Guía 4 2 Pauta

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𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐𝒔 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒆𝒍𝒕𝒐𝒔 𝑪𝒂𝒑 𝟒 
Problema 
 
Dos hermanos viven juntos. El hermano mayor cuida de su hermano menor que es 
discapacitado, y administra el presupuesto común. El hermano menor solamente gusta de 
consumir un tipo de bien, z. El hermano mayor gusta de consumir dos tipos de bienes, x e y, 
que le generan una utilidad 𝑈(𝑥, 𝑦) = ln 𝑥 + ln 𝑦. El hermano mayor desea que ambos 
hermanos consuman el mismo volumen, por lo que se obliga a que 𝑥 + 𝑦 = 𝑧. Los precios 
de los bienes (𝑥, 𝑦, 𝑧) vienen dados por (𝑝, 𝑟, 1), respectivamente, y el hermano percibe un 
salario de $w al mes para gastar en la casa. 
 
a. Plantee el problema de maximización de utilidad que el hermano mayor enfrenta 
cada mes. 
b. Obtenga un punto crítico del problema, y determine si es un máximo. 
c. El hermano mayor ha recibido un anuncio de que su salario va a aumentar un 
poquito. Calcule el valor de un aumento del salario en el bienestar del hermano 
mayor. Asimismo, calcule el valor del mismo aumento del salario en el consumo del 
hermano menor. 
d. Argumente si el hermano menor se beneficia o no de la mejora salarial de su 
hermano. ¿Cómo es posible que mejore si su hermano mayor no valora directamente 
el consumo de z? 
 
Solución Problema 1: 
a. El problema del hermano mayor es 
max
, , 
𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln 𝑥 + ln 𝑦 
 
𝑠. 𝑡. 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑝𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑧 = 𝑤
 
 
b. Primero, reescribiremos (si no lo hicimos en la parte a.) el problema como una 
maximización de una función Lagrangeana: 
max
, , , ,
ℒ = ln 𝑥 + ln 𝑦 + 𝜆(𝑤 − 𝑝𝑥 − 𝑟𝑦 − 𝑧) + 𝜇(𝑧 − 𝑥 − 𝑦) 
 Por condiciones de primer orden: 
𝜕ℒ
𝜕𝑥
=
1
𝑥
− 𝜆𝑝 − 𝜇 = 0 
𝜕ℒ
𝜕𝑦
=
1
𝑦
− 𝜆𝑟 − 𝜇 = 0 
𝜕ℒ
𝜕𝑧
= −𝜆 + 𝜇 = 0 
𝜕ℒ
𝜕𝜆
= 𝑤 − 𝑝𝑥 − 𝑟𝑦 − 𝑧 = 0 
𝜕ℒ
𝜕𝜇
= 𝑧 − 𝑥 − 𝑦 = 0 
 
Resolviendo el sistema: 𝜆∗ = 𝜇∗. Luego, = 𝜇(𝑝 + 1), = 𝜇(𝑟 + 1), con lo que 𝑥∗(𝑝 + 1) =
𝑦∗(𝑟 + 1). Las dos restricciones combinadas implican que 𝑤 = 𝑥(𝑝 + 1) + 𝑦(𝑟 + 1), con lo 
que 𝑥∗(𝑝 + 1) = 𝑦∗(𝑟 + 1) = 0.5 𝑤, con lo que el punto crítico es: 
𝑥∗ =
𝑤
2(𝑝 + 1)
, 𝑦∗ =
𝑤
2(𝑟 + 1)
, 𝑧∗ =
𝑤
2
∙
1
𝑝 + 1
+
1
𝑟 + 1
, 
𝜆∗ = 𝜇∗ =
2
𝑤
 
 
Para verificar que sea un máximo, en este caso es posible verificar (tarea), por ejemplo, que 
la función objetivo es quasi-cóncava y que las dos restricciones son lineales. 
 
c. Puede verse este resultado por dos vías. Una es mediante la función valor, 𝜐(𝑤) =
𝑈 𝑥∗(𝑤), 𝑦∗(𝑤) = ln
( )
+ ln
( )
, que si derivamos respecto a w arroja que: 
𝜐 (𝑤) =
2(𝑝 + 1)
𝑤
∙
1
2(𝑝 + 1)
+
2(𝑟 + 1)
𝑤
∙
1
2(𝑟 + 1)
=
2
𝑤
 
 
Obviamente, la otra vía, mucho más directa, es usar de plano el teorema de la 
envolvente, pues: 𝜐 (𝑤) = 𝜆∗, y por ende, como 𝜆∗ = 2/𝑤, el resultado es inmediato 
a partir del punto crítico. 
 
d. El hermano menor se beneficia, porque 𝑧∗ = ∙ + , 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒
∗( )
> 0. 
Es razonable porque, si bien el hermano mayor no se beneficia directamente del 
consumo del hermano que tiene a su cuidado, sí se obliga a sí mismo a que el 
volumen del consumo de un hermano dependa del consumo del otro mediante la 
restricción 𝑧 = 𝑥 + 𝑦, y por lo tanto, si el hermano mayor consume más por su 
mejora salarial, mediante la restricción también lo hará el hermano a su cuidado. 
 
Problema 
Resolver: 
𝑀á𝑥
𝑥, 𝑦
𝑥 𝑦 𝑠. 𝑎. 2𝑥 + 𝑦 = 3 
 La función objetivo es: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 
 La función restricción es: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 
 La constante de la restricción es: 𝑐 = 3 
PASO 1 
 𝑪𝑪𝑹 = 𝑪𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑪𝑎𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑹𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
Consiste en verificar si la función restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) tiene puntos críticos que satisfacen: 
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑐 
Esto es: ∇𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔 , 𝑔 = (4𝑥, 2𝑦) = (0,0) → (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,0) → 2 ∗ 0 + 0 =
0 ≠ 3 
Por lo tanto, en este caso, la función restricción, no posee puntos críticos que satisfacen 
la restricción 
(En caso que 2𝑥∗ + 𝑦∗ = 3, este punto debería ser considerado como una posible 
solución del problema) 
 
PASO 2 
 ℒ(𝑥, 𝑦, 𝜆) = ℒ = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜆(𝑔(𝑥, 𝑦) − 𝑐) = 𝑥 𝑦 − 𝜆(2𝑥 + 𝑦 − 3) 
PASO 3 
CPO 
1. ℒ = 2𝑥𝑦 − 4𝜆𝑥 = 0 
2. ℒ = 𝑥 − 2𝜆𝑦 = 0 
3. ℒ = 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 
 
 De 1. 2𝑥𝑦 − 4𝜆𝑥 = 0 → 2𝑥(𝑦 − 2𝜆) = 0 →
𝑥 = 0 (𝑃𝑅𝐼𝑀𝐸𝑅 𝐶𝐴𝑆𝑂)
𝑦 = 2𝜆 (𝑆𝐸𝐺𝑈𝑁𝐷𝑂 𝐶𝐴𝑆𝑂
 
PRIMER CASO 
 Reemplazando 𝑥 = 0 𝑒𝑛 3. → 3 − 𝑦 = 0 → 𝑦 = ±√3 
 Reemplazando 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = ±√3 𝑒𝑛 2. 𝜆 = 0 
 Por lo tanto, de este primer caso tenemos los siguientes puntos críticos del 
Lagrangeano: 
𝟎, √𝟑, 𝟎 ; 𝟎, −√𝟑, 𝟎 
SEGUNDO CASO 
 Reemplazando 𝑦 = 2𝜆 𝑒𝑛 2. → 𝑥 − 2𝜆 ∗ 2𝜆 = 0 → 𝑥 = 4𝜆 → 𝑥 = ±2𝜆 
 Reemplazando 𝑦 = 2𝜆 𝑦 𝑥 = ±2𝜆 𝑒𝑛 3. → 𝜆 = ±0,5 
 Por lo tanto, de este segundo caso tenemos los siguientes puntos críticos del 
Lagrangeano 
(𝟏, 𝟏, 𝟎, 𝟓); (−𝟏, −𝟏, −𝟎, 𝟓); (𝟏, −𝟏, −𝟎, 𝟓); (−𝟏, 𝟏, 𝟎, 𝟓) 
 
PASO 4 
 Evaluar 𝑓(𝑥, 𝑦) en los puntos críticos encontrados en los PASOS 1 y 3. Dejar solamente 
el o los puntos que llevan a un mayor valor de f como candidatos. 
 
x y 𝒇(𝒙, 𝒚) 
0 √𝟑 0 
0 −√𝟑 0 
1 1 1 Mayor 
-1 -1 -1 Menor 
1 -1 -1 Menor 
-1 1 1 Mayor 
 
 Como la función objetivo es continua y el conjunto restricción corresponde a una 
ELIPSE, la cual es COMPACTA, entonces por WEIERSTRASS, los puntos 
 (1,1) y (-1,1); son MAXIMOS GLOBALES. 
 (-1,-1) y (1,-1); son MINIMOS GLOBALES. 
SOLUCION ALTERNATIVA 
 
Una solución alternativa, que solo utilizaremos para comprobar el método de Lagrange, es 
que, en algunos casos, es posible despejar una de las variables desde la restricción para 
luego reemplazarla en la función objetivo, logrando así reducir el problema de optimización 
en dos variables, a uno de una sola variable. 
 
En este caso, tenemos: 
 
 De la función restricción: 𝑔(𝑥, 𝑦): 2𝑥 + 𝑦 = 3 → 𝑥 = − (∗) 
 Reemplazando en la función objetivo: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 = − 𝑦 = − =
ℎ(𝑦) 
 De (∗) vemos que: 𝑥 = − ≥ 0 → 𝑦 ≤ 3 → −√3 ≤ 𝑦 ≤ +√3 
 Entonces el problema se reduce a optimizar en una sola variable, esto es: 
 
3𝑦
2
−
𝑦
2
= ℎ(𝑦); −√3 ≤ 𝑦 ≤ +√3 
 CPO: ℎ (𝑦) = − = 0 → 𝑦 = 1 → 𝑦 = ±1 → 𝑥 = ±1 
 Por lo tanto, se obtienen cuatro puntos críticos: (1,1); (1, −1); (−1,1); (−1, −1) 
 CSO: ℎ (𝑦) = −3𝑦; Por lo tanto cuando 
 𝑦 = −1 → ℎ (𝑦) = −3𝑦 > 0 → (+1, −1) 𝑦 (−1, −1) MINIMOS GLOBALES 
 𝑦 = +1 → ℎ (𝑦) = −3𝑦 < 0 → (+1, +1) 𝑦 (−1, +1) MAXIMOS GLOBALES 
 
Un par de notas aclaratorias, que podemos sustentar en el gráfico más abajo 
 
1. Los óptimos recién obtenidos considerados son GLOBALES, dados los valores donde 
está definido “y”, esto es: −√3 ≤ 𝑦 ≤ +√3, 
2. En los extremos del intervalo, se tiene puntos óptimos pero LOCALES. 
 En el límite inferior: 𝑦 = −√3 se tiene un MAXIMO LOCAL 
 En el límite superior: 𝑦 = +√3 se tiene un MINIMO LOCAL 
 
 
 
 
Problema 
 
Sean f, g funciones de dos variables definidas por: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 3𝑥 ; 𝑔(𝑥, 𝑦) =
(3 − 𝑥) − 𝑦 
Considere el siguiente problema de optimización: 𝑀á𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑠. 𝑎. 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 
Asuma que el problema tiene un máximo global (de hecho, tiene solución global, pero 
usted no necesita 
probar que así es). 
 
1. Determine el conjunto de puntos factibles (i.e., puntos que satisfacen la restricción) que 
violan la CCR. 
 Ayuda: recuerde que un punto viola la CCR si: 
( , )
= 0 𝑦 
( , )
= 0 en ese punto, y 
este punto 
 satisface la restricción (es factible). 
2. Determine los puntos críticos del Lagrangeano. 
3. Encuentre el óptimo global de este problema. 
 
