CURSO DERIVADAS

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CURSO DERIVADAS 
 
 
TEORÍA: DEFINICIÓN 
 
La derivada de una función en un punto mide la velocidad a la que varía el valor 
de la función en dicho punto al cambiar el valor de la variable independiente. 
 
La derivada es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en dicho 
punto. 
 
 
 
Si nos fijamos en el gráfico siguiente la pendiente de la tangente es igual: 
 
 
Mide lo que se incrementa “y” (variable dependiente) cuando se incrementa 
la variable independiente “x”. 
 
 
 
Si el intervalo considerado (incremento de x) fuera cada vez más pequeño la 
pendiente de la tangente se iría aproximando cada vez más al incremento de 
la función. 
 
 
 
Por eso la derivada equivale al límite de la variación de la variable dependiente 
“y” cuando la variación de la variable independiente es cada vez menor 
(cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero). 
 
La función derivada (se representa f´(x)) es la función que nos da el valor de la 
derivada de la función f(x) para cada valor de “x”. 
 
El proceso de calcular la función derivada de una función dada se denomina 
diferenciación y entra dentro del área de las matemáticas denominada cálculo 
infinitesimal. 
 
Algunas funciones no tienen derivadas en todos o en algunos de sus puntos 
 
Para que una función sea derivable en un punto tiene que ser continua en 
dicho punto, es decir que pequeños incrementos de la variable independiente 
produzca pequeñas variaciones de la variable dependiente. No obstante, el 
que una función sea continua no garantiza que sea derivable. 
 
Una función es derivable en un punto x si su derivada existe en dicho punto; 
una función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los 
puntos del intervalo. 
 
La derivada de una función puede ser asimismo derivable. La derivada de una 
primera derivada se denomina segunda derivada. También podría existir la 
tercera derivada y así sucesivamente. Este proceso se denomina derivación 
sucesiva. 
 
Cuando una función tiene más de una variable independiente podemos hablar 
de la derivada parcial cuando derivamos la función respecto a una de las 
variables independientes (tratando al resto de variables independientes como 
si fueran constantes). 
 
 
DERIVADAS BÁSICAS 
 
Reglas De Derivación. 
 
I. Derivadas Básicas 
 
a) Derivada de una constante: es igual a cero 
f(x) = k f’(x) = 0 
 
Ejemplo: 
f(x) = 5 f’(x) = 0 
 
 
b) Derivada de una variable de primer grado: es igual a 1 
f(x) = x f’(x) = 1 
 
 
c) Derivada de un coeficiente por una variable de primer grado: es igual al 
coeficiente 
f(x) = a · x f´(x) = a 
 
Ejemplo: 
f(x) = 5x f´(x) = 5 
 
 
d) Derivada de una variable de grado “n”: es igual a “n” por la variable elevado 
a “n – 1” 
 
f(x) = xn f´(x) = n · xn -1 
 
Ejemplo: 
f(x) = x6 f´(x) = 6x5 
 
 
e) Derivada de una variable de grado “n” multiplicada por un coeficiente: es 
igual al coeficiente por el exponente de la variable por la variable elevada al 
exponente menos uno. 
 
f(x) = a · xn f´(x)= a · n · xn-1 
 
Ejemplo: 
 
f(x)= 5x6 f´(x) = 5 · 6 · x5 = 30x5 
 
DERIVADAS DE OPERACIONES 
 
a) Derivada de una suma: Es igual a la suma de las derivadas de los 
sumandos. 
 
f(x) = v + w f´(x) = v´ + w´ 
 
 
Ejemplo: 
f(x)= 3x + 7x f´(x)= 3 + 7 
f(x)= 4x3 + 5x2 + 7x f´(x)= 12x2 + 10x+ 7 
 
 
b) Derivada de una resta: Es la resta de las derivadas de los términos. 
 
f(x)= v - w f´(x)= v´ - w´ 
 
Ejemplo: 
f(x)= 2x - 3x f´(x)= 2 - 3 
f(x)= 5x4 - 6x3 - 2x f´(x)= 20x3 - 18x2 - 2 
 
 
c) Derivada de una función de grado “n”: 
 
f(x)= a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-2x2 + an-1x+ an 
f´(x)= (a0·n·xn-1) + (a1·n-1·xn-2) + (a2·n-2·xn-3) + … + (an-2·2·x) + (an-1) 
 
Ejemplo: 
f(x)= 7x5 + 3x4 - 2x2 + 5 
f´(x)= 35x4 + 12x3 - 2x 
 
 
d) Derivada de un producto: Es la suma de la derivada del primer factor 
por el segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la 
derivada del segundo 
 
f(x)= v · w f(x)= (v´ · w) + (v · w´) 
 
 
Ejemplo: 
 
 
e) Derivada de una constante por una función: Es igual a la constante por 
la derivada de la función. 
f(x)= k · w f´(x)= k · w` 
 
Ejemplo: 
f(x)= 5 · (4x3 - 2x) f´(x)= 5 · (12x3 - 2) 
 
 
f) Derivada de un cociente: Es el cociente de: 
Numerador: Derivada del numerador por el denominador sin derivar menos 
el numerador por la derivada del denominador. 
Denominador: Denominador al cuadrado. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
g) Derivada de una función dividida por una constante: Es igual a la 
derivada de la función dividida entre la constante. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
h) Derivada de una constante dividida por una función: Es igual a menos 
la constante por la derivada de la función, dividido entre la función al 
cuadrado. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
i) Derivada de una potencia: Es igual al exponente por la base elevada al 
exponente menos 1 por la derivada de la base. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
j) Derivada de una raíz cuadrada: Es igual a la derivada del radicando 
dividido entre 2 por la raíz cuadrada del radicando. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
k) Derivada de una raíz de grado “n”: Es igual a la derivada del radicando 
dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado “n” 
del radicando elevado a “n-1”. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
l) Derivada de un logaritmo: Hay dos formas de definirla: 
 
Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida 
por el argumento multiplicado por el logaritmo en base “b” del número “e”. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
También se puede definir: la derivada del argumento “w” dividido por el 
argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de la base 
“b”. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
m) Derivada de un logaritmo neperiano: Es igual a la derivada del 
argumento dividido por el argumento. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
n) Derivada de una función exponencial: Es igual a la derivada del 
exponente por el número elevado al exponente por el logaritmo 
neperiano de la base. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Si la base de la función exponencial es el número “e” su derivada es igual a la 
derivada del exponente por el número elevado al exponente 
 
 
Ejemplo: 
 
 
o) Derivada de una función potencial exponencial: Es igual a la derivada 
de la expresión como función potencial más la derivada de la expresión 
como función exponencial. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Derivadas trigonométricas 
a) Derivada del seno: 
La derivada del seno de una función “w” es la derivada de esa función por el 
coseno de dicha función: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
c) Derivada de la tangente: 
La derivada de la tangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función dividida por el coseno al cuadrado de dicha función: 
 
 
Ejemplos: 
 
 
A partir de la definición de la tangente podríamos llegar a la definición 
anterior: 
 
 
Partiendo de la definición anterior, y aplicando reglas trigonométricas, 
podemos definir la derivada de la tangente de una función de las siguientes 
formas: 
 
 
 
d) Derivada de la cosecante: 
La derivada de la cosecante de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo por el coseno de la función dividido por su seno al 
cuadrado: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Aplicando las reglas trigonométricas esta derivada también la podemos 
definir: 
 
 
 
e) Derivada de la secante: 
La derivada de la secante de una función “w” es igual a la derivada de la función 
por el seno de la función dividido por su coseno al cuadrado de la función: 
 
 
Ejemplos: 
 
 
Aplicando las reglas trigonométricas también la podemos definir: 
 
 
 
f) Derivada de la cotangente: 
La derivada de la cotangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo dividida por el seno al cuadrado dedicha función: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Aplicando las reglas trigonométricas también la podemos definir: 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
a) Derivada del arcoseno: 
La derivada del arcoseno de una función “w” es igual a la derivada de la función 
dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado: 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
b) Derivada del arco coseno: 
 
La derivada del arco coseno de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función 
al cuadrado: 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
c) Derivada del arco tangente: 
La derivada del arco tangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función dividida por 1 más la función al cuadrado: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
d) Derivada del arco cosecante: 
 
La derivada del arco cosecante de una función “w” es igual a menos la derivada 
de la función dividida por el producto de la función por la raíz cuadrada de la 
función al cuadrado menos 1: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
e) Derivada del arco cotangente: 
La derivada del arco cotangente de una función “w” es igual a la derivada de 
la función con signo negativo dividida por 1 más la función al cuadrado: 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
REGLA DE LA CADENA 
 
Cuando tenemos una función compuesta (una función dentro de otra función): 
h(x) = g[f(x)] 
 
Por ejemplo: 
 
h(x) = ln (sen x) 
 
Tenemos una función logarítmica g[f(x)] = ln a 
Cuyo argumento “a” es un función de seno f(x) = sen x 
 
La derivada de la función compuesta es: 
 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
En el ejemplo anterior: 
 
 ; si sustituimos el argumento “a” por su valor 
 
 
Luego: 
 
 
Veamos más ejemplos: 
 
a) h(x) = sen x5 
 
Tenemos una función de seno g[f(x)] = sen (a), siendo “a” una función potencia 
f(x) = x5. 
 
