Prueba 2 2018 - 1

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EAE 211 B | 2018 Sem 1
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Jacinta Benavente
Tania Domic | Josefa Lavandero
22 de mayo de 2018
S e g u n d a P r u e b a
Equil ibr io general
(Total: 100 puntos)
Pregunta 1.– Optimización en producción
(a) Hay una colección ilimitada de fábricas, cada una de ellas con una función de producción
qj =
10
16
(12`2j − `4j ),
donde `j y qj son, respectivamente, la cantidad del insumo (trabajo) ocupado y la cantidad de producto
generado en la fábrica j.
i. [10 puntos] Encuentre la función de producción agregada, vale decir, la función Q = F (L) que indica la
máxima cantidad total de producto Q ≡
∑
j qj que se puede obtener del conjunto de fábricas, cuando
en total se dispone de L unidades de trabajo (L =
∑
j `j). Explique.
F (L) = máx
n
n
10
16
(
12
(
L
n
)2
−
(
L
n
)4)
=

10
16
(
12
(
L
1
)2 − (L1 )4) L ∈ [0, 4√ 37 ]
2 1016
(
12
(
L
2
)2 − (L2 )4) L ∈ [4√ 37 , 12√ 319 ]
3 1016
(
12
(
L
3
)2 − (L3 )4) L ∈ [12√ 319 , 24√ 337 ]
...
n 1016
(
12
(
L
n
)2 − (Ln )4) L ∈ [√ 12((n−1)4+2(n−1)3+(n−1)2)3(n−1)2+3(n−1)+1 ,√ 12(n4+2n3+n2)3n2+3n+1 ]
0 2 4 6 8 10
0
20
40
60
80
100
n = 1
n = 2
n = 3
L
Q
1
En efecto, el problema de maximizar
∑
j qj sujeto a
∑
j `j ≤ L y no negatividad de las variables tiene
como lagrangeano
L =
∑
j
10
16
(12`2j − `4j ) + λ(L−
∑
j
`j),
y condiciones de primer orden
∂L
∂`j
=
10
16
(24`j − 4`3j )− λ ≤ 0, con holgura complementaria `j
∂L
`j
= 0.
Se sigue que existen dos tipos de fábrica: las “abiertas” (`j > 0) y las cerradas (`j = 0). Para todas
las abiertas, λ = 1016 (24`j − 4`
3
j), de lo que se deduce que `j =
L
n , donde n es el número de fábricas
abiertas. Falta aún determinar n; pero n es un número natural, por lo que no podemos usar el cálculo
infinitesimal. Sea G(L, n) ≡ n 1016
(
12
(
L
n
)2 − (Ln )4) la producción que se consigue con L unidades del
insumo repartiendo la carga en partes iguales entre n fábricas. Es óptimo usar una fábrica cuando
G(L, 1) ≥ G(L, n), para cualquier n; resolviendo, 0 ≤ L ≤ 4
√
3
7 . Es óptimo usar 2 fábricas cuando
G(L, 2) ≥ G(L, n), para cualquier n; resolviendo, 4
√
3
7 < L ≤ 12
√
3
19 . Y así sucesivamente. En el
gráfico, esto equivale a encontrar cuándo cada función G(L, n) está por encima de las otras.
Asignación de puntaje
Plantear problema de optimización 3
CPO explicadas 2
Encontrar familia G(L, n) 2
Apreciación general 3
ii. [5 puntos] Verifique que la función F (L) está siempre por debajo de la función 10L, y que es igual a
ella exactamente cuando L es un múltiplo de 2. Explique este hecho por medio de un gráfico de las
productividades media y marginal de una fábrica.
Verificamos que para cualquier n, G(L, n) ≤ 10L:
n
10
16
(
12
(
L
n
)2
−
(
L
n
)4)
≤ 10L
Sea x ≡ L/n. Entonces,
12x2 − x4 ≤ 16x ⇐⇒ x3 − 12x+ 16 ≥ 0,
lo que se verifica porque la función x3 − 12x+ 16 alcanza su mínimo (0) en x = 2.
El gráfico de las productividades media y marginal es:
0 1 2 3 4
0
5
10
15
qj
`j
∂qj
∂`j
`j
q j
2
Vemos que la productividad media del trabajo en cada fábrica es máxima cuando hay dos unidades
de trabajo, alcanzando un valor de 10. (Para encontrar la máxima productividad media, podemos
maximizar directamente la función o buscar el punto en que la productividad media y la marginal son
iguales).
Como la máxima productividad media es de 10 unidades de producto por unidad de trabajo, la función
de producción nunca puede estar por sobre la función de producción en que el trabajo siempre tiene
una productividad media de 10, Q = 10L. Ahora bien, cuando L es un múltiplo de 2, la repartición
igual de la carga implica que todas las fábricas abiertas usan 2 unidades de trabajo, por lo que se
consiguen 10 unidades de producto por unidad de trabajo L. Esto se observa en el gráfico de la parte
I, en que las funciones G(L, n) son tangentes a la función 10L cuando L es 2, 4, 6, etc.
Asignación de puntaje
Gráfico 2
Verificación 1
Apreciación general 2
iii. [10 puntos] Compare las siguientes dos situaciones: (1) Cada fábrica pertenece a una empresa distinta,
todas son tomadoras de precios y tienen fines de lucro, y (2) Todas las fábricas pertenecen a la misma
empresa tomadora de precios con fines de lucro. Explique o demuestre que en ambas situaciones,
si la industria contrata L unidades de trabajo, produce F (L) unidades de producto. (Nota: puede
indistintamente mostrarlo en general o en el caso específico de este ejemplo).
En general: la situación (1) significa que para todo j,
máx
`j
pf(`j)− w`j =⇒ pf ′(`j) = w ó `j = 0
En la situación (2)
máx
`1,`2,...
p
∑
j
f(`j)− w
∑
j
`j =⇒ pf ′(`j) = w ó `j = 0.
En efecto, como no existen externalidades ni poder de negociación, el conjunto de empresas inde-
pendientes escoge lo mismo que la empresa única. Por su parte, la solución es que todas las fábricas
activas contraten la misma cantidad de trabajo, de manera que `j = 0 ó `j = L/n, donde n es el
número de fábricas activas. Se sigue que la industria produce en la frontera de sus posibilidades, o
función de producción agregada, Q = F (L).
(b) Considere la siguiente función de producción:
q = eK + eL
i. [6 puntos] Explique qué son los requerimientos unitarios de insumos, y muestre que en este caso están
dados por
aK = ln
(
q
wL
wK + wL
)
aL = ln
(
q
wK
wK + wL
)
Los requerimientos unitarios de insumos se refieren a las cantidades de insumos que se usarían para
producir de la manera más barata posible.
Existen dos sentidos que se le pueden dar al término “unitario”: o hablamos de fabricar una unidad del
bien, o nos referimos al requerimiento por unidad producida del bien. En el caso en que la función de
producción es homogénea de grado 1 ambos conceptos coinciden, por lo que no hacemos la distinción.
En el ejemplo de esta pregunta, sin embargo, esto no es así. En efecto, observe que la función de
producción es creciente y que f(0, 0) = e0 + e0 = 2: la mínima producción es de 2 unidades, no hay
manera de producir 1 unidad del bien. Esto nos obliga a pensar en la segunda acepción.
Como se aclaró en la sala, las funciones del enunciado NO SON los requerimientos (unitarios o no) de
insumos.
Los requerimientos de insumos se obtienen de la solución del problema
mı́n
K,L
wKK + wLL sujeto a q = eK + eL.
3
Si K∗ y L∗ son la solución del problema, entonces los requerimientos son aK = K∗/q y aL = L∗/q.
Tratándose de una función de producción convexa (en efecto, observe que el hessiano H =
(
eL 0
0 eK
)
es definido positivo), con isocuantas cóncavas, la solución es de esquina:
K∗ =
{
ln(q − 1) si wK ≤ wL
0 si wK > wL
y L∗ =
{
ln(q − 1) si wK > wL
0 si wK ≤ wL
,
y
aK =
{
ln(q−1)
q si wK ≤ wL
0 si wK > wL
y aL =
{
ln(q−1)
q si wK > wL
0 si wK ≤ wL
,
Asignación de puntaje
Explicar concepto/plantear problema 2
Encontrar aK y aL 2
Apreciación general 2
NOTAS DE CORRECCIÓN:
1. Esta pregunta exigía mirar (o al menos pensar en) condiciones de segundo orden. Quienes no lo
hacen obtienen un máximo local, no un mínimo, pero al menos sí asocian los requerimientos a
un problema de minimización de costos.
2. Decir que 1 = eK + eL no tiene solución en el primer cuadrante, por lo que aK y aL entendidos
como requerimientos para una unidad no existen, también es una respuesta válida.
ii. [4 puntos] Muestre que esta función de producción no es homogénea, y relacione este hecho con que
los requerimientos unitarios de insumos sí dependen del nivel de producción.
La función sería homogénea si existiera un r tal que para todo λ > 0, f(λK, λL) = λrf(K,L). Pero
vemos que
f(λK, λL) = eλf(K,L) 6= λrf(K,L)
En efecto, si existiera tal r, tendríamos
eλ = λr =⇒ r = λ
ln(λ)
,
en cuyo caso r evidentemente dependería de λ, contrario a lo supuesto. Entonces, la función no es
homogénea. Esto se traduce en que aK y aL dependen de q, como se aprecia en los requerimientos
por unidad obtenidos en el inciso anterior.
Observe que los requerimientos unitarios decrecen en el volumen de producción. Esto ocurre porque
la función de producciónpresenta rendimientos crecientes, tanto a escala como a cada factor.
Asignación de puntaje
Saber qué es una función homogénea 1
Verificar que ésta no lo es 2
Relacionar con requerimientos 1
4
Pregunta 2.– Equilibrio walrasiano
(a) Una economía de dos personas, A y B, en que se producen los bienes 1 y 2 a partir de los insumos K y L,
y en donde no existen externalidades de ningún tipo, se encuentra en equilibrio. Todas las funciones de
utilidad y de producción son estrictamente crecientes y cuasicóncavas. Las tasas marginales de sustitución
son
TMSA ≡
∂uA/∂x1A
∂uA/∂x2A
= 4 y TMSB ≡
∂uB/∂x1B
∂uB/∂x2B
= 8.
Por su parte, las tasas marginales de sustitución técnica son
TMST1 ≡
FL
FK
= 2 y TMST2 ≡
GL
GK
= 2.
i. [10 puntos] Considerando el valor de las TMS, ¿qué puede decir sobre los precios relativos de los bienes?
(Nota: recuerde que es posible que no todos los consumidores demanden cantidades positivas de todos
los bienes).
TMSA < TMSB significa que A valora menos el bien 1 que B. Pensaríamos entonces que una
transferencia compensada de 1 unidad del bien 1 de A a B mejoraría el bienestar de ambos. Pero
la asignación de equilibrio es eficiente (Primer Teorema del Bienestar, sin externalidades). Luego, o
A no tiene unidades del bien 1 para enviar (caso i, x1A = 0), o B no tiene unidades del bien 2 para
compensar (caso ii, x2B = 0). En el caso i, si además la producción del bien 2 se repartiera entre
ambos, B estaría en solución interior, de manera que p1/p2 = TMSB = 8. En el caso ii, si A estuviera
en solución interior, p1/p2 = TMSA = 4. También podría ocurrir que ambos casos se verificaran a la
vez (esto es, A tiene todo lo que se produce del bien 2 y B todo lo que se produce del bien 1); si esto
fuera así, ambos estarían en solución esquina, por lo que
4 ≤ p1
p2
≤ 8.
Esto se aprecia más claramente en la caja de Edgeworth:
0A
0B
x2A x2B
x1B
uA
uA uA
uB
uB
uB
I
II
III
x1A
(NOTA: en el dibujo las curvas de indiferencia son rectas, pero el argumento sería el mismo si fueran convexas.)
En el punto I, A está en solución esquina y B en solución interior, por lo que p1/p2 = TMSB . En III,
B está en solución esquina y A en interior, por lo que p1/p2 = TMSA. En II ambos están en solución
esquina. Las líneas punteadas son restricciones presupuestarias posibles, que serían compatibles con
que la asignación de equilibrio sea el punto amarillo.
Asignación de puntaje
Saber que en equilibrio cada uno escoge su canasta óptima 2
Deducir que p1/p2 es TMS de quien esté en solución interior 2
Ver que ambos podrían estar en solución esquina 2
Apreciación general 4
5
ii. [5 puntos] Suponga, además, que las productividades marginales del trabajo y del capital en el sector
1 son, respectivamente, de FL = 1 y FK = 1/2, que todas las empresas están en soluciones interiores,
y que la productividad marginal del trabajo en el sector 2 es de GL = 6. Encuentre los precios de
equilibrio de bienes e insumos. Explique.
De la minimización de costos de las empresas sabemos que
wL
wK
=
FL
FK
=
GL
GK
,
de manera que wL = 2wK y GL = 2GK . Escogiendo al capital como unidad de cuenta (wK = 1),
obtenemos wL = 2. Además, de la maximización de ganancias de la empresas sabemos que
p1 =
wL
FL
=
wK
FK
y p2 =
wL
GL
=
wK
GK
,
por lo que, evaluando, obtenemos p1 = 2 y p2 = 1/3, de modo que p1/p2 = 6.
Asignación de puntaje
Deducir precios de CPO 3
Apreciación general 2
iii. [5 puntos] Suponga, además, que a la producción del bien 1 se destinan 200 unidades de capital y 100
de trabajo, que a la del 2, 100 unidades de capital y 50 de trabajo, y que ambos bienes son producidos
con retornos constantes a escala. Determine la fracción del PIB que tiene la persona A.
De la ecuación de Euler para funciones homogéneas de grado 1 se deduce que
pQ = wKK +WLL,
de manera que p1Q1 = 1 × 200 + 2 × 100 = 400, mientras que p2Q2 = 100 + 50 × 2 = 200. Por
otro lado, observamos que la razón de precios de equilibrio es 6, es diferente a ambas TMS (4 y 8,
respectivamente); esto implica que la asignación de equilibrio le da todo el bien 1 a B y todo el 2 a A
(punto II en el dibujo del inciso I). Como A consume todo el bien 2 y B todo el 1, se sigue que A
tiene un tercio del PIB y B dos tercios.
Asignación de puntaje
Valorar la producción de cada bien 2
Deducir la asignación de bienes 1
Deducir a partir de ella la distribución del ingreso 2
iv. [5 puntos (bono)] Dibuje la curva de Lorenz y calcule el coeficiente de Gini.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
% población
%
in
gr
es
o
La curva de Lorenz indica que la mitad más pobre de la población recibe un tercio del ingreso total. El
área entre las curvas es de 1/3 que, como porcentaje del área del rectángulo inferior (1/2) corresponde
a un coeficiente de Gini de 23 , o 0,67.
6
NOTA: En este ejercicio se trató a x como variable continua, por lo que el cálculo no corresponde a la
fórmula del coeficiente de Gini de variable discreta. Además, cuando la población es densa (variable
continua), la curva de Lorenz es convexa: su pendiente es positiva, y siempre creciente.
Asignación de puntaje
Curva de Lorenz 3
Coeficiente de Gini 2
NOTA DE CORRECCIÓN: también es una respuesta válida la interpolación lineal de los 3 puntos
conocidos de la curva ((0,0),(1/2.1/3),(1,1)), indicada en líneas punteadas en el gráfico.
v. [5 puntos] Encuentre la curva de transformación.
La curva de transformación es la frontera de posibilidades de producción, por lo que para obtenerse se
deben encontrar las asignaciones eficientes de insumos a productos. Observe que K1/L1 = K2/L2, por lo
que las asignaciones eficientes de insumos a productos ocurren en la diagonal de la caja de Edgeworth.
Eso, sumado al hecho de que las tecnologías son de rendimientos constantes a escala, implican que la
frontera es lineal. Su pendiente es
dQ2
dQ1
= −GL
FL
= −6.
Además, de III sabemos que pasa por el punto (Q1, Q2) = (200, 600), de manera que la ecuación de la
curva de transformación es:
Q2 = 1800− 6Q1
Asignación de puntaje
Deducir la curva de contrato 2
Encontrar la ecuación 2
Apreciación general 1
(b) [10 puntos] Muestre que el producto interno bruto (PIB), o valor de la producción, es máximo en el
equilibrio walrasiano cuando la producción se valora a los precios de equilibrio.
Para p1 y p2 fijos, maximizar el valor de la producción es máxQ1,Q2 p1Q1 + p2Q2 sujeto a Q2 ≤ T (Q1), la
curva de transformación. La condición de primer orden es
p1
p2
=
dT
dQ1
.
(La CSO pide que la curva de transformación sea cóncava, porque de lo contrario el PIB se maximizaría
en alguna esquina). Por su parte, la pendiente de la curva de transformación es el costo de oportunidad de
producción del bien 1 en términos del 2, y es igual indistintamente a GL/FL y a GK/FK :
dT
dQ1
=
GL
FL
.
Pero en el equilibrio walrasiano, la empresa escoge niveles de producción tales que el precio sea igual al
costo marginal, vale decir
p1
p2
=
wL
FL
wL
GL
=
GL
FL
.
Se sigue que en el equilibrio walrasiano, el PIB es máximo.
Asignación de puntaje
Planteamiento del problema 3
Solución 2
Relación con equilibrio walrasiano 2
Apreciación general 3
Pregunta 3.– Tulipanes
A tiene un campo de tulipanes amarillos. B tiene un campo de tulipanes rojos. Ambos campos son de tamaño
100 hectáreas. El público es voluble e impredecible: con probabilidad πa los tulipanes amarillos estarán de
moda (estado a), siendo el precio (por ha.) de los tulipanes amarillos 10 y el de los rojos 5, y con probabilidad
7
πr = 1− πa son los tulipanes rojos los que estarán de moda (estado r), vendiéndose a un precio de 10 por ha.,
mientras que los amarillos a 5. Tanto A como B son aversos al riesgo.
(a) Suponga que πa = πr = 1/2.
i. [5 puntos] Si existieran activos puros para cada estado (es decir, activos que pagaran $1 si se diera un
estado y nada en caso contrario), ¿a qué precios se transarían en equilibrio, y qué cantidades transaría
cada floricultor? Explique.
Del enunciado deducimos que las dotaciones (ca, cr) son (1000, 500) para A y (500,1000) para B. Se
sigue que no hay riesgo agregado: en ambos escenarios la disponibilidad de consumo es la misma,
de 1.500. El enunciado indica también que las creencias son homogéneas, toda vez que se refiere a
las probabilidades como objetivas, en lugar de mencionar una para cada individuo. Se sigue que todas
las asignaciones eficientes son libres de riesgo: las tasas marginales de sustitución para A y para B
valen 1 si ca = cr. Por su parte, el Primer Teorema del Bienestar dice que toda asignación de
equilibrio es eficiente, por lo que, siento todas las eficientes libres de riesgo, la de equilibrio también
debe serlo. Cuando se transan activos puros, en equilibrio
p1
p2
= TMSA = TMSB ,
por lo que
p1
p2
= 1.
Si se transan xa unidades del activo puro que paga en a y xr del que paga en r, entonces:
1000− xa =500 + xr
xa =xr
por lo que xa = xr = 250. Gráficamente:
0A
0B
crA
crB
caA
caB
curva de contrato
restricción
dotación
equilibrio750
750
500
1000
Asignación de puntaje
Plantear situación (dotaciones, preferencias, etc) 1
Encontrar equilibrio 3
Cantidades transadas 1
ii. [5 puntos] Si, en cambio, existieran seguros de precios que compensaran en el evento de un precio bajo,
¿qué seguro compraría cada floricultor, y qué prima pagaría? Explique.
La pérdida es de 500 (pasar de 1000 a 500); la probabilidad es de 1/2. El precio actuarialmente justo es
entonces p = 500× 1/2 = 250. Comprando este seguro, si no hay siniestro se consume 1000− 250 = 750
porque se debe pagar la prima; en el evento de siniestro, consume 500 + 500− 250 = 750: su dotación,
más la cobertura, menos la prima. En ambos eventos consume lo mismo: está completamente asegurado.
8
Si ambos contratan un seguro completo (en que ambos se aseguran contra el evento de que el precio
de venta por hectárea sea de 5 en lugar de 10), ambos consumen 750.
Una pregunta anterior es si ambos querrían comprar un seguro completo (sin deducible). Pero sabemos
que a precios actuarialmente justos, el plan de consumo óptimo es libre de riesgo, vale decir, con
seguro completo. Al igual que en el inciso anterior, apelamos al Primer Teorema del Bienestar para
argumentar que la asignación de equilibrio es libre de riesgo, porque es eficiente.
Asignación de puntaje
Explicar cómo el seguro modifica la dotación 2
Deducir equilibrio (aseguramiento completo, precios justos) 3
iii. [5 puntos] Si, en cambio, los floricultores pudieran sembrar tulipanes de ambos colores, ¿qué fracción
de su campo destinarían a tulipanes amarillos? Explique.
Sea x el porcentaje del campo sembrado con tulipanes amarillos. Entonces,
ca =100(10x+ 5(1− x))
cr =100(5x+ 10(1− x))
Al maximizar
U(x) =
1
2
u(1000x+ 500(1− x)) + 1
2
u(500x+ 1000(1− x))
se obtiene como CPO u′(ca) = u′(cr), de manera que el consumo óptimo es libre de riesgo si u es
cóncava, y x∗ = 1/2.
Asignación de puntaje
Plantear el problema de decisión de cada floricultor 2
Solución 3
(b) [9 puntos] ¿Cómo cambian sus respuestas anteriores si πa = 3/4?
La curva de contrato es la misma, pero los precios cambian. En I, p1/p2 = 3, de manera que en equilibrio,
para A 3500− 3ca = ca =⇒ ca = cr = 3500/4 = 875, y B consume 625 en ambos estados. Entonces, A
vende 125 activos puros que pagan en a y compra 375 activos puros que pagan en r.
En II, todo se mantiene salvo que el precio actuarialmente justo es 500× 34 = 375 para el escenario a, y
500× 14 = 125 para el r.
En III, en cambio, se mantiene el conjunto de posibilidades pero cambian las preferencias: la CPO es
3u′(ca) = u
′(cr), por lo que no es posible deducir la política óptima sin conocer la función Bernoulli.
Gráficamente:
0A
0B
crA
crB
caA
caB
curva de contrato
restricción
dotación
equilibrio875
875
500
1000
A diferencia del caso de activos transables, cuyo precio cambia cuando las preferencias cambian, en la
9
decisión de inversión las posibilidades no dependen de la opinión generalizada sobre la verosimilitud de
cada escenario. Ya no es óptimo sembrar el 50% con cada color, porque a los ojos de los inversionistas hay
un premio por riesgo (en favor del amarillo).
0i
crA
caA
restricción
100% amarillo
100% rojo
500
500
1000
1000
Asignación de puntaje
Activos puros 3
Seguros 3
Decisión de inversión 3
(c) [6 puntos] ¿Y si, en cambio, A estuviera seguro de que los amarillos estarán de moda, mientras que B de
que los rojos estarán de moda?
Ahora las asignaciones eficientes no están en la diagonal, esto es, no son libres de riesgo. A ahora no valora
el consumo en el escenario r, y B no lo valora en a. Luego, la única asignación eficiente le da todo el
consumo en a a A, y todo en r a B.
0A
0B
crA
crB
caA
caB
curva de contrato
restricción
dotación
equilibrio
500
1000
Se sigue que la razón de precios de equilibrio de los activos puros es p1p2 = 1.
Ahora no existe un precio actuarialmente justo para cada seguro, pero ambos están dispuestos a intercambiar
seguros recíprocos: si ocurre a, A . Respecto de III, A sembraría lo máximo posible de tulipanes amarillos
y B de rojos.
Asignación de puntaje
Activos puros 2
Seguros 2
Decisión de inversión 2
10