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25/5/2022
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MAT1610 ⋆ Cálculo I
Claudio Rivera
Facultad de Matemática
Problema. Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1, 1).
Problema. Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1, 1).
1 2-1-2
1
2
3
b
Problema. Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1, 1).
1 2-1-2
1
2
3
b
b
Problema. Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1, 1).
1 2-1-2
1
2
3
b
b
Problema. Determine, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2
en el punto (1, 1).
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
a
b
a a
b
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
a
bL
x
f(x)
a
L
x
f(x)
a
L
b
x
f(x)
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
Escribiremos
ĺım
x→a
f(x) = L
si f(x) se acerca al número L cuando x se acerca al número a. En tal caso diremos que el
ĺımite existe y es igual a L.
Ĺımite de una función
a
bL
Figura 1. L = f(a)
a
L
Figura 2. f(a) no existe
a
L
b
Figura 3. L 6= f(a)
Ejemplo. Dada la función
f(x) = x2 + 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→2
f(x)
Ejemplo. Dada la función
f(x) = x2 + 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→2
f(x)
Ejemplo. Dada la función
f(x) =
x2 − 1
x− 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→1
f(x).
Ejemplo. Dada la función
f(x) = x2 + 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→2
f(x)
Ejemplo. Dada la función
f(x) =
x2 − 1
x− 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→1
f(x).
Ejemplo. Dada la función
f(x) =
{
x+ 2 x 6= 1
0 x = 1
trace su gráfica y deduzca el valor del ĺımite ĺım
x→1
f(x).
El valor del siguiente ĺımite es:
ĺım
x→1
x2 − x− 2
x+ 1
(a) −3
(b) −1
(c) 2
(d) No se puede determinar.
Ejercicio
El valor del siguiente ĺımite es:
ĺım
x→1
x2 − x− 2
x+ 1
(a) −3
(b) −1 X
(c) 2
(d) No se puede determinar.
Ejercicio
Problema. Dada la función
f(x) =
{
x+ 1 x ≤ 1
x2 x > 1
Decida si ĺım
x→1
f(x) existe.
Escribiremos
ĺım
x→a−
f(x) = L−
si f(x) se acerca al número L− cuando x se
acerca por la izquierda al número a.
Escribiremos
ĺım
x→a+
f(x) = L+
si f(x) se acerca al número L+ cuando x se
acerca por la derecha al número a.
Ĺımites laterales
Escribiremos
ĺım
x→a−
f(x) = L−
si f(x) se acerca al número L− cuando x se
acerca por la izquierda al número a.
Escribiremos
ĺım
x→a+
f(x) = L+
si f(x) se acerca al número L+ cuando x se
acerca por la derecha al número a.
Ĺımites laterales
Escribiremos
ĺım
x→a−
f(x) = L−
si f(x) se acerca al número L− cuando x se
acerca por la izquierda al número a.
Escribiremos
ĺım
x→a+
f(x) = L+
si f(x) se acerca al número L+ cuando x se
acerca por la derecha al número a.
Ĺımites laterales
Teorema
Escribiremos
ĺım
x→a−
f(x) = L−
si f(x) se acerca al número L− cuando x se
acerca por la izquierda al número a.
Escribiremos
ĺım
x→a+
f(x) = L+
si f(x) se acerca al número L+ cuando x se
acerca por la derecha al número a.
Ĺımites laterales
1. ĺım
x→a
f(x) existe y es igual a L ⇐⇒ ĺım
x→a−
f(x) = L = ĺım
x→a+
f(x)
Teorema
Escribiremos
ĺım
x→a−
f(x) = L−
si f(x) se acerca al número L− cuando x se
acerca por la izquierda al número a.
Escribiremos
ĺım
x→a+
f(x) = L+
si f(x) se acerca al número L+ cuando x se
acerca por la derecha al número a.
Ĺımites laterales
1. ĺım
x→a
f(x) existe y es igual a L ⇐⇒ ĺım
x→a−
f(x) = L = ĺım
x→a+
f(x)
2. ĺım
x→a
f(x) no existe ⇐⇒ ĺım
x→a−
f(x) 6= ĺım
x→a+
f(x)
Teorema
En la siguiente imagen se muestra la gráfica de una función f . ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. ĺım
x→2
f(x) no existe.
II. ĺım
x→5
f(x) = 1.
(a) Sólo I.
(b) Sólo II.
(c) Ambas, I y II.
(d) Ninguna de las anteriores. 1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
bb
bb
bb
b
Ejercicio
En la siguiente imagen se muestra la gráfica de una función f . ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. ĺım
x→2
f(x) no existe.
II. ĺım
x→5
f(x) = 1.
(a) Sólo I. X
(b) Sólo II.
(c) Ambas, I y II.
(d) Ninguna de las anteriores. 1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
bb
bb
bb
b
Ejercicio
En la siguiente imagen se muestra la gráfica de una función f . ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. ĺım
x→2
f(x) no existe.
II. ĺım
x→5
f(x) = 1.
(a) Sólo I. X
(b) Sólo II.
(c) Ambas, I y II.
