Compilado Evaluaciones 2006-1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Primer Semestre de 2006
Microeconomía I
EAE 210 B
Profesor : Felipe Zurita
fzurita@faceapuc.cl
Horario clases: LW 1130 hrs., sala 104
Atención de alumnos : Pedir hora por email
Ayudantes : Pilar Alcalde
Loreto Cox
Horario ayudantías: V 1630, sala 106
Página web: http://cursos.puc.cl/eae210b-2/
1 Objetivo y descripción
Este curso desarrolla el análisis microeconómico tradicional, esto es, la aplicación sistemática de la
hipótesis de racionalidad en la toma de decisiones en el estudio del mercado como mecanismo de
organización de la actividad económica.
Los temas a tratar incluyen las teorías del consumidor y del productor, el análisis de mercados
bajo competencia perfecta e imperfecta, tanto en equilibrio parcial como general. Además se desa-
rrollan ciertos elementos de teoría de juegos y una breve introducción al análisis de la incertidumbre.
El material del curso se encuentra en el Trabajo Docente N±73 “Microeconomía Intermedia”,
de Bernardita Vial y Felipe Zurita. Como base para el estudio resulta altamente recomendable
complementar los apuntes con la lectura de los textos “Teoría Microeconómica: Principios Básicos
y Aplicaciones”, de Walter Nicholson (McGraw-Hill, sexta edición, 1997), o “Microeconomía: un
Enfoque Moderno”, de Hal Varian (Antoni Bosch, 3a edición, 1993), ya que presentan los temas a un
nivel de profundidad intermedio entre el curso de Introducción a la Microeconomía y este curso. En
cada sección del programa se señalan los capítulos de estos libros recomendados para su lectura; los
capítulos marcados con * son de lectura obligatoria. Además, el libro “Microeconomía: Cuestiones
y Problemas Resueltos”, de Emilio Congregado, Antonio Golpe y María Teresa Leal, editado por
Pearson Educación, 2002, desarrolla y propone ejercicios a un nivel bastante cercano al de este curso,
por lo que puede ser un complemento muy útil en el estudio.
Otros libros que contienen el material que se cubrirá en el curso son:
² Frank, Robert H., “Microeconomía y Conducta”, McGraw-Hill, 1992.
² Hirshleifer, Jack y Amihai Glazer, “Microeconomía, Teoría y Aplicaciones”, Prentice Hall,
quinta edición, 1994.
² Varian, Hal, “Microeconomía: un Enfoque Moderno”, Antoni Bosch, tercera edición, 1993.
² Fontaine, Ernesto, “Teoría de los Precios”, Ediciones Universidad Católica, tercera edición,
1992.
1
² Fernández de Castro, Juan y Juan Tugores, “Fundamentos de Microeconomía”, McGraw-Hill,
segunda edición, 1994. (En las lecturas sugeridas más abajo se hace referencia a este libro, y
no al siguiente, de los mismos autores.)
² Layard, Richard y Alan Walters, “Microeconomic Theory”, McGraw-Hill, 1978.
Por otro lado, este curso presupone que el alumno está familiarizado con la optimización mate-
mática (optimización de funciones de más de una variable, sin y con restricciones –en particular, los
métodos de Lagrange y de Kuhn y Tucker). Es muy recomendable, entonces, estudiar el apéndice
de los apuntes de clase sobre optimización (en la página web), el Trabajo Docente No. 57, “Modelos
de Optimización”, de Gonzalo Edwards (capítulos 2 al 6), o revisar algún libro como “Métodos Fun-
damentales de Economía Matemática” de Alpha Chiang (McGraw-Hill, 3a edición, 1987; 330.0151
C532f.E 1987, capítulos 12 y 21).
2 Programa
I. Introducción
(1) Visión general.
Nicholson, capítulo 1*.
Fernandez de Castro y Tugores, capítulo 1
II. Elección Individual bajo Certidumbre
(1) Relaciones de preferencia y funciones de utilidad.
a. Ejemplos de elección bajo certidumbre.
Vial y Zurita, Capítulo 1* y Apéndice de optimización*
Nicholson, capítulo 3, 4 y 6.
Fernández de Castro y Tugores, secciones 2.I, 2.II
(2) Demanda individual.
a. El óptimo del consumidor en mercados competitivos.
b. Estática comparativa: curvas de demanda, relaciones entre elasticidades.
c. Utilidad indirecta, dualidad, bienestar e índices.
d. Preferencias reveladas.
Vial y Zurita, capítulos 2*, 3* y 4*
Nicholson, capítulos 5 y 7*.
Fernández de Castro y Tugores, secciones 2.III, 2.IV y 2.VI.
Varian, capítulos 6, 7, 8, 10, 14.
(3) Teoría de la producción y oferta individual.
a. El objetivo de la empresa.
b. Funciones de producción.
c. El óptimo del productor en mercados competitivos.
- Demanda por factores.
- Oferta individual y estática comparativa.
d. Monopolio y monopsonio.
2
Vial y Zurita, capítulos 5*, 6 y 12*.
Nicholson, capítulos 11, 12, 13* y 14*.
Fernández de Castro y Tugores, capítulo 3 y secciones 5.I a 5.IV.
Varian, capítulos 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24 y 26.
III. Equilibrio en Competencia Perfecta
(1) Equilibrio competitivo o walrasiano.
a. Noción de competencia.
b. De…nición de equilibrio walrasiano.
c. Agregación.
d. Bienestar social.
Vial y Zurita, capítulo 8*
(2) Equilibrio parcial
a. Oferta y demanda agregada.
b. Libre entrada.
Vial y Zurita, capítulo 9*
Nicholson, capítulos 15 y 16*
Fernández de Castro y Tugores, sección 4.I
Varian, capítulos 15, 16 y 22.
(3) Equilibrio general en una economía de intercambio.
a. Caja de Edgeworth y equilibrio walrasiano.
Vial y Zurita, capítulo 10*
Nicholson, capítulos 8.
Fernández de Castro y Tugores, sección 4.III
Varian, capítulo 28.
IV. Elección bajo Incertidumbre
(1) Creencias y utilidad esperada.
(2) Aversión al riesgo y aseguramiento.
Vial y Zurita, capítulo 7*
Nicholson, capítulos 9 y 10.
Fernández de Castro y Tugores, secciones 8.I y 8.VII.
Varian, capítulos 1, 2, 3, 4, 5 y 12.
V. Nociones de Teoría de Juegos y Equilibrio bajo Competencia Imperfecta
(1) Situaciones sociales con interacción estratégica: nociones de teoría de juegos
a. Juegos en forma normal.
b. Mejor respuesta y equilibrio de Nash.
c. Juegos en forma extensiva y perfección en subjuegos.
Vial y Zurita, capítulo 13*
Nicholson, capítulo 22.
Fernández de Castro y Tugores, sección 1.IV.
Varian, capítulo 27.
3
(2) Oligopolio
a. Modelos de Cournot y Bertrand. Carteles y acuerdos colusivos.
Vial y Zurita, capítulo 14*
Nicholson, capítulo 21.
Fernández de Castro y Tugores, secciones 6.I a 6.III.
Varian, capítulos 23, 24, 26.
3 Evaluación
Las ponderaciones asignadas a cada evaluación son las siguientes:
Ponderaciones
Control 1 5%
Controles 2 y 3 10% (c/u)
Primera prueba 20%
Segunda prueba 20%
Examen …nal 35%
4 Aspectos Administrativos
I. Las evaluaciones cubren todo el material de clases y de las lecturas obligatorias.
II. Las explicaciones reciben gran importancia en la asignación de puntaje cuando son solicitadas
en las evaluaciones. Por explicación no se entiende repetir lo que dice el enunciado, ni repetir
las fórmulas utilizadas o los resultados en palabras.
III. En las evaluaciones no se permite el uso de calculadoras alfa-numéricas.
IV. Las inasistencias a controles no se justi…can: el porcentaje correspondiente se suma automáti-
camente al de la prueba siguiente. Quienes rinden todos los controles y obtienen un promedio
sobre 4.0 en ellos reciben un bono de una décima en el promedio …nal del curso.
V. En caso de solicitar recorrección, debe hacerlo a más tardar una semana después de la entrega
de las pruebas al curso (sin excepción). La solicitud debe hacerse al profesor, y por escrito en
el formulario de recorrección que se encuentra en página web del curso, y debe ser claramente
fundamentada. No se aceptan recorrecciones de pruebas escritas total o parcialmente con lápiz
mina (gra…to).
VI. No se entregan pautas de corrección. Corresponde al alumno argumentar la solicitud de
recorrección. En el caso de las pruebas, se entrega una solución breve cuyo objetivo es facilitar
el estudio y autoevaluación, pero no puede ser usada para fundamentar las solicitudes de
recorreción.
VII. El calendario del curso se encuentra en la página web.
4
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Loreto Cox
Pilar Alcalde
Primer Control
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 80 puntos
Importante:
• No se recorrigen pruebas con lápiz grafito (aunque sólo sea en una parte).
