Capítulo 3

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3.0. Motivación.
3.1. Optimización en dos variables sin restricciones. Condiciones necesarias y
condiciones suficientes
3.2. Puntos óptimos locales y globales. Teorema de los valores extremos: su
aplicación para la obtención de puntos óptimos globales
3.3. Funciones cóncavas y convexas. Condiciones de concavidad y convexidad.
Tests de la segunda derivada para funciones de dos variables y generalización
para n variables
 SHC, Capítulo 17
 Edwards, Modelos de optimización, capítulos 1-3
3. Métodos de optimización en varias variables sin restricciones 
• Pepe Carioca gana $200 para gastar en Alpiste (que cuesta $10) y Golosinas
(que cuestan $1).
• Pepe Carioca tiene una función de “felicidad por consumo”
(a la que llamamos “Utilidad”)
• A Carioca le gusta ser “feliz”, por lo cual quiere maximizar
• Es posible que intuitivamente pensemos: Pepe Carioca no obtiene 
felicidad al ahorrar, y por lo tanto, no tendría sentido para él dejar 
dinero para después. El presupuesto que tiene para gastar, en 
golosinas o alpiste es de $200, esto es: 
o equivalentemente: .
Motivación
Motivación
• Luego, el problema de Pepe es 
• La “intuición carretera” es “derivemos por ,igualemos a cero, y seamos 
felices” (como Pepe Carioca)
• Seamos felices, pero no seamos “carreteros”. Sí, se puede derivar, 
igualar a cero, y “ser felices”, pero no siempre.
• Para no quedarnos con la duda 
• La solución “carretera” deriva respecto a , y obtiene:
• La solución es un máximo porque la segunda derivada para cualquier 
valor de . Esos valores de a y de g hacen a nuestro amigo Carioca “lo 
más feliz posible”. 
• Pero no nos puede bastar a nosotros para ser “felices”.
Motivación
• ¿Por qué no podemos ser felices, 
si existe el teorema de Fermat?
• Fermat: “Si una función f alcanza 
un máximo (mínimo) local en un 
punto c, y si la derivada f’(c) 
existe en ese punto c, entonces 
f’(c) = 0.”
• Fíjense, en el problema de 
Carioca, es como si aplicáramos el 
Teorema de Fermat al revés: 
derivamos, igualamos a cero, 
sacamos segunda derivada, y 
bautizamos el punto “máximo”
• Pero Fermat no dijo nada acerca de los máximos (mínimos) cuya derivada en 
c no existe, ni cuando no existen máximos en la función de marras.
Motivación
• En este curso se presume que ustedes ya saben bien optimización con
una variable, y que podrían resolver el problema de Carioca con
completa sencillez.
• Sin el conocimiento de optimización univariada de los cursos de
Cálculo, es prácticamente imposible aprender optimización
multivariable y optimización con restricciones.
• También presuponemos que dominan álgebra lineal / matricial con
fluidez.
• Hemos subido un material de repaso de álgebra de matrices para
“nivelar la cancha”. Esperamos que todos revisen y dominen ese
material por su cuenta.
• El tercer ingrediente esencial es pensar críticamente. Tal ingrediente
no conoce sustitutos.
Motivación
• Pato Donald, primo de Pepe, viene de EE.UU. Es similar a Pepe,
en que solamente consume alpiste y golosinas. Su “felicidad“, sin
embargo, es
• Igual que Pepe, suponemos que Donald gasta todo su sueldo,
$200, en golosinas o en alpiste: Luego, su presupuesto es:
, o equivalentemente: .
• Luego, Donald busca
• Esta expresión no se puede derivar. La “intuición carretera” de
“derivar por , igualar a cero, y ser felices” ya no sirve.
• Pero, la lógica nos ayuda: Donald querrá maximizar su felicidad consumiendo 
en la proporción . 
• A Donald le gusta comer parecido que a Carioca, pero en su caso no pudimos
“derivar, igualar a cero, y ser felices”. Somos felices igual, pero pensando.
Motivación
Supongamos es la función de producción de una firma, la cual es 
homogénea de grado 
En el mercado el bien producido se transa a un precio “p” y el precio de una
