas Y AKTM TMSK.i.dk TMSL.is 1dL Oh
kn
engralyenequilibrio
µ
PL Tusk a JK dl PMgl
Pk f l d4L
OK
Xlv Homogeneidad y Homotecidad
Homogéneas Homotéticas
Leagrego ta cadavariable Transformación crecientedeuna homogénea
Veosipuedofactorizar mismascurvasde indiferencia
Grado gira 441 441 ultX ulty
grado 1 grado 1 gradoC1 du ft 11 1retornos retornos retornos Txt OH
crecientes constantes decrecientes
a escala a escala a escala ftp.ltxlt lxl
TeoremadeEuler
Lapendiente de sí fixeshomogénea
int en amanier
a lolargoderayos pq f KELPa partirdelorigen
productoescala
PARTE 2 Optimización
Funcionescóncavas Funciones convexas
f txt r f y 7 thx t r t.ly f txt r f y ttflxjtlr t.ly
f x t fly t THY X y f x 5 f y t Pfly X y
n
µ tflxrltlrtlflxzlqtflxptfrtff.cn
fly trfly y Ot i fly Pfly y
y YXp X2 Xp Xr
Recordar rex Y
producto escalar Xy xn.yrtxs.gr t tlnyn
Máximos ymínimos sin restricciones
nocalcular FX FXX FxyeFY Fyx Fyy
20Resolverelsistema dadopor
D Obtener élolospuntos condición
Fy O críticos dePfizer
30Formarlamatrizhessianadadapor
Ha Fxx Fxy
Fyx µ
Ht Fxx
40Evaluar cadapuntocrítico endet Ita y Hr y si
positivadef e i det H2 70 n Ht O mínimolocal porque esfunciónconvexa
negativadefe Ni Det H2 70 HILO máximolocal porque esfuncióncóncava
indefinida sii Det Hz so puntosilla
iv det Ita 0 nosesabe
menor principal menorprincipal
dominante dominante
D2 D1
condicióndesegundo
Orden
30Máximosy mínimos absolutos
ejemplo xty 3
OF X y 2 2 Gx ya 4g taxy
R X y CIR X 70 y70 x yE3 o yYO 3
Regióninterior 0 y 0 tyc3
usamos hessianos y verificamos quelospuntosesténdentrodelaregión
Frontera
i KO Osugi3 1 s y O r y 3 puntoscríticos
1 10y ya 4y
F ay 4 sea F O say 4 0 7 y L
C 0,3
Ptocrítico
luego F O
F O 2 9 3 j en Pto hayunmáx 10cal
en Plata hay un min 10cal
en Plot hay unmáx 10cal
Ü y O n OsxE3 C s X O n x 3 ptoscríticos
repetirnos
iii y 3 n os E3 l x O 3 ptoscríticos
F 3 x2 2 3
F 2 2 sea FEO 2 2 0 x 1
c10,3 Pto
crítico
Iv vemos todoslospuntoscríticos evaluamos en f y sacamosabsolutos
Teorema de Weierstrass si f es continuaenunconjuntocerrado y acotado deIR esdecir
t a IR Entonces la funcióntieneun máximoglobal y un mínimo global en x
Máximos ymínimos con restricciones
El objetivo esextremar unafunción sujeta a unaOmás restricciones
LOBÁSICO
11restriccióndeigualdad
paso 00 sacar derivadasparciales derestricción igualar a 0 y verificar
si elpunto encontrado IX y satisface la restricción
puntoscríticos sinohaypuntoscríticossedicequelacalificaciónderestricciónessatisfecha
Paso10 Identificar función aextremar objetiva y la restricción glxy a ecuación
Paso20 Formar funciónLagrange
Ll y Flxiy X gtx y a
p
multiplicador
de Lagrange
Paso30 calcular f Ly LX
resolver LX O larestricción y lafunción
condicionesde LY 0 tienen la mismarectataste elpuntopedido
1erorden LA O elpunto seencuentraen la restricción eselencontrado
Paso40 Evaluar 1 y en lospuntoscríticosde L y g encontrados
Dejarsólo el los punto s quellevan a un mayorvalorde f COMOcandidatos
CONDICIONES
CONDICIONES SUFICIENTES NECESARIAS
Paso50
GLOBALESmmmmm
TeoremadeWeierstrass cerrado yacotado restricción
si 21 1 xa x es cóncava o convexa máx0min
Recordar
cóncava t lineal cóncava Ahoraunejemplo
convexa t lineal convexa l f Xuxa convexa Paraver sison
al
ama
convexa cóncava 0 segundaderivada 11variable
cóncava convexa
LOCALESmmmmm
HessianaOrlada
Al y O 9 1 14 gy y
9 1 y fxxlxiyl xgxxlxiylfxy xgxylx.ly
gy y fyxlxiyldgyxlxiylfyy dgyylx.us
sacamos el determinanteevaluado en ptoscríticos
D70 máximo10cal
Deo mínimo10cal
ENVOLVENTE
cómocambia el valor máx mínimo de unproblema de optimización cuando
cambiamosalgúnparámetro
Attila JI
DX DX
Ahora cuando el parámetroquecambiaes c guay c elenvolvente es iguala M
CUANDOHAYMÁSDEUNARESTRICCIÓN
delrestriccióndeigualdad
paso 00 Para versi lacalificaciónderestricciónes satisfecha o sihayptos
críticosenestepasodebemosver si elrango de la matriz jacobiana derestricciones
Lospuntosademásdebensatisfacer larestricción
RepasoÁlgebraLineal Jacobiana
RangoNomaxdecolumnas Linealo
independientes x 091 x derivadasparciales1era
n restricción
es.mil sEniII EaIiIaaEin Ii iEn seaman
1UsandounaCLdenosotrosdos ajizal Ü última
dXDExistealgúnptoendondesiyoevalúolamatrizJb
enestePtoelrangoesneuralnúmerode
restricciones
Paso10 20130,40y sóloglobales eslomismoque lobásico peroleagregamos
las otras restricciones
RESTRICCIONESDE DESIGUALDAD
Puede serque a vecesuna personallegue a un ptodesaciedad oquenoquieraconsumir
deunbienparapoderObtenermásdelotro
Problemadelconsumidor
cuandono consumidoralcanza
Restricción puedealcanzar Restricción SUPtodesaciedad
ACTIVA másutilidad pasiva sin gastartodosudebidoa la ingreso
restricción
Kuhn Tucker
Paso10 Plantearproblema
Elproblemasiempredeberáserdemaximizaciónyconrestriccionesdetipo menor0igual
SIes mayor0igual multiplicoambosladospor 1
sies deminimizaciónymultiplicafunciónobjetivopor 1
Paso00 suponemosquelacalificaciónderestricción es satisfecha nohayptoscríticosacá
Paso20 Formar funciónLagrange CONDICIONES KUHNTUCKER
Lfx y xp Flxiy M9114 a 1 DI OOy
multiplicador
de Lagrange 2 glxy C X O 3 X70
Paso30 4 Debecumplir restricciones
resolver Lx 0
condicionesde Ly O encontramos
1erorden gy O candidatos
Paso40 Evaluar 1 y en lospuntoscríticosde L y g encontrados
Dejarsólo el los punto s quellevan a un mayorvalorde f comocandidatos
CONDICIONES
NECESARIASCONDICIONES SUFICIENTES
TeoremadeWeierstrass
¿La función L̃(x , y) es
cóncava para cualquier �?
Si
No¿La función L(x , y ,�)
tiene puntos cŕıticos?
Los puntos criticos de
L(x , y ,�) son puntos
de máximo global.
¿El conjunto restricción
es cerrado e acotado y to-
dos puntos en el conjunto
restricción estan en el in-
terior del dominio?
Si No
Por Weierstrass un máximo
global existe. Pasos 1 a 4 en
Apuntes #5 van detectar to-
dos máximos globales.
Aplique pasos 1 a 4 en
Apuntes #5. ¿Hay can-
didatos?
¿Para algun punto cŕıtico,
la función L̃(x , y) es
cóncava (dado el � asoci-
ado a este punto cŕıtico)?
Este punto cŕıtico esun máximo global.
Evalue el determinante D
de la matriz hessiana orlada
evaluada en cada punto.
Para cada punto: Si D > 0
tienes un máximo local; Si
D < 0 tienes un ḿınimo lo-
cal; Si D = 0 no puedes
decir nada. De cualquier
manera, no puedes garanti-
zar que es global.
Hay dos posibilidades: o un
máximo no existe, o está en
la frontera del doḿınio. In-
tentar K-T es una opción.
No
Si No
Si
Si
max
(x ,y)
f (x , y)
s.a. g(x , y) = c
L(x , y ,�) = L̃(x , y) = f (x , y)� � [g(x , y)� c]
Problema:
Notación:
¿Hay candidatos que sean pun-
tos cŕıticos de L(x , y ,�)?
Si No
Tu candidato(s) es (son) puntos que
violan la calificación de restricción si
llegaste aqui. Pero no tienes una man-
era óbvia de saber si efectivamente es
máximo, ni si es global/local.
¿Como verifico si una función es
cóncava? Verifica si la hessiana es
negativa semi-definida en todo el do-
minio. Para convexidad, verificar si es
positiva semi-definida.
f y g tienen derivadas cont́ınuas
Obs: para minimización reemplazar cóncava por
convexa.
No
saraordenarun
POCO
r