Gua 6

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2006
MAT-1503 ∗ GUIA N◦ 6
PROBLEMAS DEL TEXTO GUIA
(Haga tantos como pueda)
Sección 2.8 : 1–9; 19–24.
Sección 2.9 : 19–25; 31–34.
Sección 3.1 : 43–45; 49–61.
Sección 3.2 : 13–22; 36–41.
Sección 3.3 : 8–18.
Sección 3.4 : 21–24; 29–31.
Sección 3.5 : 21–46; 49–61.
Sección 3.6 : 9–18; 36–39; 41–50.
Sección 3.7 : 10–20; 33–37; 51–58.
Sección 3.8 : 5–30; 35–40.
Sección 3.10 : 7–25.
Sección 3.11 : 1; 2; 5–8; 23–33; 39–43.
Repaso Caṕıtulo 3 : 61–65; 80–90.
Sección 4.1 : 31–40; 51–60.
Sección 4.2 : 11–36.
Sección 4.3 : 11–20; 25–30; 31–40 65–69.
Sección 4.5 : 1–50.
Sección 4.7 : 55-.
Sección 4.4 : 10–60.
Sección 4.9 : 5–8.
PROBLEMAS ADICIONALES
1. Mediante la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones en los puntos
que se indican:
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 en x = 13
b) g(x) =
√
2x− 1 en x = 5
c) h(x) = tan(x) en x = π3
2. En el eje X se mueven dos part́ıculas que tienen, respectivamente, las siguientes
posiciones en el instante t:
x1(t) = 100 + 5t; x2(t) =
1
2
t2
¿con qué velocidad se alejarán las part́ıculas en el momento de su encuentro?
(x : cm, t; seg.)
3. Mencione un ejemplo de una función que sea:
a) Continua y derivable en x = 4
b) Continua pero no derivable en x = 4
c) ¿Puede ser discontinua y derivable en x = 4
d) ¿Discontinua y no derivable en x = 4?
4. Demuestre que la ĺınea y = −x es tangente a la curva y = x3 − 6x2 + 8x. Encuentre
el punto de tangencia.
5. Sea P0 = (x0, y0) un punto de la hipérbola x y = 1 , y sea A0 el punto donde la
tangente en P0 corta al eje X. Demuestre que el triángulo O P0 A0 es isósceles.
6. Para qué valores de a , b y c los gráficos de :
f(x) = x2 + a x + b y g(x) = x3 + c x
tienen una tangente común en (2, 2) ?
7. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
a) cos(2x)
b) (1 + 2x + x3)8
c) 3
√
1 + tan (1 +
√
x)
d) sen2 (7x− tan( cos(x) ) )
e) cos(x
√
1 + tan5(3x sen(x)))
f )
1√
16− x2
g) (sen(x2) + cos(5x3))5
h)
√
x + x3
√
x− cos(x)
8. Si f(x) = 3 sen(2x), calcular f ′′′(x)
9. Si f(x) = x5 + 7x3 − x2 calcular f ′′′(x) y fvi(x).
10. Si f(x) = sen(x) + sen(x) cos(x),′ , calcular f ′′(x).
11. Si y = sen( sen(x)), demostrar que
d2y
dx2
+ tan(x)
dy
dx
+ y cos2(x) = 0.
12. Si x = A cos(wt) + B sen(wt) + (E/2w)t sen(wt), demostrar que
d2x
dt2
+ w2x = E cos(wt).
13. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola x2−y2 = 7 en el punto (4,−3).
14. Encuentre las ecuaciones de las dos tangentes a la elipse x2 + 9 y2 = 1 que pasan
por el punto (0, 2)
15. Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y una tangente
cualquiera a la hipérbola 2xy = a es constante.
16. Demostrar que la ecuación diferencial (1− x2)dy
dx
− xy = 1 se satisface para
y =
arc cos x√
1− x2
17. Si x sen y2 + y sen x2 = xy sen xy. Calcular
dy
dx
y
dx
dy
18. Encuentre las ecuaciones de las tangentes a la curva:
x2 − 2xy + y2 + 2x− 6 = 0 trazadas desde el punto (−3,−7)
19. Si x = tan
√
y, con 0 < y < 2, calcule el valor numérico de la expresión:
(x2 + 1)2y′′ + 2x(x2 + 1)y′
20. Si y = arctan x, demuestre que
(1 + x2)y′′ + 2y′ = 0 deduzca que:
(1 + x2)y(n+2) + 2(n + 1)xy(n+1) + n(n + 1)y(n) = 0
21. Demuestre por inducción la fórmula de Leibnitz para la derivada enésima de un
producto de funciones:
[f(x)g(x)](n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f
(n−k)
(x) g
(k)(x)
Apĺıquela para calcular la derivada enésima de h(x) = x5 sen 2x y obtenga h(vi) (π6 )
22. Encontrar y′ e y′′:
a) y =
√
ax +
a2√
ax
en x = a (R. : y′ = 0; y′′ = 12a)
b) y = x
√
x2 + 9 en x = 4
(
R. : y′ = 415 ; y
′′ = 236125
)
23. Demostrar que:
a) si y =
2
x + 1
ent. y(n) =
2(−1)nn!
(x + 1)n+1
b) si y =
x3 − 2x2
1− x ent. y
(4) =
−(4!)