unidad de capital es “r” y de una unidad de trabajo es “w” (p, r, w > 0)
La función de utilidades de la firma es: 
3.1 Introducción: Ejemplo 1 Caso 2 variables sin restricciones 
Donde el término en paréntesis es el costo total de producción y p es función de 
tres variables: Y, K, L
Sin embargo, usando la función de producción , tenemos que es
función de 2 variables solamente.
Entonces el problema de optimización de la firma consiste en: buscar los valores 
de K y L para los cuales, se obtiene el máximo valor posible de p:
La intuición básica es que: Tal como en optimización con una sola variable
buscamos puntos críticos donde la primera derivada es 0, por lo cual, ahora
buscamos puntos donde todas las primeras derivadas parciales son 0, así
tendremos un set de condiciones de primer orden (CPO). Para este caso:
r
3.1 Introducción: Ejemplo 1 Caso 2 variables sin restricciones
Lo anterior nos dice que de existir un óptimo entonces, este se puede
caracterizar por el hecho que:
 El producto marginal del capital se iguala a la razón del precio
del capital “r” respecto al precio del bien “p”
 El producto marginal del trabajo se iguala a la razón del precio
del trabajo “w” al precio del bien “p”
; (1)
3.1 Introducción: Ejemplo 1 Caso 2 variables sin restricciones
Alternativamente, de existir un óptimo , lo que nos dicen las CPO es:
Supongamos que a partir de , incrementamos el capital K en una unidad
Entonces se cumple que: , es decir
• Cuando incrementamos en una unidad el capital desde el nivel , la
producción crece aproximadamente , ahora como cada unidad de
producción tiene un precio “p”, lo que “ganaremos” por el aumento de
ingresos es igual a .
• Por otra parte lo que se pierde por este aumento de capital, es el costo “r” de
una unidad de capital mas.
• Por (1) podemos decir: En el punto óptimo, lo que se gana por el aumento de
una unidad de capital, es equivalente al costo “r” de dicha unidad de capital
• Condiciones similares se presentan de (2)
3.1 Introducción: Ejemplo 1 Caso 2 variables sin restricciones
Particularmente si:
¿Cuál es la cantidad óptima de K y L en este caso?
Respuesta:
Nótese que solo hemos trabajado con las CPO, no hemos probado si el
OPTIMO es realmente un MAXIMO.
Para ello estudiaremos las condiciones de segundo orden CSO. Para luego
dirimir si es realmente un MAXIMO
3.1 Ejemplo 2 Caso 2 variables sin restricciones
Supongamos una firma que produce usando capital K y trabajo L según una
función de producción .
En el mercado el bien producido se transa a un precio “ ” y el precio de una
unidad de capital es y de una unidad de trabajo es “ ”
• Obtenga los valores de K e L que optimizan las utilidades.
• ¿Qué pasa con el óptimo si p=0,5 ; r=0,1 ; w=1,0?
NOTA: No siempre existe el óptimo
•
•
•
3.1 Ejemplo 2 Caso 2 variables sin restricciones
Para obtener el óptimo por CPO tenemos:
•
•
• Al valorizar en p=0,5 ; r=0,1 ; w=1,0
• Vemos que
• En general si
Una función f (x, y) tiene un máximo local en (a, b), si f (x, y) f (a, b) cuando
(x, y) está cerca de (a, b). [Esto significa que f (x, y) f (a, b) (x, y) en algún
disco con centro (a, b)], f (a, b) recibe el nombre de valor máximo local.
Si f (x, y) f (a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f tiene un
mínimo local en (a, b) y f (a, b) es un valor mínimo local.
Si las desigualdades de la definición se
cumplen para todos los puntos (x, y) en el
dominio de f, entonces f tiene:
un máximo absoluto, o
un mínimo absoluto, en (a, b).
3.1 Condiciones necesarias y condiciones suficientes CASO 2 VARIABLES
Teorema 1 (Condiciones de Primer Orden) (CPO)
Una condición necesaria para que la función objetivo diferenciable f (x, y) 
tenga un máximo o un mínimo en un punto interior de su dominio es que: 

3.1 Condiciones necesarias 

• Se llama punto crítico o estacionario, a aquel punto cuyas derivadas parciales de
primer orden de la función objetivo son iguales a “0”
• Debemos notar que las condiciones del teorema son necesarias pero no suficientes,
no todos los puntos críticos generan un máximo o un mínimo
• Luego veremos existencia y condiciones de segundo orden que nos permitirán
clasificar los puntos críticos.
3.1 Condicionesnecesarias 
 Estas derivadas parciales se hacen 0 en (1,3)
 Por lo tanto el único punto crítico es (1,3)
 Completando los cuadrados, se tiene que:

 Por lo tanto, en el punto (1,3) hay un MINIMO

Este es un caso muy particular, en general se requieren CSO 
3.1 Condiciones necesarias pero no suficientes 
-5
,0 -4
,0 -3
,0 -2
,0 -1
,0 0,
0 1,
0 2,
0 3,
0 4,
0 5,
0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
-5
.0
-3
.5
-2
.0
-0
.5
1.
0
2.
5
4.
0
X
Z
Y
; 
 Estas derivadas parciales se hacen 0 en (0,0)
 Por lo tanto, (0,0) es un punto crítico
 Sin embargo, un disco centrado en el
punto (0,0), tal que :
• o que:
•
• En otras palabras todo disco centrado en el
punto (0,0) contiene valores;
y valores
• Por lo tanto primeras derivadas parciales iguales a “0” NO SON SUFICIENTES para
concluir que el punto en cuestión es un Máximo o es un Mínimo.
3.1 Condiciones de Segundo Orden para Optimización con Dos Variables
Entonces
Teorema 2 (Condiciones de Segundo Orden)
Sea la función objetivo con primeras y segundas derivadas parciales 
continuas en un dominio D
Sea un punto crítico de 
Sea el determinante de la matriz Hessiana
• Si
• Si
• Si PUNTO SILLA
• Si
3.1 Condiciones de Segundo Orden para Optimización con Dos Variables
Entonces
Nótese que si simbolizamos: 
Tal que: La matriz Hessiana es: 
• Si
• Si
• Si PUNTO SILLA
• Si
3.1 Condiciones de Segundo Orden para Optimización con Dos Variables
-5
,0 -4
,0 -3
,0 -2
,0 -1
,0 0,
0 1,
0 2,
0 3,
0 4,
0 5,
0
-25.0
-20.0
-15.0
-10.0
-5.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
-5
.0
-4
.0
-3
.0
-2
.0
-1
.0
0.
0
1.
0
2.
0
3.
0
4.
0
5.
0
X
Z
Y


 𝟐 𝟐
(0,0) PUNTO SILLA

 𝒙𝒙
 𝟐 𝟐
(1,3) MINIMO
3.1 Ejemplo 1 (de más temprano) Caso Dos Variables
Supongamos que es la función de producción de una 
firma. En el mercado el bien producido se transa a un precio y los 
precios de las unidades de capital son y trabajo son 
La función de utilidades de la firma es: 
Obtener la utilidad máxima en este caso
Entonces el problema de optimización de la firma consiste en: buscar los valores 
de K y L tales que se obtiene el máximo valor posible de p:
 Ya vimos que por las CPO que deben cumplir los puntos críticos son:
r
3.1 Ejemplo 1 Caso Dos Variables ….. Continuación
Asumiendo que la función de producción del ejemplo es CD:
• Obtener el Máximo Beneficio en este particular caso
•
Las condiciones de primer orden son
•
•
Al resolver el sistema en K y en L, se tiene que:
3.1 Ejemplo 1 Caso Dos Variables ….. Continuación
Para mostrar que las soluciones obtenidas realmente corresponden a un máximo,
recurrimos a las condiciones de segundo orden
 
 
 
•
• *
3.1 Ejemplo 3 Caso Dos Variables
Una firma produce dos tipos de productos, A y B.
El costo de producción de x unidades de A e y unidades de B es:
Suponga que la firma vende toda su producción a un precio de cada
unidad de A y de cada unidad de B
• Obtenga los valores de x e y que maximizan las utilidades.
Solución
Despejando: el punto crítico es 
3.1 Ejemplo 3 Caso Dos Variables
Solución … Continuación
es un máximo
Evaluemos: el punto crítico
3.1 Ejemplo 4 Caso Dos Variables
Encuentre el valor máximo de sujeto a la restricción que:
x + 3y + 4z = 108.
Solución
 Al ser una función con 3 variables y una restricción con igualdad, como en
este particular caso, en la restricción una de las variables se puede despejar
en términos de las otras dos, luego al reemplazar en la función objetivo W,
esta puede ser expresada en dos variables, por lo tanto en este caso podemos
volver a la optimización en dos variables sin restricciones.
 Otra solución que recordaremos en el capítulo 4, es usar la solución de
mayor uso para resolver este tipo de problemas, que es el método de
Lagrange
Conceptos útiles a aplicar
Bola Abierta en : Se llama Bola abierta con centro en 
Al conjunto de todos los puntos , tales que su distancia a es menor a “r”
Conjunto Abierto: 
Un conjunto es abierto si y sólo si no contiene ningún punto frontera
; 
Nota: 
Conjunto acotado A en : r>0 | 
es acotado ; es NO acotado
Conjunto cerrado A en : 
es cerrado
Nota: 
Conjunto compacto A en : 
es compacto
Nota: 
3.2 Valores Máximos y Mínimos absolutos de dominio D (n-variables)
Teorema de WEIERSTRASS de valores extremos absolutos
Si f es una función continua en un conjunto D compacto en , es decir,
Entonces existen tales que:
; 
3.2 Valores Máximos y Mínimos absolutos de dominio D (dos variables)
Teorema de WEIERSTRASS de valores extremos absolutos
Si f es continua en un conjunto D compacto en , entonces f alcanza:
 Un valor mínimo absoluto (global) en D digamos: y
 Un valor máximo absoluto (global) en D digamos:
En algunos puntos , esto es:
Para encontrar los valores máximo y mínimo globales de una función continua f
sobre un conjunto cerrado y acotado D se deben dar los siguientes pasos:
Paso 1. Se calculan los valores de f en los puntos estacionarios en el interior de D.
Paso 2. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D.
Paso 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo
absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto.
3.2 Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
• Se busca máximos y mínimos
locales y globales en un conjunto D,
que debe ser cerrado y acotado.
• Nótese que, en este ejemplo , si D
no fuera cerrado, el máximo global y
el mínimo local no existirían
• Si no fuera acotado, la función se iría
al infinito y por tanto tampoco
podríamos encontrar el máximo
global.
3.2 Ejemplo 5: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Obtener valores óptimos de la función en el dominio definido por:
en el dominio: 
Nótese que el dominio D es compacto, es decir, es cerrado y acotado, ya que
corresponde al círculo centrado en el origen cuyo radio es igual a 1,
Además vemos que tanto x como y están en el intervalo cerrado [-1,+1] esto es,
Como “f” es diferenciable y D es compacto, entonces, por Teorema de
Weierstrass “f” tiene máximo y mínimo absolutos en D.
3.2 Ejemplo 5: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables;
Paso 1. Calcular los valores de f en los puntos estacionarios en el interior de D
•
Resolviendo el sistema de ecuaciones dadas por las CPO
•
•
Vemos que el único punto estacionario es , el cual está al interior de D
Además
3.2 Ejemplo 5: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Paso 2. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D
• Notemos que la frontera de D es la circunferencia unitaria:
Sustituyendo lo anterior en la función objetivo “f” tenemos
Así entonces, representa a la función sobre la frontera de D
Como , vemos que:
• alcanza su valor máximo en “1” cuando
• alcanza su valor mínimo en “-1” cuando
3.2 Ejemplo 5: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Paso 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo
absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto
Valor Clasificación Punto
3.2 Ejemplo 6: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
En un estudio de las cantidades x e y de gas natural que Europa debe importar
desde Noruega y Siberia respectivamente, se supuso que las utilidades se regían
por la función: .
El término: aparece porque el precio mundial del gas natural
aumenta conforme sube el total de las importaciones.
Por restricciones de capacidad, se tiene que:
Finalmente por razones políticas, las importaciones de Noruega no deberían ser
una fracción demasiado pequeña del total de las importaciones, lo que se traduce
en que deben ser:
3.2 Ejemplo 6: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Finalmente el problema se resume para su planteamiento, de la siguiente forma:
Maximizar la función:
Sujeto a las siguientes restricciones:
Solución:PASO 2a (4,3) ; =-234
; IV
II ; 
I ; y
III ; y 3 
0 ;V 
3.2 Ejemplo 6: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Paso 2b:Analizaremos comportamiento de “f” en los bordes o segmentos I al V
I. En segmento I :
II. En segmento II:
III. En segmento III:
IV. En segmento IV:
V. En segmento 5:
3.2 Ejemplo 6: Valores Máximos y Mínimos globales en dos variables
Paso 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo
absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto
Valor Clasificación Punto
0
-105
-315
-234
2
3.2 Valores Máximos y Mínimos Locales 
Ahora consideraremos el estudio de óptimos locales de una función de n variables
Definición
Se dice que el punto
 Es un MAXIMO LOCAL en D si existe un número positivo r tal que:
 Es un MINIMO LOCAL en D si existe un número positivo r tal que:
Para el caso de dos variables consideraremos:
: OPTIMO LOCAL ;
3.2 Valores Máximos y Mínimos Locales 
NOTAS
 Un Optimo Global o Absoluto es también Optimo Local
 Un Optimo Local no necesariamente es Optimo Global
 Las CPO utilizadas en Weierstrass, en la búsqueda de puntos máximos y
mínimos hacia el interior de D, nos permitirá determinar óptimos locales.
 Debe notarse que las CPO son condiciones necesarias pero no suficientes para
que la función tenga un óptimo local, ya que el punto estacionario obtenido
que no sea Máximo ni Mínimo se llama “Punto de Silla”
Punto Máximo Local Estacionario Optimo Local
Punto Mínimo Local Estacionario Optimo Local
Punto Silla Estacionario NO es Optimo Local
Menores Principales
Menores Principales
3.2 Condiciones de Segundo Orden para “n variables” (Óptimos Locales)
Teorema
Sea f función en un conjunto , y sea un punto crítico al interior de 
D. Sean los menores principales dominantes y un menor principal 
cualquiera de orden r de la matriz Hessiana de f . Entonces
a) Si es un máximo local 
cumplen con que: 
b) es un Máximo Local
c) Si es un mínimo local 
cumplen con que: 
d) es un Mínimo Local
e) es un Punto silla
3.2 Condiciones de Segundo Orden para “dos variables” (Óptimos Locales)
Teorema:
Sea perteneciente a en un conjunto , y sea un punto
estacionario al interior de D.
Sean 
a) Si es un máximo local 
c) Si es un mínimo local 
d) Si 
e) Si 
f) es un Punto Máximo o Mínimo o Silla
b) 
3.2 Ejemplo 7: Valores Máximos y Mínimos locales en dos variables
Para el ejemplo 5, los óptimos globales de la función:
en el dominio:
Se concluyó que:
Valor Clasificación Punto
Se pide clasificar el punto estacionario (0,-1)
3.2 Ejemplo 7: Valores Máximos y Mínimos locales en dos variables
 :



