Compilado Evaluaciones 2002-1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Primer Semestre de 2002
Microeconomía I
EAE 210 B
Profesor : Felipe Zurita
fzurita@faceapuc.cl
Horario clases: LW 830 hrs., sala 108
Atención de alumnos : LW 1000 hrs.
Ayudantes : Gabriela Gurovich
Julio Riutort
Horario ayudantías: V 1000, sala 111
http://www.economia.puc.cl/profesores/fzurita/M1.htm
1 Objetivo y descripción
El objetivo de este curso es introducir a los alumnos en el análisis microeconómico tradi-
cional, esto es, la aplicación sistemática de la hipótesis de racionalidad en la toma de deci-
siones en el estudio del mercado como mecanismo de organización de la actividad económica.
Los temas a tratar incluyen las teorías del consumidor y del productor, el análisis de
mercados bajo competencia perfecta e imperfecta en equilibrio parcial, ciertos elementos de
teoría de juegos y una introducción al análisis de la incertidumbre.
Si bien el curso es predominantemente teórico, las aplicaciones de la teoría reciben
especial atención. El texto base para el curso es “Teoría Microeconómica: Principios
Básicos y Aplicaciones”, escrito por Walter Nicholson y editado por McGraw-Hill, sexta
edición, 1997 (330.1 N629m.E 1997). Otros libros que contienen el material que se cubrirá
en el curso son:
1. Frank, Robert H., “Microeconomía y Conducta”, McGraw-Hill, 1992.
2. Hirshleifer, Jack y Amihai Glazer, “Microeconomía, Teoría y Aplicaciones”, Prentice
Hall, quinta edición, 1994.
3. Varian, Hal, “Microeconomía: un Enfoque Moderno”, Antoni Bosch, tercera edición,
1993.
4. Fontaine, Ernesto, “Teoría de los Precios”, Ediciones Universidad Católica, tercera
edición, 1992.
5. Fernández de Castro, Juan y Juan Tugores, “Fundamentos de Microeconomía”, McGraw-
Hill, segunda edición, 1997.
1
6. Fernández de Castro, Juan y Juan Tugores, “Microeconomía”, McGraw-Hill, 1998.
7. Layard, Richard y Alan Walters, “Microeconomic Theory”, McGraw-Hill, 1978.
Las lecturas obligatorias, que pueden ser preguntadas directamente en las pruebas, se
indican con un asterisco (*). El resto es complementario. Es fundamental que las lecturas
obligatorias se lean antes (y después) de cada clase.
2 Programa
1. Introducción (1 clase).
(a) Visión global.
(b) Elementos Básicos de Microeconomía
* Nicholson, capítulo 1.
(c) Elementos Básicos de Optimización.
* Apuntes de clase (en página web).
† Edwards, G. Modelos de Optimización, Trabajo Docente No. 57, Marzo 1994.
Capítulos 2, 3, 4, 5 y 6 (pp.15-65).
† Chiang, Alpha: Métodos Fundamentales de Economía Matemática,
McGraw-Hill, 3a edición, 1987 (330.0151 C532f.E 1987), capítulos 12 y 21.
† Nicholson, capítulo 2.
2. Elección racional y demanda individual (9 clases).
(a) Relaciones de preferencia.
(b) Noción de utilidad.
(c) Restricción presupuestaria.
(d) El óptimo del consumidor en mercados competitivos.
(e) Estática comparativa: curvas de demanda, de Engel, relaciones entre elastici-
dades.
(f) Utilidad indirecta, dualidad, bienestar e índices.
(g) Reconstruyendo las preferencias a partir de las decisiones: preferencias reveladas.
* Nicholson, capítulos 3, 4, 5 y 6.
3. Oferta individual (4 clases).
(a) El objetivo de la empresa.
(b) Funciones de producción.
(c) El óptimo del productor en mercados competitivos.
(d) Estática comparativa: curvas de oferta, de demanda de factores y su relación.
2
(e) El óptimo del monopolista.
* Nicholson, capítulos 11, 12, 13 y 14.
4. Equilibrio en un mercado competitvo (3 clases).
(a) Demanda de mercado.
(b) Oferta agregada y efectos externos.
(c) Noción de competencia.
* Nicholson, capítulos 7, 15, 16 y 8.
5. Elección racional bajo incertidumbre (3 clases).
(a) Noción de riesgo.
(b) Utilidad esperada.
(c) Aversión al riesgo y aseguramiento.
(d) Riesgo moral y selección adversa.
* Nicholson, capítulos 9 y 10.
6. Juegos y oligopolio (5 clases).
(a) Racionalidad interactiva: estrategias dominantes y equilibrio de Nash.
(b) Juegos simultáneos en forma normal.
(c) Oligopolio.
(d) Juegos secuenciales: forma extensiva y perfección en subjuegos.
* Nicholson, capítulos 20, 21 y 22.
3 Exigencias
En el transcurso del semestre se entregarán guías de ejercicios. Estas guías no se evalúan,
sino que sólo sirven el propósito de facilitar el aprendizaje. Las pruebas cubren las materias
tratadas en clase y en las lecturas obligatorias (marcadas con *).
• Controles:
— Se elimina el peor.
— Se toman en la hora de ayudantía.
— El calendario de pruebas se encuentra en la página web.
• Las inasistencias a pruebas y controles no se justifican:
— En el caso de las pruebas, el porcentaje correspondiente se suma automática-
mente al del examen.
3
— En el caso de los controles, se obtiene un uno (pero se elimina el peor).
• Solicitudes de recorrección:
— Se hacen directamente al profesor, como máximo siete días después de la entrega
de la prueba o control.
— Se explican y fundamentan por escrito.
— No tendrá derecho a recorrección una prueba escrita total o parcialmente con
lápiz mina. En consecuencia, se recomienda escribir con lápiz pasta o lapicera la
prueba completa.
Ponderaciones
Controles 20%
Primera prueba 20%
Segunda prueba 25%
Examen final 35%
4
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudante: Julio Riutort
Control No1
Tiempo Total: 50 minutos
Puntaje Total: 10 puntos
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito,
pierde el derecho a recorrección.
1. Considere el problema:
max
{x1,x2}
(x1 − 2)2 + (x2 − 2)2
sujeto a x1 + x2 ≤ L
x1, x2 ≥ 0
donde L > 0.
(a) [1 punto] Plantee las condiciones de Kuhn-Tucker.
(b) [3 puntos] Encuentre los puntos que las satisfacen.
(c) [3 puntos] Verifique el cumplimiento de las condiciones de segundo orden
que corresponda, y determine el (los) máximo(s) global(es).
2. Las siguientes ecuaciones corresponden a la demanda y oferta internas de paltas:
Pd = 200− 2Qd
Po = 2Qo
El precio internacional es P ∗. Plantee para cada una de las siguientes preguntas,
un problema de optimización tal que su solución sea la respuesta. Especifique
claramente todas las restricciones que corresponda.
(a) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza la recaudación fiscal?
(b) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza el excedente total?
(c) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza el excedente de los
productores locales?
Pauta Control No1
1. El problema
max
{x1,x2}
(x1 − 2)2 + (x2 − 2)2
sujeto a x1 + x2 ≤ L
x1, x2 ≥ 0
tiene el lagrangeano asociado
max
{x1,x2,L}
$ = (x1 − 2)2 + (x2 − 2)2 + λ (L− x1 − x2)
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2)− λ ≤ 0 chc x1 ∂$
∂x1
= 0
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2)− λ ≤ 0 chc x2 ∂$
∂x2
= 0
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 ≥ 0 chc λ∂$
∂λ
= 0
El gráfico de las curvas de nivel orienta la búsqueda. La función es siempre
positiva, y alcanza su mínimo en el punto (2,2). Mientras más lejos de ese
punto, mayor valor alcanza. Siendo las curvas de nivel círculos concéntricos,
los puntos más lejanos en el triángulo que forma la restricción ocurre en alguno
de las esquinas: el origen o los extremos de los lados. De manera que para
valores de L pequeños, el máximo se debería alcanzar en (x1, x2) = (0, 0). En
cambio, para valores altos, en la frontera x1 + x2 = L, ya sea con x1 = 0 o
x2 = 0. Gráficamente:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2-1
1
2
3
4
5
Los casos a considerar son:
Caso x1 x2 λ
1 0 0 0 Origen
2 0 + + Esquina superior
3 + 0 + Esquina inferior
4 + + + Hipotenusa
5 + + 0 Interior
6 + 0 0 Cateto horizontal
7 0 + 0 Cateto vertical
8 0 0 + (Imposible)
En efecto, tenemos:
Caso 1: x1 = x2 = 0 = λ
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2) = −4 < 0
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2) = −4 < 0
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 > 0
Como en este caso hay dos restricciones de igualdad y dos variables, no hay
grados de libertad y, en consecuencia, no hay condiciones de segundo orden que
verificar. Se trata entonces de un máximo local.
Caso 2: x1 = 0, x2 > 0,λ > 0
∂$
∂λ
= L−x1 − x2 = 0⇒ x2 = L
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2)− λ = 0⇒ λ = 2 (L− 2) ≥ 0 si L ≥ 2
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2)− λ = −4− λ < 0
En este caso también hay dos restricciones, por lo que no hay condiciones de
segundo orden que verificar. Se trata entonces de un máximo local.
Caso 3: x1 > 0, x2 = 0,λ > 0
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 = 0⇒ x1 = L
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2)− λ = 0⇒ λ = 2L− 4 ≥ 0 si L ≥ 2
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2)− λ < 0⇒ −4− λ < 0
En este caso también hay dos restricciones, por lo que no hay condiciones de
segundo orden que verificar. Se trata entonces de un máximo local.
Caso 4: x1, x2,λ > 0
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2)− λ = 0
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2)− λ = 0 ⇒ 2 (x1 − 2) = 2 (x2 − 2)
⇒ x1 = x2
⇒ L = 2x1
⇒ x1 = x2 = L
2
En este caso también hay una restricción y dos variables, por lo que hay una
CSO que verificar:
¯̄
H
¯̄
=
¯̄̄̄
¯̄ f11 f12 g1f21 f22 g2
g1 g2 0
¯̄̄̄
¯̄ > 0
Pero
¯̄
H
¯̄
=
¯̄̄̄
¯̄ 2 0 10 2 1
1 1 0
¯̄̄̄
¯̄ = −4 < 0
por lo que no se trata de un máximo local (de hecho, es un mínimo local).
Caso 5: x1, x2 > 0,λ = 0
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2) = 0⇒ x1 = 2
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2) = 0⇒ x2 = 2
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 ≥ 0⇒ L ≥ 4
En este caso, no hay ninguna restricción, por lo que la CSO es H degativo
definido:
H =
µ
2 0
0 2
¶
neg.def⇔ |H1| < 0 y |H2| > 0
Pero |H1| = |2| > 0, por lo que la CSO no se satisface (de hecho, se trata de un
mínimo local).
Caso 6: x1 > 0, x2 = λ = 0
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2) = 0⇒ x1 = 2
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2) = −4 < 0
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 > 0⇒ L > 2
En este caso, la CSO corresponde a la de un problema con dos variables y una
restricción, que si la reemplazamos en la función objetivo, tenemos:
max
{x1}
(x1 − 2)2 + (−2)2
CPO : 2 (x1 − 2) = 0⇒ x1 = 2
CSO :
∂2
∂x21
= 2 ≮ 0
por lo que se trata de un mínimo local. El caso 7 (x1 = 0 = λ, x2 > 0) es
simétrico.