1. Para determinar el conjunto de puntos factibles que violan la CCR, debemos buscar si, 
𝑔(𝑥, 𝑦) posee puntos críticos que satisfacen la restricción 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 
 𝑔(𝑥, 𝑦) = (3 − 𝑥) − 𝑦 
 
-1,5000
-1,0000
-0,5000
0,0000
0,5000
1,0000
1,5000
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,00,5 1,0 1,5 2,0
h(y)
CPO 
a) 𝑔 = 3(3 − 𝑥) = 0 → 𝑥 = 3 
b) 𝑔 = −2𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 
 
 Obtenemos que un punto crítico de la restricción es (𝑥, 𝑦) = (3,0) 
 
 Además, dicho punto crítico satisface la restricción, ya que: 𝑔(3,0) = (3 − 3) − 0 =
0 
 
 Por lo tanto: El conjunto de puntos factibles que violan la calificación de restricción es: 
{(𝒙, 𝒚)| (𝒙, 𝒚) = (𝟑, 𝟎)} 
 
2. Ahora buscamos los puntos críticos del Lagrangeano 
 
 ℒ = 2𝑥 − 3𝑥 + 𝜆(−(3 − 𝑥) + 𝑦 ) 
 
CPO 
a) ℒ = 6𝑥 − 6𝑥 − 3𝜆(3 − 𝑥) = 0 
b) ℒ = 2𝜆𝑦 = 0 
c) ℒ = −(3 − 𝑥) + 𝑦 = 0 
 
De la ecuación b) se tiene dos casos: Caso 1: 𝝀 = 𝟎 𝒐 𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐: 𝒚 = 𝟎 
 
Caso 1: 𝜆 = 0 Entonces de a) tenemos: 
 
 6𝑥 − 6𝑥 = 0 →
𝑥 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 3. → 𝑦 = ±3√3
𝑥 = 1 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 3. → 𝑦 = ±2√2
 
 
Por lo tanto, los puntos críticos obtenidos son: 𝟎, 𝟑√𝟑 ; 𝟎, −𝟑√𝟑 ; 𝟏, 𝟐√𝟐 ; 𝟏, −𝟐√𝟐 
 
Caso 2: 𝒚 = 𝟎 Entonces de c) tenemos que: 𝒙 = 𝟑 
Por lo cual se obtiene el punto (3,0) que es el punto que viola la CCR (obtenido en 1.) 
 
3. Busquemos la función valor en los distintos puntos críticos 
 
 𝑓∗ 0,3√3 = 𝑓∗ 0, −3√3 = 2 ∗ 0 − 3 ∗ 0 = 0 
 𝑓∗ 1,2√2 = 𝑓∗ 2, −2√2 = 2 ∗ 1 − 3 ∗ 1 = −1 
 𝑓∗(3,0) = 2 ∗ 3 − 3 ∗ 3 = 54 − 27 = 27 
 
Asumiendo que el problema tiene un máximo global, entonces el máximo global es 
(𝟑, 𝟎) 
 
 
 
Problema 
 
𝑀á𝑥
𝑥, 𝑦
(𝑥 + 𝑦) 𝑠. 𝑎. 𝑦 = 0 
Primera Solución 
 
 Utilizando el método de la reducción de dos variables a una variable, reemplazamos la 
restricción en la función objetivo. Así el problema se reduce en: 𝑀á𝑥
𝑥
𝑥 
 
Ya sabemos que esta función cúbica solo tiene un punto de inflexión en x = 0, sin 
embargo, NO tiene MAXIMO (tampoco mínimo) 
 
Por lo tanto: NO HAY MAXIMO EN ESTE CASO 
 
Segunda Solución 
 
Veamos cómo funciona el Teorema de suficiencia global con cuasi concavidad 
 
 𝓛 = (𝒙 + 𝒚)𝟑 − 𝝀𝒚 
 𝓛𝒙 = 𝟑(𝒙 + 𝒚)𝟐 = 𝟎 
 𝓛𝒙 = 𝟑(𝒙 + 𝒚)𝟐 − 𝝀 = 𝟎 
 𝓛𝝀 = 𝒚 = 𝟎 
 
Luego hay un solo candidato para resolver el problema (𝑥∗, 𝑦∗, 𝜆∗) = (0,0,0) 
 
Pero el teorema NO permite concluir que este punto sea solución, ya que: 
 
 (𝑥∗, 𝑦∗) = (0,0) es un PUNTO CRITICO de 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) , ya que cumple con las CPO 
siguientes: 
 
1) 𝑓 = 3(𝑥 + 𝑦) = 0 
2) 𝑓 = 3(𝑥 + 𝑦) = 0 
 
Y como de acuerdo al teorema: Para que (𝑥∗, 𝑦∗) resuelva el problema, (𝑥∗, 𝑦∗) NO debe 
ser un punto crítico de “f”, entonces “falla” la primera condición de suficiencia del 
teorema. 
 
Por lo tanto: NO HAY MAXIMO EN ESTE CASO 
 
 
Problema 
𝑀á𝑥
𝑥 𝑥 𝑠. 𝑎.
(𝑥 − 1) = 1 
 
ALTERNATIVA 1 --- SOLUCION GRAFICA 
 
 
x
-3,0 -27,0 16,0
-2,5 -15,6 12,3
-2,0 -8,0 9,0
-1,5 -3,4 6,3
-1,0 -1,0 4,0
-0,5 -0,1 2,3
0,0 0,0 1,0
0,5 0,1 0,3
1,0 1,0 0,0
1,5 3,4 0,3
2,0 8,0 1,0
2,5 15,6 2,3
3,0 27,0 4,0
y = x2 - 2x + 1 y = x3
-8,0
-4,0
0,0
4,0
8,0
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
𝑥 (𝑥 − 1)
 
 El espacio de las soluciones factibles es: 𝑅 = {𝑥|(𝑥 − 1) = 1} ≡ {0,2} COMPACTO, 
luego por valores extremos de WEIERSTRASS 
 
𝑥 𝑥 Propiedad 
0 0 Mínimo Global 
2 8 Máximo Global 
 
NOTAS: 
 
 En 𝑥 = 0 tenemos un punto crítico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 , el cual realmente es un punto de 
inflexión, en este punto hay un MINIMO GLOBAL (Restringido) 
 
 En 𝑥 = 2 tenemos un punto que NO es un punto crítico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 , sin embargo, es 
MAXIMO GLOBAL (Restringido) 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 es una función cuasi cóncava (y también cuasi convexa) 
 
ALTERNATIVA 2 
 
Veamos cómo funciona el Teorema de suficiencia global con cuasi concavidad 
 
 ℒ(𝑥, 𝜆) = 𝑥 − 𝜆((𝑥 − 1) − 1) 
 
1) ℒ = 3𝑥 − 2𝜆(𝑥 − 1) = 0 
2) ℒ = (𝑥 − 1) − 1 = 0 
 
De 2) tenemos (𝑥 − 1) = 1 → 𝑥 − 1 = ±1 → 𝑥∗ = 0
2
 
 
 Reemplazando 𝑥 = 0 en 1) tenemos que: 𝜆 = 0 
 Reemplazando 𝑥 = 2 en 1) tenemos que: 𝜆 = 6 
 No existen puntos que violen la CCR, ya que: 
 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1) → 𝑔 (𝑥) = 2(𝑥 − 1) = 0 → 𝑥 = 1 → 𝑔(1) = 0 ≠ 1 
 
 Resumiendo, existen dos puntos candidatos a solución: (𝑥∗, 𝜆∗) =
(0,0)
(2,6)
 
 De estos dos candidatos, tan solo (𝑥∗, 𝜆∗) = (2,6) cumple con las condiciones del 
teorema de cuasi concavidad, ya que 
 
 Primero: 𝑥∗ = 2 NO es un punto crítico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
 Segundo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 es una función cuasi cóncava, ya que: 
El conjunto sobre nivel es convexo 𝑃 = {𝑥|𝑥 ≥ 𝑐} ≡ [√𝑐, +∞) es CONVEXO 
 
Además 𝜆∗𝑔 es cuasi cóncava, ya que: 
 (𝑥 − 1) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 → 𝜆∗(𝑥 − 1) = 6(𝑥 − 1) 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 → 𝜆∗(𝑥 −
1) 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 
 
 
 
Problema 
 
Encuentra y clasifica los valores extremos de las siguientes funciones sujeto a 
restricciones de igualdad 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑎 − √𝑥 − 𝑦 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1 
 
Solución 
 
 ℒ(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝜆 𝑎 − √𝑥 − 𝑦 − 1 
CPO 
1. ℒ = 𝑎 +
√
= 0 
2. ℒ = 1 +
√
= 0 
3. ℒ = 𝑎 − √𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
 
De 1. y 2. Tenemos que: 𝜆 = −2𝑎√𝑥 = −2 𝑦 → 𝑦 = 𝑎 𝑥 
Por lo cual nos queda que resolver el sistema de ecuaciones 
 
4. 𝑦 = 𝑎 𝑥 
3. 1 − 𝑎 + √𝑥 + 𝑦 = 0 
 
De donde el único punto crítico es: 𝑥∗ = ; 𝑦∗ = 𝑎 ; 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗ =
−2𝑎 
 
Como 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑦 es lineal 
 −𝜆 𝑎 − √𝑥 − 𝑦 − 1 es convexa, ya que 𝜆 < 0 
 
Entonces el Lagrangeano es convexo, por lo tanto, el punto crítico obtenido es un MINIMO 
GLOBAL 
 
NOTA: Podemos adicionalmente comprobar que se cumple el teorema de la ENVOLVENTE. 
 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 3𝑦 − 𝑥𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑥 + 𝑦 = 6 
 
Solución 
 
 ℒ = 𝑥 − 3𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 6) 
CPO 
 ℒ = 1 − 𝑦 − 𝜆 = 0 → 𝑦 = 1 − 𝜆 
 ℒ = −3 − 𝑥 − 𝜆 = 0 → 𝑥 = −3 − 𝜆 
 ℒ = 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 
 Por lo tanto, −3 − 𝜆 + 1 − 𝜆 − 6 = 0 → 𝜆 = −4 
 Existe un único punto crítico: 𝑥∗ = 1 ; 𝑦∗ = 5 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗ = −4 ; 𝑓∗ = −19 
 
 Para analizar la convexidad del Lagrangeano, como la restricción es lineal, solo 
debemos analizar la función objetivo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 3𝑦 − 𝑥𝑦 
 𝑓 = 1 − 𝑦 ; 𝑓 = 0 ; 𝑓 = −1 ; 𝑓 = −3 − 𝑥 ; 𝑓 = 0 
 𝑯(𝒇) = 𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎
→ |𝑯| = −𝟏 < 𝟎 ⇒ 𝑯(𝒇) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 ⇒
(𝟏, 𝟓)𝒆𝒔 𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝑺𝑰𝑳𝑳𝑨 
 
Camino alternativo para ver que es punto silla, hacer una descomposición del Lagrangeano 
que redunde en disminuir el álgebra involucrada, esto es, descomponer en todo lo que es 
lineal más el resto, de tal modo de analizar el resto solamente, en este caso el resto es 
ℎ(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑦 
 ℎ = −𝑦 ; ℎ = 0 ; ℎ = −1 ; ℎ = −𝑥 ; ℎ = 0 
 𝑯(𝒉) = 𝟎 −𝟏
−𝟏 𝟎
→ |𝑯| = −𝟏 < 𝟎 ⇒ 𝑯(𝒇) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂 ⇒
(𝟏, 𝟓)𝒆𝒔 𝑷𝑼𝑵𝑻𝑶 𝑺𝑰𝑳𝑳𝑨 
 
Problema 
 
Consideremos una empresa que fabrica tres artículos A, B y C en cantidades x, y, z 
respectivamente. La empresa fija los precios de sus artículos según unas funciones 
decrecientes en la cantidad producida del siguiente modo: 
 
 Un artículo A vale (200 − 4𝑥) u. m. ( unidades monetarias) 
 Un artículo B vale (200 − 3𝑦) u. m. 
 Un artículo C vale (100 − 𝑧) u. m. 
 
Además, la empresa ha calculado empíricamente que su costo en función de las cantidades 
producidas puede aproximarse por la función:𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 100𝑧 + 100 
 
 En la actualidad, el nivel de producción total es de 58 unidades, pero la empresa considera 
que puede aumentarlo en una unidad sin incumplir sus restricciones técnicas. 
 
 Calcula los precios unitarios óptimos de cada uno de los tres tipos de artículo y el 
beneficio óptimo actual. 
 Razona si a la empresa le conviene aumentar su producción. 
 
Solución 
 
Asumamos que el Ingreso “I” de esta empresa proviene de la venta de estos artículos 
 Por lo tanto: 𝐼(𝑥. 𝑦, 𝑧) = (200 − 4𝑥)𝑥 + (200 − 3𝑦)𝑦 + (100 − 𝑧)𝑧 
 
Luego la función Beneficio está dada por: 
 
𝐵(𝑥. 𝑦, 𝑧) = 𝐼(𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
= (200 − 4𝑥)𝑥 + (200 − 3𝑦)𝑦 + (100 − 𝑧)𝑧 − (𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 100𝑧 + 100) 
Por tanto 
𝐵(𝑥. 𝑦, 𝑧) = −5𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 + 200𝑥 + 200𝑦 − 100 
Por otro lado, nos dicen que la producción actual es de 59, por lo tanto, tenemos la siguiente 
restricción de igualdad 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 58 
Finalmente, el problema se reduce al siguiente problema de maximización 
 
𝑀á𝑥 𝐵(𝑥. 𝑦, 𝑧) = −5𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 + 200𝑥 + 200𝑦 − 100 𝑠. 𝑎. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 58 
 
Así entonces 
 
ℒ = −5𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 + 200𝑥 + 200𝑦 − 100 − 𝜆(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 58) 
CPO 
1) ℒ = −10𝑥 + 200 − 𝜆 = 0 → 𝑥 = 20 − 
2) ℒ = −10𝑦 + 200 − 𝜆 = 0 → 𝑦 = 20 − 
3) ℒ = −4𝑧 − 𝜆 = 0 → 𝑧 = − 
4) ℒ = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 58 = 0 
 
Reemplazando 1), 2), 3) en 4) 20 − + 20 − − − 58 = 0 → 𝜆 = −40 
Por lo tanto, existe un solo punto crítico 
 
𝑥∗ = 24 ; 𝑦∗ = 24 ; 𝑧∗ = 10 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗ = −40 
 
Dicho punto crítico corresponde a un MAXIMO GLOBAL, ya que el Lagrangeano es una 
función CONCAVA, lo cual se puede justificar descomponiendo dicho Lagrangeano en dos 
partes 
 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎: −5𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 
 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙: 200𝑥 + 200𝑦 − 100 + 𝜆(58 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧) 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 
Como la suma de funciones cóncavas también es cóncava, entonces el Lagrangeano es 
cóncavo 
 
Luego los precios unitarios MAXIMOS son: 
 
 𝑝∗ = 200 − 4 ∗ 24 = 104 
 𝑝∗ = 200 − 3 ∗ 24 = 128 
 𝑝∗ = 100 − 10 = 90 
 
Además, el Beneficio MAXIMO es: 
 
𝐵∗ = −5 ∗ 24 − 5 ∗ 24 − 2 ∗ 10 + 200 ∗ 24 + 200 ∗ 24 − 100 = 3540 𝑢. 𝑚. 
 
 Si la restricción de producción la consideramos como un parámetro “c” es decir, 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑐 
 Por lo tanto, por el teorema de la envolvente (interpretación del parámetro de Lagrange) 
 
𝑑𝐵∗
𝑑𝑐
= 𝜆 = −40 
 
Así entonces por el hecho de aumentar en una unidad la producción, el beneficio máximo 
𝐵∗ de la empresa disminuiría en aproximadamente en 40 𝑢. 𝑚. 
 
Por tanto, a la empresa no le conviene aumentar la producción. 
 
 
Problema 
 
Resolver los siguientes problemas de optimización con restricciones de igualdad: 
 
(a) 𝑀á𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑎𝑥 + 𝑦 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑎 > 0. 
 Si 𝑓∗(𝑎) denota la función valor mínimo de f, con el teorema de la envolvente 
determina 
∗
. 
 
Solución 
 
 ℒ = −𝑥 − 𝑦 + 𝜆(1 − 𝑎𝑥 − 𝑦) 
 
CPO 
 ℒ = −2𝑥 − 𝜆𝑎 = 0 → 𝑥 = − 
 ℒ = −2𝑦 − 𝜆 = 0 → 𝑦 = − 
 ℒ = 1 − 𝑎𝑥 − 𝑦 = 0 → 1 + + = 0 → 𝜆 = − 
 
 Por lo tanto, el punto crítico es: 𝑥∗ = ; 𝑦∗ = con 𝜆∗ = − 
 
 𝑓∗ = − − − − = − 
 
 
∗
= − =
( )
 
 
Alternativamente, podemos usar el teorema de la envolvente, esto es: 
 
 ℒ(𝑥∗, 𝑦∗, 𝜆∗; 𝑎) = −(𝑥∗) − (𝑦∗) + 𝜆∗(1 − 𝑎𝑥∗ − 𝑦∗) 
 
 ℒ = −𝜆∗𝑥∗ = ∗ =
( )
=
∗
 
 
(b) 𝑀í𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑠. 𝑎. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑦 = 1 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑎 > 0; 𝑏 > 0. 
 
 Si 𝑓∗(𝑎, 𝑏) denota la función valor mínimo de f, con el teorema de la envolvente 
determina: 
∗
 𝑦 
∗
 
 
Solución 
 
 ℒ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝜆(1 − 𝑙𝑛𝑥 − 𝑦) 
 
 CPO 
 ℒ = 𝑎 − = 0 → 𝜆 = 𝑎𝑥 
 ℒ = 𝑏 − 𝜆 = 0 → 𝜆 = 𝑏 
 ℒ = 1 − 𝑙𝑛𝑥 − 𝑦 = 0 
 Por lo tanto: 𝑥∗ = ; 𝑦∗ = 1 − 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗ = 𝑏 
 
Ahora por LEMA DE SHEPPARD 
 
𝜕𝑓∗
𝜕𝑎
= 𝑥∗ =
𝑏
𝑎
 ; 
𝜕𝑓∗
𝜕𝑏
= 𝑦∗ = 1 − 𝑙𝑛
𝑏
𝑎
 
 
 
(c) 𝑀í𝑛 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑎𝑦 𝑠. 𝑎. ln(𝑥𝑦) = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑎 > 0. 
 
 Si 𝑓∗(𝑎) denota la función valor mínimo de f, con el teorema de la envolvente 
determina 
∗
. 
 
Solución 
 
 ℒ = 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝜆(𝑎 − 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦) 
 
 CPO 
 ℒ = 1 − = 0 → 𝜆 = 𝑥 
 ℒ = 𝑎 − = 0 → 𝜆 = 𝑎𝑦 
 ℒ = 𝑎 − 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦 = 0 
 Por lo tanto: 𝑥∗ = √𝑎𝑒 ; 𝑦∗ = 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗ = √𝑎𝑒 
 
 
 
 
Problema 
 
Sea 𝑈(𝑥, 𝑦) una función de utilidad y sean 𝑝 , 𝑝 los precios de los bienes 𝑥 𝑒 𝑦. Se desea 
maximizar la función de utilidad, dado un presupuesto “c”, es decir: 
𝑀á𝑥: 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑠. 𝑎. 𝑝 ∗ 𝑥 + 𝑝 ∗ 𝑦 = 𝑐 ; 𝑝 , 𝑝 , 𝑐 > 0 
Donde 𝑥 𝑒 𝑦 son las variables de decisión y los parámetros 𝑝 , 𝑝 , 𝑐 son consideradas 
como variables exógenas. 
 
 Asumiendo que 𝑈∗ es la función valor: Probar que en el óptimo se cumplen las 
siguientes relaciones: 
 
a) 
∗
= −𝜆∗𝑥∗ 
b) 
∗
= −𝜆∗𝑦∗ 
c) 
∗
= 𝜆∗ 
 
 Solución 
 ℒ = 𝑈(𝑥, 𝑦) + 𝜆 𝑐 − 𝑝 ∗ 𝑥 − 𝑝 ∗ 𝑦 
Asumiendo que: 𝑥∗ ; 𝑦∗ 𝑠𝑜𝑛 ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝜆∗, entonces 
 ℒ(𝑥∗, 𝑦∗, 𝜆∗; 𝑝 ; 𝑝 ; 𝑐) = 𝑈(𝑥∗, 𝑦∗) + 𝜆∗ 𝑐 − 𝑝 ∗ 𝑥∗ − 𝑝 ∗ 𝑦∗ 
Por Teorema de la Envolvente, tenemos que: 
a) 
∗
=
ℒ( ∗, ∗, ∗; ; ; )
= −𝜆∗ ∗ 𝑥∗ 
b) 
∗
=
ℒ( ∗, ∗, ∗; ; ; )
= −𝜆∗ ∗ 𝑦∗ 
c) 
∗
=
ℒ( ∗, ∗, ∗; ; ; )
= 𝜆∗