Optimizacion - Gonzalo Edwards 1994

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ISSN:0716-7334 
 
 
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMIA 
Oficina de Publicaciones 
Casilla 274 - V, Correo 21, Santiago 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MODELOS DE OPTIMIZACION* 
 
 Gonzalo Edwards** 
 
 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 
 
 
 
 
Marzo, 1994 
 
 
*Este trabajo es una publicación conjunta del Instituto de Economía (Trabajo Docente Nº 57), y de 
la Escuela de Administración (Trabajo Docente 194-01). Pontificia Universidad Católica de 
Chile. 
**Profesor Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas, Pontificia Universidad Católica 
de Chile. 
 
 
INDICE 
 
 Página 
CAPITULO 1: INTRODUCCION AL PROCESO DE 
 OPTIMIZACION 1 
CAPITULO 2: PROGRAMACION MATEMATICA: 
 ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS 15 
 
CAPITULO 3: OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES 23 
 
CAPITULO 4: OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES 
 DE NO NEGATIVIDAD 30 
 
CAPITULO 5: OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES 
 DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD 35 
 
CAPITULO 6: SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE 
 KUHN-TUCKER 52 
 
CAPITULO 7: PROBLEMAS ADICIONALES DE 
 PROGRAMACION NO LINEAL 65 
 
CAPITULO 8: PROGRAMACION LINEAL: 
 INTRODUCCION 79 
 
CAPITULO 9: PROGRAMACION LINEAL Y EL 
 COMPUTADOR 93 
 
CAPITULO 10: PROBLEMAS ADICIONALES DE 
 PROGRAMACION LINEAL 107 
 
CAPITULO 11: VARIABLES BINARIAS 128 
 
REFERENCIAS 157 
 
NOTA INTRODUCTORIA 
 
 El propósito de este trabajo es servir de material complementario para aquellos 
cursos que persiguen formar la capacidad de modelamiento matemático en las áreas de 
economía y administración. 
 
 El texto presenta el instrumental matemático utilizado en el análisis de 
optimización de manera comprensible, tratando de desarrollar la intuición, sin mayor 
énfasis en el rigor formal. Por otra parte, el énfasis no está en la solución de problemas 
de optimización claramente definidos, sino que en el planteamiento de los mismos. 
 Para desarrollar la capacidad de plantear problemas se presentan en el texto 
numerosos ejemplos, a la vez que se proponen, al final de cada capítulo, problemas 
adicionales para la ejercitación del alumno. 
 El trabajo puede dividirse en tres partes: Programación No Lineal, donde lo 
principal es el planteamiento de problemas y la comprensión de las condiciones de 
Kuhn-Tucker. La segunda parte, de Programación Lineal, que es un caso particular de 
Programación No Lineal, presenta múltiples ejemplos de este tipo de modelos, 
destacando los análisis gráficos y los problemas de planteamiento. En esta parte, se 
hace uso de programas computacionales tales como el LINDO y el QSB+. Por último, 
en la tecera parte, se enfatizan los problemas que requieren en su planteamiento el uso 
de variables binarias. 
 Se debe destacar que se han dejado fuera varios temas en las áreas descritas 
por razones de espacio y tiempo que en todo caso están bien tratados en otros libros. 
Entre estos temas excluidos se encuentran: a) El dual; b) El método Simplex de 
Programación Lineal y otros algoritmos de solución de distintos tipos de problemas de 
Programación Matemática. Asimismo, se ha decidido excluir los problemas de 
optimización en condiciones de incertidumbre, y los problemas de optimización 
dinámica. 
 Por último, como este trabajo surge de mis apuntes de clase en el 
Departamento de Economía Agraria y en la Facultad de Ciencias Económicas y 
Administrativas de la Pontificia Universidad Católica de Chile durante los últimos diez 
años, quiero agradecer, aunque no recuerde sus nombres, a todos los alumnos que he 
tenido y en especial a todos los ayudantes. De manera particular, deseo agradecer a 
Guillermo Donoso, Frantz Kroeger, Oscar Melo, Guillermo Ortiz, Sol Reyna y María 
Isabel Vial. 
 
 
 
Modelos de Optimización 1 
 
 
CAPITULO 1 
INTRODUCCION AL PROCESO DE OPTIMIZACION 
El objetivo principal de este texto es aprender a plantear y resolver problemas de 
optimización. Para lograr este objetivo es conveniente expresar el problema de optimización 
típico en términos de las siguientes etapas: 
Entendimiento del Problema: Esta etapa consiste en entender las características esenciales 
del problema. Si bien esta etapa puede parecer obvia, muchas veces el problema radica 
justamente en el hecho que el problema no se entiende. En general, esta etapa no se expresa 
en lenguaje matemático. 
Definición de Variables: Las variables en juego deben ser definidas en forma clara. Por 
ejemplo, cuando se define una variable X como tomates, debe quedar claro si se refiere a 
kilos de tomates, hectáreas de tomates, etc. 
Definición de Función Objetivo: Esta etapa consiste en definir, en términos matemáticos, 
qué se quiere lograr. Por ejemplo, el objetivo puede ser maximizar ganancias, minimizar 
costos, minimizar el riesgo de quiebra, etc. 
Definición del Conjunto de Restricciones: Esta etapa consiste en definir, nuevamente en 
términos matemáticos, el espacio de lo posible. Por ejemplo, ¿cuántas hectáreas se pueden 
sembrar como máximo con los distintos cultivos? ¿de cuánto dinero se dispone para llevar a 
cabo la empresa? ¿qué capacidad se tiene para manejar inventarios? etc. 
Cabe advertir que muchas veces esta etapa se confunde, erradamente, con la etapa de 
búsqueda de la solución. El conjunto de restricciones se refiere al espacio de lo posible y no 
a un espacio restringido donde se espera que esté el óptimo. Si bien muchas veces puede 
parecer preferible trabajar con un espacio más restringido para encontrar la solución, en la 
práctica es común que dichas restricciones dejen de hecho fuera del espacio a la verdadera 
solución óptima, sobre todo en problemas complejos. 
Búsqueda de Solución: Esta etapa representa el problema matemático propiamente tal. Las 
etapas anteriores se refieren al problema de planteamiento del problema en términos 
matemáticos, mientras que esta etapa se refiere a la búsqueda del valor o de los valores de las 
variables que optimizan la función objetivo dentro del conjunto de valores posibles que éstas 
pueden tomar. 
Interpretación de Resultados: Esta etapa, que parece obvia, muchas veces es 
olvidada por los analistas. Un modelo no entrega resultados. Es el analista quien 
se debe hacer responsable de los mismos y entregarlos. Por ejemplo, si los 
 
 
 
2 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
resultados "entregados" por el modelo o por el computador son contrarios a todo 
lo que el analista siempre ha creido, es posible que el analista deba revisar sus 
teorías. Sin embargo, lo más probable es que el modelo tenga algún problema en 
el planteamiento o en el sistema de búsqueda de solución que obligue a revisar lo 
realizado. El modelo es una herramienta que permite al analista entender un 
determinado problema. No es más, aunque tampoco menos que eso. 
A continuación se presentan varios ejemplos de planteamiento con el objeto de 
introducir algunos de los elementos anteriores a problemas prácticos. Se 
excluyen de esta introducción las etapas de búsqueda de soluciones y de 
interpretación de resultados. 
Ejemplo 1.1: 
Suponga que Ud. tiene un fundo con las siguientes características: 
1. El fundo tiene 120 hectáreas. 
2. Ud. está considerando la posibilidad de poner trigo, porotos, o una 
combinación de ambos cultivos. 
3. Ud. no dispone de trabajadores permanentes y debe contratarlos a 700 
pesos por jornada. 
4. El trigo requiere de 5 jornadas hombre por hectárea, mientras que los 
porotos requieren de 10 jornadas hombre por hectárea. 
5. Ud. dispone de un tractor y no puede tomar en arriendo ni dar en arriendo el 
tractor. Esto le impone un máximo de 300 jornadas-tractor para todo el 
año. El trigo requiere de 3 JT/há, y los porotos 5 JT/há. 
6. Los costos variables por hectárea, sin contar la mano de obra, son de 50.000 
pesos en el caso del trigo y 35.000 pesos en el caso de los porotos. 
7. El precio por quintal de trigo es de 3.000 pesos y por quintal de porotos, 
4.000. 
8. El rendimiento esperado por hectáreade trigo es de 60 quintales y por hectárea de 
porotos es de 40 quintales. 
El problema es determinar cuántas hectáreas sembrar con cada cultivo. 
 
 
 
Modelos de Optimización 3 
 
 
Lo primero que hay que hacer es plantear el problema en términos matemáticos. En 
este ejemplo, lo que se quiere es que las ganancias sean lo más grandes posible. Esto se 
expresa en términos matemáticos como: 
 Maximizar Ganancias = Ingresos Totales - Costos Totales = IT - CT 
donde: 
IT = 3.000 x 60 x T + 4.000 x 40 x P 
T, P = Número de hectáreas a sembrar de trigo y porotos respectivamente. 
CT = 50.000 x T + 35.000 P + 700 (5 T + 10 P) 
Así, la función a maximizar es 
 
f(T, P) = 126.500 T + 118.000 P Función Objetivo 
 
El problema son las restricciones. Como sólo se cuenta con 120 hectáreas, debe 
cumplirse que: 
 
T + P ≤ 120 Restricción 1 
 
Por otra parte, como se cuenta sólo con 300 jornadas tractor como máximo, se debe 
cumplir que: 
 
3T + 5P ≤ 300 Restricción 2 
 
 
 
 
 
 
4 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Por último, están las restricciones de no negatividad. Estas se refieren al hecho 
que no se pueden sembrar cantidades negativas. Matemáticamente, 
 
T ≥ 0, P ≥ 0 Restricciones de no negatividad 
 
Esta última restricción se debe poner a pesar de ser obvia. En un planteamiento 
matemático, nada es obvio si no se explicita. 
En resumen, el problema anterior se expresa como: 
Maximizar f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P 
 sujeto a: 
 T + P ≤ 120 
 3T + 5P ≤ 300 
 T ≥ 0; P ≥ 0 
El modelo anterior es una simplificación de una situación típica. No incorpora, 
por ejemplo, el hecho de que los rendimientos y los precios son aleatorios. 
Tampoco incorpora posibles restricciones de dinero o problemas de tasas de 
interés. Excluye, asimismo, toda consideración de disponibilidad de agua de 
riego. Adicionalmente, no incluye posibles restricciones impuestas por el tamaño 
de los potreros (suponga, por ejemplo, que no se desea sembrar más de un cultivo 
en un potrero determinado). Dicho de otra forma, en un modelo sólo se puede ver 
lo que éste incorpora. No se puede ver lo mucho que no incorpora. 
Ejemplo 1.2: 
Ud. está dedicado a la producción de dos productos cuyas funciones de 
producción son las siguientes: 
 