La derivada de la función compuesta es: 
 
g´[f(x)] = cos a; si sustituimos “a” por su valor = cos x5 
f´(x) = 5x4 
 
Luego: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = cos x5 * 5x4 
 
 
b) h(x) = (4x3 + 2x2 – 3x)5 
 
Tenemos una función potencia g[f(x)] = a5, siendo la base “a” una función 
polinómica f(x) = (4x3 + 2x2 – 3x). 
 
La derivada de la función compuesta es: 
 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
Por tanto: 
 
g´[f(x)] = 5a4 ; si sustituimos ”a” por su valor = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4 
f´(x) = (12x2 + 4x– 3) 
 
Luego: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = 5 * (4x3 + 2x2 – 3x)4 * (12x2 + 4x– 3) 
 
 
c) 
 
Tenemos una función exponencial g[f(x)] = 4a cuyo exponente “a” es una 
función polinómica f(x) = 3x. 
 
La derivada de la función compuesta es: 
 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
Por tanto: 
g´[f(x)] = 4a * ln 4; si sustituimos ”a” por su valor = 
f´(x) = 3 
 
Luego: 
 
 
 
d) h(x) = tg (ln x) 
 
Tenemos una función tangente g[f(x)] = tg (a), siendo “a” una función 
logarítmica f(x) = ln x. 
 
La derivada de la función compuesta es: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
Por tanto: 
 
 
 
Luego: 
 
 
 
e) h(x) = sen 23x 
 
Tenemos una función seno g[f(x)] = sen (a), siendo “a” una función exponencial 
f(x) = 23x. 
 
La derivada de la función compuesta es: 
 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
Por tanto: 
 
 
Luego: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = cos 23x * 3 * 23x * ln 2 
 
 
 
f) h(x) = cos (cos 3x) 
Tenemos una función coseno g[f(x)] = cos (a), siendo “a” a su vez otra función 
coseno f(x) = cos 3x. 
 
La derivada de la función compuesta es: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) 
 
Por tanto: 
 
 
Luego: 
h´(x) = g´[f(x)] * f´(x) = -sen (cos 3x) * (-3) * sen 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA CONSTANTE 
 
f(x) = k f´(x) = 0 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA VARIABLE DE PRIMER GRADO 
 
f(x)= k · x f´(x) = k 
 
Siendo “k” una constante. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE PRIMER GRADO 
 
f(x) = ax + b f´(x) = a 
 
Siendo “a” y “b” coeficientes 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE GRADO "n" 
 
f(x) = a · xn + b f´(x)= a · n ·xn – 1 
 
Siendo “a” y “b” coeficientes.: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
DERIVA DE UNA SUMA 
 
La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de los sumando. 
 
f(x) = v + w f´(x) = v´ + w´ 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA RESTA 
 
Derivada de una resta es igual a la resta de las derivadas de los términos. 
 
f(x)= v - w f´(x)= v´ - w´ 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE GRADO "n" DE VARIOS TÉRMINOS 
 
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-2x2 + an-1x + an 
 
f´(x) = (a0 · n · xn-1) + (a1 · n-1 · xn-2) + (a2 · n-2 · xn-3) + … + (an-2 · 2 · x) + (an-1) 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN 
 
La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la 
derivada de la función. 
 
f(x)= k * (w) f´(x)= k * w´ 
 
Ejemplo 
 
 
DERIVADA DE UN PRODUCTO 
 
La derivada de un producto es la suma de la derivada del primer factor por el 
segundo factor sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del 
segundo. 
 
f(x) = v * w f(x) = (v´ * w) + (v * w´) 
 
 
Ejemplo: 
 
f(x) = (5x - 2) · (4x + 3) 
f´(x) = 5 · (4x + 3) + (5x - 2) · 4 = 20x + 15 + 20x - 8 = 40x + 7 
 
 
f(x) = (4x + 7) · (9x - 3) 
f´(x) = 4 · (9x - 3) + (4x + 7) · 9 = 36x - 12 + 36x + 63 = 72x + 51 
 
 
f(x) = (5x2 + 7x) · (3x + 4) 
 
f´(x) = (10x + 7) · (3x + 4) + (5x2 + 7x) · 3 = 30x2 + 40x + 21x + 28 + 15x2 + 21x 
= 45x2 + 82x + 28 
 
 
f(x) = (3x + 4) · (5x3 - 4x2) 
f´(x) = 3 · (5x3 - 4x2) + (3x + 4) · (15x2 - 8x) = 15x3 - 12x2 + 45x3 - 24x2 + 60x2 – 32x 
= 60x3 + 24x2– 32x 
 
 
 f(x) = (2x2 - 8x) · (4x2 – 7x) 
f´(x) = (4x - 8) · (4x2 – 7x) + (2x2 - 8x) · (8x – 7) = 16x3 - 28x2 - 32x2 – 56x + 16x3 – 
14x2 – 64x2 – 56x = 32x3 - 138x2 - 112x 
 
 
 
f(x) = (3x3 - 4x) · (2x5 – 4) 
f´(x) = (9x2 - 4) · (2x5 – 4) + (3x3 - 4x) · 10x4 = 18x7 - 36x2 - 8x5 + 16 + 30x7 – 
40x5 = 47x7 - 48x5 - 36x2 + 16 
 
 
f(x) = (2x5 - 3x2) · (4x3 + 2x) 
f´(x) = (10x4 - 6x) · (4x3 + 2x) + (2x5 - 3x2) · (12x2 + 2) = 40x7 + 20x5 - 24x4 - 12x2 + 
24x7 + 4x5 - 36x4 - 6x2 = 64x7 + 24x5 - 60x4 - 18x2 
 
 
f(x) = (2x3 + 4x2) · (x6 - 2x5) 
f´(x) = (6x2 + 8x) · (x6 - 2x5) + (2x3 + 4x2) · (6x5 - 10x4) = 6x8 - 12x7 + 8x7 - 16x6 + 
12x8 - 20x7 - 24x7 - 40x6 = 18x8 - 56x6 
 
 
f(x) = (3x2 – 2x + 7) · (4x2 - 5x) 
f´(x) = (6x – 2) · (4x2 - 5x) + (3x2 – 2x + 7) · (8x - 5) = 24x3 - 30x2 - 8x2 + 10x + 
24x3 - 15x2 - 16x2 - 10x+ 56x – 35 = 48x3 - 69x2 + 76x - 35 
 
f(x) = (x3 – 2x2 + 4) · (2x4 - 3x2) 
f´(x) = (3x2 – 4x) · (2x4 - 3x2) + (x3 – 2x2 + 4) · (8x3 - 6x) = 6x6 - 9x4 - 8x5 + 12x3 + 
8x6 - 6x4 - 16x5 - 12x3 + 32x3 – 24x = 14x6 - 24x5 - 15x4 + 56x3 – 24x 
 
f(x) = (2x4 – x3 + 4x) · (3x2 – 6x) 
f´(x) = (8x3 – 3x2 + 4) · (3x2 – 6x) + (2x4 – x3 + 4x) · (6x – 6) = 24x5 - 48x4 - 9x4 + 
18x3 + 12x2 - 24x + 12x5 - 12x4 - 6x4 + 6x3 + 24x2 - 24x = 36x5 - 75x4 + 24x3 + 
36x2 – 48x 
 
f(x) = (3x3 + x2 - 2x) · (2x4 + 3x) 
f´(x) = (9x2 + 2x - 2) · (2x4 + 3x) + (3x3 + x2 - 2x) · (8x3 + 3) = 18x6 + 27x3 + 4x5 + 
6x2 - 4x4 - 6x + 24x6 + 9x3 + 8x5 + 3x2 - 16x4 - 6x = 42x6 + 12x5 - 20x4 + 36x3 + 
9x2 - 12x 
 
 
f(x) = (3x + 6) · (5x – 2) 
f´(x) = 3 · (5x – 2) + (3x + 6) · 5 = 15x - 6 + 15x + 30 = 30x +24 
 
 
f(x) = (2x3 – 5x) · (7x2 + 5) 
f´(x) = (6x2 – 5) · (7x2 + 5) + (2x3 – 5x) · 14x = 42x4 + 30x2 - 35x2 - 25 + 28x4 - 
70x2 = 70x4 - 75x2 – 25 
 
f(x) = (5x2 – 4x + 3) · (3x + 2) 
f´(x) = (10x – 4) · (3x + 2) + (5x2 – 4x + 3) · (3) = 30x2 + 20x- 12x- 8+ 15x2 - 12x+ 
9 = 45x2 - 4x+ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DIVIDIDA POR UNA CONSTANTE 
 
La derivada de una función dividida por una constante es igual a la derivada de 
la función dividida por la constante. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
DERIVADA DE UN COCIENTE 
 
La derivada de un cociente es igual al cociente de: 
 
a) Numerador: derivada del numerador por el denominador (sin derivar) 
menos elnumerador (sin derivar) por la derivada del denominador. 
 
b) Denominador: denominador al cuadrado. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA POR UNA FUNCIÓN 
 
La deriva de una constante dividida por una función es igual a menos la 
constante por la derivada de la función, dividido entre la función al cuadrado. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA POTENCIA 
 
La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al 
exponente menos 1 por la derivada de la base. 
 
f(x) = wn f´(x) = n * wn-1 * w´ 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA RAÍZ 
 
La derivada de una raíz de grado “n” es igual a la derivada del radicando 
dividida entre el producto del índice de la raíz por la raíz de grado “n” del 
radicando elevado a “n-1”. 
 
 
 
I. Derivada de la raíz "n" de una variable de Primer Grado. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
1
50 ∗ √𝑥!!" 
II. Derivada de la raíz "n" de una variable de Primer Grado precedido de un 
coeficiente. 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Derivada de la raíz "n" de una variable de grado "p". 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Derivada de la raíz "n" de una variable de grado "p" precedida de un 
coeficiente 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
V. Derivada de una raíz "n" de una variable de grado "p" en el denominador. 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 VI. Derivada de la raíz "n" de una función. 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
−22𝑥!
4𝑥"" ∗ (2 ∗ √𝑥#! )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UN LOGARITMO 
 
Hay dos formas de definirla: 
 
Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida 
por el argumento multiplicado por el logaritmo en base “b” del número “e”. 
 
 
 
También se puede definir: la derivada del argumento “w” dividido por el 
argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de la base 
“b”. 
 
 
 
 
Para resolver las derivadas de logaritmos puede ser útil en algunos casos 
descomponerlos utilizando las propiedades de los logaritmos. A título de 
ejemplo en algunos ejemplos que veremos a continuación utilizaremos dicha 
técnica. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
En el cálculo de la derivada de un logaritmo puede ser muy útil aplicar las 
propiedades de los logaritmos. Por ejemplo, en el caso anterior podríamos 
haber operado de la siguiente manera: 
 
f(x) = log3 x6 = 6 · log3 x 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
 
Esta derivada hubiera sido más fácil resolverla aplicando las propiedades de 
los logaritmos: 
 
 
 
Luego: 
 
 
Aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
Luego: 
 
 
Se podría resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
Luego: 
 
 
 
 
También se podría resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
 
También podemos resolverlo aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
Hemos obtenido el mismo resultado. 
 
 
 
DERIVADA DE UN LOGARITMO EN BASE 10 
 
Se aplica la misma fórmula que para el resto de logaritmos: 
 
Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida 
por el argumento multiplicado por el logaritmo en base 10 del número “e”. 
 
 
 
 
También se puede definir: la derivada del argumento “w” dividido por el 
argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de 10. 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
También lo podríamos resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
Aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
Hemos obtenido el mismo resultado. 
 
 
DERIVADA DE UN LOGARITMO NEPERIANO 
 
Es igual a la derivada del argumento dividido por el argumento. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
También podemos resolverlo aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
 
 
Obtenemos el mismo resultado que por el método anterior. 
 
 
 
 
 
También lo podríamos resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
También lo podríamos resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
 
También lo podríamos resolver aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
Es igual a la derivada del exponente por el número elevado al exponente por 
el logaritmo neperiano de la base. 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE "e" 
 
Si la base de la función exponencial es el número “e” su derivada es igual a la 
derivada del exponente por el número elevado al exponente. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También podemos resolverlo aplicando las propiedades de los logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos el mismo resultado que por el método anterior. 
 
 
 
 
Obtenemos el mismo resultado que por el método anterior. 
 
 
 
 
 
 
Obtenemos el mismo resultado que por el método anterior. 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - SENO 
 
Derivada del Seno. 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS – COSENO 
 
La derivada del coseno de una función “w” es la derivada de esa función con 
signo negativo por el seno de dicha función: 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - DERIVADA DE LA TANGENTE 
 
La derivada de la tangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función dividida por el coseno al cuadrado de dicha función: 
 
 
 
Partiendo de la definición anterior, y aplicando reglas trigonométricas, 
podemos definir la derivada de la tangente de una función de las siguientes 
formas: 
 
f´(x) = w´ · (sec2 w) 
f´(x) = w´ · (1 + tg2 w) 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - DERIVADA DE LA COSECANTE 
 
La derivada de la cosecante de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo por el coseno de la función dividido por su seno al 
cuadrado: 
 
 
 
 
 
Aplicando las reglas de las derivadas trigonométricas, esta derivada también 
la podemos definir: 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - DERIVADA DE LA SECANTE 
 
La derivada de la secante de una función “w” es igual a la derivada de la función 
por el seno de la función dividido por su coseno al cuadrado de la función: 
 
 
 
 
 
Aplicando las reglas de las derivadas trigonométricas también la podemos 
definir: 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS - DERIVADA DE LA COTANGENTE 
 
La derivada de la cotangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo dividida por el seno al cuadrado de dicha función: 
 
 
 
 
Aplicando las reglas trigonométricas también la podemos definir: 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DEL ARCOSENO 
 
La derivada del arcoseno de una función “w” es igual a la derivada de la función 
dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado: 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DEL ARCOSENO 
 
La derivada del arcocoseno de una función “w” es igual a la derivada de la 
función con signo negativo dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función 
al cuadrado: 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DEL ARCO TANGENTE 
 
La derivada del arco tangente de una función “w” es igual a la derivada de la 
función dividida por 1 más la función al cuadrado: 
 
 
 
 
 
Ejemplo:DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DEL ARCO 
COSECANTE 
 
La derivada del arco cosecante de una función “w” es igual a menos la derivada 
de la función dividida por el producto de la función por la raíz cuadrada de la 
función al cuadrado menos 1: 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DEL ARCOSECANTE 
 
La derivada del arco secante de una función “w” es igual a la derivada de la 
función dividida por el producto de la función por la raíz cuadrada de la función 
al cuadrado menos 1: 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS - DERIVADA DE LA ARCO 
TANGENTE 
 
La derivada del arco cotangente de una función “w” es igual a la derivada de 
la función con signo negativo dividida por 1 más la función al cuadrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL EXPONENCIAL 
 
La derivada de una función potencial exponencial es igual a la derivada de la 
expresión como función potencial más la derivada de la expresión como 
función exponencial. 
 
 
 
También podemos resolver esta derivada aplicando logaritmos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivamos esta expresión: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obteniendo el mismo resultado que en la expresión inicial. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
Vamos a resolver ahora este ejercicio aplicando logaritmos: 
 
 
 
 
 
Transformamos: 
 
 
 
Derivamos: 
 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA 
 
Mientras que en una función explícita la variable independiente se localiza en 
uno de los términos y la variable dependiente en el otro: 
 
y = f(x) 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
En la función implícita ambas variables se localizan en el mismo término: 
 
F(x, y) = 0 
 
Por ejemplo: 
 
5y - 3x2 = 0 
 
Para derivar una función implícita hay tres posibilidades: 
 
a) Despejar la variable dependiente “y” y derivar como una función 
normal: 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
Y ahora derivaríamos como una función explícita. 
 
 
 
b) Derivar utilizando las reglas habituales y a continuación despejar y'. 
 
Sabemos que x' = 1 
 
En cambio la variable dependiente “y”, su derivada es la que estamos 
calculando y no tiene por qué ser igual a 1, por ello la dejaremos indicada como 
y'. 
 
Una vez derivada la función despejaremos y'. 
 
Por ejemplo: 
 
Derivamos: 
 
 
 
Y despejamos: 
 
 
 
c) En funciones más complejas es útil aplicar la siguiente regla: 
 
 
Siendo: 
 
Fx la derivada de la función F (x, y) respecto a la variable independiente “x” 
Fy la derivada de la función F (x, y) respecto a la variable dependiente “y” 
 
 
Para aplicar esta fórmula se tiene que cumplir que 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
 
Este es el método que vamos a utilizar en los siguientes ejemplos. 
 
Ejercicios 
 
1.- Dada la función: 
 
 
Pasamos todos los términos al miembro de la izquierda y escribimos la función 
en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
Vamos a derivar nuevamente esta función utilizando el segundo 
procedimiento indicado: 
 
 
 
Derivamos: 
 
 
 
Despejamos: 
 
 
 
2. Dada la función: 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
 
Luego: 
 
 
3. Dada la función: 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
4. Dada la función: 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
5. Dada la función: 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
 
Luego: 
 
 
6. Dada la función: 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
7. Dada la función: 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
 
 
 
 8.- Dada la función: 5 · cos y = 6 · sen x 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y) = 5 · cos y - 6 · sen x 
 
Fx = 6 · cos x 
Fy = 5 · (-sen y) 
 
 
Luego: 
 
 
 
 
 9. Dada la función: sen xy = cos xy 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y) = sen xy - cos xy 
 
Fx = y · cos xy + y · sen xy 
Fy = x · cos xy + x · sen xy 
 
Luego: 
 
 
 
10. Dada la función: 
 
 
Escribimos la función en la forma: 
 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
11. Dada la función: 4xy = 3yx 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y) = 4xy - 3yx 
Fx = 4y · xy-1 - 3yx ·ln y 
Fy = 4xy ·ln x-3x · yx-1 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
CASO DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES 
 
1.- Dada la función: 5x2y- 3xy2 = 7xyz 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = 5x2y- 3xy2 - 7xyz 
 
Fx = 10xy- 3y2 - 7yz 
Fy = 5x2 - 6xy- 7xz 
Fz = -7xy 
 
Luego: 
 
 
 
 
2. Dada la función: ln 3xy + ln 2xz= ln 5yz 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = ln 3xy + ln 2xz- ln 5yz 
 
 
Luego: 
 
 
 
 
3. Dada la función: sen xyz = cos xyz 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = sen xyz - cos xyz 
 
Fx = yz · cos xyz - yz · sen xyz 
Fy = xz · cos xyz - xz · sen xyz 
Fz = xy · cos xyz - xy · sen xyz 
 
Luego: 
 
 
 
 
 
 
4. Dada la función: 3xyz + 5yxz = 8zxy 
 
 
 
Escribimos la función en la forma: F (x, y, z) = 3xyz + 5yxz - 8zxy 
 
Fx = 3yz ·xyz-1 + 5z · yxz · ln y - 8y · zxy · ln z 
Fy = 3z · xyz · ln x + 5xz ·yxz-1 – 8x · zxy · ln z 
Fz = 3y · xyz · ln x + 5x · yxz · ln y – 8xy ·zxy-1 
 
Luego: 
 
 
Función de dos variables independientes 
En una función con 2 variables independientes f(x, y) podemos derivar 
individualmente respecto a cada una de estas variables. Estaríamos calculando 
la primera derivada parcial de la función respecto a la variable utilizada. La otra 
variable se comportaría como una constante. 
 
Para calcular estas derivadas parciales se aplican las mismas fórmulas que 
hemos utilizado en las derivadas de funciones con una sola variable 
independiente. 
 
1ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente 
“x”: 
 
 
 
 
1ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente 
“y”: 
 
 
 
Si volviéramos a derivar la primera derivada parcial de la función respecto a la 
variable utilizada obtendríamos la segunda derivada: 
 
2ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente 
“x”: 
 
 
 
 
 
2ª derivada parcial de la función f (x, y) respecto a la variable independiente 
“y”: 
 
 
 
Si la primera derivada parcial respecto a la variable “x” la deriváramos respecto 
a la variable “y” obtendríamos la derivada cruzada de la función f (x, y) 
respecto a ambas variables, también denominada derivada segunda de la 
función con respecto a las variables “x” e “y”: 
 
 
 
 
ATENCIÓN: obtendríamos el mismo resultado si deriváramos primero respecto 
a la variable “x” y luego respecto a la variable “y” que si lo hiciéramos en el 
orden inverso, primero sobre la variable “y” y luego sobre la variable “x”. 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
1. f(x, y) = 4x3 + 5y2 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: Partimos de la primera 
derivada parcial respecto a “x” y la derivamos respecto a “y” (también 
podríamos haber partido de la primera derivada parcial respecto a “y” y la 
derivar respecto a “x”). 
 
 
 
 
2. f(x, y) = 5x - 3y4 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
3. f(x, y) = 6y - 2y3 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primeraderivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
4. f(x, y) = 7x3 + 5x2 + 4 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
5. f(x, y) = 5xy – 3 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
6. f(x, y) = 4x3y2 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
7. f(x, y) = 4x3y2 + 3x3 + 2y – 6 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
8. f(x, y) = 7x2y2 – 2xy+ 3 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
9. f(x, y) = 8x3y – 4xy2 + 3x2 – 4y2 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
10. f(x, y) = 2x3 * (5xy3 + 3xy) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
11. f(x, y) = 4xy * (4x2y+ 2y) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
12. f(x, y) = 5x2 * (7x2 – 3y2) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
13. f(x, y) = 4y2 * (2x3 + 4y) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
14. f(x, y) = (5x- 2y) * (3x+ 4) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
 
15. f(x, y) = (2x+ 3y) * (5x+ 7y) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16.f(x, y) = (3x2 + 5y3) * (4x3 - 2y5) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
17. f(x, y) = (3y2 + 2xy) * (2x4 - 3x2y) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
18. f(x, y) = ex + eY 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
19.f(x, y) = e3XY + e2Y 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
20.- f(x, y) = 53XY + xy2 + 3x4 - 5y2 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
21. f(x, y) = y * sen x 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
22. f(x, y) = sen (x2) * cos (y2) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
23. f(x, y) = sen (3x4 + 2y2) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
24. f(x, y) = ln (5x2 - 3y) 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 25. f(x, y) = 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN DE TRES VARIABLES INDEPENDIENTES 
 
1. f(x, y, z) = 5x4 + 3y2 – 2z4 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: Partimos de la primera 
derivada parcial respecto a “x” y la derivamos respecto a “y” (también 
podríamos haber partido de la primera derivada parcial respecto a “y” y 
derivar respecto a “x”). 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “z”: 
 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “z”: 
 
 
 
2. f(x, y, z) = 5x2y4z3 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: Partimos de la primera 
derivada parcial respecto a “x” y la derivamos respecto a “y” (también 
podríamos haber partido de la primera derivada parcial respecto a “y” y 
derivar respecto a “x”). 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “z”: 
 
 
 
Segundaderivada respecto a “xy” y respecto a “z”: 
 
 
 
 
 
3. f(x, y, z) = e3x + 2y – 5z 
 
Primera derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “x”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “y”: 
 
 
 
Primera derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada parcial respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “y”: Partimos de la primera 
derivada parcial respecto a “x” y la derivamos respecto a “y” (también 
podríamos haber partido de la primera derivada parcial respecto a “y” y la 
derivar respecto a “x”). 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “z”: 
 
 
 
Segunda derivada respecto a “x” y respecto a “z”: 
 
 
 
DERIVADAS SUCESIVAS 
 
Cuando derivamos una función obtenemos la primera derivada f´(x) 
Si derivamos esta primera derivada obtenemos la segunda derivada f´´(x) 
Si derivamos esta segunda derivada obtenemos la tercera derivada f´´´(x) 
Si derivamos esta tercera derivada obtenemos la cuarta derivada f´´´´(x) 
Y así sucesivamente. 
 
Las derivadas segunda y sucesivas de f(x) se denominan derivadas de orden 
superior de f(x). 
 
 
Ejemplo: 
 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
 
Algunas funciones se pueden derivar un número limitado de veces: 
El primer ejemplo que hemos visto: 
 
Su derivada quinta sería: f´´´´´(x) = 480 
 
Y su derivada sexta: f´6 (x) = 0 
 
Mientras que otras funciones se pueden derivar infinitas veces, como el 
segundo ejemplo que hemos visto. 
 
 
Derivadas enésima 
 
En algunas funciones se puede deducir una fórmula que nos permite calcular 
cualquier derivada sucesiva. A esta fórmula se le denomina derivada enésima 
f´n (x). 
 
 
Veamos un ejemplo: 
 
f(x) = e2x 
 
Su primera derivada: f´(x) = 2 * e2x 
 
Su segunda derivada: f´´(x) = 4 * e2x 
 
Su tercera derivada: f´´´(x) = 8 * e2x 
 
Su derivada enésima es: f´n (x) = 2n * e2x 
 
Esta fórmula nos permite calcular cualquier derivada sucesiva: 
 
Por ejemplo: 
 
Su sexta derivada: f´6 (x) = 26 * e2x 
 
Veamos otro ejemplo: 
 
f(x) = ln x 
 
 
 
Esta fórmula nos permite calcular cualquier derivada sucesiva: 
 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 
 
1. ¿Qué es una función inversa? 
 
La función inversa o función recíproca de una función dada y = f(x) es aquella 
función f-1 (x) que a partir de un valor “y” calcula el valor “x” que lo origina. 
 
Si f(a) = b 
 
Entonces: 
 
f-1 (b) = a 
 
a) Veamos un ejemplo: 
 
y = 3x 
 
Para calcular su función inversa despejamos la “x”: 
 
 
 
Como en esta función la variable “y” funciona como variable independiente 
pasa a denominarse “x”: 
 
 
Veamos cómo funciona: 
 
Por ejemplo, si x = 2 entonces y = 3 * 2 = 6 
 
 
 
 
Vemos como al aplicar la unción inversa, partiendo del valor “y = 6” que 
habíamos obtenido en la función directa, obtenemos f-1 (x) = 2 (valor inicial de 
x) 
 
b) Veamos otro ejemplo: 
 
 
 
Para calcular su función inversa despejamos la “x”: 
 
y * (x + 3) = x – 3 
 
xy + 3y = x – 3 
 
xy - x = –3 – 3y 
 
x * (y - 1) = –3 – 3y 
 
 
 
Por lo tanto la función inversa es: 
 
 
 
Veamos cómo funciona: 
 
Si x = 1 entonces: 
 
 
 
Ahora utilizamos la función inversa: 
 
 
 
 
 
c) Un tercer ejemplo: 
 
 
 
Para calcular su función inversa despejamos la “x”: 
 
Elevamos ambos miembros al cubo: 
 
 
 
Veamos cómo funciona: 
 
Por ejemplo, si x = 8 entonces: 
 
 
 
Ahora utilizamos la función inversa: 
 
f-1 (x) = 23= 8 (valor inicial de x) 
 
 
2. Derivada De Una Función Y Derivada De Su Función Inversa 
 
La derivada de una función y la derivada de su función inversa son funciones 
recíprocas. 
 
 
 
Ambas funciones derivadas cumplen: 
 
 
 
 
Veamos los tres casos anteriores: 
 
a) y = 3x 
 
Su derivada: 
 
y´ = 3 
 
Su función inversa es: 
 
 
 
Y la derivada de la función inversa es: 
 
 
Podemos comprobar que: 
 
 
 
 
 
Vamos a comprobar que: