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Competencia y Mercado
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproductos
F. Coloma, R. Harrison y J.M. Sánchez
Inst. de Economía UC
1 sem 2017
Coloma, Harrison & Sánchez (Inst. de Economía UC) C y M 1 sem 2017 1 / 19
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Monopolio Multiproducto (Tirole)
Variedad Fija.
¿Cómo actuará óptimamente el monopolista?
¿De qué dependerá?.
De la manera en que se relacionan los costos y las demandas.
Ejemplo:
Monopolista (Windows + O¢ ce).
Monopolista (ESPN; FOX SPORT).
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Problema:
Una �rma que produce n bienes, i = 1, ..., n.
Un vector de precios para los n bienes: p = (p1, p2, ..., pn) .
Un vector de cantidades: q = (q1, q2, ..., qn) .
Costos de producción de q: C (q1, ..., qn) = C (q).
Demanda del bien i : qi = Di (p) .
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso A (Benchmark)
Las demandas son independientes: Di (p) = Di (pi ), y
Existe separabilidad de costos: C (q) = ∑i Ci (qi ).
Para estas condiciones el problema es equivalente a �n�decisiones de
un monopolista simple, es decir:
Max
pi
piDi (pi )� Ci (Di (pi )) i = 1, ..., n
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso A (Benchmark)
CNPO [pi ] :
Di (pmi ) +D
0
i (p
m
i ) p
m
i � C
0
i (Di (p
m
i ))D
0
i (p
m
i ) = 0
pmi � C
0
i (Di (p
m
i )) = �
Di (pmi )
D 0i (p
m
i )
pmi � C
0
pmi
=
1
ηi
Índice de Lerner 8i = 1, ..., n
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso B (Caso General)
Max
p
π = ∑
i
piDi (p)� C (D1 (p) , ...,Dn (p))
con i = 1, ..., n ∂π∂pi = 0 8i = 1, ..., n.
CNPO [pi ] :
Di (p) + pi
∂Di (p)
∂pi
+∑
j 6=i
pj
∂Dj (p)
∂pi
�∑
j
∂C
∂qj
∂Dj (p)
∂pi
= 0 (1)
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso B.1: Demandas Dependientes, Costos Separables
qi = Di (p) .
C (q1, ..., qn) =
n
∑
i
Ci (qi ) .
Dado esto último, la ecuación (1) queda:
Di (p) + pi
∂Di (p)
∂pi
+∑
j 6=i
pj
∂Dj (p)
∂pi
�
"
∑
j 6=i
∂Cj
∂qj
∂Dj
∂pi
+
∂Ci
∂qi
∂Di
∂pi
#
= 0
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso B.1: Demandas Dependientes, Costos Separables
pi � C´i
pi
=
1
ηi
+∑
j 6=i
�
pj � C´j
� 1
ηi
Djηji
Dipi
pi � C´i
pi
=
1
ηi
+∑
j 6=i
�
pj � C´j
� 1
ηi
Djηji
Ri
ηi > 0 elasticidad precio del bien i
ηji =
∂Dj
∂pi
pi
Dj
? 0 elasticidad precio cruzada del bien j con el precio del
bien i .
Ri Ingreso por venta del bien i .
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso B.1: Demandas Dependientes, Costos Separables
Interpretación:
Caso (a) bienes sustitutos
ηji > 0
�!Índice de Lerneri > 1ηi .
Un incremento en el precio del bien i (" pi ) aumenta la demanda en
el bien j (" qj ).
Este efecto sólo lo "internalizo" si produzco conjuntamente. Si los
productos se produjeran en �rmas independientes (cada una
maximizara individualmente) se conseguiría un precio demasiado bajo.
Es decir si son independientes competirían.
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Caso B.1: Demandas Dependientes, Costos Separables
Caso (b) bienes complementarios
ηji < 0
�!Índice de Lerneri < 1ηi
Una baja en el precio de i (# pi ) aumenta la demanda por el bien j
(" qj ).
Incluso podría ser bene�cioso vender algunos de los productos a
precios menores que el costo marginal. Índice de Lerner negativos.
Conclusión: un monopolista multiproducto determinará su vector de
precios óptimos de tal forma que considere los efectos de precios
sobre las distintas demandas.
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 1 (Goodwill)
Considere un monopolio que produce un bien, el cual puede ser vendido en
dos períodos t = 1, 2 a dos grupos de individuos. No son sustitutos para
evitar D1 (p1, p2) .
q1 = D1 (p1) y C1 (q1)
q2 = D2 (p1, p2) y C2 (q2)
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 2 (Goodwill)
Con ∂D2∂p1 < 0 �! η21 < 0; η12 = 0
π (p1,p2) = π1 + δπ2 (p1, p2)
π (p1,p2) = p1D1 (p1)� C1 (D1 (p1)) + δ [p2D2 (p1,p2)� C2 (D2 (p1,p2))]
con δ factor de descuento.
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 1 (Goodwill)
∂π
∂p2
=
∂π2
∂p2
= 0
�! p�2 (p1)
�! π�2 (p1)
CNPO
∂π
∂p1
=
∂π1
∂p1
+ δ
∂π�2
∂p1
(p�2 (p1) , p1) = 0
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D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 1 (Goodwill)
Usando el Teorema de la Envolvente.
∂π
∂p1
=
∂π1
∂p1
+ δ
∂π�2
∂p1
= 0
∂π
∂p1
=
∂π1
∂p1
+ δ
�
p�2 (p1)
∂D2
∂p1
� ∂C2
∂q2
∂D2
∂p1
�
= 0
∂π
∂p1
=
∂π1
∂p1
+ δ [p�2 � CMg2]
∂D2
∂p1
= 0
∂π
∂p1
= D1 + p1
∂D1
∂p1
� CMg1
∂D1
∂p1
+ δ (p�2 � CMg2)
∂D2
∂p1
= 0
Coloma, Harrison & Sánchez (Inst. de Economía UC) C y M 1 sem 2017 14 / 19
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Demandas Relacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 1 (Goodwill)
D1 + (p1 � CMg1)
∂D1
∂p1
= �δ (p�2 � CMg2)
∂D2
∂p1
p1 � CMg1
p1
=
1
η11
� δ (p
�
2 � CMg2)
p1
∂D2
∂p1
∂p1
∂D1
�! p�1 < pm
Coloma, Harrison & Sánchez (Inst. de Economía UC) C y M 1 sem 2017 15 / 19
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Costos Relacionados
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 2 (Learning by Doing)
Es similar al problema del monopolista multiproducto con demandas
independientes con la diferencia de que sus costos interdependientes.
El monopolista produce un único bien en dos periodos consecutivos.
La demanda en el periodo t es qt = Dt (pt ) (independiente entre
periodos)
Coloma, Harrison & Sánchez (Inst. de Economía UC) C y M 1 sem 2017 16 / 19
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Costos Relacionados
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 2 (Learning by Doing)
Características de los costos:
C1(q1) - función de costo del primer periodo.
C2(q1, q2) - función de costo del segundo periodo.
∂C2
∂q1
< 0
∂C2
∂q2
> 0
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DemandasRelacionadas I: Sustitutos y Complementarios
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 3 (Learning by Doing)
El monopolista resuelve:
Maxp2,p2fp1D1(p1)�C1(D1(p1))+ δp2D2(p2)� δC2(D1(p1),D2(p2))g
Coloma, Harrison & Sánchez (Inst. de Economía UC) C y M 1 sem 2017 18 / 19
D. Determinación de Precios Óptimos en Empresas Multiproducto
Costos Relacionados
Monopolio Multiproducto
Ejemplo 2 (Learning by Doing)
Dado que el periodo 2 no tiene un efecto en el periodo 1, el problema
es estándar:
CPO:
∂Π
∂p2
= 0, δD2(p2) + δp2D 02(p2) = δ
∂C2
∂D2
D 02(p2), MR2 = MC2
∂Π
∂p1
= 0, D1(p1) + p1D 01(p1) = δ
∂C1
∂D1
D 01(p1) + δ
∂C2
∂D1
D 01(p1)
, p1 +
∂p1(q1)
∂q1
q1 = MC1 + δ
∂C2
∂D1
) MR1 < MC1
q�1 es mayor que la cantidad en el equilibrio estático. En el corto
plazo se sacri�can ganancias.
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