Como_entender_y_hacer_demostraciones_en_matemáticas_by_Daniel_Solow

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COMO ENTENDER 
YHACER 
DEMOSTRACIONES 
EN MATEMATICAS 
, 
COMO ENTENDER 
YHACER 
DEMOSTRACIONES , 
EN MATEMATICAS 
DANIEL SOLOW 
Case Western Reserve University 
~LIMUSA 
NOR I EGA ED ITO RES 
MEXICO 
Espana • Venezuela • Argentina 
Colombia • Puerlo Rico 
Versi6n autorizada en espailol 
de Ia obra publicada en Ingles por 
John Wiley & Sons, Inc., con el titulo 
HOW TO READ AND DO PROOFS 
© John Wiley .t Sons, Inc. 
ISBN f.471-M66-I 
Vmi611 Gptlllolo supervisada por el profuor 
DANIEL SOLOW 
L• PfW•nlilci6n y ~n., CDrrjunfD all 
cOMO ENTENDER Y HACER DEMOITRACIONEI 
EN IIA'MIIA11CAI 
_, pn;pledad del fHIIDr. Nin(pla ,.,. • .,. obt8 
putlde- teptutlucld8 0 fiBnlmifiiM, ....... nlngtJn ..,.,.,. 
o mMotlo, Mctl1fnJco o "**tlr:o (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, 
II gtBbat:i6n o a/flkJiilf ..._tit ~ y .,._,.,.,_, 
alllnfonn111:1611), ., _ _,.,.,., por NCiirD dM ftdfor. 
e 11183, EDITORIAL UMUSA, S.A. dll C.V. 
GRUPO NORIEGA EDITORES 
Blldela1 es. C.P. 06040, tMxlco, D.F. 
T ... lono 621·2HIS 
Fa 512·21-03 
M~ de Ia CUiara N8eiarlal dille lnd .. tria 
EditDrlal MIJdc.n•. Rlglltlv mlm110 121 
"'-· edlcldn: 1117 Primlra raimprai6n: 1882 
8191ndl ra1....-sn: 181112 
r-. •wlmprul6n: 1111 
lmptnO •n IMxico 
(12318) 
ISBN 868-111-2115-7 
A mi padre Anatole A. Solow (q. p. d.} 
y a mi madre Ruth Solow. 
Pro logo 
En un articulo dcnominado "Ensenando matematicas utilizando 
tccnicas para hacer demostraciones", el au tor ha escrito: "La in-
capacidad para comunicar demostraciones de una manera comprensi-
ble ha sido pcrjudicial para estudiantes y profesores en todas las 
ramas de las matematicas". Todos aquellos que han tenido la ex-
pcricncia de ensei'iar matematicas y Ia mayor{a de aquellos que han 
tratado de aprcnderlas, debcn coincidir seguramente en que cntender 
una dcmostraci6n matcmatica es una traba para Ia mayoria de los 
cstudiantes. Muchos de ellos tratan de salvar este obstaculo evadien-
dolo, confiando en Ia indulgcncia del profesor para que no incluya de-
mostraciones en los examenes. Esta confabulaci6n entre estudiante y 
profcsor cvita algunas de las consecuencias desagradables, tanto para 
el alumno como para cl profesor, producidas porIa falta de dominio 
del tcma por parte del cstudiantc, pero csto no moditica el hecho de 
que un clcmento clave de las matematicas, probablemente su carac-
teristica mas notable, no ha entrado en el repertorio del estudiante. 
El doctor Solow crce que es posible enseftar al estudiante a en-
tender Ia naturaleza de las demostraciones sistematizandolas. La 
idea cs descrita convincentemcnte en este libro, con lujo de detalles y 
de ejemplos, y no dudo que sus ideas merezcan atenci6n, analisis y, so-
bre todo, cxperimentaci6n. Una de sus metas principales es ensenar al 
cstudiantc a leer dcmostraciones como las que sc encuentran en los li-
bros de tcxto. Seguramcnte, cstas demostraciones, no se presentan en 
forma sistematica. Por lo tanto, en csta obra sc presta mucha aten-
ci6n (particularmente en los dos apcndices) a ensei'iar allector como 
7 
8 
reconocer los elementos tipicos de un argumento matem,tico en una 
presentaci6n informal de una demostraci6n. 
Existe aqul una analog{a valida con el papel de los algoritmos 
tradicionales de Ia aritm~tica elemental. Es importante conocerlos y 
entender c6mo trabajan, y en que problemas, en principia, pueden 
aplicarse. Pero una vez que se ha aprendido todo esto, uno no aplica 
mecanicamente esos algoritmos en situaciones de Ia vida real ( i aun a 
falta de una calculadora!). El autor opina que sucede lo mismo con las 
demostraciones. Entienda y analice su estructura, con lo cual podra 
leer y en tender las versiones mas informales que encuentre en los libros 
de texto y, finalmente, us ted seni capaz de crear sus propias demostra-
ciones. El doctor Solow no a firma que los matematicos desarrollan sus 
propias demostraciones aplicando concienzuda y deliberadamente el 
"m~todo progresivo-regresivo"; sugiere que todos tendriamos una me-
jor oportunidad de ensei'lar a comprender las demostraciones sistemati .. 
zandolas en Iugar de presentar los procedimientos tradicionales con Ia 
esperanza de que los estudiantes puedan aprender ~ste diflcil arte por 
osmosis. 
Uno debe estar de acuerdo con el doctor Solow de que, en este 
pals (EUA), los estudiantes comienzan a enfrentarse con las ideas 
de las demostraciones matematicas demasiado tarde en sus estudios. 
La etapa apropiada para iniciarse en estas ideas es, en opini6n de mu-
chos, no mas tarde del octavo grado. Sin embargo, seria un error si 
los profesores universitarios justificaran sus propias fallas mediante 
una reconfortante referencia a los defectos en Ia educaci6n preuniver-
sitaria del estudiante. 
En Ia actualidad, todos sabemos que las matematicas constituyen 
un tema de fundamental importancia debido a su papel ubicuo en Ia 
vida contemporanea. Para que se utilicen eficazmente las matematicas, 
sus m~todos deben entenderse adecuadamente, de otra forma esta-
remos en el papel de robots (ineficientes) cuando tratemos de usar las 
matematicas y hagamos un esfuerzo indebido con nuestras memorias 
que son por naturaleza imperfectas. El doctor Solow le ha dado mu-
cha importancia a Ia cuesti6n de c6mo puede lograrse Ia comprensi6n 
de una demostraci6n matematica. Hoy en d fa, muchos estudiantes no 
adquieren esta comprensi6n, y el plan del doctor Solow para remediar 
esta situaci6n insatisfactoria merece conjusticia que se ponga a prueba. 
Louis D. Beaumont Profesor Universitario 
Case Western Reserve University 
Oeveland, Ohio 
PETER HILTON 
AI estudiante 
Despues de terminar mis estudios de Licenciatura, comend a pregun-
tarme por que habia sido tan dificil aprender matematicas puras. A 
medida que avanzaba en mis estudios de posgrado me di cuenta que 
las matematicas poseen muchos de los aspectos de un juego: un juego 
en el cuallas reglas habian estado parcialmente escondidas. ilmaginese 
tratando de jugar ajedrez antes de saber c6mo se mueven todas las 
piezas! No es sorprendente que tantos estudiantes hayan tenido pro-
blemas con las matematicas abstractas. 
Este libro describe algunas de las reglas del juego denominado mate-
maticas puras. Por experiencia propia, practicamente cualquier persona 
motivada y que cuente con los conocimientos de matematicas del Ba-
chillerato puede aprender estas reglas. AI aprenderlas, usted reducira 
en gran parte el tiempo (y frustraci6n) que se invierte en el aprendizaje 
de las matematicas abstractas. Espero que este texto sirva para dicho 
objetivo. 
Para jugar al ajedrez, us ted debe aprender primero c6mo se mueve 
cada una de las piezas. Solamente despu~ de que estas reglas han sido 
asimiladas por su subconciente usted podni concentrar toda su aten-
ci6n en aspectos creativos como las estrategias, tacticas, etc. De igual 
forma sucede en matematicas. AI principia se necesita trabajar mucho 
para aprender las reglas fundamentales presentadas en este libra. De 
hecho, su objetivo debe ser asimilar este material basta que se convierta 
en alga muy conocido para usted. Entonces, encontrara que su mente 
puede enfocarse bacia los aspectos creativos de las matematicas. Estas 
9 
10 AI eatudumte 
reglas no son subst.~tutos para Ia creatividad, y este manual no tiene 
como fmalidad ensefiar como ser creativo. Sin embargo, creo que puede 
proporcionarle las herramientas necesarias para expresar su propia crea-
tividad. De igual importancia es el hecho de que estas herramientas le 
permitiran entender y apreciar Ia creatividad de otros autores. 
Usted esta a punto de aprender un aspecto clave del proceso de 
razonamiento matematico. A medida que estudie el material y resuelva 
los problemas, est~ consciente de su propio proceso de razonamiento. 
Raga preguntas y busque respuestas. Recuerde, Ia (mica pregunta no 
inteligente es aquella que nose formula. 
Cleveland, Ohio 
Juniode 1981 
DANIEL SOLOW 
Alprofesor 
La falta de un metodo adecuado para comunicar demostraciones deuna manera entendible ha sido perjudicial para estudiantes y profeso-
res en todas las ramas de las matematicas. Los resultados han sido es-
tudiantes frustrados, profesores frustrados y, frecuentemente, cursos 
de bajo nivel que s6lo permiten que los estudiantes vean parte del 
programa, o un examen sencillo que proteje a los estudiantes de las 
consecuencias de esta deficiencia. 
Uno podrla concluir que la mayoria de los estudiantes no pueden 
entender simplemente matematicas abstractas, pero mi experiencia 
indica lo contrario. Lo que parece hacer falta es una metodologia 
apropiada para explicar las maternaticas te6ricas. En este manual he 
desarrollado un metodo para comunicar demostraciones: un lengua-
je com(m que puede ser enseftado por los profesores y entendido por 
los estudiantes. En esencia, este libro clasifica por categorias, identifica 
y explica (al nivel de los estudintes) las diversas tecnicas que se usan 
en forma repetitiva para practicamente todas las demostraciones. 
Una vez que el estudiante entienda estas tecnicas, entonces es 
posible explicar cualquier demostraci6n mediante Ia aplicaci6n suce-
siva de las mismas. De hecho, es aconsejable hacerlo de esta forma 
debido a que este proceso fortalece lo que el estudiante ha aprendido 
en el manual. 
Explicar una demostraci6n en terminos de las tecnicas que Ia com-
ponen no es dificil, tal como se ilustra en los ejemplos de este folie-
11 
n .AiprofeiOr 
to. Antes de cada demostraci6n "condensada" existe una explicaci6n 
detallada de Ia misma en Ia cual se presenta Ia metodologia, el pro-
ceso de razonamiento y las tecnicas que se utilizan. Enseftar a hacer 
demostraciones en esta forma no requiere mu que seguir cada paso de 
Ia demostraci6n indicando que tecnica va a utilizarse y por que. 
En el amllisis de una demostraci6n en clase, propongo que loses-
tudiantes participen activamente en Ia elecci6n de las tecnicas y en el 
disefto de Ia demostraci6n. Me ha sorprendido gratamente Ia calidad 
de sus comentarios asi como Ia de sus preguntas. Mi experiencia me 
ha enseftado que una vez que los estudiantes conocen las tecnicas pa-
ra hacer demostraciones, sus mentes tienden a cuestionar los aspectos 
mas imponantes de las matematicas como por que una demostraci6n 
se realiza de una forma particular y por que esa parte de las matema-
ticas es importante. Este libro no pretende enseftar c6mo ser creativo, 
pero creo que describe muchas de las aptitudes basi cas cuya adquisici6n 
bani posible que Ia mente del estudiante se concentre en los aspectos 
creativos. He encontrado tambien que al usar este enfoque, es posible 
presentar el material del curso a un nivel mucho mas soflsticado sin 
confundir a los estudiantes. 
De cualquier modo, el mensaje es claro. Considero que son muchos 
los beneflcios que se ganan a1 enseftar el proceso de razonamiento mate-
matico ademas del material del curso. Este manual esta diseftado para 
dar un gran paso en Ia direcci6n correcta, haciendo que las matemati-
cas te6ricas sean comprensibles y amenas para los estudiantes, y para 
que usted tenga un metodo para comunicarse con ellos. 
Oeveland, Ohio 
Junio de 1981 
DANIEL SOLOW 
Agradecimientos 
Por ayudar a que este trabajo fuera divulgado en Ia comunidad mate-
matica, mi agradecimiento mas profunda es para Peter Hilton des-
tacado matematico y educador. Tambit!n, quisiera agradecer a Paul 
Halmos, cuyo reconocimiento y apoyo oportuno facilitaron enorme-
mente Ia divulgaci6n de Ia existencia de este manual y metoda de 
enseftanza. Agradezco tambien las platicas sostenidas con Gail Young 
y George Polya. 
Con respecto a Ia preparaci6n del folleto, ninguna persona tuvo 
mas comentarios constructivos que Tom Butts. El no solamente con-
tribuy6 con el contenido matematico, sino que corrigi6 tambien mu-
chos de los errores gramaticales y de estilo en Ia versi6n preliminar por 
lo que considero que tambien debo agradecer a Ia Sra. Butts, madre 
de Tom, el ser profesora de ingles. Me gustaria tambien agradecerle a· 
Charles Wells Ia lectura y comentario del primer borrador y el animar-
me a continuar adelante con el proyecto. Muchas otras personas hicie-
ron sugerencias imponantes, incluyendo a Alan Schoenfeld, Samuel 
Goldberg y Ellen Stenson. 
El aspecto mas estimulante de todo este proyecto ha sido Ia traduc-
ci6n simultanea de este folleto al chino, japones, espaftol y frances 
mediante el esfuerzo voluntario de personas excepcionales que estan 
profundamente preocupadas por Ia calidad de Ia educaci6n de las 
matematicas. La dedicaci6n, profesionalismo y cooperativismo inter-
nacional del que yo he sido testigo es verdaderamente notable. La 
versi6n en espaflol fue preparada por Luis A. Hernandez (Mexico), 
13 
14 Armdeclmiento• 
Jose Gonzalez (Mexico), Ram6n Nadira (Venezuela), Gilberto Mena 
(Mexico), Alberto Urdaneta (Venezuela), Jose Rodriguez (Mexico) e 
Yves Vidaurre (Nicaragua). Tambien Emilio Flores (Mexico) aport6 
su valiosa ayuda. Dedico Ia traducci6n al espaftol de este manual 
a estas personas. Estoy seguro que ellos comparten mi esperanza 
de que este trabajo sea una valiosa contribuci6n para enseftarles 
matem4ticas a sus compatriotas. 
Por Ultimo, pero no por eso menos importante, estoy muy agrade-
cido con mi esposa Audrey por su ayuda en Ia revisi6n y por su pa-
ciencia durante otro de mis proyectos. 
D.S 
Contenido 
Capitulo Pagina 
I. La verdad en matematicas 17 
2. El metodo progresivo-regresivo 23 
3. Acerca de las definiciones y Ia terminolog!a matematica 37 
4. Cuantificadores Ia. parte: el metodo por construcci6n 47 
5. Cuantificadores 2a. parte: el metodo por seleccion 53 
6. Cuantificadores 3a. parte: induccion 63 
7. Cuantificadores 4a. parte: particularizacion 71 
8. El metodo por contradicci6n 77 
9. El metodo comtrapositivo 85 
I 0. La negacion de ncgaciones conduce a confusiones 91 
II. Tecnicas especiales para hacer demostraciones 97 
12. Resumen I OS 
Apendice A: aplicaci6n de lo aprendido 1 a. parte 1 I 3 
Apendice 8: aplicaci6n de lo aprcndido 2a. parte 121 
So1uciones de los ejercicios. 129 
Glosario de simbolos matematicos 177 
indicc 179 
15 
., 
Tabla 1 Tabla de verdad para "A implica 8" 
Tibia 2 Demostraci6n del ejemplo 1 
Tabla 3 Tabla de verdad para "no 8 implica no A" 
Tabla 4 Resumen de tknicas para hacer demoatracionea 
Deftnldones 
Definiciones 1 • I 0 
Definiciones 11 
Definiciones 12 
Definiciones 13 
Definiciones 14 
Definiciones 1 S 
Definiciones 16 
Deflniciones 17 
Definiciones 18 
Contenido 
21 
28 
44 
109 
38 
48 
48 
48 
ss 
ss 
72 
113 
121 
Capitulo 1 
La verdad en 
matematicas 
El objetivo de los matematicos es descubrir y comunicar ciertas ver-
dades. Las matematicas son el lenguaje de los matematicos y una de-
mostraci6n, es un metodo para comunicar una verdad matematica a 
otra persona que tambien "habla" el mismo idioma. Una propiedad 
del lenguaje de las matematicas es su precision. Una demostraci6n 
propiarnente presentada no deberi contener ambigUedades y no ha-
bra duda de que es correcta. Desafortunadamente, muchas demos-
traciones que aparecen en libros de texto y articulos de revistas no 
tienen Ia claridad necesaria; (fu;~o en otras palabras, las demostra-
ciones estan presentadas adecuadamente para quienes ya conocen 
el lenguaje de las matematicas. Por lo tanto, para entender, hacer 
una demostraci6n o ambas cosas, usted debe aprender un idioma 
nuevo, un metodo nuevo de razonamiento. Esta obra explica gran 
parte de Ia "gramatica" buica que usted necesitara, pero tal y co-
mo sucede en .el aprendizaje de un nuevo idioma, sera ilecesaria mucha 
prcictica de su parte para llegar a tener fluidez. 
La idea de este manual es clasificar y explicar las diversas tecnicas 
que se utilizan en las demostraciones. El primer objetivo es enseftar-
le a leery en tender una demostraci6n escrita mediante Ia identificaci6n 
de las tecnicas que se han utilizado. AI aprender esto, usted estarci 
capacitado para estudiar casi cualquier tema en matematicassin Ia 
ayuda de un profesor, lo que es una meta muy conveniente. 
El segundo objetivo de este manual es enseftarle a desarrollar y co-
municar sus propias demostraciones de verdades matematicas conoci-
das. Para lograrlo se necesita que aplique una cierta ~ntidad de ingenio, 
creatividad, intuici6n y experiencia. Asi como hay maneras diferentes 
17 
18 lA verrllld en mGtemdticas 
para expresar Ia misma idea en cualquier idioma, asi tam bien hay di-
ferentes demostraciones para el mismo hecho matematico. Las tecnicas 
para hacer demostraciones que se presentan aqui estan disefladas para 
iniciarlo y para guiarlo a traves de una demostraci6n. Consecuente-
mente, este folleto no s6lo describe como trabajan las tecnica~ para 
hacer demostraciones, sino que tambien muestra cuando deben utili-
zane y por qut!. Con frecuencia, se da el caso de que una ttScnica correc-
ta puede seleccionarse basandose en Ia forma del problema que se estll 
considerando. Por lo tanto, cuando usted trate de hacer su propia de-
mostraci6n, es importante seleccionar conscientemente Ia tecnica de 
demostraci6n, en vez de desperdiciar horas tratando de ver que hacer. 
Cuanto mas consciente este usted del proceso de razonamiento mejor. 
El objetivo final, sin embargo, es que usted utilice sus nuevas ha-
bilidades y lenguaje adquiridos para· descubrir y comunicar verdades 
matematicas anteriormente desconocidas. Esta meta es admirable aun-
que extremadamente dificil de lograr. E1 primer paso en este sentido 
es alcanzar un nivel en el que uno sea capaz de leer y desarrollar las 
demostraciones propias de las verdades ya conocidas. Esto le · dara a 
usted un entendimiento mucho mas profundo y rico del universo 
matematico que lo rodea. 
E1 material Msico de las tecnicas para hacer demostraciones se 
presenta en los once cap {tulos siguientes .. El capitulo doce es un re-
sumen completo y le siguen dos aptSndices, en los cuales se ilustran 
las diversas tecnicas con varios ejemplos. 
La presente obra esta diseftada para que estudie en ella cualquier 
penona con conocimientos de matematicas a nivel preuniversitario. 
&tudiantes ava:nzados que anteriormente ya han visto demostraciones, 
pueden estudiar los dos primeros capitulos, pasar lue&o al capitulo 
del·resumen y, posteriormente, estudiar en los dos aptSndices para ver 
c6mo se utilizan todas las tecnicas. El resto de este capitulo explica 
el tipo de relaciones en las cuales pueden· aplicarse las demostraciones. 
Dados dos proposiciones, A y B, cada uno de los cuales puede ser 
verdadero o falso, un problema de interes fundamental en matemati-
cas es el de demostrar que si A es verdadero, entonces B es verdadero. 
Una demostraci6n es un metodo formal para realizar esta tarea. Como 
usted pronto descubrir.i, Ia forma particular de A y B puede indicar a 
menudo el camino a seguir. Algunos ejemplos de proposiciones. 
1. Dos rectas diferentes en un plano son paralelas o se cortan s6lo 
en un punto. 
LD verdad en matemdtkas 19 
2. 1 = 0. 
3. 3x = 5 y y = 1. 
4. x noes> 0. 
5. Existe un angulo t tal que cos(t) = t. 
Observe que Ia proposici6n 1) es siempre verdadera, 2) es siempre fal-
so, y que los postulados 3) y 4) pueden ser verdaderos o falsos, de-
pendiendo del valor de una variable. 
Tal vez no sea tan obvio que Ia proposici6n 5) es siempre verda-
dero. Por lo tanto, es necesario tener alg(tn metodo para demostrar 
que tales proposiciones son verdaderas. En otras palabras, una demos-
traci6n es un argumento convincente expresado en el idioma de las 
matematicas. Como tal, una demostraci6n debera contener suficien-
tes detalles matematicos para poder convencer a la(s) persona(s) a 
quien(es) esta dirigida. Por ejemplo, una demostraci6n de Ia proposi-
ci6n 5) dirigida a un profesor de matematicas podrfa ser solamente Ia 
figura 1. Por otro lado, una pmeba dirigida a un estudiante de bachi-
llerato requerira una explicaci6n detallada, tal vez Ia definici6n del 
coseno inclusive. La falta de esta explicaci6n detallada es lo que hace 
que una demostraci6n sea a menudo tan diffcil de leer y entender. 
Uno de los objetivos de este texto es el de ensenar a descifrar dichas 
demostraciones "condensadas" que aparecen comimmente en los li-
bros de texto y en las publicaciones matematicas. 
Para poder hacer una demostraci6n, usted debe saber exactamen-
te lo que significa demostrar que "si A es verdadero entonces B es 
verdadero". La proposici6n A se llama a menudo hipotesis y el postu-
t 
cos(t) 
-11' -11'/2 11'/2 11' t 
· Fipra 1. Una demostraci6n de que existe un Angulo t tal que cos(t)= t. 
20 
lado B conclusion. Para abreviar, 1a proposici6n "si A es verdadero 
entonces B es verdadero" se reduce a "si A entonces B", o simp Iemen te 
"A implica B". Los matematicos son a menudo muy perezosos cuan-
do se trata de escribir. Por lo cual han desarrollado una "taquigrafia" 
simb6lica. Por ejemplo, un matematico escribini "A ... B" en Iugar de 
"A implica B". En su mayor parte, los libros no usan Ia notaci6n sim-
b6lica, pero los profesores si Ia usan a menudo y, finalmente tambi6n 
usted Ia puede encontrar de utilidad. Por lo tanto, este texto incluir.i 
los sfmbolos apropiados, pero no los usara en las demostraciones. En 
el glosario se puede encontrar una lista completa de los simbolos, al 
fmal del presente libro. 
Parece razonable que las condiciones bajo las cuales ''A implica 
B" es verdadero dependeran de si A y B son verdaderos. Consecuen-
temente, hay cuatro posibles casos a considerar: 
1 . A es verdadero y B es verdadero. 
2. A es verdadero y B es falso. 
3. A es falso y B es verdadero. 
4. A es falso y B es falso. 
Suponga, por ejemplo, que un amigo le ha dicho lo siguiente: "Si 
Uueve entonces Marfa trae su paraguas". Aqui Ia proposici6n A es "llue-
ve" y B es "Marfa trae su paragUas". Para determinar cu4ndo es falso, 
Ia proposici6n "A implica B", preguntese en coAl de los cuatro casos 
usted llamaria a su amigo mentiroso. En el primercaso (es decir, cuan-
do llueve y Marfa trae su paraguas) su amigo le ha dicho Ia verdad. En 
el segundo caso·, llovi6 y Maria no trafa su paraguas. Dado que su ami-
go dijo que ella traerfa su paraguas, puede concluirse que su amigo no 
ha dicho Ia verdad. Finalmente, en los casos 3) y 4) no llueve. Usted 
no le dirfa a su amigo que es un mentiroso ya que ~1 tan s6lo dijo que 
algo sucederfa en caso que lloviera. Asi, el postulado "A implica B" 
es verdadero en cada uno de los cuatro casos excepto en el segundo, 
como se resume en Ia tabla 1.1 .. 
La tabla 1.1 es un ejemplo de una tabla de verdad. Una tabla de 
verdad es un metodo para determinar cu4ndo una proposici6n com-
plejo (en este caso ''A implica B") es verdadero, debiendo examinarse 
todos los posibles valores de Ia verdad de las proposiciones individua-
tes (en este caso A y B). Otros ejemplos de tablas de verdad apareceran 
en el capitulo 3. 
De acuerdo a Ia tabla 1.1, cuando se trata de demostrar que "A 
implica B" es verdadero, se puede suponer que Ia proposici6n a Ia iz-
Ejercieio& 21 
Tabla 1. Tabla de verdad para ·~A implica B". 
A B A implica B 
Verdadero Verdadero Verdadero 
Verdadero Falso Falso 
Falso Verdadero Verdadero 
Falso Falso Verdadero 
quierda de Ia palabra "implica" (es decir, A) es verdadero. Su meta 
es concll,lir que el postulado de Ia derecha (es decir, B) es verdadero. 
Tenga en cuenta que una demostracion de Ia proposici6n "A implica 
B" no es un intento de verificar si A y B son verdaderos, sino d,emos-
trar que B es una consecuencia 16gica de haber supuesto que A es ver-
dadero. 
En general, Ia habilidad para demostrar que B es verdadero depen-
deni mucho del hecho de que usted ha supuesto que A es verdadero 
y, finalmente, tendni que descubrir Ia relaci6n entre A y B. Racer 
esto requerini una cierta cantidad de creatividad de su parte. Las tec-
nicas que se presentanin para hacer demostraciones estan diseiiadas 
para iniciarlo y guiarlo a lo largo del camino. 
En lo sucesivo, A y B senin proposiciones que puedenser verda-
deras o falsas. El problema de interes sera demostrar que "A implica 
B". 
EJERCICIOS 
1.1 De los siguientes incisos, diga cuales son proposiciones. (Recuerde 
que una proposici6n debe ser verdadera o falsa). 
a) ax 2 + bx + c = 0. 
b)(--b ± v b2 - 4ac)f2a. 
c) el triangulo XYZ es similar al triangulo RST. 
d)3 + n + n2 • 
e) sen(ff/2) <sen (ff/4). 
f) para todo angulo t, sen2 (t) + cos2 (t) = 1. 
1.2 Para cada uno de los siguientes incisos, identifique Ia hip6tesis y 
la conclusion. 
ll La verdtld en m~~temtitka1 
a) Si el trilingulo rectlingulo XYZ con lados x y y e hipotenusa z 
tiene un lirea de z2 /4, entonces, el trilingulo XYZ es isosceles. 
b) n es un entero par= > n2 es un entero par. 
c) Si a, b, c, d, e y f son nUm.eros reales con Ia propiedad (ad-
be) ::/:: 0, entonces las dos ecuaciones lineales (ax + by)= e y 
(ex + dy) = /tienen soluci6n para x y y. 
d) La suma de los primeros n enteros positivos es n(n + I )/2. 
e) res un numero real y se cumplequer2=2 implica que resirracional. 
n Si p y q son n11meros reales positivos con ...; (pq J ::/:: (p + q )/2 
entonces p ::/:: q. 
g) S1 x es un numero real, el valor mfnimo de x(x- 1) es por lo 
menos -1/4. 
1.3 Si usted esta tratando de demostrar que "A implica B" es verda-
dero y sabe que B es falso, (,quiere demostrar que Ia proposici6n A 
es verdadera o falso? Explique. 
1.4 Usando Ia tabla 1.1 , determine las condiciones bajo las cuales las 
siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. De sus razones. 
a) Si 2 > 7 entonces I > 3. 
b) Si 2 < 7 entonces 1 < 3. 
c) Six= 3 entonces 1 < 2. 
d) Six = 3 entonces 1 > 2. 
1.5 Desarrolle Ia tabla de verdad para cada una de las siguientes pro-
posiciones. 
a) A implica (B implica C). 
JJ) (A irnplica B) irnplica C. 
Capitulo 2 
El metodo progresivo-
• regres1vo 
El prop6sito de este capitulo es describir una de las tecnicas funda-
mentales para hacer demostraciones: el metodo progresivo-regresivo. 
Se le da especial ~nfasis al material de este capitulo debido a que se 
usani este m~todo en todas las otras t~cnicas para hacer demostra-
ciones. 
Para el primer paso en cualquier demostraci6n se necesita identi-
ficar las proposiciones A Y B. En general, todo lo que sigue a Ia 
palabra "si" y antes de Ia palabra "entonces" constituye Ia proposi-
ci6n 26 B. Es decir, todo lo que usted supone que es verdadero (es 
decir, Ia hip6tesis) es A; todo lo que esta tratando de demostrar 
(es decir, Ia conclusion) es B. Considere el siguiente ejemplo: 
Ejemplo I Si el triangulo rectangulo XYZ, con lados x y y e hipote-
nusa z tiene un area de z2 /4, entonces, el triangulo es is6sceles (fi-
gura 2). 
z 
y 
X y 
El triangulo rectangulo x Y z 
23 
14 El metodo prOfrerivo-ngreslvo 
Expllcacl6n detfllladtl de Ill demostrtiCI6n: en este ejemplo las pro-
posiciones son: 
a) El triangulo rectangulo XYZ con lados x y y, e hipotenusa 
z tiene un area de z2 /4. 
b) El trilingulo XYZ es is6sceles. 
Recuerde que al demostrar "A implica B" usted puede suponer 
que A es verdadero y, de alguna forma, debe usar esta infonnaci6n 
para lograr Ia conclusion de que B es verdadero. Al tratar de deter-
minar c6mo llegar a Ia conclusi6n de que B es verdadero, usted esta 
realizando el proceso regresivo. Por otro lado, cuando haga uso espe-
cffico de Ia infonnaci6n contenida en A, usted estara realizando el 
proceso progresivo.Ambos precesos se describiran detalladamente. 
E1 proceso regresivo se inicia preguntando "l,C6mo o cuando 
puedo concluir que Ia proposici6n B es verdadera?" La manera en 
Ia cual usted fonnule esta pregunta es· critica puesto que debe ser 
capaz de contestarla. La pregunta debe forrnularse de un modo abs-
tracto. Para el ejemplo 1, Ia pregunta abstracta correcta es "l,c6mo 
puedo demostrar que un trilingulo es is6sceles?" A pesar de que es 
verdad que usted quiere demostrar que el triangulo XYZ en particular 
es is6sceles, al formular Ia pregunta abstracta usted hace referencia a 
sus conocimientos generales de triangulos, eliminando asf detalles irre-
levantes (como el hecho de que el tnangulo se llama XYZ~h Iugar 
de ABC), penniti~ndole as£ que se concentre en los aspectos impor-
tantes del problema. La pregunta obtenida de Ia proposici6n B en ta-
les problemas sera Hamada pregunta de abstracci6n. Una pregunta 
de abstracci6n formulada adecuadamente no debera contener ni los 
sfrnbolos, ni Ia notaci6n del problema especifico b;do consideraci6n. 
La clave de muchas demostraciones es fonnular correctamente Ia 
pregunta de abstracci6n. 
En cualquier caso, una vez que usted ha fonnulado la pregunta de 
abstracci6n, el siguiente paso en el proceso regresivo es contestarla. 
Regresando a1 ejemplo, l,C6mo puede usted demostrar que un trian-
gulo es is6sceles'? Ciertamente, utia man era de hacerlo es demostrando 
que dos de sus lados tienen Ia misma longitud. Reftri~ndose a Ia figu-
ra 2, usted debe demostrar que x = y. Observe que Ia respuesta a Ia 
pregunta de abstracci6n es un proceso de dos fases. Primero usted da 
una respuesta, abstracta: para demostrar que un tnangulo es is6sce-
les, demuestre que dos de sus lados tienen Ia misma longitud. Poste-
El mltodo progre61110·regre61vo 15 
riormente, aplique esta respuesta a Ia situaci6n especifica; en este 
caso, para demostrar que dos de sus lados tienen Ia misma longitud, 
usted tiene que demostrar que x = y, y no que x = z o que y = z. El 
proceso para fonnular Ia pregunta de abstracci6n, contestarla ab~ 
tractamente, y aplicarla a Ia situaci6n especffica se denominara 
proceso de abstraccion. 
El proceso de abstracci6n le ha proporcionado una nueva pro-
posicion, B 1, con Ia propiedad de que si usted pudiese demostrar 
que B 1 es verdadero, entonces B seria verdadero. En el ejemplo 
anterior, Ia nueva proposici6n es: 
B ·=X= y 
Si puede demostrar que x = y, entonces el trilingulo XYZ es isosce-
les. Una vez que usted tiene el postulado B 1 , todos sus esfuerzos 
deberiin dirigirse ahora a llegar a Ia conclusi6n de que B 1 es verda-
dero y, como consecuencia, que B tambien es verdadero. l,C6mo 
puede demostrar que B 1 es verdadero? AI final, usted tendnl que su-
poner que A es verdadero, y resolver el problema, lo cual podrfa 
hacerse ahora, pero por el memento, continuemos el proceso regre-
sivo repitiendo el proceso de abstracci6n con Ia nueva proposici6n 
B 1• Esto servinl para ilustrat algunas de las dificultades que surgen en 
el proceso regresivo. j,Puede usted fonnular Ia nueva pregunta de 
abstracci6n? 
Puesto que x y y son los dos lados del triangulo, una pregunta de 
abstracci6n razonable seria "j,C6mo puedo demostrar que los dos 
lades de un triangulo son iguales?" Una segunda pregunta de abs-
tracci6n perfectamente razonable seria "l,C6mo puedo demostrar 
que dos niuneros reales son iguales?" despues de todo, x y y son 
tambien numeros reales. Una de las dificultades que pueden surgir en 
el proceso de abstracci6n es Ia posibilidad de que haya mas de una 
pregunta de abstracci6n. La selecci6n de Ia pregunta correcta es mas 
un arte que una ciencia. En circunstancias afortunadas habra s6lp 
una pregunta de abstracd6n. En otros cases, usted tendnl que pro-
ceder por ensayo y error. Aqu:( es donde Ia intuici6n, ingenio, creati-
vidad, experiencia, diagramas y graficas pueden jugar un papel im-
portante. Un guia general es perrnitir que Ia inforrnaci6n contenida 
en A (Ia cual usted esta suponiendo que es verdadera) le ayude a 
seleccionar Ia pregunta, como se hani en este caso. 
lndependientemente de Ia pregunta que usted seleccione, el si-
guiente paso serli contestarla, primero en lo abstracto y despu~s en 
26 El mitodo progre1wo-regrelif'o 
Ia situaci6n especifica. ~Puede usted hacer esto con las dos preguntas 
de abstracci6n anteriores? Para Ia primera podria demostrar que dos 
lados de un triangulo tienen Ia mi.Sma longitud demostrando que los 
angulos opuestos a ellos son iguales. En el triangulo XYZ de Ia figura 
2, esto significaria que tiene que demostrar que el angulo Xes igualal angulo Y. El examen rapido del contenido de Ia proposici6n A no 
parece proporcionar ninguna infonnaci6n relacionada con los angu-
lso del triangulo XYZ. Por esta raz6n, se usara Ia otra pregunta de 
abstracci6n. 
Ahora uno se encuentra con Ia pregunta "~c6mo puedo demostrar 
que dos numeros reales x y y son iguales? .. Una respuesta a esta pre-
gunta seria demostrar que Ia diferencia de los dos numeros es cero. 
Aplicar esta respuesta a Ia proposici6n especifica B1 significa que 
usted tend ria que demostrar que (x - y) = 0. Desafortunadamente, 
existe otra respuesta perfectamente aceptable; demuestre que el 
primer nuniero es menor o igual al segundo y que tambi~n el segundo 
numero es men.or o igual al primero. Aplicando esta respuesta a Ia 
proposici6n especifica ll~t usted tendni quedemostrarque x .s;;; y y que 
y <; x. Asi; podria surgir una segunda dificultad en el proceso regre-
sivo. Aun si usted selecciona Ia pregunta de abstracci6n correcta, 
podria existir mas de una respuesta a ella. Ademas, usted podrfa 
escoger una respuesta que no le permitiera completar Ia demostraci6n. 
Por ejemplo, junto con Ia pregunta de abstracci6n "~c6mo puedo 
demostrar que un triangulo es isOsceles? .. esta Ia respuesta "demuestre 
que el tnangulo es equilatero ... Por supuesto seri'a imposible demos-
trar que el triangulo XYZ del ejemplo 1 es equilatero ya que uno de 
sus angulos tiene 90 grados. 
Regresando a Ia pregunta de abstracci6n "(,c6mo puedo demos-
trar que dos numeros reales (x y y) son iguales? .. , suponga que usted 
escoge Ia primera respuesta, es decir, que su diferencia es cero. Una 
vez mas, el proceso de abstracci6n le ha proporcionado una nueva 
proposici6n, 8,; con Ia propiedad de que si usted pudiera demostrar 
que B2 es verdadera, entonces, B1 seria verdadera, y por lo tanto B 
lo seria tambi~n. Especificamente,la nueva proposici6n es: 
B2 : x -y =o 
Ahora todos sus esfuerzos deben dirigirse a la conclusi6n de que B2 
es verdadero. Usted debe hacer uso en alguna parte de Ia demostraci6n 
de Ia informaci6n en A, pero por el momento, continuemos una vez 
mas con el proceso de abstracci6n aphcando al nuevo postulado B2 • · 
17 
Una pregunta de abstraccion es "(,cOmo puedo demostrar que Ia 
diferencia de dos numeros reales es igual a 0?" En este punto, poor fa 
parecer que no existe ninguna respuesta razonable a esta pregunta. 
Por lo tanto, otro problema puede surgir en el proceso de abstraccion: 
japarentemente, Ia pregunta de abstracci6n no tiene respuesta! Sin 
embargo, no todo esta perdido. Recuerde que at demostrar que "A 
implica B", se le pennite suponer que A es verdadera. En ninguna 
parte usted ha hecho uso de esta informacion. Es tiempo de hacerlo 
a traves del proceso progresivo. 
El proceso progresivo se inicia con Ia proposici6n A, que se su-
pone es verdadera, y obtiene a partir de ella otra proposici6n, A1 Ia 
cual ya sabe que es verdadera como resultado de que A es verdadera. 
Se debe enfatizar que las proposiciones derivadas de A no se deben 
al azar. Por el contrario, deben estar dirigidas bacia Ia obtenci6n de 
Ia ultima proposici6n derivada en el proceso regresivo. Esta ultima 
proposici6n debe actuar como una gufa en el proceso progresivo. 
Regresando al ejemplo 1 , recuerde que Ia ultima proposici6n obte-
nida en el proceso regresivo fue "x - y = 0". 
Para el ejemplo bajo consideraci6n, Ia · proposici6n A es: "El 
triangulo rectangulo XYZ con lados x y y, e hipotenusa z tiene un 
area de z2 /4". Un hecho que usted sabe (o deberfa saber) como 
resultado de que A es verdadera, es que xy/2 = z2 /4, ya que el area 
de un triangulo rectangulo es Ia mitad de Ia base por Ia altura, en este 
casoxy/2. Asi, usted ha obtenido Ia nueva proposici6n: 
Otra proposici6n muy util que surge como consecuencia de A y del 
teorema de Pitagoras es: 
A2: (x2 + y2) = z2 
Tam bien, el proceso progresivo puede combinar y usar las nuevas pro-
posiciones para producir otras verdaderas. Para el ejemplo I, es posible 
combinar A1 y A2 substituyendo (x2 + y 2 ) en A1 obteniendo Ia 
proposici6n: 
Uno de los problemas con el proceso progrcsivo es que es posible 
generar proposiciones inutiles, por cjemplo '.'el angulo X es menor 
28 El mitodD progrerillo-,.,elivo 
de 90 grados". Como no hay reglas espec,ificas para saber c6mo pro-
ducir nuevas proposiciones, recuerde el hecho de que el proceso 
progresivo est4 dirigido hacia 1a obtenci6n de la proposici6n B2 : 
x - y = 0, el cual fue Ia ultima proposici6n derivada en el proceso 
regresivo. Es por esta raz6n que z2 fue eliminada de A 1 y A2 • 
Continuando el proceso progresivo, usted debe intentar rees-
cribir A 3 para hacer que 6ste se parezca a B2 • Por ejemplo, puede 
multiplicar ambos miembros de A3 por 4 y substraer 2xy de ambos 
lados para obtener: 
A4 : (x2 - lxy + y 2 )=0 
Factorizando, se obtiene 
As: (x -y)2 =0 
Uno de los pasos mas comunes del proceso progresivo es el de rees-
cribir las proposiciones en diferentes fonnas, como fue hecho a1 
obtener A.. y As. Para el ejemplo l, el paso fmal en el proceso pro-
gresivo (y en toda Ia demostraci6n) es sacar Ia raiz cuadrada positiva 
de ambos lados de Ia igualdad en As, obteniendo asf precisamente 
Ia proposici6n B2 : x- y = 0. La demostraci6n queda completa, pues-
to que usted empez6 con Ia suposici6n de que A es verdadero, y Ia 
us6 para llegar a Ia conclusion de que B2 y, por lo tanto B, es verda-
dero. Los pasos y razones est4n resumidos en Ia tabla 2. 
Tabla 1 Demostracibn del ejemplo 1. 
Propolicion 
A: ElArea de XYZ es z2 /4 
A1 :xy/2=z
2/4 
A2 : x2 + y2 = z2 
A3 : xy/2 = (x2 + y 2 )/4 
A4: A'2 - 2xy+ Jl2 = 0 
As : (x - J1 )2 = 0 
~:(x-y)=O 
B1 : x = J1 
B: El tri4ngulo XYZ es isOsceles 
Razon 
Hjp6tesis 
Area= 1/2 (base)(altura) 
Teorema de Pitigoru 
Substituya A2 en At 
Algebra 
Factorizando A4 
Rafz cuadrada de As 
Sume y a ambos miembros de B2 
Puesto que B1 es verdaclero 
Es interesante observar que el proceso progresivo produjo final-
mente Ia respuesta a Ia pregunta de abstracci6n asociada con B2 , es 
El m~todo progrellvo·Ngrelivo 
decir, "i,C6mo puedo demostrar que Ia diferencia de dos n(Uneros 
reales es 0?" cuya respuesta es: demuestre que el cuadrado de Ia dife-
rencia es cero (A 5 en Ia tabla 2). 
Finalmente, usted debe darse cuenta que, en general, no seria pnic-
tico escribir todo el proceso de razonamiento de una demostraci6n, ya 
que esto requerirfa demasiado tiempo, esfuerzo y espacio. Por el 
contrario, se presenta usualmente una versi6n muy condensada, Ia 
cual hace poca o ninguna referencia al proceso regresivo. Para el 
problema anterior podrfa ser algo como esto: 
DemostNCI6n del EJempiD 1. De Ia hip6tesis y Ia f6rmula para el 
4rea de un triangulo rectAngulo, el Area de XYZ es igual a xy /2 = z2 /4. 
Por el teorema de Pitllgoras, (x2 + y 1 ) = z2 , y escribiendo (x2 + y 2 ) 
en Iugar de z2 y efectuando algunas operaciones algebraicas se obtiene 
(x - y) = 0. De aquf que x = y y el triclngulo XYZ es is6sceles. 1 (El 
"II" o alglin s(mbolo equivalente es empleado para Jndicar el final de 
una demostraci6n. Algunas veces se utiliza Ia abreviaci6n Q. E. 0. 
que repres~nta las palabras latinas quod erat demonstrandum que sig-
nifican "lo que se querfa demostrar"). 
Algunas veces Ia demostraci6n abreviada ser4 parcialmente regre-
siva y parcialmente progresiva. Por ejemplo: 
DemostraciiJn del eje~t~plo 1. La proposici6n se demuestra estable-
ciendo que x = y, lo cual se hace demostrando a su vez que (x - y )2 = 
(x2 - 2xy + y 2 ) = 0. Pero el atrea del triatngulo es (l/2)1cy = (l/4)f2 , 
asf que 2xy = z2 • Por el teorema de Pitagoras, z2 = (x2 + y 2 ) y, por 
lo tanto, (x 2 + y 2 ) = 2xy, o (x2 - 2xy + y 2 ) =Ocomoserequeriria.l 
La demostraci6n puede escribirse tambi~n partiendo del proceso 
regresivo; aunque esta versi6n es ligeramente poco comun, vale Ia 
pena verla: 
Demostrtlcl6n del eje~t~plo 1. Para alcanzar Ia conclusi6n, sc demos-
tram que x = y mediante Ia verificaci6n de que (x - y )2 = (x2 -
2xy + y 2 ) = 0,o de forma equivalente que (x2 + y 2 ) = 2xy. Esto, a 
su vez, puede ser establecido al demosti'ar que 2xy = z2 , ya que el 
teorema de Pitjgoras establece que (x2 + y 2 ) = z2 • Para ver que 
2xy =z2 o, de igual manera, que (J/2)1cy = (l/4):2 , note que(l/2)xy 
es el area del triangulo que, por hip6tesis, es igual a (1/4 )f2 , comple-
tando asf Ia demostraci6n. U 
30 El mitodo prorresivo-regresivo 
Las demostraciones en los artfculos publicados, particulannente 
los de investigaci6n, son a menudo muy condensadas dando poco 
m4s que una sugerencia de c6mo se hace Ia demostraci6n. Por ejemplo: 
Demostracl6n del ejemplo 1. De la hip6tesis y el teorema de Pit4goras 
se obtiene (x 2 + y 2 ) = 2xy, porlo tanto, (x- y) = 0. Asi,eltriangulo 
es isosceles como se requerfa.
11 
Note que las palabras "por lo tanto" ocultan Ia forma en que se 
obtuvo (x - y) = 0. ~Fue esto una operaci6n algebraica (como sabe· 
mos que fue) o fue algo mas? Desafortunadamente, est as versiones 
condensadas sedan con tanta frecuencia en los libros de matematicas, 
y es este hecho e) que hace que las demostraciones sean tan diffciles 
de entender. Usted debera esforzarse para adquirir Ia habilidad de 
leer y comprender una demostraci6n condensada. Esto requerir4 
que' ;usted determine que tecnica para haccr dcmostraciones se cst4 
utilizando (ya que el m~todo progresivo-regresivo no es el unico dis-
ponible ), tendr8 tambi~n que descubrir e) proceso del razonamiento 
implfcito en Ia demostraci6n y, finalmente, debera ser capaz de veri-
ficar todos los pasos implicados. Mientras mas condensada sea Ia 
demostraci6n, mas diffcil sera este proceso. Algunos ejemplos de 
c6mo leer demostraciones condensadas aparecen en los dos ap~ndices. 
Este texto Ie har4 Ia vida substancialmente mas f4cil, ya que una 
explicaci6n detallada de Ia demostraci6n, Ia mctodologfa y el razona-
miento que estuvieron relacionados precedem a cada demostraci6n 
condensada. Sin embargo, las explicaciones detalladas de las demos-
traciones seran m4s concisas que Ia mostrada en el ejemplo I. 
A continuaci6n, se presenta un resumen del metodo progresivo-
regresivo para demostrar que "A implica B". Em piece con Ia proposi-
ci6n B, que es Ia que quiere demostrar que es verdadera. A traves del 
proceso de abstracci6n, preguntando y contestando Ia pregunta de 
abstracci6n, deduzca una nueva proposici6n B1 , con Ia caracteristica 
de que si B1 es verdadero, tambi~n B sea verdadero. Todos los esfuer-
zos est4n dirigidos ahora hacia el establecimiento de que B1 es verda· 
dero. Para este fin, aplique el proceso de abstracci6n aB1 , obteniendo 
una nueva proposici6n B2 que tenga Ia caracterfstica de que si B2 es 
verdadero, tambi~n lo sea B1 (y por lo tanto, B). Recuerde que el 
proceso de abstracci6n lo ha gencrado Ia suposici6n de que A es ver· 
dadero. Continue de csta manera hasta que obtenga Ia proposici6n 
A, (en cuyo caso, Ia demostraci6n estara terminada), o bien, basta 
que ya no pueda formular, contestar Ia pregunta de abstracci6n o 
Fipra 3. Buscando una aguja en un pajar. 
ambas cosas, fructfferamente. En el ultimo caso, es tiempo de em-
pezar el proceso progresivo, en donde usted deduce de A una sucesi6n 
de proposiciones, las cuales son necesariarnente verdaderas como 
resultado de que A se ha supuesto verdadero. Recuerde que Ia meta 
del proceso progresivo es obtener precisarnente Ia ultima proposici6n 
que obtuvo en el proceso regresivo, con lo cual habra completado 
con exito Ia demostraci6n. 
Los procesos progresivos y regresivos pueden recordarse facil-
mente imaginandose que Ia proposici6n B es como una aguja on un 
p~ar. Cuando usted trabaja progresivamente a partir de Ia suposi-
ci6n de que A cs verdadero, usted empieza en alguna parte en el 
exterior del pajar y trata de encontrar la aguja. En el proceso rege-
sivo, usted empieza en Ia aguja y trata de encontrar el camino bacia 
afuera del pajar, es decir, bacia Ia proposici6n A (f.JgUra 3). 
Otro modo de recordar el m6todo progresivo-regresivo, es pen-
sando en un laberin to en el cual A es el pun to inicial y B es el pun to 
final deseado (figura 4 ). Tal vez sea necesario altemar varias veces 
entre los procesos progresivos y regresivos antes de que tenga ~xito, 
ya que probablemente habra varios intentos fallidos y callejones sin 
salida. 
Como una regia general, el metodo progresivo-regresivo es proba-
blemente Ia prim era tecnica a tratar en un problema, a menos que usted 
tenga una raz6n para usar un enfoque diferente basado en Ja forma 
de B, tal como se describirli mlis adelante. De cualquier manera, usted 
obtendrli informacion de Ia relaci6n entre A y B. 
32 
A progreslvo 
B regresivo 
[ I 
,..... 
-
1--
Fiaura 4. Ellaberinto. 
FJERCICIOS 
Nota: Todas las demostraciones debenin contener una explicaci6n 
detallada de Ia misma asf como una versi6n condensada. 
2.1 Explique Ia diferencia entre los procesos progresivo y regresivo. 
Describa c6mo trabaja cada uno de ellos y diga que situaciones 
que compliquen una demostraci6n puede ocurrir durante estos 
procesos. ;. C6mo est4n los dos procesos relacionados entre sf? 
2.2 Considere el problema de demostrar que "Si x es un numero 
real, entonces el valor maximo de- x 2 + 2x + I es ;> 2". ;.Cu41 
de las siguientes preguntas de abstracci6n es incorrecta y por que? 
a) ;.C6mo puedo demostrar que el maximo valor de una panibo-
la es :>que un numero? 
b) t,C6mo puedo demostrar que un numero es.;;;; que el maximo 
valor de un polinomio? 
33 
c) LC6mo puedo demostrar que eliJli~o valor de Ia funci6n 
- x 2 + 2x + I es >que un numero? 
d) i,C6mo puedo demostrar que un numero es <que el mAximo 
de una funci6n cuadratica? 
2.3 Considere el problema de demostrar que "Si 
R = {numeros reales x: x 2 - x < 0} 
S = {n6meros reaJes x:- (x - I) (x- 3) > 0} 
T = {numeros reales x: x > 1 } 
entonces R intersecci6n S es un subconjunto de r•. i,Cu61 de 
las sicuientes preguntas de abstracci6n es 1a mAs correcta y por 
qu6? Explique lo que es incorrecto en las otras preguntas. 
a) i,C6mo puedo demostrar que un conjunto es un subconjunto 
de otro conjunto? 
b) i,C6mo puedo demostrar que el conjunto R intenecci6n S es 
un subconjunto de n 
c) LC6mo puedo demostrar que todo punto en R intenecci6n 
Ses>que I? 
d) LC6mo puedo demostrar que Ia intersecci6n de dos conjuntos 
tienen un punto en comun con otro conjunto? 
2.4 Para cada uno de los si&uientes problemas, indique tantas pre-
guntas de abstracci6n como pueda (por lomenosdos). Aseg(lrese 
de que sus preguntas no contenpn sfmbolos o Ia notaci6n def 
problema especffico. 
a) Si 11 y 12 son tangentes a una circunferencia C en los dos pun-
tos extremos e1 y e2 de un dUlmetro d, respectivamente, 
entonces 11 y 12 son lfneas paralelas. 
b) Si I y g son funciones continuas entonces Ja funci6n I+ g 
es continua. (Nota: La continuidad es una propiedad de una 
funci6n). 
c) Sines un entero par, entonces n2 es un entero par. 
d) Sin es un entero para el cual- 3n2 + 2n + 8 = 0, entonces 
2n2 - 3n =- 2. 
2.5 Para cada una de las siguientes preguntas de abstracci6n, indique 
tantas respuestas como pueda (por lo menos tres). 
El mitodo prouesi110-rqrelivo 
a) j,C6rno puedo dernostrar que dos numeros reales son iguales? 
b) j,C6.;.o puedo demostrar que dos triangulos son congruentes? 
c) j,C6mo puedo demostrar que dos rectas son paralelas? 
d) j,C6mo puedo demostrarque un cuadrilatero es un rectangulo? 
2.6 Para cada uno de los siguientes problemas, I) plantee una pre-
gunta de abstracci6n, 2) cont~stela abstractamente, y 3) aplique 
su respuesta al problema especffico. 
a) Si a, b y c son numeros reales para los cuales a > 0, b < 0 y 
b2 - 4ac = 0, entonces Ia soluci6n a Ia ecuaci6n ax2 + bx + 
c = 0 es positiva. _ 
b) En Ia siguiente figum, si SU es la bisectriz perpendicular de 
1fT, y 1fS = 'I1fCJ, entonces el triangulo RST es equilatero. 
s 
2:7 Para. cada una de las siguientes hip6tesis, indique tantas propo-
siciones como usted pueda (por lo mcnos tres) las cualessurgen 
como resultado de Ia aplicaci6n de un paso del proccso regresivo. 
a) El numero real x satisface x 2 - 3x + 2 < 0. 
b) El seno del angulo X en el triangulo XYZ de Ia figura 2 es 
1/Vf. 
c) El circulo C consiste de todos los valores de x y y que satis-
facen (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25. 
d) El triangulo UVW es equihitero. 
2.8 Considere el problema de demostrar que "Six y z son numeros 
reales tales que x2 + 6y2 - 25 = 0 y y2 + x = 3 entonces IYI = 2': 
AI trabajar progresivamente a partir de Ia hip6tesis, j,Cual de los 
siguientes incisos no es valido y por que? 
Ejereit:IDI 
a)y2 =3-x. 
b )y 2 ·= 25/6 - (xJ./6)2 • 
c) (3 -.y 2 )2 + 6y2 -25 =0. 
d)(x + 5) =- 6y2 J(x- 5). 
35 
2.9 Considere el problema de demastrar· que ''Si x y y son nilmeros 
reales no negativos tales que x + y = 0 entonces x = 0 y y = 0". 
a) Para 1a siguiente demostraci6n condensada, escriba una ex-
plicaci6n detallada de la demostraci6n indicando los pasos 
progresivos y regresivos y las preguntas de abstracci6n y sus 
respuestas. 
Demostracion: Primero se demostrar! que x < 0, y dado que 
por 1a hip6tesis x ;;a. 0, entonces debe ser x = 0. Para ver 
que x o&;;;; 0, por hip6tesis x + y = 0, asf que x =- y. Tambien, 
ya que y;;;;;.. Ose concluyeque- y..;;;; 0 porto cualx =-y< 0. 
Finalmente, para ver que y = 0, dado que x = 0 y x + y = 
0, entonces debe ser 0 + y = y = 0.11 
b) Reescriba Ia demostraci6n condensada de Ia parte a) a partir 
del proceso regresivo. 
2.1 0 Considere un alfabeto que consiste de las letras ''s" y "t", junto 
con las siguientes reglas para crear nuevas palabras a partir de las 
ya existentes. Las reglas pueden aplicarse en cualquier orden. 
1. Duplique Ia palabra actual (por ejemplo: sts podrfa conver-
tirse en stssts). 
2. Elimine tt de Ia palabra actual (por ejemplo stts podrfa 
convertirse en ss). 
3. Ponga t en Ia palabra actual en Iugar de sss (por ejemplo: 
stsss podria convertirse en stt). 
4. Aflada Ia letra t a Ia derecha de Ia palabra actual si Ia ultima 
letra ess (por ejemplo: tss podrfa convertirse en tsst). 
a) Aplique tres pasos del proceso progresivo para formar el ma-
yor numero de palabras posibles, aplicando las reglas ante-
riores repetidamente a Ia palabra inicial s. 
b) Aplique un paso del proceso regresivo a Ia palabra tst. Espe-
c ificamente, liste todas las palabras para las cuales Ia aplicaci6n 
de una de las reglas anteriores producirfa Ia palabra tst. 
c) Demuestre que "Sis entonces tst". 
d) Demuestre que .. Si s entonces ttst ". 
2.11 Demuestre que si el tnangulo rect4ngulo XYZ de Ia f~gura 2 es 
is6sceles, entonces el area del tri4ngulo es z2 /4. 
2.12 Demuestre que la proposici6n en 2.6 b) es verdadera. 
Capitulo 3 
Acerca de los 
definiciones y Ia 
tenninologia matematica 
En el capitulo anterior usted aprendi6 el m~todo progresiVCH"egresivo 
y vio Ia importancia de fonnular y contestar Ia preguilta de abstra~ 
cion. Uno de .Jos modos mas simples y eficaces de conteatar una p~ 
gunta de abstraccion es mediante el uso de una defmicion, como se 
explicari en este capitulo. Tambi~n. aprender4 algo del"vocabulario" 
delleng~UQe de las matemticas. 
Una deftnict6n es nada mu una declaracion en Ia cual se han pues-
to de acuerdo todas las personas interesadas. Usted ya ha encontrado 
una defmici6n en el capitulo I. Ani se defmi6 lo que significa que Ia 
proposici6n "'A implica B" soa verdadero. Especificamente, se acord6 
que es verdadero en todoslos casos excepto cuando A es verdadero y 
B es falso. En ninguna parte se establece que usted debe aceptar esta 
defmicion como Ia correcta. Si decide no aceptarla, todos sedn inca-
paces de comunicarse con usted respecto a esta idea en particular. 
las definiciones no estm hechas al azar. Por lo com(m, estan m~ 
tivadas por un concepto matem4tico que ocurre repetidamente. En 
efecto, una definicion puede considerarse como una forma para sim-
plificar un concepto. particular en el eual todos estan de acuerdo. T~ 
me, por ejemplo, el concepto de "un entero positivo mayor que uno 
el cual no es divisible ·entre ning(m otro entero positivo excepto entre 
sf mismo o Ia unidad", lo cua1 es Ia simplificac:ion (o defmici6n) de 
37 
38 AceTCa de la1 de/inicione• y Ia tennlnologill matematica 
un "numero primo". Segurarnente, es mu f4cil decir "numero primo" 
que "un entero positivo mayor que uno ... ", especialrnente si el con-
cepto aparece frecuentemente. Otros ejemplos de definiciones serian: 
• Detinici6n 1: Un enteron es divisible entre un entero m (escri-
to nlm) si m = kn para algun entero k. 
• Detinici6n 2: Un entet'o positivo p > 1 es un numero primo si 
los unicos enteros positivos que dividen a p son I y p. 
• Detinici6n 3: Un tri4ngulo es isosceles si dos de sus lados son 
iguales. 
• Definici6n 4: Dos pares de numeros reales (x,, y,) y (x,, Y2) 
son iguales six, = x, y y, = Y2. 
• Defmici6n.S: Un enteron es par, si y solo si el residuo de Ia di-
vision entre 2 es 0. 
• Defmicion 6: Un enteron es impar si y s6lo sin= 2k + 1 para 
cualquier entero k. 
• Defmici6n 7: Un numero real r es un numero racional si y s6lo 
si r puede expresarse como el cociente de dos enteros p y q en 
el cual el denominador q es diferente de 0. 
• Defmici6n 8: Dos proposiciones A y B son equivalentes si y s6-
lo si "A implica B'" y "B implica A". 
· • Defmici6n 9: l.a proposicion A y B· (en simbolos A 1\ B), es 
verdadero si y s6lo si A es verdadero y B es verdadero. 
• Definici6n 10: La proposici6n A o B (en si~bolos A V B), 
es verdadero en todos los casos excepto cuandoA esfalso y B es 
falso. 
Observe que las palabras ·~si y solo si" han sido usadas en algunas 
de las defmiciones, pero en general, "sf' tiende a ser usada en Iugar 
de "si y s6lo si'". Algunos terminos como "conjunto" o "pun to" no 
se han defmido. Posiblemente uno podrfa tratar de defmir un col\iui1-
to como una colecci6n de objetos, pero no serla practico el hacerlo 
asi, ya que el concepto de un Hobjeto" es demasiado vago. Esto lo 
conduciria a preguntar por Ia definicion de "objeto", y asi continuar 
indefmidarnente. Tales aspectos filos6ficos estan mas alia del alcance 
de este trabajo. 
En Ia demostraci6n del ejemplo 1 se us6 una defmici6n para con-
testar una pregunta de abstracci6n. Recuerde 1a primera pregunta, Ia 
cu.al fue ";,c6mo puedo demostrar que un triangulo es isosceles?" De 
acuerdo con la definicion 3, para demostrar que un tri4ngulo es is6s-
..4cerca de 1111 de/ilfkionel y Ia tenninolo1i11 tn~~tematica 
celes, uno demuestra que dos de sus lad.os son iguales. Las defioiciones 
son igualmente utiles en el proceso progresivo. Por ejemplo, si sabe 
que un enteron es impar, entonces por la definicion 6 sabria que n 
= 2k + I para algun entero k. Es muy comim en las demostraciones 
usar las definiciones tanto en el proceso progresivo como en el regre-
sivo. 
Ocurre a menudo que existen dos definiciones para un mismo 
concepto. Como ejemplo, considere el concepto de un numero par, Ia 
cual se introdujo en Ia definicion S. Otra posible definicion de un nU-
mero par es: "un numero entero que puede expresarse como el pr~ 
ducto de 2 por otro numero entero". Por supuesto, existe una sola 
defmici6n para un concepto particular, pero cuando existen varia& al-
temativas para un mismo concepto, (,C6mo seleccionar una de ellas y 
que hacer con las otras posibles altemativas? Dado que una definiciOn 
es simplemente algo que ha sido acordado, cualquiera de las altema-
tivas puede utilizarse como definici6n. Una vez que se ha escogido Ia 
defmici6n, es aconsejable establecer Ia "equivalencia" ( ·) entre Ia d~ 
fmici6n seleccionada y las otras altemativas. 
Para el caso de un n6mero entero par, esto se lograrfa usando Ia 
definici6n S para crear Ia proposici6n A : "n es un entero cuyo residuo 
al ser dividido entre 2 es 0". Usando Ia defmici6n altemativa se crea 
Ia proposici6n B: "n es un entero que puede expresarse eomo el pre> 
ducto de 2 por algun otro entero". Ahora, para establecer el heehode 
que Ia definicion S y Iaaltemativa son equivalentes es necesario que 
usted demuestre que "A implica B", y que "B implica A" (definicion 
8). Entonces usted sabri'a que si A es verdadero (es decir, n es un en-
tero cuyo residuo alser dividido entre 2 es igual a 0), entonces y B es 
verdadero (es decir, n es un numero entero que puede expresarse co-
mo el producto de 2 por algun otro entero). Y asi', si 8 es verdadero, 
entonces, A es tambien verdadero. 
La proposici6n de que A es equivalente a 8 se escribe a menudo 
como "A es verdadero si y s61o si B es verdadero", o simplemente 
"A si y s61o si B". En Ia notaci6n matematica, uno solamente escri-
biria "A • 8". Siempre que se le pida demostrar "A si y s61o sl B .. , 
usted debe demostrar que "A implica B .. y que "B imptica A"'. 
Es muy importante ser capaz de establecer que una definiei6n es 
equivalente a otra altemativa. Suponga, por ejemplo, que en una de-
mostraci6n usted deduce Ia pregunta de abstracci6n: ";.cbmo puedo 
demostrar que un nfunero entero es par?" Como resultado de haber 
obtenido Ia equivalencia entre los dos conceptos, tiene ahora dos p~ 
40 
sibles respuestas en sus manos. Una se obtiene directamente de Ia de-
finici6n S, por lo que una forma de demostrar que un entero es pares 
demostrando que su residuo al ser dividido entre 2 es igual a 0. La se-
gunda respuesta se obtiene de Ia defmici6n alternativa; es decir, usted 
puede demostrar que ese entero puede expresarse como el producto 
de 2 por alg(ln otro entero. Sirnilarmente, en el proceso progesivo, si 
usted sabe quen es un n\lmero par, tendria entonces dos posibles pre> 
posiciones las cuales son verdaderas como resultado de esto: Ia defmi-
ci6n original y Ia alternativa Mientras que Ia habilidad para responder 
a una pregunta de abstracci6n (realizando el proceso progesivo) en 
mh de una forma puede ser obstjculo, como fue el caso en el ejemplo 
I, tam bien puede ser ventajoso, como se muestra en el siguiente. 
E;iemplo 2: Sin es un entero par, entonces, n2 es tambien un entero 
par. 
ExpUcaeilm detlllllldtl de Ill demoatracion: Si utiliza el metodo progre-
sive>regresivo, usted es conducido inmediatamente a Ia pre~nta ~e 
abstracci6n &• i,C6mo puedo demostrar que un entero (n2 ) es par?'~ Es-
cogiendo Ia defmici6n alternativa en Iugar de Ia definici6n original, 
puede responder aeste pregunta demostrando quen2 puede expresarse 
como el producto de 2 por algUn entero. Ahora, Ia pregunta es "(.CUal 
entero?" La respuesta a esta pregunta proviene del proceso pro-
gresivo. 
Dado que n es un entero par, y usando Ia defmici6n alternativa, n 
puede expresane como el producto de 2 por alglln entero k (es decir, 
n = 2k). Por lo que 
n2 = (n)(n) = (2k)(2k) = 4k1 = 2(2k1 ). 
Entonces, se ha demostrado que n 2 puede escribirse como el produc-
to de 2 por alg(ln otro entero, siendo dicho entero igual a 2k2 , y esto 
completa Ia demostraci6n. Por supuesto, este problema podrfa tam-
bien haber sido resuelto usando Ia definici6n S, pero resultarfa mucho 
IIW diffcil hacerlo de esa manera. 
Demoatrtldon del ejemplo 2. Dado que n es un entero par, existe un 
41 
Es comt&n usar deflniciones durante el proceso progresivo para 
contestar ciertas pregimtas de abstracci6n.. Mientras m4s proposici.~ 
nes equivalentes a Ia defmici6n pueda demostrar, tendri mas recunos 
disponibles para usar en el proceso progresiv~regresivo; sin embargo, 
un gran n(unero de proposiciones equivalentes pueden complicar tam-
bi6n el proceso, debido a que se tendria que determinar cuat de todas 
las proposiciones se podrfa utilizar. 
Existen cuatro tenninos en matematicas que encontrali frecue& 
temente siempre que trate con demostraciones. Estos son: proposi· 
ci6n, teorema, lema y corolario. Una proposici6n es un enunciado de • 
interes que esta tratando de demostrar. Todos los ejemplos que han 
sido presentados aquf son proposiciones. Algunas proposiciones son 
consideradas (subjetivamente) extremadamente importantes y se les 
llama teoremas. La demostracion de un teorema puede ser muy larga, 
por lo que resulta mas facil comunicar Ja demostraci6n por "partes". 
Por ejemplo, al demostrar el postulado ".A imp-lica B", puede ser n& 
cesario demostrar primero que ".A implica C ",luego,que" Cimplica 
D" y, fmabnente, que ''D implica B". Cada una- 4e las propoaieiones 
oblenidas podrfa presentane por separado, y estas se Daman lemtJL 
En otras palabras, un lema es una proposici6n preliminar, Ia cual va a 
utilizarse en Ia demostraci6n de un teorema. Una vez que un teorema 
ha sido establecido, sucede frecuentemente que ciertas proposiciones 
-surgen casi inmediatamente como resultado de que el teorema es ver· 
<lader9. A estas proposiciones se les denomina coroliuios. En resumen, 
una proposicion es _un enunciado el cual usted trata de demostrar que 
es verdadero. Un teorema es una propoSici6n importante. Un lema es 
una proposici6n preliminar que va a utilizarse en la demostraci6n de un 
teorema, y un corolario es una proposici6n que surge como resultado 
inmediato de un teorema. 
Asf como existen ciertos conceptos matematicos que se aceptan 
sin una defmici6n fonnal, asl tamb~n existen ciertas proposiciones 
las cuales se aceptan sin una demostraci6n formal A este tipo de p~ 
posiciones sin demostraci6n se les llama axiomas. Un ejemplo de un 
axioma es el postulado: "la distancia mu corta entre dos puntos es 
una Unea recta". La descripci6n m4s detallada de los axiomas esta 
fuera, del objetivo de este texto. 
En la misma forma que se hace uso de una definicion durante los 
procesos progresivo y regresivo, asl tambi6n una proposici6n (previa-
mente demostrada) puede utilizarse, como se muestra en el siguiente 
·problema. 
41 Acen:G de 1t11 definlcione& y Ill t-erminolorill m~~temtitlc11 
Ejemplo 3. Si el tnangulo rect4ngulo RST con lados r y s, e hipote-
nusa t, satisface t = ../ 2 rs, entonces, el triangulo RST es isosceles 
(figura 5). 
R 
s 
s 
FitUra S. El tri!ngulo rectangulo RST. 
Expllcacl6n detfllladll de Ia demostl'tiCI6n. El metodo progresivo-regre-
sivo da origen a Ia pregunta de abstracci6n "t,C6mo puedo demostrar 
que un tri4ngulo (RSn es isosceles?" Se obtiene una respuesta usan-
do Ia definicion 3, pero se obtiene tambien una segunda respuesta de 
Ia conclusion del ejemplo 1. Ia cual establece que el triangulo XYZ es 
isosceles. Tal vez el triingulo RST sea tam bien isosceles porIa misma 
raz6n que el triingulo XYZ lo es. Para averiguar esto es necesario ver 
si el tnangulo RST satisface tambien Ia hip6tesis del ejemplo I. al 
igual que el triingulo XYZ; porque entonces el triangulo RSTtambien 
5atisface Ia conclusion, y, por to tanto, es isosceles. 
AI verificar Ia hip6tesis del ejemplo 1 para el triangulo RST, es 
necesario primero establecer una equivalencia entre Ia notaci6n que 
se esta usando en este problema, y Ia que se utiliz6 en el ejemplo 1. 
Especificamente, las longitudes de los lados del triangulo son x = r, 
y = s, y z = t. Entonces, para verificar Ia hip6tesis delejemplo 1 en este 
problema, usted debe ver si el !rea del triingulo RSTes igual a l/4(11 ), 
o en su Iugar, como el !rea del triingulo RST es igual a l/2(rs), debe 
verificar si l/2(rs) = l/4(t2 ). 
El hecho de que 1/2 (rs) = 1/4 (t2 ) se obtendra trabajando progre-
sivamente a partir de Ia hip6tesis de· que t = ../ 2 rs. Especificamente, 
elevando al cuadrado ambos miembros de Ia igualdad y dividiendo 
despues entre 4. usted obtiene que l/2{rs) = l/4(t2 ) tal como lode-
seaba. Observe que Ia hip6tesis del ejemplo I requiere tambien que el 
43 
tnangu10 R ~T sea· un tri6DBulo rectangulo, ·to cual efectivamente es 
cierto, como ha sido estableaido en la hip6tesis de este prpblema. 
Observe que hubiera sido mucho mas diffcil establecer la.equiva-
lencia entre las notaciones si el tri4ngulo hubiera sido denominado 
wxy· con .lados w y X, e hipotenusa y. Desafortunadamente, puede 
surgir. (y surgiri) esta trasposici6n de notaci6n, y cuando asi sea, es 
particulatmente cimportante mantener una simbologfa adecuada.En Ia demostraci6n condensada que se presenta a continuaci6n, 
note Ia falta de referencia a Ia equivalencia entre Ia notaci6n. 
Demostr.acl6n del ejemplo. J. Por hip6tesis tenemos que. t = ..,f2ii; 
por Io que t 2 = 2rs, o en fonna equivalente, l/4(t2 ) = l/2(rs). Ento& 
ces, el 4rea del tritngulo rect4ngulo RST es igual a l/4(t2 ). Por lo 
tanto, la hip6tesis y, por consW!iente, la conclusi6n del ejemplo 1 
es verdadera. Consecuentemente, el tri4ng\llo RST es -is6sceles.n 
Es muy com'Cm usar la conclusion de una proposici6n anterior pa-
ra responder a una pregunta de abstracci6n. No olvide que hay que 
establecer una equivalencia entre la notaci6n usada en el problema 
que se est4 resolviendo y la que se us6 en la proposici6n previa, de tal 
manera que pueda verificarse Ia hip6tesis de ~sta. 
Asociado a Ia proposici6n A, est4 Ia NO A (algunas veces- A). 
La proposici6n NO A es verdadera cuando A es fa1so y viceversa. En 
el capitulo 1 0 se tratar.i mas acerea de Ia negaci6n de una proposlci6n. 
Dados dos proposiciones A y B, usted ha aprendido el significa-
do ·de Ia proposici6n "A implica B". Existen muchas maneras de d~ 
cirque ''A implica B" por ejemplo: 
1. culll)'do A es verdadera, B debe ser tambien verdadera. 
2. B se deduce-de A. 
3. B es una consecuencia necesaria de A. 
4. A es condici6n suficiente para B. 
5. A s6lo siB. 
Otras tres proposiciones relacionadas con "A .implica B" son: 
I. "B implica A" 
2. "NO A implica NOB" 
3.-·"NO B·implica NO A" 
(llamado principio recfproco ). 
(llamado principio in verso). 
(llamado principio contrapositivo ). 
La tabla 1 puede usane para determinar cumdo cada uno de e• 
tos 3 postulados es verdadero. Por ejemplo, el principia contrapositi-
vo "NOB implica NO A'\ es verdadero en todos los casos excepto 
cuando Ia proposici6n a Ia izquierda de Ia palabra "implica" (en este 
caso, NO B) es verdadera y Ia de Ia derecha de Ia palabra "implica" 
(en este caso, NO A) es falsa. En otras palabras, el principia contra-
positive es verdadero en todos los casos excepto ouando B es falsa y 
A es verdadera, como se muestra en Ia tabla 3. 
Tabla 3. Tabla de verdad para "NOB implicaNO A". 
A B NOB NOA A•B NOB,. NOA 
Verdadero Verdadero Falso Falso Verdadero Verdadero 
Verdadero FaJso Verdadero Falso Pallo Pallo 
Pallo Verdadero Pallo Verdadero Verdadero Verdadero 
Pallo Falso Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero 
Observe en Ia tabla 3, que el principia "NO B implica NO A" es 
verdadero bajo las mismas circunstancias que "A implica B", es decir, 
en todos los casos excepto cuando A es verdadero y B es falso. Esta 
observaci6n da Iugar a una nueva t~cnica para hacer demostraciones 
conocidas como el m~todo contrapositivo el cu41 se describini en el 
capitulo 9. Pueden obtenerse tablas de verdad similares a Ia tabla 3 
para los principios reciproco e inveno, y se dejaran como ejercicios. 
Este capttulo ha explicado el significado de muchos de los termi-
nos que se utilizan en ellen&WUe de las matem4ticas. Tambien, se mo• 
tr6 c6mo las defmiciones y las proposiciones previamente demostradas 
pueden utilizarse en el metodo progresivo-regresivo. Ahora es tiempo 
de aprender mas t~cnicas para hacer demostraciones. 
EJERCICIOS 
Nota: Todas las demostraciones deberan contener una explicacion 
detallada de Ia misma asi como una versi6n condensada. 
3.1 Para cada una de las siguientes conclusiones, plan tee una pregun-
ta de abstracci6n. Luego, utilice una defmici6n para I) responder 
E~nlelol 45 
1) 1a preaunta de fonna abstracta, y 2) aplicarlarespuestaal pro-
blema especffico. 
a) Si n es un entero irnpar, entonces, n 2 es un entero impar. 
b) Si s y t son numeros racionales con t >1= 0, entonces, 1/t es 
racional. 
c) Suponga que a. b, c, d, e y /son numeros reales. Si (.xa. Ya) 
y (.x2, Y2 ) son n6meros reales los cuales satisfacen: · 
ax 1 + by1 = e, e.x 1 + dy 1 =f. 
entonces (x,, y 1 J es igual a (.x2. Y2 ). 
d) Si n es un entero positivo mayor que 1, para e1 cual 2n - 1 es 
un numero primo, entonces n es un n6mero primo. 
e) Si (n - 1 Y. n y (n + 1 ) son tres enteros consecutivos, entonces 
Ia suma de sus cubos es divisible entre 9. 
3.2 Para cada una de las siguientes hip6tesis, utiJice una defmici6n pa-
ra trabajar progresivamente (so1amente un paso). 
a)'Si n es un entero irnpar, entonces n2 es Un entero impar. 
b)Si s y t son n6meros racionales con t :Ia ().,.entonceu/t esra-
cionaL 
c) Si el triatngulo RST es equilatero, entonces el·4rea del trim-
gulo es ..J 3/4 veces el cuadrado de uno de sus lados. 
d) Si el tri4ngulo rectatngulo XYZ de ta figura 2 satisface sen(X) 
= cos (X), entonces el triatngulo XYZ es is6sceles. 
e) Si a, b y c son enteros para los cuales alb y ble, entonces. ale. 
3.3· Escriba tablu· de verdad para las siguientes proposiciones. 
a) El reciproco de "A irnplica B". 
b) El inveno de "A implica B". 
i,C6mo estan relacionados (a) y (b)? 
c) A o B. 
d)AyB. 
e) A y NOB. 
f) (NOA)oB. 
iC6mo esta relacionadaJ) con "A implica B"? 
46 
3.4 Para cada una de las siguientes proposiciones escriba los princi-
pios reciproco, inverso y contrapositivo. 
a) Sines un entero para el cual n2 es par, entonces n es par. 
b) Sires un numero real tal que r2 = 2, entonces r noes racional. 
c) Si el cuadribitero ABCD es un paralelogramo con un 4ngulo 
recto, entonces el cuadriJ.atero ABCD es un rectaingulo. 
d) Si t es un aingulo para el cual sen( f) = cos( f) y 0 < t < 1r, en-
tonces t = 'fr/4. 
3.5 Demuestre que si n es un entero impar, entonces n2 es un ente-
ro impar. 
3.6. Demuestre que sin y m son numeros enteros impares, entonces 
mn es un entero impar. 
3.7 Demuestre que si "A implica B" y "B implica C', entonces ••A 
implica C'. 
3.8 Demuestre que si "A implica B", "B implica C' y "C implica 
A", entonces A es equivalente a B, y A es equivalente a C 
3.9 Suponga que usted tiene una definicion A con Ia forma de una 
proposici6n, as{ como tres definiciones alternativas B. C y D. 
a) ;,Cuaintas demostraciones se requeririan para demostrar que 
A es equivalente a cada una de las tres altemativas? 
b) ;,Cu4ntas demostraciones se requeririan para mostrar que "A 
implica B", "B implica C', "C implica D", y "D implica A"? 
c) Explique por que Ia estrategia en b) es suficiente para estable-
cer que cada una de las alternativas es equivalente a Ia defini-
ci6n original (y a cada una de las otras). 
3.10 Demuestre que si et triangulo rectAngulo UVW con lados u y v, 
e hipotenusa w, satisface sen( U) = ../ u/2v, entonces et triAngulo 
UVW es isosceles: 
a) Utilizando Ia definicion de un triangulo isosceles. 
b) Verificando Ia hip6tesiS' del ejemplo I. 
c) Verificando Ia hip6tesis del ejemplo 3. 
Capitulo 4 
Cuantijicadores 1 a. 
parte: el metodo por 
construcci6n 
En el capftulo anterior usted aprendi6 que unadefinici6n podria utili-
zarse con ~xito para contestar una pregunta de abstracci6n. Los pr6-
ximos cuatro capftulos le proporcionarin otras t~cnicas para formular 
y contestar una pregurtta de abstracei6n que surge cuando B tiene una 
fonna especial. 
Dos fonnas particulares deB aparecen repetidamente ert todas las 
ramas de las matematicas. Estas formas pueden ser identificadas me-
diante ciertas palabras claves que aparecen en Ia ptoposici6n. La 
primera forma contiene Ia palabra "exisre'' r·existen") en tanto que 
Ia segunda contiene las palabras "para todo" ("para cada"). Estos 
dos grupos de palabras se denorninan cuantiftcadores y cada uno de 
ellos dara Iugar a una t~cnica para hacer dernostraciones. El res to de es-
te capttulo trata del cuantificador existencial ••existe" y Ia tecnica de 
demostraci6n correspondiente denorninada metodo porconstruccion. 
El cuantificador universal .. para todo" y su t~cnica de demostraci6n 
asociada se estudianin en el proximo capilulo. 
El cuantificador .. existe" surge de manera natural en muchos pos-
tulados matematicos. Recuerde que se defini6 un numero racional (de-
fmici6n 7) como un numero real que puede ser expresado como el 
cocientc de dosenteros en el cual el denominadoresdiferentede cero. 
47 
Ol,.,tlfltttldorel 1& p~~ne: el mitodo por con~truccl6n 
Esta defmici6n podria tambic!n haber sido escrita usando el cuantifi-
cador "existe ••. 
• Defmici6n 11. Un numero real r es racional si y solo si existen 
enteros p y q, con q ¢. 0, tal que r = p/q. 
Otro ejemplo surge de Ia definici6n altemativa de un entero 
par, Ia cual es un entero que puede expresarse como el producto 
de 2 por alglln entero. Usando un cuantificador para expresar 
esto, se obtiene: 
• Defmici6n 12. Un entero n es par si y s6lo si existe un entero kl 
tal que n = 2k. 
Es importante observar que el cuantificador "existe" permite 
Ia posibilidad de que exista mu de un objeto, como se muestra 
en Ia siguiente definici6n: 
• Definicion 13. Un enteron es el cuadrado de un entero si existe 
un entero k tal que n= k2 • 
Observe que si un enteron (por ejemplo, n = 9) es el cuadrado de 
un entero, usualmente existen dos valores de k, los cuales satisfacen 
n = k2 (en este caso, k = 3 6 -3). En el capitulo II se hablari m4s 
acerca del~ema de Ia unicidad (es decir, de Ia existencia de s6lo uno 
de tales objetos). 
Existen muchos otros ejemplos donde un cuantificador existencial 
puede ser, y sera, utilizado, pero de los ejemplos anteriores usted puede 
ver que tales proposiciones siempre tienen Ia misma estructura basica. 
Cada vez que aparece el cuantificador "existe" o "existen", Ia propo-
sici6n tendni Ia siguiente forma basica: 
Existe un "objeto" con una "cierta propiedad" tal que "algo su-
cede". 
Las palabras entre comillas dependen de Ia proposici6n particular 
bajo consideraci6n, y usted debe aprender a leer, identificar y escribir 
cada uno de los tres elementos. Considere estos ejemplos: 
I. Existe un entero x > 2 tal que (x2 - Sx + 6) = 0. 
Objeto: entero x. 
Cierta propiedad: X > 2. 
Algo sucede: (x2 - Sx + 6) = 0. 
2. Existen n(lmeros reales x y y, ambos > 0, 
tales que (2x + 3y) = 8 y (Sx- y) = 3. 
Objeto: n(uneros reales x y y. 
Cierta propiedad: x > 0, y > 0. 
Algo sucede: (2x + 3y) = 8 y (Sx- y) ::J 3 
"' 
Los matem4ticos usan a menudo el simbolo "E" para abre-
viar la palabra "existe" ("existen") y el sfmbolo "E'' para las 
palabi'Jls ••tat que" ("para el cual", etc.). El uso de esos sfm-
bolos se ilustra en el siguiente ejemplo: 
3. E un 4nsulo t E cos(t) = t. · 
Objeto: 4ngulo t. 
Cierta propiedad: ninguna. 
Algo sucede: cos(t) = t. 
Observe que las palabras .. tal que" (o palabras.equivaleates como 
.. para el cual") siempre preceden al a)go que sucede. Se necesita pric-
tica para llegar a tener tluidez en Ia lectura y escritura de estas propo-
siciones. 
Dmante el proceso regresivo, si alguna -.ez encuentra una proposi-
ci6n que tenga el cuantificador ••existe", una forma en Ia· cual usted 
puede proceder para demostrar que Ia proposici6n es verdadera es me-
diante el m~todo por construccion. La idea es generar (adivinar, pn;;. 
ducir, idear un algoritmo para producir, etc.) el objeto deseado. Desde 
luego que usted debe demostrar que el objeto tiene aqueDa cferta 
propiedad y, tambi~n. el algo que sucede. Lo· que no es muy claro es· 
c6mo se elabora 0 aenera realmente el objeto deseado. Algunas vec:es 
se hani mediante ensayo y error, otras veces, se puede disefta:r aJs6n 
algoritmo para producir el objeto deseado. Todo depende del problema 
en particulu, pero en cualquier caso, Ia informaci6n en Ia propo&ici6n 
A .se · usad indudablemente para realizar el trab~o. Ciertamente, ·Ia 
aparici6n del cuantificador "existe'" augiere recurrit· al proceso Protre-
sivo para producir el objeto deseado. El m6todo por-construcci6a fue 
utilizado sutflmente en el.ejemplo 2 del capitulo 3,.pero el ejempl(ll a 
continuaci6n servinl para aclarar el proceso: 
so Clulnti/ktldon• ltL pt1rte: el mitodo por connrucelon 
Ejemplo 4. Si a, b, c, d, e y {son numeros reales con Ia propiedad de 
que (ad - be) =I= 0, entonces las dos ecuaciones lineales (ax+ by)= e 
y (ex+ dy) = ftienen soluci6n para x y y. 
Explicacl6n detallllda de IG demostraci6n. AI iniciar el proceso regre-
sivo, usted debe observar que, aunque el cuantificador "existe" no 
aparece explicitamente, el postulado B tiene Ia forma estudiada 
anteriormente. Observe que Ia proposici6n B se puede escribir nue-
vamente para que contenga explfcitamente dicho cuantificador; por 
ejemplo: "existeh" numeros reales x y y tales que 
(ax +by)=e y (ex +dy)=F'. 
Usted debe ser cuidadoso ya que los postulados que contienen cuan-
tificadores ''ocultos" se presentan frecuentemente. 
Procediendo con el metodo por construcci6n, Ia pregunta es como 
genera o elabora usted los numeros reales x y y tales que 
(ax +by)=ey (ex +dy)=f. 
Si usted es lo suficientemente h4bil para "adivinar" que 
x =(de- bf)/(ad- be) 
y y = (af- ee)/(ad- be), ent~mces es muy afortunado, pero debe de-
mostrar todavia qqe algo sucede. es decir, que (ax + by) = e y que 
(ex + dy) =f. Por supuesto que lo anterior noes dificil de hacer. Ob-
serve que al adi-vinar esos valores de x y y, usted ha hecho uso de Ia 
informaciOn en A, dado que los denominadores no son iguales a 0. 
Mientras que este enfoque de "adivinar y verificar" es perfectamen-
te aceptable para producir Ia x y Ia y deseadas, el metodo no es ·muy 
informativo en lo que se refiere a c6mo produjo usted esos valores 
particulares. Seria de desearse una demostraci6n mas instructiva. Por 
ejemplo, para obtener los valores de x y y, podria empezar con las dos 
ecuaciones (ax + by) = e y (ex + dy) =f. Despues de multiplicar la 
primera ecuaci6n p~rd y Ia segunda por by, luego, subs traer Ia segunda 
ecuaci6n de Ia primera. se obtiene (ad- be)x =(de- bf). Haciendo 
uso de Ia informacion en A, es posible dividir esta ultima ecuaci6n 
entre (ad - be) dado que, por hip6tesis, este numero no es 0, obte-
niendo por lo tanto x =(de- bf)/(ad- be). 
Ej~rclelo• 
Puede utilizuse un proceso similar para:obtener y = (af- ee)/ 
(ad - be). Recuerde. en este pun to que una· cktmostnci6n es un 
argumento convincente. Como tal, el enunciado ·"Wl pJOCeso similar 
puede utilizarse para obtener y = (af- ee)/(ad- be)" podrfa no ser 
muy comincente, en cuyo caso, una demostraci6n que se dirigiera a 
usted tendrfa que contener los detalles de c6mo se obtiene y. En cual-
quier caso, usted debe todavia demostrar que, para esos valores de x 
y y, (ax+ by) =e y (ex+ dy) =flo que completar.i la demostraci6n. 
Demostl'tlcl6n del ejemplo 4. AI multiplicar Ia ecuaci6n (ax+ by) =e 
por d, y Ia ecuaci6.n (ex+ dy = fpor b, y efectuando Ia diferencia en-
tre las dos ecuaciones, se obtiene (rul- be) x =(de - bf). A partir de 
Ia hip6tesis, (ad- be)¢ 0 y, por lo tanto, dividiendo entre (ad -be) 
se tiene x =.(de - bf)/(ad - be). Un argumento similar muestra que 
y = (af- ee)/(ad- be), y no es dificil verificar que, para estos valo-
res particulares de x y y, (ax+ by) =e y (ex+ dy)=f.f 
El mcHodo por construcci6n no es Ia unica t~cnica disponible para 
tratar con proposiciones ·que contienen el cuantiflcador "existe", pe-
ro trabaja generalmente y deberia considerarse con seriedad. Para tener 
~xito con el m~todo por construcci6n, usted debe convertirse en un 
"constructor" y debe usar su habilidad creadora;paragenerar el obje-
to deseado con aquella cierta propiedad, no olvide ademas demostrar 
que algo sucede. Su "material de construcci.6n" consiste de Ia informa-
ci6n contenida en A. 
EJERCICIOS 
Nota: Todas las demostraciones deber'n contener una explicaci6n de-
tallada de Ia misma, asi como una version condensada. 
4.1 Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique los ob-
jetos, aquella cierta propiedad y el algo que sucede. 
a) En los Himalayas existe una montafta de mu de 20,000 pies 
de altura, Ia cual es mas alta que cuatquier otra montana en 
el mundo. 
b) Existe un entero x tal que x2 - Sx/2 + 3/2 = 0. 
e) A trav~s de un pun to P que no esta en una Unea 2, existe 
una linea 2' que pasa a trav~s de Pia cual es para.lela a 2. 
51 Cutmtlfktldotel 111. p11rte: el