Ayudantia 3 - s2 - 2019

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Consuelo Sepúlveda 
 csepulveda3@uc.cl 
Ayudantía 3 – Aplicaciones Matemáticas 
Ejercicios: 
1. Suponga que Ud, es el único abastecedor en Concepción de peras deshidratadas. Ud. 
tiene dos plantas deshidratadoras, en Temuco y Rancagua, cuyos costos en materia 
prima, procesamiento y transporte están dados a continuación. 
Nota: Los costos está expresados por kg. de producto final equivalente. Ud. debe 
ofrecer por lo menos 100 unidades a un precio unitario de 200 pesos por kg. Ud. 
puede vender cuanto quiera por encima de dichas 100 unidades. Se pide plantear el 
problema de programación no lineal que le permita decidir cuánto debe producir en 
cada planta. 
2. Consideremos el problema: 
min 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 𝑠𝑎 𝑥 + 2𝑦 = 𝑎 
a. Resolver el problema usando primero la restricción para eliminar y. 
b. Escribir la función lagrangiana del problema y resolver las condiciones 
necesarias en este caso. 
c. Resolver también el problema estudiando las curvas de nivel de 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2 + 𝑦2 junto con la gráfica de la recta 𝑥 + 2𝑦 = 𝑎 en el diagrama. Dar una 
interpretación geométrica del problema. ¿Tiene solución el correspondiente 
problema de maximización? 
3. (SHC, ejemplo 2 en página 555) Suponga la siguiente función de producción: 𝑄 =
√K + 𝐿. Los precios de cada unidad de capital y de trabajo son, respectivamente, 1 y 
20. 
Se pide: 
a) ¿Cuánto capital y trabajo debe contratar si quiere producir 30 unidades de 
producto al mínimo costo posible? Use el Método de Lagrange. 
b) ¿Cuál es el costo total de producir 30 unidades? 
c) Repita el ejercicio anterior, pero con 31 unidades en lugar de 30. ¿En cuánto 
aumentan los costos? Verifique que coincide con el multiplicador de Lagrange. 
d) Explique por qué el multiplicador de Lagrange, en este caso, se puede interpretar 
como el “costo marginal de producción”. 
4. Suponga que la empresa BROS produce brosnes y quiere maximizar utilidad. El 
precio de los brosnes es de 30 pesos por unidad. La función de producción se puede 
representar como: 𝑄 = 3𝐾0,4 + 2𝐿0,4. El capital cuesta 9 pesos por unidad y el trabajo 
le cuesta 2 pesos por unidad. Se pide: 
a. Plantee el problema de optimización de la empresa. 
PLANTA Costo Materia 
Prima ($/kg) 
Costo 
Procesamiento 
($/kg) 
Transporte 
Concepción 
($/kg) 
Temuco 30 20 + XT 30 
Rancagua 20 2XR 10 + XR 
 Consuelo Sepúlveda 
 csepulveda3@uc.cl 
b. Resuelva el problema de optimización de la empresa, usando las condiciones 
de primer orden. ¿Cuánto contrada de capital? ¿de trabajo? ¿cuánto produce? 
c. Ahora suponga que la empresa no puede contratar más de 20 unidades de 
trabajo (los trabajadores son especialistas en brosnes y no hay más 
especialistas en la ciudad). Podría traer todos los trabajadores especialistas 
que quiera de la ciudad vecina, pero a un costo de 3 pesos por unidad. Plantee, 
SIN RESOLVER, el problema de optimización correspondiente.