8,0
2
2,0
12
7,0
11
XXY
XY
=
= 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 5 
 
 
donde Xi e Yj se refieren a las cantidades de insumos y productos 
respectivamente. Ud. sabe además que PY1 = 10, PY2 = 15, PX1 = 2, PX2 = 3. 
El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, le 
permita decidir cuánto producir de cada producto a fin de maximizar las 
utilidades. Como dato adicional, Ud. sólo dispone de 150 pesos para la compra 
de insumos, y por razones técnicas de almacenaje, Y1 no puede ser mayor al 30% 
de Y2. 
Nuevamente el objetivo es la maximización de utilidades. Tal como se dijo 
anteriormente, el primer paso es la definición de las variables en forma clara. En 
este ejemplo, existen dos opciones: 1) trabajar directamente con las cantidades de 
insumos, 2) trabajar simultáneamente con las cantidades de producto y de 
insumos. Así, el problema se podría plantear, aunque erradamente por razones 
que se verán más adelante, de cualquiera de las dos formas siguientes: 
Planteamiento 1: 
 Maximizar 218,02
2,0
1
7,0
1 X3X2XX15X10 −−+ 
sujeto a: 
 
 2 X1 + 3X2 ≤ 150 
 X 7,01 ≤ 0,3 X
2,0
1
0
2;1 X
8,0
2 
 X1, X2 ≥ 0 
Planteamiento 2: 
 Maximizar 10Y1 + 15 Y2 - 2 X1 - 3X2 
 sujeto a: 
 2X1 + 3X2 ≤ 150 
 Y1 ≤ 0,3 Y2 
 Y1 = X 7,01 
 Y2 = 8,02
2,0
1 XX 
 Y1, Y2, X1, X2 ≥ 0 
 
 
 
 
 
6 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
De los dos planteamientos anteriores, el primero tiene la ventaja de trabajar con 
dos variables en lugar de cuatro, lo que resulta más fácil en términos de la 
búsqueda de la solución. El segundo, por otra parte, tiene la ventaja que su 
solución entrega directamente las cantidades a producir y las cantidades de 
insumos por utilizar. En este sentido, en términos del planteamiento del 
problema, parece preferible el segundo, mientras que en términos del problema 
matemático de resolución es preferible el primero. 
¿Cuál es el error en ambos planteamientos anteriores? El problema es que la 
cantidad del primer insumo, X1, se plantea como utilizable en ambos productos 
simultáneamente. En la realidad, una parte se puede utilizar para un producto y el 
resto en el otro. No se puede usar el total de insumo en la producción de un 
producto y el total también en la producción del otro. 
De lo anterior, surge la necesidad de distinguir entre las cantidades del insumo 
que van a uno y otro producto. Es así como los planteamientos anteriores se 
reescriben como: 
Planteamiento 1: 
Maximizar 10 X 7,011 + 15 X
2,0
12 X
8,0
2 - 2 (X11 + X12) - 3X2 
 sujeto a: 
 2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150 
 X 7,011 ≤ 0,3 X
2,0
12 X
8,0
2 
 X11, X12, X2 ≥ 0 
Planteamiento 2: 
 Maximizar 10 Y1 + 15 Y2 - 2 (X11 + X12) - 3 X2 
 sujeto a: 
 2(X11 + X12) + 3 X2 ≤ 150 
 Y1 ≤ 0,3 Y2 
 Y1 = X
0,7
11 
 Y2 = X 2,012 X
8,0
2 
 X11, X12, X2, Y1, Y2 ≥ 0 
 
 
 
Modelos de Optimización 7 
 
 Ejemplo 1.3: 
En un feedlot de engorda de novillos, se ha decidido alimentarlos con heno de 
alfalfa y maíz grano, que cuestan 8 y 12 pesos por kilo respectivamente. El heno 
tiene, por kilo, 1,8 mkcal, 160 gramos de proteína, 20 gramos de calcio y 160 
gramos de fósforo. A su vez, el maíz tiene 3 mkcal, 90 gramos de proteína, 3 
gramos de calcio y 2 gramos de fósforo por kilo. Los requerimientos de cada 
novillo por día son de 12 mkcal, 1,2 kilos de proteína, 100 gramos de calcio y 50 
gramos de fósforo. 
El problema es plantear un modelo de optimización que, una vez resuelto, permita 
minimizar el costo de engorda diario por novillo suponiendo que por razones 
técnicas, la relación calcio:fóforo debe estar entre 1:1 y 2:1. 
Definiendo H y M como las cantidades, en kilos, de heno y maíz respectivamente, 
el problema se puede plantear como sigue: 
 Minimizar f (H,M) = 8H + 12 M 
 sujeto a: 
 1,8 H + 3 M ≥ 12 (calorías) 
 160 H + 90 M ≥ 1,2 (proteínas) 
 20 H + 3 M ≥ 100 (calcio) 
 160 H + 2 M ≥ 50 (fósforo) 
 1 ≤ 
cantidad de calcio
cantidad de fósforo = 
20 H + 3 M
160H+ 2 M ≤ 2 
 H, M ≥ 0 
Ejemplo 1.4: 
Se dispone de 50 unidades de un bien para vender en 2 mercados independientes. 
En cada mercado, las demandas están dadas por las ecuaciones P1 = 40 - X1 y P2 
= 50 - 2 X2, donde Pi representa el precio de venta unitario en el mercado i, y Xi 
la cantidad vendida en dicho mercado. El problema es plantear el problema de 
optimización correspondiente. 
Las variables de decisión en este caso son las cantidades que se deben enviar a 
los distintos mercados. El problema se puede plantear de cualquiera de las 
siguientes formas: 
 
 
 
 
 
8 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Planteamiento 1: 
 Maximizar P1 X1 + P2 X2 
 sujeto a: 
 X1 + X2 ≤ 50 
 P1 = 40 - X1 
 P2 = 50 - 2 X2 
 P1, P2, X1, X2 ≥ 0 
 
Planteamiento 2: 
 Maximizar (40 - X1 ) X1 + (50 - 2X2 ) X2 
 sujeto a: 
 X1 + X2 ≤ 50 
 X1, X2 ≥ 0 
El segundo planteamiento reemplaza las ecuaciones de demanda en la función objetivo. 
Cabe señalar que ambos planteamientos no son equivalentes desde el punto de vista 
matemático. La razón es que en el segundo planteamiento, si bien se sustituyen los 
precios en la función objetivo, no se sustituyeron en las restricciones de no negatividad 
originales (P1 ≥ 0, P2 ≥ 0). 
Dicho de otra forma, al segundo planteamiento faltó agregar: 
 40 - X1 ≥ 0 
 50 - 2X2 ≥ 0 
Ejemplo 1.5: 
Ud. es dueño de una planta agroindustrial que produce tomates, peras y duraznos en 
conserva. Ud. debe planificar la producción del próximo mes de tal forma de 
maximizar los ingreso netos. 
Los costos de materia prima son 10, 15 y 20 pesos por kilo en los3 productos 
respectivamente si se abastece del abastecedor A y 15, 20 y 10 pesos por kilo si se abastece 
 
 
 
Modelos de Optimización 9 
 
 
del abastecedor B. El abastecedor A no le presenta ningún problema para venderle las 
cantidades que Ud. quiera. Sin embargo, el abastecedor B lo obliga a comprar por lo menos 
1 kilo de peras por cada dos kilos que le compre de duraznos y un máximo de 1 kilo de 
duraznos por cada kilo de tomates que le compre. 
La producción Ud. la puede vender a la cadena de supermercados X o a la cadena Y (o a 
ambos). Las demandas de X vienen dadas por las siguientes ecuaciones, donde los precios 
son por kilo de materia prima equivalente: 
 Ptomates = 2.000 - 2 Q
X
tomates 
 Pperas = 1.000 - 4 Q
X
peras 
 Pduraznos = 850 - 3 Q
X
duraznos 
A Y, por otro lado, le gustaría que le vendiera sólo a él, por lo cual le ofrece 
menos precio a mayor cantidad que le envíe a X. Las demandas de Y vienen 
dadas por las siguientes ecuaciones: 
 Ptomates = 2.500 - 2Q
Y
tomates - Q
X
tomates 
 Pperas = 2.000 - 3Q
Y
peras - Q
X
peras 
 Pduraznos = 3.000 - Q
Y
duraznos - Q
X
duraznos 
En este caso, se deberá decidir acerca de cuánto comprar de cada producto a 
cada abastecedor, y cuánto vender de cada producto en conserva a cada 
supermercado. De aquí surge la siguiente definición de variables: 
Pij , Q
i
j = precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos) 
comprada al abastecedor i (i = A, B). 
Plj , Q
l
j = precio y cantidad de producto j (j = tomates, peras, duraznos) 
vendido al supermercado l (l = X, Y). 
Se supondrá, en un primer análisis, que se debe cobrar el mismo precio a ambos 
supermercados. Así el problema se puede plantear como: 
 
 
 
10 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 Maximizar
PXtomates Q
X
tomates + P
X
peras Q
X
peras + P
X
duraznos Q
X
duraznos 
+ PYtomates Q
Y
tomates + P
Y
peras Q
Y
peras + P
Y
 duraznos Q
Y
duraznos 
- 10 QAtomates - 15 Q
A
peras - 20 Q
A
duraznos 
- 15 QBtomates - 20 Q
B
peras - 10 Q
B
duraznos 
 
sujeto a: 
 
 QBperas ≥ 0,5 Q
B
duraznos 
 QBduraznos ≤ Q
B
tomates 
 PXtomates = 2.000 - 2 Q
X
tomates 
 PYtomates = 2.500 - 2 Q
Y
tomates - Q
X
tomates 
 PXperas = 1.000 - 4 Q
X
peras 
 PYperas = 2.000 - 3 Q
Y
peras - Q
X
peras 
 PXduraznos = 850 - 3 Q
X
duraznos 
 PYduraznos = 3.000 - Q
Y
duraznos - Q
X
duraznos 
 PXtomates = P
Y
tomates 
 PXperas = P
Y
peras 
 PXduraznos = P
Y
duraznos 
 
 Todas las variables mayores o iguales a cero. 
 
Las tres últimas restricciones son las que aseguran que se cobre un mismo precio 
a ambos supermercados. Si se puede cobrar distintos precios a ambos 
supermercados, se deben omitir estas restricciones. 
 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 11 
 
 
1.1. Ud, que es administrador de un fundo de 150 hectáreas, debe programar su 
producción para el próximo año. Los productos a considerar son trigo, maíz y 
remolacha. 
 Los coeficientes técnicos de producción y las disponibilidades de los distintos 
recursos son lo que a continuación se señalan: 
 
 trigo maíz remolacha disponibilidad 
Mano de obra 
(JH/há) 15 25 85 3.000 
 
Capital 
(JM/há) 12 14 4 2.000 
 Suponiendo que los beneficios netos unitarios (expresados en términos de pesos 
por hectárea) son 500, 800 y 950 pesos para el trigo, maíz y remolacha 
respectivamente, plantee el problema de optimización correspondiente. 
1.2. En un taller se elaboran tres productos A, B, C cuyas demandas son 
respectivamente 90, 110, 120 unidades semanales. En la tabla se indican las 
capacidades del taller para cada método y las ganancias asociadas con cada 
producto y método de fabricación. 
 
Método Capacidad Producto Ganancia/unidad 
 1 2 3 
 1 160 A 139 140 137 
 2 120 B 201 207 210 
 3 140 C 254 255 255 
 
 
 Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo claramente las 
variables, función objetivo y restricciones. 
1.3. Una fábrica de muñecas debe decidir cuántas muñecas de cada tipo 
producir para maximizar las ganancias. Cuenta con dos tipos de muñecas, 
tipo 1 y tipo 2. El tipo 1 llora y requiere 15 minutos de fabricación y 15 
mquezada
Problemas Propuestos
 
 
 
12 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
minutos de acabado a mano, el tipo 2 necesita 30 minutos para su 
fabricación y 3/9 horas para el acabado a mano. 
 La ganancia por muñeca tipo 1 es de $ 8 y la de la otra es de $ 12. La 
producción está limitada a 10 horas en el departamento de fabricación 
diariamente y el acabado a mano 8 horas/día. 
 Se pide: 
 Plantee el problema de optimización correspondiente. 
1.4. Ud. acaba de recibir por equivocación un animal exótico del Africa con la 
siguiente nota colgada a su cuello: 
 Me llamo TIMBO, como nada más que carne de lagartija y maíz, necesito un 
mínimo de 80 grs. de proteína y 6.000 calorías diarias. Soy un animal simpático 
siempre que me den las proteínas y calorías que pido. Cúidenme. 
 Depués de hacer las averiguaciones del caso, Ud. aprende que por cada kilo de 
carne de lagartija, obtiene 40 grs. de proteína y 4.000 calorías. Por cada kilo de 
maíz, obtiene un total de 30 grs. de proteínas y 3.500 calorías. El precio del maíz 
es de 100 pesos por kilo mientras que el precio unitario de la carne de lagartija 
depende de cuanto compre Ud. al día. Su carnicero amigo le dice que cada día 
está más difícil conseguirla por lo que le especifica la siguiente función para el 
precio: 
 P = 50 + 200 X 
 donde 
 P = precio por kg. de la carne de lagartija 
 X = cantidad de carne comprada (en kgs. por día) 
 Se pide: 
 a) Formule el modelo de optimización que le permita minimizar el costo de la 
ración diaria. 
1.5. Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones 
correspondientes definiendo claramente todas las variables. 
 a) La relación calcio:fósforo en una ración debe estar entre 3:1 y 4:1 
 
 
 
Modelos de Optimización 13 
 
 
 b) Por cada tractor que compre, debe haber por lo menos 6 trabajadores 
permanentes en el fundo. 
 c) Juanita me ha pedido que la llame por lo menos 6 veces por cada 5 que 
llame a Francisca. 
 d) Para hacer una cazuela, por cada papa se debe poner al menos 2 pedazos 
de zapallo. 
 e) Por cada hectárea de maíz, se necesitan 2 jornadas-hombre (JH) al año, y 
por cada hectárea de trigo se requieren 4. Se dispone de 25 JH en total para el 
año. 
 f) Un agricultor desea sembrar el doble de hectáreas de arroz que de maíz y 
el triple que de porotos. 
 g) Del total de trigo que se produzca, la mitad se debe mandar a Santiago, no 
más de un tercio a Valparaíso, y el resto a Concepción. 
 h) En una fonda han dedicido regalar 2 dulces por cada litro de chicha que les 
compren. 
 i) Un agricultor tiene 10 kg. de semilla de un cultivo super especial. Cada 
kg. produce al final de la estación 2,5 kg. de producto que puede ser 
consumido o usado como semilla para la temporada siguiente. El producto en 
sí no puede ser almacenado de un año para otro. Este agricultor desea tener 
por lo menos 16 kg. para consumir luego de la primera cosecha y por lo menos 
12 para consumir luego de la segunda. De ahí para adelante la semilla ya no le 
interesa. 
1.6. Ud es dueño de un restaurant y dispone para el día de hoy de 100 lechugas, 
200 tomates, 35 aceitunas, 180 betarragas y 100 choclos. En su menú, Ud. ha 
decidido poner lo siguiente: 
 ENSALADAS DE HOY 
 LECHUGAS A LA NAPOLITANA 450 pesos 
 (1 lechuga, 2 tomates, 1 choclo) 
 BETARRAGAS A LA VIENESA 300 pesos 
 (2 lechugas, 3 betarragas, 1 aceituna) 
 CHOCLOS A LA CHILENA 650 pesos 
 
 
 
14 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 (3 choclos, 1 aceituna, 4 tomates) 
 
 Se pide: Plantee un modelo que le permita maximixar sus ingresos (suponga que 
lo quehaga lo vende, pero que debe preparar los platos antes que lleguen 
los clientes). 
 Se recomienda definir: 
 X1 = Nº de platos de Lechugas a la Napolitana. 
 X2 = Nº de platos de Betarragas a la Vienesa. 
 X3 = Nº de platos de Choclos a la Chilena. 
 
1.7. Suponga que Ud. se quedó después del 18 de septiembre, día en que puso 
una fonda, con 1.000 litros de chicha y 600 litros de vino. Ud. tiene la 
posibilidad de guardarlos, total o parcialmente, hasta el próximo año y 
venderlos en las fondas a un precio de 100 pesos y 150 pesos por litro de 
chicha y de vino respectivamente, o venederlos hoy a un precio de 50 y 85 
pesos respectivamente a una botillería. Ud. no tiene problemas con la tasa 
de interés directamente, pero necesita hoy 50.000 pesos para pagar una 
deuda pendiente. Por último, el señor de la botillería le exige que por cada 
litro de chicha que le venda debe venderle por lo menos 2 litros de vino. 
 Se pide: Plantee el problema de optimización correspondiente definiendo 
claramente las variables. 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 15 
 
 
CAPITULO 2 
PROGRAMACION MATEMATICA: ALGUNOS CONCEPTOS BASICOS 
Los problemas vistos en el capítulo anterior son todos problemas de 
Programación Matemática (PM). Formalmente, en un problema de PM se trata 
de encontrar el vector x = (x1 , x2 , ..., xn ) que, perteneciendo a un conjunto X, 
llamado conjunto de oportunidades y subconjunto a su vez de Rn , o conjunto de 
los números reales en n dimensiones, maximice una función objetivo f(x1 , x2 , 
..., xn ). 
Dicho de otra forma, el conjunto X no es más que el conjunto de todos los valores 
que pueden tomar las distintas variables, mientras que la función objetivo 
representa aquello que se desea maximizar. 
En términos del ejemplo 1.1, el set X es el conjunto de todos los valores de T y P 
que satisfacen las restricciones 
 T + P ≤ 120 
 3T + 5P ≤ 300 
 T ≥ 0; P ≥ 0 
y la función objetivo es 
 f (T,P) = 126.500 T + 118.000 P 
Cabe señalar que el planteamiento de un problema de Programación Matemática 
como uno de maximización, en lugar de uno de minimización, es sólo por 
conveniencia. Es obvio que existen muchos problemas donde lo que se desea es 
minimizar y no maximizar una función objetivo. Afortunadamente, todo 
problema de minimización se puede escribir como uno de maximización ya que el 
vector que minimiza a f(x) es el mismo que maximiza - f(x). 
Dos importantes casos especiales de PM lo constituyen la Programación No 
Lineal y la Programación Lineal. En el primero, el conjunto de oportunidades X 
está caracterizado por 
 X = {x | g(x) ≤ b, x ≥ 0} 
en que 
 
 
 
Modelos de Optimización 17 
 
 
de cómo transformar ciertos problemas de PM que no son estrictamente de PNL o 
PL en problemas que caigan dentro de estas últimas categorías. 
Ejemplo 2.1: 
Considérese el problema 
 Maximizar 3X1 + 2X2 
 sujeto a: 
 X1 ≤ 100 
 2X1 + 3 X2 ≥ 10 
 X1 , X2 ≥ 0 
En este caso, la segunda restricción no es de "menor o igual" con lo cual el 
problema no debe, según la definición anterior, considerarse como de PL. Sin 
embargo, esta restricción puede reescribirse como 
 -2 X1 - 3 X2 ≤ - 10 
sin cambiar para nada las implicancias de la restricción. 
Ejemplo 2.2: 
Considérese el problema 
 Maximizar X1 + X2 
 sujeto a: 
 X1 = 100 
 X1 + 2 X2 ≤ 200 
 X1 , X2 ≥ 0 
El problema en este caso lo presenta la primera restricción, que es de igualdad. 
Esta restricción se puede descomponer en dos partes: 
 X1 ≥ 100 
 X1 ≤ 100 
 
 
 
18 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Obviamente, estas restricciones implican que X1 = 100. Este sistema lleva, sin 
embargo, a tratar el problema de "mayor o igual" de la misma manera que en el 
ejemplo 2.1 Así, el problema de PM se puede reescribir como el siguiente 
problema de Programación Lineal: 
 Maximizar X1 + X2 
 
 sujeto a: 
 
 - X1 ≤ - 100 
 X1 ≤ 100 
 X1 + 2 X2 ≤ 200 
 X1 , X2 ≥ 0 
Ejemplo 2.3 
Considérese el problema: 
 Maximizar X
3
1 + X2 
 sujeto a: 
 2 X1 + X2 ≤ 100 
 X1 ≥ 0 
En este caso, la variable X2 no tiene restricción de nonegatividad. Como en 
Programación No Lineal todas las variables deben ser nonegativas, y 
reconociendo que todo número real, (positivo, negativo, o cero) puede expresarse 
como la diferencia entre dos números nonegativos, lo que se hace es reescribir la 
variable X2 como 
 X2 = X21 - X22 
donde X21 y X22 son mayores o iguales a cero. Así, el problema original se 
puede reescribir como el siguiente problema de Programación No Lineal: 
 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 19 
 
 
 Maximizar X
3
1 + X21 - X22 
 sujeto a: 
 2X1 + X21 - X22 ≤ 100 
 X1 , X21 , X22 ≥ 0 
Los tres ejemplos anteriores han permitido transformar problemas de PM, que no 
son problemas de PNL o de PL, en problemas que sí son de PNL o PL. La 
ventaja de esto es que en general, mientras más acotada está una clase de 
problemas, más específicos se puede ser en su caracterización y resolución. 
Dicho de otra forma, todo lo que se pueda decir de los problemas de PM es válido 
para problemas de PNL o PL, pero no viceversa. Esto quiere decir que al 
transformar, por ejemplo, un problema de PM, no PL, en uno de PL, todo lo que 
es válido para la clase de problemas de PM sigue siendo válido para el problema 
transformado, y, además, todo lo que es válido para problemas de PL pasa a ser 
válido luego de la transformación. 
En todo caso, se debe destacar que no siempre es posible hacer este tipo de 
transformaciones, como lo demuestra el ejemplo siguiente: 
Ejemplo 2.4: 
Considérese el problema 
 Maximizar 3X1 + 2X2 
 sujeto a: 
 X1 < 40 
 X2 ≤ 20 
 X1 , X2 ≥ 0 
El problema en este caso es la desigualdad estricta en la primera restricción. 
Podría pensarse que el óptimo es X*1 = 39,9 y X
*
2 = 20. Sin embargo, una 
solución mejor sería X*1 = 39,99 o mejor aún X
*
1 = 39,999. En este caso no se 
puede encontrar el óptimo, con lo cual ya no se puede maximizar de acuerdo con 
la definición del proceso de maximización dada al comienzo de este capítulo. 
 
 
 
20 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Máximos Locales y Máximos Globales 
Un punto x* es un máximo global si f(x*) ≥ f(x) para todo x, x* ∈ X. Por otro 
lado, x* es un máximo global estricto si f(x*) > f(x) para todo x, x* ∈ X. 
Asimismo, x* es un máximo local si x* ∈ X y f(x*) ≥ f(x) para todo x, 
que perteneciendo a X, se encuentre en una vecindad de x*. Si f(x*) > f(x), 
entonces x* es un máximo local estricto. El carácter geométrico intuitivo de estas 
definiciones es inmediato como lo ilustra la figura siguiente: 
x x xx x x x* * * * * *1 2 3 4 5 6
x
f(x)
 
 
X*1 es un máximo local estricto, X
*
2 es un mínimo global estricto, X
*
3 es un 
máximo local estricto y un máximo global (no estricto), X*4 es un mínimo local 
estricto, X*5 es un máximo global (no estricto), X
*
6 es un mínimo local (en un 
borde del conjunto de oportunidades). 
 
 
 
Modelos de Optimización 21 
 
 
Problemas Propuestos 
2.1. Considere los siguientes problemas de optimización: 
 Maximizar X1 + 3 X2 
 sujeto a: 
 X1 + 2 X2 ≤ 8 
 2X1 + 3 X2 ≥ 15 
 X1 + X2 = 6 
 X1 , X2 ≥ 0 
 
 Mininizar 3X1 + 2 X2 
 sujeto a: 
 X1 + 2 X2 ≤ 10 
 X1 ≥ 0 
 
 Minimizar 3 X2 + Y 
 sujeto a: 
 X + Y ≤ 10 
 2X + Y ≥ 15 
 X + 3Y = 10 
 X ≥ 0, Y ≥ 0 
 Se pide: Transforme estos problemas en problemas de Programación 
Lineal o No Lineal según corresponda. 
2.2. Considere el siguiente problema de optimización. 
 Minimizar P1 X1 + P2 X2 
 sujeto a: 
 P1 = 100 - X1 
 P2 = 200 - X2 
 X1 + X2 ≤ 20 
 P1, P2, X1, X2 ≥ 0 
 
 
 
22 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 Se pide: Transforme este problema en un problema de Programación No 
Lineal sin sustituir las variables P1 y P2 en la función objetivo. 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 23 
 
 
CAPITULO 3 
OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES 
Este capítulo tiene por objeto caracterizar el óptimo cuando el problema no tienerestricciones. Es decir, cuando el conjunto de oportunidades es igual al conjunto 
de los números reales en n dimensiones, Rn. En primer lugar se verá el caso de 
una función objetivo de una variable para luego generalizar al caso de una 
función de varias variables. 
Función objetivo de una variable 
En este caso, se desea maximizar una función f(x). Si se supone que f(x) es 
diferenciable, entonces la condición de primer orden es que 
 
df
dx = 0 
y la condición de segundo orden es que 
 
d2f
dx2 < 0 
cuando se evalúa la segunda derivada en el punto donde la primera derivada es 
cero. Si un punto satisface estas condiciones, entonces dicho punto es un máximo 
local. 
Se debe destacar que la condición de segundo orden es suficiente pero no 
necesaria, ya que la segunda derivada podría ser cero en el máximo, como lo 
demuestra el caso de la función 
 f(x) = - x2 
En este ejemplo la primera derivada es cero en el punto x* = 0, y la segunda 
derivada evaluada en dicho punto también es cero. El punto x* = 0, sin embargo, 
es un máximo. 
Si se sustituye la condición de segundo orden por 
 
d2f
dx2 ≤ 0 
 
 
 
24 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
se obtiene una condición necesaria pero no suficiente, ya que una segunda 
derivada igual a cero puede corresponder a un máximo, mínimo, o punto de 
inflexión. 
Para ver este punto se sugiere estudiar las funciones 
a) f(x) = - x2 
 
b) f(x) = x2 
 
c) f(x) = x3 
En los tres casos, la primera derivada es cero cuando x* = 0, y la segunda 
derivada es cero también cuando se evalúa en dicho punto El caso a) corresponde 
a un máximo, b) corresponde a un mínimo, y c) corresponde a un punto de 
inflexión. 
Para saber si un punto crítico (punto en el cual la primera derivada es cero) es un 
máximo, mínimo, o punto de inflexión, se debe en primer lugar evaluar la 
segunda derivada en dicho punto. Si dicha derivada es cero, se debe seguir 
derivando hasta encontrar la primera derivada no cero cuando se evalúa en el 
punto crítico. Supóngase que la enésima derivada es la primera derivada distinta 
de cero; entonces si n es impar, se trata de un punto de inflexión; si n es par y 
dfn
dxn es mayor que cero, se trata de un mínimo; y si es par y 
dfn
dxn es menor que 
cero, se trata de un máximo. 
Para finalizar el análisis de funciones de una variable, considérese la función 
 f(x) = 3x 
En este caso, 
df
dx = 3, con lo cual f(x) no tiene punto crítico. En este caso no se 
puede maximizar ya que el máximo es infinito, el cual no es un número real. 
 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 27 
 
 
Considérese la matriz 
 




 -3 1 2 
 1 -4 -1 
 2 -1 -7 
 
Esta matriz es negativa definida ya que 
 det (H1) = f11 = -3 < 0 
 det (H2) = det 


 f11 f12 
 f21 f22 
 = det  
 -3 1 
 1 -4 
 = 11 > 0 
 det (H3) = det 





 -3 1 2 
 1 -4 -1 
 2 -1 -7 
 = - 62 < 0. 
Matriz positiva definida: Una matriz es positiva definida si los determinantes 
de sus submatrices no alternan de signo, con el primer determinante mayor que 
cero. En otras palabras, si det (H1) > 0, det (H2) > 0, det (H3) > 0, y así 
sucesivamente. 
Matriz semidefinida: Para que una matriz sea negativa semidefinida o positiva 
semidefinida, los requisitos de menor o mayor que cero descritos pasan a ser de 
menor o igual o de mayor o igual. 
Otras Matrices: Si el Hessiano evaluado en el punto crítico, es decir el punto 
donde la primera derivada es cero, no corresponde a ninguna de las definiciones 
anteriores, entonces el punto crítico es un punto de inflexión. 
En relación con el Hessiano, se debe destacar que, tal como se pide mostrar en el 
problema propuesto 3.2., el requisito que este sea negativo definido en el caso de 
un máximo obliga a que todos los miembros de la diagonal sean negativos. Esto 
es equivalente a decir que el punto crítico debe ser un máximo en todas las 
direcciones definidas por los ejes de las ordenadas. La razón para exigir que 
además el Hessiano sea negativo definido, lo cual implica considerar las segundas 
derivadas cruzadas, es que puede darse el caso que siendo un máximo en el 
sentido de X1, X2, ... no lo sea en el sentido de una combinación de las variables. 
Este punto debería quedar claro al resolver el problema propuesto 3.3. 
En este punto, es conveniente destacar que si el Hessiano es semidefinido 
positivo o semidefinido negativo en el punto crítico, en teoría dicho punto puede 
mquezada
Ejemplo 3.1:
 
 
 
28 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
ser un máximo, mínimo, o punto de inflexión. En el caso de una variable, para 
determinar a cuál caso correspondía, se debía seguir derivando hasta llegar a la 
primera derivada no cero cuando se evaluaba en el punto crítico. En el caso de 
varias variables, ello significa derivar el Hessiano con respecto a cada una de las 
variables; luego dicho conjunto de derivadas respecto nuevamente a cada una de 
las variables, y así sucesivamente. Hacer ésto, aparte de ver que significa ser 
positivo o negativo en dichos conjuntos, está claramente fuera del alcance de este 
texto. 
Finalmente, se debe señalar que la caracterización del óptimo basada en las 
primeras y segundas derivadas se refiere a óptimos locales, no necesariamente 
globales. Sin embargo, si la segunda derivada, o el Hessiano, tiene un signo 
único para cualquier valor de la o las variables, entonces el óptimo local es 
también global. Por otra parte, el hecho que una función tenga una segunda 
derivada negativa, por ejemplo, para cualquier valor de la variable, no significa 
que dicha función tenga necesariamente un máximo local y en consecuencia 
global. Tal sería el caso de una función que converge asintóticamente a un valor 
dado. 
Problemas Propuestos 
3.1 Considere la función 
f(X,Y,Z) = -2X2 -XY - Y2 - Y Z - Z2 + 6X+7Y+8Z - 9 
 a) Encuentre un punto crítico. 
 b) ¿Es éste un máximo, mínimo o ninguno de los dos? Use las 
condiciones de segundo orden. 
3.2 Considere cualquier función f(X1, X2). Muestre que para que el Hessiano 
sea negativo definido, es necesario que fii = 
∂2f(x1, x2)
∂xi2
 sea menor que 
cero para i = 1, 2. 
3.3 Considere la función 
 f(X,Y) = - 2X2 - Y2 - a XY 
 donde "a" es un parámetro que puede tomar cualquier valor. 
 Se pide: 
 
 
 
Modelos de Optimización 29 
 
 
 a) Demuestre que el punto (X,Y) = (0, 0) es un punto crítico. 
 b) Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que dicho punto crítico sea 
un máximo. 
 c) Para el valor de "a" encontrado, encuentre el valor de f(0, 0); f(0, 1); 
f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; -1). Trate de imaginar la forma 
de la función. 
 d) Encuentre un valor cualquiera de "a" tal que el punto crítico sea un 
punto de inflexión. 
 e) Para el valor de "a" encontrado en la parte anterior, encuentre el valor 
de f(0, 0); f(0, 1); f(1, 0); f(0, 1); f(-1, 0); f(1, 1); f(-1; 1). 
Nuevamente, trate de imaginar la forma de la función. 
 
 
 
 
 
30 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
CAPITULO 4 
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD 
 
En este capítulo, el objetivo es caracterizar el óptimo cuando se impone la 
condición que las variables sean no negativas. En economía, esta es la situación 
normal. Los precios no pueden ser negativos, las cantidades a producir o 
almacenar no pueden ser negativas, las cantidades de insumos tampoco, etc. Por 
otra parte, como se vio en el capítulo 2, en Programación No Lineal, el problema 
se define con la restricción que todas las variables sean mayores o iguales a cero. 
Al igual que en el capítulo anterior, se verá en primer lugar el caso de funciones 
de una variable para luego ver el caso de funciones de diversas variables. 
Función objetivo de una variable 
El problema en este caso se puede escribir como 
 Maximizar f(x) 
 sujeto a: 
 x ≥ 0 
En relación con este problema, el óptimo puede ser mayor o igual a cero. Si es 
estrictamente mayor que cero, entonces las condiciones derivadas parael caso sin 
restricciones se mantienen. Si el óptimo se encuentra donde x* es igual a cero, 
entonces la derivada de la función evaluada en dicho punto debe ser menor o 
igual a cero (nunca mayor que cero por cuanto ello implicaría que existe un punto 
mejor dentro de los valores positivos de la variable). El gráfico siguiente muestra 
las distintas situaciones posibles. 
 
 
 
Modelos de Optimización 31 
 
 
(a)
x*
(b)
(c)
x* xx
f(x)
f(x)
f(x)
xx*
 
La situación (a) ocurre cuando x* > 0. En este caso el óptimo se encuentra en un 
punto interior del conjunto de oportunidades con lo que f'(x*) debe ser 
necesariamente igual a cero. Las condiciones de segundo orden serían las 
mismas que en el caso sin restricciones visto en el capítulo anterior. 
La situaciones (b) y (c) ocurren cuando el óptimo se encuentra en el borde del 
conjunto de oportunidades. Es decir, cuando x* = 0. En el caso (b), f'(x*) < 0; 
mientras que en (c), f'(x*) = 0. 
Lo anterior se puede resumir en las siguientes condiciones de primer orden: 
(1) Si x* > 0, entonces f'(x*) = 0 
(2) Si x* = 0, entonces f'(x*) ≤ 0 
(3) x* ≥ 0 
Estas condiciones se pueden sustituir por 
 
 
 
32 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
(1') f' (x*) ≤ 0 
(2') x* f' (x*) = 0 
(3') x* ≥ 0 
La razón para ello es que (1), (2) y (3) implican que necesariamente se cumple 
(1'), (2') y (3'); y además (1'), (2'), y (3') implican que necesariamente se cumple 
(1), (2), y (3). Son por lo tanto expresiones igualmente válidas para representar 
las condiciones de primer orden en el caso de una variable con restricción de no 
negatividad. De aquí en adelante se trabajará con las condiciones (1'), (2') y (3'). 
Hasta aquí no se han discutido las condiciones de segundo orden para el caso en 
que x* = 0. 
Si f'(x* = 0) es igual a cero, el punto crítico x* puede ser un máximo o un 
mínimo en el borde tal como se observa en el gráfico siguiente. De aquí que las 
condiciones de segundo orden presentadas para el caso sin restricciones se deban 
mantener. 
 f(x) 
x
f(x) 
x 
 
Por otra parte, si f'(x*=0) es estrictamente menor que cero, entonces 
necesariamente se trata de un máximo local, independiente del valor de la 
segunda derivada, tal como lo muestran los gráficos siguientes 
 
mquezada
mquezada
mquezada
 
 
 
Modelos de Optimización 33 
 
 
f(x)
x
f(x)
x
 
 f''(x*) < 0 f''(x*) > 0 
 
Función objetivo de varias variables 
El problema en este caso se representa como 
 Maximizar f(x1, ....., xn) 
 sujeto a: 
 xi ≥ 0 para todo i = 1, ..., n 
Las condiciones de primer orden son análogas a aquellas presentadas para el caso 
de una variable restringida a ser no negativa. Es así como debe cumplirse que 
1) 
∂f
∂xi
 ≤ 0; i = 1,...., n 
2) 
∂f
∂xi
 xi = 0; i = 1,...., n 
3) xi ≥ 0; i = 1,...., n 
 
 
 
 
34 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Problemas Propuestos 
4.1. Sea Q la cantidad producida de un cierto producto. El precio unitario de 
venta está dado por P = 20 - Q (función demanda) y el costo total de 
producción por 
 C = Q2 + 8Q + 2 
 a) ¿Qué cantidad Q maximiza la utilidad neta y a qué precio? 
 b) ¿Qué cantidad Q maximiza el ingreso total por ventas y a qué precio? 
 
 
 
Modelos de Optimización 35 
 
 
CAPITULO 5 
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y 
DESIGUALDAD 
Este capítulo persigue caracterizar el máximo de un problema cuando existen 
distintos tipos de restricciones, para terminar con el caso general de 
Programación No Lineal. En primer lugar, se verá el caso de restricciones de 
igualdad, luego se verá el caso de restricciones de desigualdad, y finalmente se 
caracterizará el máximo en el caso general de Programación No Lineal. 
Restricciones de igualdad 
El problema en este caso se presenta como 
 Maximizar f(x1, ....., xn) 
 sujeto a: 
 g1(x1, ... , xn) = b1 
 . . 
 . . 
 . . 
 gm(x1, ... , xn) = bm 
Para caracterizar el óptimo se hace uso del Lagrangeano, que en este caso es igual 
a 
 £ = f(x1, ... , xn) + ∑
=
m
1i
λi (bi - gi(x1, ... ,xn)) 
donde λi, (i = 1,.....,m), son variables auxiliares. La ventaja de usar el 
Lagrangeano es que éste transforma un problema con n variables y m 
restricciones de igualdad en un problema con n + m variables, pero sin 
restricciones. 
 
Las condiciones de primer orden, como en el caso sin restricciones, son 
 
 
 
36 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 
∂£
∂xi = 0 para i = 1, ... , n 
 
∂£
∂λj
 = 0 para j = 1, ... , m 
Ejemplo 5.1: 
Suponga el problema 
 Maximizar - x
2
1 - x
2
2 
 sujeto a 
 2 x1 + x2 = 6 
El Lagrangeano en este caso es 
 £ = - x
2
1 - x
2
2 + λ (6 - 2 x1 - x2 ) 
Las condiciones de primer orden para este problema son 
 
∂£
∂x1 = - 2x1 - 2λ = 0 
 
∂£
∂x2 = - 2x2 - λ = 0 
 
∂£
∂λ = 6 - 2 x1 - x2 = 0 
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene 
x
*
1 = 2,4 
x
*
2 = 1,2 
λ* = -2,4 
f(x
*
1 ; x
*
2 ) = f(2,4; 1,2) = -7,2. 
Significado de λ 
 
 
 
Modelos de Optimización 37 
 
 
Para entender el significado de la variable λ, a continuación se desarrolla, por 
conveniencia como se verá más adelante, nuevamente el ejemplo anterior 
alterando sólo el lado derecho de la restricción. 
Ejemplo 5.2: 
Suponga el problema 
 Maximizar - x
2
1 - x
2
2 
 sujeto a 
 2 x1 + x2 = b 
donde b es un parámetro. El Lagrangeano sería simplemente 
 £ = - x
2
1 - x
2
2 + λ (6 - 2 x1 - x2 ) 
Las condiciones de primer orden son 
 
∂£
∂x1 = - 2x1 - 2λ = 0 
 
∂£
∂x2 = - 2x2 - λ = 0 
 
∂£
∂λ = b - 2 x1 - x2 = 0 
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene 
x
*
1 = 5
b2 
x
*
2 = 5
b 
λ* = - 
5
b2− 
f(x
*
1 ; x
*
2 ) = f( 
2b
5 ; 
b
5 ) = - 
b2
5 
 
 
 
38 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Lo que se ha hecho con este ejemplo es obtener el valor de las variables en el 
óptimo y el valor de la función objetivo en el óptimo como función del lado 
derecho de la restricción. Si éste varía, es fácil obtener la nueva solución óptima. 
El punto importante, sin embargo, surge del hecho que en el óptimo, se cumple 
que 
 
∂f*
∂b = 
∂( 
-b2
5 )
∂b = λ
* 
Este resultado es válido cualquiera sea el número de variables en la función 
objetivo y cualquiera sea el número de restricciones1. El resultado general se 
expresa como 
 λ
*
i = 
∂f*
∂bi 
A modo de ejemplo, si f(x1,......, xn) representa el ingreso de una firma y bi la 
disponibilidad de insumo i, entonces λ
*
i representa cuanto cambian los ingresos 
en el óptimo por unidad adicional de recurso i que se utilice. 
Como las restricciones son de igualdad este valor puede ser positivo, negativo, o 
cero. Por ejemplo, una unidad adicional de agua puede ser beneficiosa, 
perjudicial, o no tener ningún efecto sobre la producción si se obliga a utilizarla 
(restricción de igualdad), dependiendo del nivel de agua que se utiliza 
inicialmente. 
Programación No Lineal 
El problema de Programación No Lineal, tal como se definiera en el capítulo 2, es 
 Maximizar f(x1, ... , xn) 
 sujeto a: 
 
1 En rigor, es necesario señalar que para poder encontrar el óptimo usando el método del 
Lagrangeano, es necesario que las restricciones cumplan con ciertas condiciones de regularidad 
que permitan despejar el óptimo de las condiciones de primer orden. Estas condiciones, puede 
decirse, son de interés teórico más que práctico por lo que no se analizan en este texto. El lector 
interesado puede consultar las referencias al final de este texto. 
 
 
 
Modelos de Optimización 39 
 
 
 g1(x1, ... , xn) ≤ b1 
 . . 
 . . 
 . . 
 gm(x1, ... , xn) ≤ bm 
 x1, x2, ..., xn ≥ 0 
 
Para derivar las condiciones de primer orden, se hace uso nuevamente del 
Lagrangeano donde 
 £ = f(x1,...., xn) + ∑
=
m
1i
λi (bi - gi(x1, ... ,xn)) 
La única diferencia entre este Lagrangeanoy el anterior es que el término que 
acompaña a λi, (bi - gi(x1, ... , xn)), debe ahora ser mayor o igual que cero en 
lugar de igual a cero. Ello, debido a que las restricciones son ahora de 
desigualdad. 
Así, el problema es 
Maximizar £ = f(x1, ... , xn) +∑
=
m
1i
λi (bi - gi(x1, ... ,xn)) 
sujeto a 
x1, ... , xn ≥ 0 
En otras palabras, el problema de Programación No Lineal se puede expresar 
como un problema con n + m variables con restricciones de no negatividad para 
algunas de ellas. 
 
A continuación se presentan las condiciones de primer orden para este problema, 
dejando para después de dicha presentación la explicación de las mismas. 
 
 
 
40 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
1) 
∂£
∂xi
 ≤ 0; i = 1, ... , n 
2) 
∂£
∂xi
 xi = 0; i = 1, ... , n 
3) 
∂£
∂λj
 ≥ 0; j = 1, ... , m 
4) 
∂£
∂λj
 λj = 0; j = 1, ... , m 
5) xi, λj ≥ 0; i = 1, ... , n; j = 1, ... , m 
Estas condiciones se conocen como condiciones de Kuhn-Tucker. 
Las condiciones (1) y (2) son análogas a aquellas presentadas anteriormente para 
el caso con restricciones de no negatividad. La condición (3) es simplemente otra 
forma de escribir la restricción que 
gi(x1, ... , xn) ≤ bi 
La condición (4) es análoga a la condición (2) referida a λ*i . Esta dice que si no 
se usa todo el recurso, entonces λ*i = 0, y que si λ
*
i es mayor que cero es porque 
se usa todo el recurso. 
La condición de no negatividad para xi era parte de las restricciones originales. 
Por último, la condición que λi ≥ 0 se deriva del hecho que λi es en el óptimo, al 
igual que antes, igual a 
 λ
*
i = 
∂f*
∂bi 
Si aumenta la disponibilidad de recurso i, el valor de la función objetivo en el 
óptimo debe aumentar, o bien quedar igual. No puede empeorar la situación si 
se aumenta la disponibilidad de un recurso. Este resultado es distinto de aquel 
presentado para el caso con restricciones de igualdad, donde bi no representaba 
disponibilidad sino que uso efectivo. 
λi se conoce como precio sombra del recurso e indica cuánto es lo máximo que 
se está dispuesto a pagar en términos de las unidades en que esté expresada la 
función objetivo, por una unidad adicional de recurso2. 
 
2 Al igual que en el caso de restricciones de igualdad, es necesario que las restricciones cumplan 
 
 
 
Modelos de Optimización 41 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos de caracterización del óptimo en el 
caso general de Programación No Lineal. 
Ejemplo 5.2: 
Considérese el problema 
 Maximizar 3X
2
1 + 2X2 
 sujeto a 
 2 X1 + X2 ≤ 6 
 X1, X2 ≥ 0 
En este caso, el Lagrangeano se puede escribir como 
 £ = 3X
2
1 + 2X2 + λ (6 - 2X1 - X2) 
Las condiciones de Kuhn-Tucker en este caso son 
1) 
∂£
∂X1 = 6X1 - 2 λ ≤ 0 2) 
∂£
∂X1 X1 = 0 
3) 
∂£
∂X2 = 2 - λ ≤ 0 4) 
∂£
∂X2 X2 = 0 
5) 
∂£
∂λ = 6 - 2X1 - X2 ≥ 0 6) 
∂£
∂λ λ = 0 
7) X1, X2, λ ≥ 0 
Con esto, se ha caracterizado el óptimo. Sin embargo, lo dificil es encontrar el 
óptimo a partir de dicha caracterización. Las ecuaciones (2), (4) y (6) definen un 
sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Una solución inmediata es X1 = X2 = 
λ = 0. Sin embargo, esta solución no satisface la condición (3), con lo que debe 
buscarse otra solución al sistema de ecuaciones. 
 
con ciertas condiciones de regularidad, que es lo mismo que decir que estén bien comportadas, 
para que el óptimo se pueda caracterizar por las condiciones de Kuhn Tucker sañaladas. El lector 
interesado puede consultar las referencias al final de este texto. 
 
 
 
 
42 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Si se supiera cuáles variables son iguales a cero y cuáles son estrictamente 
mayores que cero en el óptimo, entonces el sistema se podría resolver más 
fácilmente, ya que o la variable sería igual a cero o bien el término entre 
paréntesis sería igual a cero. De aquí se desprende la necesidad de evaluar los 
siguientes 8 casos: 
 Caso X1 X2 λ 
 1 0 0 0 
 2 + 0 0 
 3 0 + 0 
 4 0 0 + 
 5 + + 0 
 6 + 0 + 
 7 0 + + 
 8 + + + 
Por la condición (3), λ debe ser mayor o igual a 2 con lo que se descartan los 
casos 1, 2, 3, y 5 de la tabla anterior. A continuación se analizarán los casos 
restantes. 
Caso 4: ( X1 = X2 = 0; λ > 0) 
En este caso se debe cumplir que 
(1') -2 λ ≤ 0 
(2') (-2 λ) • 0 = 0 
(3') 2 - λ ≤ 0 
(4') (2 - λ) = 0 
(5') 6 ≥ 0 
(6') 6 λ = 0 
(7') X1, X2, λ ≥ 0 
La condición (6') implica que λ = 0 lo cual contradice la condición (3'). 
Caso 6 (X1 > 0; X2 = 0; λ > 0) 
 
 
En este caso se debe cumplir que 
 
 
 
Modelos de Optimización 43 
 
 
 6 X1 - 2λ = 0 
 (2 - λ) ≤ 0 
 6 - 2 X1 = 0 
De aquí se desprende que 
 X1 = 3; λ = 9; X2 = 0 
Esta solución satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker. 
Caso 7: (X1 = 0; X2 > 0; λ > 0) 
En este caso se debe cumplir que 
 2 - λ = 0 
 6 - X2 = 0 
De aquí se desprende que λ = 2; X2 = 6; X1 = 0. Esta solución cumple además 
con todas las otras condiciones de Kuhn-Tucker. 
Caso 8: (X1 > 0 ; X2 > 0 ; λ > 0) 
En este caso se debe cumplir que 
 6 X1 - 2λ = 0 
 2 - λ = 0 
 6 - 2 X1 - X2 = 0 
De aquí se desprende que λ = 2; X1 = 
2
3 ; X2 = 
14
3 . Esta solución satisface 
todas las condiciones de Kuhn-Tucker. 
El problema es ahora determinar cuál de los tres puntos que satisfacen las 
condiciones de Kuhn-Tucker es el óptimo del problema. Para determinarlo, basta 
reemplazar en la función objetivo: 
 
 f(3, 0) = 27 
 
 
 
44 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 f(0, 6) = 12 
 f( 
2
3 , 
14
3 ) = 10 
2
3 
En consecuencia, el óptimo es 
x
*
1 = 3; x
*
2 = 0; λ* = 9 
f(x
*
1 ; x
*
2 ) = 27 
Para terminar, es importante destacar que el número de casos por analizar es igual 
a 2n+m, donde n es igual al número de variables y m es el número de restricciones 
(cada restricción implica considerar una variable λi). Asimismo, se debe señalar 
que las derivadas pueden ser expresiones no lineales en las variables, con lo que 
la resolución de los sistemas de ecuaciones se dificulta aún más. 
Ejemplo 5.3: 
Supóngase que las líneas aéreas tienen una dimensión máxima para las maletas, 
expresada en términos de la suma del largo, ancho y alto. Suponga que un 
fabricante de maletas ha decidido producir la Super Maleta, que maximiza el 
volumen cumpliendo la restricción de las líneas que de la suma anterior no debe 
exceder 120 cm. 
En términos matemáticos, el problema se puede plantear como 
 Maximizar xyz 
 sujeto a: 
 x + y + z ≤ 120 
 x, y, z ≥ 0 
donde x, y, z representan el largo, ancho y alto respectivamente. 
El Lagrangeano de este problema es 
 
 £ = x y z + λ (120 - x - y - z) 
 
 
 
Modelos de Optimización 45 
 
 
Las condiciones de Kuhn-Tucker son: 
1) 
∂£
∂x = y z - λ ≤ 0 
2) 
∂£
∂x • x = (y z - λ) x = 0 
3) 
∂£
∂y = x z - λ ≤ 0 
4) 
∂£
∂y • y = (x z - λ) y = 0 
5) 
∂£
∂x = x y - λ ≤ 0 
6) 
∂£
∂z • z = (x y - λ) z = 0 
7) 
∂£
∂λ = 120 - x - y - z ≥ 0 
8) 
∂£
∂λ • λ = (120 - x - y - z) λ = 0 
9) x, y, z, λ ≥ 0 
En este problema, en teoría se debe evaluar 24 = 16 casos, ya que n = 3 y m = 1. 
Sin embargo, es claro que en el óptimo la maleta no puede tener ninguna 
dimensión igual a cero. Por otra parte, dado que en el óptimo se debe cumplir 
que λ
*
i = 
∂f*
∂bi y que obviamente si se permitiera una mayor suma de los lados, 
se podría aumentar el volumen, λ debe ser estrictamente mayor que cero en el 
óptimo. De lo anterior se desprende que se debe evaluar sólo un caso donde 
todas las variables son estrictamente positivas. Así, las condiciones de Kuhn-
Tucker se pueden expresar como 
 y z - λ = 0 
 x z - λ = 0 
 x y - λ = 0 
 120 − x - y - z = 0 
De aquí se desprendede que x* = y* = z* = 40; λ∗ = 1600. 
 
Problemas Propuestos 
 
 
 
46 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
5.1. El problema es determinar las dimensiones de un tarro de conserva 
cilíndrico de base circular y de volumen dado, tal que se emplee el 
mínimo de hojalata. 
5.2.3 Se desea determinar las dimensiones para un estanque cilíndrico 
refrigerado de capacidad 1.000 m3, de modo que su costo sea mínimo. 
Los componentes del costo son 
 Metales de los extremos $ 1,00 por m2 
 Metal de la pared cilíndrica $ 0,50 por m2 
 Costo de la refrigeración $ 5,00 por m2 de superficie 
 (sobre la vida útil de estanque) 
 Por razones de diseño, el diámetro no puede excederse de 10 mts. 
 a) Formule el problema de PM correspondiente empleando el largo L 
y el diámetro D como variables de decisión. 
 b) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker y derive una solución a 
partir de éstas. 
5.3. Suponga que Ud, es el único abastecedor en Concepción de peras 
deshidratadas. Ud. tiene dos plantas deshidratadoras, en Temuco y 
Rancagua, cuyos costos en materia prima, procesamiento y transporte 
están dados a continuación. 
 
Planta Costo Materia Costo Transporte 
 Prima Procesamiento Concepción 
 (pesos/kg.) (pesos/kg.) (pesos/kg.) 
Temuco 30 20 + X 30 
Rancagua 20 2X 10 + X 
 
Nota: Los costos está expresados por kg. de producto final equivalente. 
Ud. debe ofrecer por lo menos 100 unidades a un precio unitario de 200 
pesos por kg. Ud. puede vender cuanto quiera por encima de dichas 100 
unidades. Se pide: 
 
3 Bruno Philippi: "Introducción a la Optimización de Sistemas". Ediciones Universidad 
Católica de Chile, 1982. 
 
 
 
Modelos de Optimización 47 
 
 
 a) Plantee el problema de programación no lineal que le permita 
decidir cuánto debe producir en cada planta. 
 b) Resuelva las condiciones de Kuhn-Tucker justificando claramente 
su procedimiento. 
5.4. En relación con el ejemplo 5.3, suponga que la Super Maleta no se vende 
por problemas de precio. Los clientes no están dispuestos a pagar más de 
3.500 pesos por la maleta. Si los únicos costos pertinentes son: 
 i) 1 peso por cm2 de cuero. 
 ii) 4 pesos por cm2 de fondo (hay que poner un refuerzo para que no se 
desfonde) 
 iii) 2.000 pesos por maleta por concepto de ganancias, pago al trabajo, 
etc. 
 Se pide: 
 Plantee y resuelva el nuevo problema de optimización. 
5.5. Con el fin de permitir el intercambio entre dos poblados aislados se ha 
decidido construir la infraestructura de transporte necesaria para 
comunicarlos. 
 En un primer análisis del problema, se ha definido la situación como 
sigue: 
 El poblado A está ubicado en una isla a 200 km. del continente y a 500 
km. del poblado B que se encuentra tierra adentro, a 100 km. de la costa. 
 El proyecto contempla la construcción de 2 puertos, en la isla y en el 
litoral, además de una carretera entre el poblado B y el puerto del litoral. 
 Suponga que el costo variable por tonelada-kilometro en el transporte 
terrestre es de 30 pesos, mientras que dicho costo es de 12 pesos en el 
caso del transporte marítimo. Se estima que habría 5000 viajes de ida y 
vuelta al año con un promedio de carga de 1,5 toneladas, y que el costo 
del camino terrestre es de 500.000 pesos por km. 
 Adicionalmente, suponga una tasa de interés de 10% anual y que el 
camino durará 10 años. 
 
 
 
48 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 El problema es plantear el problema de optimización correspondiente. 
 Gráficamente la situación se puede representar como sigue 
 
200 km
400 km
100 km
L 
I T
 O
 R
 A
 L
B
A
 
 
 El problema es dónde ubicar el puerto del litoral. En términos del gráfico 
siguiente se trata de determinar X, de modo tal de minimizar el costo de 
transporte entre A y B. 
 