(1− x)5
c) si x2 + y2 = r2 ent. y(2) =
−r2
y3
24. a) Si x = tan
√
y comprobar que:
(x2 + 1)y′′ + 2x(x2 + 1)y′ = 2
b) Si x cos y = sen(x + y) calcular y′′ en (0, 0)
25. En la circunferencia x2 + y2 = r2, dem. que:
∣∣∣∣
y′′
{1 + (y′)2}3/2
∣∣∣∣ =
1
r
26. Determinar en qué puntos de la curva y = 2x3 + 13x2 + 9 sus tangentes pasan por
el origen.
27. Una base de un trapecio isósceles es el diámetro de un ćırculo de radio a, y los
extremos de la otra base están en la circunferencia. Encontrar la longitud de esta
otra base si el área es máxima.
28. Si el área de un ćırculo crece a razón de 4 cms/seg. ¿A que razón crece el radio
cuando éste mide 5 cms?
29. Si f está dada por f(x) = |2x − 4| − 6, entonces f(−1) = f(5) = 0. Pero f ′ no es
nunca nula. Demostrar porque no es válido el Teorema de Rolle.
30. Sean f y g dos funciones derivables en [a, b]. Suponga además que f(a) = g(a).
Demostrar que existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = g′(c).
31. La base de un triángulo isóceles mide 20 cms. y su altura es 8 cms. ¿Cuáles son las
dimensiones del mayor rombo inscrito, con un lado en la base del triángulo?
32. Si tres lados de un trapecio tienen longitud 3 cms. ¿Cuál debe ser el largo del cuarto
lado para que el área se máxima?
33. El área de un rectángulo decrece a razón de 9 pies/seg. En un instante la longitud L
del rectángulo decrece el doble de la variación del ancho W . Para el instante en que
el rectángulo es de 1 pie x 1 pie cuadrad,. ¿Cuán rápidamente decrece al ancho?
34. Demuestre que para a < b es tiene:
b− a
1 + b2
< arctan(b) − arctan(a) < b− a
1 + a2
De aqúı deduzca que:
π
4
+
3
25
< arctan
(
4
3
)
<
π
4
+
1
6
35. Dada la función f(x) = (x − a)m(x − b)n, con m y n naturales, demuestre que el
punto c del Teorema de Rolle divide al intervalo [a, b] en la razón m : n.
36. La funciónm f(t) es tal que f ′(t) es creciente. Demotrar que, entonces, la función:
F (t) =
f(t)− f(a)
t− a (a fijo)
es también creciente.
37. Un globo comienza a escender desde un punto A verticalmente hacia arriba y a
velocidad constante de 10mts/min. A una distancia de 100 mts del punto A y sobre
la misma horizontal hay un observador B
a) ¿Cómo vaŕıa la distancia s desde el globo al observador en el instante en que el
globo está a 50 mts de altura?
b) Cómo vaŕıa el ángulo de observación θ que forma la visual del observador con
respecto a la horizontal, cuando el globo está a 100 mts de altura?
38. Demostrar que la función f(x) = x +
1
x
tiene un máximo relativo y un mı́nimo
relativo, pero el máximo relativo es menor que el mı́nimo relativo. Graficar.
39. Dado un punto P en el primer cuadrante. Se traza una recta a través de P que corta
a los ejes coordenados en A y B. Calcular la intersección de esta recta con los ejes
si:
a) El área OAB es mı́nima
b) La suma de las intersecciones es mı́nima
c) La distancia desde el origen a ĀB es máxima.
40. Si f(x) = (x2 +a2)p, donde p es un número racional y p 6= 0, demostrar que si p < 1
2
,
la gráfica de f tiene dos puntos de inflexión; y que si p ≥ 1
2
, la gráfica de f no tiene
puntos de inflexión.
41. Una piscina tiene 25 mts. de ancho, 40 mts de largo, 1 mt de profundidad en un
extremo y 5 mts de profundidad en el otro extremo. Si se bombea agua al interior
de la piscina a razón de 10 m3 min. ¿A qué velocidad se está elevando el nivel del
agua, cuando este nivel es de 4 mt. en el extremo más profundo?
42. Grafique las siguientes funciones, indicando en cada caso: dominio, ráıces, simetŕıas,
intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mı́nimos concavidad, puntos
de inflexión, comportamiento en la frontera y aśıntotas
a) f(x) = |(x− [x])− 1|
b) f(x) = x3 + 3x + 4
c) f(x) = 3x2 + x|x|
d) f(x) = 3x2 − 6x
e) f(x) =
{
x2 , x < 0
2x2 , x ≥ 0
f ) f(x) =
{ −x3 , x < 0
x3 , x ≥ 0
g) f(x) = |x− |x||
h) f(x) = [x]− x
i) f(x) =
x3
x2 − 1
j ) f(x) =
x
x2 − 1 en [0, 5]
43. Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺım
x→0
(
1
x2
− sen(x)
x3
)
b) ĺım
x→3π
1 + tan
(x
4
)
cos
(x
4
)
c) ĺım
x→0+
1− sec(x)
x3
d) ĺım
x→∞
x− sen(x)
x + sen(x)
e) ĺım
x→0
x− sen(x)
x + sen(x)
f ) ĺım
x→0
x−sen(x)
x3
g) ĺım
x→0
ex − 1− x
x2
h) ĺım
x→0
(
1
x2
− cot2(x)
)
i) ĺım
x→π(π − x) tan
( x
2
)