(d) Ninguna de las anteriores. 1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
bb
bb
bb
b
Ejercicio
Ejemplo. Decida si el siguiente ĺımite existe
ĺım
x→0
|x|
x
	anm3: 
	3.100: 
	3.99: 
	3.98: 
	3.97: 
	3.96: 
	3.95: 
	3.94: 
	3.93: 
	3.92: 
	3.91: 
	3.90: 
	3.89: 
	3.88: 
	3.87: 
	3.86: 
	3.85: 
	3.84: 
	3.83: 
	3.82: 
	3.81: 
	3.80: 
	3.79: 
	3.78: 
	3.77: 
	3.76: 
	3.75: 
	3.74: 
	3.73: 
	3.72: 
	3.71: 
	3.70: 
	3.69: 
	3.68: 
	3.67: 
	3.66: 
	3.65: 
	3.64: 
	3.63: 
	3.62: 
	3.61: 
	3.60: 
	3.59: 
	3.58: 
	3.57: 
	3.56: 
	3.55: 
	3.54: 
	3.53: 
	3.52: 
	3.51: 
	3.50: 
	3.49: 
	3.48: 
	3.47: 
	3.46: 
	3.45: 
	3.44: 
	3.43: 
	3.42: 
	3.41: 
	3.40: 
	3.39: 
	3.38: 
	3.37: 
	3.36: 
	3.35: 
	3.34: 
	3.33: 
	3.32: 
	3.31: 
	3.30: 
	3.29: 
	3.28: 
	3.27: 
	3.26: 
	3.25: 
	3.24: 
	3.23: 
	3.22: 
	3.21: 
	3.20: 
	3.19: 
	3.18: 
	3.17: 
	3.16: 
	3.15: 
	3.14: 
	3.13: 
	3.12: 
	3.11: 
	3.10: 
	3.9: 
	3.8: 
	3.7: 
	3.6: 
	3.5: 
	3.4: 
	3.3: 
	3.2: 
	3.1: 
	3.0: 
	anm2: 
	2.100: 
	2.99: 
	2.98: 
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	2.92: 
	2.91: 
	2.90: 
	2.89: 
	2.88: 
	2.87: 
	2.86: 
	2.85: 
	2.84: 
	2.83: 
	2.82: 
	2.81: 
	2.80: 
	2.79: 
	2.78: 
	2.77: 
	2.76: 
	2.75: 
	2.74: 
	2.73: 
	2.72: 
	2.71: 
	2.70: 
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	2.68: 
	2.67: 
	2.66: 
	2.65: 
	2.64: 
	2.63: 
	2.62: 
	2.61: 
	2.60: 
	2.59: 
	2.58: 
	2.57: 
	2.56: 
	2.55: 
	2.54: 
	2.53: 
	2.52: 
	2.51: 
	2.50: 
	2.49: 
	2.48: 
	2.47: 
	2.46: 
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	2.43: 
	2.42: 
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	2.39: 
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	2.37: 
	2.36: 
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	2.28: 
	2.27: 
	2.26: 
	2.25: 
	2.24: 
	2.23: 
	2.22: 
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	2.20: 
	2.19: 
	2.18: 
	2.17: 
	2.16: 
	2.15: 
	2.14: 
	2.13: 
	2.12: 
	2.11: 
	2.10: 
	2.9: 
	2.8: 
	2.7: 
	2.6: 
	2.5: 
	2.4: 
	2.3: 
	2.2: 
	2.1: 
	2.0: 
	anm1: 
	1.99: 
	1.98: 
	1.97: 
	1.96: 
	1.95: 
	1.94: 
	1.93: 
	1.92: 
	1.91: 
	1.90: 
	1.89: 
	1.88: 
	1.87: 
	1.86: 
	1.85: 
	1.84: 
	1.83: 
	1.82: 
	1.81: 
	1.80: 
	1.79: 
	1.78: 
	1.77: 
	1.76: 
	1.75: 
	1.74: 
	1.73: 
	1.72: 
	1.71: 
	1.70: 
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	1.68: 
	1.67: 
	1.66: 
	1.65: 
	1.64: 
	1.63: 
	1.62: 
	1.61: 
	1.60: 
	1.59: 
	1.58: 
	1.57: 
	1.56: 
	1.55: 
	1.54: 
	1.53: 
	1.52: 
	1.51: 
	1.50: 
	1.49: 
	1.48: 
	1.47: 
	1.46: 
	1.45: 
	1.44: 
	1.43: 
	1.42: 
	1.41: 
	1.40: 
	1.39: 
	1.38: 
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	1.36: 
	1.35: 
	1.34: 
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	1.32: 
	1.31: 
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	1.27: 
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	0.146: 
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	0.143: 
	0.142: 
	0.141: 
	0.140: 
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	0.138: 
	0.137: 
	0.136: 
	0.135: 
	0.134: 
	0.133: 
	0.132: 
	0.131: 
	0.130: 
	0.129: 
	0.128: 
	0.127: 
	0.126: 
	0.125: 
	0.124: 
	0.123: 
	0.122: 
	0.121: 
	0.120: 
	0.119: 
	0.118: 
	0.117: 
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	0.115: 
	0.114: 
	0.113: 
	0.112: 
	0.111: 
	0.110: 
	0.109: 
	0.108: 
	0.107: 
	0.106: 
	0.105: 
	0.104: 
	0.103: 
	0.102: 
	0.101: 
	0.100: 
	0.99: 
	0.98: 
	0.97: 
	0.96: 
	0.95: 
	0.94: 
	0.93: 
	0.92: 
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	0.84: 
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	0.78: 
	0.77: 
	0.76: 
	0.75: 
	0.74: 
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	0.71: 
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	0.68: 
	0.67: 
	0.66: 
	0.65: 
	0.64: 
	0.63: 
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	0.48: 
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	0.38: 
	0.37: 
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	0.34: 
	0.33: 
	0.32: 
	0.31: 
	0.30: 
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	0.28: 
	0.27: 
	0.26: 
	0.25: 
	0.24: 
	0.23: 
	0.22: 
	0.21: 
	0.20: 
	0.19: 
	0.18: 
	0.17: 
	0.16: 
	0.15: 
	0.14: 
	0.13: 
	0.12: 
	0.11: 
	0.10: 
	0.9: 
	0.8: 
	0.7: 
	0.6: 
	0.5: 
	0.4: 
	0.3: 
	0.2: 
	0.1: 
	0.0: