Gua 2

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2004
MAT1503 ∗ GUIA N◦2
1. Resolver las siguientes ecuaciones en R.
(a) |x2 − 5x + 1| = 2
(b) |x2 + 1| = |2x|
(c) |x + 2|+ |5− x| = 0
(d) |x− 2| = −(x2 + 1)
2. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto en R.
(a) x− |x| < 2
(b) |x + 3| ≥ 2|
(c) |x− 4| > x− 2
(d) |x + 2| > |3− x|
(e) |x− 7| < 5 < |5x− 25|
3. Resolver las siguientes inecuaciones en R.
(a)
x2 − 3x + 2
x2 + 2x + 6
< 3
(b)
x2 − 5x + 4
x− 3 < 0
(c)
x2 − 6x + 7
x− 2 > 0
1
(d)
x2 + 1
x2 − 3x + 2 >
x
x2 − 3x + 2
(e) x(x4 − 7x2 + 12) > 0
(f) 1 +
6
x2 + 3x + 2
>
6
x + 2
(g)
2x− 25
x2 + 2x− 3 +
2x + 11
x2 − 1 >
2
x + 3
(h) |x2 − x|+ x > 1
(i)
∣∣∣∣
x + 2
3− x
∣∣∣∣ < 1
(j)
∣∣∣∣
x2 − x
x2 − 4
∣∣∣∣ < 1
(k)
∣∣∣∣
x2 − 2x + 3
x2 − 5x + 6
∣∣∣∣ >
1
5
(l)
√
x + 6−√x + 1 > √2x− 5
(m) |3x + 2| ≤ |x + 1|+ |2x + 1|
(n) 2x− 1 > √x2 − 3x + 2
(o) 8x− 3 <
√
(x− 6)(x− 9)
(p)
√
x− 1 +√x− 4 < 3
(q)
√
x2 + 51−
√
(x− 5)(x− 7) > 4
(r)
√
(x− 2)−
√
(x− 6) < 8
2
4. Encontrar los valores de a ∈ R tales que:
∀ x ∈ R (ax2 − a(a− 1)x + 2a < 0)
5. ¿Para qué valores de a ∈ R, la ecuación (1− a)x2 + x + (1− a) = 0
tiene sus soluciones reales e iguales?
6. Para qué valores de a ∈ R se tiene que:
∀x ∈ R (a− 1)x2 + 2(a− 3)x + a > 3)
7. Determinar los valores de a ∈ R de modo que el número 3 esté, entre
las ráıces de la ecuación
4x2 − (a + 1)x + 2− a = 0
8. ¿Para qué valores de a ∈ R la ecuación (1− a)x2 + x + (1− a) = 0
tiene una única solución real?
9. Demostrar las siguientes propiedades del valor absoluto de números
reales.
(a) |x| ≥ x
(b) |x + y| ≤ |x|+ |y|
(c) xy > 0 → |x + y| = |x|+ |y|
(d) |x| − |y| ≥ |x− y|
(e) |x| = |y| ↔ (x = y ∨ x = −y)
(f) |x2| = |x|2 = x2
10. Dada la función f : R −→ R, definida por:
f(x) =



2x + 5 si x > 9
x2 − |x| si −9 ≤ x ≤ 9
x− 4 si < −9
determine:
3
(a) f(3), f(12), f(9), f(f(5))
(b) Dominio de f
(c) Recorrido de f
(d) Gráfico de f
11. Encuentre los dominios en R de las siguientes funciones:
(a) f(x) =
√
1− x2
(b) f(x) =
√
1−√1− x2
(c) f(x) =
1√
x2 − 4
(d) f(x) =
√
1− x +√x− 2
(e) f(x) =
√
4− x2 +√x2 − 1
(f) f(x) =
1
x− 1 +
1
x− 2
12. Si f(x) = x3, grafique f(x) y f−1(x). ¿Es f−1 función? ¿Es inyec-
tiva? ?
13. Encuentre el dominio y el recorrido de la función
f(x) =
x2 − 1
x + 1
¿Es uno a uno?
14. Dada la función f : R−
{−1
2
}
−→ R−
{
1
2
}
tal que:
f(x) =
x− 3
2x + 1
(a) Demuestre que f es inyectiva
(b) Determine f−1
4
15. Si la función f está definida por
f(x) =
{
x + 2 si x ≤ 2
2x si x > 2
Demuestre que f es inyectiva y encuentre f−1
16. Se define la función f : R −→ R:
f(x) =
{
x2 − 3x si x ≥ 2
x− 4 si x < 2
(a) Demuestre que f es inyectiva
(b) Encuentre f−1 y graf́ıquela
17. Dada la función f : R −→ R definida por:
f(x) =
{ −√x si x ≥ 4
2− x si x < 4
Demuestre que f−1 es función y encuéntrela. Grafique f y f−1
18. Dadas las funciones
f : R −→ R, f(x) = x2 + 3x + 1 y g : R −→ R, g(x) = 2x− 3
(a) Encuentre f o g(4), g o f(4) y f o f(4)
(b) ¿Se cumple que f o g(x) = g o f(x)?
(c) ¿Existe algún x ∈ R tal que f o g(x) = g o f(x)?
19. Dadas las funciones definidas en los números reales:
f(x) = 2x2 − 3x + k y g(x) = 3x + 1
¿Para qué valor de k existe un único número real x tal que
(f o g)(x) = g o f(x)? ¿Cuál es dicho número real?
20. Si f y g son funciones definidas en los números reales, tales que:
(f o g)(x) = 12x2 − 28x + 16 y g(x) = 2x− 3
determine la función f(x).
5
21. Si f : R −→ R y g : R −→ R son funciones tales que f(x) = 2x2−3
(f o g)(x) =
{
32x2 − 16x− 1 si x ≥ 1
47 si x < 1
demuestre la función g(x).
22. Dadas las funciones reales de variable real, definidas por:
f(x) =
x + |x|
2
y g(x) =
{
x si x < 0
x2 si x ≥ 0
Demuestre que f o g)(x) = (g o f)(x)
23. Si f y g son funciones reales de variable real definidas por:
f(x) =
{
x2 + 2 si x > o
x + 2 si x ≤ 0 y g(x) =
{
2x + 5 si x > 3
x2 si x ≤ 3
Determine la función g(f(x)).
24. Determinar las constantes reales A,B y C para que se cumpla
Ax2 + Bx + C
(x− 1)(x− 2)(x− 3) =
2
x− 1 −
9
x− 2 +
8
x− 3
25. Encontrar el cociente y el resto cuando el polinomio 3x3 − 4x + 2 es
dividido por x + 3
26. ¿Para qué valores de a y b el polinomio 3x2 + bx − b2 − a es divisible
por x + 2, pero al dividirlo por x− 1 da resto 1?
27. Sea p(x) = x4 + bx3 − 13x2 − 14x + 24
(a) Determinar b ∈ R, de modo que -2 sea ráız de p
(b) Determinar las ráıces restantes.
28. Resolver la ecuación 3x3 − 2x2 − 6x + 4 = 0
6
29. De la ecuación x4 − x3 − 15x2 + 19x − 4 = 0 se conoce la ráız
x1 = 2−
√
3. Determinar las otras ráıces reales.
30. Sean
p(x) = ax3 + bx2 + 3cx + d,
q(x) = ax2 + 3bx + c, a > 0
tales que p(x) es divisible por q(x). Demostrar que p(x) es el cubo
de un binomio y q(x) es el cuadrado de un binomio.
31. En cada uno de los siguientes problemas trate de encontrar todas las
ráıces reales conociendo una de ellas.
a) 4x3 + 3x2 − 5x− 2 = 0 , x1 = 1
b) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 , x1 = −2
c) 2x3 − 11x2 + 17x− 6 = 0 , x1 = 2
d) x3 − 7x2 + 13x− 3 = 0 , x1 = 3
32. Sea p(x) = 12x4 + 4x3 − 23x2 + x + 6. Determine las ráıces de p(x)
en :
a) Z b) Q c) R
33. Se desea fabricar un envase de forma de paraleleṕıpedo recto tal que el
ancho mida 2cm más que el alto y el largo mida 3cm más que el ancho
y que tenga 1.040 litros de capacidad. Determine las dimensiones del
envase.
34. Determine las ráıces racionales de las siguientes ecuaciones:
(a) 5x3 − 3x2 − 55x + 33 = 0
(b) 3x2 + 7x2 − 10x + 4 = 0
(c) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3 = 0
35. Al dividir cierto polinomio p(x) por (x − 1) el resto es a y al
dividirlo por (x − 2) es b . Encuentre el resto al dividir p(x) por
(x− 1)(x− 2)
36. Determine los valores de k ∈ R de modo que al dividir x4− k3x+3−k
por (x− 3) resulte 44 como el resto.
7
37. Determine los valores a, b ∈ R de modo que a ax4+bx3−12x2+21x−5
sea divisible por 2x2 + 3x− 1.
38. Resolver 20x3 − 30x2 + 12x− 1 = 0
39. Determine k de modo que las ráıces del polinomio 2x3 + 6x2 + 5x + k
sean reales que estén en progresión aritmética.
40. Determine k de modo que las ráıces del polinomio 8x3 + 18x2 + kx− k
sean reales que estén en progresión geométrica.
41. Sabiendo que x1 =
1
2
y x2 = −12 son ráıces de 4x4 + ax3 + bx2 + 5x− 4.
Encontrar las otras ráıces.
42. Determine las ráıces racionales de:
(a) 5x3 − 3z2 − 55x + 33
(b) x4 + 2x3 + 11x2 − 2x− 3
43. Determine los valores de k ∈ R para que el polinomio p(x) = 2k2x3 + 3kx2 − 2
es divisible por (x− 1) y posee sólo ráıces reales.
8