Capítulo 5

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5.1. Problemas de optimización en dos variables 
5.2. Aplicación práctica de las condiciones de (Karush-)Kuhn-Tucker (KKT). 
Explicación geométrica. 
5.3. Optimización en más de dos variables. Generalización de las condiciones de 
KKT 
5.4. Optimización con condiciones de no negatividad para las variables. 
Adecuación de las condiciones de KKT 
5.5. Optimización restringida con funciones objetivo no diferenciables en todo su 
dominio en dos variables: funciones de mínimo y de máximo 
5.6. Optimización restringida con funciones objetivo lineales (dos variables) 
5.7. Aplicaciones 
Bibliografía: SHC, cap. 18.9-18.12; G. Edwards, cap. 4, 5 y 6
5. Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Mapa de lo que hemos aprendido respecto a optimización
 Optimización SIN restricciones: Capítulo 3
 Optimización con restricciones de igualdad: Capítulo 4
Ahora: Optimización con restricciones de desigualdad: Capítulo 5
Con esto cubriremos un mayor espectro de aplicaciones que se pueden presentar
en Negocios y Economía (p.ej., no negatividad de cantidades o precios)
En particular, podemos encontrarnos con puntos factibles en camino al óptimo:
• Ya no nos veremos obligados a que todas las restricciones se deban cumplir con igualdad
• Aprovecharemos el trabajo de Harold Kuhn y Albert Tucker en 1951, quienes
expandieron (sin saberlo) los estudios que originalmente hizo, sin publicar, el alumno de
matemáticas William Karush en su tesis de magister en 1939
• El mérito de Kuhn y Tucker fue el ser capaces de crear una herramienta para poder
resolver problemas de optimización aplicados. Por eso, junto a George Dantzig, se los
puede considerar como los padres de las ciencias administrativas (Management Science)
Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
Nuestro problema en este capítulo será entonces:
I. Caso particular:
II. Caso general con “n variables” y “ m restricciones”
Algunas consideraciones del tipo de problema que estudiaremos
El problema a considerar siempre será del tipo:
 Si el problema es: ,
se TRANSFORMA en
 Si el problema es: ,
se TRANSFORMA en
Algunas consideraciones del tipo de problema que estudiaremos
 Si es solución del problema:
Entonces puede ser:
Definición
Se dice que una restricción en un punto está:
 ACTIVA (o saturada) en Si se cumple que
 INACTIVA (u holgada) en Si se cumple que
Algunas consideraciones del tipo de problema que estudiaremos
Sea es solución del problema:
• Si: es restricción activa entonces es solución de:
Es decir, se trata de optimización con restricción de igualdad usando Lagrange
• Si: es restricción inactiva entonces es solución de:
Es decir, es máximo local de “f”, o sea, en este caso,
Se trata de encontrar puntos críticos de “f”
Métodos de optimización en varias variables con restricciones de desigualdad 
En resumen, para lograr encontrar nos ponemos en dos escenarios:
1. En el caso con activa, donde usamos el método de Lagrange
2. En el caso con inactiva, donde buscamos puntos críticos de f.
Las condiciones necesarias que deben satisfacer los problemas de optimización
no lineal con restricciones de desigualdad, son conocidas como:
Condiciones de: (KKT)
Las cuales son consideradas como una generalización del método de Lagrange,
Para condiciones de desigualdad y que presentaremos en el siguiente Teorema
TEOREMA: Condiciones Necesarias de KKT (Caso particular n=2 ; m=1) 
Sean funciones , y sea .
Suponga que satisface las CCR (*) y es una solución del problema,
Con
Existen un número tal que: cumple con:
 (CPO tradicionales)
 (condición CS de Dantzig)
 (condición de factibilidad de restricción)
ENTONCES
EJEMPLO 1: Condiciones Necesarias de KKT 
Ejemplo: 
Notar que:

 Lo anterior nos muestra que el punto (0,0) viola la CCR, pero cumple con la
restricción.
 , como viola la CCR, es un candidato a solución que debe
ser considerado (aparte)
EJEMPLO 1: Condiciones Necesarias de KKT 
CPO de KKT
1)
•
•
EJEMPLO 1: Condiciones Necesarias de KKT 
Reemplazamos y en las condiciones 2) de KKT
De donde nacen tres nuevos puntos candidatos a solución, ellos son:
Los cuales también satisfacen la restricción 3)
3)
EJEMPLO 1: Condiciones Necesarias de KKT 
Podemos asegurar soluciones óptimas con las CSO (que veremos más adelante).
• Note que la función es continua.
• Además, la región factible definida por la restricción es un círculo de radio 1, el cual es
COMPACTO
Por lo cual, por Weierstrass,
Condición Tipo Restricción
0 -1 -1 Mínimo global 1 ACTIVA
0 0 Punto crítico de f INACTIVA
0 0 -1 Punto no cumple CCR 0
0 1 1 Máximo Global 1 ACTIVA
OBSERVACIONES PARA: Restricciones ACTIVAS e INACTIVAS 
1)
(Condición CS de Dantzig, llamada Holgura Complementaria (Complementary Slackness))
COMPARANDO la optimización con restricciones de igualdad, utilizadas en
LAGRANGE, con la optimización con restricciones de desigualdad utilizadas
ahora en KKT, se tiene observaciones tales como:
2) En Lagrange el signo del multiplicador no importaba; en KKT se adiciona
que los multiplicadores de Lagrange deben ser no negativos, esto es, .
3) En KKT: Para toda restricción INACTIVA, se cumple que:
Ya que, si por lo tanto en la holgura
complementaria, se debe cumplir que
OBSERVACIONES PARA: Restricciones ACTIVAS e INACTIVAS 
5) De acuerdo a la interpretación del multiplicador de Lagrange, se puede
afirmar: El multiplicador puede ser considerado como un “precio (sombra)”,
asociado a un cambio unitario de c, por lo cual, es posible comprender que:
Alternativamente, puede intuirse geométricamente lo que significa que
4) Si la restricción del recurso “no se satura”, es decir, la restricción está
inactiva en el óptimo, con lo que , entonces se debe cumplir que: 
.
Lo cual implica que el beneficio (precio) asociado a un “crecimiento unitario de c”
es
OBSERVACIONES PARA: Restricciones ACTIVAS e INACTIVAS 
 Recordemos que en el punto de tangencia de la función objetivo y la
restricción, geométricamente hablando, los gradientes son proporcionales,
esto es: (Restricción activa).
 El parámetro de Lagrange , corresponde a la constante de proporcionalidad, el cual
antes podía ser negativo o positivo.
 El nos da la dirección del crecimiento de “f”, y como en KKT, la
restricción siempre será considerada como , entonces g decrece,
luego, para cumplir con la restricción, se debe considerar
∗ ∗
∗ ∗
EJEMPLO 2: Condiciones Necesarias de KKT 
2.1: 
2.2.: Máx
Solución
TAREA
Optimizar una función de producción s.a. a una restricción de presupuesto
=
• Chequando CCR: derivar g e igualar a cero no tiene solución para 
no hay puntos críticos de g, y por tanto, no se viola la CCR
CPO
de 1) 
EJEMPLO 3: Condiciones Necesarias de KKT 
3) Condición CS:
Pero como 
Por lo tanto: es el único punto crítico
EJEMPLO 3: Condiciones Necesarias de KKT 
NOTA: En este caso el único punto crítico hace activa la restricción, es
decir: . Entonces este problema de KKT,
es equivalente a resolver el Lagrangeano con restricción de igualdad, de acuerdo
al capítulo 4. De hecho, así fue resuelto este problema en la clase 2 de dicho
capítulo.
Al observar la función objetivo , podemos afirmar, que NO
tiene sentido que un óptimo máximo, ocupe menos presupuesto que 1000, ya que,
si aumentamos un “dK o un dL” entonces .
TEOREMA GENERAL: Condiciones Necesarias de KKT 
Sean funciones , y sean .
Suponga que satisface las CCR (ver nota) y es una
solución del problema, :
Con función Lagrangiana:
Existen multiplicadores tales que: cumplen con:
2) …; ; ;…;
3)
ENTONCES
OBSERVACIONES PARA: Restricciones ACTIVAS e INACTIVAS 
Definición CCR en KKT con varias restricciones
Sean las “m” restricciones del teorema de las
condiciones necesarias en KKT
Sea un punto que verifica las restricciones y tal que solo k de las m
restricciones están activas( )
Diremos que satisface la CCR si al construir la matriz Jacobiana de las
restricciones activas, esta matriz tiene rango k.
NOTA: Sólo se analiza el rango de la matriz Jacobiana, con las restricciones activas,
además. Dada la complejidad operativa de este caso general, en este curso no
verificaremos las CCR para . (a menos que explícitamente se señale lo contrario)
EJEMPLO 4: Caso n=2; m=3 Condiciones Necesarias de KKT 
 En este ejemplo se considera las llamadas Condiciones de NO Negatividad
 Una forma de abordar la solución de este problema, es considerar estas
condiciones como dos restricciones cualesquiera más. Por lo tanto, tenemos
las siguientes m = 3 restricciones
Lo que nos conduce al Lagrangeano
EJEMPLO 4: Condiciones Necesarias de KKT 
2)
Podemos distinguir los siguientes 4 CASOS
 Caso 1: ; Restricciones 2) y 3) ACTIVAS
 Caso 2: Restricción 2 ACTIVA y 3) INACTIVA

 ; Restricciones 2) y 3) INACTIVAS
Caso 1:
Solución ELIMINADA ya que:
Caso 2: 

Solución FACTIBLE: 
 Caso 3:
Solución FACTIBLE: 
EJEMPLO 4: Condiciones Necesarias de KKT 
 Tenemos tres puntos críticos que cumplen con la condiciones de KKT.
 Como en este caso el conjunto de las soluciones factibles, definido por el
conjunto de las restricciones, es COMPACTO por WEIERSTRASS
podemos dirimir entre ellos, valorizando en la función objetivo

En consecuencia el MAXIMO es: 
EJEMPLO 4: Condiciones Necesarias de KKT 
Caso 4:
Solución FACTIBLE
 Minimizar
 Las restricciones: , son equivalentes a:
Por lo tanto el problema se convierte en:
EJEMPLO 5: Condiciones Necesarias de KKT 
En este ejemplo, utilizaremos las siguientes dos transformaciones:
1) Minimizar: , es equivalente a, Maximizar:
2) La restricción: es equivalente a,
1) + +
2) ;
3)
EJEMPLO 5: Condiciones Necesarias de KKT 
Podemos distinguir los siguientes 4 CASOS
 Caso 1: ; Restricciones 2) y 3) ACTIVAS
 Caso 2: Restricción 2 ACTIVA y la 3) INACTIVA

 ; Restricciones 2) y 3) INACTIVAS
Caso 1:
 + 2
 +
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −1 < 0
EJEMPLO 5: Condiciones Necesarias de KKT 
Caso 2: 0
 +
 + 4

Solución FACTIBLE
Caso 3: 0

0
Caso 3.1
 + -6
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −6 < 0
EJEMPLO 5: Condiciones Necesarias de KKT 
Caso 4: 0
 0 +
 +
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que: 
Caso 3.2 +
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −1 < 0
EJEMPLO 5: Condiciones Necesarias de KKT 
 es continua
 Espacio de soluciones Factibles COMPACTO
 Por WEIERSTRASS. El único punto crítico es un MÁXIMO.
En algunas aplicaciones se da la siguiente situación:
Se observan tanto restricciones de igualdad como desigualdad 
Los métodos de solución sugeridos por los profesores son los siguientes: 
1. Método de la reducción: Si es posible, despejar de la restricción de igualdad, alguna de las 
variables de decisión y reemplazarla tanto en la función objetivo como en el resto de las 
restricciones de desigualdad, eliminando esa igualdad y reduciendo una variable.
2. Reescribir 
3. Considerar en las condiciones del teorema de KKT las condiciones de CS sólo en las 
restricciones de desigualdad, y las restricciones de igualdad tratarlas como en el Lagrange 
tradicional.
PROBLEMAS MIXTOS (Restricciones de igualdad y desigualdad) 
Un analista financiero está evaluando la compra de acciones de firmas de cierto
sector industrial. Desea minimizar la variación de la cartera resultante compuesta
por acciones de dos firmas, pero también quiere tener una tasa de retorno de al
menos un 9%. Después de obtener datos históricos sobre la variación y
rendimientos de ambos instrumentos, desarrolla el siguiente modelo:
Donde x e y representan la proporción de dinero invertida en cada acción.
Resuelva este problema de optimización
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad) 
En este caso probaremos con el primer método: En primer lugar, debemos
expresar el problema en la forma estándar
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad) 
(note que la primera restricción es , con lo que siempre es no activa)
2)
3) 
Caso 1: Restricción no es activa – así, y . No es posible.
Caso 2: Restricción es activa, con lo que . 
Punto crítico: 
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad) 
1)
2)
3) 
Finalmente, como la función objetivo es continua y el espacio Factible dado por
el trazo: , es un
conjunto COMPACTO, podemos afirmar que la única solución es un
MAXIMO de: ,
por lo tanto, es un MINIMO de :
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
También se puede resolver con el tercer método (revisar para estudio personal)
En primer lugar, debemos expresar el problema en la forma estándar
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
2)
3) 
Caso 1: ELIMINADO ya que como la primera restricción está siempre 
ACTIVA, esto es: 
Caso 2: Como la primera restricción es siempre ACTIVA; ;
; (no
cumple restricción;
Como la primera restricción es siempre ACTIVA; ;
De
De
Por lo tanto, esta solución debe ser ELIMINADA ya que el multiplicador de Lagrange de la
restricción 4, no cumple la holgura complementaria
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
 (4)
 (5)
De la holgura complementaria: tenemos dos casos:
Caso 4.1) La restricción está INACTIVA, por lo cual:
Como la restricción 1 está siempre activa, se tiene que:
Reemplazando en (4) y (5) obtenemos:
Por lo tanto, esta solución debe ser ELIMINADA ya que no se cumple con las condiciones
de NO negatividad.
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
Caso 4.2) La Restricción está ACTIVA, por lo cual: 0,
Como la restricción 1 está siempre activa, se tiene que:
 Resolviendo este sistema, obtenemos ,
 Reemplazando en (4) y (5) obtenemos
 Resolviendo este sistema, obtenemos
En resumen, la única solución que cumple con todas las condiciones de KKT, es
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
Finalmente, como la función objetivo es continua y el espacio Factible dado por
el trazo: , es un
conjunto COMPACTO, podemos afirmar que la única solución es un
MAXIMO de: ,
por lo tanto, es un MINIMO de :
EJEMPLO 6: Condiciones Necesarias de KKT para
Problema MIXTO (Restricciones de igualdad y desigualdad 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Lo primero es plantear el problema de Maximización con las correspondientes
restricciones de desigualdad asociadas. Planteado el problema se siguen los
siguientes pasos:
Paso 1: Verificar puntos que violan la CCR. Sin embargo, para este curso vamos
suponer de antemano no hay óptimos que violan la CCR). Ignoraremos
este Paso 1, excepto que se pida explícitamente lo contrario.
Paso 2: Escribir la función Lagrangeana del problema.
Paso 3: Encontrar todos puntos que satisfacen las condiciones de KKT.
Paso 4: Evaluar la función en los puntos que satisfacen las condiciones de KKT.
Dejar como candidatos solamente los valores que llevan a un mayor de
la función.
KKT: RESUMEN OPERATORIA PASO a PASO 
 Después de seguir estos pasos, se puede garantizar que si un punto máximo 
existe, entonces corresponde a uno o algunos de los puntos que quedan 
después del paso 4
 Para garantizar que existe un punto máximo: Un primer camino es el ya 
utilizado en los ejemplos anteriores, esto es: Si la función objetivo es 
continua y el conjunto restricción es COMPACTO podemos usar el teorema 
de valores extremos de Weierstrass.
 Si no podemos usar Weierstrass,podemos intentar usar condiciones 
suficientes de segundo orden que estudiaremos a continuación. 
KKT: RESUMEN OPERATORIA PASO a PASO 
 Hasta el momento, para garantizar que existe un punto máximo con
restricciones de desigualdad, hemos podido utilizar el teorema de valores
extremos de Weierstrass. El argumento de Weierstrass es válido en la
medida que sus condiciones se cumplan.
 Sin embargo, si no se dan las condiciones de Weierstrass, intentaremos
usar las condiciones suficientes de segundo orden al igual que ya lo
hicimos en el capítulo 4 anterior de parámetros de Lagrange.
 Las CSO, serán condiciones suficientes (no necesarias) para resolver el
problema, para lo cual revisaremos la concavidad (o quasi-concavidad)
del “Lagrangeano Orlado”: Podremos comprobar también que este
método es general, pues incluye el caso utilizado por Weierstrass.
Condiciones de Segundo Orden (CSO): INTRODUCCIÓN 
TEOREMA: Condiciones de SUFICIENCIA GLOBAL (Caso General)
Sean funciones , y sean .
Suponga que es un candidato que satisface las condiciones
de KKT para solucionar el problema:
Considere el Lagrangeano, pero con cada fijo en (a éste se le llama
“Orlado”)
Si es CÓNCAVA, es SOLUCIÓN del problema 
ENTONCES
Una empresa dispone de L unidades de trabajo y produce tres bienes. La
producción de unidades de esos bienes requiere: unidades
de trabajo, respectivamente
Se pide: Resolver el problema de programación no lineal
Donde los coeficientes son todas constantes estrictamente
positivas
(Nota: Solamente para este ejemplo, suponga que no es necesario poner la
restricción de no negatividad de x,y,z explícitamente en el Lagrangeano, aunque
es necesario que las cantidades sean no negativas)
Ejemplo 7: CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=3 ; m=1) 

CPO-KKT
= 0 (CS)
4) Al despejar desde 1) tenemos que:
5) Al despejar desde 1) tenemos que:
6) Al despejar desde 1) tenemos que:
Ejemplo 7 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=3 ; m=1) 
 En este particular caso, se debe descartar que :
Note que NO puede ocurrir, ya que de serlo, al reemplazar este valor en 1),
implicaría que las constantes lo que es una contradicción con el
enunciado del problema, ya que se afirma que dichas constantes son
estrictamente positivas.
 Por lo tanto, en 2) para la CS sólo nos queda la opción y por tanto, la
restricción en este caso es siempre ACTIVA, esto es
Reemplazando 4), 5) y 6) en , tenemos que:
Ejemplo 7 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=3 ; m=1) 
De donde: , con
 La única solución encontrada, son las únicas soluciones positivas que
cumplen con las condiciones de KKT
 Además:
Entonces es CÓNCAVO, lo que implica
Es un máximo global.
Ejemplo 7 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=3 ; m=1) 
Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
Minimizar la función objetivo
s.a.
Utilizando CSO 
resolver el problema 
Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
• En este caso, uno podría darse cuenta que la función original a 
minimizar, , es convexa para valores no negativos 
( , por lo que alcanza un óptimo interior no restringido
- En casos como éste, puede ser una 
buena idea verificar si la solución sin 
restringir alcanza un óptimo factible 
(o feasible). 
- Aún en el caso que la solución no 
restringida no sea factible (feasible), 
dará luces sobre “qué restricciones 
efectivamente aprietan”.
- Vean el Ejemplo 12 para un caso 
similar
Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
Solución 1: Saquemos el máximo no restringido de .
•
• ,
• Como , y no negativos, entonces todas las restricciones se
cumplen.
• Luego, el óptimo no restringido es el máximo global, y por consiguiente es
el mismo que el óptimo restringido: .
Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
Solución 2:
CPO - KKT

Caso 1:
 + 6
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −6 < 0
Ejemplo CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
Caso 2: ya que restricción 3 es INACTIVA

 Caso 2.1
;
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −4 < 0
 Caso 2.2 -6
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −6 < 0
Caso 3: ya que restricción 2 es INACTIVA

Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
 Caso 3.1 -8
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −8 < 0
 Caso 3.2 -4
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −4 < 0
Caso 4: ambas restricciones están ACTIVAS

Caso 4.1:


 De donde:
Ejemplo 8 CSO para SUFICIENCIA GLOBAL (n=2 ; m=3) 
Caso 4.1:
Este caso no aporta con soluciones factibles, ya que, −2 < 0
Caso 4.2:
 
Único candidato FACTIBLE: 
En este punto, todas las restricciones están INACTIVAS
La función objetivo es cóncava, y las restricciones son todas lineales, por tanto.
El Lagrangeano es CONCAVO, así entonces por el Teorema, el punto crítico:
Es un MAXIMO GLOBAL de la función, objetivo: y
es MINIMO GLOBAL de la función, objetivo
Problema con n=3 variables y m=2 restricciones
Resolver el problema
(Tarea)
Ejemplo 9: Programación No Lineal, sin restricciones de no negatividad 
Teorema Condiciones de suficiencia global con quasi concavidad 
Sean funciones , y sean .
Suponga que es un candidato que satisface las condiciones
de KKT para solucionar el problema:
Entonces resuelve el problema SI
 NO es un punto crítico de “f”
 “f” es quasi cóncava y es quasi convexa
Teorema Condiciones de suficiencia global con quasi concavidad 
Ejemplo 10: Resolver el problema:

Teorema Condiciones de suficiencia global con quasi concavidad 
Caso 1: Ambas restricciones activas:
No existen candidatos en este caso
Caso 2: Solo primera restricción activa:
No existen candidatos en este caso
Caso 3: Solo segunda restricción activa:
Existe un candidato en este caso: 
Caso 4: Ambas restricciones inactivas:
Existe un candidato en este caso: 
Teorema Condiciones de suficiencia global con quasi concavidad 
El único punto critico de “f” es 
1) NO es un punto crítico
2)
es MAXIMO GLOBAL
Solución Gráfica
Teorema Condiciones de suficiencia LOCAL 
Sean funciones , y sean .
Suponga que es un candidato que satisface las condiciones
de KKT para solucionar el problema:
Supongamos que sólo las primeras k restricciones están activas, y sea la 
matriz ,…, ) evaluada en el candidato.
ENTONCES
Si los últimos menores principales dominantes de alternan signo y el
último tiene el signo de
es máximo local entre los puntos que cumplen las restricciones.
EJEMPLO 11: FUNCIONES LINEALES 
Una central frutícola debe determinar la cantidad de peras y de uvas a producir
con el objetivo de maximizar sus ingresos sujetos a las siguientes restricciones:
1-2. Las cantidades de peras y uvas no pueden ser negativas.
3. La disponibilidad máxima de uva es 50 toneladas [t] durante la temporada de
cosecha.
4. La capacidad máxima de la planta es 120 horas [h]. Cada tonelada de peras
requiere de 1 [h] de planta mientras que c/tonelada de uvas requiere de 2 [h].
5. Dada la demanda que se enfrenta, se puede vender un máximo de 60 [t] de
peras.
Las peras se venden a $20 mil pesos por tonelada [ ] y las uvas se venden a
30 [ ].
EJEMPLO 11: FUNCIONES LINEALES 
a) Plantee el problema de la frutícola. Defina cuidadosamente la función objetivo, y
las restricciones planteadas en el problema.
b) Reescriba el problema anterior como un problema de maximización s.a.
restricciones de desigualdad de . Escriba el Lagrangeano correspondiente.
c) Resuelva el problema y determine
cuáles restricciones son activas y cuáles son holgadas en el punto óptimo.
d)Calcule el valor para la frutícola de aumentar la capacidad máxima de la planta.
e) Calcule el valor para la frutícola de aumentar la demanda máxima por peras.
f) Calcule el valor para la frutícola de aumentar la disponibilidad máxima de uvas
Hint: Debido a que las decisiones son en dos dimensiones, el problema se puede
resolver gráficamente. Nótese que, con este método, no es necesario utilizar
derivadas e igualar a cero.
63
Problema Frutícola
• Maximizar:z[M$] = 20[M$/t] p[t] + 30[M$/t] u[t]
• Sujeto a:
p[t]  60[t] Demanda de peras ( )
1[h/t] p[t] + 2[h/t] u [t]  120 [h] Capacidad de planta ( )
u[t]  50[t] Disponibilidad de uvas ( )
0 [t]  p [t] No-negatividad peras ( )
0 [t]  u [t] No-negatividad uvas ( )
64
Problema Frutícola
• Maximizar: 
z = 20 p + 30 u
• Sujeto a:
p  60 Demanda de peras ( )
1 p + 2 u  120 Capacidad de planta ( )
u  50 Disponibilidad de uvas ( )
-p  0 No-negatividad peras ( )
-u  0 No-negatividad uvas ( )
65
Problema Frutícola
.
2) CS: ; 
p  60
p + 2 u  120
u  50
-p  0
-u  0
Problema Frutícola (solución KKT tradicional)
.
Caso 1: (por CS), pero así y que 
. No es solución.
Caso 2: (por CS), pero así . No es solución.
Caso 3: (por CS), pero así . No es solución.
Caso 4: pero , y viola la restricción. No es solución.
Caso 5: (por CS), pero así
. No es solución.
Caso 6: (por CS), y así y 
, con lo que (por CS), y por lo tanto u = 30. Es solución posible, con 
∗ ∗ ∗ .
Llegamos a un único punto crítico óptimo (por Weierstrass) 
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
67
Análisis de Restricciones: 
Expansión de la Planta
20 40 60 80 100
60
80
20
120 140
p
u
p  60
0  u
0  p
u  50
160
Nuevo óptimo (60;30,5)
Disponibilidad uvas
D
em
anda peras
Óptimo inicial:
p = 60, u = 30; z = 2.100
Nuevo óptimo:
p = 60, u = 30,5; z = 2.115
Pº sombra 
de capacidad 
= $15
Ejemplo 12: Problema Farmacéutico (Nº 6 guía) 
• Un farmacéutico puede comprar hasta h > 0 onzas de un producto químico, 
BFR, por 10 dólares cada onza. Se puede convertir una onza del producto 
químico BFR en una onza del producto 1 a un costo de 3 dólares la onza. 
Asimismo, una onza del químico BFR se puede convertir en una onza del 
producto 2 a un costo de 5 dólares la onza. Si se producen onzas del 
producto 1, el precio del producto corresponderá a dólares la onza, 
mientras que si se producen onzas del producto 2, el precio del producto 
corresponderá a dólares la onza. El comerciante desea maximizar sus 
utilidades. 
a) Plantee el problema del farmacéutico.
b) Encuentre la solución al problema del farmacéutico. Suponga que h = 100
69
Problema Farmacéutico
• a) Maximizar: 
z = 
• Sujeto a:
Límite de compra químico BFR ( )
No-negatividad cantidad prod. I ( )
No-negatividad cantidad prod. II ( )
No-negatividad precio prod. I ( )
No-negatividad precio prod. II ( )
70
Problema Farmacéutico
• a) Maximizar: 
CPO:
2) CS:
3) Restricciones
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b) A la hora de resolver con h = 100, fíjese que, si bien hay muchos casos a verificar, 
es conveniente revisar la función objetivo original. 
• Se puede ver que la función definida 
es cóncava, por lo que 
tiene un máximo interior no restringido. 
• En casos como éste, puede ser una buena idea verificar si la solución sin restringir alcanza un 
máximo factible (feasible). 
• Aún en el caso que la solución no restringida no sea factible (feasible), dará luces sobre “qué 
restricciones efectivamente aprietan”.
• CPO del problema sin restringir:
• Ese punto cumple con todas las restricciones con holgura, pues 
, , .