Cabe resaltar que el caso 8 (x1 = 0 = x2,λ > 0), al ser imposible, conduce a
una contradicción:
∂$
∂x1
= 2 (x1 − 2)− λ = −4− λ < 0
∂$
∂x2
= 2 (x2 − 2)− λ = −4− λ < 0
∂$
∂λ
= L− x1 − x2 = L = 0 Pero L > 0 :⇒⇐
Para determinar cuál (o cuáles) es (son) el (los) máximo(s) global(es), simple-
mente evaluamos los candidatos en la función objetivo:
Candidato f(x1, x2)
(x1, x2) = (0, 0) (−2)2 + (−2)2 = 8
(x1, x2) = (0, L) (−2)2 + (L− 2)2 = 4 + (L− 2)2
(x1, x2) = (L, 0) (L− 2)2 + (0− 2)2 = 4 + (L− 2)2
Como 8 ≥ 4 + (L− 2)2 si L ∈ [0, 4], concluimos que:
argmax f(x1, x2) =
½
(0, 0) L ∈ [0, 4]
{(0, L), (L, 0)} L ∈ (4,∞)
2. El gráfico de la situación planteada es:
0
50
100
150
200
$
20 40 60 80 100Cantidad
El precio internacional es P ∗. Plantee para cada una de las siguientes preguntas,
un problema de optimización tal que su solución sea la respuesta. Especifique
claramente todas las restricciones que corresponda.
(a) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza la recaudación fiscal?
Sea t la tarifa por unidad (alternativamente se podría definir una tar-
ifa porentual —“ad valorem”—) y Q las importaciones. A un precio fi-
nal de P , la cantidad demanda es de Qd = 100 − 12P , mientras que
la producción interna de Qo = P2 , resultando en importaciones de Q =½
100− 1
2
P − P
2
P ≤ 100
0 P > 100
(observe que si el precio final resulta por so-
bre el de la intersección de la demanda y la oferta internas, no hay im-
portaciones. De hecho, si P ∗ > 100, habría exportacions).
El problema es, entonces:
max
{t}
tQ
sujeto a Q =
½
100− P P ≤ 100
0 P > 100
P = P ∗ + t
t ≥ 0
(b) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza el excedente total?
Tenemos:
max
{t}
EC +EP +R
sujeto a (Q∗d −Q∗o) ≥ 0
EP =
Z Q∗0
0
µ
P − 1
2
Qo
¶
dQo
EC =
Z Q∗d
0
(200− 2Qd − P ) dQd
R = t (Q∗d −Q∗o)
P = P ∗ + t
donde Q∗d y Q
∗
o son las cantidades de equilibrio, definidas por:
200− 2Q∗d = P
Q∗o =
1
2
P
(c) [1 punto] ¿Qué tarifa a las importaciones maximiza el excedente de los
productores locales?
max
{t}
EP =
Z Q∗0
0
µ
P − 1
2
Qo
¶
dQo
sujeto a (Q∗d −Q∗o) ≥ 0
P = P ∗ + t
OBSERVACIONES:
i. Claramente existen muchas maneras de presentar estos problemas, de-
pendiendo de cuántas restricciones se reemplazan, y de cuántas inte-
grales se evalúan. Lo importante es ser cuidadoso en que el problema
esté bien definido.
ii. La pregunta pide plantear, no resolver, por que las soluciones prop-
uestas no son consideradas para efectos de la nota.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Julio Riutort
Francisco Benedetto
Control No2
Tiempo Total: 60 minutos
Puntaje Total: 10 puntos
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito,
pierde el derecho a recorrección.
1. Comente las siguientes aseveraciones:
(a) [1 punto] Si una función de producción es homogénea, entonces tiene
rendimientos decrecientes a escala.
(b) [1 punto] Es óptimo producir bajo rendimientos crecientes, porque esto
significa costos menores.
2. Considere la función de producción:
f(K,L) = min {9 + L,K}
(a) [1 punto] Encuentre y caracterice las funciones de producto marginal de
cada factor. Grafique.
(b) [1 puntos] Muestre que esta función exhibe retornos decrecientes a escala
sobre la línea 9 + L = K.
(c) [1 puntos] Encuentre la función de costos de largo plazo de la empresa que
posee esta tecnología y opera en mercados perfectamente competitivos de
insumos. Sea cuidadoso(a) con el hecho de que esta función puede tener
distintas definiciones algebraicas en distintas partes de su dominio.
(d) [1 puntos] Caracterice la estructura de costos encontrando y graficando
las funciones de costo marginal y costo medio. Relacione estos resultados
con lo encontrado en (a) y (b).
(e) [1 puntos] Encuentre la función de costos de corto plazo asociada a un
nivel de capital de K = 10. Muestre que esa función de costos de corto
plazo es mayor que la de largo plazo, salvo en un punto. Grafique.
(f) [1 puntos] Explique por qué el resultado encontrado en (e) no es específico
al ejemplo, sino que, por el contrario, debiera darse en general.
3. Para pescar q reinetas en un bote por mes, se requiere obviamente de un bote,
cuyo arriedo cuesta $20.000, y L horas de trabajo, donde
q = 100
√
L
(a) [1 punto] Si cada reineta se vende en $200, y el salario por hora de un
pescador es de $1.000, ¿cuánto es lo máximo que se puede ganar por bote
en esta actividad? Explique claramente.
(b) [1 punto] ¿Cuál es el precio más bajo de la reineta al cual vale la pena
pescar? Explique claramente.
Pauta Control No2
1. Comente las siguientes aseveraciones:
(a) [1 punto] Si una función de producción es homogénea, entonces tiene
rendimientos decrecientes a escala.
Esto no es cierto. Más aún, la relación entre ambos conceptos no es di-
recta. Una función tiene rendimientos decrecientes a escala si satisface
f(λK,λL)
f(K,L)
< λ para todo λ ≥ 1, esto es, si ante un aumento de la misma
proporción de todos los insumos se consigue un aumento en la producción
de proporción menor. Una función es homogénea de grado h si f(λK,λL)
se puede escribir como λhf(K,L). Entonces, una función no necesita ser
homogénea para tener rendimientos decrecientes a escala. Por otra parte,
una función homogénea tiene rendimientos decrecientes a escala sólo si
h < 1 :
f(λK,λL)
f(K,L)
=
λhf(K,L)
f(K,L)
= λh < λ si h < 1.
(b) [1 punto] Es óptimo producir bajo rendimientos crecientes, porque esto
significa costos menores.
Tener rendimientos (medios, marginales) crecientes implica costos (medios,
marginales) decrecientes, por lo que al aumentar la producción, los már-
genes unitarios (medios, marginales) aumentan, y por tanto también las
ganancias. Por cierto eso es una ayuda al objetivo de aumentar las
ganancias, pero operar en rangos de rendimientos crecientes significa des-
aprovechar esas oportunidades, por lo que no es óptimo para una empresa
tomadora de precios.
2. Considere la función de producción:
f(K,L) = min {9 + L,K}
El mapa de isocuantas de esta función es:
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5L
(a) [1 punto] Encuentre y caracterice las funciones de producto marginal de
cada factor. Grafique.
Hay tres áreas en el plano (L,K),en los cuales la función se comporta
distinto: el vértice (K = 9 + L), el área superior (K > 9 + L), y el área
inferior (K > 9 + L). En cada caso, la función vale:
q =
 9 + L si K > 9 + L9 + L = K si K = 9 + L
K si K < 9 + L
Por lo tanto,
∂q
∂L
=
 1 si K − 9 > L− si K − 9 = L
0 si K − 9 < L
∂q
∂K
=
 0 si K > 9 + L− si K = 9 + L
1 si K < 9 + L
El gráfico de la productividad marginal de L es:
L
(El de K es similar)
(b) [1 puntos] Muestre que esta función exhibe retornos decrecientes a escala.
En efecto, como para λ > 1
λ (9 + L) > 9 + λL
tenemos
f(λK,λL)
f(K,L)
=
min {9 + λL,λK}
min {9 + L,K} <
min {λ (9 + L) ,λK}
min {9 + L,K} = λ
(c) [1 puntos] Encuentre la función de costos de largo plazo de la empresa que
posee esta tecnología y opera en mercados perfectamente competitivos de
insumos. Sea cuidadoso(a) con el hecho de que esta función puede tener
distintas definiciones algebraicas en distintas partes de su dominio.
Claramente la manera más barata de producir excluye la compra de in-
sumos con productividad 0, por lo que necesariamente 9+L = K = q. De
manera que:
C = wL+ rK = w(q − 9) + rq = (w + r) q − 9w
Ahora bien, el mínimo K que se puede contratar bajo esa regla es el aso-
ciado a L = 0, esto es, K = 9 + 0 = 9, por lo que lo anterior es válido
para q ≥ 9. Para producir menos de 9 unidades se debe contratar L = 0
y q = K. Entonces, la función de costos está dada por:
C(q;w, r) =
½
rq si q < 9
(w + r) q − 9w si q ≥ 9
(d) [1 puntos] Caracterice la estructura de costos encontrando y graficando
las funciones de costo marginal y costo medio. Relacione estos resultados
con lo encontrado en (a) y (b).
CMe =
C(q;w, r)
q
=
½
r si q < 9
(w + r)− 9w
q
si q ≥ 9
CMg =
∂C(q;w, r)
∂q
=
½
r si q < 9
(w + r) si q ≥ 9
El CMe y el CMg coinciden cuando q < 9, porque hay retornos constantes a
escala. En cambio, cuando q ≥ 9, el CMg es mayor que el CMe, haciéndolo
crecer, porque hay retornos decrecientes a escala.
q
(e) [1 puntos] Encuentre la función de costos de corto plazo asociada a un
nivel de capital de K = 10. Muestre que esa función de costos de corto
plazo es mayor que la de largo plazo, salvo en un punto. Grafique.
En efecto, tenemos:
f(K,L) = min {9 + L, 10}
Si 9 + L ≤ 10⇔ L ≤ 1, q = 9 + L⇒ L = q − 9, y
C(q, w, r;K = 10) = w (9− q) + 10r
Si, por el contrario, 9 + L > 10, entonces no existe la posibilidad técnica
de producir más que 10, porque la productividad marginal del trabajo se
hace 0. Entonces,
C(q, w, r;K = 10) =
 w (q − 9) + 10r si 9 ≤ q ≤ 10∞ si no
10r si q = 0
Este costo de corto plazo es mayor que el de largo plazo, salvo cuando
q = 10 :
C(q;w, r) C(q, w, r;K = 10)
q = 0 0 < 10r
0 < q < 9 rq < ∞
10 < q (w + r) q − 9w < ∞
Finalmente, con 9 ≤ q ≤ 10,
(w + r) q − 9w ≤ w (q − 9) + 10r
⇔ q ≤ 10
lo que se cumple con desigualdad estricta salvo para q = 10. Esto ocurre
porque contratar K = 10 es óptimo en el largo plazo sólo si se quiere
producir 10 unidades de producto. Cualquier otra cantidad requeriría un
nivel de capital distinto, por lo que K = 10 será subóptimo.
(f) [1 puntos] Explique por qué el resultado encontrado en (e) no es específico
al ejemplo, sino que, por el contrario, debiera darse en general.
El problema de corto plazo se obtiene de agregar al de largo plazo una
restricción (en este ejemplo, K = 10). El agregar restricciones no puede
mejorar el nivel alcanzado de la variable objetivo.
3. Para pescar q reinetas en un bote por mes, se requiere obviamente de un bote,
cuyo arriedo cuesta $20.000, y L horas de trabajo, donde
q = 100
√
L
(a) [1 punto] Si cada reineta se vende en $200, y el salario por hora de un
pescador es de $1.000, ¿cuánto es lo máximo que se puede ganar por bote
en esta actividad? Explique claramente.
El problema a plantear es:
maxπ = 200q − 1000L− 20.000
donde
q = 100
√
L⇒ L = 1
10 000
q2
La condición de primer orden es
∂π
∂q
= 200− 1000
10000
2q = 0⇒ q = 1000
lo que se consigue contratando
L =
1
10 000
10002 = 100
horas. Este es un máximo porque
∂2π
∂q2
¯̄̄̄
q=1000
= − 1000
10000
2 < 0
y global porque π (1000) = 80 000 > 0. Por lo tanto, la respuesta es
$80.000, que corresponden a las máximas ganancias alcanzables, dados los
precios y la tecnología.
(b) [1 punto] ¿Cuál es el precio más bajo de la reineta al cual vale la pena
pescar? Explique claramente.
La pregunta se refiere al punto de corte, que sabemos se alcanza cuando
CMg=CMe:
C = 1000
1
10000
q2 + 20000
CMe =
1
10
q +
20000
q
=
2
10
q = CMg
⇒ q = 200
√
5
CMg(q = 200
√
5) =
2
10
200
√
5 ≈ 89.5
De manera que precios inferiores a $89,5 la unidad harían preferible no
producir.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Julio Riutort
Francisco Benedetto
Control No3
Tiempo Total: 60 minutos
Puntaje Total: 10 puntos
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho
a recorrección.
1. Los navegantes I
Marco, un navegante genovés, y Polo, un navegante veneciano, planean viajar a la India a traer
pimienta negra para abastecer el mercado italiano. Ambos saben de la existencia del otro,
pero no observan sus decisiones. La demanda por pimienta negra en Italia está dada por
PI = 600− 1
2
QI
Marco tiene un barco con capacidad para 1.500 unidades, mientras Polo para 1.700. El costo
total del viaje para cada uno es de $9.000, independiente del volumen transportado; ellos
consiguen la cantidad que quieran de pimienta al precio total (no unitario) de $2.800.
(a) [1 punto] Encuentre y caracterice las funciones de mejor respuesta, si cada uno toma
como dado lo que traerá el otro. Grafique.
(b) [1 puntos] Encuentre el equilibrio de Cournot. Justifíquelo.
(c) [2 puntos] Imagine que Marco se asesora con Leonardo, un sabio que anticipa perfecta-
mente lo que Polo hará. Suponga, más aún, que Polo sabe de ésto, y Marco sabe que
Polo sabe, etc. ¿Cómo se altera el equilibrio como resultado de esto?
(d) [1 puntos] Encuentre un equilibrio de Bertrand. Explique.
(e) [1 puntos] ¿Cuál de estas nociones de equilibrio le parece más razonable en esta situación
en particular? Explique claramente.
2. Los navegantes II
Imagine que en la situación anterior, Marco y Polo fusionan sus negocios para crear Marcopolo
S.A., una sociedad con fines de lucro. La fusión no sólo los consagra como el monopolista en
el mercado italiano, sino también en el mercado francés, caracterizado por una demanda
PF = 300−QF
El costo de transporte entre cualquier lugar de Italia y cualquier lugar de Francia es $0 para
Marcopolo, pero cualquier otra persona tendría un costo de $c por unidad
(a) [1 punto] Determine lo máximo que Marcopolo podría ganar cobrando el mismo precio
en todas partes.
(b) [3 punto] Determine lo máximo que Marcopolo podría ganar discriminando precios. Ex-
plique claramente.
Pauta Control No3
1. Los navegantes I
Marco, un navegante genovés, y Polo, un navegante veneciano, planean viajar a la India a traer
pimienta negra para abastecer el mercado italiano. Ambos saben de la existencia del otro,
pero no observan sus decisiones. La demanda por pimienta negra en Italia está dada por
PI = 600− 1
2
QI
Marco tiene un barco con capacidad para 1.500 unidades, mientras Polo para 1.700. El costo
total del viaje para cada uno es de $9.000, independiente del volumen transportado; el precio
total (no unitario) de un cargamento de pimienta, independientemente de su tamaño, es en la
India de $2.800.
(a) [1 punto] Encuentre y caracterice las funciones de mejor respuesta, si cada uno toma
como dado lo que traerá el otro. Grafique.
Se verifica que la máxima cantidad demandada posible es de 1200 unidades, por lo que
las restricciones de capacidad no son operativas.
La función de mejor respuesta de Marco (i = 1) proviene de
max
{q1}
µ
600− 1
2
(q1 + q2)
¶
q1 − 9000− 2800
⇒ q1 = 600− 1
2
q2
π = 168 200− 300q2 + 1
8
q22 ≥ 0 si q2 ≤ 892. 75
Entonces,
q1 =
½
600− 12q2 si q2 ≤ 892. 75
0 si no
La función de mejor respuesta de Polo (i = 2) es simétrica:
q2=
½
600− 12q1 si q1 ≤ 892. 75
0 si no
0
200
400
600
800
1000
1200
200 400 600 800 1000 1200
(b) [1 puntos] Encuentre el equilibrio de Cournot. Justifíquelo.
El equilibrio ocurre en la intersección de las funciones de mejor respuesta.
q1 = 600− 12q2
q2 = 600− 12q1
⇒ {q1 = 400, q2 = 400}
Una manera de justificar este equilibrio consiste en ver que si las cantidades de cada com-
petidor fuesen distintas, ambos tendrían incentivos para revisar sus decisiones si tuviesen
ocasión de hacerlo, en oportunidades futuras. Por ejemplo, si este problema ocurriera
todos los años, y ambos hubiesen escogido cantidades superiores, ambos se arrepentirían
de haberlo hecho, y en años siguientes disminuirían las cargas.
(c) [2 puntos] Imagine que Marco se asesora con Leonardo, un sabio que anticipa perfecta-
mente lo que Polo hará. Suponga, más aún, que Polo sabe de ésto, y Marco sabe que
Polo sabe, etc. ¿Cómo se altera el equilibrio como resultado de esto?
Esta pregunta se refiere al equilibrio de Stackelberg, es decir, al equilibrio perfecto en
subjuegos del juego secuencial en que Polo (i = 2) mueve primero (esto, porque Marco
conoce lo hecho por Polo) y toma, por tanto, en cuenta la reacción de Marco. Así, la
reacción de Marco es:
q1 =
½
600− 12q2 si q2 ≤ 892. 75
0 si no
Polo, entonces, juega una mejor respuesta a esa reacción:
max
{q1}
µ
600− 1
2
µ
q2 + 600− 1
2
q2
¶¶
q2 − 9000− 2800
⇒ q2 = 600
π2 = 78 200
Luego,
q1 = 300
π1 =
µ
600− 1
2
(600 + 300)
¶
300− 9000− 2800
= 33 200
Observe que el juego cambia en contra de Marco. Esto ocurre porque en la nueva
situación, Polo explota su concocimiento de la forma de actuar de Marco. Saber que
Marco reducirá la producción si él “inunda” el mercado, le da pie para actuar agresiva-
mente, consiguiendo dos tercios del mercado en lugar de la mitad.
(d) [1 puntos] Encuentre un equilibrio de Bertrand. Explique.
La función de ganancias de Marco en función de los precios que cada uno cobre está
dada por:
π1 (p1, p2) =
 0 si p1 > p2¡600− 12Q¢ 12Q− 11800 si p1 = p2¡
600− 12Q
¢
Q− 11800 si p1 < p2
De esto, es claro que al cobrar marginalmente por debajo de lo que cobra el oponente es
preferible toda vez que el precio sea superior al costo medio. Por su parte, el precio es
igual al costo medio cuando:µ
600− 1
2
Q
¶
Q− 11800 = 0
⇒ {Q = 20} , {Q = 1180}
Gráficamente:
0
200
400
600
800
1000
1200
200 400 600 800 1000 1200Q
de lo que se deduce que un equilibrio de Bertrand considera a un duopolista cobrando un
precio de $10 y abasteciendo al mercado completo, mientras su oponente cobra un precio
mayor, es decir, no opera.
(e) [1 puntos] ¿Cuál de estas nociones de equilibrio le parece más razonable en esta situación
en particular? Explique claramente.
La diferencia entre estas situaciones proviene de las diferencias en las variables de elec-
ción (Cournot-Bertrand) y la secuencia de los hechos o información con que los jugadores
cuentan al momento de decidir (Cournot-Stackelberg). En este ejemplo, la elección de
cantidad parece más razonable que la de precios, puesto que una vez que los barcos lleguen,
ambos ofrecerán la carga inelásticamente, y cobrarán claramente el mismo precio. Así,
aún en el evento de una guerra de precios, no podrían abastecer toda la demanda en caso
de cobrar menos que lo predicho por el equilibrio de Cournot. El caso de Stackelberg, si
bien es plausible, no parece acomodarse a la simetría de la situación planteada.
2. Los navegantes II
Imagine que en la situación anterior, Marco y Polo fusionan sus negocios para crear Marcopolo
S.A., una sociedad con fines de lucro. La fusión no sólo los consagra como el monopolista en
el mercado italiano, sino también en el mercado francés, caracterizado por una demanda
PF = 300−QF
El costo de transporte entre cualquier lugar de Italia y cualquier lugar de Francia es $0 para
Marcopolo, pero cualquier otra persona tendría un costo de $c por unidad
(a) [1 punto] Determine lo máximo que Marcopolo podría ganar cobrando el mismo precio
en todas partes.
La demanda total corresponde a la suma horizontal de las demandas de cada mercado:
Q =
 0 si P > 600(1200− 2P ) 300 ≤ P ≤ 600
(300− P ) + (1200− 2P ) P < 300
Conjeturando el tramo en que ambos mercados se abastecen, tenemos:
max
P
P ((300− P ) + (1200− 2P ))− 11800
⇒ P = 250
QI = 1200− 2 ∗ 250 = 700,QF = 300− 250 = 50
lo que confirma la conjetura. La utilidad alcanzada es de π = 175 700
(b) [3 punto] Determine lo máximo que Marcopolo podría ganar discriminando precios. Ex-
plique claramente.
El problema a resolver corresponde a:
max
{QI ,QF }
(pIQI + pFQF − 11800)
s/a pI − pF ≤ c
donde la restricción presume que el mercado con mayor demanda tendrá un precio mayor.
Entonces,
max
{QI ,QF }
µµ
600− 1
2
QI
¶
QI + (300−QF )QF − 11800
¶
s/a
µ
600− 1
2
QI
¶
− (300−QF ) ≤ c
: El lagrangeano es:
max
{QI ,QF ,λ}
£ =
µµ
600− 1
2
QI
¶
QI + (300−QF )QF − 11800
¶
+λ
µ
c−QF − 300 + 1
2
QI
¶
∂£
∂QI
= 600−QI + λ1
2
≤ 0 c.h.c. QI ∂£
∂QI
= 0
∂£
∂QF
= 300− 2QF − λ ≤ 0 c.h.c. QF ∂£
∂QF
= 0
∂£
∂λ
= c−QF − 300 + 1
2
QI ≥ 0 c.h.c. λ∂£
∂λ
= 0
Caso 1: la restricción se satisface con holgura λ = 0 y QI ,QF > 0
∂£
∂QI
= 600−QI = 0⇒ QI = 600, PI = 300
∂£
∂QF
= 300− 2QF = 0⇒ QF = 150, PF = 150
∂£
∂λ
= c− 150− 300 + 1
2
600 ≥ 0⇒ 150 ≤ c
En efecto, un costo de transporte alto permite a Marcopolo considerar ambos mercados
como totalmente separados. La utilidad conseguida es de
π = 300 ∗ 600 + 150 ∗ 150− 11800
= 190 700
Caso 2: la restricción no se satisface con holgura λ > 0 y QI , QF > 0
∂£
∂QI
= 600−QI + λ1
2
= 0
∂£
∂QF
= 300− 2QF − λ = 0
⇒ QI = 750−QF
∂£
∂λ
= c−QF − 300 + 1
2
(750−QF ) = 0⇒
QF =
2
3
c+ 50 QI = 750− 2
3
c− 50 = 700− 2
3
c
PF = 250− 2
3
c
PI = 600− 1
2
µ
700− 2
3
c
¶
= 250 +
1
3
c
Verificamos:
PI − PF = 250 + 1
3
c−
µ
250− 2
3
c
¶
= c
QI ≥ 0⇒ c ≤ 1050
PF ≥ 0⇒ c ≤ 375
La utilidad obtenida es de
π =
µ
250− 2
3
c
¶µ
2
3
c+ 50
¶
+
µ
700− 2
3
c
¶µ
250 +
1
3
c
¶
− 11800
= 175 700 + 200c− 2
3
c2
Observe que cuando c = 0, obtenemos la solución encontrada en (a): la restricción
impuesta por la posibilidad de arbitraje entre mercados impide completamente la dis-
criminación. Por otra parte, un mayor c relaja esta restricción, obteniéndose mayores
utilidades por discriminación por un monto de 200c − 23c2 ≥ 0, esto es, si 0 ≤ c ≤ 300.
Además, 175 700 + 200c− 23c2 es siempre menor que 190 700, salvo cuando c = 150 :
176000
178000
180000
182000
184000
186000
188000
190000
0 50 100 150 200 250 300c
Por lo tanto, este caso es óptimo cuando 0 ≤ c ≤ 150.
Estos dos casos agotan las posibilidades. En efecto, QI y QF nunca son óptimamente
0. No lo son simultáneamente, porque lo peor que puede pasar es que no se pueda
discriminar, y eso corresponde al caso 1, donde ya vimos que conviene entregar en ambos
mercados. No abastecer al mercado grande para abastecer al pequeño tampoco tiene
sentido, porque la combinación contraria genera mayores utilidades. Finalmente, no
abastecer al mercado pequeño tampoco es óptimo en este caso, como lo muestran los
cálculos siguientes:
Caso 3: la restricción no se satisface con holgura λ > 0 y QI > 0,QF = 0
∂£
∂QI
= 600−QI + λ1
2
= 0
⇒ λ = −1200 + 2QI ≥ 0⇔ 600 ≤ QI
∂£
∂QF
= 300− λ ≤ 0
∂£
∂λ
= c− 300 + 1
2
QI = 0⇒ QI = 600− 2c
Las condiciones de segundo orden claramente se cumplen, puesto que la función objetivo
es cóncava. Entonces, la respuesta es: lo máximo que Marcopolo puede ganar es
π =
½
175 700 + 200c− 23c2 si c ≤ 150
175 700 si c ≥ 150
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Julio Riutort
Francisco Benedetto
Primera Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 20 puntos
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito,
pierde el derecho a recorrección.
1. [7 puntos] Preguntas cortas
(a) [1 punto] Si un consumidor valora todos los bienes, entonces consumirá
un poco de cada uno. Comente.
(b) [1,5 puntos] El teoremade la envolvente explica que si x∗ = argmaxx f(x, a),
entonces x∗ también maximiza f(x, a0) cuando a0 es cercana a a. Comente.
(c) [1,5 puntos] Si cuando el café bajó de precio Juan consumió más azúcar,
entonces deberíamos esperar que ahora que el azúcar va a bajar de precio,
Juan consuma más café. Comente.
(d) [1,5 puntos] Emprendedor González tiene dos proyectos en carpeta. El
primero requiere de una inversión inicial de UF 100, y genera un flujo
de UF 200 mañana. El segundo requiere de UF 120, y entrega UF 230
mañana. Si Emprendedor cuenta con UF 140, ¿cuál de estos proyectos es
mejor para él? Explique claramente.
(e) [1,5 puntos] La demanda hicksiana es más elástica que la marshalliana.
Comente.
2. [4 puntos] Preferencias y utilidad
El conjunto A= {a, b, c, d} representa cursos de acción mutuamente excluyentes.
Se observa que un individuo escogió de la siguiente forma:
Cuando sus posibilidades fueron: Escogió
A = {c, d, b} c
A = {b, d} d
A = {a, b, c, d} a
(a) Construya una relación de preferencias consistente con este comportamiento.
(b) Construya una función de utilidad u(·) que represente esas preferencias.
(c) Demuestre que cualquier transformación monótona creciente de u(·) repre-
senta las mismas preferencias. Explique.
(d) Prediga el comportamiento del individuo en las siguientes situaciones. Ex-
plique su razonamiento.
i. A = {b, c}
ii. A = {a, b, d}
iii. A = {d}
iv. A = {a, c}
3. [4 puntos] Utilidad y demanda
Considere la siguiente función de utilidad:
u(x1, x2) = ln (1 + x1) + ln(1 + x2)
Imagine que el individuo descrito por estas preferencias tiene un ingreso de m,
y opera en mercados perfectamente competitivos.
(a) ¿Valora este individuo la variedad? Es decir, ¿tiene curvas de indiferencia
convexas? Explique.
(b) ¿En qué rango de precios relativos p1
p2
le parece a este individuo que el bien
1 es suficientemente caro como para no comprarlo?
(c) Encuentre la función de demanda ordinaria por el bien 1.
(d) ¿Se trata entonces de un bien normal o inferior? ¿Es un bien Giffen? ¿Es
un complemento o un sustituto bruto del bien 2?
4. [5 puntos] El valor de los libros
Mónica sólo valora el café y los libros. Con un ingreso monetario de m, y con
precios de café y libros dados por p1 y p2 respectivamente, obtiene una utili-
dad de v(m, p1, p2) =
½
ln 10p1
p2
+ 1
10p1
(m− 10p1) si m10 ≥ p1
ln m
p2
si m
10
< p1
. Si inicialmente
(m, p1, p2) = (100, 1, 2) y el fisco repentinamente decidiera recaudar $1 de parte
de Mónica en impuestos, ¿qué clase de impuestos preferiría ella que le cobraran?
¿Un impuesto al ingreso, al consumo de libros o al consumo de café (todos ellos
por cierto recaudando el mismo monto)? Justifique con cifras.
Resumen
1 Consecuencias del teorema de la envolvente
Identidad de Roy
−
∂u∗(p1,p2,m)
∂p1
∂u∗(p1,p2,m)
∂m
= x∗1(p1, p2,m) (1)
Lema de Shephard
∂E∗ (p1, p2, u)
∂p1
= h1(p1, p2, u) (2)
2 Estática Comparativa del Óptimo del Consumi-
dor
Agregación de Engel
α1η
M
x1,m
+ α2η
M
x2,m
= 1 (3)
Descomposición de Slutzky
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂p1
=
∂h1(p1, p2, u)
∂p1
− x∗1 (p1, p2,m)
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂m
(4)
ηMx1,p1 = η
H
x1,p1
− α1ηMx1,m (5)
ηMx2,p1 = η
H
x2,p1
− α1ηMx2,m (6)
Agregación de Cournot
α1η
M
x1,p1
+ α2η
M
x2,p1
= −α1 (7)
Simetría de Hicks
∂h1(p1, p2, u)
∂p2
=
∂h2(p1, p2, u)
∂p1
(8)
Homogeneidad de grado 0 de las demandas
ηMx1,p1 + η
M
x1,p2
+ ηMx1,m = 0 (9)
ηHx1,p1 + η
H
x1,p2
= 0 (10)
Pauta Primera Prueba
1. [7 puntos] Preguntas cortas
(a) [1 punto] Si un consumidor valora todos los bienes, entonces consumirá
un poco de cada uno. Comente.
El consumir algo de cada uno significa que el óptimo de ese consumidor es
interior (en el sentido que se aleja de los ejes). Sabemos de las condiciones
de segundo orden que es necesario para esto que las curvas de indiferencia
sean convexas. u0 > 0 no es suficiente, por lo que la aseveración es falsa.
(b) [1,5 puntos] El teorema de la envolvente explica que si x∗ = argmaxx f(x, a),
entonces x∗ también maximiza f(x, a0) cuando a0 es cercana a a. Comente.
Falso. Este teorema no dice que el óptimo no cambie con a (∂x
∗
∂a
= 0), sino
que el efecto de ese cambio es cero en el objetivo ( ∂f
∂x∗ = 0). En efecto,
de no ser esto cierto, x∗ no sería óptimo en primera instancia.
(c) [1,5 puntos] Si cuando el café bajó de precio Juan consumió más azúcar,
entonces deberíamos esperar que ahora que el azúcar va a bajar de precio,
Juan consuma más café. Comente.
No, porque el hecho de que el azúcar sea un complemento bruto del café
no permite inferir que el café sea un sustituto bruto del azúcar. En efecto,
de la descomposición de Slutzky tenemos:
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂p2
=
∂h1(p1, p2, u)
∂p2
− x∗2
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂m
∂x∗2 (p1, p2,m)
∂p1
=
∂h2(p1, p2, u)
∂p1
− x∗1
∂x∗2 (p1, p2,m)
∂m
Usando la simetría de Hicks, concluimos:
∂x∗2
∂p1
=
∂x∗1
∂p2
+
½
x∗2
∂x∗1
∂m
− x∗1
∂x∗2
∂m
¾
El término entre corchetes puede en principio ser de cualquier signo y
monto, por lo que es perfectamente posible que el signo de ∂x
∗
2
∂p1
sea distinto
del de ∂x
∗
1
∂p2
.
(d) [1,5 puntos] Emprendedor González tiene dos proyectos en carpeta. El
primero requiere de una inversión inicial de UF 100, y genera un flujo
de UF 200 mañana. El segundo requiere de UF 120, y entrega UF 230
mañana. Si Emprendedor cuenta con UF 140, ¿cuál de estos proyectos es
mejor para él? Explique claramente.
En el plano (consumo presente, consumo futuro), cada proyecto es un punto
dentro del conjunto de posibilidades. Si ambos son bienes, y se tiene acceso
a la posibilidad de endeudarse o ahorrar a una tasa r, entonces el mejor
proyecto sería el argmaxj=1,2
n
F j0 +
F j1
1+r
o
, puesto que da origen a un con-
junto de posibilidades de consumo más grande. En efecto, es mejor el con-
junto que da más opciones, es decir, el mayor entre A1 =
©
(c0, c1) ∈ IR2 :
c0 +
c1
1+r
≤ −100 + 200
1+r
ª
y A2 =
©
(c0, c1) ∈ IR2 c0 + c11+r ≤ −120 + 2301+r
ª
.
(La argumentación estándar se espera en esta pregunta).
(e) [1,5 puntos] La demanda hicksiana es más elástica que la marshalliana.
Comente.
Depende de si se trata de un bien normal o inferior; en el primer caso, el
efecto ingreso refuerza al efecto sustitución, por lo que la demanda mar-
shalliana es más elástica (la respuesta es mayor). En el segundo caso, en
cambio, se mueven en sentido contrario, por lo que la demanda marsha-
lliana es menos elástica.
2. [4 puntos] Preferencias y utilidad
(a) Construya una relación de preferencias consistente con este comportamiento.
Si definimos la relación (º,A) de acuerdo a x º y ⇔ {x fue escogido
cuando A = {x, y}}, de la información del cuadro deducimos que:
Cuando A fue: Escogió Por lo tanto: En particular:
{c, d, b} c c º b, d c º d
{b, d} d d º b d º b
{a, b, c, d} a a º b, c, d a º c
Es decir, a º c º d º b.
(b) Construya una función de utilidad u(·) que represente esas preferencias.
Esta relación se puede representar, por ejemplo, por la siguiente función:
Jerarquía Acción (x) u(x)
1 a 4
2 c 3
3 d 2
4 b 1
Lo importante es que u sea una función decreciente en la jerarquía: mien-
tras más alto el lugar de una acción en la jerarquía, mayor utilidad. En
otras palabras: u es una función de utilidad para º si u(x) ≥ u(y)⇔ x º
y.
(c) Demuestre que cualquier transformación monótona creciente de u(·) repre-
senta las mismas preferencias. Explique.
En efecto, si v es una transformación monótona creciente de u, tenemos
que u ≥ u0 ⇔ v(u) ≥ v(u0). Pero como u (·) es una función de utilidad,
u(x) ≥ u(x0) ⇔ x º x0. Entonces, v(u (x)) ≥ v(u (x0)) ⇔ x º x0, por lo
que v también representa a u.
(d) Prediga el comportamiento del individuo en las siguientes situaciones (A ⊂
A):.
i. A = {b, c}⇒ c, porque c º b
ii. A = {a, b, d}⇒ a, porque a º d º b
iii. A = {d}⇒ d, porque d º d
iv. A = {a, c}⇒ a, porque a º c
3. [4 puntos] Utilidad y demanda
Considere la siguiente función de utilidad:
u(x1, x2) = ln (1 + x1) + ln(1 + x2)
Imagine que el individuo descrito por estas preferencias tiene un ingreso de m,
y opera en mercados perfectamentecompetitivos.
(a) ¿Valora este individuo la variedad? Es decir, ¿tiene curvas de indiferencia
convexas? Explique.
Sí: la ecuación de una curva de indiferencia está dada por:
u0 = ln (1 + x1) + ln(1 + x2)
⇒ x2 = eu0−ln(x1+1) − 1
Entonces,
∂2
∂x21
¡
eu0−ln(x1+1) − 1¢ = 2 eu0
(x1 + 1) (2x1 + x21 + 1)
> 0
para cualquier x1 > 0.
(b) ¿En qué rango de precios relativos p1
p2
le parece a este individuo que el bien
1 es suficientemente caro como para no comprarlo?
Como la TMS es decreciente, sabemos que, para cada curva de indiferencia,
su punto máximo se encuentra en el eje vertical y su punto múnimo en el
horizontal. Así, la máxima disposición a pagar la obtenemos evaluando
TMS en (0, m
p2
) :
TMS(0,
m
p2
) =
1 + x2
1 + x1
¯̄̄̄
(0,m
p2
)
= 1 +
m
p2
Así, si p1
p2
> 1 + m
p2
, el individuo no comprará.
(c) Encuentre la función de demanda ordinaria por el bien 1.
En una solución interior, tenemos:
TMS =
p1
p2
⇔ 1 + x2
1 + x1
=
p1
p2
⇒ x2p2 = p1 − p2 + p1x1
m = x1p1 + x2p2
⇒ m = x1p1 + p1 − p2 + p1x1
⇒ x1 = 1
2
m− p1 + p2
p1
Observe que x1 ≥ 0 si 12 m−p1+p2p1 ≥ 0⇔ 1+ mp2 ≥
p1
p2
. Entonces, la demanda
por el bien1 está dada por:
x∗1 =
½ 1
2
m−p1+p2
p1
si 1 + m
p2
≥ p1
p2
0 si p1
p2
> 1 + m
p2
(d) ¿Se trata entonces de un bien normal o inferior? ¿Es un bien Giffen? ¿Es
un complemento o un sustituto bruto del bien 2?
Cuando no se demanda, es un bien neutro y no relacionado con el 2. En
cambio, cuando 1 + m
p2
≥ p1
p2
, tenemos:
∂x∗1
∂m
=
1
2p1
> 0⇒ es un bien normal
Por lo tanto, no puede ser Giffen. En efecto:
∂x∗1
∂p1
= −1
2
m+ p2
p21
< 0
Por último, :
∂x∗1
∂p2
=
1
2p1
> 0
por lo que el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2.
[5 puntos] El valor de los libros
Mónica sólo valora el café y los libros. Con un ingreso monetario de m, y con
precios de café y libros dados por p1 y p2 respectivamente, obtiene una utilidad de
v(m, p1, p2) =
½
ln 10p1
p2
+ 1
10p1
(m− 10p1) si m10 ≥ p1
ln m
p2
si m
10
< p1
. Si inicialmente (m, p1, p2) =
(100, 1, 2) y el fisco repentinamente decidiera recaudar $1 de parte de Mónica en im-
puestos, ¿qué clase de impuestos preferiría ella que le cobraran? ¿Un impuesto al
ingreso, al consumo de libros o al consumo de café (todos ellos por cierto recaudando
el mismo monto)? Justifique con cifras.
Se requiere llegar a una evaluación de la utilidad de cada alternativa, para lo cual
se necesita obtener los montos de los impuestos que se deberían cobrar en cada caso
de manera de recaudar el peso que se busca. Para ello, se necesita encontrar las
funciones de demanda por ambos bienes. Usando la identidad de Roy, tenemos:
x∗i (p1, p2,m) = −
∂v
∂pi
∂v
∂m
∂
∂p1
µ
ln 10
p1
p2
+
1
10p1
(m− 10p1)
¶
=
1
10
−m+ 10p1
p21
∂
∂p2
µ
ln 10
p1
p2
+
1
10p1
(m− 10p1)
¶
= − 1
p2
∂
∂m
µ
ln 10
p1
p2
+
1
10p1
(m− 10p1)
¶
=
1
10p1
∂
∂p1
µ
ln
m
p2
¶
= 0
∂
∂p2
µ
ln
m
p2
¶
= − 1
p2
∂
∂m
µ
ln
m
p2
¶
=
1
m
Entonces
x∗1 (p1, p2,m) =
 −
1
10
−m+10p1
p21
1
10p1
= m−10p1
p1
si m
10
≥ p1
− 01
m
= 0 si m
10
< p1
x∗2 (p1, p2,m) =

−−
1
p2
1
10p1
= 10p1
p2
si m
10
≥ p1
−−
1
p2
1
m
= m
p2
si m
10
< p1
La situación original era (m, p1, p2) = (100, 1, 2) ⇒ x∗1 = m−10p1p1 = 100−101 = 90,
x∗2 = 10
p1
p2
= 10 ∗ 1
2
= 5.
La recaudación por la vía de un impuesto al bien 1 requeriría:
1 = x∗1 (1 + t1, 2, 100) t1
1 =
100− 10 (1 + t1)
(1 + t1)
t1
⇒ t1 = 89
20
− 1
20
√
7881 = 0.0 112 5
Por el bien 2, en cambio:
1 = x∗2 (1, 2 + t2, 100) t2
1 = 10
1
(2 + t2)
t2
⇒ t2 = 2
9
De manera que:
Bien 1 Bien 2 Ingreso
Impuesto t1 = 8920 − 120
√
7881 t2 =
2
9
tm = 1
p01 1. 011 3 1 1
p02 2
20
9
2
m0 100 100 99
v(m, p1, p2) 10. 509 10. 504 11. 251
Mientras la utilidad inicial fue de 11. 351 utiles. Entonces, la alternativa claramente
preferida es el impuesto al ingreso.
Éste es en realidad un resultado general. El recaudar $1 de parte de Mónica significa
necesariamente dejarla en algún punto de la restricción (m− 1) = x1p1 + x2p2. Por
dualidad, sabemos que (m− 1) es el mínimo costo de entregar u1 utiles a los precios
p1 y p2, por lo que a otros precios, necesariamente el costo será mayor. Puesto al
revés, si se mantiene el costo, se obtiene menor utilidad.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Julio Riutort
Francisco Benedetto
Segunda Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 25 puntos más 2 de bono
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho
a recorrección.
1. [8 puntos] Preguntas cortas
(a) [2 puntos] La curva de oferta agregada corresponde a la suma horizontal de curvas de
costo marginal. Comente.
(b) [2 puntos] Si en una industria todos los productores operan con retornos decrecientes a
escala, entonces la tecnología agregada también será de retornos decrecientes. Comente.
(c) [2 puntos] Una empresa que desee maximizar sus ganancias debe necesariamente mini-
mizar sus costos de producción. Comente.
(d) [2 puntos] Explique por qué una empresa que opera en un mercado perfectamente
competitivo se comporta como amante del riesgo frente a la incertidumbre respecto del
precio al cual podrá vender el bien.
2. [5 puntos] Negociación del ultimato
María y Pedro participan en el siguiente experimento: existe una torta que se intenta distribuir
entre ambos. A María se le pide que escriba en un papel qué porcentaje de la torta quiere
para sí: un 50% (la mitad) o un 80% (cuatro quintos). A Pedro se le pide que escriba en un
papel si acepta o no la propuesta de María. Ninguno conoce la respuesta del otro. Si Pedro
acepta la propuesta, entonces la torta se reparte de acuerdo a lo que María propuso (ya sea
50% para cada uno, o bien 20% para Pedro y 80% para ella). Si Pedro la rechaza, entonces
ninguno consigue nada..
(a) Caracterice este juego en forma estratégica o normal, construyendo su matriz de pagos.
(b) Encuentre el (los) equilibrio(s) de Nash de este juego. Explique por qué ésa sería una
predicción razonable de lo que ocurriría en esta situación.
(c) Suponga en cambio que a Pedro se le da a conocer la oferta de María antes de decidir
si la acepta o rechaza. Imagine, más aún, que Pedro ocupa la siguiente estrategia: él
aceptaría con certeza la oferta equitativa (50%-50%), pero aceptaría la oferta desigual
(80%-20%) sólo con una probabilidad de 50% (esto es, aceptaría si al tirar una moneda
al aire saliera cara y rechazaría si saliera sello). ¿Qué oferta le conviene hacer a María
si Pedro ocupa esa estrategia? ¿Cuál es el valor esperado del pedazo que le toca a cada
uno?
(d) Dibuje la forma extensiva de este juego bajo la variante introducida en (c), esto es, cuando
Pedro decide qué hacer sabiendo lo que María hizo. Encuentre el equilibrio perfecto en
subjuegos.
(e) Compare los pagos que ambos jugadores consiguen empleando las estrategias de (c) con las
del equilibrio perfecto en subjuegos encontrado en (d). ¿Por qué (c) no es una predicción
razonable? Explique claramente.
3. [8 puntos] ¡Viva el intercambio!
Juan Fernando y Chileó son dos islas cercanas, cada una ocupada por un único habitante.
En Juan Fernando sólo hay langostas, mientras que en Chileó sólo papas. En un mes, el
fernandino atrapa 100 langostas, mientras el chileoeño cosecha 500 papas. Curiosamente,
ambas personas tienen idénticas preferencias por langostas (x1) y papas (x2), dadas por:
u(x1, x2) = x1x2
Imagine por simplicidad que no existen costos de transacción ni de transporte entre ambas
personas/lugares.
(a) [2 puntos] Encuentre la curva de contrato, esto es, el conjunto de asignaciones eficientes.
Explique su procedimiento. Grafique.
(b) [2 puntos] Encuentre el núcleo de esta economía. Explique.
(c) [2 puntos] Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía.
(d) [2 puntos] Verifique que la asignación encontrada en (c) es eficiente, esto es, corresponde
a un punto de la curva de contrato. ¿Es esto una particularidad de este ejemplo?
(e) [BONO: 2 puntos] ¿Es el equilibrio walrasiano una predicciónrazonable de lo que suce-
derá en esta situación? ¿Cambia su respuesta si en lugar de uno, cada isla tiene un millón
de habitantes idénticos?
4. [4 puntos] ¿Inundaciones óptimas?
En invierno lloverá sobre la ciudad de Santiago fuerte con una probabilidad de π, y lloverá suave
con una probabilidad de (1− π). La infraestructura de la ciudad tiene un valor de 100.000
millones. Una lluvia suave no alterará su valor, mientras que una lluvia fuerte generará
pérdidas por 2.000 millones. Estas pérdidas, sin embargo, se podrían evitar construyendo
colectores de aguas lluvia; la construcción de estos colectores cuesta 1.000 millones.
Imagine la existencia de un agente representativo para la ciudad de Santiago, con preferencias
dadas por
u(cs) = ln cs
donde cs es el valor de la infraestructura en el evento de una lluvia de tipo s (s = 1 es lluvia
fuerte, s = 2 es una lluvia suave) en miles de millones.
(a) Determine si este agente representativo es o no averso al riesgo, y en qué grado.
(b) Determine si la construcción del colector es o no un juego justo. Grafique estas posi-
bilidades en el plano (c1, c2), indicando claramente la situación inicial, la situación con
colector y la línea de juegos justos.
(c) Determine qué probabilidad de lluvia fuerte debería haber para que la construcción del
colector sea preferida.
(d) En este escenario, ¿qué recomendaría si supiese que una lluvia fuerte ocurre cada cien
años?
Pauta Segunda Prueba
1. [8 puntos] Preguntas cortas
(a) [2 puntos] La curva de oferta agregada corresponde a la suma horizontal de curvas de
costo marginal. Comente.
Sí en lo grueso, pero precisando que no es la curva completa de costo marginal sino sólo
la parte que es superior al costo medio. Esto, con la salvedad de que hayan economías
o deseconomías externas pecuniarias. Por ejemplo, si la industria como un todo puede
afectar los precios de uno o más insumos, entonces la curva de oferta de mercado corre-
sponde a los costos marginales no para precios de insumos dados, sino endógenamente
determinados.
(b) [2 puntos] Si en una industria todos los productores operan con retornos decrecientes a
escala, entonces la tecnología agregada también será de retornos decrecientes. Comente.
Las funciones de producción agregada e individual en general difieren. En particu-
lar, si una tecnología es copiable gratuitamente, entonces la tecnología agregada será de
rendimientos constantes a escala, puesto que siempre sería posible expandir la produc-
ción agregando nuevas unidades productivas que replican lo que hacen las existentes, a
los mismos costos.
(c) [2 puntos] Una empresa que desee maximizar sus ganancias debe necesariamente mini-
mizar sus costos de producción. Comente.
Producir eficientemente, esto es en la frontera de las posibilidades y ocupando óptima-
mente los insumos, es una condición necesaria para maximizar ganancias. No es suficiente
sin embargo, porque el producto total puede ser escogido subóptimamente.
(d) [2 puntos] Explique por qué una empresa que opera en un mercado perfectamente
competitivo se comporta como amante del riesgo frente a la incertidumbre respecto del
precio al cual podrá vender el bien.
Esto ocurre porque la función de ganancias de una empresa tomadora de precios es convexa
en p.
2. [5 puntos] Negociación del ultimato
María y Pedro participan en el siguiente experimento: existe una torta que se intenta distribuir
entre ambos. A María se le pide que escriba en un papel qué porcentaje de la torta quiere
para sí: un 50% (la mitad) o un 80% (cuatro quintos). A Pedro se le pide que escriba en un
papel si acepta o no la propuesta de María. Ninguno conoce la respuesta del otro. Si Pedro
acepta la propuesta, entonces la torta se reparte de acuerdo a lo que María propuso (ya sea
50% para cada uno, o bien 20% para Pedro y 80% para ella). Si Pedro la rechaza, entonces
ninguno consigue nada..
(a) Caracterice este juego en forma estratégica o normal, construyendo su matriz de pagos.
Forna normal
María\Pedro Acepta Rechaza
50-50 50,50 0, 0
80-20 80,20 0, 0
(b) Encuentre el (los) equilibrio(s) de Nash de este juego. Explique por qué ésa sería una
predicción razonable de lo que ocurriría en esta situación.
Este juego tiene un único equilibrio de Nash, en el que Pedro acepta y María propone
80-20. Para Pedro, aceptar es siempre mejor que rechazar, pues consigue algo. María,
sabiendo que Pedro acepta cualquier proposición, escoge la que más le conviene. Es
sencillo verificar que en cualquier otro perfil de estrategias alguien tiene un incentivo a
desviarse.
(c) Suponga en cambio que a Pedro se le da a conocer la oferta de María antes de decidir
si la acepta o rechaza. Imagine, más aún, que Pedro ocupa la siguiente estrategia: él
aceptaría con certeza la oferta equitativa (50%-50%), pero aceptaría la oferta desigual
(80%-20%) sólo con una probabilidad de 50% (esto es, aceptaría si al tirar una moneda
al aire saliera cara y rechazaría si saliera sello). ¿Qué oferta le conviene hacer a María
si Pedro ocupa esa estrategia? ¿Cuál es el valor esperado del pedazo que le toca a cada
uno?
Para María,.la situación es:
E [uM (50− 50)] = 50
E [uM (80− 20)] = 1
2
80 +
1
2
0 = 40 < 50
por lo que la oferta de 50-50 es mejor para ella. Pedro, por su parte, consigue:
E [uP (aceptar)] = 50 > 0 = E [uP (rechazar)]
(d) Dibuje la forma extensiva de este juego bajo la variante introducida en (c), esto es, cuando
Pedro decide qué hacer sabiendo lo que María hizo. Encuentre el equilibrio perfecto en
subjuegos.
La forma extensiva es:
María
Pedro
50-50 80-20
Acepta Rechaza
(50,50) (0,0)
Acepta Rechaza
(80,20) (0,0)
Pedro
María
Pedro
50-50 80-20
Acepta Rechaza
(50,50) (0,0)
Acepta Rechaza
(80,20) (0,0)
Pedro
Pedro mueve después que María porque cuando decide conoce la propuesta.
Para encontrar el EPS, analizamos desde las útlimas hasta la primera decisión tomadas.
Frente a una propuesta de 50-50 ó de 82-20, aceptar es claramente preferible a rechazar.
Sabiendo que en el subjuego Pedro aceptará cualquier propuesta, la mejor estrategia de
María es ofrecer 80-20. Así, la trayectoria del equilibrio es (80-20, Acepta). En este
equilibrio, (uM , uP ) = (80, 20) .
(e) Compare los pagos que ambos jugadores consiguen empleando las estrategias de (c) con las
del equilibrio perfecto en subjuegos encontrado en (d). ¿Por qué (c) no es una predicción
razonable? Explique claramente.
La estrategia atribuída a Pedro en (c) efectivamente actuaría en su favor de ser creída por
María, puesto que la induciría a ser más generosa con Pedro. Sin embargo, esa estrategia
no es creíble, porque supone que Pedro rechazaría una oferta de 80-20 con probabilidad
1
2 en circunstancias de que, en el subjuego, no le conviene:
E
·
uP
µ
1
2
,
1
2
¶¸
=
1
2
20 +
1
2
0 = 10 < 20 = E [uP (Aceptar)]
Así, el perfil de estrategias (c) presupone que en el subjuego Pedro no actúa en concor-
dancia con sus preferencias, es decir, actúa irracionalmente. Lo paradójico es que debido
a ello, no logra conseguir el pago mayor.
3. [8 puntos] ¡Viva el intercambio!
Juan Fernando y Chileó son dos islas cercanas, cada una ocupada por un único habitante.
En Juan Fernando sólo hay langostas, mientras que en Chileó sólo papas. En un mes, el
fernandino atrapa 100 langostas, mientras el chileoeño cosecha 500 papas. Curiosamente,
ambas personas tienen idénticas preferencias por langostas (x1) y papas (x2), dadas por:
u(x1, x2) = x1x2
Imagine por simplicidad que no existen costos de transacción ni de transporte entre ambas
personas/lugares.
(a) [2 puntos] Encuentre la curva de contrato, esto es, el conjunto de asignaciones eficientes.
Explique su procedimiento. Grafique.
El conjunto de las asignaciones eficientes se obtiene del problema
max
{xF1 ,xF2 ,xCh1 xCh2 ,λ,δ1,δ2}
£ = xF1 x
F
2 + λ
¡
uCh − xCh1 xCh2
¢
+ δ1
¡
100− xCh1 − xF1
¢
+ δ2
¡
500− xCh2 − xF2
¢
Las condiciones de primer orden implican que:
TMSF =
xF2
xF1
=
xCh2
xCh1
= TMSCh
100 = xCh1 + x
F
1
500 = xCh2 + x
F
2
de donde se obtiene la curvade contrato:
xF2 = 5x
F
1
definida para 0 ≤ xF1 ≤ 100 :
0
100
200
300
400
500
20 40 60 80 100x
(b) [2 puntos] Encuentre el núcleo de esta economía. Explique.
El núcleo corresponde en este caso al conjunto de asignaciones eficientes que serían acept-
ables para ambas personas, esto es, que son mejores que su dotación inicial (Nicholson,
cap. 8). Como las curvas de indiferencia que pasan por la dotación corresponden a los
ejes, el núcleo es la curva de contrato completa.
(c) [2 puntos] Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía.
Para encontrar el equilibrio walrasiano, primero buscamos las demandas, luego constru-
imos las demandas agregadas, y finalmente buscamos la intersección de demanda y oferta.
i. Demandas:
Sabemos que las demandas que provienen de esta función de utilidad Cobb-Douglas son:
x1 =
1
2
m
p1
x2 =
1
2
m
p2
(Si no lo sabe, puede obternelo del problemamax{x1,x2,λ}£ = x1x2+λ (m− x1p1 − x2p2)).
m en este caso corresponde al valor de la dotación:
m = x1p1 + x2p2
mF = 100p1
mCh = 500p2
ii. La demanda agregada por langostas es:
xCh1 + x
F
1 =
1
2
500p2
p1
+
1
2
100p1
p1
iii. La condición de equilibrio es entonces
1
2
500
p2
p1
+
1
2
100 = 100
⇒ p1
p2
= 5
Por ley de Walras, el mercado de papas también está en equilibrio a esa relación de
precios. A esa relación de precios, las cantidades consumidas son:
xCh1 =
1
2
500
5
= 50 xF1 =
1
2
100 = 50
xCh2 =
1
2
500 = 250 xF1 =
1
2
100p1
p2
= 250
(d) [2 puntos] Verifique que la asignación encontrada en (c) es eficiente, esto es, corresponde
a un punto de la curva de contrato. ¿Es esto una particularidad de este ejemplo?
La asignación recién descrita de hecho corresponde al centro de la caja, el punto medio
de la curva de contrato:
xF2 = 5x
F
1
250 = 5 ∗ 50
Esto no es una particularidad de este ejemplo, sino que corresponde al contenido del
primer teorema del bienestar: La asignación de recursos que se alcanza en un equilibrio
walrasiano es eficiente en el sentido de Pareto, esto es, tiene la propiedad de que no es
posible mediante redistribuciones de los recursos mejorar a una persona sin perjudicar a
otra.
(e) [BONO: 2 puntos] ¿Es el equilibrio walrasiano una predicción razonable de lo que suced-
erá en esta situación? ¿Cambia su respuesta si en lugar de uno, cada isla tiene un millón
de habitantes idénticos?
Claramente, habiendo dos personas no puede haber competencia perfecta, por lo que el
supuesto de que todos toman los precios como dados es ciertamente incorrecto. En prin-
cipio, sin delinear una teoría de negociación, lo único que sabemos es que un proceso de
negociación voluntario debiera dejar a ambos mejor que en la situación inicial, pero por
ejemplo no sabemos si el resultado será eficiente. Ahora bien, a medida que el número
de habitantes crece, cada persona se hace menor en relación al mercado, perdiendo influ-
encia en el precio. Si bien números grandes no son necesarios ni suficientes para tener
competencia perfecta, en este ejemplo un millón de habitantes a cada lado proveen una
base para confiar en la predicción del equilibrio walrasiano.
4. [4 puntos] ¿Inundaciones óptimas?
En invierno lloverá sobre la ciudad de Santiago fuerte con una probabilidad de π, y lloverá suave
con una probabilidad de (1− π). La infraestructura de la ciudad tiene un valor de 100.000
millones. Una lluvia suave no alterará su valor, mientras que una lluvia fuerte generará
pérdidas por 2.000 millones. Estas pérdidas, sin embargo, se podrían evitar construyendo
colectores de aguas lluvia; la construcción de estos colectores cuesta 1.000 millones.
Imagine la existencia de un agente representativo para la ciudad de Santiago, con preferencias
dadas por
u(cs) = ln cs
donde cs es el valor de la infraestructura en el evento de una lluvia de tipo s (s = 1 es lluvia
fuerte, s = 2 es una lluvia suave) en miles de millones.
(a) Determine si este agente representativo es o no averso al riesgo, y en qué grado.
Este agente tiene una función de utilidad cóncava y por lo tanto es averso al riesgo. Su
grado de aversión relativa al riesgo es constante e igual a
−u
00
u0
c = −
¡−1
c2
¢¡
1
c
¢ c = 1
(b) Determine si la construcción del colector es o no un juego justo. Grafique estas posi-
bilidades en el plano (c1, c2), indicando claramente la situación inicial, la situación con
colector y la línea de juegos justos.
Respecto de la situación inicial, el colector mejora el valor de la infraestructura en caso
de lluvia fuerte en 2-1=1, y lo empeora en caso de lluvia suave: -1. Su valor esperado es
entonces de
π (1) + (1− π) (−1)
 < 0 si π <
1
2
= 0 si π = 12
> 0 si π > 12
Por lo tanto, es un juego justo sólo si π = 12 .
(c) Determine qué probabilidad de lluvia fuerte debería haber para que la construcción del
colector sea preferida.
E [u (con colector)] = π ln 99 + (1− π) ln 99 = ln 99
E [u (sin colector)] = π ln 98 + (1− π) ln 100 = ln 100− π (ln 100− ln 98)
E [u (con colector)] ≥ E [u (sin colector)]
⇔ ln 99 ≥ ln 100− π (ln 100− ln 98)
⇔ π ≥ ln 100− ln 99
ln 100− ln 98 ≈ 0.497
(d) En este escenario, ¿qué recomendaría si supiese que una lluvia fuerte ocurre cada cien
años?
Si así fuese, 1.000 millones es un precio demasiado alto para evitar un riesgo demasiado
bajo. En el sentido de la preferencia del agente representativo, construirlo sería irracional.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2002
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Julio Riutort
Francisco Benedetto
Examen Final
Tiempo Total: 120 minutos
Puntaje Total: 35 puntos más 5 de bono
IMPORTANTE: Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho
a recorrección.
1. [8 puntos] Preguntas cortas
(a) El mercado de dólares se equilibra a un tipo de cambio de 656. ¿Qué ocurriría con el tipo
de cambio si la demanda de dólares se duplicara, producto del desarrollo de un gigantesco
proyecto de inversión cuyos insumos son importados, y paralelamente la oferta aumentara
porque el financiamiento del proyecto es completamente externo?
(b) ¿Qué interpretación tiene el multiplicador de Lagrange en el siguiente problema?
max
{x1,x2}
u(x1, x2) s/a m ≥ x1p1 + x2p2
Explique claramente.
(c) Que un monopolista cobre un precio mayor que su costo marginal ciertamente no tiene
sentido: al vender una unidad más a tal precio, genera un aumento en sus ingresos mayor
que el aumento en los costos. No tentarse a hacerlo, entonces, requiere de un autocontrol
que la mayor parte de los seres humanos no posee. Comente.
(d) Explique intuitivamente por qué a la propiedad de homogeneidad de grado 0 de la de-
manda ordinaria se le conoce con el nombre de “ausencia de ilusión monetaria”.
2. Gallina
En el juego “gallina”, un representante de cada bando conduce un auto en dirección a su
oponente. Si sólo uno se desvía antes de chocar, el que se mantuvo en el camino gana,
obteniendo 7 utiles, mientras el perdedor 2. Si ambos se desvían, el juego se declara en
empate, y ambos obtienen 6 utiles. Si ninguno se desvía también empatan, pero debido al
costo del choque cada uno obtiene 0 utiles.
(a) [2 puntos] Represente el juego en forma estratégica, y encuentre el (los) equilibrio(s) de
Nash.
(b) [2 puntos] ¿Cuál le parece una predicción razonable del resultado de este juego. Explique
intuitivamente su razonamiento.
(c) [2 puntos] ¿Cómo cambia esta predicción si uno de los equipos arregla el auto de manera
que no tenga volante? Explique claramente.
3. Flexibilidad laboral
Lustro Zapata es el dueño de una fábrica de zapatos; su único afán es el lucro. Su gran
experiencia le permite predecir al comienzo de cada semestre el precio al cual podrá vender
cada unidad del único modelo que fabrica. Con ese antecedente, decide sobre la contratación
de trabajadores y otros insumos, que arregla en la forma de contratos semestrales. El sueldo
semestral de un trabajador es de 120, y el valor de la contratación de otros insumos por un
semestre de 120 también. La tecnología de que dispone puede resumirse como
q = lnL+ lnM
dondeL es el número de trabajadores, y M el resto de los insumos; todas las cantidades están
medidas en base semestral.
En vista del hecho que su capacidad predictiva es buena sólo para períodos semestrales, Lustro
espera el comienzo de cada semestre para decidir qué hará en ese período.
(a) [3 puntos] Encuentre la función de costos de Lustro, y su mejor política de contratación
de insumos en función de q.
(b) [3 puntos] Encuentre las mejores políticas de producción y contratación de trabajadores
y otros insumos, en función de P , el precio de los zapatos.
(c) [3 puntos] Imagine que una legislación forzara a Lustro a hacer contratos de trabajo de
al menos un año de duración. En concreto, suponga que Lustro sabe que el precio de
los zapatos en el primer semestre será de 400, y le atribuye una probabilidad de un 50%
a que en el segundo semestre sea de 800 y de 50% a 200. Si Lustro es neutral al riesgo,
¿cuántos trabajadores contrará?
(d) [2 puntos] Compare la situación en (b) con lo que hubiera hecho en ausencia de esta
obligación. Explique claramente.
4. Bienestar
Timor Ato está feliz con su trabajo: las horas que pasa en su oficina realmente no le molestan, y
el ingreso que obtiene (m = 100) le resulta muy valioso: u(m) =
√
m. Sin embargo, lo inquieta
la posibilidad de perder su trabajo y con ello su ingreso. A esta posibilidad le atribuye una
probabilidad de 10%.
(a) [2 puntos] ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el derecho a contratar un seguro de
desempleo por el monto que desee, en que por cada peso a recibir en caso de siniestro se
paga un precio p = 19?
(b) [2 puntos] Imagine que este seguro existe, y que p = 19 . ¿A cuánto asciende el excedente
de Timor?
(c) [2 puntos] Compare sus respuestas en (a) y (b). Explique intuitivamente.
5. Augurando a Rita
Rita sólo consume dos bienes, 1 y 2. En el primer bien gasta un 80% de su ingreso, y la
elasticidad ingreso del segundo bien es de 2.
(a) [1 punto] ¿Es el bien 1 normal o inferior?
(b) [1 punto] ¿Son los bienes sustitutos o complementos a nivel neto?
(c) [1 punto] ¿Es el bien 1 un sustituto bruto del 2? ¿Es el 2 un sustituto bruto del 1?
(d) [1 punto] Si el precio del bien 1 aumentara en un 10%, ¿qué pasaría con el gasto en cada
bien?
6. Competencia
Valeria, Víctor y Valentín tienen cada uno un reloj TEMPO ZX de 16mm, último modelo,
que valoran respectivamente en 5.000, 35.000 y 12.000. Carola, Constanza y Carlos no tienen
reloj, y quisieran comprar uno; sus valoraciones respectivas son 42.000, 13.000 y 8.000. Todos
ellos se reúnen un lunes, después de su clase favorita, a discutir la(s) posible(s) compraventa(s)
de relojes.
(a) [1 punto] Prediga en qué resulta este proceso de negociación, en términos de precio y
número de transacciones. Explique claramente.
(b) [2 puntos] Encuentre el excedente total generado y su descomposición en excedentes
individuales. Encuentre los aportes de cada persona al excedente total. ¿Qué relación
existe entre el aporte de cada persona y su excedente?
(c) [2 puntos] ¿Qué ocurriría si Valentín revisa su valoración, pasando de 12.000 a 13.000?
Resumen
Consecuencias del teorema de la envolvente
Identidad de Roy
−
∂U∗(p1,p2,m)
∂p1
∂U∗(p1,p2,m)
∂m
= x∗1(p1, p2,m)
Lema de Shephard
∂E∗ (p1, p2, u)
∂p1
= h∗1(p1, p2, u)
Estática Comparativa del Óptimo del Consumidor
Agregación de Engel
α1η
M
x1,m + α2η
M
x2,m = 1
Descomposición de Slutzky
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂p1
=
∂h∗1(p1, p2, u)
∂p1
− x∗1 (p1, p2,m)
∂x∗1 (p1, p2,m)
∂m
ηMx1,p1 = η
H
x1,p1 − α1ηMx1,m
ηMx2,p1 = η
H
x2,p1 − α1ηMx2,m
Agregación de Cournot
α1η
M
x1,p1 + α2η
M
x2,p1 = −α1
Simetría de Hicks
∂h1(p1, p2, u)
∂p2
=
∂h2(p1, p2, u)
∂p1
Homogeneidad de grado 0 de las demandas
ηMx1,p1 + η
M
x1,p2 + η
M
x1,m = 0
ηHx1,p1 + η
H
x1,p2 = 0
Pauta Examen Final
1. [8 puntos] Preguntas cortas
(a) El mercado de dólares se equilibra a un tipo de cambio de 656. ¿Qué ocurriría con el tipo
de cambio si la demanda de dólares se duplicara, producto del desarrollo de un gigantesco
proyecto de inversión cuyos insumos son importados, y paralelamente la oferta aumentara
porque el financiamiento del proyecto es completamente externo?
Nada: si el mercado se equilibra al precio P , esto es, QD (P ) = QO (P ), entonces tam-
bién lo hace cuando demanda y oferta se duplican. Así, P también satisface 2QD (P ) =
2QO (P ). El precio se ajusta para absorber movimientos desbalanceados de oferta y
demanda.
(b) ¿Qué interpretación tiene el multiplicador de Lagrange en el siguiente problema?
max
{x1,x2}
u(x1, x2) s/a m ≥ x1p1 + x2p2
Explique claramente.
El multiplicador de Lagrange corresponde a la utilidad marginal del ingreso en este prob-
lema. En efecto,
∂£∗(x1, x2,λ)
∂m
=
µ
∂u
∂x1
− λp1
¶
| {z }
0 en el óptimo
∂x∗1
∂m
+
µ
∂u
∂x2
− λp2
¶
| {z }
0 en el óptimo
∂x∗2
∂m
+(m− x1p1 − x2p2)| {z }
0 en el óptimo
∂λ∗
∂m
+ λ|{z}
Efecto directo
= λ =
∂u∗ (p1, p2,m)
∂m
Esto es una consecuencia del teorema de la envolvente, que establece que sólo el efecto
directo de un parámetro importa en la función objetivo cuando se evalúa en el óptimo,
porque los efectos indirectos (esto es, lo generados por el hecho de que el óptimo cambia)
no tienen peso en el objetivo, precisamente porque se está en un óptimo.
(c) Que un monopolista cobre un precio mayor que su costo marginal ciertamente no tiene
sentido: al vender una unidad más a tal precio, genera un aumento en sus ingresos mayor
que el aumento en los costos. No tentarse a hacerlo, entonces, requiere de un autocontrol
que la mayor parte de los seres humanos no posee. Comente.
En enunciado en realidad supone que el precio es el ingreso marginal en el caso del
monopolista, lo que es erróneo. El ingreso marginal es menor que el precio, porque para
vender una unidad adicional, el monopolista tiene que rebajar el precio (los consumidores
ya estaban comprando lo máximo que estaban dispuestos al precio anterior), perdiendo
ingreso de las unidades anteriores. Así,
IMg = p+ x
∂p
∂x
< p
De manera que el monopolista requeriría de disciplina para no producir donde IMg=CMg.
(d) Explique intuitivamente por qué a la propiedad de homogeneidad de grado 0 de la de-
manda ordinaria se le conoce con el nombre de “ausencia de ilusión monetaria”.
Esta propiedad dice que si todos los precios y el ingreso monetario aumentan en la misma
proporción, las demandas permanecen inalteradas. Esto implica que, por una parte, sólo
los precios relativos importan, y por otra, que el ingreso real o poder de compra determina
la demanda. En otras palabras, el aumento en el ingreso nominal no le dará al consumidor
la “ilusión” de mayor poder de compra, por lo que no cambiará su comportamiento.
2. Gallina
En el juego “gallina”, un representante de cada bando conduce un auto en dirección a su
oponente. Si sólo uno se desvía antes de chocar, el que se mantuvo en el camino gana,
obteniendo 7 utiles, mientras el perdedor 2. Si ambos se desvían, el juego se declara en
empate, y ambos obtienen 6 utiles. Si ninguno se desvía también empatan, pero debido al
costo del choque cada uno obtiene 0 utiles.
(a) [2 puntos] Represente el juego en forma estratégica, y encuentre el (los) equilibrio(s) de
Nash.
La forma estratégica es:
J1\J2 Retirar Seguir
Retirar 6, 6 2,7
Seguir 7,2 0, 0
Observe que la mejor respuesta a Retirar es Seguir, y viceversa. Entonces, hay tres EN:
i. (Retirar, Seguir)
ii. (Seguir, Retirar)
iii. Retirarse con probablidad 23 y seguir con probabilidad
1
3 . En efecto, si p =Prob(oponente
se retira), Eu (Seguir) = 7p+0 y Eu (Re tirar) = 6p+2 (1− p). La única forma de
estar indiferente entre retirarse y seguir es
7p = 6p+ 2 (1− p)
⇒ p = 2
3
(b) [2 puntos] ¿Cuál le parece una predicción razonable del resultado de este juego. Explique
intuitivamente su razonamiento.
Esta es una pregunta abierta, cuyo único objetivo es defender la noción de equilibrio
de Nash. Aunque el argumento es el mismo en los tres casos, personalmente prefiero el
equilibrio en estrategias mixtas, porque es simétrico: ambos jugadores, que sonidénti-
cos en todo sentido, hacen lo mismo y consiguen lo mismo ex-ante. Este equilibrio se
distingue además por la impredictibilidad: si la acción del oponente fuera predecible, con-
vendría hacer lo opuesto. Más aún, retirarse tiene que ser lo más probable, porque de lo
contrario ambos preferirían seguir y por lo tanto el resutado nuevamente sería predecible.
(c) [2 puntos] ¿Cómo cambia esta predicción si uno de los equipos arregla el auto de manera
que no tenga volante? Explique claramente.
En este caso, la alternativa de retirarse no existe para el equipo que arregló el auto. Al
otro equipo no le queda más que retirarse. Así, (Retirarse, Seguir) es el único equilibrio.
3. Flexibilidad laboral
Lustro Zapata es el dueño de una fábrica de zapatos; su único afán es el lucro. Su gran
experiencia le permite predecir al comienzo de cada semestre el precio al cual podrá vender
cada unidad del único modelo que fabrica. Con ese antecedente, decide sobre la contratación
de trabajadores y otros insumos, que arregla en la forma de contratos semestrales. El sueldo
semestral de un trabajador es de 120, y el valor de la contratación de otros insumos por un
semestre de 120 también. La tecnología de que dispone puede resumirse como
q = lnL+ lnM
donde L es el número de trabajadores, y M el resto de los insumos; todas las cantidades están
medidas en base semestral.
En vista del hecho que su capacidad predictiva es buena sólo para períodos semestrales, Lustro
espera el comienzo de cada semestre para decidir qué hará en ese período.
(a) [3 puntos] Encuentre la función de costos de Lustro, y su mejor política de contratación
de insumos en función de q.
La función de costos resuelve
min£ = wL+ rM + λ (q − lnL− lnM)
Las condiciones de Kuhn-Tucker son:
∂£
∂L
= w − λ 1
L
≤ 0 chc L∂£
∂L
= 0
∂£
∂M
= r − λ 1
M
≤ 0 chc M ∂£
∂M
= 0
∂£
∂L
= q − lnL− lnM ≥ 0 chc λ∂£
∂λ
= 0
Observamos que la función de producción es cóncava, y que la productividad marginal de
los factores es arbitrariamente grande cerca de 0, por lo que la solución debe ser interior.
Tenemos entonces
w − λ 1L = 0
r − λ 1M = 0
⇒ L = r
w
M
⇒ q = ln r
w
M + lnM = ln
r
w
+ 2 lnM
⇒ M = e 12(q−ln rw ), L = r
w
e
1
2(q−ln rw )
donde la última línea expresa la mejor política de contratación en función de la cantidad
que se desea producir (demandas compensadas por insumos). La función de costos es
C(q) = w
r
w
e
1
2(q−ln rw ) + re
1
2 (q−ln rw )
= 2re
1
2(q−ln rw )
En el caso particular en que w = r = 120, tenemos:
M = e
1
2 q, L = e
1
2 q
C(q) = 240e
1
2 q
(b) [3 puntos] Encuentre las mejores políticas de producción y contratación de trabajadores
y otros insumos, en función de P , el precio de los zapatos.
La respuesta proviene de
maxπ = pq − 240e 12 q
CPO :
∂π
∂q
= p− 240e 12 q 1
2
= 0
⇒ q = 2 ln 1
120
p
CSO :
∂2π
∂q2
= −120e 12 q 1
2
< 0
π ≥ 0 si p ≥ C(q)
q
Buscamos el costo medio mínimo:
C(q)
q
=
∂C
∂q
240
e
1
2 q
q
= 240e
1
2 q
1
2
⇒ q = 2
⇒ p ≥ 240e
1
22
2
= 120e = 326. 19
Para precios por sobre este nivel, las políticas óptimas de contratación son
M = e
1
22 ln
1
120p =
1
120
p
L = e
1
22 ln
1
120p =
1
120
p
Para precios menores, M = L = q = 0.
(c) [3 puntos] Imagine que una legislación forzara a Lustro a hacer contratos de trabajo de
al menos un año de duración. En concreto, suponga que Lustro sabe que el precio de
los zapatos en el primer semestre será de 400, y le atribuye una probabilidad de un 50%
a que en el segundo semestre sea de 800 y de 50% a 200. Si Lustro es neutral al riesgo,
¿cuántos trabajadores contrará?
En este caso, Lustro resuelve
maxEπ = 400q0 − 120L0 − 120M0| {z }
Primer semestre
+
1
2
(800q1 − 120L1 − 120M1)| {z }
Semestre 2, escenario 1
+
1
2
(200q2 − 120L2 − 120M2)| {z }
Semestre 2, escenario 2
s/a q0 ≤ lnL0 + lnM0
q1 ≤ lnL1 + lnM1
q2 ≤ lnL2 + lnM2
L1 = L2
La última restricción expresa la imposibilidad de ajustar la contratación de trabajo a las
condiciones de demanda, por el hecho de tener un contrato de largo plazo. Despejando,
q = lnL+ lnM ⇒M = e
q
L
Entonces,
max
q0,q1,q2,L
Eπ =
µ
400q0 − 120L− 120e
q0
L
¶
| {z }
Primer semestre
+
1
2
µ
800q1 − 120L− 120e
q1
L
¶
| {z }
Semestre 2, escenario 1
+
1
2
µ
200q2 − 120L− 120e
q2
L
¶
| {z }
Semestre 2, escenario 2
∂Eπ
∂L
= −120 + 120e
q0
L2
− 1
2
120 +
1
2
120
eq1
L2
− 1
2
120 +
1
2
120
eq2
L2
= 0
∂Eπ
∂q0
= 400− 120e
q0
L
= 0⇒ q0 = ln 10
3
L y eq0 =
10
3
L
∂Eπ
∂q1
= 800− 120e
q1
L
= 0⇒ q1 = ln 20
3
L y eq1 =
20
3
L
∂Eπ
∂q2
= 200− 120e
q2
L
= 0⇒ q2 = ln 5
3
L y eq2 =
5
3
L
⇒ 120 + 1
2
120 +
1
2
120 = 120
eq0
L2
+
1
2
120
eq1
L2
+
1
2
120
eq2
L2
⇔ 2 = 10
3
L
L2
+
1
2
20
3
L
L2
+
1
2
5
3
L
L2
⇒ L = 15
4
= 3. 75
q0 = ln
µ
10
3
15
4
¶
= ln
25
2
= 2. 525 7
q1 = ln
µ
20
3
15
4
¶
= ln 25 = 3. 218 9
q2 = ln
µ
5
3
15
4
¶
= ln
25
4
= 1. 832 6
Respecto de las condiciones de segundo orden, es claro que se satisfacen puesto que los
costos son convexos. Falta verificar que convenga producir, es decir, Eπ ≥ 0 :
Eπ = 681. 1 > 0
(d) [2 puntos] Compare la situación en (b) con lo que hubiera hecho en ausencia de esta
obligación. Explique claramente.
En ausencia de esta obligación, en cada escenario contrataría de acuerdo a las condiciones
del momento, es decir, aplicando las políticas óptimas de contratación, tendríamos:
Primer semestre : L0 =M0 =
1
120
400 =
10
3
, q0 = 2 ln
10
3
⇒ π0 = 400 ∗ 2 ln 10
3
− 240e 122 ln 103 = 163. 18
Semestre 2, escenario 1 : L1 =M1 =
1
120
800 =
20
3
, q1 = 2 ln
20
3
π1 = 800 ∗ 2 ln 20
3
− 240e 122 ln 203 = 1435. 4
Semestre 2, escenario 2 : P = 200 < minCMe
⇒ q2 = L2 =M2 = 0
Por lo tanto, la utilidad esperada es de
Eπ = 163. 18 +
1
2
1435. 4 = 880. 88
La utilidad es mayor, puesto que el problema anterior impone la restricción adicional
de que L sea el mismo, independientemente de la demanda. Entonces, el valor de esta
flexibilidad para Lustro es aproximadamente de 200, o un 23% de sus utilidades.
4. Bienestar
Timor Ato está feliz con su trabajo: las horas que pasa en su oficina realmente no le molestan, y
el ingreso que obtiene (m = 100) le resulta muy valioso: u(m) =
√
m. Sin embargo, lo inquieta
la posibilidad de perder su trabajo y con ello su ingreso. A esta posibilidad le atribuye una
probabilidad de 10%.
(a) [2 puntos] ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el derecho a contratar un seguro de
desempleo por el monto que desee, en que por cada peso a recibir en caso de siniestro se
paga un precio p = 19?
La pregunta se refiere a la variación compensatoria: en la situación inicial, Timor con-
sume la canasta de consumo contingente (c1, c2) = (0, 100), donde el estado 1 es el de
desempleo. El acceso a ese seguro le permitiría escoger entre las canastas
c2 ≤ 100− 1
9
c1
Observe que, como la relación implícita de precios coincide con la relación de probabili-
dades, este seguro es actuarialmente justo. Siendo averso al riesgo, sabemos que Timor
escogerá una canasta libre de riesgo:
c2 = E − 19c1
c2 = c1
⇒ c2 = 9
10
E, c1 =
9
10
E
La utilidad inicial era de
Eu0 =
9
10
√
100 +
1
10
√
0 = 9
La utilidad con un gasto de E es de
Eu0 =
9
10
r
9
10
E +
1
10
r
9
10
E =
3
10
√
10
√
E
El mínimo gasto, entonces, para que mantenga la utilidad inicial en las nuevas circun-
stancias es de:
3
10
√
10
√
E = 9⇒ E = 90
Por lo que la variación compensatoria asciende a
V C = 100− 90 = 10
(b) [2 puntos] Imagine que este seguro existe, y que p = 19 . ¿A cuánto asciende el excedente
de Timor?
Bajo esas condiciones, compra
c1 = 90
Lo máximo que está dispuesto a pagar por esa cantidad, en términos de c2, es:
9 =
9
10
√
100− x+ 1
10
√
90⇒ x = 19. 971
Lo que efectivamente paga es
90 ∗ 1
9
= 10
unidades de c2. El excedente es, entonces,
EC = 19. 971− 10 = 9. 971
(c) [2 puntos] Compare sus respuestas en (a) y (b). Explique intuitivamente.
Ambas medidas arrojan respuestas distintas, porque el bien 1 no es neutro. En efecto, el
EC fija la cantidad