CAP 5 KKT-1

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5.1. Problemas de optimización en dos variables 
5.2. Aplicación práctica de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker. Explicación 
geométrica. 
5.3. Optimización en más de dos variables. Generalización de las condiciones de 
Karush-Kuhn-Tucker 
5.4. Optimización con condiciones de no negatividad para las variables. 
Adecuación de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker 
5.5. Optimización restringida con funciones objetivo no diferenciables en todo su 
dominio en dos variables: funciones de mínimo y de máximo 
5.6. Optimización restringida con funciones objetivo lineales (dos variables) 
5.7. Aplicaciones 
Bibliografía: SHC, cap. 18.9-18.12; G. Edwards, cap. 4, 5 y 6
5. Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
A diferencia de lo que estudiamos en optimización con restricciones de igualdad, 
ahora lo haremos con restricciones de desigualdad, ya que es mas usual encontrar 
este tipo de aplicaciones en Economía y Finanzas.
 Cantidades en factores de producción, no pueden ser negativos
 Tampoco se pueden fijar precios negativos
 Los límites en la disponibilidad de los recursos, se tienen mas bien en forma 
de desigualdad que de igualdad. Etc…..
Las condiciones necesarias que deben satisfacer los problemas de optimización 
no lineal con restricciones de desigualdad, se deben a tres autores:
𝑲𝒂𝒓𝒖𝒔𝒉 − 𝑲𝒖𝒉𝒏 − 𝑻𝒖𝒄𝒌𝒆𝒓 𝑲𝑲𝑻
Las cuales son consideradas como una generalización del método de Lagrange,
Para condiciones de desigualdad.
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Maximizar𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 s.a. 
restricciones
• 𝑥 ≥ 0
• 𝑦 ≥ 0
• 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1
• 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2
Maximizar𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 s.a. 
restricciones
• 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 2
• 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 10
𝒏 = 𝟐;𝒎 = 𝟒
𝒏 = 𝟑;𝒎 =2
5.2 Métodos de optimización en 2 variables con restricciones de desigualdad 
Optimizar la función objetivo
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2
Sujeto a las restricciones
 𝑥 + 𝑦 ≤ 7
 𝑥 ≥ 0
 𝑦 ≥ 0
Ejemplo 1
CASO: n = 2 ; m = 3
Las restricciones definen
fronteras al dominio de
soluciones FACTIBLES
𝒙𝒚
𝒛
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
Dominio:𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 + 𝑦 ≤ 7; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
Es un conjunto compacto (cerrado y acotado)
Por lo tanto podemos aplicar WEIERSTRASS
∃ Mínimo y Máximo Global de “f” en D
𝒙𝒚
0,0
7,0
0,7
Operatoria WEIERSTRASS
1) Se calculan los valores de f en
los puntos críticos de f en D.
2) Se determinan los valores
extremos de f sobre la frontera
de D.
3) Valor más grande entre 1) y 2)
es el valor máximo global
4) Valor más pequeño entre 1) y
2) es el valor mínimo global.
Además D es convexo
Paso 1) Óptimos Libres de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2
𝑪𝑷𝑶

𝜕𝑓 𝑥,𝑦
𝜕𝑥
= 2 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3

𝜕𝑓 𝑥,𝑦
𝜕𝑦
= 2 𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 = 2
 Por lo tanto, (3,2) es un punto crítico de 𝑓 𝑥, 𝑦 contenido al interior de D
Paso 2) Óptimos Restringidos: Sobre la frontera de D, entonces se consideran
las restricciones como igualdad (Podemos usar LAGRANGE)
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
 Por lo tanto el punto (4,3) es un óptimo restringido de "𝑓” contenido en D
Caso 2a) Restricción 𝒙 + 𝒚 = 𝟕
Optimizar: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 𝑠. 𝑎. 𝑥 + 𝑦 = 7
 ℒ 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 + 𝜆(7 − 𝑥 − 𝑦)

𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 2 x − 3 − 𝜆 = 0 → 𝑥 =
𝜆
2
+ 3

𝜕ℒ
𝜕𝑦
= 2 y − 2 − 𝜆 = 0 → 𝑦 =
𝜆
2
+ 2

𝜕ℒ
𝜕𝜆
= 7 − x − y = 0
 𝜆∗ = 2
 𝑥∗ = 4
 𝑦∗ = 3
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
 Por lo tanto el punto (0,2) es un óptimo restringido de "𝑓” contenido en D
Caso 2b) Restricción 𝒙 =0
Optimizar: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 𝑠. 𝑎. 𝑥 = 0
 ℒ 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 + 𝜆(−𝑥)

𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 2 x − 3 − 𝜆 = 0 → 𝑥 =
𝜆
2
+ 3

𝜕ℒ
𝜕𝑦
= 2 y − 2 = 0 → 𝑦 = 2

𝜕ℒ
𝜕𝜆
= −x = 0
 𝜆∗ = −6
 𝑥∗ = 0
 𝑦∗ = 2
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
 Por lo tanto el punto (3,0) es un óptimo restringido de "𝑓” contenido en D
Caso 2c) Restricción y=0
Optimizar: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 𝑠. 𝑎. 𝑦 = 0
 ℒ 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 2 + 𝜆(−𝑦)
 Resumen puntos críticos: (3,2); (4,3); (0,2), a los cuales se deben agregar, los
vértices del conjunto FACTIBLE, correspondiente a las intersecciones de las
restricciones, esto es: (0,0); (0,7); (7,0)

𝜕ℒ
𝜕𝑦
= 2 y − 2 − 𝜆 = 0 → 𝑦 =
𝜆
2
+ 2

𝜕ℒ
𝜕𝜆
= −y = 0
 𝜆∗ = −4
 𝑥∗ =3
 𝑦∗ =0

𝜕ℒ
𝜕𝑥
= 2 x − 3 = 0 → 𝑥 = 3
Paso 3 Valorización INTERPRETACION GEOMÉTRICA 1
0
,0
0
,7
1
,4
2
,1 2
,8 3
,5 4
,2 4
,9 5
,6 6
,3 7
,0
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
0
,0
0
,3
0
,6
0
,9
1
,2
1
,5
1
,8
2
,1
2
,4
2
,7
3
,0
3
,3
3
,6
3
,9
4
,2
4
,5
4
,8
5
,1
5
,4
5
,7
6
,0
6
,3
6
,6
6
,9
y
z
x
Clasificación
0 7 34 Máximo Global
7 0 20 Máximo Local
0 0 13 Máximo Local
0 2 9 No es óptimo local
3 0 4 No es óptimo local
4 3 2 No es óptimo local
3 2 0 Mínimo Global
𝑥∗ 𝑦∗ 𝑓∗
Con el gráfico podemos 
clasificar los puntos
Los puntos 4,5 y 6, no 
cumplen con definición 
Max. o Min. Local
Dado en Cap. 3.1 pag.2
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
Solución alternativa mediante 
CURVAS DE NIVEL
Paso 3 Valorización Alternativa
INTERPRETACION GEOMÉTRICA 2
 Las curvas de nivel son
circunferencias concéntricas
centradas en el punto (3,2)
 La figura tiene además
destacados todos los puntos
críticos
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
 La función objetivo es convexa sobre todo el dominio D que es un conjunto
convexo, por lo tanto, el centro de las circunferencias (curvas de nivel) es un
MINIMO LIBRE (sin restricciones)
 Al ser la función CONVEXA en todo el dominio D, en la medida que la
curva de nivel se aleja del centro (3,2), su valor aumenta, por lo cual, en las
fronteras se pueden encontrar solo puntos máximos locales o globales o
puntos que siendo críticos, pueden no ser óptimos
(para que los puntos fronteras sean mínimos la función debería ser cóncava)
ESTO ESTA FUNDAMENTADO EN PAGINA 26 CAPITULO 4.4
 En la siguiente trasparencia volveremos a clasificar geométricamente los
puntos críticos
Paso 3 Valorización Alternativa INTERPRETACION GEOMÉTRICA 2
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
Paso 3 Valorización Alternativa INTERPRETACION GEOMÉTRICA 2
 Consideramos una delta vecindad para
el punto crítico (0,2) ( NO VERTICE)
Por la zona del dominio pintado en
azul pasan curvas de nivel más bajas
que las que pasan por el punto (0,2) y
que por la zona del dominio pintada
en amarillo pasan curvas de niveles
más altos.
Por tanto, el punto (0,2) no puede ser
ni máximo ni mínimo local.
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/conocimientos-iniciales#T_14_htm
Consideramos delta vecindades para
todos los puntos críticos
Paso 3 Valorización Alternativa INTERPRETACION GEOMÉTRICA 2
Por los otros puntos críticos (3,0) y
(4,3) que no son vértices de la región
factible, ocurre lo mismo que en (0,2);
por lo cual NO son ni Min. Ni Max.
Sin embargo para los puntos críticos
(0,7); (0,0); (7,0) que SI son vértices
de la región factible, las curvas de
nivel mas altas de la zona amarilla
quedan fuera de la región factible.
Por lo tanto, si son MAXIMOS
5.2 Métodos de optimización en 2 variables Interpretación Geométrica 
Cuando el método geométrico es difícil de aplicar, podemos resolver el
problema analíticamente aplicando las condiciones de Karol-Kuhn-Tucker
5.2 CONDICIONES KKT 
Para acercarnos suavemente a las condiciones de KKT, utilizaremosla
metodología propuesta por GE, en su trabajo docente de Modelos de
Optimización, esto es,
 Cap. 4 Optimización con restricciones de NO NEGATIVIDAD
 Cap. 5 Optimización con restricciones de Igualdad y Desigualdad
 Cap. 6 Suficiencia de condiciones de KKT
5.2 CONDICIONES KKT 
 Cap. 4 Optimización con restricciones de NO NEGATIVIDAD
 CASO 1 VARIABLE 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓: 𝒇 𝒙 𝒔. 𝒂. 𝒙 ≥ 𝟎
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0
N(16, 16)
 En este caso el máximo se
encuentra en 𝑥∗ = 16
 Esto es, el máximo se
encuentra en el interior de
la región factible.
 Por lo tanto, se deben
cumplir las CPO y CSO
usuales, esto es:
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ = 0
 𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ <0
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ = 0  𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ <0
 𝑥∗ = 16
5.2 CONDICIONES KKT 
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,08000
0,10000
0,12000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
N(0, 16)
0,00000
0,50000
1,00000
1,50000
2,00000
2,50000
3,00000
3,50000
4,00000
4,50000
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
exp(4)
 En estos casos el máximo se encuentra en la frontera de la región factible: 𝑥∗ = 0
 Observamos que no necesariamente, se deben cumplir las CPO y CSO usuales, esto es:
 Resumiendo los tres casos, las CPO se pueden resumir en
 𝑥∗ = 0
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ = 0
 𝑥∗ = 0
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ < 0
1) Si x∗ > 0 ⇒ fx
, x∗ = 0
2) Si x∗ = 0 ⇒ fx
, x∗ ≤ 0
3) x∗ ≥ 0
1. 𝐟𝐱
, 𝐱∗ ≤ 𝟎
2. 𝐱∗ ∗ 𝐟𝐱
, 𝐱∗ = 𝟎
3. 𝐱∗ ≥ 𝟎
𝑫𝒆 𝒂𝒒𝒖𝒊 𝒆𝒏 𝒂𝒅𝒆𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒓á 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
5.2 CONDICIONES KKT 
0,00000
0,02000
0,04000
0,06000
0,08000
0,10000
0,12000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
N(0, 16)
 𝑥∗ = 0 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ = 0
1. 𝐟𝐱
, 𝐱∗ ≤ 𝟎
2. 𝐱∗ ∗ 𝐟𝐱
, 𝐱∗ = 𝟎
3. 𝐱∗ ≥ 𝟎
𝑁ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝑃𝑂
-0,12000
-0,10000
-0,08000
-0,06000
-0,04000
-0,02000
0,00000
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
-N(0, 16)
 𝑥∗ = 0𝑀𝐼𝑁𝐼𝑀𝑂
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ = 0
 𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ < 0
 𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ > 0
Como en ambos 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝒇𝒙
, (𝒙∗) = 𝟎
Las CSO se deben respetar para Máximos y Mínimos
5.2 CONDICIONES KKT 
1. 𝐟𝐱
, 𝐱∗ ≤ 𝟎
2. 𝐱∗ ∗ 𝐟𝐱
, 𝐱∗ = 𝟎
3. 𝐱∗ ≥ 𝟎
𝑁ó𝑡𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝐶𝑃𝑂
SI en ambos 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒔𝒆 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂: 𝒇𝒙
, 𝒙∗ < 𝟎
𝒙∗ 𝑬𝑺 𝑼𝑵𝑴𝑨𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑳𝑶𝑪𝑨𝑳 (𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒕𝒂𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝑪𝑺𝑶)
0,00000
0,50000
1,00000
1,50000
2,00000
2,50000
3,00000
3,50000
4,00000
4,50000
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
exp(4)
 𝑥∗ = 0 𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂
 𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ > 0
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ < 0
0,00000
0,50000
1,00000
1,50000
2,00000
2,50000
3,00000
3,50000
4,00000
4,50000
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50
f 𝒙 = 𝟓 − 𝟐𝒙
 𝑥∗ = 0𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝑂
 𝑓𝑥
, 𝑥∗ < 0
 𝑓𝑥𝑥
,, 𝑥∗ < 0
5.2 CONDICIONES KKT 
 Cap. 4 Optimización con restricciones de NO NEGATIVIDAD
 CASO n VARIABLES 𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒊𝒛𝒂𝒓: 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 𝒔. 𝒂. 𝒙𝒊 ≥ 𝟎 ∀𝒊
Las CPO son similares a las dadas para el caso precedente de n= 1 variable,
restringida a la no negatividad.
Por lo tanto, deben cumplirse las siguientes CPO:
1)
𝜕f x∗
𝜕xi
≤ 0 ; ∀i = 1,2, … , n
2)
𝜕f x∗
𝜕xi
∗ xi = 0 ; ∀i = 1,2, … , n
3) xi
∗ ≥ 0 ; ∀i = 1,2, … , n
5.2 CONDICIONES KKT 
 Cap. 5-1 Optimización con restricciones de IGUALDAD (ya la estudiamos
anteriormente con LAGRANGE
 Cap. 5-2 Optimización con restricciones de DESIGUALDAD
Definición
Problema de programación no lineal, general n variables m restricciones
Necesitamos obtener: 𝑴á𝒙 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏
Sujeto a las restricciones: 𝑔1 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑐1
𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑐2
……………………...
……………………….
𝑔𝑚 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≤ 𝑐𝑚
Y condiciones de NO Negatividad: 𝑥𝑖 ≥ 0 ; ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛
5.2 CONDICIONES KKT 
PASO 1: Definir el Lagrangeano:
ℒ = 𝑓 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 + ෍
𝑗=1
𝑗=𝑚
𝜆𝑗 𝑐𝑗 − 𝑔𝑗 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏
Nótese que en este caso, 𝑐𝑗 − 𝑔𝑗 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ≥ 0 (diferente al utilizado en
el capítulo 4 con restricciones de igualdad)
PASO 2: CPO: El problema de programación no lineal, consiste en
𝑀𝐴𝑋𝐼𝑀𝐼𝑍𝐴𝑅: ℒ = 𝑓 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 + ෍
𝑗=1
𝑗=𝑚
𝜆𝑗 𝑐𝑗 − 𝑔𝑗 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏
Sujeto a condiciones de no negatividad para las variables
5.2 CPO de KAROL-KUHN -TUCKER 
1)
𝛛𝓛
𝛛𝐱𝐢
≤ 𝟎 ; ∀𝐢 = 𝟏, 𝟐, … , 𝐧
2)
𝛛𝓛
𝛛𝐱𝐢
∗ 𝐱𝐢 = 𝟎 ; ∀𝐢 = 𝟏, 𝟐,… , 𝐧
3)
𝛛𝓛
𝛛𝛌𝐣
≥ 𝟎 ; ∀𝐣 = 𝟏, 𝟐, … ,𝐦
4)
𝛛𝓛
𝛛𝛌𝐣
∗ 𝛌𝐣 = 𝟎 ; ∀𝐣 = 𝟏, 𝟐, … ,𝐦
5) 𝐱𝐢 ≥ 𝟎 ; ∀𝐢 = 𝟏, 𝟐, … , 𝐧
𝛌𝐣 ≥ 𝟎 ; ∀𝐣 = 𝟏, 𝟐, … ,𝐦
Estas condiciones, son conocidas
como CPO de KKT.
Las cuales nos permiten
encontrar los puntos críticos, para
el caso de maximización en
problemas de programación no
lineal, es decir:
En problemas de maximización
con restricciones de desigualdad.
Ejemplo
Resolver el problema: 
𝑀𝑎𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑦 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑔 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6; 𝑥, 𝑦 ≥ 0
Solución Lagrangeano: ℒ = 3𝑥2 + 2𝑦 + 𝜆 6 − 2𝑥 − 𝑦
CPO
1) ℒx
, = 6x − 2λ ≤ 0
2) ℒx
, ∗ x = 6x − 2λ ∗ x = 0
3) ℒy
, = 2 − λ ≤ 0 ⇒ λ ≥ 2
4) ℒy
, ∗ y = 2 − λ ∗ y = 0
5) ℒλ
, = 6 − 2x − y ≥ 0
6) ℒλ
, ∗ λ = 6 − 2x ∗ λ = 0
7) x, y, λ ≥ 0
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
 Son necesarios los siguientes 2𝑛+𝑚 = 22+1 = 8 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 De la condición 3) se tiene que: 𝜆 ≥ 2, por lo tanto de
inmediato se descartan los caso 1, 2, 3 y 5 (𝜆=0)
 Caso 4: CPO en: 𝑥 = 𝑦 = 0 ; 𝜆 > 0
1) ℒx
, 0,0 = 6 ∗ 0 − 2λ = −2λ ≤ 0
2) ℒx
, 0,0 ∗ x = −2λ ∗ 0 = 0
3) ℒy
, 0,0 = 2 − λ ≤ 0
4) ℒy
, 0,0 ∗ y = 2 − λ ∗ 0 = 0
5) ℒλ
, 0,0 = 6 ≥ 0
6) ℒλ
, 0,0 ∗ λ = 6 ∗ λ = 0 ⇒ λ = 0 ⇒⇐ ya que λ > 0
7) x, y, λ ≥ 0
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Caso X Y 𝝀
1 0 0 0
2 + 0 0
3 0 + 0
4 0 0 +
5 + + 0
6 + 0 +
7 0 + +
8 + + +
 Caso 6: CPO en: 𝑥 > 0; 𝑦 = 0 ; 𝜆 > 0
1)ℒx
, = 6x − 2λ ≤ 0
2) ℒx
, ∗ x = 6x − 2λ ∗ x = 0
De 1) y 2), se debe cumplir que: 8) 6x − 2λ = 0
3) ℒy
, = 2 − λ ≤ 0
4) ℒy
, ∗ y = 2 − λ ∗ y = 0
Como y = 0 de 3) y 4), se debe cumplir que: 3) 2 − λ ≤ 0
5) ℒλ
, = 6 − 2x ≥ 0
6) ℒλ
, ∗ λ = 6 − 2x ∗ λ = 0
De 5) y 6), se debe cumplir que: 9) 6 − 2x = 0
𝑫𝒆 𝟖), 𝟑) 𝒚 𝟗) 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒙 = 𝟑; 𝒚 = 𝟎; 𝝀 = 𝟗 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝑲𝑲𝑻
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
 Caso 7: CPO en: 𝑥 = 0; 𝑦 > 0 ; 𝜆 > 0
En este caso se debe cumplir que:
2 − 𝜆 = 0 ; 6 − 𝑦 = 0
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒙 = 𝟎; 𝒚 = 𝟔; 𝝀 = 𝟐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝑲𝑲𝑻
 Caso 8: CPO en: 𝑥 > 0; 𝑦 > 0 ; 𝜆 > 0
En este caso se debe cumplir que:
6𝑥 − 2𝜆 = 0 ; 2 − 𝜆 = 0 ; 6 − 2𝑥 − 𝑦 = 0
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒙 =
𝟐
𝟑
; 𝒚 =
𝟏𝟒
𝟑
; 𝝀 = 𝟐 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝑲𝑲𝑻
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
 En definitiva tenemos tres puntos críticos que cumplen con la condiciones de 
KKT.
 Para dirimir entre ellos, debemos valorizar en la función objetivo
 𝑓 3,0 = 27
 𝑓 0,6 = 12
 𝑓
2
3
,
14
3
=
20
3
 En consecuencia el OPTIMO es: 𝑥∗ = 3 ; 𝑦∗ = 0 ; 𝜆∗ = 9
5.1 Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Hasta el momento, las CPO de KKT, son solo condiciones necesarias, es decir, el
hecho que se cumplan las condiciones de KKT, no implica que dicho punto sea
un máximo, ni siquiera LOCAL.
Con el propósito de ver condiciones suficientes que garanticen que si un punto
satisface las CPO de KKT, entonces es también un MAXIMO GLOBAL (no solo
local), es necesario recordar las funciones cóncavas, convexas y además los
conjuntos convexos.
Si la función objetivo es cóncava y las restricciones conforman un conjunto
convexo, entonces, todo punto libre que satisfaga las condiciones de KKT, es un
MAXIMOGLOBAL
Si la función objetivo es convexa y las restricciones conforman un conjunto
convexo, entonces, todo punto libre que satisfaga las condiciones de KKT, es un
MINIMO GLOBAL
5. Condiciones de Suficiencia 
Hasta el momento hemos considerado el problema de PNL con restricciones de
NO NEGATIVIDAD en las variables, sin embargo, podemos levantar dichas
restricciones, quedando las CPO de KKT reducidas a:
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
1)
𝜕ℒ
𝜕xi
≤ 0 ; ∀i = 1,2,… , n
2)
𝜕ℒ
𝜕xi
∗ xi = 0 ; ∀i = 1,2,… , n
3)
𝜕ℒ
𝜕λj
≥ 0 ; ∀j = 1,2,… ,m
4) 𝜕ℒ
𝜕λj
∗ λj = 0 ; ∀j = 1,2,… ,m
5) xi ≥ 0 ;∀i = 1,2,… , n
λj ≥ 0 ; ∀j = 1,2,… ,m
1)
𝝏𝓛
𝝏𝒙𝒊
= 𝟎 ; ∀𝒊 = 𝟏, 𝟐,… , 𝒏
2)
𝝏𝓛
𝝏𝝀𝒋
≥ 𝟎 ; ∀𝒋 = 𝟏, 𝟐,… ,𝒎
3)
𝝏𝓛
𝝏𝝀𝒋
∗ 𝝀𝒋 = 𝟎 ; ∀𝒋 = 𝟏, 𝟐,… ,𝒎
(Holguras Complementarias)
4) 𝝀𝒋≥ 𝟎 ; ∀𝒋 = 𝟏, 𝟐,… ,𝒎
CPO de KKT (s/no negatividad) 
Ejemplo
Resolver el problema: 
𝑀𝑎𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦 − 1 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
Solución
Lagrangeano: ℒ = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑦 − 1 + 𝜆 1 − 𝑥2 − 𝑦2
CPO
1) ℒx
, = 2x − 2λx = 0
2) ℒy
, = 2y + 1 − 2λy = 0
3) ℒ𝜆
, = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0
4) Holgura complementaria: (1 − 𝑥2 − 𝑦2) 𝜆 = 0
5) 𝜆 ≥ 0
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
6) De 1) tenemos: 2𝑥 1 − 𝜆 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜 𝜆 = 1
Pero si 𝜆 = 1, se produce una contradicción ya que al reemplazar en 2)
2y + 1 − 2λy = 0 ⇒ 1 = 0 ⇒⇐
7) Por lo tanto de la condición 1) lo único posible de concluir es que 𝒙 = 𝟎
Consideremos ahora que en la holgura complementaria se cumple que:
1 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0, pero como, 𝑥 = 0 entonces 𝑦 = ±1
En primer lugar: 𝑦 = +1 al reemplazar en 2), se cumple que: 𝜆 =
3
2
8) ∴ con 𝜆 =
3
2
; punto (0, +1) es un candidato a óptimo, ya que se cumple 1) a 4)
En segundo lugar: 𝑦 = −1 al reemplazar en 3), se cumple que: 𝜆 =
1
2
9) ∴ con 𝜆 =
1
2
; punto (0, -1) es un candidato a óptimo, ya que se cumple 1) a 4)
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
Consideremos ahora que en la holgura complementaria se cumple que 𝜆 = 0
Reemplazando en 3), se tiene que: 2𝑦 + 1 = 0 → 𝑦 = −
1
2
, por lo tanto como 
𝑥 = 0, se tiene que
10) El tercer candidato a óptimo es el punto 0,−
1
2
ya que se cumple 1) a 4)
11) Valorizando la función objetivo en los tres puntos críticos, tenemos
𝑓 0,1 = 1 ; 𝑓 0,−1 = −1 ; 𝑓 0, −
1
2
= −
5
4
12) Por teorema de valores extremos de Weiestrass, 
El punto (0,1) resuelve el problema de maximización planteado.
(El punto 0,−
1
2
resuelve el problema de minimización)
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
Ejemplo 3 variables
Una empresa dispone de L unidades de trabajo y produce tres bienes. La
producción de x, y, z unidades de esos bienes requiere: 𝛼𝑥2, 𝛽𝑦2, 𝛾𝑧2 unidades
de trabajo respectivamente
Resolver el problema de programación no lineal
𝑴𝒂𝒙: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 𝒔. 𝒂. 𝜶𝒙𝟐 + 𝜷𝒚𝟐 + 𝜸𝒛𝟐 ≤ 𝑳
Cuando los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝛼, 𝛽, 𝛾 son todos constantes positivas
NOTA: Nótese que en este caso nada se dice de las condiciones de NO
NEGATIVIDAD de las variables x, y, z
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑎𝑛𝑜: ℒ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝜆 𝐿 − 𝛼𝑥2 − 𝛽𝑦2 − 𝛾𝑧2
CPO
1) ℒ𝑥
, = 𝑎 − 2𝜆𝛼𝑥 = 0
2) ℒ𝑦
, = 𝑏 − 2𝜆𝛽𝑦 = 0
3) ℒ𝑧
, = 𝑐 − 2𝜆𝛾𝑧 = 0
4) ℒ𝜆
, = 𝐿 − 𝛼𝑥2 − 𝛽𝑦2 − 𝛾𝑧2 ≥ 0
5) ℒ𝜆
, ∗ 𝜆 = 𝐿 − 𝛼𝑥2 − 𝛽𝑦2 − 𝛾𝑧2 ∗ 𝜆=0 (holgura complementaria)
6) 𝜆 ≥ 0
7) Al despejar 𝑥 desde 1) tenemos que: x =
𝑎
2𝜆𝛼
8) Al despejar 𝜆 desde 2) tenemos que: y =
𝑏
2𝜆𝛽
9) Al despejar 𝜆 desde 3) tenemos que: z =
𝑐
2𝜆𝛾
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
De 5) podemos concluir que 𝜆 = 0 no puede ocurrir, ya que de serlo, al
reemplazar este valor en 1), 2) y 3), las constantes 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0 lo que es una
contradicción con el enunciado del problema, ya que se afirma que dichas
constantes son estrictamente positivas. Por lo tanto, la opción que queda para la
holgura complementaria solo es que 𝜆 > 0 y por tanto:
10) 𝐿 − 𝛼𝑥2 − 𝛽𝑦2 − 𝛾𝑧2 = 0
Reemplazando 7), 8), 9) en 10), tenemos que:
11) 𝜆∗ =
1
2 𝐿
𝑎2
𝛼
+
𝑏2
𝛽
+
𝑐2
𝛾
=
𝜇
2 𝐿
, donde μ =
𝑎2
𝛼
+
𝑏2
𝛽
+
𝑐2
𝛾
12) 𝑥∗ =
𝑎 𝐿
𝛼𝜇
; 𝑦∗ =
𝑏 𝐿
𝛽𝜇
; 𝑧∗ =
𝑐 𝐿
𝛾𝜇
Las soluciones dadas en 12) son las únicas soluciones + que cumplen con las
condiciones de KKT, por lo tanto corresponden al máximo de la función objetivo
5. Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
5. Algunas Consideraciones Generales 
 Todas las propiedades y aplicaciones que hemos hecho hasta el momento de
las CPO de KKT, han sido para MAXIMIZAR la FUNCION OBJETIVO
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). En caso que se requiera MINIMIZAR, para adaptarnos a lo
ya estudiado, debemos aplicar la siguiente propiedad
𝑴𝑰𝑵𝑰𝑴𝑰𝒁𝑨𝑹: 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ≡ 𝑴𝑨𝑿𝑰𝑴𝑰𝒁𝑨𝑹 − 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏)
 Una restricción contraria a las ya expresadas en el problema de maximización
en PNL, esto es: 𝑔𝑗 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ≥ 𝑐𝑗 , puede ser expresada como:
−𝒈𝒋 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ≤ −𝒄𝒋
Mas aún, una restricción de igualdad esto es: 𝑔𝑗 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑐𝑗 , puede
ser expresada con las siguientes dos restricciones:
𝒈𝒋 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ≤ 𝒄𝒋 ;
 −𝒈𝒋 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 ≤ −𝒄𝒋
5. Algunas Consideraciones Generales 
Un caso particular de PNL, es considerar que tanto la función objetivo como las
restricciones, corresponden a funciones lineales, pasándose a llamar en este
particular caso PROGRAMACION LINEAL (PL)
Problema general de PL
Maximizar: 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑏1𝑥1 + 𝑏2𝑥2 +⋯+ 𝑏𝑛𝑥𝑛
Sujeto a: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑐1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑐2
…………………………
…………………………
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑐𝑚
Condiciones de no negatividad: 𝑥𝑖 ≥ 0 ; ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛
5. Algunas Consideraciones Generales 
Max: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
s.a. x +3y  9
2x+y  8
x ≥1
y ≥1
Max: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
s.a. x +3y  9
2x+y  8
-x ≤ −1
-y ≤ −1
Óptimo (3, 2)
Al resolver por KKT
Hay 2𝑛+𝑚 = 21+4 = 32 CPO para obtener puntos candidatos a óptimos
Max: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
s.a. x  30
y  60
z  20
x, y, z 0
10
30
20
20 40 60 80
40
10
20
30
x
y
z
Óptimo (30, 60, 20)
5. Algunas Consideraciones Generales 
Al resolver por KKT
Hay 2𝑛+𝑚 = 21+3 = 16 CPO para 
obtener puntos candidatos a óptimos