Gua 2

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo Semestre 2013.
MAT 1610 ∗ GUIA N◦2
Derivadas.
Problemas del texto gúıa. (Sexta edición)
Secciones: 2.7; 2.8; 3.1 .
Problemas adicionales.
1. Usando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones, en los puntos
indicados:
a) f(x) = 3x2 + 2 en x = 2 b) g(x) =
√
x− 6 en x = 15
c) h(x) = sen(x) en x =
π
2
d) j(x) =
x− 2
x
en x = 4
e) k(x) =

x2 sen
(
1
x
)
, si x 6= 0
0 , si x = 0
en x=0
f) l(x) = cos(3x) en x =
π
3
g) r(x) = x+
1
x
en x = 2
2. Calcule la derivada en el punto indicado:
a) f(x) = 4x5 + 2x3 − 6x en x = 3
b) g(x) =
x+ 6
x− 2
en x = 1
c) h(x) =
t
x2 − 4
en x = 4
d) g(x) =
(√
x− 1√
x
)3
en x = 4
3. Si f(10) = −1
2
, g(10) = 6 , f ′(10) =
1
3
, g ′(10) = 8. Encontrar :
a) (5 f + g) ′(10) b)(6 f · g − 9 g) ′(10)
c)
(
f
g
) ′
(10) d)
(
1
g
− g
f
) ′
(10)
4. Estudie la continuidad y la derivabilidad de :
f(x) =

xn sen
(
1
x
)
, x 6= 0
o , x = 0
para n ∈ N
5. Estudie la continuidad de f(x) y de f ′(x) si
f(x) =

x2 + x− 1 , x < 1
x3 , x ≥ 1
6. Determine los valores de m y b de modo que la función:
f(x) =

sen(x) , x < π
mx+ b , x ≥ π
sea cont́ınua y derivable en x = π
7. Determine f ′(a), si f(x) = (x− a)ϕ(x) y la función ϕ(x) es cont́ınua en x = a.
8. Si f(x) = 3x2− 5x encuentre f ′(2) y use este resultado para encontrar la ecuación de
la recta tangente a la parábola y = 3x2 − 5x en el punto (2, 2).
9. Decida si la recta tangente a la curva f(x) = x3 − 3x2 − 9x en el punto (−1, 5) es
paralela a la recta y = 2.
10. Encuentre el punto, donde la tangente al gráfico de f(x) = (x + 2)3(x − 1)2 en el
punto (2, 8) intersecta al eje vertical.
11. Halle la ecuación de la recta normal a la curva f(x) =
x2 + 1
x3 + 1
en el punto de abcisa 0.
12. Dada la curva y = x3.
a) ¿En qué puntos de ésta curva la tangente corta al eje X en (1, 0)?
b) ¿En qué punto de ésta curva la tangente es paralela a la recta 12x− y = 16?
13. Determine la relación que deben cumplir a, b y c ∈ R para que la función:
f(x) = ax2 + bx+ c
sea tangente al eje X.
14. Dada la función f(x) = x+ x2.
a) Determine f ′(x) usando la definición.
b) Grafique f(x)
c) ¿Para que valores de x ∈ R se tiene que f ′(x) = 0?
d) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes T1 y T2 a f(x) en los puntos x = 0
y x = −1 , respectivamente. Demuestre que el punto de intersección de T1 y T2 se
ubica en el eje de la parábola.