• Se prohibe el usode calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
1. Optimización [40 puntos]
Considere el siguiente problema:
max
{x1,x2}
f (x1, x2) = x1 + 2x2
sujeto a :
(x1 − 4)2 + (x2 − 4)2 ≤ 16
(x1 − 4)2 + (x2 − 4)2 ≥ 4
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
(a) [4 puntos] Dibuje cuidadosamente el conjunto de posibilidades descrito por esas restric-
ciones.
NOTA: Recuerde que la ecuación que define al cículo de radio r centrado en (a, b) es
(x− a)2 + (y − b)2 = r2.
(b) [2 puntos] Dibuje el mapa de curvas de nivel de f .
(c) [4 puntos] Escriba el lagrangeano y las condiciones de Kuhn-Tucker correspondientes.
(d) [10 puntos] En principio, habiendo 4 restricciones, existen 24 = 16 casos imaginables
que analizar. Sin embargo, la mayoría de ellos se descata inmediatamente porque no son
factibles. Identifíquelos. Por otro lado, ubique en el gráfico todos los casos que sí son
factibles, indicando para cada uno de ellos si las variables x1 y x2, y los multiplicadores
de Lagrange son positivos, negativos o 0. Explique.
(e) [20 puntos] Encuentre los valores de x1 y x2 que resuelven el problema de optimización,
mostrando claramente el desarrollo de su respuesta. En cada uno de los casos factibles
que son sub-óptimos, indique cuáles serían las CPO correspondientes, y en qué casos las
CSO son las que permiten descartar que dichos puntos críticos sean óptimos (indicando,
sin necesidad de calcular, cuáles serían esas CSO).
2. Preguntas cortas [40 puntos]
(a) [20 puntos] Un individuo tiene a su disposición dos proyectos: el A, que requiere una
inversión de 100 unidades de consumo (UC) y tiene una TIR de 100%, y el B, que requiere
una inversión de UC 20 y tiene una TIR de 50%. El individuo dispone de UC 200 para
invertir o consumir en el presente, y UC 0 en el futuro (de manera que no consumirá en
el futuro a menos que invierta). Describa completamente los conjuntos de posibilidades
de consumo en el plano (c0, c1) que se obtendrían en los siguientes casos:
i. [5 puntos] Los proyectos son indivisibles, no se pueden replicar, no existe mercado
de crédito, ni es posible almacenar consumo (se trata de un bien perecible).
ii. [15 puntos] Se relajan todas las restricciones anteriores, pero una a la vez (es decir,
analice qué pasa si todo es igual que en (i) salvo la indivisibilidad; si todo es igual
que en (i) salvo la capacidad de replicar los proyectos, etc.). Ordene, de menor a
mayor, los conjuntos de posibilidades de consumo que se obtienen en cada caso (si no
puede comparar a dos conjuntos, explique por qué, o en su defecto, de qué depende
la comparación). En este contexto, si el individuo pudiera escoger relajar una y sólo
una de estas restricciones, ¿cuál escogería? Explique cuidadosamente.
(b) [7 puntos] Considere dos curvas de indiferencia que se cortan, como en la figura siguiente.
Los artículos 1 y 2 son bienes: más (de al menos uno de ellos) es preferido a menos.
Ubique tres canastas x, x0 y x00 en el gráfico que le permitan demostrar que las curvas
de indiferencia de la figura no cumplen con el axioma de transitividad para preferencia
estricta (Â). Explique su razonamiento.
2x
1x
2x
1x
(c) [7 puntos] En el modelo de atributos de Lancaster, si hay un bien que entrega 10 unidades
del atributo 1 y nada del atributo 2, mientras que hay otro bien que entrega 10 unidades
del atributo 2 y nada del atributo 1, la restricción de presupuesto será una línea recta
con pendiente (-1). Comente, apoyando su respuesta en un gráfico.
(d) [6 puntos] Considere a un inversionista que está indiferente entre dos proyectos de inver-
sión, ambos con retornos decrecientes y perfectamente divisibles. Si el retorno marginal
(del último peso a invertir) es igual en ambos proyectos, debe ser cierto que el monto
a invertir en los dos proyectos es el mismo. Comente, apoyando su respuesta con un
gráfico.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Loreto Cox
Pilar Alcalde
Primera Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 80 puntos
I. [36 puntos] Preguntas cortas
(1) [10 puntos] Dos hermanos reciben inicialmente la misma mesada m. El padre les dice:
“Tengo un cupón de 50% de descuento en el restaurant Equus; se lo voy a dar al que más
lo valore”. El hemano mayor le contesta “¡Dámelo a mí!, yo estoy dispuesto a pagarte
más que mi hemano por el cupón”. El menor alega: “¡No!, ¡dámelo a mí! Si aumentaras
la mesada al que se queda sin el cupón, a mí me la tendrías que aumentar más que a mi
hermano”.
a. [5 puntos] ¿Qué medida de valoración o de cambio en el bienestar está usando cada
hermano en su argumento? Justifique claramente.
b. [5 puntos] Describa un caso en que sea posible que al cambiar la medida de valoración
utilizada, cambie el ordenamiento entre ellas (es decir, que sea posible que con una
medida se lleve el cupón el hemano mayor, y con la otra el hermano menor, tal como
ellos afirman).
(2) [8 puntos] ¿Cuáles axiomas de preferencias reveladas —si alguno— son violados por el
conjunto de decisiones descrito en la siguiente tabla?
Canasta escogida Precios vigentes
x1 x2 p1 p2
Fecha 1: 1 5 1 1
Fecha 2: 2 3 3 1
Fecha 3: 6 1 1 1
(3) [8 puntos] Alfredo busca un departamento para arrendar. Está indiferente entre dos
alternativas: (1) uno de 120 mt2 con áreas verdes comunes de 1.000 mt2, y (2) otro
de 100 mt2 con áreas verdes comunes de 5.000 mt2. Si sólo le importan el tamaño del
departamento y el de las áreas verdes comunes con que cuente, y si además sus curvas de
indiferencia son convexas, entonces si se le ofrece un tercer departamento de 110 mt2 con
áreas verdes comunes de 3.000 mt2 seguramente lo preferirá. Comente, relacionando su
respuesta con la idea de “preferencia por la variedad”.
(4) [10 puntos] Suponga que el precio de los libros (bien 1) ha aumentado en λ% el último
año. La autoridad, preocupada por la baja capacidad lectora de los chilenos, quiere
evitar que caigan las compras de libros (la cantidad consumida de ellos).
a. [5 puntos] Para evitar la disminución en las compras de libros, alguien propone dar
un bono b (de modo que el ingreso de los chilenos aumentaría a m0 + b). Si usted
sabe que las elasticidades precio propia y cruzada de la demanda ordinaria por libros
son respectivamene ηM11 = −1 y ηM12 = 0.5 (donde el bien 2 es un compuesto de otros
bienes); ¿en qué porcentaje tendría que aumentar el ingreso de los chilenos para lograr
el objetivo planteado? Muestre su desarrollo.
b. [5 puntos] Otros alegan que la propuesta anterior es muy cara para el Fisco, que
sería más barato simplemente subsidiar el consumo de libros (reduciendo el precio
pagado por los consumidores hasta el precio inicial). ¿Estaría usted de acuerdo con
esta segunda posición? Justifique claramente.
II. Problemas
(1) [24 puntos] Demandas
Las preferencias de Manuela se pueden representar mediante la función u (x1, x2) =
(10 + x1)x2. Manuela enfrenta precios p1 y p2 por el bien 1 y 2 respectivamente, y tiene
un ingreso m.
a. [8 puntos] Usando las condiciones de Kuhn-Tucker, derive la demanda marshalliana
de Manuela por los dos bienes. Recuerde verificar condiciones de segundo orden.
b. [5 puntos] Considere el caso en que x1 y x2 son positivos. Obtenga la elasticidad
precio de la demanda marshalliana por el bien 2 (ηM22) usando la Agregación de
Cournot. Explique cuál es la lógica económica del resultado encontrado.
c. [3 puntos] ¿Es constante la elasticidad precio (propia) de la demanda marshalliana
por ambos bienes? Fundamente.
d. [8 puntos] Encuentre la función de utilidad indirecta. ¿Es esta función de utilidad
indirecta homogénea de grado cero en precios e ingreso? Demuestre, y explique cuál
es la lógica económica del resultado encontrado.
(2) [20 puntos] Bienestar
Las preferencias de Ana (A) y Beatriz (B) se representan mediante las siguientes funciones
de utilidad:
uA (x1, x2) = 100x1x2
uB (x1, x2) = ln
¡
x21
¢
+ ln
¡
x22
¢
Ambas tienen el mismo ingreso m = 100, y enfrentan los mismos precios p1 y p2 por los
bienes 1 y 2 respectivamente. Supongaque inicilamente p1 = p2 = 1, pero luego p1 se
duplica.
a. [8 puntos] Calcule y compare el cambio en la máxima utilidad que pueden alcanzar
Ana y Beatriz respectivamente debido a este cambio en p1.
i. [4 puntos] Calcule el cambio en el bienestar debido a este cambio en p1 usando
la variación compensatoria, para Ana y Beatriz respectivamente.
ii. [4 puntos] ¿Cuál de los dos cambios en bienestar es mayor (para Ana o Beatriz)?
¿A qué se debe este resultado? Sea preciso.
b. [4 puntos] ¿Qué puede concluir, respecto de cuál de las dos se ve más afectada por
el alza en p1?
Formulario
1 Consecuencias del teorema de la envolvente
Identidad de Roy
−
∂v(p1,p2,m)
∂pi
∂v(p1,p2,m)
∂m
= xMi (p1, p2,m) (1)
Lema de Shephard
∂C∗ (p1, p2, u)
∂pi
= xHi (p1, p2, u) (2)
2 Estática Comparativa del Óptimo del Consumidor
Agregación de Engel
nX
i=1
αiη
M
im = 1 (3)
Descomposición de Slutzky
ηMij = η
H
ij − αjηim (4)
Agregación de Cournot
αj +
nX
i=1
αiη
M
ij = 0 (5)
Simetría de Hicks
αiη
H
ij = αjη
H
ji (6)
Homogeneidad de grado 0 de las demandas
nX
j=1
ηMij + η
M
im = 0 (7)
nX
j=1
ηHij = 0 (8)
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
• És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es, en general, la única respuesta
correcta.
• No se espera que las respuestas que Ud. dio en la prueba tengan esta extensión.
Puntaje Total: 80 puntos
I. [36 puntos] Preguntas cortas
(1) [10 puntos] Dos hermanos reciben inicialmente la misma mesada m. El padre les dice:
“Tengo un cupón de 50% de descuento en el restaurant Equus; se lo voy a dar al que más
lo valore”. El hemano mayor le contesta “¡Dámelo a mí!, yo estoy dispuesto a pagarte
más que mi hemano por el cupón”. El menor alega: “¡No!, ¡dámelo a mí! Si aumentaras
la mesada al que se queda sin el cupón, a mí me la tendrías que aumentar más que a mi
hermano”.
a. [5 puntos] ¿Qué medida de valoración o de cambio en el bienestar está usando cada
hermano en su argumento? Justifique claramente.
Respuesta:
El mayor utiliza Variación Compensatoria (cuánto es lo máximo que estaría dispuesto
a pagar o entregar de su ingreso el individuo para que ocurriera el cambio en precios:
para tener el cupón), y el menor la Variación Equivalente (cuánto es lo mínimo que
estaría dispuesto a aceptar el individuo -el mínimo monto que le deberían pagar- para
que no ocurra el cambio: para quedarse sin el cupón).
b. [5 puntos] Describa un caso en que sea posible que al cambiar la medida de valoración
utilizada, cambie el ordenamiento entre ellas (es decir, que sea posible que con una
medida se lleve el cupón el hemano mayor, y con la otra el hermano menor, tal como
ellos afirman).
Respuesta:
En esta respuesta nos referiremos siempre al valor absoluto de la VC y la VE. Como
la rebaja en el precio aumenta el conjunto de posibilidades, el bienestar inicial es
menor que el final. Por otro lado, sabemos que para cada persona i, la VC es menor
que la VE (V Ci < V Ei) si y sólo si para ella las comidas son un bien normal, y lo
contrario (V Ci > V Ei) si y sólo si es inferior. Es decir, el conocimiento de si el bien
es normal o inferior para un individuo nos permite saber, para ese individuo, cuál
de las dos medidas es mayor. Sin embargo, esta pregunta nos hace comparar cada
medida entre individuos.
En efecto, en el enunciado se plantea una situación en que el individuom (el hermano
menor) alega que si bien V Cm < V CM , su VE es mayor que la VE de su hermano
mayor (M): V Em > V EM . (Es posible también entender que, además, sugiere que
V Em > V CM , esto es, que su valoración de acuerdo a la VE es mayor que la de su
hermano, sin importar cómo se mida la valoración del hermano. Sin embargo, en esta
respuesta no lo entendemos de esa forma). En (ii), en cambio, se hace la pregunta
general de la posibilidad de una reversión en las medidas de valoración entre ambos
hermanos, es decir, cualquiera de las siguientes dos situaciones:
a) V Cm < V CM ∧ V Em > V EM
b) V Cm > V CM ∧ V Em < V EM
(donde la situación del enunciado corresponde a a)). Son compatibles con a) los
siguientes ordenamientos:
V Cm < V CM < V EM < V Em (bien normal para ambos)
V Cm < V EM < V CM < V Em (normal para m, inferior para M)
V EM < V Cm < V CM < V Em (normal para m, inferior para M)
V Cm < V EM < V Em < V CM (normal para m, inferior para M)
V EM < V Cm < V Em < V CM (normal para m, inferior para M)
V EM < V Em < V Cm < V CM (bien inferior para ambos)
En cambio, si es inferior para m y normal para M tenemos:
(V Cm > V Em ∧ V CM < V EM ) ∧ (V Cm < V CM )⇒ (V Em < V EM )
es decir, no hay reversión. Similarmente, son compatibles con b) los siguientes
ordenamientos:
V CM < V Cm < V Em < V EM (bien normal para ambos)
V CM < V Em < V Cm < V EM (inferior para m, normal para M)
V Em < V CM < V Cm < V EM (inferior para m, normal para M)
V CM < V Em < V EM < V Cm (inferior para m, normal para M)
V Em < V CM < V EM < V Cm (inferior para m, normal para M)
V Em < V EM < V CM < V Cm (bien inferior para ambos)
En cambio, si es normal para m e inferior para M tenemos:
(V Cm < V Em ∧ V CM > V EM ) ⇒
(V Em < V EM ) ⇒ (V Cm < V CM )
Cualquier caso que describan dentro de los factibles está bien, si lo justifican.
(2) [8 puntos] ¿Cuáles axiomas de preferencias reveladas —si alguno— son violados por el
conjunto de decisiones descrito en la siguiente tabla?
Canasta escogida Precios vigentes
x1 x2 p1 p2
Fecha 1: 1 5 1 1
Fecha 2: 2 3 3 1
Fecha 3: 6 1 1 1
Respuesta:
a. Costruimos la tabla de costos de las canastas para averiguar cuáles eran alcanzables
en los momentos en que se compró cada una:
Canasta 1 Canasta 2 Canasta 3
Precios de la fecha 1: 6 5∗ 7∗
Precios de la fecha 2: 8 9 19
Precios de la fecha 3: 6∗ 5∗ 7
Con un asterisco marcamos las canastas que eran alcanzables en la fecha en que se
escogió cada una (diagonal principal). De cada columna deducimos:
Columna 1: 1 ÂD 3
Columna 2: 2 ÂD 1 ∧ 2 ÂD 3
Columna 3: 3 ÂD 1
Estas decisiones violan ambos axiomas: 1 ÂD 3 ∧ 3 ÂD 1 es una violación del
axioma débil (y por tanto del fuerte).
(3) [8 puntos] Alfredo busca un departamento para arrendar. Está indiferente entre dos
alternativas: (1) uno de 120 mt2 con áreas verdes comunes de 1.000 mt2, y (2) otro
de 100 mt2 con áreas verdes comunes de 5.000 mt2. Si sólo le importan el tamaño del
departamento y el de las áreas verdes comunes con que cuente, y si además sus curvas de
indiferencia son convexas, entonces si se le ofrece un tercer departamento de 110 mt2 con
áreas verdes comunes de 3.000 mt2 seguramente lo preferirá. Comente, relacionando su
respuesta con la idea de “preferencia por la variedad”.
Respuesta:
El tercer departamento puede verse como una combinación de los dos primeros (con
ponderación de 50% para cada uno). Es decir, aunque no podemos combinar los dos
primeros departamentos directamente (no puede arrendar la mitad de uno y la mitad del
otro...), esta tercera opción es equivalente, en términos de sus atributos, a combinarlos.
Dado que las curvas de indiferencia son convexas, sabemos que Alfredo tiene “preferencia
por la variedad”. Esto necesariamente implica que Alfredo prefiere el tercer departamento.
(4) [10 puntos] Suponga que el precio de los libros (bien 1) ha aumentado en λ% el último
año. La autoridad, preocupada por la baja capacidad lectora de los chilenos, quiere
evitar que caigan las compras de libros (la cantidad consumida de ellos).
a. [5 puntos] Para evitar la disminución en las compras de libros, alguien propone dar
un bono b (de modo que el ingreso de los chilenos aumentaría a m0 + b). Si usted
sabe que las elasticidades precio propia y cruzada de la demanda ordinaria por libros
son respectivamene ηM11 = −1 y ηM12 = 0.5 (donde el bien 2 es un compuesto de otros
bienes); ¿en qué porcentaje tendría que aumentar el ingreso de los chilenos para lograr
el objetivo planteado? Muestre su desarrollo.
Respuesta:
Usando homogeneidad de grado cero de la demanda marshalliana, vemos que η1m =
0.5. Luego, dado que el consumo caería λ% por efecto del alza en precio (ya que
sabemosque ηM11 = −1), para aumentar nuevamente el consumo en λ% el ingreso
tendría que aumentar en 2λ%.
b. [5 puntos] Otros alegan que la propuesta anterior es muy cara para el Fisco, que
sería más barato simplemente subsidiar el consumo de libros (reduciendo el precio
pagado por los consumidores hasta el precio inicial). ¿Estaría usted de acuerdo con
esta segunda posición? Justifique claramente.
Respuesta:
El bien 2 tiene una elasticidad ingreso mayor que 1 (lo que sabemos por identidad
de Engel). Luego, si el fisco entrega un bono suficientemente alto como para que
el consumo de libros sea el mismo que el inicial, no sólo está financiando el mayor
consumo de libros (respecto de la situación sin bono y precios altos), sino también un
mayor consumo de otros bienes. Saldría más barato al fisco subsidiar directamente
los libros (notar que esta evaluación la estamos haciendo respecto del costo fiscal de
la medida, no del costo social o distorsiones que se puedan generar con una u otra
medida).
De hecho, vemos que el nuevo ingreso m+ b sería:
m+ b = x01p
1
1 + x
1
2p
0
2
= x01
¡
p01 + s
¢
+
¡
x02 +∆x2
¢
p02
=
¡
x01p
0
1 + x
0
2p
0
2
¢
+
¡
x01s+∆x2p
0
2
¢
pero dado que m =
¡
x01p
0
1 + x
0
2p
0
2
¢
, vemos que el bono b (pagado por el fisco) corres-
ponde a
¡
x01s+∆x2p
0
2
¢
. Si sólo se subsidiara el consumo de libros, el costo sería x01s,
menor.
II. Problemas
(1) [24 puntos] Demandas
Las preferencias de Manuela se pueden representar mediante la función u (x1, x2) =
(10 + x1)x2. Manuela enfrenta precios p1 y p2 por el bien 1 y 2 respectivamente, y tiene
un ingreso m.
a. [8 puntos] Usando las condiciones de Kuhn-Tucker, derive la demanda marshalliana
de Manuela por los dos bienes. Recuerde verificar condiciones de segundo orden.
Respuesta:
Caso A (x1, x2, λ > 0): u1u2 =
x2
(10+x1)
= p1p2 ⇒ (10 + x1) p1 = x2p2 = m− p1x1
⇒ x1 = m−10p12p1 > 0 si m− 10p1 > 0
⇒ x2 = (10 + x1) p1p2 =
³
5p1
p2
+ m2p2
´
si m− 10p1 > 0.
Verificar CSO.
Caso B (x1 = 0;x2, λ > 0): x2 − λp1 ≤ 0; 10− λp2 = 0⇒ x2 ≤ 10p1p2 ⇒ m10 ≤ p1
x2 =
m
p2
No hay CSO (es un sólo punto).
Demandas:
xM1 =
½ m−10p1
2p1
si p1 < m10
0 si p1 ≥ m10
xM2 =
½ 1
p2
¡
5p1 +
m
2
¢
si p1 < m10
m
p2
si p1 ≥ m10
a. [5 puntos] Considere el caso en que x1 y x2 son positivos. Obtenga la elasticidad
precio de la demanda marshalliana por el bien 2 (ηM22) usando la Agregación de
Cournot. Explique cuál es la lógica económica del resultado encontrado.
Respuesta:
De xM1 vemos que η
M
12 = 0. Luego, usando α1η
M
12 + α2 + α2η
M
22 = 0 obtenemos
ηM22 = −1. Intuición: si aumenta p2 no cambia gasto en bien 1, por lo que el gasto en
el bien 2 debe permanecer constante (ya que el ingreso no ha cambiado). Entonces
la reducción en el consumo del bien 2 debe compensar exactamente el aumento en su
costo unitario.
b. [3 puntos] ¿Es constante la elasticidad precio (propia) de la demanda marshalliana
por ambos bienes? Fundamente.
Respuesta:
ηM11 no es constante (basta ver que cuando p1 ≥ m10 , ηM11 = 0, y distinta de 0 en el otro
tramo) pero ηM22 sí lo es (
∂ lnxM2
∂ ln p2
= −1 en ambos tramos).
c. [8 puntos] Encuentre la función de utilidad indirecta. ¿Es esta función de utilidad
indirecta homogénea de grado cero en precios e ingreso? Demuestre, y explique cuál
es la lógica económica del resultado encontrado.
Respuesta:
Evaluando la función de utilidad en las demandas marshallianas obtenemos:
v (p1, p2,m) =
( ³
10 + m−10p12p1
´
1
p2
¡
5p1 +
m
2
¢
si p1 < m10
10mp2 si p1 ≥ m10
=
(
1
4
(m+10p1)
2
p1p2
si p1 < m10
10mp2 si p1 ≥ m10
Se verifica que es homogénea de grado cero. Intuición: si cambian (se multiplican por
λ) precios e ingreso en igual proporción, no se modifica el conjunto de posibilidades
de consumo, por lo que la máxima utilidad que se puede alcanzar debe ser la misma.
(2) [20 puntos] Bienestar
Las preferencias de Ana (A) y Beatriz (B) se representan mediante las siguientes funciones
de utilidad:
uA (x1, x2) = 100x1x2
uB (x1, x2) = ln
¡
x21
¢
+ ln
¡
x22
¢
Ambas tienen el mismo ingreso m = 100, y enfrentan los mismos precios p1 y p2 por los
bienes 1 y 2 respectivamente. Suponga que inicilamente p1 = p2 = 1, pero luego p1 se
duplica.
a. [8 puntos] Calcule y compare el cambio en la máxima utilidad que pueden alcanzar
Ana y Beatriz respectivamente debido a este cambio en p1.
Respuesta:
Ambas funciones de utilidad representan la misma preferencia (ya que la segunda es
una transformación monótona creciente de la primera: uB = ln
³
uA
100
´2
). Luego, las
demandas marshallianas deben coincidir: xM1 =
m
2p1
;xM2 =
m
2p2
.
Para Ana: vA (p1, p2,m) = 25 m
2
p1p2
⇒ máxima utilidad alcanzable cae de 25 ∗ 1002 a
25 ∗ 10022 (cae en 125.000)
Para Beatriz: vB (p1, p2,m) = ln
³
m4
16p21p
2
2
´
⇒ máxima utilidad alcanzable cae de
ln
³
1004
16
´
a ln
³
1004
32
´
(cae en 0.693 15, menos que para Ana).
b. [4 puntos] Calcule el cambio en el bienestar debido a este cambio en p1 usando la
variación compensatoria, para Ana y Beatriz respectivamente.
Respuesta:
Es el mismo cambio en bienestar para ambas:
q
25∗1002∗2
25 −
q
25∗1002
25 = 41.421
c. [4 puntos] ¿Cuál de los dos cambios en bienestar es mayor (para Ana o Beatriz)?
¿A qué se debe este resultado? Sea preciso.
Respuesta:
i. Es el mismo cambio en bienestar, debido a que la preferncia de Ana y Beatriz es
la misma.
d. [4 puntos] ¿Qué puede concluir, respecto de cuál de las dos se ve más afectada por
el alza en p1?
Respuesta:
Sólo se puede concluir que las afecta a las dos por igual. De hecho, Ana y Beatriz
podrían ser la misma persona.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Loreto Cox
Pilar Alcalde
Segundo Control
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 105 puntos
Escoja 80 dentro de los siguientes 105 puntos
Importante:
• No se recorrigen pruebas con lápiz grafito (aunque sólo sea en una parte).
• Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
1. Preguntas cortas [40 puntos]
(a) [10 puntos] Explique por qué si la función de producción f (K,L) tiene retornos cons-
tantes a escala, el gráfico de las funciones de productividad marginal y media debe ser
como en el siguiente dibujo:
L K0L 0K
PMeL
PMgL
PMeK
PMgK
L K0L 0K
PMeL
PMgL
PMeK
PMgK
donde las curvas más oscuras se refieren al trabajo (el que aumenta de izquierda a derecha),
y las punteadas se refieren al capital (que aumenta de derecha a izquierda).
(b) [5 puntos] Una tecnología con retornos crecientes a escala es siempre preferible a una con
retornos decrecientes a escala. Comente.
(c) [5 puntos] Un impuesto al trabajo hace que el trabajo sea sustituido por capital, mientras
que un impuesto al capital hace caer la producción, y por consiguiente el empleo. Comente
en el contexto de una empresa individual.
(d) [5 puntos] El costo marginal de producción es menor en el largo plazo que en el corto
plazo. Comente.
(e) Explique por qué:
i. [5 puntos] La oferta individual puede no existir.
ii. [5 puntos] La oferta individual, si existe, no puede tener pendiente negativa.
iii. [5 puntos] Un aumento del precio de venta del producto de x% hace crecer las
ganancias del empresario a lo menos en x%.
2. Rendimientos, costos y oferta [40 puntos]
Considere la siguiente función de producción:
f (K,L) = LαKβ
donde K ≥ 0 es capital y L ≥ 0 es trabajo, y α, β > 0.
(a) [5 puntos] Determine bajo qué condiciones el trabajo tiene retornos decrecientes.
(b) [5 puntos] Determine bajo qué condiciones el trabajo y el capital son q−complementarios.
(c) [5 puntos] Determine bajo qué condiciones esta tecnología presenta retornos decrecientes
a escala.
(d) [10 puntos] Encuentre la función de costos.
(e) [5 puntos] Encuentre la función de oferta, explicitando qué necesita suponer para que,
de hecho, exista.
(f) [5 puntos] Encuentre las demandas por capital y trabajo en el caso que la condición
establecida en (e) se cumpla.
(g) [5 puntos] Verifique y explique por qué en ese caso (el de la condiciónestablecida en (e))
debe cumplirse que fKL <
√
fLLfKK .
3. Instituciones sin fines de lucro [25 puntos]
Instituciones de caridad, como el Hogar de Cristo, intentan entregar la mayor cantidad de
prestaciones (q) de servicios (como manutención de ancianos y niños en riesgo social, tratamien-
tos de desintoxicación, etc.) que les sea posible. En la producción de esas prestaciones utilizan
trabajo (Lq) y otros insumos (z). El producto no lo venden; en cambio, se financian con
donaciones en dinero (D) de terceros. Además, los voluntarios (L1) donan su trabajo. Con-
seguir donaciones, sin embargo, requiere trabajo: D = f (Ld), donde Ld es el número de
trabajadores (voluntarios o no) dedicados a conseguir donaciones. Similarmente, conseguir
voluntarios requiere trabajo: L1 = g (Lv), donde Lv es el número de trabajadores (volun-
tarios o no) dedicados a conseguir nuevos voluntarios. Así, la siguiente identidad muestra
el origen (a la izquierda) y el uso (a la derecha) del trabajo total empleado por la institu-
ción: L1 + L2 = Lq + Ld + Lv. Las donaciones, por otro lado, deben financiar los costos:
D ≥ w2L2+wzz, donde L2 son los trabajadores contratados por un sueldo w2, y wz es el pre-
cio unitario de los otros insumos. Suponga que la función de producción es q = min {aLq, z} ,
y que tanto f como g son funciones crecientes y cóncavas en sus respectivos argumentos.
(a) [15 puntos] Plantee el lagrangeano asociado al problema de decisión de la institución.
(b) [5 puntos] Resuélvalo suponiendo que todas las variables de decisión son estrictamente
positivas en el óptimo.
(c) [5 puntos] Explique los principales aspectos de la regla de decisión implícita en la solución
del problema. En particular, explique por qué el costo marginal de conseguir voluntarios
debe ser igual al salario w2.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Loreto Cox
Pilar Alcalde
Segunda Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 80 puntos
1. [20 puntos] Preguntas cortas
(a) [5 puntos] Si una función de producción tiene rendimientos marginales decrecientes en
todos y cada uno de sus insumos, entonces debe también tener rendimientos decrecientes
a escala. Comente.
(b) [5 puntos] El equilibrio del mercado monopólico de un bien que se puede revender sin
costo alguno es e…ciente: la única manera de que los consumidores ganen es que se cobre
un precio menor, pero en ese caso el monopolista está peor. Así, como no se puede
mejorar la situación de uno sin que empeore la de otro, la situación inicial es óptima en
el sentido de Pareto. Comente.
(c) [5 puntos] Alguna gente se queja de que el monopolista gana mucho. Un economista
kaldoriano se queja de lo contrario: el monopolista gana demasiado poco. Si se apropiara
de su aporte completo, la asignación sería e…ciente. Comente.
(d) [5 puntos] Dos amigas van a la playa, y deben decidir dónde ubicarse. Una pre…ere
cerca del agua, la otra pre…ere cerca de la calle. Mientras más lejos está cada una de su
ubicación favorita, peor está. Encuentre las ubicaciones óptimas en el sentido de Pareto.
Dibuje y explique.
2. [25 puntos] Mu
Considere el caso de un ganadero, que es monopolista (de pura suerte) tanto en el mercado de
la carne como en el del cuero. De cada cabeza de ganado se obtienen 1 unidad de carne y 1 de
cuero. Sean y el número de cabezas de ganado criadas y faenadas, q1 la cantidad vendida de
carne y q2 la cantidad vendida de cuero, donde q1 · y y q2 · y. Suponga que las ecuaciones
de las demandas inversas de carne y cuero son, respectivamente, p1 = f1 (q1) y p2 = f2 (q2),
es decir, las demandas de carne y cuero no están relacionadas. Suponga además que el costo
medio de criar y faenar una cabeza de ganado es constante e igual a c. Determine el óptimo
del monopolista. Explique bajo qué condiciones va a preferir botar algo de carne o de cuero
a la basura.
3. [20 puntos] Agente representativo
Considere una economía compuesta por dos consumidores, 1 y 2, cuyas preferencias se repre-
sentan mediante las funciones:
u (x1i, x2i) = (x1i)
αi (x2i)
1¡αi
donde i = 1, 2, α1 = 0, 2 y α2 = 0, 8.
(a) [5 puntos] Derive las demandas individuales y la demanda agregada por los bienes 1 y 2.
(b) [7 puntos] Inicialmente ambos consumidores tienen un ingreso idéntico de m1 = m2 =
100, y enfrentan los precios p1 = p2 = 1. Después, el ingreso del consumidor 1 es
m1 = 180, y el ingreso del consumidor 2 es m2 = 20 (de modo que el ingreso total sigue
siendo M = 200). Muestre que si junto con la redistribución del ingreso p1 cayera, la
cantidad total consumida también podría caer, a pesar de que el ingreso total no cambia.
Muestre explícitamente para qué niveles de p01 ocurriría esto. ¿Signi…ca esto que el bien
1 es un bien Gi¤en? Fundamente.
(c) [8 puntos] Suponga en cambio que, junto con la redistribución del ingreso, los precios de
los bienes 1 y 2 cambian a p1 = 0, 8 y p2 = 2 respectivamente. ¿Se cumple en este caso
el Axioma Débil de Preferencias Reveladas a nivel agregado (es decir, considerando la
cantidad total demandada de ambos bienes)? ¿Qué relación tiene esto con la existencia
de un Agente Representativo?
4. [15 puntos] Oferta individual y oferta agregada
Producto de la caída en el precio del dólar, algunos productores frutícolas han anunciado
que por este año no cosecharán fruta. Esto, porque a pesar de tener que pagar costos …jos
inevitables (riego y mantención mínima de los frutales para evitar que se mueran), al no
producir evitan el pago de los costos variables (en fertilizantes, fungicidas, poda y cosecha) y
los costos …jos evitables (arriendo de maquinarias y montaje para la cosecha y embalaje).
(a) [10 puntos] Suponga que la función de produción (que relaciona cantidad producida en
kilos, q, con uso de insumos variables z1 y z2) de cada fruticultor es de la forma:
q =
p
z1 +
p
z2
Los precios de los insumos variables son w1 = 100 y w2 = 150. El precio actual interna-
cional (en pesos chilenos) de la fruta es p = 500 (y el precio en el mercado nacional es
menor aún). ¿Cómo debe ser el costo …jo evitable para que efectivamente no les convenga
producir al precio actual?
(b) [5 puntos] Suponga que el costo …jo total es 1500 en el largo plazo, en que todos los
costos …jos que eran inevitables pasan a ser evitables. ¿Cómo tendría que ser el precio p
para que les convega producir? ¿Cómo sería la oferta de la industria frutícola en el largo
plazo, en que pueden entrar más fruticultores a producir (sin tomar en cuenta eventuales
indivisibilidades y discontinuidades)? Fundamente brevemente.
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
² És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es, en general, la única respuesta
correcta.
² No se espera que las respuestas que Ud. dio en la prueba tengan esta extensión.
1. [20 puntos] Preguntas cortas
(a) [5 puntos] Si una función de producción tiene rendimientos marginales decrecientes en
todos y cada uno de sus insumos, entonces debe también tener rendimientos decrecientes
a escala. Comente.
Respuesta: No. Por una parte, puede que los rendimientos marginales sean decrecientes
pero los medios crecientes. Ese sería el caso del insumo i si PMgi > PMei, es decir, si
su elasticidad insumo-producto fuese nayor que 1: εq,zi > 1. Si eso ocurre con todos los
insumos, necesariamente hay retornos crecientes a escala. Para ver esto, recuerde que
la elasticidad insumo-producto total mide el cambio porcentual en el producto frente a
un cambio en todos los insumos en una determinada, por lo que f tiene rendimientos a
escala crecientes si y sólo si εP T > 1. Por otro lado, recuerde que esta elasticidad es la
suma de las elasticidades individuales:
εP T =
X
i
εq,zi
De esta expresión se deduce, también, que puede que todos los insumos tengan rendimien-
tos medios decrecientes (εq,zi < 1 para todo zi) y sin embargo haber rendimientos cre-
cientes a escala (
P
i εq,zi > 1).
(b) [5 puntos] El equilibrio del mercado monopólico de un bien que se puede revender sin
costo alguno es e…ciente: la únicamanera de que los consumidores ganen es que se cobre
un precio menor, pero en ese caso el monopolista está peor. Así, como no se puede
mejorar la situación de uno sin que empeore la de otro, la situación inicial es óptima en
el sentido de Pareto. Comente.
Respuesta: El equilibrio es e…ciente si no admite mejoras paretianas. Sin embargo, en
este caso sí la hay: podríamos pedirle al productor que aumentara la producción en una
unidad y compensarlo en su costo marginal (de manera que el monopolista quede igual)
y entregársela al consumidor con mayor valoración dentro de los que no compraban al
precio monopólico, cobrándole lo que le pagamos al monopolista. Como en la situación
incial P > CMg , sabemos que existe un consumidor con esas caracterísiticas. Luego, el
equilibrio es ine…ciente o subóptimo en el sentido de Pareto.
Uno podría objetar que no es posible cobrar un precio distinto a distintos consumidores
o por diversas unidades Eso es cierto en equilibrio: precisamente por eso el monopolista
pre…ere desaprovechar esa ganancia potencial (P ¡ CMg) . Sin embargo, es concebible
otra asignación de recursos como la descrita, aunque para implementarla se requiera de
un sistema de asignación distinto al del intercambio libre.
(c) [5 puntos] Alguna gente se queja de que el monopolista gana mucho. Un economista
kaldoriano se queja de lo contrario: el monopolista gana demasiado poco. Si se apropiara
de su aporte completo, la asignación sería e…ciente. Comente.
Respuesta: Esta última frase es verdadera. Si el monopolista pudiera apropiarse del
excedente completo, entonces la curva de demanda pasaría a ser su ingreso marginal, por lo
que produciría hasta agotar todos los bene…cios potenciales del intercambio (P = CMg),
resultando (a diferencia de la pregunta anterior) en una asignación e…ciente.
No confundir con competencia perfecta: en este ejemplo, el monopolista se apropia de su
aporte, pero los consumidores no. La competencia perfecta no es necesaria para conseguir
una asignación e…ciente.
(d) [5 puntos] Dos amigas van a la playa, y deben decidir dónde ubicarse. Una pre…ere
cerca del agua, la otra pre…ere cerca de la calle. Mientras más lejos está cada una de su
ubicación favorita, peor está. Encuentre las ubicaciones óptimas en el sentido de Pareto.
Dibuje y explique.
Respuesta: Las ubicaciones e…cientes son las que están entre las favoritas de cada una.
En efecto, en puntos intermedios moverse hacia la favorita de cualquiera mejora a aquella
que la pre…ere pero empeora a la otra, por lo que ubicaciones como esas no admiten
mejoras paretianas. En cambio, si partimos del punto favorito de una y las movemos en
dirección contraria a la favorita de la otra, ambas están peor, por lo que ubicaciones de
este tipo son ine…cientes.
El dibujo depende de la dimensión escogida. Si las ubicaciones son puntos en una línea,
entonces las ubicaciones e…cientes corresponden al intervalo entre los dos puntos favoritos.
Si las ubicaciones son puntos en un plano, entonces las ubicaciones e…cientes corresponden
al segmento de la recta que une a ambos puntos. Puntos intermedios pero fuera de la
recta signi…can una distancia total de cada una respecto de su lugar favorito mayor que lo
necesario (porque la suma de los catetos es mayor que la hipotenusa, referidos al triángulo
formado por la ubicación considerada y los dos puntos favoritos).
2. [25 puntos] Mu
Considere el caso de un ganadero, que es monopolista (de pura suerte) tanto en el mercado de
la carne como en el del cuero. De cada cabeza de ganado se obtienen 1 unidad de carne y 1 de
cuero. Sean y el número de cabezas de ganado criadas y faenadas, q1 la cantidad vendida de
carne y q2 la cantidad vendida de cuero, donde q1 · y y q2 · y. Suponga que las ecuaciones
de las demandas inversas de carne y cuero son, respectivamente, p1 = f1 (q1) y p2 = f2 (q2),
es decir, las demandas de carne y cuero no están relacionadas. Suponga además que el costo
medio de criar y faenar una cabeza de ganado es constante e igual a c. Determine el óptimo
del monopolista. Explique bajo qué condiciones va a preferir botar algo de carne o de cuero
a la basura.
Respuesta : El problema:
max
y,q1,q2
π = f1 (q1) q1 + f2 (q2) q2 ¡ cy
s/a q1, q2 2 [0, y]
tiene el lagrangeano asociado:
max
y,q1,q2,λ1,λ2
L = f1 (q1) q1 + f2 (q2) q2 ¡ cy + λ1 (y ¡ q1) + λ2 (y ¡ q2)
con las condiciones de Kuhn-Tucker:
∂L
∂q1
= q1
∂f1
∂q1
+ f1 ¡ λ1 · 0 chc:
∂L
∂q1
q1 = 0
∂L
∂q2
= q2
∂f2
∂q2
+ f2 ¡ λ2 · 0 chc:
∂L
∂q2
q2 = 0
∂L
∂y
= ¡c + λ1 + λ2 · 0 chc:
∂L
∂y
y = 0
∂L
∂λ1
= (y ¡ q1) ¸ 0 chc:
∂L
∂λ1
λ1 = 0
∂L
∂λ2
= (y ¡ q2) ¸ 0 chc:
∂L
∂λ2
λ2 = 0
que son su…cientes porque f1 y f2 son decrecientes y el costo medio es constante. Cuando le
conviene producir (y > 0) tenemos:
c = λ1 + λ2
Entonces, en el caso en que q1 = q2 = y:
IMg1 + IMg2 = c
En general, entonces, el óptimo ocurre cuando la suma de ingresos marginales es igual al
costo marginal de producción: producir una unidad adicional cuesta c, y permite aumentar los
ingresos por venta de carne en IMg1 y los de cuero en IMg2, resultando en un aumento de
los ingresos totales de IMg1 + IMg2.
Ahora bien, puede ocurrir que el IMg de alguno de estos productos se haga 0 antes de la
cantidad y¤. Por ejemplo, el cuero. En este caso, q1 y q2 serían positivas, pero q1 = y y
q2 < y:
λ1 =
µ
q1
∂f1
∂q1
+ f1
¶
= IMg1 = c > 0
λ2 =
µ
q2
∂f2
∂q2
+ f2
¶
= 0
En este caso, el nivel de producción y se determina igualando el costo marginal al ingreso
marginal de la carne. Dado que se produce esa cantidad de carne, el costo marginal de
producir cuero es cero para cualquier nivel siempre que sea inferior a y. La segunda ecuación
entonces dice que el costo marginal de producir cuero (0) es igual al ingreso marginal de vender
cuero, por lo que de facto se maximiza el ingreso por ventas de cuero.
3. [20 puntos] Agente representativo
Considere una economía compuesta por dos consumidores, 1 y 2, cuyas preferencias se repre-
sentan mediante las funciones:
u (x1i, x2i) = (x1i)
αi (x2i)
1¡αi
donde i = 1, 2, α1 = 0, 2 y α2 = 0, 8.
(a) [5 puntos] Derive las demandas individuales y la demanda agregada por los bienes 1 y 2.
Respuesta:
Las demandas individuales son de la forma:
x¤1i = αi
mi
p1
;x¤2i = (1 ¡ αi)
mi
p2
Luego, las demandas agregadas son:
X1 = 0.2
m1
p1
+ 0.8
m2
p1
X2 = 0.8
m1
p1
+ 0.2
m2
p1
(b) [7 puntos] Inicialmente ambos consumidores tienen un ingreso idéntico de m1 = m2 =
100, y enfrentan los precios p1 = p2 = 1. Después, el ingreso del consumidor 1 es
m1 = 180, y el ingreso del consumidor 2 es m2 = 20 (de modo que el ingreso total sigue
siendo M = 200). Muestre que si junto con la redistribución del ingreso p1 cayera, la
cantidad total consumida también podría caer, a pesar de que el ingreso total no cambia.
Muestre explícitamente para qué niveles de p01 ocurriría esto. ¿Signi…ca esto que el bien
1 es un bien Gi¤en? Fundamente.
Respuesta:
Inicialmente: X1 = 0.2 ¤ 100 + 0.8 ¤ 100 = 100 = X2
Finalmente:
X1 = 0.2180p1 + 0.8
20
p1
0.2 180p1 + 0.8
20
p1 < 100 si p1 > 0.52
Luego, para 0.52 < p01 < 1 la cantidad total consumida cae, pero eso no signi…ca que el
bien 1 sea Gi¤en: a nivel individual, si mantenemos ingreso constante y cae p1, la cantidad
demandada aumenta. El problema es que los ingresos individuales no están constantes
en este caso.
(c) [8 puntos] Suponga en cambio que, junto con la redistribución del ingreso, los precios de
los bienes 1 y 2 cambian a p1 = 0, 8 y p2 = 2 respectivamente. ¿Se cumple en este caso
el Axioma Débil de Preferencias Reveladas a nivel agregado (es decir, considerando la
cantidad total demandada de ambos bienes)? ¿Qué relación tiene esto con la existencia
de un Agente Representativo?
Respuesta:
Inicialmente: X1 = 0.2 ¤ 100 + 0.8 ¤ 100 = 100 = X2
Finalmente:
X1 = 0.21800.8 + 0.8
20
0.8 = 65
X2 = 0.81802 + 0.2
20
2 = 74
a precios 1,1 ¿puedo comprar canasta …nal? Sí:65 + 74 = 139 < 200
a precios 0.8,2 ¿puedo comprar la canasta inicial? No: 100 ¤ 0.8 + 100 ¤ 2 = 280 > 200
Luego, se cumple el Axiomadébil.
Respecto del agente representativo: ya en la pregunta a) notamos que no podemos escribir
la demanda agregada en función de M, por lo que no podríamos pensar en la demanda
agregada como el resultado de la maximización de utilidad de un agente representativo
con ingreso M . Así, en la b) notamos que para ciertos niveles de p1, ocurre que al caer
p1 manteniendo M constante cae la cantidad demandada del bien 1 (a pesar de que no
podemos decir que la elasticidad ηX1,M sea negativa). En c) no veri…camos que se viole
el axioma débil para estos precios, pero sigue siendo cierto que no podemos pensar en un
agente representativo para este caso.
De hecho, si p2 huebiera caido a 1.2, por ejemplo, no se cumpliría el axioma débil: …-
nalmente consumiría X2 = 0.81801.2 + 0.2
20
1.2 = 123. 33, de modo que en ambos períodos
le alcanzaría para comprar la canasta del otro período: 65 + 123.33 = 188. 33 < 200 y
100 ¤ 0.8 + 100 ¤ 1.2 = 200. Entonces, en este caso sería evidente que no podemos pensar
en la demanda agregada como el resultado de la maximización de utilidad de un agente
representativo mirando los axiomas de preferncias reveladas.
4. [15 puntos] Oferta individual y oferta agregada
Producto de la caída en el precio del dólar, algunos productores frutícolas han anunciado
que por este año no cosecharán fruta. Esto, porque a pesar de tener que pagar costos …jos
inevitables (riego y mantención mínima de los frutales para evitar que se mueran), al no
producir evitan el pago de los costos variables (en fertilizantes, fungicidas, poda y cosecha) y
los costos …jos evitables (arriendo de maquinarias y montaje para la cosecha y embalaje).
(a) [10 puntos] Suponga que la función de produción (que relaciona cantidad producida en
kilos, q, con uso de insumos variables z1 y z2) de cada fruticultor es de la forma:
q =
p
z1 +
p
z2
Los precios de los insumos variables son w1 = 100 y w2 = 150. El precio actual interna-
cional (en pesos chilenos) de la fruta es p = 500 (y el precio en el mercado nacional es
menor aún). ¿Cómo debe ser el costo …jo evitable para que efectivamente no les convenga
producir al precio actual?
Respuesta:
El costo total evitable es
CTE = 60q2 + E
Le conviene producir si p > CMeE. Dado que p = CMg en el óptimo, la condición de
cierre se obtienene a partir de CMg = CMeE (o CMeE mínimo)) 120q = 60q + Eq )
q =
q
E
60 . Luego, el punto de cierre es 120
q
E
60 . Si no producen, es porque 120
q
E
60 >
500 ) E > 31253 = 1041.7
(b) [5 puntos] Suponga que el costo …jo total es 1500 en el largo plazo, en que todos los
costos …jos que eran inevitables pasan a ser evitables. ¿Cómo tendría que ser el precio p
para que les convega producir? ¿Cómo sería la oferta de la industria frutícola en el largo
plazo, en que pueden entrar más fruticultores a producir (sin tomar en cuenta eventuales
indivisibilidades y discontinuidades)? Fundamente brevemente.
Respuesta:
Nuevamente, vemos condición de cierre: 120q = 60q + 1500q ) q = 5. Luego, el precio
tendría que ser mayor que 120 ¤ 5 = 600. La oferta de largo plazo de la industria (si
todos los productores potenciales son idénticos, es decir, si la tecnología es replicable)
sería entonces horizontal en p = 600.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Loreto Cox
Pilar Alcalde
Tercer Control
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 100 puntos
Conteste 80 de los siguientes 100 puntos
Importante:
• No se recorrigen pruebas con lápiz grafito (aunque sólo sea en una parte).
• Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
1. Preguntas cortas [15 puntos]
(a) [6 puntos] Un individuo averso al riesgo siempre preferirá un seguro con cobertura com-
pleta. Comente.
(b) [9 puntos] Si dos personas están en desacuerdo respecto de la probabilidad de que Brasil
sea el campeón mundial de fútbol 2006, entonces se consigue una mejora paretiana si
apuestan sobre eso. Comente.
2. Intercambio [30 puntos]
Considere una economía de intercambio con consumidores A y B, cuyas preferencias se repre-
sentan mediante las siguientes funciones:
uA
¡
xA1 , x
A
2
¢
=
¡
xB1
¢ ¡
xB2
¢3
uB
¡
xB1 , x
B
2
¢
=
¡
xB1
¢3 ¡
xB2
¢
Suponga que las dotaciones iniciales de bienes para A y B son respectivamente
¡
xA1 , x
A
2
¢
=
(100, 100) y
¡
xB1 , x
B
2
¢
= (900, 100).
(a) [10 puntos] Derive la curva de contrato. Grafique.
(b) [7 puntos] Ubique la dotación en la caja de Edgeworth. ¿Existen ganancias potenciales
del intercambio? Fundamente, mostrando la curva de contrato restringida.
(c) [7 puntos] Usando su resultado anterior y apelando al Primer Teorema del Bienestar (o
de cualquier otra forma), encuentre el equilibrio walrasiando (precios y asignación).
AYUDA: derivar sin pensar es errar.
(d) [6 puntos]Muestre que si las dotaciones iniciales fueran en cambio
¡
xA1 , x
A
2
¢
= (130, 90) y¡
xB1 , x
B
2
¢
= (870, 110), el equilibrio walrasiano (precio y asignación) sería el mismo que el
encontrado en (c).
3. Leoncio León y Tristón [20 puntos]
Leoncio y Tristón son socios en una empresa en partes iguales. La empresa está considerando
tres proyectos de inversión excluyentes entre sí, que dejarían, dependiendo del escenario que
se dé, las siguientes ganancias (netas de lo invertido):
Proyecto A B C
Escenario 1 10 -1 500
Escenario 2 0 100 -2
Los analistas les dicen que el escenario 1 es casi imposible, por lo que recomiendan que se
escoja el proyecto B. Sin embargo, a ellos no les importan las probabilidades. En cambio,
sus preferencias están dadas por:
ULeoncio (c1, c2) = max {c1, c2}
UTristón (c1, c2) = min {c1, c2}
(a) [10 puntos] Dibuje los mapas de curvas de indiferencia de Leoncio y Tristón. Explique
por qué decimos que Leoncio es un optimista, mientras que Tristón un pesimista.
(b) [5 puntos] Explique en qué sentido son racionales, y en qué sentido irracionales.
(c) [5 puntos] Determine qué proyecto escogería cada uno, y explique por qué un maxi-
mizador de utilidad esperada casi seguramente habría escogido B.
4. Megawatts [35 puntos]
Una generadora eléctrica es monopolista en la región. Dependiendo de qué tan crudo sea el
invierno, la demanda por electricidad puede ser alta (escenario A) o baja (escenario B). El
problema del monopolista es que debe decidir de qué capacidad (tamaño) construir la central
antes del invierno, porque su construcción toma tiempo. Una vez que construya una central
de tamaño k, no puede generar más que k megawatts. Las funciones de demanda inversa en
cada escenario son, respectivamente:
pA = 800− qA
pB = 500− qB
Construir una central de capacidad k le cuesta 100k. Una vez construida la central, el costo
marginal de generar electricidad es 0.
(a) [10 puntos] Explique por qué, si construyera una planta de tamaño k, las ganancias en
cada escenario serían, respectivamente:
A : uA =
½
160 000− 100k si qA < k
(800− k) k − 100k si qA = k
B : uB =
½
62 500− 100k si qB < k
(500− k) k − 100k si qB = k
(b) [5 puntos] Explique por qué necesariamente escogerá una producción igual a la capacidad
en el escenario A.
(c) [10 puntos] Determine qué capacidad escogería el monopolista si fuera neutral al riesgo
y le asociara una probabilidad de 50% al escenario A.
(d) [5 puntos] Si fuese averso al riesgo, ¿escogería una capacidad mayor o menor? Justifique.
(e) [5 puntos] Explique por qué, sin importar su creencia ni su grado de aversión al riesgo,
nunca escogerá una capacidad mayor o igual a 400.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2006
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Pilar Alcalde
Loreto Cox
Examen Final
Tiempo Total: 120 minutos
Puntaje Total: 120 puntos
1. [20 puntos] Preguntas cortas
(a) [4 puntos] Demuestre que el costo medio es creciente si y sólo si el costo marginal es
mayor que el medio.
(b) [8 puntos] Un consumidor gasta el 40% de su ingreso en el bien 1, y el 60% restante
en el 2. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas, falsas, o
simplemente posibles. Justifique.a. Sus curvas de indiferencia son cóncavas.
b. La elasticidad ingreso de la demanda del bien 1 es -3 y la del bien 2 es 1.
c. Las elasticidades precio cruzadas de las demandas hicksianas son iguales.
d. El bien 1 es un complemento bruto del 2, y el 2 es un sustituto bruto del 1.
(c) [8 puntos] Considere una industria en que participan dos empresas que se comportan de
acuerdo a los supuestos del modelo de Cournot: escogen simultáneamente las cantidades
a producir (q1 y q2), y luego la cantidad total Q se "remata" en el mercado. La demanda
de mercado es de la forma P = a − bQ. Ambas empresas emplean una tecnología de
rendimientos constantes a escala, pero la primera es más eficiente que la segunda: el costo
medio de producción de la primera es la mitad del costo medio de la segunda. Derive
las funciones de mejor respuesta de ambas empresas, y describa el equilibrio de Nash
resultante: cantidades producidas y ganancias de cada una (¿cuál produce más?, ¿cuál
tiene una mayor ganancia?, ¿por qué?).
2. [20 puntos] Economía política
A veces nos parece que el mundo está loco: se rechazan leyes que uno sospecha todos consideran
buenas. ¿Podemos de explicar algo así? Considere la siguiente situación: hay 3 congresistas,
i = 1, 2, 3. Ellos deben votar una ley impopular, pudiendo votar a favor (f) o en contra (c).
La ley se aprueba con al menos dos votos a favor. Los tres consideran que la ley es muy buena
para el país, por lo que cada uno gana 4 utiles si la ley es aprobada. Pero la ley es impopular,
por lo que quien vote a favor recibe un castigo del electorado. El castigo total es de 9 utiles,
a ser repartido entre quienes voten a favor de la ley. Es decir, si n congresistas votan a favor
de la ley, cada uno de ellos recibe un castigo de 9n utiles.
(a) [8 puntos] Encuentre la forma extensiva del juego dinámico en que el congresista 1 mueve
primero, el 2 segundo y el 3 tercero. Observe que el 2 decide sabiendo qué hizo el 1, y
que el 3 decide sabiendo qué hicieron el 1 y el 2.
(b) [4 puntos] Encuentre el único equilibrio perfecto en subjuegos de este juego. Explique
por qué cada congresista actúa de la manera en que lo hace.
(c) [8 puntos] ¿Es eficiente el resultado al que se llega? ¿Mejoraría la situación si el voto
fuera secreto, de manera que si la ley se aprueba, cada congresista recibiera un castigo de
3 = 93 utiles sin importar cómo votó? Explique claramente.
3. [20 puntos] Equilibrio parcial
Suponga que el cobre es producido por n empresas idénticas, perfectamente competitivas,
las que emplean tecnologías con rendimientos constantes a escala. Suponga además que los
dos insumos, trabajo calificado (L) y maquinarias (K), son específicos a esta industria, y se
ofrecen inelásticamente en el corto plazo en las cantidades L0 y K0. Sin embargo, producir
una máquina cuesta r0 (independiente del número de máquinas), y convencer a un trabajador
no calificado de entrenarse y trabajar cuesta w0 (también constante); la única razón por la
que la oferta de L y K son inelásticas en el corto plazo es que fabricar máquinas y entrenar
personas toma tiempo.
(a) [12 puntos] Explique el efecto que en el corto plazo tendría un aumento de la demanda
por cobre sobre la producción, el precio de venta, los precios pagados a los insumos, y
las ganancias de las empresas. En particular, si la demanda de cobre pasara de ser
P = 100−Q a ser P = 120− 1.2Q, ¿de qué magnitud (porcentual) son esos cambios?
(b) [8 puntos] Responda nuevamente (a), pero ahora pensando en el largo plazo.
4. [20 puntos] Elección y bienestar
Lalo y Lola realmente se complementan como pareja: uno es exactamente el opuesto del otro.
Así, mientras Lalo prefiere ir de luna de miel al campo (alternativa z), en segundo lugar a las
termas (alternativa x), y en último lugar a la playa (alternativa y), Lola prefiere en primer
lugar y, luego x y finalmente, y muy por debajo, z.
(a) [5 puntos] Construya una función de utilidad para Lalo y otra para Lola que representen
sus preferencias. Fundamente.
(b) [5 puntos] Lalo y Lola recurren a Pareto para que les ayude, si no a decidir, al menos
a descartar alguna alternativa. ¿Cuáles alternativas son óptimas de acuerdo a Pareto?
Justifique, usando las funciones de utilidad que construyó en (a). ¿Puede Pareto ayu-
darlos?
(c) [10 puntos] Justina, una amiga de la pareja, les recomienda lanzar una moneda al aire:
si sale cara, van a y, y si sale sello, van a z. Frente a esta propuesta, ellos responden al
unísono: “¡Ni locos! En ese caso, preferimos ir a x”. ¿Son las funciones de utilidad que
construyó en (a) coherentes con esta respuesta? En caso afirmativo, demuéstrelo. En
caso negativo, construya nuevas funciones de utilidad para Lalo y Lola que representen
sus preferencias y que a la vez sean coherentes con esta respuesta. En cualquier caso,
explique claramente.
5. [20 puntos] Intercambio
Considere una economía compuesta por dos consumidores, A y B, cuyas preferencias se repre-
sentan mediante las funciones:
uA
¡
xA1 , x
A
2
¢
= xA1 +
q
xA2
uB
¡
xB1 , x
B
2
¢
= xB1 +
q
xB2
Las dotaciones iniciales de bienes son
¡
xA1 , x
A
2
¢
y
¡
xB1 , x
B
2
¢
para los consumidores A y B
respectivamente.
(a) [6 puntos] Derive las demandas individuales por el bien 2 (para el caso en que el consumo
de ambos bienes es positivo).
(b) [6 puntos] Suponga que xA2 +x
B
2 = 50. Encuentre el precio relativo
³
p ≡ p1p2
´
de equilibrio.
(c) [4 puntos] Explique por qué para determinar el precio de equilibrio sólo necesitamos
conocer la dotación agregada del bien 2 (es decir, xA2 +x
B
2 ), y no la dotación agregada del
bien 1, ni la distribución de estas dotaciones agregadas entre individuos. Ayuda: ¿Cómo
es el efecto ingreso?.
(d) [4 puntos] Explique por qué, sin embargo, las asignaciones individuales de consumo en
equilibrio sí dependen de la distribución y de la dotación agregada de los bienes 1 y 2.
6. [20 puntos] Incertidumbre
Una compañía de seguros planea introducir un nuevo producto en el mercado, y debe decidir
qué precio q fijarle. Este nuevo producto es un seguro que paga una indemnización de monto
z (a elección del asegurado) en caso que ocurra el siniestro, a cambio de una prima de monto
qz (que el asegurado paga en cualquier caso si decide contratar el seguro).
Para simplificar, suponga que hay n potenciales compradores del seguro, y que cada uno tiene
una función Bernoulli de la forma:
u =
√
c
con c =consumo=ingreso disponible en cada evento. El ingreso inicial de cada consumidor si
no ocurre el siniestro es 100, y si ocurre el siniestro cae a 80. La probabilidad de que ocurra
el siniestro es 10%.
Suponga además que el dueño de la compañía de seguros es neutral al riego, de modo que
su función objetivo es la ganancia esperada, es decir, el valor esperado de la diferencia entre
ingresos y gastos. Los ingresos de la compañía provienen de la recaudación de la prima, y los
gastos, del pago de indemnizaciones.
(a) [8 puntos] Encuentre el monto de indemnización que escogería cada comprador potencial
para cada valor de q (la cobertura contratada no puede ser negativa, ni superar el 100%).
Indique explícitamente para qué valores de q el consumidor no contrataría el seguro, y
para qué valores contrataría un seguro de cobertura completa, y grafique.
(b) [5 puntos] Algunos recomiendan al dueño de la compañía que escoja el nivel de q que hace
que la cobertura contratada por los consumidores sea la más alta posible, argumentando
que así maximizaría sus ingresos y su ganancia. Otros le recomiendan lo contrario: que
escoja el nivel de q que hace que la cobertura contratada sea la más baja posible, para
así minimizar el costo esperado y maximizar su ganancia. Comente la validez de los
argumentos de ambos grupos, y argumente por qué razón el nivel de q óptimo no es el
que ellos proponen, sino uno intermedio. Sea preciso.
(c) [7 puntos] Plantee y resuelva el problema de optimización de la compañía de seguros.
Interprete la condición de primer orden.
Formulario
1 Consecuencias del teorema de la envolventeIdentidad de Roy
−
∂v(p1,p2,m)
∂pi
∂v(p1,p2,m)
∂m
= xMi (p1, p2,m) (1)
Lema de Shephard
∂C∗ (p1, p2, u)
∂pi
= xHi (p1, p2, u) (2)
2 Estática Comparativa del Óptimo del Consumidor
Agregación de Engel
nX
i=1
αiη
M
im = 1 (3)
Descomposición de Slutzky
ηMij = η
H
ij − αjηim (4)
Agregación de Cournot
αj +
nX
i=1
αiη
M
ij = 0 (5)
Simetría de Hicks
αiη
H
ij = αjη
H
ji (6)
Homogeneidad de grado 0 de las demandas
nX
j=1
ηMij + η
M
im = 0 (7)
nX
j=1
ηHij = 0 (8)
	Programa
	Control 1
	Prueba 1
	Pauta P1
	Control 2
	Prueba 2
	Pauta P2
	Control 3
	Examen