 Entonces el punto interior (0,-1) es un MINIMO LOCAL
Valor Clasificación Punto
Global Global
Global
Valor Mínimo Local Mínimo Local
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
Obtener los puntos óptimos de la función en el dominio
definido por:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 +𝑦
(2,3)
(-1,0)
Paso 1. Calcular los valores de f en los puntos estacionarios en el interior de D.
•
• Para obtener puntos estacionarios recurrimos a las CPO, esto es, resolver el
siguiente sistema de ecuaciones:
estacionario
MÍNIMO interior
•
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
Paso 2a. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D : VERTICES
• dominio: 
• Para obtener los valores extremos, debemos obtener las intersecciones de las
funciones que definen el dominio D, y evaluar en dichos vértices
•
• Luego los vértices son:
• Luego
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
Paso 2b. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D: SIN VERTICES
La frontera del dominio, la podemos visualizar en su interior, en dos partes:
• Parte I: la recta (sin vértices)
• Parte II: la parábola
• Parte I:
•
•
• Entonces un óptimo en este interior de frontera es:
•
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
Parte II:
•
•
• Entonces puntos óptimos en este interior de frontera son:
•
•
•
Paso 2b. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D: SIN VERTICES
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
Paso 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo
absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto
Valor Clasificación Punto
0 Global Global
1
13 Global
1
3.2 Ejemplo 8: Valores Máximos y Mínimos en dos variables
3.3: CONJUNTO CONVEXO 
El conjunto D es CONVEXO. Si para 
cualquier par de puntos e 
Además escalar , tal que: 
El segmento: 
 Básicamente un conjunto es convexo si está conectado y no tiene “hoyos”
Cuando optimicemos en un conjunto convexo, obtendremos una serie de 
resultados que simplificarán el trabajo
D es un conjunto convexo, si 
3.3: FUNCION CONCAVA y FUNCION CONVEXA 
Para una función: con D convexo. Sea cualquier par de elementos
. Se dice que: f
es una función:

 E

 E
Notas:
• Una función f es Cóncava si –f es Convexa. Lo mismo para los casos estrictos.
• Cualquier conjunto de ponderadores positivos que sumen 1 (como, por ejemplo, 
), se conocen como una combinación convexa.
• No es verdad que si una función no es cóncava, entonces sea convexa, ni viceversa.
3.3: FUNCION CONCAVA y FUNCION CONVEXA 
Inequidad de Jensen
El matemático danés Johan Jensen generalizó el concepto de concavidad y 
convexidad a través de un resultado que, en su honor, se ha popularizado como la 
Inequidad de Jensen: 
• Sea una función convexa (cóncava), , y sean
de . Entonces,
• Sea una función convexa (cóncava), [a,b] un intervalo en el dominio de
f, y sea de . Entonces,
 
TEOREMA: Concavidad, Convexidad y Gradiente 
con D abierto y convexo, ; 






COROLARIO: Concavidad, Convexidad y Gradiente 
una función CONVEXA, con D abierto y convexo, 
Supongamos que es un MINIMO LOCAL de “f”
Entonces
es un MINIMO GLOBAL de “f”
Si además “f” es estrictamente convexa, es el único mínimo global
una función CONCAVA, con D abierto y convexo, 
Supongamos que es un MAXIMO LOCAL de “f”
Entonces
es un MAXIMO GLOBAL de “f”
Si además “f” es estrictamente cóncava, es el único máximo global
3.3 Óptimos Globales 2 variables
Teorema
Sea función en un conjunto abierto y convexo , y Sea 
un punto interior de D. 
Entonces
 Si f es cóncava:
es punto crítico de f
 Si f es convexa:
es punto crítico de f
Si adicionalmente, f es estrictamente cóncava o estrictamente convexa, entonces 
es un máximo global único o mínimo global único, respectivamente
3.3 Óptimos Globales n variables
Teorema
Sea función en un conjunto convexo , y 
Sea un punto interior de D. 
Entonces
 Si f es cóncava: 
es un punto crítico de f
 Si f es convexa: 
es un punto crítico de f
Si adicionalmente, f es estrictamente cóncava o estrictamente convexa, entonces 
es un máximo global único o mínimo global único, respectivamente
3.3 Otras propiedades funciones convexas y cóncavas
con D convexo, abierto y segundas derivadas continuas 






3.3 Máximo Global: Ejemplo 2 variables
Demostrar que para la función de CD:
b) Es estrictamente cóncava si:
 
 
1)
2) *
 CONCAVA
 ESTRICTAMENTE CONCAVA
Formas Cuadráticas de dos variables
Recordemos que en el caso de una función de una sola variable, , el 
signo de la segunda derivada, juega un rol crucial para resolver el problema de la 
optimización, lo mismo ocurre cuando trabajamos con varias variables, por 
ejemplo con una función f (x, y).
Ahora nos ocuparemos de trasladar a dos o tres variables qué significa estudiar el 
signo de la derivada segunda. En esta nueva situación, el rol de la segunda 
derivada segunda lo desempeñará la matriz Hessiana, que representa todas las 
posibles segundas derivadas
Para analizar el signo de las segundas derivadas, recurriremos a las llamadas 
formas cuadráticas
Formas Cuadráticas(f.c.) 
Dada una matriz real y simétrica , se define la forma cuadrática 
asociada a ella como la transformación: , que a cada vector , se 
le asigna elescalar o número real:
• Se debe observar que una f.c. Q, está compuesta por todos los monomios
posibles de grado dos
• Además el valor de una f.c. cuando , vale cero
• Nótese que por ser A simétrica, en caso que esto no se cumpla,
simplemente, se debe reemplazar cada uno de estos valores por:
Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
Se dice que:
 Una f.c. es definida positiva (f.c.d.p.) si: 
 Una f.c. es definida negativa (f.c.d.n.) si: 
 Una f.c. es semi definida positiva (f.c.s.d.p.) si: 
 Una f.c. es semi definida negativa (f.c.s.d.n.) si: 
 Una f.c. es INDEFINIDA si no es f.c.s.d.p. y tampoco es f.c.s.d.n.
Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
 Para obtener el signo de otras f.c. mas complejas, en este curso utilizaremos 
el método de los :
Menores Principales Dominantes y 
Menores Principales
Cuando la f.c. no posee términos cuadráticos cruzados del tipo es decir 
es de la forma , ella es fácil de clasificar a simple vista
 es d.p. ya que todos los coeficientes son positivos
 es d.n. ya que todos los coeficientes son negativos
 es indefinida ya que tiene coeficientes de ambos signos
Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
Definición Sea la matriz simétrica , se llama Menor Principal 
Dominante de orden k al determinante de la matriz de las primeras “k” filas 
y “k” columnas
; k=1,2,3,…,n
 Para obtener se deben eliminar el resto de las últimas (n-k) columnas y
filas de la matriz A
………; 
Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
Teorema
Dada una matriz real y simétrica , con sus respectivos Menores 
Principales Dominantes 
Entonces
a) A es definida positiva (d.p.) 
b) A es definida negativa (d.n.) 
Para el caso de las formas cuadráticas semi definidas. Los Menores Principales
Dominantes, solo entregan información en los siguientes casos
1) Si
2) Si
Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
Definición Sea la matriz simétrica , se llama Menor Principal de
orden k al determinante de cualquier submatriz de orden , cuya diagonal
principal esta conformada por elementos de la diagonal de A. Se obtiene
eliminando “n-k” filas y “n-k” columnas de A
Así por ejemplo si



