Interrogación 1 (2008-1)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Primer Semestre 2008
MAT 1503 CALCULO I
SOLUCION INTERROGACION I
(1) (a) Sean a, b, c ∈ R. Pruebe que
(c− a + b)(c + a− b) ≤ c2.
Solución
(c− a + b)(c + a− b) = (c− (a− b))(c + (a− b)) = (c2 − (a− b)2) ≤ c2
pues (a− b)2 ≥ 0
(b) Resuelva en R √
x2 + x > | 2x + 2 |.
Solución
RESTRICCION: Debemos tener x2 + x = x(x + 1) > 0 es decir x ∈
(−∞,−1) ∪ (0,∞) (Las ráıces no se toman pués el valor absoluto no puede
ser menor que cero).
(
√
x2 + x)2 > (| 2x + 2 |)2.
3x2 + 7x + 4 = (3x + 4)(x + 1) < 0
Luego debemos tener
(3x + 4) < 0 y x + 1 > 0 o (3x + 4) > 0 y x + 1 < 0
es decir x ∈]− 4
3
,−1[.
(2) Considere
f : [0, 1[ → [1, +∞[
x 
1√
1− x2
;
g : R → [1, +∞[
x 
√
| x |+ 1
(a) Pruebe que f tiene una función inversa f−1.
Solución
Inyectividad: Si f(u) = f(v) con u, v ∈ [0, 1[, entonces
1√
1− u2
=
1√
1− v2
.
1
Es decir
√
1− u2 =
√
1− v2. Luego u2 = v2. Aśı u = |v|. Como v ≥ 0,
sigue u = v.
Sobreyectividad: Sea y ∈ [1, +∞[. Entonces 0 ≤ y2 − 1 < y2. Con esto
x =
√
y2 − 1
y2
∈ [0, 1[. Además
f(x) = f
(√
y2 − 1
y2
)
= y.
Con esto
f−1 : [1, +∞[ → [0, 1[
x 
√
x2 − 1
x2
(b) Encuentre una función h, tal que h ◦ f = g.
Solución: Como existe f−1 tenemos que
h = h ◦ f ◦ f−1 = g ◦ f−1.
Luego
h(x) = g(f−1(x)) = g
(√
x2 − 1
x2
)
=
√√
x2 − 1
x2
+ 1.
(3) Determine todos los valores de m ∈ R de modo que
(2mx2 + mx + 1)(mx2 + 1) > 0
para todo x ∈ R.
Solución: Sean p(x) = 2mx2 + mx + 1 y q(x) = mx2 + 1.
1) Tenemos que, si m = 0, entonces p(x)q(x) = 1 · 1 > 0.
2 ) Como p(0) = 1 = q(0), el problema se traduce en
p(x) > 0 y q(x) > 0
para todo x ∈ R.
Es decir, m2 − 8m = m(m− 8) < 0 y −4m < 0. Luego m ∈]0, 8[.
Aśı, por 1) y 2) sigue que m ∈ [0, 8[.
(4) (a) Sean a, b, c, d, h ∈ R. Pruebe que, si el polinomio ax3 + bx2 + cx + d es
divisible por x2 + h2, entonces ad = bc.
Solución: Tenemos que
ax3 + bx2 + cx + d = (ax + b)(x2 + h2) + (c− ah2)x + d− bh2.
2
Por hipótesis se tiene que
c− ah2 = 0 y d− bh2 = 0.
1) Si a = 0, entonces c = 0. De esta forma 0 · d = b · 0. Análogamente, si
b = 0, entonces d = 0.
2) Si a 6= 0 6= b, entonces c
a
= h2 =
d
b
. Luego ad = bc.
Otra forma: Si
ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + h2)(px + q)
o bien
ax3 + bx2 + cx + d = px3 + qx2 + ph2x + qh2
Luego, igualando los coeficientes,
a = p
b = q
c = ph2
d = qh2
de modo que
ad = pqh2 = bc.
(b) Sea f(x) =

x + 1
1− x
x < 0
1− x
1 + x
x ≥ 0
Pruebe que f(x) = f(−x), para todo x ∈ R.
Solución: Para x < 0, se tiene que −x > 0. Luego
f(−x) = 1− (−x)
1 + (−x)
=
1 + x
1− x
= f(x).
Para x > 0, se tiene que −x < 0. Luego
f(−x) = 1 + (−x)
1− (−x)
=
1− x
1 + x
= f(x).