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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 09 — Continuidad.
Funciones continuas
Sea f : D → R, con D ⊆ R, y sea a ∈ D. Decimos que f es
continua en a si
lim
x→a
f (x) = f (a).
Si a ∈ D es un punto donde f no es continua, decimos que es
una discontinuidad de f .
También diremos que a ∈ R−D es una discontinuidad si a es
un punto límite del dominio de f . Así, por ejemplo, la función
f (x) = x
2−1
x−1 tiene una discontinuidad en x = 1, aunque
1 /∈ Dom(f (x)).
Discontinuidades esenciales y evitables
Sea f : D → R, y sea a ∈ R una discontinuidad de f . Si no
existe lim
x→a
f (x), decimos que la discontinuidad es esencial o
inevitable.
Si f es discontinua en a pero lim
x→a
f (x) existe, diremos que la
discontinuidad es evitable o reparable.
En este caso, podemos definir o re-definir f (a) de modo que la
nueva función sea continua.
Ejemplo de discontinuidad evitable
La función f (x) = sen xx tiene una discontinuidad en x = 0. Sin
embargo, como lim
x→0
sen x
x = 1 (lo que acabamos de demostrar),
es posible reparar esta discontinuidad definiendo f (0) como 1.
En otras palabras: la función
g(x) =

sen x
x
si x 6= 0,
1 si x = 0
es continua en x = 0, por lo que la discontinuidad de
f (x) =
sen x
x
en x = 0 es evitable.
Discontinuidades esenciales y evitables (cont.)
A continuación damos algunos ejemplos de discontinuidades
esenciales.
1. La función f (x) = 1x2 es discontinua en 0, ya que f (0) no
existe, pero 0 es punto límite de Dom f . Como
lim
x→0
f (x) =∞, no es posible definir f (0) de modo que la
función pase a ser continua, por lo que esta discontinuidad
es esencial.
2. La función bxc tiene una discontinuidad en cada n ∈ Z. Si
n ∈ Z, tenemos lim
x→n+
bxc = n, mientras que
lim
x→n−
bxc = n− 1. Como los límites laterales no coinciden,
no existe lim
x→n
bxc, por lo que dicha discontinuidad es
esencial.
Nuestro último ejemplo nos permite motivar una versión más
“débil” de la idea de continuidad.
Continuidad por la izquierda y por la derecha
Sea f (x) una función real, y sea a ∈ Dom f . Si lim
x→a−
f (x) = f (a),
diremos que f es continua por la izquierda en a.
Análogamente, si lim
x→a+
f (x) = f (a), diremos que f es continua
por la derecha en a.
Ejemplos
I La función dxe es continua por la izquierda en todo n ∈ Z.
I La función bxc es continua por la derecha en todo n ∈ Z.
I La función
√
x es continua por la derecha en x = 0. (note
que, en estricto rigor, como su dominio es R+0 , también
podemos decir que
√
x es continua “a secas”).
Funciones continuas en un intervalo
Sea f : D → R una función real, y sea I un intervalo abierto,
I = (a, b) ⊆ D. Decimos que f es continua en (a, b) si es
continua en todo punto de (a, b).
Si I = [a, b] ⊆ D, decimos que f es continua en [a, b] si es
continua en todo punto de (a, b), continua por la derecha en a y
continua por la izquierda en b.
Si I = [a, b) ⊆ D o I = (a, b] ⊆ D, definimos continuidad en I en
forma análoga.
Una definición alternativa de continuidad
Ejercicio
Sea f : D → R, y sea a ∈ D.
Demuestre que f es continua en a si y sólo si para todo ε > 0
existe un δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ → |f (x)− f (a)| < ε.
O sea: lim
x→a
f (x) = f (a).
Otra alternativa
Ejercicio
Sea f : D → R, y sea a ∈ D.
Demuestre que f es continua en a si y sólo si para todo ε > 0
existe un δ > 0 tal que
|x− a| < δ → |f (x)− f (a)| < ε.
¿Por qué ahora podemos eliminar el “0 < |x− a|”?
Propiedades de las funciones continuas
Teorema
Sea f una función real, continua en el intervalo [a, b]. Entonces
f satisface las siguientes propiedades:
I Si x0 ∈ (a, b) es tal que f (x0) 6= 0, entonces existe un
intervalo I tal que x0 ∈ I ⊆ [a, b] donde f (x) tiene el mismo
signo que f (x0).
I f es acotada en [a, b] (y por lo tanto existen sup f e inf f en
[a, b]).
I f alcanza su supremo y su ínfimo en [a, b] (que por lo tanto
pueden ser llamados el máximo y el mínimo de f en [a, b]).
Éste es llamado el Teorema del Valor Extremo.
I Si c ∈ R es tal que f (a) ≤ c ≤ f (b) o f (b) ≤ c ≤ f (a),
entonces existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = c. Éste es
llamado el Teorema del Valor Intermedio.
Propiedades algebraicas de las funciones continuas
Al igual que para límites de funciones (y para límites de
sucesiones), las funciones continuas satisfacen ciertas
propiedades algebraicas.
Teorema
Si f y g son dos funciones definidas en una vecindad de a (o
sea, en un intervalo abierto que contiene a a) y continuas en
dicha vecindad, entonces:
I f + g y f − g son continuas en a.
I f · g es continua en a.
I Si g(a) 6= 0, entonces f (x)/g(x) es continua en a.
Las demostraciones de estas propiedades se basan en las
propiedades correspondientes de límites, y son dejadas como
ejercicio.
Composición de funciones continuas
A las propiedades anteriores podemos agregar la siguiente:
Teorema
Sean f : D → R y g : E → R. Si f es continua en a ∈ D y g es
continua en f (a) ∈ E , entonces g ◦ f es continua en a.
Demostración.
Sean f y g continuas en a y f (a) respectivamente.
Sea ε > 0. Como g es continua en f (a), existe ρ tal que
|y− f (a)| < ρ→ |g(y)− g(f (a))| < ε.
Como f es continua en a, existe δ tal que
|x− a| < δ → |f (x)− f (a)| < ρ.
Así, si |x− a| < δ entonces |f (x)− f (a)| < ρ y por lo tanto
|g(f (x))− g(f (a))| < ε, o sea, g ◦ f es continua en a.
El teorema de enlace para funciones continuas
El teorema de enlace toma una forma mucho más simple
cuando se trata de funciones continuas en lugar de límites de
funciones cualesquiera.
Teorema (Teorema de Enlace para funciones continuas)
Sea f : D → R, y sea a ∈ D. Entonces f es continua en a si y
sólo si toda sucesión (xn) tal que xn ∈ D y lim
n→∞
xn = a satisface
lim
n→∞
f (xn) = f (a).
Demostración.
Ejercicio.
El teorema de sustitución
Teorema (Regla de sustitución para funciones continuas)
Sea f una función continua en x = a. Si g es una función tal
que lim
x→b
g(x) = a, entonces lim
x→b
f (g(x)) = f (a).
Ejemplo
Esta regla nos permite calcular fácilmente límites como
lim
x→
√
π
sen(x2).
Aquí, tomamos a = π, f (x) = sen x, b =
√
π y g(x) =
√
x.
Entonces se tiene que f (x) = sen x es continua en x = a = π, y
lim
x→b=
√
π
g(x) = lim
x→
√
π
x2 = π = a,
de donde
lim
x→
√
π
sen(x2) = lim
x→b=
√
π
f (g(x)) = f (a) = sen(π) = 0.
El teorema de sustitución cuando f no es continua
Si la función f no es continua, es posible todavía dar una
versión de la regla anterior. Para esto tenemos que agregar la
hipótesis de que g(x) 6= a en una vecindad reducida de b:
Teorema (Regla de sustitución)
Si lim
x→b
g(x) = a con g(x) 6= a en una vecindad reducida de b, y
existe lim
x→a
f (x), entonces
lim
x→b
f (g(x)) = lim
x→a
f (x).
Ejemplo
Calculemos
lim
x→1
√
x− 1
x− 1
.
Sea g : R+ → R dada por g(x) =
√
x. Haciendo la sustitución
u = g(x) =
√
x, tenemos, tomando f (u) = u−1u2−1 , que
lim
x→1
√
x− 1
x− 1
= lim
u→1
u− 1
u2 − 1
= lim
u→1
1
u + 1
=
1
2
.