Taxonomía de Formas Cuadráticas(f.c.) 
Teorema
Dada una matriz real y simétrica , con sus respectivos Menores 
Principales 
Entonces
a) A es definida positiva (d.p.) 
b) A es definida negativa (d.n.) 
c) A es semi definida positiva (s.d.p.) 
d) A es semi definida negativa (s.d.n.) 
e) A es indefinida para todo otro caso
A= 1 0
0 −1
→ 𝐷 = 1 > 0 ; 𝐷 = −1 < 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎. ∀(𝑥, 𝑦)
A= −1 0
0 −1
→ 𝐷 = −1 < 0; 𝐷 = 1 > 0 → 𝑑. 𝑛. ∀(𝑥, 𝑦)
Ejemplo Formas Cuadráticas(f.c.) 
Nótese que la diferencia entre el caso II y el
caso III está en que, para que la matriz sea d.n.
los signos de los menores principales
dominantes son alternados, pero se debe partir
con ( lo cumple caso II)
Sin embargo, en el caso III es al revés:
>0 y 
Caso II
CONCAVO 
Caso III 
𝐴 =
1 0
0 1
→ 𝐷 = 1 > 0 ; 𝐷 = 1 > 0 → 𝑑. 𝑝. ∀(𝑥, 𝑦)
Caso I
CONVEXO 
FUNCION QUASI-CONCAVA y QUASI-CONVEXA 
Para una función: con D convexo. Sea cualquier par de elementos
. Se dice que: f es una función:
 Quasi-convexa }
 Quasi-convexa estricta }
 Quasi-cóncava }
 Quasi-cóncava estricta }
Notas:
• Una función f es quasi-cóncava ssi –f es quasi-convexa. Mismo para casos 
estrictos.
• Toda función cóncava (convexa) es automáticamente quasi-cóncava (quasi-
convexa). No todas las quasi-cóncavas (quasi-convexas) son cóncavas (convexas)
• Una función f lineal siempre es quasi-cóncava y quasi-convexa a la vez.
FUNCION QUASI-CONCAVA y QUASI-CONVEXA 
Teorema de Quasi-concavidad/Quasi-convexidad: Sea un vector 
en n dimensiones. Entonces, la función f(.): es:
 Quasi-convexa 
 Quasi-cóncava
Ejemplo: . Verifique que f es quasi-convexa.
• Usando el teorema de arriba, vea que obliga a que 
. Para cada k, una curva de nivel es un círculo centrado en ( ) con 
radio .
• El conjunto es un conjunto convexo porque 
son todos los puntos al interior del círculo. Luego, f es quasi-convexa
FUNCION QUASI-CONCAVA y QUASI-CONVEXA 
Teorema
a) La suma de funciones q-cóncavas (q-convexas) no necesariamente es q-
cóncava (q-convexa) 
b) Si es q-cóncava (q-convexa) y F es una función estrictamente creciente 
es q-cóncava (q-convexa)
c) Si es q-cóncava (q-convexa) y F es una función estrictamente decreciente 
es q-convexa (q-cóncava)
d) Suponga que alcanza un máximo (mínimo) en D. Entonces, 
a) Si es q-cóncava (q-convexa), el set de max(min)imizadores es convexo.
b) Si es estrictamente q-cóncava (estrictamente q-convexa), ese máximo 
(mínimo) es único.
e) Sea , y D es abierto. 
f q-cóncava (q-convexa) para 
HESSIANO ORLADO 
La quasi-concavidad (q-convexidad) se puede verificar usando el Hessiano Orlado
Definición (Hessiano Orlado o Ampliado)
Sea ; D convexo y abierto. 
El Hessiano Orlado (o ampliado) de la función f es la matriz Hessiana ampliada 
que se muestra a continuación 
Propiedad: FUNCION QUASI-CONCAVA con HESSIANO ORLADO 
• no se revisa ya que por definición es “0”
Teorema
Sea ; D convexo y abierto. Se cumple que:
 Si f es quasi-cóncava, entonces los menores principales dominantes de 
orden impar de son no negativos y los de orden par mayores que 1 
son no positivos (Condición Necesaria)
 Si los menores principales dominantes de orden impar de son positivos 
y los de orden par mayores que 1 son negativos 
Entonces “f” es quasi-cóncava (Condición Suficiente)
3.3 Propiedad Útil
Teorema
Sea f una función de n variables, . 
Sea F una función de una variable, definida en un dominio que contenga al 
rango de f
Se define la función g sobre D como:
g
Si F es una función creciente o estrictamente creciente y
Si , maximiza(minimiza) a f sobre D
Entonces
, maximiza(minimiza) a g sobre D
3.3 APLICACIONES
Ejercicios
3.3 Ejemplo 1 de Propiedad Útil
Ejemplo
Calcule la distancia más corta desde el punto (1, 0, -2) al plano .
Solución
Debemos buscar el valor mínimo de la función distancia dada por

Sin embargo, algebraicamente es mucho mas simple optimizar la siguiente 
función cuadrática, la cual es monótona creciente para todo 

Lo que nos avala la propiedad en este caso es que el punto mínimo de ambas 
funciones es el mismo 
3.3 Ejemplo 1 de Propiedad Útil
•
•
• CPO: ;
• Un único punto crítico 
•
•
• Por tanto el punto crítico 
• La distancia más corta es: 
3.3 Ejemplo 2 de Propiedad Útil
Ejemplo
En gestión de operaciones, en muchas ocasiones se necesita analizar los tiempos
de duración de procesos de servicio (por ejemplo, llamadas servidas en un call-
center), los que se miden usando un modelo de duración llamado exponencial:
Donde es el tiempo esperado de duración. 
Para estimar la duración esperada de n llamadas, con tiempos individuales , se
utiliza la llamada Función de Verosimilitud, definida por:
. Nótese que: , pues la variable de interés es
 Se pide obtener el valor de que maximiza la función de verosimilitud. 
A este valor se le llama Estimador de Máxima Verosimilitud 
3.3 Ejemplo 2 de Propiedad Útil
Solución (recordar: la “pitatoria” es como una sumatoria pero que en vez de sumar, 
multiplica)
Maximizar esa función respecto a parece horrible (y lo es).
Sin embargo, por la propiedad útil, el que optimiza (una función
creciente) es el mismo que optimiza el L original.
3.3 APLICACIONES CAPITULO 3
Obtener óptimos de la función:
Solución
•
• CPO
• Un único punto crítico o estacionario es
•
• Como
;
 Por lo tanto (1,3) es un MINIMO GLOBAL
3.3 APLICACIONES CAPITULO 3
Determine los valores máximo, mínimo y punto silla de la función:
Respuesta
 (0,0) PUNTO SILLA
 (1,1) PUNTO MINIMO LOCAL y GLOBAL
 (-1,-1) PUNTO MINIMO LOCAL y GLOBAL
3.3 APLICACIONES CAPITULO 3
Dada la función:
• Analice si los puntos: corresponden a máximo,
mínimo o punto silla
Solución

CPO
(1)
(3)
Ambos PUNTOS sugeridos son críticos, ya que cumplen con las CPO
3.3 APLICACIONESCAPITULO 3

Los menores principales dominantes evaluados en el punto crítico (0,0,0) son
Nótese que:
• No se satisfacen las condiciones de mínimo
• Y tampoco las de máximo:
• Por lo tanto, en este caso estamos frente a un PUNTO SILLA
3.3 APLICACIONES CAPITULO 3
 Los menores principales dominantes evaluados en el punto crítico
(-2,-2,-2) son:


 Se satisfacen las CSO de máximo local, por lo tanto, el punto (-2,-2,-2) es un
MAXIMO LOCAL
Capítulo 3 --- PRUEBA DE ENSAYO PARA I1
PROBLEMA 1 El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10 cm y
25 cm, respectivamente, con un posible error en la medición de 0,1 cm en cada uno.
Utilice diferenciales para estimar en forma aproximada. el mayor error posible en el
volumen calculado del cono.
PROBLEMA 2 Obtener donde
PROBLEMA 3 La producción de trigo en un año dado, Q, depende de la temperatura
promedio T y de la precipitación pluvial anual P. Los científicos estiman que la
temperatura promedio se eleva a razón de , y que la precipitación está
disminuyendo
También estiman que, a niveles de producción actuales,
a) ¿Cuál es el significado de los signos de estas derivadas parciales?
b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo.
Capítulo 3 --- PRUEBA DE ENSAYO PARA I1
PROBLEMA 4 Suponga que un estadístico tiene razón en creer que dos
Cantidades se pueden modelar en forma aproximada de acuerdo a una
dependencia de tipo lineal, esto es: ; Donde
Para estimar los parámetros, el estadístico ejecuta un experimento y procesa
información en la forma de puntos: . Luego los
representa en un gráfico, de tal modo que los puntos no quedan exactamente
sobre una recta, de acuerdo al siguiente gráfico:
5,000
5,200
5,400
5,600
5,800
6,000
6,200
6,400
6,600
6,800
7,000
9,000 9,500 10,000 10,500 11,000 11,500 12,000 12,500 13,000
(𝑥_𝑖,𝑦_𝑖 )
𝒚=𝜷_𝟎+𝜷_𝟏 𝒙
𝑑_𝑖
Capítulo 3 --- PRUEBA DE ENSAYO PARA I1
Para estimar los parámetros el estadístico utiliza el Método de Mínimos
Cuadrados, que consiste en lo siguiente:
Sea la distancia vertical desde un punto cualesquiera
. Se trata de obtener (estimar) minimizando la
expresión: SSE
 Demostrar que los estimadores de Mínimos Cuadrados son: