Ejercicios inecuaciones valor absoluto

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Ejercicios de inecuaciones con valor absoluto
1. Resuelva la inecuación |x + 1|+ 3 < |2x + 6|.
solución: Como x + 1 se hace cero en x = −1, 2x + 6 se hace cero
en x = −3 entonces quitamos −1 y 3 de la recta real; de esta forma
nos quedan tres intervalos: ]−∞,−3[, ]−3,−1[, ]−1,∞[. Miremos que
pasa en cada intervalo:
Si x ∈]−∞,−3[: En este caso tanto x+1 como 2x+6 son negativos.
Por lo tanto |x + 1| = −x− 1 y |2x + 6| = −2x− 6.
Asi, la desigualdad queda: −x−1+3 < −2x−6, la cual al resolver
para x nos da que x < −8, es decir x ∈]−∞,−8[
Como estamos bajo la restricción x ∈]−∞,−3[, es decir x < −3,
entonces la solución es dada por todos los x tales que
x ∈ ]−∞,−3[ ∩ ]−∞,−8[ = ]−∞,−8[
Si x ∈]−3,−1[: En este caso x+1 es negativo y 2x+6 es positivo.
Por lo tanto |x + 1| = −x− 1 y |2x + 6| = 2x + 6.
Asi, la desigualdad queda: −x− 1 + 3 < 2x + 6, la cual al resolver
para x nos da que x > −4/3, es decir x ∈ ]−4
3
,∞[
Como estamos bajo la restricción x ∈] − 3,−1[,
es decir −3 < x < −1, entonces la solución es dada por todos
los x tales que
x ∈ ]− 3,−1[ ∩
]
−4
3
,∞
[
=
]
−4
3
,−1
[
Si x ∈]−1,∞[: En este caso tanto x+1 como 2x+6 son positivos.
Por lo tanto |x + 1| = x + 1 y |2x + 6| = 2x + 6.
Asi, la desigualdad queda: x + 1 + 3 < 2x + 6, la cual al resolver
para x nos da que x > −2, es decir x ∈ ]−2,∞[
Como estamos bajo la restricción x ∈] − 1,∞[,es decir x > −1,
entonces la solución es dada por todos los x tales que
x ∈ ]− 1,∞[ ∩ ]−2,∞[ = ]−1,∞[
Uniendo las tres soluciones obtenemos la solución final:
]−∞,−8[ ∪
]
−4
3
,−1
[
∪ ]−1,∞[
1
2. Resuelva la inecuación x + 2 <
√
2x2 + 5x− 12.
solución:
Debemos tener en cuenta primero que para que el problema tenga sen-
tido la cantidad debajo de la raiz debe ser mayor o igual a cero, es decir
2x2 + 5x − 12 ≥ 0. Como las raices de la anterior ecuación son −4 y
3/2 y como el grafico de y = 2x2 + 5x − 12 es una parabola abierta
hacia arriba, tenemos que 2x2 +5x− 12 ≥ 0 si y solamente si x ≤ −4 o
x ≥ 3
2
. Por lo tanto la solución a nuestro problema sera restringida a la
condicion de que x ≤ −4 o x ≥ 3
2
o en otras palabras nuestra solución
final la interceptaremos con el conjunto ]−∞,−4] ∪ [3
2
,∞[.
Ahora vemos que x + 2 tiene dos posibilidades: ó bien x + 2 ≤ 0 ó bien
x + 2 > 0. Si x + 2 ≤ 0 es decir si x < −2 entonces la desigualdad se
cumple siempre, pues x+2 ≤ 0 ≤ √2x2 + 5x− 12, aśı el único caso de
interés es cuando x + 2 > 0.
Si tomamos x + 2 > 0 es decir x > −2 podemos tomar la ecuación que
vamos a resolver y elevar a ambos lados al cuadrado, de tal forma que
la ecuación queda:
(x + 2)2 < 2x2 + 5x− 12
es decir x2 + 4x + 4 < 2x2 + 5x− 12, equivalentemente 0 < x2 + x− 16
Ahora, la ecuación x2+x−16 tiene raices x = −1±
√
65
2
y es estrictamente
mayor que cero al lado de dichas raices, es decir
0 < x2+x−16 si y solamente si x < −1−
√
65
2
ó x >
−1 +√65
2
para todo x > −2.
Asi, la desigualdad original es cierta para todos los x tales que
x ∈] − 2,∞[ ∩
]
−1+√65
2
,∞
[
que además cumplan la restricción
x ≤ −4 o x ≥ 3
2
.
Aplicando la restricción y notando que −1+
√
65
2
> −1+8
2
> 3
2
, llegamos
a:
x+2 <
√
2x2 + 5x− 12 si y solo si x ∈]−∞,−4]∪
]
−1 +√65
2
,∞
[
2
3. Determinar el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad:
√
|x− 2|+ 4−√x− 6 < 2
solución:
Primero que nada, para que las raices esten bien definidas es necesario
que x ≥ 6.
Ahora, la desigualdad puede escribirse como
√
|x− 2|+ 4 < 2 +√x− 6
y como ambos lados son positivos, podemos elevar al cuadrado ambos
lados obteniendo
|x− 2|+ 4 < 4 + (x− 6) + 4√x− 6
Pero como x ≥ 6, (x − 2) es positivo y luego |x − 2| = x − 2. Por lo
tanto la desigualdad anterior se convierte en
(x− 2) + 4 < 4 + (x− 6) + 4√x− 6
la cual simplificando queda 4 < 4
√
x− 6 es decir 1 <
√
(x− 6). Fi-
nalmente elevando de nuevo al cuadrado tenemos 1 < (x− 6), es decir
7 < x.
Como todos estos puntos satisfacen x ≥ 6 tenemos que la solución es
el intervalo ]7,∞[
4. Encuentre los valores de x para los cuales
∣∣∣∣
x2 − 2x + 3
x2 − 5x + 6
∣∣∣∣ < 1
solución:
∣∣∣∣
x2 − 2x + 3
x2 − 5x + 6
∣∣∣∣ < 1 si solo si −1 <
x2 − 2x + 3
x2 − 5x + 6 y
x2 − 2x + 3
x2 − 5x + 6 < 1
Asi resolvemos cada desigualdad por separado y luego intersectamos
las soluciones, esto nos dara la solución final.
3
−1 < x2−2x+3
x2−5x+6 si y solo si
x2−2x+3
x2−5x+6 +1 > 0 si y solo si
2x2−7x+9
(x−2)(x−3) > 0
Ahora 2x2 − 7x + 9 > 0 pues su discriminante es igual a
72 − 4(2)(9) < 0 y 2 > 0. Luego para resolver 2x2−7x+9
(x−2)(x−3) > 0
debo tener (x − 2)(x − 3) > 0, analizando signos vemos que esto
es posible si y solo si
x ∈ ]−∞, 2[ ∪ ]3,∞[
x2−2x+3
x2−5x+6 < 1 si y solo si
x2−2x+3
x2−5x+6−1 < 0 si y solo si 3x−3(x−2)(x−3) > 0
Ahora 3x − 3 = 0 si solo si x = 1 y (x − 2)(x − 3) = 0 si y solo
si x = 2 o x = 3. Analizando signos vemos que la solución de esta
desigualdad es dada por el conjunto
]−∞, 1[ ∪ ]2, 3[
Por lo tanto la solución final es ]−∞, 1[
4