Guía 14 (Razón de Cambio)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2014.
MAT 210E ∗ GUIA N◦14
Razón de cambio.
1. El largo L de un rectángulo decrece a razón de 2 cm/seg y al ancho A aumenta a razón
de 2 cm/seg. Cuando L = 12 y a = 5, detemine la razón de cambio de
a) su área.
b) del peŕımetro.
c) de la longitud de las diagonales.
2. De acuerdo a la Ley de Poiseuille, la velocidad del flujo sangúıneo V , está dada por:
V =
p
4Lv
(R2 − r2)
donde R es el radio del vaso sangúıneo, r es la distancia que recorre la sangre desde
el centro del vaso, p, L y v son constantes f́ısicas relacionadas con la presión, longi-
tud y viscosidada de los vasos sangúıneos respectivamente. En lo que sigue suponga r
constante.
a) Sabiendo que el aire fŕıo tiene el efecto de contraer los vasos sangúıneos del corazón.
Suponga que un vaso sangúıneo se contrae a razón de
dR
dt
= −0,0015 mm/min. en
un lugar en el vaso sangúıneo donde R = 0,0075 mm, determine
dV
dt
.
b) Determine la razón de cambio de
dV
dt
en términos de R y
dR
dt
, cuando L = 1,
p = 100 y v = 0,05
3. Una escalera de 4 metros de largo está apoyada contra la pared de un edificio y su base
comienza a rebalar. Cuando la base está a 3, 7 metros del edificio, la base se aleja a
razón de 1, 5 m
seg
.
a) ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, la pared
y el suelo en ese instante?
b) ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?
4. En un rectángulo el largo es el doble del ancho. Si el ancho aumenta a razón constante
de 3 cm/min, ¿a qué razón aumenta el área cuando el ancho es de 3 cm?
5. El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4cm2/min. Calcule la rapidez
de variación de la longitud de sus lados en el momento en que el área del triángulo es
de 200 cm2.
6. Una placa en forma de triángulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado au-
menta a razón constante de 2 cm/hora. ¿Con qué rapidez crece el área cuando el lado
del triángulo mide 8 cm?
7. Se lanza una piedra a un lago y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón
de 0,5 mts
seg
¿A qué razón aumenta el peŕımetro de una onda cuando su radio mide 4 mts?
8. Un barco petrolero tiene un accidente y el petróleo se derrama a razón de 150 galones
por minuto. Si el petróleo se esparce sobre el agua en forma de cilindro circular recto
con altura igual a un décimo de pulgada, (se sabe que un pie tiene 12 pulgadas y que
un pie cúbico es igual a 7,5 galones). Determinar la razón de crecimiento del radio del
cilindro cuando dicho radio alcanza los 50 pies.
9. Un globo se desinfla a razón constante de 5 pies3/ min. En el instante en que el radio
es de 3 pies, ¿a qué rapidez vaŕıa la superficie?
10. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta su
longitud y su diámetro aumentan a razón de 0,005 cm/min y 0,002 cm/min respectiva-
mente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que mide 40 cm
de largo y 3 cm de diámetro?
11. La arena que escurre por un agujero de un recipiente forma un mont́ıculo cónico cuya
altura es igual al radio de su base. Cuando la altura del mont́ıculo es de 25 cm, ésta
aumenta a razón constante de 15 cm/min. Calcule el volumen de arena que sale del
agujero por minuto, cuando la altura es de 25 cm.
12. El volumen de un tumor está dado por V =
4
3
π r3 . Si el radio aumenta a razón de
0,03 cms por d́ıa. ¿Cómo vaŕıa el volumen, en el instante en que el radio es de 0,03 cm?
13. El agua se escapa por la parte inferior de un depósito cónico de 6 pies de diámetro y 9
pies de altura a razón costante de 1 pie3/min.
¿Con qué rapidez varia el nivel del agua cuando su altura sobre el fondo es de 6 pies?
14. Un barco navega hacia el sur con rapidez constante de 6 millas por hora, mientras que
otro lo hace hacia el este a 8 millas por hora. A las 4 de la tarde el segundo barco cruza
la ruta del primero en el punto donde éste hab́ıa pasado dos horas antes.
a) ¿Con qué rapidez cambió la distancia entre los barcos a las 3 de la tarde?
b) ¿En qué instante no cambia la distancia entre los barcos?