 
 
Modelos de Optimización 49 
 
 
 
200 km
100 km
L 
I T
 O
 R
 A
 L
B
A
X
 
 
 Se pide 
 Plantee el problema de optimización correspondiente y resuelva. 
5.6 Ud. tiene un fundo de 100 hectáreas y desea saber cuántas hectáreas poner 
con trigo y maíz. Ud. sabe que la función de producción de trigo es: 
 Q = 20 H L0,2 
 donde: 
 Q = producción ( en qq) 
 L = Nº de trabajadores ( en jornadas hombre) 
 H = Nº de Hectáreas 
 En el caso del maíz, la función de producción es: 
 Q = 10 H0,8L0,4 
 
 
 
 
 
50 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 El precio por quintal de trigo es de 3.000 y por quintal de maíz es 3.200, el 
precio por jornada hombre es de 1.000 pesos en horario normal y 1.500 en 
horario extra. Ud. puede contratar un máximo de 20 jornadas a horario 
normal y un máximo de 1.000 en horario extra. Finalmente, suponga que 
por cada hectárea de maíz que siembre Ud. quiere sembrar un mínimo de 
3 hectáreas de trigo. 
 Se pide: 
 a) Plantee el problema de optimización correspondiente, definiendo 
claramente la función objetivo y restricciones. 
 b) Plantee sin resolver las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. 
5.7 Considere el problema: 
 Maximizar (X1 + X2) 
 sujeto a: 
 2X1 + X2 ≤ 2 
 X1 + X2 ≤ 3 
 X1, X2 ≥ 0 
 a) Dibuje el set de oportunidades. 
 b) ¿Cuál es el óptimo? ( justifique mediante figuras) 
5.8 Considere el problema 
 Maximizar X1+X2 
 sujeto a: 
 X1 - 2X2 = 2 
 X1 ≤ 3 
 X2 ≤ 4 
 a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema. 
 b) Resuelva el problema. 
 
 
 
Modelos de Optimización 51 
 
 
5.9 Considere el problema: 
 Minimizar X12 - X1X2 + 0,5X22 - X1 - X2 
 sujeto a: 
 X1 +X2 ≤ 3 
 3X1 + 2X2 ≥ 6 
 X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 
a) Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker para este problema. 
b) Encuentre un punto óptimo en el caso en que no se consideran las 
restricciones del problema (ninguna de ellas). 
c) Encuentre una solución óptima para el problema original (con 
restricciones). Indicación: verifique si el punto encontrado en a) 
satisface las restricciones del problema, estudie la convexidad o 
concavidad de la función f(X1, X2), y utilice esta información al 
buscar una solución para las condiciones de Kuhn-Tucker. 
 
 
 
52 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
CAPITULO 6 
SUFICIENCIA DE CONDICIONES DE KUHN-TUCKER 
En el capítulo anterior se vieron las condiciones de Kuhn-Tucker con el objeto de 
caracterizar el óptimo. Para encontrarlo a partir de dichas condiciones fue 
necesario probar todas las posibilidades. Como cada variable podría ser mayor o 
igual a cero, se probaron 2n+m casos, donde n era el número de variables y m el 
número de restricciones ( sin contar las de no negatividad). 
Como demostró el ejemplo 5.2., el hecho que un punto satisfaga las condiciones 
de Kuhn-Tucker, no implica que dicho punto sea un máximo ni siquiera local. En 
otras palabras, las condiciones de Kuhn-Tucker son condiciones necesarias pero 
no suficientes. 
El propósito ahora es ver condiciones suficientes para garantizar que si un punto 
satisface todas las condiciones de Kuhn-Tucker, entonces es también un máximo 
global (no sólo local). Para hacerlo, es necesario hablar de funciones cóncavas y 
convexas y de conjuntos convexos, ya que el principal resultado es que si la 
función objetivo es cóncava y las restriciones representan un conjunto convexo, 
entonces todo punto que satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo 
global (i.e. no es necesario seguir buscando puntos críticos para maximizar). 
Funciones cóncavas 
Una función es cóncava si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se cumple 
que 
 f(αX1+ (1-α) X2 ) ≥ αf(X1) + (1-α) f(X2) 
El término 
αX1+ (1-α) X2 
es solamente un promedio ponderado de X1 y X2. 
Por otra parte 
f(αX1 + (1-α)X2) 
 
 
 
Modelos de Optimización 53 
 
 
es la función valorada en dicho punto. Suponiendo que la función es de una 
variable, lo anterior se puede graficar como 
 
X XXX1 2 21
f(x)
xα +(1−α)
XX 21α +(1−α)f( )
 
En relación con el lado derecho 
αf(X1) + (1-α)f(X2) 
es un promedio ponderado de f(X1)y f(X2). Graficamente 
 
 X +(1- )X α α1 2
 X +(1- )X α α1 2f( )
f(x)
x
f(X )1
f(X )2
X X1 2
f(X )+(1- )f(X )α α1 2
 
Lo que se requiere para que una función sea cóncava es por lo tanto que la 
función no pase nunca por debajo de la recta que une cualesquiera dos puntos. 
Los siguientes gráficos muestran casos de funciones cóncavas. 
 
 
 
54 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 
x
f(x)
x
f(x)
f(x)
x
f(x)
x
 
Si la función es diferenciable, la definición de concavidad se puede hacer en 
términos de la primera derivada de la función. En el caso de funciones de una 
variable, la función f(x) es cóncava si para cualquier par de puntos X1 y X2 se 
cumple que 
f(X2) ≤ f(X1) + f'(X1) (X2 - X1) 
Gráficamente, 
 
f(x)
f(X )+f'(X )(X -X )
f(X )
f(X )
1
1
1
11
2
2
2
X X x
 
 
 
 
 
Modelos de Optimización 55 
 
 
En otras palabras, para que una función diferenciable sea cóncava, se requiere 
que la recta tangente en cualquiera de sus puntos no esté nunca por debajo de la 
función. 
Si la función diferenciable es de varias variables, para que ésta sea cóncava se 
requiere que para cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que 
f(X2) ≤ f(X1) + ∑
i=1
n
 fi(X1) (X
2
i - X
1
i ) 
donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el 
punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de 
sus puntos no puede estar nunca por debajo de la función. 
Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el 
Hessiano sea negativo semidefinido para que ésta sea cóncava o negativo 
definido para que sea estrictamente cóncava. 
Ejemplo 6.1: 
Supóngase la función 
f(x1,x2) = - 3 x
2
1 - 2 x
2
2 + x1 x2 
El Hessiano de esta función es 
H =  
 -6 1 
 1 -4 
 
el cual es negativo definido. Esto implica que la función es estrictamente 
cóncava. 
En relación con este ejemplo, a continuación se comprobará que también se 
cumple la condición de concavidad basada en la primera derivada. Supóngase, a 
modo de ejemplo, los puntos X1 = (2,3) y X2 = (5,1). En este caso, 
f(X1) = -3.22 - 2.32 + 2.3 = -24 
f(X2) = -3.52 - 2.12 + 5.1 = -72 
 
 
 
56 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Las primeras derivadas de la función respecto de x1 y x2 son 
f1(x1,x2) = -6x1 + x2 
f2(x1,x2) = -4x2 + x1 
las cuales evaluadas en el punto X1 son iguales a 
f1(X1) = -6.2 + 3 = -9 
f2(X1) = -4.3 + 2 = -10 
Por último, 
X
2
1 - X
1
1 = 5 - 2 = 3 
X22 - X
1
2 = 1 - 3 = -2 
Reemplazando en la condición de concavidad basada en la primera derivada, se 
debe cumplir que 
f(X2) ≤ f(X1) + f1(X1) (X
2
1 - X
1
1 ) + f2(X1) (X
2
2 - X
1
2 ) 
 -72 ≤ -24 + (-9) ( 5 - 2 ) + ( -10) ( 1 - 3 ) 
 -72 ≤ -31 
Como esta desigualdad se cumple, se ha comprobado que la función 
f(x1,x2) = - 3 x
2
1 - 2 x
2
2 + x1 x2 
es estrictamente cóncava. 
Funciones convexas 
Una función es convexa si para cada par de puntos X1 y X2 y 0 ≤ α ≤ 1 se 
cumple que 
f(αX1+ (1-α ) X2) ≤ α f(X1) + (1-α) f(X2) 
Si la función es diferenciable, para que ésta sea convexa se requiere que para 
cualquier par de puntos X1 y X2, se cumpla que 
 
 
 
Modelos de Optimización 57 
 
 
f(X2) ≥ f(X1) + ∑
i=1
n
 fi(X1) (X
2
i - X
1
i ) 
donde fj(X1) es la derivada parcial de la función respecto a xj evaluada en el 
punto X1. Esto quiere decir que el plano tangente a la función en cualquiera de 
sus puntos no puede estar nunca por encima de la función. 
Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el 
Hessiano sea positivo semidefinido para que ésta sea convexa o positivo definido 
para que sea estrictamente convexa. 
Los gráficos siguientes muestran distintas funciones convexas. 
f(x)
x
f(x)
x
x
f(x)
x
f(x)
 
Claramente, la línea recta es cóncava y convexa a la vez. Por otra parte, la 
función normal usada en estadística, por ejemplo, no es ni cóncava ni convexa. 
 
 
 
58 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
Conjuntos convexos: 
Definición: El conjunto C perteneciente a los números reales se dice convexo si 
para cada par de puntos x1, x2 que pertenezcan al conjunto y cada número real 
α con 0 < α < 1, el punto 
 X= αX1 + (1-α) X2 
también pertenece al conjunto. 
Geométricamente el conjunto C es convexo si para cada par arbitrario de puntos 
del set, la línea que los une también pertenece al set. Gráficamente, a 
continuación se ilustra un conjunto convexo y uno no convexo 
1X
X2
X1
X2
CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO 
 
Ejemplo 6.1: 
Considérese el hiperplano 
X = {x / ax = b} 
donde ax = a1x1 + a2x2 + ... + anxn. A continuación se demostrará que este es un 
conjunto convexo. 
Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se 
debe cumplir que 
ax1 = b 
 
 
 
Modelos de Optimización 59 
 
 
ax2 = b 
Sea el punto 
x = αx1 + (1-α) x2 
Esto implica que 
ax = a(αx1+(1-α)x2) = αax1+ (1-α)ax2 = ab+(1-a)b = b. 
con lo cual el punto x = αx1 + (1-α) x2 también satisface la condición que 
ax = b 
De aquí se desprende que 
X = {x/ax = b} 
es efectivamente un conjunto convexo. 
Ejemplo 6.2: 
Considérese el semiespacio 
X = {x / ax ≤ b} 
Este conjunto también es convexo, como se demuestra a continuación. 
Sea x1, x2 un par de puntos que pertenezcan al conjunto y 0 < α < 1. Luego, se 
debe cumplir que 
ax1 ≤ b 
ax2 ≤ b 
Sea el punto 
x = αx1 + (1-α) x2 
Esto implica que 
 
 
 
60 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
aX = a (αx1 + (1-α) x2) = αaX1 + (1-α) aX2 
Como el promedio ponderado de dos números menores o iguales a b es también 
menor o igual a b, quiere decir que el conjunto 
 X = {x/ ax ≤ b} 
es también un conjunto convexo. 
Ejemplo 6.3: 
Considérese el conjunto 
X = {x / g(x) ≤ b} 
donde se impone el requisito que g(x) sea una función convexa. Este conjunto 
también es convexo como se demostrará a continuación. Si g(x) es una función 
convexa entonces para cualquier par de puntos X1, X2 y 0 ≤ α ≤ 1, se debe 
cumplir que 
g(αX1+(1-α)X2) ≤ α g( X1) + (1-α) g( X2) (1) 
Por otra parte, para que X sea un conjunto convexo, se requiere que para cada par 
de puntos X1 y X2 que satisfagan 
 g(X1) ≤ b 
 g(X2) ≤ b 
se cumpla que 
 g(x) = g(α X1 + (1 - α) X2) ≤ b 
Ello efectivamente se cumple ya que el lado derecho de (1) es menor o igual a b 
con lo que el lado izquierdo también debe serlo. 
La importancia de este último resultado es que si las gi(x) en las restricciones de 
un problema de Programación No Lineal son todas funciones convexas, el 
conjunto de oportunidades X sería la interseción de varios conjuntos convexos y 
por lo mismo sería convexo también. 
 
 
 
62 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
uno de los puntos (en este caso, como se trata de curvas de nivel, el promedio es 
simplemente el valor de la función en dicha curva (i.e.A)). 
Ahora bien, como el set X es convexo se tiene que 
x
x2
f(x1,x2) = A
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = C
A > B > C
x1
x2
f(x1,x2) = A
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = C
A > B > C
1
(x1*,x2*)
(x1*,x2*)
 
En ambos casos, todo óptimo local será global. 
Un caso especial de lo anterior se muestra en el gráfico siguiente. 
 
 
 
Modelos de Optimización 63 
 
 
f(x1,x2) = A
f(x1,x2) = B
f(x1,x2) = C x1
x2
A > B > C
 
Aquí, X es un conjunto convexo, y la función objetivo es cóncava (la función 
lineal es la única función cóncava y convexa a la vez). En este caso todo óptimo 
local es global aunque no estricto. Sin embargo, para maximizar, basta encontrar 
un máximo global para quedar satisfecho. 
Ahora, la pregunta es ¿por qué se necesita que el conjunto X sea convexo? El 
gráfico siguiente ilustra la respuesta. 
A
B
x1
x2
 
 
 
 
 
 
64 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
El punto A es máximo local al igual que B. A es el máximo global. Lo que pasa 
es que X no es un conjunto convexo. En este caso, habría que probar los 2n+m 
casos y comparar todos aquellos puntos quesatisfagan las condiciones de Kuhn-
Tucker. 
Por último es necesario destacar que el resultado es que si la función objetivo es 
una función cóncava y X es un conjunto convexo, todo punto que satisfaga las 
condiciones de Kuhn-Tucker es un máximo global. Sin embargo, podría darse el 
caso, desafortunado por cierto, que ningún punto satisfaga las condiciones de 
Kuhn-Tucker. En este caso no se puede encontrar el máximo. A modo de 
ejemplo, suponga el siguiente problema 
 Maximizar x 
 sujeto a: 
 x ≥ 0 
En este caso, ningún punto satisface las condiciones de Kuhn-Tucker. Este 
problema no tiene punto crítico; el máximo se logra cuando x es igual a infinito, 
que no es un número real. 
 
 
 
Modelos de Optimización 65 
 
 
CAPITULO 7 
PROBLEMAS ADICIONALES DE PROGRAMACION NO LINEAL 
Este capítulo presenta algunos ejemplos adicionales de planteamiento de 
problemas de Programación No Lineal en el convencimiento de que sólo la 
práctica permite avanzar en este campo. Por esta razón, se han dejado varios 
problemas como Problemas Propuestos. 
Ejemplo 7.1:4 
Suponga que una empresa distribuidora cuenta con 250 unidades de un cierto 
producto en Concepción, 100 unidades en Los Angeles y 325 unidades en 
Valparaíso. Por otra parte debe abastecer con 140 unidades a Santiago, 220 
unidades a Rancagua y 185 unidades a Teno. 
Los costos de flete entre las distintas ciudades, en miles de pesos por unidad se 
presentan a continuación: 
 Hacia: 
Desde: Santiago Rancagua Teno 
Concepción 14 6 5 
Los Angeles 30 12 11 
Valparaíso 5 7 8 
Por convenios sindicales en Concepción, la empresa ha decidido que lo que se 
envía desde dicha ciudad a Santiago debe ser al menos el doble que lo que se 
envía desde dicha ciudad a Rancagua. Asimismo, en Santiago, se exige que como 
máximo el 30% de lo que llegue provenga de Concepción. 
Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se 
procederá en etapas: 
 
Definición de Variables: 
 
4 La forma de plantear y resolver problemas de optimización no siempre es única. En este 
capítulo sólo se presenta una forma adecuada de hacerlo. Por otra parte, en este capítulo nos 
olvidaremos de los requisitos de que en un problema de Programación No Lineal se debe 
maximizar y que las restricciones deben ser de menor o igual, salvo cuando sea necesario usar las 
condiciones de Kuhn-Tucker para resolver. 
 
 
 
66 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 Hacia: 
Desde: Santiago Rancagua Teno 
Concepción XCS XCR XCT 
Los Angeles XLS XLR XLT 
Valparaíso XVS XVR XVT 
Función Objetivo: 
El objetivo es minimizar los costos totales de transporte, con lo cual la función 
objetivo es 
Minimizar 
 14XCS + 6XCR + 5XCT 
+ 30XLS + 12XLR + 7XLT 
+ 5XVS + 7XVR + 8XVT 
Restricciones de Oferta: 
XCS + XCR + XCT ≤ 250 
XLS + XLR + XLT ≤ 100 
XVS + XVR + XVT ≤ 325 
Restricciones de Demanda: 
XCS + XLS + XVS ≥ 140 
XCR + XLR + XVR ≥ 220 
XCT + XLT + XVT ≥ 185 
Otras Restricciones: 
XCS ≥ 2XCR 
XCS ≤ 0,3 (XCS + XLS + XVS) 
Todas las variables mayores o iguales a cero 
 
 
Ejemplo 7.2: 
 
 
 
Modelos de Optimización 67 
 
 
Hoy es 1 de abril de 1994. Ud. está solo en una isla desierta bien grande donde puede 
sembrar trigo. Asimismo, tiene 80 quintales de trigo que se pueden usar como semilla 
o consumir. Su consumo anual normal de trigo es de 20 quintales. 
Gracias a un diario de vida dejado por un náufrago anterior, Ud. aprende que en esta 
isla, el trigo se siembra a principios de abril y se cosecha a fines de marzo del año 
siguiente. Por cada quintal de trigo que se siembra, se requieren 5 días de trabajo 
durante el año, y se cosechan tres quintales. 
Por otra parte, Ud. sabe que en dos años más (1 de abril de 1996) pasará un barco que 
le cobrará 220 quintales de trigo por el pasaje a tierra firme, lugar donde Ud. ha 
decidido volver. En dicho barco Ud. no puede transportar trigo para su consumo en 
tierra firme, ya que la capacidad del barco es limitada. 
Ud. puede trabajar normalmente 180 días cada año como máximo. Para aumentar la 
disponibilidad de trabajo, es decir para disponer de más de 180 días, Ud. deberá 
consumir 0,2 quintales de trigo por cada día de exceso (para recuperar la energía 
adicional requerida). 
El trigo disponible a comienzos de cada año puede ser usado para: a) sembrar a 
comienzos del año; b) consumir durante el año; c) ser almacenado hasta el final del 
año. 
Por último, suponga que su único objetivo es minimizar el número de días trabajados 
en exceso de los 180 días de trabajo normal anuales. 
Para plantear el Problema de Programación No Lineal correspondiente, se procederá 
nuevamente en etapas. 
Definición de Variables: 
TCi = Trigo consumido en año i, en quintales. 
TSi = Trigo sembrado en año i, en quintales. 
TAi = Trigo que se almacena en año i, en quintales. 
THi = Trigo cosechado a fines del año i, en quintales. 
TFi = Trigo disponible a fines del año i, en quintales. 
Ei = Días trabajados en exceso de los 180 días 
 normales en el año i. 
 
Función Objetivo: 
 
 
 
68 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
El objetivo es minimizar los días trabajados en exceso de los 180 días normales. 
Matemáticamente, esto significa que la función objetivo es 
Minimizar E1 + E2 
Restricciones: 
TC1 = 20 + 0,2 E1 Consumo año 1. 
TC2 = 20 + 0,2 E2 Consumo año 2. 
TC1+TS1+TA1 = 80 Disponibilidad inicial. 
TA1+TH1 = TF1 Disponibilidad a fines año 1. 
TH1 = 3 TS1 Cosecha año 1. 
TC2+TS2+TA2 = TF1 Uso de trigo en año 2. 
TA2+TH2 = TF2 Disponibilidad a fines año 2. 
TH2 = 3 TS2 Cosecha año 2. 
TF2 ≥ 150 Pasaje barco. 
5 TS1 ≤ 180 + E1 Requerimiento mano de obra en 
año 1. 
5 TS2 ≤ 180 + E2 Requerimiento mano de obra en 
año 2. 
Todas las variables mayores o 
iguales a cero. 
 
 
Ejemplo 7.3: 
Una empresa productora de Tarros en Conserva tiene una función de producción 
del tipo Cobb-Douglas 
 X= 30 K0,5 L0,4 
donde 
 
 
 
Modelos de Optimización 69 
 
 
X = número de tarros producidos. 
K = número de unidades de capital en horas máquina. 
L = número de trabajadores (en hrs.hombre) 
El productor enfrenta una curva de demanda por su producto igual a: 
 Px = 1.000 - 2X 
y una curva de oferta de trabajo igual 
 PL = 10 + 0,5 L 
Por último, el productor puede disponer de a lo más 100 unidades de capital a 5 
pesos por unidad. 
En este caso, la función objetivo es 
Maximizar PX X - PL L - PK K = 
= (1.000-2(30 K0,5 L0,4)) (30 K0,5 L0,4) - (10+ 0,5 L)L - 5K 
sujeto a: 
K ≤ 100 
K,L ≥ 0 
 
Problemas Propuestos 
7.1. Hoy es 1º de septiembre y Juan Pérez no sabe cuántas hectáreas de maíz 
sembrar en su fundo de 20 hectáreas. El maíz es el único cultivo posible 
aunque podría dejar parte de la tierra sin cultivar. Asímismo, el maíz requiere 
de 5 jornadas hombre por hectáreas al año y Ud. cuenta con sólo 70 jornadas 
hombre al año. 
 El problema se complica por el siguiente aspecto: 
 Hoy Juan Pérez tiene 20 bolsas de una semilla especial de maíz que puede usar 
ahora o el próximo año. No va a poder conseguir más el próximo año. Esta semilla 
tiene un rendimiento de 95 qq/ha. y se requiere de una bolsa por ha. Si decide 
guardar parte de esta semilla, tiene una pérdida del 10% de las bolsas que guarde. 
 
 
 
70 Trabajo Docente Nº 57 
 
 
 Por otra parte, Juan Pérez puede comprar una semilla corriente tanto este año como 
el próximo a 8.000 pesos por bolsa a un rendimiento de 60 qq/ha. El maíz que 
produzca este año no puede ser utilizado como semilla el próximo y debe venderse 
este año (no se puede almacenar). Suponga además que el precio del maíz este año 
es de $ 2.000 y el próximo año será de $ 3.000 por quintal. 
 Finalmente, suponga que en todo lo demás los costos son iguales para ambos tipos 
de semilla (15.000 pesos por hectárea de maíz, ambos años). 
 Se pide: 
 Plantee, sin resolver,