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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2008
MAT 1503 ∗ GUIA V
CALCULO I
1. Demostrar, por definición, que:
a) ĺım
n→∞
1
n2 + 1
= 0
b) ĺım
n→∞
n2 + 2
n + 1
= ∞.
c) ĺım
n→∞
4n + 3
2n + 1
= 2.
d) ĺım
n→∞
n3 + 3n2 − 5n + 6
3n3 − 3n + 7
=
1
3
.
2. Calcular los ĺımites de las sucesiones cuyos términos generales son:
a) an =
2n4 + n3 + 1
4n4 + n2 + 4
b) an =
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n3
c) an =
1
n3
n∑
k=1
k2
d) an =
(2
3
)n
1− n
√
n
e) an =
(2
3
)n
(1
2
)n
+
( 9
10
)n
3. Si 0 < b ≤ a demostrar que la sucesión de término general:
an =
n
√
an + bn
converge a a.
4. En los siguientes ejercicios se entrega el término general de la sucesión {an}. En
cada caso se pide:
(I) determinar si la sucesión converge o diverge,
(II) hallar el ĺımite de cada sucesión convergente.
1
2
a) an =
n
n + 1
− n + 1
n
b) an =
n2
n + 1
− n
2 + 1
n
c) an = cos
nπ
2
d) an = sen
nπ
3
e) an =
n
2n
f ) an = 1 + (−1)n
g) an =
1 + (−1)n
n
h) an =
(−1)n
n
+
1 + (−1)n
2
i) an = 2
1
n
j ) an = 3
1
n
k) a > 0, an = a
1
n
l) an = n
1
n
m) an = n(−1)
n
n) an =
n
2
3 sen n!
n + 1
ñ) an =
3n + (−2)n
3n+1 + (−2)n+1
o) an =
√
n + 1−
√
n
p) | a | < 1, an = nan
q) a > 1, an =
loga n
n
r) an =
100000n
1 + n2
s) an =
(
1 +
2
n
)3
n
t) an =
(
1− 2
n
)3
n
3
u) an = 1 +
n
n + 1
cos
nπ
2
v) an = (−1)n
( 9
10
)n
w) an =
2n3
n2 + 1
x ) an =
3n2 − 2n + 1
4n2 + 1
y) an =
3√
n
5. En los siguientes ejercicios se entrega el término general de la sucesión {an}. En
cada caso se pide:
(I) determinar si la sucesión converge o diverge,
(II) hallar el ĺımite de cada sucesión convergente.
a) an =
3
√
n + 1
n
b) an =
√
n2 + 1− n
c) an =
√
n2 + n + 1− n
d) an =
1
3
√
n2 + 1
e) an =
2n2 + 3n + 4
3n3
f ) an =
√
2n + 1−
√
2n− 1
g) an =
√
n3 + 2n + 4
√
n
3
√
n2 + 1 + 3
√
n
h) an =
√
n + 3
√
n + 1
3
√
2n− 4
√
n + 5
i) an =
(−1)n cos n
n2
j ) an =
√
4n− 1
n + 1
k) an = 1 +
( 9
10
)n
l) an =
√
2 + cos n
n
m) an = n cos πn
4
n) an = n sen
1
n
ñ) an =
(n− 1
n + 1
)n
o) an = (2n + 5)
1
n
p) an =
senn
3n
q) an =
(
1− 2
n2
)n
r) an =
( 2
n
) 3
n
s) an =
n
√
2n+1
t) an =
(2− n2
3 + n2
)n
u) an = π
sen n
n
6. Utilizando fracciones parciales, calcular el ĺımite de la sucesión cuyo término
general está dado por:
a)
an =
n∑
k=2
7
k2 − 1
b)
gn =
n∑
k=1
k
(k + 1)!
7. Si a, b ∈ R+ y se tiene la sucesión de término general:
an =
√
(n + a)(n + b)− n ,
entonces ella tiene como ĺımite a
a + b
2
8. Utilizando el criterio del sandwich establecer el ĺımite de la sucesión
an =
(1
4
sen2
( n100
n + 2
)
+
1
3
cos2
( n100
n + 2
))n
9. Utilizando la identidad:
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2) ,
5
calcular el ĺımite de la sucesión cuyo término general está dado por:
a)
an = n
(
1− 3
√
1− a
n
)
b)
bn = n
(
3
√
1 +
a
n
− 1
)
c)
cn = n
(
3
√
8 +
2
n
− 2
)
d)
dn = n
(
1− 3
√
1− 7
n
)
10. Calcular los ĺımites de las sucesiones cuyos términos generales son:
a)
an =
(
1 +
2
n
)n
b)
bn =
(
1 +
1
2n
)n
c)
cn =
(
1 +
2
n + 1
)4n
d)
dn =
(
1− 2
4n + 1
)n
e)
en =
(n2 + 2n + 3
n2 + 2n + 1
)n
6
f )
fn =
(an + b
an + c
)n
11. Dada la sucesión {an} que satisface la forma recursiva:
a1 = 2 an+1 =
1
2
(an + 4) ,
demostrar por inducción que an < 4; que {an} es una sucesión creciente y por lo
tanto converge. Determinar su ĺımite.
12. Calcular el ĺımite de la sucesión {an} cuyo término general es:
a) an =
( n
n + 1
)n
b) an =
(
1 +
5n
2n2 − n + 2
)5n−7
c) an =
(n2 + 3n− 1
n2 + n
) n2+2
2n2+1
d) an =
(2n + 2
2n− 1
)n+√n
e) an =
( n2 + 3
n2 + 4n
)n2−1
n
f ) an = n2n
(
1 + n2
)−n
g)
an =
n∑
k=1
k2
k!
13. Demostrar que si {an} es una sucesión de términos positivos tal que:
ĺım
n→∞
an+1
an
= ` < 1 ,
entonces:
ĺım
n→∞
an = 0 ,
aplicar este criterio para establecer que:
a)
ĺım
n→∞
2n
n!
= 0
7
b)
ĺım
n→∞
n!
nn
= 0
14. Demostrar que si {an} es una sucesión de términos positivos tal que:
ĺım
n→∞
an+1
an
= ` > 1 ,
entonces:
ĺım
n→∞
an = ∞ .
15. Explicar la razón por la que las sucesiones, cuyos términos generales son los
siguientes, no tienen ĺımite:
a)
an = n!
b)
bn = sen
nπ
2
c)
cn = (−1)n +
1
n
d)
dn = 1, 02n
16. Para cada una de las sucesiones definidas por las recurrencia,
a)
a0 = 0 , a1 = 3 , an+1 =
2an + an−1
3
b)
b1 = 1 , bn+1 =
1
2− bn
c)
c1 = 1 , c2 = 6 , cn+2 =
1
6
(5cn+1 − cn)
d)
d1 = 1 , d2 = 3 , dn+2 =
1
2
(dn+1 − dn)
8
e)
6yn+2 − yn+1 − yn = 0 , y0 = 2, y1 =
1
6
,
decidir si existe ĺımite y en caso que exista calcularlo.
17. Demuestre que
ĺım
n→∞
(
1
n2
+
1
(n + 1)2
· · · ·+ 1
(2n)2
) = 0.
18. Demuestre que
ĺım
n→∞
(
1
n2 + 1
+
1
n2 + 2
· · · ·+ 1
n2 + n
) = 0.
19. Demuestre que
ĺım
n→∞
(
1√
n2 + 1
+
1√
n2 + 2
· · · ·+ 1√
n2 + n
) = 1.
20. Pruebe que si p < an < q para todo n ∈ N y ĺım
n→∞
an existe, entonces
p ≤ ĺım
n→∞
an ≤ q.
Es posible garantizar que p < ĺım
n→∞
an < q? Demuéstrelo o dé un ejemplo en que
no.
21. Pruebe que si ĺım
n→∞
an = l > 0, entonces existe R > 0 tal que an > 0 para todo
n > R.