Apuntes 5

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Optimización en varias variables con
restricciones de igualdad
Aplicaciones Matemáticas para Economía y Negocios
Sección 3
Apuntes #5
Ultima actualización: 18 de mayo de 2020
1. Introducción
2
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Introducción
• Hasta ahora hemos trabajado con problemas sin restricciones
• Problema sin restricción ⇒ Maximizar una función en todo su dominio
• Todavía, muchos problemas involucran restricciones:
• Un consumidor maximiza su utilidad sujeto a su restricción
presupuestaria
• Una empresa puede minimizar costos sujeto a alcanzar un nivel de
producción
• Una administradora de fondos de pensiones puede maximizar retornos
sujeto a un nivel máximo de riesgo permitido por la regulación
• Un estudiante decide cuanto estudiar para cada curso sujeto a una
restricción de tiempo disponible
3
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Roadmap
• Por razones didácticas, en la primera parte de estos apuntes vamos nos
enfocar en problemas como:
máx
x ,y
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
(2 variables, 1 restricción)
donde g y f son funciones de dos variables, y c es un constante
• Estudiaremos también minimización. Tenga en cuenta que:
ḿın
x ,y
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
⇐⇒
máx
x ,y
− f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
• En la parte final vamos generalizar los resultados presentados para
problemas con n > 2 variables y/o m > 1 restricciones
4
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
2. Lagrange
5
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Introducción
• Ya sabemos como representar gráficamente la solución de muchos
problemas que pueden ser escritos como
máx
x ,y
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
(P1)
• De hecho, con el teorema de la función implícita y un poco de
intuición geométrica, muchas veces logramos obtener una solución
explicita para problemas como este
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo 1: Solución gráfica de (P1)
x
y
z
curvas de nivel
de f (x , y)f (x , y)
g(x , y) = c
f (x , y) para (x , y) en
conjunto restricción
x
y curvas de nivel
de f (x , y)
g(x , y) = c
óptimo
curvas de nivel
de f (x , y)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo 2: Minimización de costos
• Considere una empresa que quiera minimizar costos sujeto a alcanzar
determinado nivel de producción
• Como ye hemos visto, muchas veces podemos representar la solución
de la siguiente manera:
L
K
isocostos
isocuanta
L∗
K∗
óptimo
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo 3: Problema del consumidor
• Considere el problema de un consumidor que tiene que eligir entre dos
bienes sujeto a su restricción presupuestaria
• Sabemos que muchas veces la solución puede ser representada como:
x∗
y∗
óptimo
curvas de
indiferencia
restricción
presupuestaria
x
y
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Método de Lagrange
• Ahora vamos ver una manera más sistemática para resolver problemas
como (P1) (el método de Lagrange)
Observaciones preliminares:
• Siempre que utilizamos términos como “solución del problema,
máximo (mínimo), óptimo, etc” estamos hablando de máximos (o
mínimos) globales del problema que estamos analizando
• Cuando queremos referirnos a máximos/mínimos locales adicionamos
la palabra “local” explícitamente
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Método de Lagrange
Teorema (Teorema de Lagrange)
Sea f ,g : R2→ R dos funciones con derivadas continuas, y c ∈ R. Suponga que
x∗ = (x∗1 ,x∗2 ) es una solución del siguiente problema
máx
x1,x2
f (x1,x2)
s.a. g(x1,x2) = c,
y que x∗ no es un punto critico de g. Entonces, existe un numero real λ∗ tal que(
x∗1 ,x∗2 ,λ∗
)
es un punto critico de la función lagrangiana dada por
L(x1,x2,λ) = f (x1,x2)−λ [g(x1,x2)− c] ,
En otras palabras, en
(
x∗1 ,x∗2 ,λ∗
)
tenemos ∇L= 0, o sea
∂L
∂x1
= 0,
∂L
∂x2
= 0,
∂L
∂λ
= 0.
• El resultado también se aplica al problema de minimización de
f (x1,x2) sujeto a g(x1,x2) = c
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Algunas observaciones
• λ∗ es llamado de multiplicador de Lagrange
• ∇g(x∗) 6= 0 es llamada de calificación de restricción (en este problema
especifico)
• Las condición que ∇L= 0 es una condición necesaria para un óptimo
que satisface la calificación de restricción, mas no es una condición
suficiente
• El método de Lagrange nos entrega candidatos a solución
• Suponemos que el dominio de f y g es R2, pero el resultado también
vale si el dominio es un subconjunto abierto de R2 (o si la solución
está en el interior del dominio)
• El libro define la función lagrangiana como L(x1,x2) (sin incluir λ) y
presenta el resultado de manera un poco diferente (mas equivalente)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Paso a paso
Para maximizar f : R2→ R sujeto a g(x1,x2) = c seguimos los siguientes
pasos:
1 Verificar si la restricción g(x1,x2) tiene puntos críticos que satisfacen
g(x1,x2) = c. Si lo tiene, guardar estos puntos como candidatos a
máximo global.
2 Escribir la lagrangiana L(x1,x2,λ) = f (x1,x2)−λ [g(x1,x2)− c].
3 Encontrar todos puntos críticos de L(x1,x2,λ).
4 Evaluar f (x1,x2) en los puntos críticos de L (paso 3) y de g (paso 1)
encontrados. Dejar solamente el (los) punto(s) que llevan a un mayor
valor de f como candidatos.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Paso a paso (cont’d)
• Después de seguir estos pasos, garantizamos que si un punto de
máximo existe, entonces son los puntos que quedan después del paso 4
• Todavía, aun puede ser que un máximo no exista...
• Ahí podemos usar Weierstrass si el conjunto restricción
R = {(x1,x2) : g(x1,x2) = c} es cerrado y acotado
• Si R no es cerrado y acotado y no sabemos si un máximo existe
tenemos que ser creativos
• O podemos intentar usar condiciones suficientes que veremos más
adelante
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso Lagrange
• Antes de entender de donde viene el método del Lagrange vamos
hacer un ejemplo para garantizar que sabemos como utilizarlo
• Considere el problema
máx
x1,x2
x21 x2
s.a. 2x21 + x22 = 3
Paso 1:
• Lo único punto crítico de g(x1,x2) = 2x21 +x22 es (0,0), que no está en
conjunto restricción
• Luego, en este ejemplo no llevamos ningún punto del paso 1 como
candidato
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso Lagrange
Paso 2:
• La lagrangiana es
L(x1,x2,λ) = x21 x2−λ
[
2x21 + x22 −3
]
Paso 3:
• Las CPO de L son:
∂L
∂x1
= 2x1x2−4λx1 = 0,
∂L
∂x2
= x21 −2λx2 = 0,
∂L
∂λ
=−2x21 −x22 +3= 0
• Después de alguna álgebra, encontramos los siguientes puntos críticos
(x1,x2,λ) de L:(
0,
√
3,0
)
,
(
0,−
√
3,0
)
, (1,1,0,5) ,
(−1,−1,−0,5) , (1,−1,−0,5) , (−1,1,0,5)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso Lagrange
Paso 4:
• Reemplazando cada uno de los seis puntos del paso anterior en
f (x1,x2) = x21 x2 quedamos con dos candidatos a máximo:
(x1,x2) = (1,1) y (x1,x2) = (−1,1)
Existencia:
• ¿Son (1,1) y (−1,1) máximos globales?
• Perciba que R =
{
(x1,x2) ∈ R2 : 2x21 + x22 = 3
}
es una elipse (y
f (x1,x2) = x21 x2 es continua)
• Luego, R es cerrado y acotado ⇒ máximoexiste ⇒ (1,1) y (−1,1)
son máximos globales
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Método de Lagrange
Ejercicio
Encuentre candidatos a solución del siguiente problema:
máx
x1,x2
f (x1,x2) = x1x2
s.a. g(x1,x2) = x1 +4x2 = 16
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Método de Lagrange
Ejercicio
Encuentre candidatos a solución del siguiente problema:
ḿın
x1,x2
f (x1,x2) = 0,5x21 + x2
s.a. g(x1,x2) = (x1 + x2)2 = 0
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Bosquejo de la prueba
• Considere el problema de maximizar f (x1,x2) sujeto a g(x1,x2) = c
• Por simplicidad, suponga aquí que en el máximo x∗ = (x∗1 ,x∗2 ):
∂f
∂x1
(x∗), ∂f
∂x2
(x∗), ∂g
∂x1
(x∗), ∂g
∂x2
(x∗) 6= 0
• Por el teorema de la función implícita, la pendiente de las curvas de
nivel de f y g en x∗ son:
−
∂f
∂x1 (x
∗)
∂f
∂x2 (x
∗)
y −
∂g
∂x1 (x
∗)
∂g
∂x2 (x
∗)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Bosquejo de la prueba (cont’d)
• Usando que las curvas de nivel de f y g son tangentes en el optimo:
∂f
∂x1 (x
∗)
∂f
∂x2 (x
∗)
=
∂g
∂x1 (x
∗)
∂g
∂x2 (x
∗)
⇒
∂f
∂x1 (x
∗)
∂g
∂x1 (x
∗)
=
∂f
∂x2 (x
∗)
∂g
∂x2 (x
∗)
≡ λ∗
• Que implica:
∂f
∂x1
(x∗)−λ∗ ∂g
∂x1
(x∗)︸ ︷︷ ︸
= ∂L∂x1 (x
∗
1 ,x
∗
2 ,λ
∗)
= 0 y ∂f
∂x2
(x∗)−λ∗ ∂g
∂x2
(x∗)︸ ︷︷ ︸
= ∂L∂x2 (x
∗
1 ,x
∗
2 ,λ
∗)
= 0
• Para concluir: la condición ∂L∂λ = 0 es equivalente a g(x1,x2) = c
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Relación con el gradiente
• Recuérdense que el gradiente de una función f es ortogonal a la recta
tangente a la curva de nivel
x1
x2
x∗1
x∗2
recta tangente con
pendiente − f1(x
∗
1 ,x
∗
2 )
f2(x
∗
1
,x∗
2
)
∇f (x∗1 , x∗2 ) = (f1(x∗1 , x∗2 ), f2(x∗1 , x∗2 ))
(
1,−
f1(x
∗
1
,x∗
2
)
f2(x
∗
1
,x∗
2
)
)
∇f (x∗
1
, x∗
2
)
90◦
curva de nivel
de f (x1, x2)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Lagrange: Relación con el gradiente
(cont’d)
• Como las curvas de nivel de f y g son tangentes en el óptimo:
∇f (x∗) = Constante×∇g (x∗)
• Las condiciones de Lagrange requieren que ∇f (x∗) = λ∗∇g (x∗)
x1
x2
∇f (x∗1 , x∗2 )
curva de nivel
de f (x1, x2)
∇g(x∗1 , x∗2 )
g(x1, x2) = c
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
3. Suficiencia global
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia global de las condiciones de
Lagrange
• En lo anterior derivamos condiciones necesarias para una solución del
problema con restricción de igualdad
• Pero muchas veces nada garantizaba que el candidato a optimo era
efectivamente un óptimo
• Pregunta: ¿Cuando las condiciones de Lagrange son también
suficientes para el óptimo?
• Respuesta: Si la función lagrangiana es cóncava (para maximización) o
convexa (para minimización)
• Más detalles en el próximo teorema
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia global de Lagrange
Teorema (Suficiencia global de las condiciones de Lagrange)
Sea f ,g : R2→ R dos funciones con derivadas continuas y c ∈ R. Considere los
siguientes problemas:
ḿın
x1,x2
f (x1,x2)
s.a. g(x1,x2) = c
y
máx
x1,x2
f (x1,x2)
s.a. g(x1,x2) = c
Sea (x∗1 ,x∗2 ,λ∗) un punto critico de la función lagrangiana
L(x1,x2,λ) = f (x1,x2)−λ [g(x1,x2)− c] .
Defina L̃(x1,x2) = L(x1,x2,λ∗). Entonces:
• L̃(x1,x2) cóncava ⇒ (x∗1 ,x∗2 ) resuelve el problema de maximización.
• L̃(x1,x2) convexa ⇒ (x∗1 ,x∗2 ) resuelve el problema de minimización.
• El resultado también vale si el dominio de g y f es un subconjunto
abierto de R2 o si la solución está en el interior del dominio
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia global de Lagrange
Demostración (para maximización):
• Sea (x∗1 ,x∗2 ,λ∗) un punto critico de L(x1,x2,λ)
• Entonces (x∗1 ,x∗2 ) es un punto critico de L̃(x1,x2) = L(x1,x2,λ∗)
• Si L̃(x1,x2) es cóncava tenemos que (x∗1 ,x∗2 ) maximiza L̃(x1,x2) (ver
Apuntes #4, pg. 27)
• Luego, para cualquier (x1,x2):
L̃(x∗1 ,x∗2 ) = f (x∗1 ,x∗2 )−λ∗ [g(x∗1 ,x∗2 )− c]
≥ f (x1,x2)−λ∗ [g(x1,x2)− c] = L̃(x1,x2)
• Pero entonces, para cualquier (x1,x2) que satisface g(x1,x2) = c:
L̃(x∗1 ,x∗2 ) = f (x∗1 ,x∗2 )≥ f (x1,x2) = L̃(x1,x2)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia de Lagrange: Observaciones
• La suma de funciones cóncavas (convexas) es una función cóncava
(convexa)
• h(x1,x2) es cóncava ⇒ −h(x1,x2) es convexa (y viceversa)
• Funciones lineales son cóncavas y convexas
• Luego, por ejemplo:{
f (x1,x2) cóncava
g(x1,x2) lineal
=⇒
L̃(x1,x2) cóncava
para todo λ∗{
f (x1,x2) convexa
g(x1,x2) lineal
=⇒
L̃(x1,x2) convexa
para todo λ∗
f (x1,x2) convexa
g(x1,x2) cóncava
λ∗≥ 0
=⇒ L̃(x1,x2) convexa
• etc... *Para verificar concavidad/convexidad de una función, revisar Apuntes #4
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Suficiencia de Lagrange
Ejercicio
Considere el problema de una firma con función de producción F : R2+→ R
dada por F (K ,L) = AKαLβ , con A> 0, α+β ≤ 1. El salario es denotado por
w > 0 y el precio del capital es r > 0. La empresa quiere producir 2 unidades,
minimizando su costo, o sea, quiere resolver:
ḿın
K ,L≥0
wL + rK
s.a. AKαLβ = 2,
La función de producción es cóncava (no necesitas verificar, pero igual saben
como hacerlo usando los resultados en Apuntes #4).
1 Si el problema tiene solución, ¿la solución esta en el interior de R2+ (i.e.,
K > 0, L> 0 en el óptimo)? Explique.
2 ¿Las condiciones de Lagrange son suficientes para el óptimo? Explique.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Remuneración óptima
Ejercicio
La propietaria de una empresa quiere contratar una CEO. Las ganancias de esta
empresa son aleatorias, y dependen de varios factores. En particular, el flujo de caja π
de la empresa es:
π =
{
VH con probabilidad p
VL con probabilidad 1−p
donde VH > VL > 0 y p ∈ (0,1) son parámetros. π denota todo dinero que queda en la
empresa después de pagar sus proveedores y trabajadores (sin incluir la CEO). La
propietaria tiene que proponer un contrato para la CEO que especifica su remuneración
como una función de la ganancia realizada π. De otra manera, deben ponerse de
acuerdo en como dividir las ganancias para cada realización de π.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio (cont’d)
Denote por wH ≥ 0 la remuneración ofrecida para la CEO caso π = VH y wL ≥ 0 la
remuneración ofrecida caso π = VL. La utilidad de la CEO es una función de su renta:
si tienes w unidades de renta con certidumbre su función utilidad es u(w), donde u(w)
es cóncava y u′(w)> 0,∀w . Su utilidad esperada U(wH ,wL) para una dada política de
remuneración es definida como un promedio ponderado de su utilidad:
U(wH ,wL) = pu(wH) + (1−p)u(wL)
La utilidad de la propietaria es similar, pero dada por una función h(w), también
cóncava y con h′(w)> 0,∀w . Su utilidad esperada es:
H(wH ,wL) = ph(VH −wH) + (1−p)h(VL−wL)
La CEO tiene una otra oferta empleo que paga un sueldo que le da una utilidad
esperada de c ∈ R. El problema de la propietaria es ofrecer un contrato a la CEO de
manera a maximizar su propia utilidad esperada, pero sujeto a que este contrato
entregue utilidad esperada c a la CEO (no hay motivo para darle mas utilidad que el
necesario, pero tieneque garantizar la CEO va aceptar la oferta de empleo). Suponga
ademas que ĺımw→0 u(w) =−∞, y u(w) finito para w 6= 0.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio (cont’d)
1 Escriba formalmente el problema de la propietaria de la empresa.
2 ¿La solución es interior (i.e., wH ,wL > 0 en el óptimo)? Explique.
3 ¿La calificación de restricción es satisfecha?
4 Derive las condiciones de primer orden de la lagrangiana.
5 Muestre que las condiciones de Lagrange son suficientes para el optimo.
6 Suponga h(w) = w y u(w) es estrictamente cóncava. ¿Que podemos decir sobre la
remuneración optima? ¿Cual la intuición económica?
7 Suponga que u(w) = w y h(w) es estrictamente cóncava. ¿Que podemos decir
sobre la remuneración optima? ¿Cual la intuición económica?
32
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
4. Suficiencia local
33
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Condiciones suficientes para óptimo local
• Algunas veces las condiciones suficientes para un óptimo global fallan
• La lagrangiana no es cóncava/convexa
• Así, nos quedamos sin saber si, por ejemplo, si un candidato que es un
punto critico de la lagrangiana es un máximo/mínimo global
• Las condiciones que veremos adelante por lo menos van ayudarnos
algunas veces a clasificar estos puntos como máximos/mínimos locales
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Hessiana Orlada
• Sea considere el problema de maximizar/minimizar f (x ,y) sujeto a
g(x ,y) = c
• La hessiana orlada asociada a este problema es definida como:
H̃(x ,y ,λ) =
 0 gx (x ,y) gy (x ,y)gx (x ,y) fxx (x ,y)−λgxx (x ,y) fxy −λgxy (x ,y)
gy (x ,y) fyx (x ,y)−λgyx (x ,y) fyy (x ,y)−λgyy (x ,y)

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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Condiciones suficientes para óptimo local
Teorema (Condiciones suficientes para óptimo local)
Sea f ,g : R2→ R dos funciones con segunda derivadas continuas. Considere los
problemas de minimizar/maximizar f en el conjunto restricción
R = {(x ,y) : g(x ,y) = c}:
ḿın
x1,x2
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
y
máx
x1,x2
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
Sea (x∗,y∗,λ∗) un punto critico de la función lagrangiana, y denote por
D =
∣∣H̃(x∗,y∗,λ∗)∣∣ el determinante de la hessiana orlada asociada evaluada en
(x∗,y∗,λ∗). Entonces:
• D > 0 ⇒ (x∗,y∗) es un máximo local de f en R.
• D < 0 ⇒ (x∗,y∗) es un mínimo local de f en R.
• Si D = 0 puede ser silla, mínimo o máximo local
36
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Condiciones suficientes para óptimo local
• La idea por detrás del teorema anterior es similar a las condiciones
suficientes para problemas sin restricción
• Todavía, miramos ahora la hessiana de la lagrangiana con respecto a x
e y
• Ademas, no necesitamos que la forma cuadrática asociada sea
negativa/positiva definida en todos puntos, sino que solamente sea
positiva/negativa definida a lo largo de una aproximación lineal del
conjunto restricción
• Esto es el papel de la “orla”
• Por esto las condiciones no son exactamente las mismas que para los
problemas sin restricciones
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Computando determinantes
• Sea A la siguiente matriz
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

• Varias maneras de computar |A|, por ejemplo, con adjuntos:
|A|= a11
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣−a12
∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣+a13
∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣
38
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Condiciones suficientes
Ejercicio
Considere el problema de encontrar los valores extremos de
f (x1,x2) = x1x2 sujeto a x1 +4x2 = 16. Clasifique los puntos críticos de la
función lagrangiana como máximo local o mínimo local, cuando posible.
(Ya encontramos los puntos críticos de L en un ejercicio anterior).
39
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
5. Envolvente
40
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teoremas de Envolvente
Teoremas de envolvente buscan responder la siguiente pregunta:
• ¿Como cambia el valor máximo/mínimo de un problema de
optimización cuando cambiamos algún parámetro del problema?
Ejemplos:
• ¿Cuanto cambia la utilidad máxima del consumidor cuando cambiamos
su renta o el precio de un bien?
• ¿Cuanto cambian los costos de una empresa cuando cambiamos el
nivel producción deseado o el precio de un factor?
41
1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teoremas de Envolvente
• Para contestar estas preguntas, en muchos casos uno puede:
1 Resolver el problema de optimización para un dado parámetro
2 Evaluar la función objetivo en el óptimo y derivar la función que resulta
con respecto al parámetro deseado
• Todavía, el Teorema de Envolvente muchas veces nos entregara una
manera mas fácil de hacer esto
• Más importante: el Teorema de Envolvente nos dará una interpretación
económica del multiplicador de Lagrange en muchos problemas
• Hasta ahora hemos tratado el multiplicador como una variable con
poco significado económico, pero veremos que este no es el caso
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Función valor
• Representamos f (x ,y) para un dado parámetro α como f (x ,y ;α)
• Considere el problema
máx
x ,y
(ḿın) f (x ,y ;α)
s.a. h(x ,y ;α) = 0
(P1)
• Por ejemplo, si la restricción es g(x ,y) = α, h(x ,y ;α) = g(x ,y)−α
• Sea (x∗(α),y∗(α)) una solución de este problema
• Escribimos (x∗(α),y∗(α)) para enfatizar que pueden depender de α
• Definimos la función valor de (P1) como
f ∗(α) = f (x∗(α),y∗(α);α)
• Estamos interesados en computar df
∗
dα
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teorema de la Envolvente
Teorema (Teorema de la Envolvente, 2 variables, 1 restricción)
Considere el siguiente problema:
máx
x,y
(ḿın) f (x1,x2;α)
s.a. h(x1,x2;α) = 0
(P1)
Sea x∗(α) =
(
x∗1 (α),x∗2 (α)
)
una solución de este problema para un dado α y suponga
que los siguientes supuestos técnicos se cumplen:
• La calificación de restricción es satisfecha en x∗(α), i.e., ∇h
(
x∗1 (α),x∗2 (α)
)
6= 0.
• El multiplicador de Lagrange asociado a x∗(α), denotado por λ∗(α), tiene derivada
continua con respecto a α.
Entonces:
df ∗(α)
dα
=
d
dα
f (x∗1 (α),x∗2 (α)) =
∂
∂α
L(x∗1 (α),x∗2 (α),λ∗(α);α)
donde L(x1,x2,λ;α) es la lagrangiana para un dado α y f ∗(α) es la función valor.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teorema de la Envolvente: Observación
• Perciba que:
∂
∂α
L(x∗1 (α),x∗2 (α),λ∗(α);α) 6=
d
dαL(x
∗
1 (α),x∗2 (α),λ∗(α);α)
• Manera correcta de usar el Teorema de la Envolvente:
• Diferenciar L(x1,x2,λ;α) con respecto a α
• Evaluar dLdα en (x
∗
1 (α),x∗2 (α),λ∗(α);α)
• Manera incorrecta de usar el Teorema de la Envolvente:
• Computar s(α)≡ L(x∗1 (α),x∗2 (α),λ∗(α);α)
• Diferenciar s(α) usando la regla de la cadena
• Esta manera va llevar al resultado correcto, pero es mas trabajosa
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Envolvente: Bosquejo de la prueba
• Sea (x∗1 (α),x∗2 (α),λ∗(α)) un punto de óptimo de (P1) y un punto
critico de la lagrangiana
• Entonces, usando f ∗(α) = f (x∗1 (α),x∗2 (α);α), por la regla de la
Cadena (los argumentos están omitidos):
df ∗
dα =
∂f
∂x1
dx∗1
dα +
∂f
∂x2
dx∗2
dα +
∂f
∂α
• Pero por las CPO de L sabemos que en un puntocritico de L:
∂f
∂x1
= λ∗ ∂h
∂x1
y ∂f
∂x2
=λ∗ ∂h
∂x2
• Luego:
df ∗
dα = λ
∗
(
∂h
∂x1
dx∗1
dα +
∂h
∂x2
dx∗2
dα
)
+ ∂f
∂α
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Envolvente: Bosquejo de la prueba (cont’d)
• Diferenciando con respecto a α de los dos lados de
h (x∗1 (α),x∗2 (α);α) = 0:
∂h
∂x1
dx∗1
dα +
∂h
∂x2
dx∗2
dα +
∂h
∂α
= 0⇒ ∂h
∂α
=−
(
∂h
∂x1
dx∗1
dα +
∂h
∂x2
dx∗2
dα
)
• Luego:
df ∗
dα = λ
∗
(
∂h
∂x1
dx∗1
dα +
∂h
∂x2
dx∗2
dα
)
︸ ︷︷ ︸
=− ∂h∂α
+ ∂f
∂α
= ∂f
∂α
−λ∗ ∂h
∂α
= ∂L
∂α
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Envolvente y multiplicador de Lagrange
• Considere el problema
ḿın
x ,y
f (x ,y)
s.a. g(x ,y) = c
⇒ L(x ,y ,λ) = f (x ,y)−λ [g(x ,y)− c]
• Aplicando el Teorema de la Envolvente:
df ∗
dc = λ
∗
• El multiplicador de Lagrange captura como c afecta la función valor
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Aplicación del Teorema de la Envolvente:
Problema del consumidor
• Considere el problema usual de un consumidor: maximizar u(x ,y)
sujeto a la restricción presupuestaria pxx +pyy = I
• El multiplicador λ∗ captura como cambia la utilidad en el óptimo (u∗)
cuando cambia la renta:
du∗
dI = λ
∗
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Aplicación del Teorema de la Envolvente:
Minimización de costos
• Considere el problema usual de minimizar costos wL+ rK sujeto a
alcanzar un nivel de producción Y , i.e., F (K ,L) = Y
• El multiplicador λ∗ captura como suben los costos C∗ en el optimo
cuando sube el nivel de producción deseado:
dC∗
dY = λ
∗
• O sea, λ∗ representa el costo marginal (el costo de producir una
unidad más)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: El valor de la liquidez
Ejercicio
Una empresa tiene función de producción F (L) =
√
L, donde L≥ 0 son horas
trabajadas y el precio de su producto es igual a p = 2. Salarios son iguales a w = 2. La
empresa cuenta con 10 pesos disponibles en su caja. La empresa debe pagar sus
trabajadores antes de producir. Hay dos usos posibles para el dinero en caja: (i) usarlo
para pagar los trabajadores; (ii) usarlo para invertir en una cuenta de ahorro que paga
una tasa de interés neta de η = 50% después de terminado el proceso productivo.
Denota por Z ≥ 0 el monto invertido en la cuenta de ahorro.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio (cont’d)
1 Plantee el problema de optimización de esta empresa.
2 Encuentre la solución del problema de la firma usando el método de Lagrange y las
condiciones suficientes vistas.
3 Suponga ahora que una inversionista tiene dinero disponible y propone hacer un
préstamo de 1 peso a la empresa (antes de producir). Después de producir, la
empresa paga i a la inversionista (i denota la tasa de interés bruta). ¿Cual la tasa
de interés máxima que la inversionista puede cobrar de la firma? (Su respuesta
puede ser una aproximación y debes usar el Teorema de la Envolvente).
4 Suponga ahora que esta empresa tiene un monto � en caja, donde � es muy próximo
a cero. ¿Como crees que esto cambiaría su respuesta al ítem anterior? No necesitas
resolver formalmente (todavía sabes como hacerlo), intente ejercitar su intuición.
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
6. Generalización
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Generalización
• Ahora vamos generalizar algunos de los resultados presentados para
problemas con m > 1 restricciones y n > 2 variables
• El problema que vamos estudiar es:
máx
x1,...,xn
(min) f (x1,x2, ...,xn)
s.a. g1(x1,x2, ...,xn) = c1
g2(x1,x2, ...,xn) = c2
...
gm(x1,x2, ...,xn) = cm
(Pm,n)
• Donde f ,g1, ...,gm son funciones de m variables c1, ...,cm son
constantes
• Ojo en la notación: gi acá no representa la derivada parcial
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Jacobiana del conjunto restricción
• Considere el problema con n variables y m restricciones Pm,n
• Definimos la Jacobiana del conjunto restricción como la matriz
Jg (x) =

∂g1
∂x1 (x) · · ·
∂g1
∂xn (x)
∂g2
∂x1 (x) · · ·
∂g2
∂xn (x)
...
. . .
...
∂gm
∂x1 (x) · · ·
∂gm
∂xn (x)

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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Calificación de restricción: Generalización
• Decimos que la calificación de restricción del problema Pm,n es
satisfecha en un punto x = (x1, ...,xn) si el rango de Jg(x) es is igual
al m, o sea, si
rango de Jg(x) = # de restricciones
• Si m = 1 esta condición es equivalente a(
∂g1
∂x1
(x) , . . . , ∂g1
∂xn
(x)
)
6= (0, . . . ,0)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Repaso álgebra lineal
• El rango de una matriz A, denotado por rank(A) es el número máximo
de columnas linealmente independientes de A
• O de otra manera, es el número de filas linealmente independientes
• Recuérdense de sus clases de álgebra lineal que
dimensión espacio columna = dimensión espacio fila
• Un conjunto de vectores {u1,u2, ...,ur} son linealmente independientes
(LI) si el sistema
k1u1 +k2u2 + ....+krur = 0
tiene solamente k1 = k2 = . . .= kr = 0 como solución
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teorema de Lagrange: Generalización
Teorema (Teorema de Lagrange, generalización)
Sea f ,g1, ...,gm : Rn→ R funciones con derivadas continuas, y c1, ...,cm números
reales. Suponga que x∗ = (x∗1 , ...,x∗n ) es una solución del problema de maximizar o
minimizar f sujeto a gi (x1, ...,xn) = ci para todo i = 1, ...,m. Además, suponga que x∗
satisface la calificación de restricción. Entonces, existen números reales (λ∗1 , ...,λ∗m)
tales que
(
x∗1 , ...,x∗n ,λ∗1 , ...,λ∗m
)
es un punto critico de la función lagrangiana dada por
L(x1, ...,xn,λ1, ...,λm) = f (x1, ...,xn)−
m∑
j=1
λj [gi (x1, ...,xn)− ci ]
En otras palabras, en
(
x∗1 , ...,x∗n ,λ∗1 , ...,λ∗m
)
tenemos ∇L= 0.
• Como antes, el resultado también se cumple si el dominio de f y
g1, ...,gm es abierto, o si sabemos que el óptimo es interior
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia global de Lagrange:
Generalización
Teorema (Suficiencia globa de Lagrange, generalización)
Sea f ,g1, ...,gm : Rn→ R funciones con derivadas continuas, y c1, ...,cm números reales.
Considere los problemas de maximizar y minimizar f sujeto a gi (x1, ...,xn) = ci para
todo i = 1, ...,m. Sea (x∗1 , ...,x∗n ,λ∗1 , ...,λ∗m) un punto critico de la función lagrangiana
L(x1, ...,xn,λ1, ...,λm) = f (x1, ...,xn)−
m∑
j=1
λj [gi (x1, ...,xn)− ci ]
Defina L̃(x1, ...,xn) = L(x1, ...,xn,λ∗1 , ...,λ∗m). Entonces:
• L̃(x1, ...,xn) cóncava ⇒ (x∗1 , ...,x∗n ) resuelve el problema de maximización.
• L̃(x1, ...,xn) convexa ⇒ (x∗1 , ...,x∗n ) resuelve el problema de minimización.
• El resultado también vale si el dominio de f y g1, ...,gm es abierto o si
la solución está en el interior del dominio
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Teorema de la Envolvente: Generalización
Teorema (Teorema de la Envolvente, generalización)
Considere los problemas de maximizar o minimizar f sujeto a gi (x1, ...,xn) = ci para
todo i = 1, ...,m. Sea x∗(α) =
(
x∗1 (α), ...,x∗n (α)
)
una solución de este problema para
un dado α y suponga que los siguientes supuestos técnicos se cumplen:
• La calificación de restricción es satisfecha en x∗(α);
• Los multiplicadores asociadosa x∗(α), denotados por λ∗1 (α), ...,λ∗m(α), tienen
derivada continua con respecto a α.
Entonces:
df ∗(α)
dα
=
d
dα
f (x∗1 (α), ...,x∗n (α)) =
∂
∂α
L(x∗1 (α), ...,x∗n (α),λ∗1 (α), ...,λ∗m(α);α)
donde L(·;α) es la lagrangiana para un dado α y f ∗(α) = f
(
x∗1 (α), ...,x∗n (α)
)
es la
función valor.
• Naturalmente, la interpretación de los multiplicadores se generaliza:
df ∗
dci
= λ∗i para i = 1,2, ...,m
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Suficiencia local: Generalización
• Los resultados de suficiencia local también se generalizan
• Todavía, no vamos presentarlos por razones de tiempo
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso, n = 3, m = 2
• Considere el siguiente problema:
máx
x1,x2,x3
f (x1,x2,x3) = x1x2x3
s.a. g1(x1,x2,x3) = x21 + x22 = 1
g2(x1,x2,x3) = x1 + x3 = 1
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso, n = 3, m = 2
Paso 1:
• La Jacobiana del conjunto restricción es
Jg (x) =
(
2x1 2x2 0
1 0 1
)
• Para verificar número de filas LI considere el sistema: 2x1 12x2 0
0 1
( k1k2
)
= 0 ⇒

2x1k1 +k2 = 0
2x2k1 = 0
k2 = 0
⇒
{
2x1k1 = 0
2x2k1 = 0
• (x1,x2) 6= (0,0) ⇒ (k1,k2) = (0,0) es la única solución del sistema
Calificación de restricción es satisfecha para todo (x1,x2) 6= (0,0)
• Si (x1,x2) = (0,0), la restricción no es satisfecha (g1(0,0,x3) = 0< 1)
• Luego, la calificación de restricción es satisfecha en todo el conjunto
restricción
• No llevamos ningún candidato del paso 1
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejemplo: Paso a paso, n = 3, m = 2
Paso 2:
• La función lagrangiana es
L(x1,x2,x3,λ1,λ2) = x1x2x3−λ1
[
x21 + x22 −1
]
−λ2 [x1 + x3−1]
Paso 3:
• Las condiciones de primer orden de L son:
x2x3−2λ1x1−λ2 = 0, x1x3−2λ1x2 = 0, x1x2−λ2 = 0
−
(
x21 + x22 −1
)
= 0, −(x1 + x3−1) = 0
• Después de mucha álgebra, llegamos en 4 soluciones (x1,x2,x3,λ1,λ2)
a este sistema
Paso 4:
• Reemplazando cada una de las soluciones de paso 3 en f (x1,x2,x3)
nos queda solamente un candidato (x1,x2,x3)≈ (−0,76,−0,64,1,76)
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio: Capacidad limitada
Ejercicio
Una empresa produce tres bienes, 1, 2 y 3 (pi y qi denotan el precio y cantidad
producida de cada bien). Los precios de cada bien son dados por p1 = 10, p2 = 8,
p3 = 2. La empresa utiliza dos insumos, A e B, que tiene en stock para producir estos
bienes. La cantidad disponible de cada insumo esta fija: hay 2 unidades del insumo A y
1 unidad del insumo B (perfectamente divisibles). Los costos de comprar los insumos A
y B son un costo hundido. La tecnología de la empresa es dada por:
• Para cada unidad producida del bien 1, la empresa necesita 1 unidad del insumo A
y 1 unidad del insumo B;
• Para cada unidad producida del bien 2, la empresa necesita 2 unidades del insumo
A (el insumo B no es utilizado);
• Para cada unidad producida del bien 3, la empresa necesita 1 unidad del insumo B
(el insumo A no es utilizado);
• Además, para producir el bien 1 la empresa también necesita electricidad, por lo
que incurre un costo adicional que depende de la cantidad producida del bien 1,
dado por C(q1) = 3q21 .
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
Ejercicio (cont’d)
1 Escriba el problema de optimización de la firma.
2 Escriba la función lagrangiana. ¿Las condiciones de Lagrange son suficientes para
un óptimo?
3 Resuelva el problema de la firma.
4 ¿Aproximadamente, cual el valor máximo que esta empresa pagaría por 1 unidad
más de cada insumo?
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1. Introducción 2. Lagrange 3. Suficiencia global 4. Suficiencia local 5. Envolvente 6. Generalización
¿La función L̃(x , y) es
cóncava para cualquier λ?
Si
No¿La función L(x , y ,λ)
tiene puntos cŕıticos?
Los puntos criticos de
L(x , y ,λ) son puntos
de máximo global.
¿El conjunto restricción
es cerrado e acotado y to-
dos puntos en el conjunto
restricción estan en el in-
terior del dominio?
Si No
Por Weierstrass un máximo
global existe. Pasos 1 a 4 en
Apuntes #5 van detectar to-
dos máximos globales.
Aplique pasos 1 a 4 en
Apuntes #5. ¿Hay can-
didatos?
¿Para algun punto cŕıtico,
la función L̃(x , y) es
cóncava (dado el λ asoci-
ado a este punto cŕıtico)?
Este punto cŕıtico es
un máximo global.
Evalue el determinante D
de la matriz hessiana orlada
evaluada en cada punto.
Para cada punto: Si D > 0
tienes un máximo local; Si
D < 0 tienes un ḿınimo lo-
cal; Si D = 0 no puedes
decir nada. De cualquier
manera, no puedes garanti-
zar que es global.
Hay dos posibilidades: o un
máximo no existe, o está en
la frontera del doḿınio. In-
tentar K-T es una opción.
No
Si No
Si
Si
max
(x ,y)
f (x , y)
s.a. g(x , y) = c
L(x , y ,λ) = L̃(x , y) = f (x , y)− λ [g(x , y)− c]
Problema:
Notación:
¿Hay candidatos que sean pun-
tos cŕıticos de L(x , y ,λ)?
Si No
Tu candidato(s) es (son) puntos que
violan la calificación de restricción si
llegaste aqui. Pero no tienes una man-
era óbvia de saber si efectivamente es
máximo, ni si es global/local.
¿Como verifico si una función es
cóncava? Verifica si la hessiana es
negativa semi-definida en todo el do-
minio. Para convexidad, verificar si es
positiva semi-definida.
f y g tienen derivadas cont́ınuas
Obs: para minimización reemplazar cóncava por
convexa.
No
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