Contabilidad y Toma de Decisiones

Vista previa del material en texto

1 
 
Contabilidad y Toma de Decisiones 
 
Profesor: Vincent Van Kervel 
Vicente García Casassus 
vsgarcia@uc.cl 
 
 
 
Utilidad Esperada y Riesgo Pg. 2 
 
Información y Decisiones Pg. 5 
 
Mercado de Capitales Pg. 9 
 
Fundamentos del Valor Presente Pg. 16 
 
Matemáticas Financieras Pg. 23 
 
Estructura de la tasa de interés y duración Pg. 26 
 
Valoración de activos, pasivos y acciones de empresas Pg. 32 
 
 
 
 
 
 
Este material está basado principalmente en los libros: Decisiones Bajo Incertidumbre, Eduardo 
Walker H. y Finanzas Corporativas, J. Berk & P. DeMarzo. 
Las letras ennegrecidas corresponden a conceptos nuevos. 
Más material en: https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M 
 
mailto:vsgarcia@uc.cl
https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M
VGC 
 
2 
 
Utilidad Esperada y Riesgo 
- Por años el comportamiento frente al riesgo se ha modelado como si el individuo maximizara su 
utilidad esperada, teniéndole aversión (desagrado) al riesgo. 
- Con respecto a la utilidad esperada hay que trabajar con dos supuestos básicos: 
1- El agente prefiere más riqueza a menos. El bienestar crece con la riqueza. Se obtiene 
matemáticamente con una primera derivada positiva. 
2- Es averso al riesgo, prefiere tener la menor cantidad de riesgo posible. Se obtiene a partir de la 
segunda derivada menor que cero. 
- El riesgo se puede traducir como la incertidumbre sobre la riqueza futura. Un individuo será averso 
al riesgo siempre y cuando su función de utilidad sea positiva y decreciente, primera derivada 
positiva y segunda negativa, respectivamente. 
- Trabajamos con una función de utilidad indirecta que depende de la riqueza (w): U = U(w) se mide 
en unidades de bienestar (útiles). 
- Las funciones de utilidad no necesariamente son lineales, dependerán de la forma en que se 
determina dicha función. Por ejemplo: 
 
- Supongamos que tenemos un juego en el cual uno tiene una riqueza inicial (w) y que podemos 
obtener una ganancia (G) con una probabilidad determinada (p). A su vez, uno puede tener una 
pérdida (- G) que ocurre con una probabilidad (1 – p). Si establecemos que nuestra función de 
utilidad dependerá de f(w), podemos establecer los siguientes conceptos: 
- A partir de esto podríamos estipular que la riqueza esperada (E(w)), la ponderación de la riqueza 
según sus probabilidades va a ser igual a: 
p(w + G) + (1 – p)(w – G) 
- Por otro lado, tenemos la utilidad esperada (EU(w)), al valor subjetivo que se asocia a una 
determinada decisión, es la esperanza estadística del valor que el individuo da al resultado asociado 
a esa decisión, la cual depende de la riqueza. Esta es la probabilidad de cada suceso por la utilidad 
que otorgaría el resultado, es decir: 
EU(w) = p f(w + G) + (1 – p) f(w – G) 
VGC 
 
3 
 
- El último concepto (y el menos relevante) corresponde a la utilidad de la riqueza esperada (U(Ew)), 
la cual es la utilidad que se obtiene a partir de la suma de la riqueza que se espera: 
f(p(w + G) + (1 – P)(w – G)) 
- Por ejemplo, si podemos obtener $100 con una probabilidad de 0,2 y $400 con una probabilidad 
0,8, los tres valores correspondientes a los conceptos recién vistos, teniendo en consideración una 
función de utilidad igual a U(w) = w0,5, son: 
1- Riqueza esperada: 0,2 x $100 + 0,8 x $400 = $340 
2- Utilidad esperada: 0,2 x 1000,5 + 0,8 x 4000,5 = $18 
3- Utilidad de la riqueza esperada: (0,2 x 100 + 0,8 x 400)0,5 = 18,439. 
- El hecho de que haya una aversión al riesgo implicará que la función de utilidad sea cóncava y que 
la pendiente de la utilidad marginal sea positiva y decreciente. 
- Entre otras las propiedades podemos encontrar: 
1- El agente es racional por lo que busca maximizar su utilidad. 
2- Hay independencia entre las opciones. 
3- Se cumple la regla de la transitividad. 
- El equivalente cierto (w*) equivale a la mínima riqueza que se está dispuesto a recibir a cambio de 
la riqueza actual. 
- Por ejemplo: Una lotería ofrece un premio de $180.000 y $91.111,1 con probabilidades 0,1 y 0,9, 
respectivamente. Si la función de utilidad es igual al log (w), ¿cuál es el equivalente cierto? 
EU(w) = 0,1 log (180.000) + 0,9 log (91.111,1) = 5 
U(w*) = EU(w) 
log(w*) = 5 
w* = 105 
 
- En otras palabras: w* = U-1(EU(w)). 
- A menudo es más fácil encontrar la respuesta gráficamente que algebraicamente. 
- Si existe aversión al riesgo se cumple que E(w) > w*. 
- En cuanto a la aversión al riesgo y la varianza de la riqueza tenemos un caso más particular. Si 
utilizamos función expresada como la expansión de Taylor con respecto a “a” obtenemos: 
f(x) = ∑
f(𝑎)′(𝑥−𝑎)𝑎−1
𝑎!
 
- Si nos centramos en la serie hasta el segundo orden de U(w) alrededor de E(w) obtenemos: 
U(w) = U(Ew) + U’(Ew)(w – Ew) + 0,5U’’(Ew)(w – Ew)2 
- Tomando el valor esperado y una varianza σ2: 
EU(w) = U(Ew) + 0,5 σ2 U’’(Ew) 
- Por lo tanto, U’’ < 0 implica que U(Ew) > EU(w) y si U’’ > 0 entonces U(Ew) < EU(w). 
- El segundo término no se considera en la ecuación ya que E(w – Ew) es cero. 
- En general, el riesgo de un proyecto puede expresarse por la varianza de sus pagos. Mientras mayor 
sea la varianza, mayor es la incertidumbre a esperar. 
VGC 
 
4 
 
- A los juegos o a las loterías se les conoce como prospects. Estos prospects han sido utilizados para 
estudiar la teoría de la utilidad esperada como un modelo de toma de cisiones bajo riesgo. 
- Resulta que las personas no son economistas tan racionales como se esperaba, es decir, se violan 
los axiomas de la teoría de la utilidad esperada. 
- Existen muchos sesgos de comportamiento, dentro de los principales encontramos: 
1- Certainty effect: Corresponde al efecto sicológico producido como resultado de la reducción de 
una posibilidad “certera” (100%) a “probable”. Un individuo viola los axiomas de racionalidad 
cuando ve que las posibilidades de las opciones cambian. 
2- Framing effect: Las personas reaccionan de maneras distintas ante una misma situación 
dependiendo de cómo se les presente el problema. 
3- Loss aversion: Fuerte tendencia de la gente a evitar pérdidas monetarias antes de conseguir 
ganancias monetarias equivalentes. 
- Debido a estos sesgos, Kahneman y Tversky establecen que la función de utilidad de las personas 
no es lineal, sino que varía acorde al valor actual del prospect. 
- Las personas tienen preferencias reflejadas en torno al punto cero o el origen, es decir, cuando los 
resultados son positivos tienen una función de utilidad cóncava y cuando los resultados son 
negativos tienen función de utilidad convexa. 
- Gráficamente se presenta de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
5 
 
Información y decisiones 
- En el día a día nos enfrentamos a una gran variedad de problemáticas de distintos grados. Cuando 
la problemática tiene más de una posible opción de solución estamos frente a una decisión. Una 
decisión es la acción o respuesta ante una problemática. 
- Cuando se cumplen los axiomas microeconómicos (perfecta información, principalmente),el 
resultado es predecible, no hay incertidumbre. Hay un solo estado de la naturaleza posible. Sin 
embargo, cuando hay incertidumbre puede haber más de un estado. 
- Se utilizan los estados de la naturaleza, las variables exógenas afectan en la toma de decisiones, 
para modelar la incertidumbre en la toma de decisiones. 
- Corresponde a la descripción exhaustiva y excluyente del entorno relevante una vez tomada una 
decisión. 
- Un ejemplo de la combinación de estos dos conceptos sería el siguiente: 
- Un empresario llega al banco en búsqueda de un préstamo para su firma, está convencido de que 
obtendrá los $10.000.000 que necesita. El banco estudia la situación financiera de la firma y tiene 
que decidir si el riesgo el préstamo es beneficioso para ellos. 
- A partir de esta situación se pueden visualizar dos alternativas de decisión: 
1- D1: Se le otorga el préstamo al empresario. 
2- D2: No se le otorga el préstamo al empresario. 
- Y, a la vez, existen dos posibles estados de naturaleza: 
1- S1: El empresario devuelve el monto más los intereses correspondientes. 
2- S2: El empresario no devuelve lo correspondiente. 
- Para analizar las consecuencias de la decisión asociadas a cada estado se puede utilizar una matriz 
de pagos donde las columnas corresponden a la decisión tomada y la fila al estado de naturaleza 
resultante, es decir, C(S, D). 
 
 D1 D2 
S1 C(1, 1) C(1, 2) 
S2 C(2, 1) C(2, 2) 
 
- Continuando con el problema, el banco debe hacer dos cosas. Primero debe cuantificar en base a 
algún patrón de medida las consecuencias de cada una de las decisiones en los distintos estados de 
la naturaleza. 
- Segundo, debe ponderar las posibles consecuencias asociadas a cada decisión para determinar cuál 
es la decisión más conveniente. 
- Supongamos que el banco tiene una función de utilidad definida, que le permite asociar un número 
de utiles a cada consecuencia. En este sentido, la función permite cuantificar las consecuencias 
potenciales de la decisión. 
- Lo que restaría por hacer es ponderar cada uno de los posibles resultados asociados a cada decisión 
para determinar cuál es la decisión más óptima. 
- En este paso se utilizan las probabilidades del suceso. A partir de la ponderación de la estadística 
con los utiles obtenidos, el banco podrá ver qué opción le brindará una mayor utilidad esperada. 
VGC 
 
6 
 
- Ahora supongamos que el banco aún no ha otorgado el préstamo ya que quieren estar seguros de 
la inversión, por lo que buscan los estados financieros de la empresa. Ahora el banco se enfrenta a 
otra disyuntiva: “¿Espero a encontrar los estados financieros (EEFF) o le doy el préstamo?”. 
- En este sentido, enfrentan la decisión de “comprar” información adicional ya que debe esperar a 
conseguir los estados financieros, lo cual tiene un costo en términos de tiempo. 
- El estado financiero puede mostrar las condiciones de la empresa y su posición con respecto a otras 
deudas que pueda tener con otros bancos y si las ha ido pagando o no. 
- El banco se enfrenta a nuevas decisiones: “compro” o “no compro” la información. Si decide 
comprar la información, deberá esperar la señal (estado financiero) antes de tomar la decisión de 
dar o no el préstamo: la empresa suele pagar sus deudas o si no las suele pagar, y1 o y2, 
respectivamente. 
- Si recibe las señales y1, y2 o si decide no esperar, en cada uno de los casos el banco puede decidir 
dar o no el préstamo. Por lo tanto, deben buscar cual sería la decisión óptima si recibiera la señal 
y1 o y2. 
- Para encontrar el óptimo usará las probabilidades revisadas (π) para cada encontrar la utilidad 
esperada en cada uno de los casos, es decir, calcular la utilidad esperada que produce cada estado 
de la naturaleza dado que recibió la información y1 o y2. 
- Con las probabilidades revisadas podemos crear un proceso de decisión perfectamente 
especificado (PDPE) se incluya todas las variables, es decir, PDPE: (S, D, π, U). 
- Se conoce como información perfecta a aquella que predice con un 100% de probabilidad el estado 
de naturaleza resultante. Cuando hay más de un estado de la naturaleza, debe haber al menos la 
misma cantidad de señales o información. 
- La señal o información imperfecta es aquella que entrega una nueva probabilidad de un resultado, 
pero no llega a la perfecta certeza. 
- Hay elementos que pueden intervenir en la PDPE: las probabilidades subjetivas y la forma en que 
la nueva información se utiliza para revisar dichas probabilidades. Este proceso de revisión de 
probabilidades se realiza utilizando el Teorema de Bayes. 
- En el contexto de un PDPE, es necesario modelar la forma en que los agentes económicos revisan 
sus creencias ante nueva información, para esto tenemos que tener en cuenta los estados de la 
naturaleza, las señales o información, probabilidades a-priori y las probabilidades realizadas. 
- Lo que se busca es ver cómo varía la toma de decisiones con un sistema de información (conjunto 
de señales) dado, si conviene tomar el costo del sistema (ya sea en tiempo o monetario) y la máxima 
disposición a pagar por ello. 
- Usemos el caso anterior del empresario que acude al banco, pero esta vez otorguémosle 
probabilidades a los sucesos. 
Un empresario llega al banco en búsqueda de un préstamo para su firma, está convencido de que 
obtendrá los $10.000.000 que necesita. El banco tiene que analizar si le conviene o no otorgar el 
préstamo. No es primera vez que el empresario acude el banco, por lo que revisando los registros 
vemos que el cliente suele pagar lo acordado el 70% de los casos. Dado la tendencia a pagar, se le 
establece un interés del 15% y en caso de no pago, el banco suele recuperar el 90% del préstamo. 
Si colocamos la información en una tabla obtenemos: 
 
VGC 
 
7 
 
P(Y/S) P(S) 
El cliente paga (S1) 0,7 
El cliente no paga (S2) 0,3 
P(Y) 1 
 
A partir de ello podemos calcular la riqueza esperada del banco en cada decisión: 
No otorga el préstamo: E(w) = $10.000.000. 
Otorga préstamo: E(w): 1,15 x $10.000.000 x 0,7 + 0,3 x 0,9 x $10.000.000 = $10.750.000. 
Si el banco busca maximizar la riqueza esperada, va a elegir otorgar el préstamo. 
Supongamos que el director del banco manda a realizar un análisis más profundo, pide que se 
analicen los sus estados financieros (EEFF) de la empresa del cliente cuando hicieron negocios en 
las oportunidades anteriores. Se dieron cuenta de que cuando la empresa tiene un capital de 
trabajo positivo (EEFF bueno), el cliente paga un 90% de las veces y que cuando el EEFF es “malo”, 
el cliente no paga el 60% de las veces. 
A partir de esta nueva información creamos una nueva tabla con las probabilidades de los sucesos: 
 
P(Y/S) EEFF Bueno (Y1) EEFF Malo (Y2) P(S) P(S/Y1) P(S/Y2) 
Cliente paga 0,9 0,1 0,7 0,84 (C) 0,28 (E) 
Cliente no paga 0,4 0,6 0,3 0,16 (D) 0,72 (F) 
P(Y) 0,75 (A) 0,25 (B) 1 1 1 
 
Esta tabla se lee como: la probabilidad de que el EEFF sea bueno/malo dado que el cliente paga. Es 
por esto que la suma horizontal debe ser 1 y no necesariamente la vertical. Luego, las 
probabilidades revisadas se obtuvieron de la siguiente manera: 
A: 0,9 x 0,7 + 0,4 x 0,3 = 0,75 B: 0,1 x 0,7 + 0,6 x 0,3 = 0,25 
C: 0,9 x 0,7 / A = 0,84 E: 0,1 x 0,7 / B = 0,28 
D: 0,4 x 0,3 / A = 0,16 F: 0,6 x 0,3 / B = 0,72 
Por lo tanto, dependiendo de la información que se obtenga sobre el estado actual de la empresa 
(EEFF bueno o malo) podremos ver qué decisión será más conveniente. 
- La toma de decisiones se puede modelar utilizando un árbol de decisiones. A continuación, se 
presenta un árbol de decisiones del ejemplo anterior: 
VGC 
 
8 
 
 
 
Si la información entrega que el cliente tiene EEFF bueno tenemos dos opciones: 
No dar crédito: E(w) = $10.000.000 
Dar crédito: E(w) = 0,16 x 0,9 x $10.000.000 + 0,84 x $10.000.000 x 1,15 = $11.100.000 
Podemos ver que dar crédito entrega una mayor riqueza esperada. 
Sila información entrega que el cliente tiene EEFF malo tenemos dos opciones: 
No dar crédito: E(w) = $10.000.000 
Dar crédito: E(w) = 0,72 x 0,9 x $10.000.000 + 0,28 x $10.000.000 x 1,15 = $9.700.000 
Podemos ver que no dar crédito entrega una mayor riqueza esperada. 
- Para determinar la máxima disposición a pagar por el sistema de informaciones, o el valor esperado 
de la información muestral, sólo hay que ver en cuánto aumenta la riqueza esperada total. 
- Esto ocurre sólo con personas que son indiferentes al riesgo, ya que en caso de ser aversas, se 
realiza el mismo procedimiento, pero en vez de la riqueza esperada total se usa el equivalente cierto 
respectivo. 
- Para esto hay que considerar las mayores riquezas esperadas en caso de recibir cada información y 
sumarlas, considerando sus respectivas posibilidades de ocurrencia. Es decir: 
ET(w) = 0,75 x $11.100.000 + 0,25 x $10.000.000 = $10.850.000 
- Dado que la riqueza esperada total es $100.000 más que antes, este es el valor máximo que se le 
entrega al conjunto de información. 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
9 
 
Mercado de Capitales 
- Aunque entendemos el principio general que explica por qué a los inversionistas no les gusta el 
riesgo y piden una prima por correrlo, nuestro objetivo ahora es cuantificar la relación. 
- Diferentes valores tienen diferentes precios iniciales, pagan cantidades distintas de dividendos, y 
se venden por diferentes cantidades futuras. Sus desempeños se expresan en términos de sus 
rendimientos. 
- El rendimiento indica el aumento porcentual del valor de una inversión por peso invertido en el 
título al inicio. Cuando una inversión es riesgosa, existen diversos rendimientos que podría generar. 
- Cada posible rendimiento tiene una probabilidad de ocurrencia que se resume por medio de una 
distribución de probabilidad, que asigna una probabilidad (p) al evento de que suceda cada posible 
rendimiento (R). 
- Dada la distribución de probabilidad de los rendimientos, se calcula el rendimiento esperado o 
rendimiento medio como el promedio ponderado de los rendimientos posibles: E(R) = ∑ p x R. 
- Dos medidas comunes del riesgo de una distribución de probabilidad son la varianza (Var) y la 
desviación estándar (SD). La varianza es la esperanza de la diferencia al cuadrado entre un posible 
rendimiento y el rendimiento esperado, y la desviación estándar es la raíz de la varianza, es decir: 
Var(R) = E(R – E(R))2 = ∑ p x (R – E(R))2 
SD(R) = Var0,5 
- La varianza se puede considerar como una medida de cómo se “dispersa” la distribución del 
rendimiento, mientras que la desviación estándar de un rendimiento se conoce como la volatilidad 
de este. 
- De todos los rendimientos posibles, el rendimiento obtenido (Rt+1) es aquel que ocurre durante un 
periodo de tiempo en particular. Éste será igual a la suma del rendimiento del dividendo y la tasa 
de ganancia de capital. Matemáticamente: 
Rt+1 = 
Divt+1+ Pt+1
Pt
 – 1 
- En otras palabras, el retorno en términos de porcentaje dependerá del monto entregado en el 
primer dividendo y el nuevo precio con respecto al precio inicial. 
- Por lo general uno no se va después del dividendo, sino que reinvierte por lo que, para ver la 
rentabilidad de una acción, hay que considerar todos los dividendos entregados. 
- Si suponemos que la empresa ABC entrega dividendos trimestralmente y queremos calcular la 
rentabilidad anual de una de sus acciones entonces debemos reemplazar en la siguiente ecuación: 
1 + Ranual = (1 + RQ1) (1 + RQ2) (1 + RQ3) (1 + RQ4) 
- Cuando las acciones se mantienen en el largo plazo (más de un año), se pude buscar su promedio 
anual, desviación estándar, varianza, etc. Con esto podríamos determinar si vale la pena seguir 
invirtiendo en dicha acción o no. 
- El promedio se obtiene al sumar todas las rentabilidades anuales y dividirlas por la cantidad de años. 
- La desviación estándar y la varianza se obtienen utilizando las fórmulas anteriores. 
VGC 
 
10 
 
- Para estimar el costo de capital de una inversión se necesita determinar el rendimiento esperado 
que los inversionistas pedirán para compensarlos por el riesgo que corren en su inversión. 
- Si se acepta que la distribución de los rendimientos pasados y la de los futuros en la misma, un 
enfoque sería mirar el rendimiento que esperaban ganar los inversionistas en el pasado por 
inversiones iguales o similares, y suponer que requerirían el mismo rendimiento en el futuro. 
- El problema es que aquí hay una pequeña dificultad, igual que con todas las estadísticas, habrá un 
error de estimación. 
- El error estándar es la desviación estándar del valor estimado de la media de la distribución real 
alrededor de su valor verdadero, es decir, es la desviación estándar del rendimiento promedio. 
 
- Esta misma fórmula se puede usar para calcular la desviación estándar de un conjunto de opciones 
idénticas (en media y varianza). Por ejemplo: Farmacias Ahumada tiene 10 fármacos a la espera de 
ser aprobados. Si se aprueban, cada uno de los fármacos le entregará $100 a F.A., sino, entrega $0. 
La probabilidad con que se apruebe un medicamento es del 50%. ¿Cuál es la desviación estándar? 
SD(fármaco 1) = (0,5 ($100 – $50)2 + 0,5 ($0 – 50$)2)0,5 = $50 
SD(10 fármacos) = $50/100,5 = $15,81 
- Utilizando los intervalos de confianza, podemos aumentar o disminuir el error estándar 
dependiendo de qué tan seguros estemos de la muestra. 
- Si bien, uno puede invertir en instrumentos que presenten distintos niveles de riesgo, hay quienes 
son completamente aversos al riesgo por lo que prefieren invertir en instrumentos de utilidad 
cierta, como los bonos del gobierno. 
- El rendimiento excedente es la diferencia entre el rendimiento promedio para la inversión y el 
rendimiento promedio de los bonos del gobierno (o títulos del Tesoro). 
- A medida que aumenta la desviación estándar, aumenta la volatilidad de las acciones, sin embargo, 
no hay una relación proporcional entre el rendimiento esperado y la volatilidad. 
- ¿Por qué pueden ser tan diferentes, en términos de riesgo, los portafolios de acciones, incluso si se 
tienen acciones similares entre si? Porque hay riesgos comunes y riesgos independientes que 
enfrenta cada acción. 
- Por ejemplo, supongamos una cartera que está compuesta por 100 tipos de acciones chilenas, en 
la que podemos ver distintos tipos de acciones: agua, electricidad, minería, tecnología, etc. 
- Si llega a haber un periodo de varios sismos en Chile, todas las acciones se verían afectadas por este 
suceso ya que todas están sometidas al mismo riesgo común. Sin embargo, si el crecimiento de 
China cae debido a una crisis, el valor de la acción minera va a caer debido a que está sujeta a un 
riesgo independiente. 
- El promedio de riesgos independientes en una cartera grande se llama diversificación. Esta 
diferencia se cuantifica en términos de la desviación estándar del porcentaje de bajas de acciones. 
- En primer lugar, consideremos la desviación estándar de una acción minera en particular. Y que al 
comienzo del año se avisa que se espera un 1% de probabilidad de que China tenga un 
VGC 
 
11 
 
desaceleramiento. Al final del año veremos si efectivamente hubo un desaceleramiento (100%) o 
no (0%). Podemos calcular la desviación estándar de la baja de la acción minera: 
SD(baja) = Var(baja)0,5 
SD(baja) = [0,99 x (0 – 0,01)2 + 0,01 x (1 – 0,01)2]0,5 
SD(baja) = 9,95% 
- Ahora, si suponemos que todas las otras acciones tienen la misma probabilidad de bajar su precio 
(por distintas razones), y que, dado que son independientes, podríamos calcular el riesgo del 
portafolio utilizando la fórmula de error estándar: 
SD(porcentaje de baja de acciones) = 
9,95%
√100
 = 0,995%. 
- Entonces, casi no hay riesgo para este portafolio de acciones. 
- Para poder determinar el valor de una acción deberemos utilizar un modelo de valuación en la que 
se pueda relacionarlos flujos de efectivo futuros de la empresa (estados de la naturaleza), su costo 
de capital y el precio de la acción. 
- En otras palabras, dada información exacta de dos las variables ya mencionadas permitirían hacer 
inferencia sobre la tercera. Por lo que, si manejamos los flujos de efectivo futuro y su costo de 
capital, deberíamos poder ser capaces de determinar el precio de una acción. 
- De este modo, la forma en que se utilice un modelo de valuación dependerá de la calidad de la 
información, el modelo nos dirá lo máximo sobre la variable para lo que nuestra información 
anterior era menos confiable. 
- Dado que muchos inversionistas poseen la información suficiente para determinar el valor 
aproximado de una acción, el mercado considera cada una de ellas y encuentra un valor acorde un 
punto medio del total de las valuaciones. 
- Si existiera información que indicara que la compra de ciertas acciones tiene un valor presente (VP) 
positivo, los inversionistas que tuvieran esta información buscarían comprar la acción. Como el 
mercado aumenta su expectativa con respecto a esta acción, entonces el valor de la acción también 
sube. 
- La idea de que la competencia entre inversionistas funciona para eliminar todas las oportunidades 
de intercambio con VP positivo se conoce como hipótesis de mercados eficientes. Esto implica que 
los títulos tendrán un precio justo, con base en sus flujos de efectivo futuros, dada toda la 
información que tienen los inversionistas. 
- En palabras más bonitas, según esta hipótesis el precio de una acción revelará con precisión su 
posición en el mercado, acorde a su flujo de efectivo en el futuro (expectativa). El precio de una 
acción se mantendrá constante hasta que haya una nueva información. Información que pasa de 
ser privada a pública también se considera como nueva. 
- La información que se encuentra disponible para todos los inversionistas incluye aquella que 
aparecen en las noticias, estados financieros públicos, etc. En fin, todo tipo de información pública 
o fácil de interpretar. 
- Se esperaría que algunos inversionistas lograran calcular el nuevo valor de la acción dada la noticia 
y trataran de sacarle algún provecho, solo para encontrar que el mercado ya había ajustado el 
precio de la acción a penas se anuncia la noticia, o incluso antes. 
VGC 
 
12 
 
- En otras palabras, se espera que la hipótesis de los mercados eficientes se cumpla con respecto a 
este tipo de información. 
- Por el contrario, existe información privada o difícil de interpretar. Las cuales se pueden obtener 
debido a información proveniente desde dentro de una empresa, empleados, estados financieros 
aun no publicados, etc. O bien, puede que se anuncie una noticia que sólo los expertos en el tema 
entienden que es lo que implica. 
- Como es más difícil adquirir esta información, sólo algunos logran sacar provecho de ella. Por lo que 
esta información privilegiada comienza a tener un valor. Cuando los inversionistas comiencen a 
transar la acción, su precio en el mercado se ajustará. En este caso la hipótesis de mercados 
eficientes no se cumple estrictamente, ya que sólo en el largo plazo el precio reflejará el valor de la 
información. 
- El efecto de la competencia con base en la información de los precios de las acciones tiene 
consecuencias importantes para los inversionistas (demandantes) y los administradores 
corporativos, es decir, la empresa (oferente). 
- Los inversores buscan maximizar su utilidad esperada, compran o venden acciones al precio 
observado, pero no recibe el valor fundamental (el verdadero valor de una acción), que es incierto. 
Se someten a un trade-off entre el retorno y el riesgo. 
- Si el precio es igual al valor esperado dada la información que se tenía, se puede obtener una 
ganancia esperada. 
- El objetivo de la empresa va de la mano con la oferta de sus acciones, especialmente si es una oferta 
pública inicial (OPI) o Initial Public Offer (IPO). Quieren general la mayor cantidad de capital posible 
para sus inversiones, esta se logra estableciendo un precio justo de mercado. 
- Si las acciones se valúan con justicia de acuerdo con los modelos descritos, entonces el valor de la 
empresa queda determinado por los flujos de efectivo que paguen a los inversionistas. Esto tiene 
varias implicancias para los administradores. 
- Un administrador que busque aumentar el valor de las acciones deberá hacer inversiones que 
aumenten el flujo de efectivo libre (saldo disponible para pagar a los accionistas) y que aumente el 
VP. 
- No centrarse en las utilidades contables, sino en los flujos de efectivo libre ya que el mercado valora 
una empresa según una expectación. Con mercados eficientes, la empresa vende sus acciones a un 
precio justo a los inversionistas. Debido a esto, si tiene VP positivo no debería tener problemas para 
financiar sus inversiones). 
- Una oportunidad de arbitraje es una situación en que dos valores con flujos de efectivo idénticos 
tienen precios diferentes, así se puede comprar la que esté barata o vender la cara. El tema es que 
en un mercado normal no existen estas oportunidades. 
- La hipótesis de mercados eficientes dice que los títulos con riesgo equivalente tienen el mismo 
rendimiento esperado (por lo que las oportunidades de arbitraje no ocurrirían). Sin embargo, no 
hay razón para esperar que la hipótesis se cumpla a la perfección ya que es una idealización de los 
mercados competitivos. 
- Para estudiar esta hipótesis requerimos establecer supuestos: 
VGC 
 
13 
 
1- Mercado de Capitales Perfectos: no hay fricciones (intereses iguales para todos, comisión igual 
a cero, etc.), ni impuestos, hay información pública fácil de leer y al alcance de todos, etc. 
2- Expectativas Homogéneas: todos los agentes tienen el mismo nivel de análisis sobre la 
información. Sus expectativas se generan a base de la información, no de subjetividades. 
3- Neutralidad Frente al Riesgo. 
- Los supuestos anteriores son condiciones suficientes para que se cumpla la HME, pero no son 
condiciones necesarias. Muchos de los resultados pueden generalizarse más allá del ámbito 
aplicado por los supuestos. 
- Por ejemplo, si se relaja el supuesto del NFR, debe considerarse explícitamente el “riesgo” en que 
se incurre al comprar n activo o proyecto. Solo se considerará el riesgo como un atributo indeseado 
que tiene el activo, y que es medible. 
- A partir de ello surgirían mercados de riesgo ya que a mayor riesgo se espera mayor utilidad 
esperada también (por peso pagado). Para efectos de análisis supondremos que la relación entre 
riesgo y utilidad esperada es lineal. Se utilizará el concepto de “utilidad esperada por unidad de 
riesgo”. 
- Matemáticamente, podemos encontrar la utilidad esperada de un instrumento volátil (µ) al sumar 
la tasa de descuento del mercado (r) más la prima de riesgo (valor dado) por la unidad de riesgo (β). 
Es decir: µ = r + PR β. 
- Comprender las complejidades que implicaría relajar los supuestos de MCP y EH es aún más 
complicado. En general, cuando estos supuestos no se cumplen, no es razonable suponer que el 
mercado se comporta en forma eficiente-fuerte ya que no se garantiza acceso igualitario a la 
información. 
- Los precios deben ser impredecibles ya que de lo contrario todos los agentes sacarían ganancias. 
Esto se debe a que la información también es impredecible de por sí. 
- Todos los precios de las acciones son justas, por lo que cualquiera puede comprar una acción sin 
tener información sobre el tema y, aun así, tener un precio justo. 
- Un inversor experto, que solo tiene acceso a información pública, no puede superar al mercado 
(solo con información privada puede). Esto implica que todos los inversores son iguales, 
independiente de su experiencia. 
- A partir de estos supuestos surgen una paradoja. Si todo el mundo obtiene ganancias cero, entonces 
no habrá incentivo para tranzar ni leerlas noticias. Cuando la gente comienza a salir del mercado 
de capitales, las ganancias comienzan a subir ya que el mercado se empieza a volver ineficiente, por 
lo que vuelve a entrar nuevos agentes. Se entra en un ciclo infinito. 
- La solución es que algunos inversionistas negociarán por razones que no son de información (como 
las AFP, que no negocian si solamente hay información). 
- ¿Qué significa que un mercado sea eficiente? Para responder esta pregunta hay que distinguir dos 
casos: 
1- Eficiencia con respecto a información actualmente disponible: Eficiencia en un instante. 
2- Eficiencia con respecto a nueva información: Eficiencia a través del tiempo. 
- El primer caso se puede asociar a un sistema de información y el segundo a una señal específica, 
que a su vez da paso a un nuevo sistema de informaciones. 
VGC 
 
14 
 
- Se supone que con el paso del tiempo los inversionistas acumulan experiencias y datos 
(información). En base a este sistema de información se estiman las probabilidades asociadas a los 
flujos de caja futuros, determinando los precios actuales. 
- En los sistemas de información van surgiendo señales nuevas a través del tiempo, las que permiten 
revisar las probabilidades y con ellas se van ajustando los precios. 
- Por lo anterior surgen dos problemas con el juego: 
1- Determinar si el mercado está utilizando “correctamente” un sistema de información 
determinado. 
2- Determinar si el mercado reacciona “adecuadamente” al recibir una señal de su sistema de 
información. 
- Esto permite construir la definición general de mercado eficiente. 
1- El mercado es eficiente con respecto al sistema de información si al revelarse cualquier señal 
factible proveniente del sistema al mercado los precios de los activos no cambian. El mercado 
siempre reacciona antes que los inversores frente a información ya dada. 
2- Un mercado eficiente reacciona ajustando los precios en forma instantánea e insesgada ante 
nueva información (cualquier información proveniente del sistema de información que utiliza 
el mercado). Ante información nueva se ajustan automáticamente los precios a un nivel 
adecuado. No hay mal valoraciones. 
- Si estas dos condiciones se cumplen, entonces la HME se cumple incondicionalmente siempre y 
cuando las condiciones sean válidas para todo sistema de información en cualquier periodo. Pero 
si las condiciones son válidas para todo sistema de información en un periodo, entonces la HME es 
eficiente con respecto al sistema de información. 
- Fama popularizó tres definiciones de eficiencia al identificar el sistema de información de referencia 
utilizado en las definiciones de más arriba. Los tipos de eficiencia son: 
1- Débil: Historia de precios. 
2- Semi-fuerte: Toda la información pública (incluyendo historia de precios). 
3- Fuerte: Toda la información pública y privada. 
- ¿Como se interpreta esto? En el primer caso sería: el mercado será eficiente en su forma débil si al 
revelar el sistema de información que surge de los precios históricos, los precios no reaccionan. 
- En otras palabras, si el mercado ya ha utilizado correctamente la información contenida en los 
precios históricos para determinar los precios actuales, entonces el mercado será eficiente en su 
forma débil. 
- Las definiciones también se pueden aplicar a los retornos esperados. Si fuera posible encontrar 
“estrategias” de inversión basadas en información histórica de precios (que ofrezcan 
reiteradamente una rentabilidad sobre normal), entonces habría evidencia en contra de la 
eficiencia débil. 
- Ya que la única forma de obtener grandes rentabilidades reiteradamente es que el mercado está 
determinando mal los precios. 
- Lo general es considerar al mercado con eficiencia semi-fuerte, es decir, que el mercado utiliza 
correctamente toda la información pública relevante para determinar los precios. 
VGC 
 
15 
 
- En el contexto de nuestro modelo, ganarle al mercado significa ser capaz de encontrar una 
estrategia de inversión que consistentemente brinde un retorno superior a la media. 
- En una economía social de mercado los precios son los grandes asignadores de recursos. Los 
recursos “van” hacia los sectores más rentables. 
- En los mercados de capitales se determinan los precios de atributos difíciles de valorar si el mercado 
no existiera. Por lo tanto, si los precios reflejan adecuadamente la información disponible, estos 
constituyen una mejor guía para la asignación de recursos escasos bajo incertidumbre. 
- En este sentido, un mercado más eficiente hará que se tomen mejores decisiones de inversión y 
consumo bajo incertidumbre, lo que contribuye a crear riqueza y aumentar el bienestar social. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
16 
 
Fundamentos del valor presente 
- Hasta el momento sólo hemos estudiado el precio sin arbitraje por títulos individuales, pero 
también hay implicancias para las carteras de valores. 
- Consideremos dos títulos, A y B. Supongamos que un tercer título, C, tiene los mismos flujos de 
efectivo que A y B en conjunto. En este caso, el título C es un equivalente cierto. 
- Debido a que C es equivalente a la cartera de A y B deberían tener el mismo precio. Esta idea 
conduce a la relación que se conoce como aditividad del valor: 
Precio (C) = Precio (A + B) = Precio (A) + Precio (B) 
- Si no se cumpliera esta condición daría origen a oportunidades de arbitraje. 
- En el mundo real, también existen títulos con riesgo. Para calcular el precio de un título riesgoso 
debe descontarse el flujo de efectivo que se espera en promedio con la tasa que iguala a la que está 
libre de riesgo más una prima por riesgo apropiada. 
- Esto ya había sido mencionado en un punto anterior, se tiene un factor de descuento lineal de la 
siguiente manera: 
- Matemáticamente, podemos encontrar la utilidad esperada de un instrumento volátil (µ) al sumar 
la tasa de descuento del mercado (r) más la prima de riesgo (valor dado) por la unidad de riesgo (β). 
Es decir: µ = r + PR β. 
- El riesgo de un título de valores debe evaluarse respecto de las fluctuaciones de otras inversiones 
en la economía. La prima por riesgo de un título será mayor entre más tienda a variar un 
rendimiento con la economía en su conjunto y el índice de mercado. 
- Si los rendimientos del título de valores varían en forma inversa al índice de mercado, ofrece un 
seguro y tendrán una prima negativa por riesgo. 
- Cuando hay costos de transacción, el arbitraje mantiene los precios de los bienes y valores 
equivalentes muy cerca el uno del otro. Los precios podrían desviarse, pero no más allá del costo 
de las transacciones del arbitraje. 
- Supongamos que tenemos un activo de capital, pero no conocemos su valor o simplemente no le 
creemos al precio que le otorga al mercado. 
- A partir de esta situación habría que preguntarse ¿Cuánto es lo mínimo a lo que estoy dispuesto a 
vender este activo y cuánto es la máxima disposición a pagar por el activo? 
- El mejor estimador sería utilizar el valor que le entrega el mercado de activos de capital a un activo 
similar (sustituto). A esta comparación se le conoce como valor presente. 
- Este valor existo sólo si hay un mercado de capitales ya que de no haber mercado de capital, no hay 
tasa de interés, por lo que este concepto perdiría sentido. 
- El primer paso para evaluar un proyecto consiste en identificar sus costos y beneficios. Por ejemplo, 
si tengo una empresa de reventa de computadores donde compro un computador a $1.000 y lo 
vendo en $1.500. Por lo que el valor de la empresa es de $500 por periodo. 
- Obviamente, en el mundo real los cálculos son más complejos ya que se deben dominar otras 
disciplinas de la administración como el marketing, la economía, el comportamiento 
organizacional y las operaciones. 
VGC 
 
17 
 
- Siempre que se comercializa un bien en un mercadocompetitivo (un bien se compra y vende al 
mismo precio en un determinado día), el precio determina el valor en efectivo. 
- Las cosas cambian cuando no se tienen los precios del mercado competitivo, el precio se basa en la 
opinión o creencia de quien vende el bien. Además, no necesariamente se puede comprar y vender 
al mismo precio (si voy a una tienda puedo comprar un determinado computador, pero no puedo 
vender ese mismo computador en la tienda). 
- Para la mayor parte de las decisiones financieras (a diferencia de los casos anteriores), los costos y 
beneficios se perciben en periodos distintos de tiempo. Lo normal sería comprar un computador en 
$1.000 y tener que esperar unos días o semanas hasta poder venderlo en $1.500. 
- Pero, debido a que existe la inflación, el poder de adquisición de una moneda va cayendo con el 
tiempo. A la diferencia de valor entre el dinero de hoy y el dinero en el futuro se le denomina valor 
del dinero en el tiempo. 
- Para un periodo dado, se define como la tasa de interés a la que el dinero se proporciona, o recibe 
un préstamo, sin riesgo, durante dicho periodo, es decir, una tasa de interés libre de riesgo. 
- Al igual que con otros precios de mercado, la tasa de interés libre de riesgo depende de la oferta y 
demanda. 
- Como la espera tiene un costo, ahora habrá que tomar decisiones sujetas a esta nueva restricción. 
Si suponemos que hay una tasa de interés libre de riesgo del 10% por semana y que por lo general 
cada computador se vende a las 5 semanas, hay que calcular el valor presente entre la diferencia 
del beneficio y del costo, es decir, el valor presente neto. 
VPN = $1.500/(1 + 0,1)5 – $1.000 = – $68,61 
- Como podemos ver, comprar y vender no tiene mucho sentido ya que mientras el computador se 
mantuvo en inventario, empezó a perder valor ya que el poder adquisitivo del dinero fue cayendo. 
- Al tomar una decisión de inversión, hay que aceptar la alternativa con VPN más grande. Elegir esta 
alternativa es equivalente a recibir su VPN, en efectivo, hoy. 
- Independientemente de si necesito el ingreso hoy o en el futuro, se busca maximizar el VPN ya que 
después se puede pedir un préstamo. 
- Se conoce como arbitraje a la práctica de comprar y vender bienes equivalentes en mercados 
distintos para sacar ventaja de una diferencia de precios. Debido a que una oportunidad de 
arbitraje tiene VPN positivo, los inversionistas siempre buscarán aprovecharla. 
- Las oportunidades de arbitraje son como el dinero tirado a la calle, una vez que alguien se dé cuenta, 
aprovechará la oportunidad y dejará de estar disponible para los demás. 
- Un mercado competitivo en el que no hay oportunidades de arbitraje recibe el nombre de mercado 
normal. 
- En un mercado normal, el precio de un bien tiene que ser igual en todos los mercados, como el 
precio del oro en Londres y Nueva York, ya que de lo contrario los inversionistas buscarían comprar 
en el más barato y vender en el más caro. Aquí surge la ley de precio único. 
- Una oportunidad de inversión que se comercializa en un mercado financiero se conoce como título 
de valores financieros o un título. Un ejemplo típico de un título son los bonos. 
VGC 
 
18 
 
- Si la tasa de interés libre de riesgo es de un 5% anual y quisiera tener $1.000 en el próximo año. En 
caso de irse a la segura y dejarlo en un depósito a largo plazo, deberíamos dejar $952,38 
($1.000/1,05). 
- La otra opción sería buscar un bono a ese mismo valor. Sin embargo, puede haber mal valoraciones, 
si el de venta del bono es de $940 (por ejemplo), convendría comprarlo y esperar a que dé frutos. 
Si el bono está sobrevaluado, entonces está la opción de venderlo en corto. 
- Se ha demostrado que con cualquier precio distinto de $952,38 existe una oportunidad de arbitraje 
para el bono. Así, en un mercado normal, el precio de éste debe ser de $952,38. A éste se le 
denomina el precio sin arbitraje del bono. 
- Como ya se mostró, el precio sin arbitraje se calcula al traer a valor presente todos los flujos de 
efectivo que entrega el título. 
- Que no haya arbitraje equivale a decir que todas las inversiones libres de riesgo ofrecen a los 
inversionistas el mismo rendimiento. A partir de esto podemos deducir que el VPN de todos los 
bonos es igual a cero. 
- Otra manera de ver esta última parte es recordar que toda operación comercial tiene dos partes, 
alguien que compra y alguien que vende. Si una compra el bono ya que para nosotros tienen un 
VPN positivo entonces para el vendedor hay un VPN negativo, lo cual no tiene sentido ya que 
conscientemente estaría perdiendo dinero. 
- En los mercados normales, la comercialización de los títulos no crea ni destruye valor. Este se genera 
por proyectos de inversión real que la compañía emprende, como el de desarrollar productos o 
tecnologías nuevas. 
- Las transacciones financieras no son fuentes de valor, sino que sirven para ajustar los plazos y riesgo 
de los flujos de efectivo que se ajustar mejor a las necesidades de la firma de sus inversionistas. 
- Una consecuencia importante de este resultado es la idea de que se puede evaluar una decisión 
con el estudio de sus componentes reales, en vez de los financieros. Es decir, es posible separar la 
decisión de invertir de la empresa de su elección financiera. Este concepto recibe el nombre de 
principio de separación de Fisher. 
- Las transacciones de títulos de valores en un mercado normal no crean ni destruyen valor por sí 
mismas. Por ello, se puede evaluar el VPN de una decisión de invertir en forma separada de la 
decisión que la empresa tome acerca de cómo financiar la inversión de un título en particular. 
 
Ejemplo: Su empresa estudia un proyecto que requeriría una inversión inicial de $10 millones hoy 
y produciría para ella un flujo de efectivo de $12 millones dentro de un año. En vez de pagar toda 
la cantidad de $10 millones que requiere la inversión con sus propios recursos, la compañía 
considera obtener fondos adicionales con la emisión de un título que pagaría a los inversionistas 
$5.5 millones en un año. Suponga que la tasa de interés libre de riesgo es de 10%. ¿Emprender este 
proyecto sería una decisión buena si no se emitiera el título nuevo? ¿Lo sería si se emite el título? 
 
Sin emitir el título, el VPN = 
$12MM
1,1
 – $10MM = $0,91MM. 
Emitiendo el título, el VP del título es 
$5,5MM
1,1
 = $5MM. Por lo que a final de año recibiríamos una 
ganancia de $12MM - $5,5MM = $6,5MM. 
VGC 
 
19 
 
Por lo tanto, el VPN = 
$6,5MM
1,1
 – $5MM = $0,91MM. 
- En cualquier caso, se obtiene el mismo resultado para el VPN. El principio de separación indica que 
se obtendrá un resultado igual para cualquier elección de financiamiento que haga la empresa y 
que ocurra en un mercado normal. 
- Por lo tanto, el proyecto se evalúa sin considerar en forma explícita las diferentes posibilidades de 
financiamiento que la compañía pudiera escoger. 
- Para este principio suponemos un mercado de capitales perfectos, certidumbre y que sólo existen 
dos periodos contiguos. El mercado de capitales permite “transportar” riqueza presente al futuro y 
viceversa. 
- En el caso anterior, estudiamos a Fisher con mercado de capitales y sin producción. Ahora lo 
estudiaremos al revés. Es decir, uno busca realizar una inversión en la empresa propia de tal manera 
que maximice nuestra utilidad. 
- Tendremos que considerar el consumo presente y futuro, C0 y C1, respectivamente. También la 
producción futura, K1 y la dotación de dinero inicial, d0. 
- Para esto suponemos que la función de utilidad es positiva y cóncava, esto se traduce en curvas de 
indiferencia convexas y supondremos una función de producción negativa y decreciente. 
Gráficamente: 
 
- A partir de este gráfico podemos deducir que el óptimo de consumo se obtiene al igualar las 
pendientes de ambas curvas. 
- El modelo de Fisher se puede separar en 3 casos: 
1- Con mercado de capitaly sin producción: Uno puede pedir prestado o prestar en el mercado 
financiero para maximizar la utilidad del consumo sobre los dos periodos. El óptimo se 
encuentra al igualar la utilidad marginal con la tasa de descuento. 
2- Sin mercado de capital y con producción: La inversión en la empresa es tal que maximizamos 
la utilidad del consumo en los dos periodos. En este caso, el óptimo se encuentra al reemplazar 
los consumos en términos de inversión en la función de utilidad y sacar la condición de primer 
orden. 
VGC 
 
20 
 
3- Con mercado de capital y con producción: La inversión en la empresa es óptima con un retorno 
marginal de 1 + r. Se presta o pide prestado para maximizar la utilidad. Las decisiones de 
inversión y consumo son independientes. 
- La tasa interna de retorno (TIR) da una medida relativa de la rentabilidad, es la tasa de interés a la 
cual el VPN es cero. 
- Lo que viene a continuación es similar al modelo de Robinson Crusoe visto en Introducción a la 
Macroeconomía. 
- Para esto debemos definir la función de producción en términos de la dotación inicial y el consumo 
en el periodo cero. Esto nos deja una frontera de posibilidades de consumo negativa y decreciente 
(similar a un semi círculo). 
- Luego, para encontrar el óptimo debemos encontrar la tangencia entre esta curva y la pendiente 
de la tasa de interés. A partir de ello encontraremos el óptimo de consumo presente, óptimo de 
inversión (a partir de ello se obtiene el consumo futuro). 
- Si unimos el punto óptimo con la dotación inicial, encontramos una recta cuya pendiente es la TIR. 
- Gráficamente: 
 
- La riqueza (w0) se obtiene al sumar a dotación en el periodo cero y el valor presente neto. Otra 
forma de obtener la riqueza en términos del presente a través de la suma de la dotación, menos la 
inversión inicial, más la dotación producto de la inversión, traída a presente. Es decir: w0 = d0 – I0 + 
F(I0)/(1 + r) = d0 + VPN. Donde F(I0) es la función de producción. 
- Para encontrar la riqueza futura se debe “ahorrar” toda la riqueza presente. 
- Como las decisiones de inversión son independiente de las de consumo, para encontrar los 
consumos óptimos debemos usar las funciones de utilidad, e igualar la tasa marginal de sustitución 
al costo del capital. A partir de ella se encuentra la relación entre consumo presente y futuro. 
- ¿Qué cosas hay que tener en cuenta al momento de visualizar la separación de Fisher? Hay que ver 
si la tasa de interés a la que te prestan (endeudarse) es igual a la tasa de interés de prestar (invertir). 
VGC 
 
21 
 
Si son iguales, se resuelve como se muestra anteriormente. De lo contrario hay que hacer lo 
siguiente: 
1- Hay que determinar si el agente prefiere el consumo presente o consumo futuro. 
2- Si prefiere el consumo presente, se iguala la pendiente de la función de producción con la tasa 
de endeudamiento. Encontrar la inversión óptima y la cantidad producida en t = 1. Luego, hay 
que descontar con la tasa de endeudamiento. 
3- Si prefiere el consumo futuro, se iguala la pendiente de la función de producción con la tasa de 
inversión. Encontrar la inversión óptima y la cantidad producida en t = 1. Luego, hay que llevar 
a valor futuro la dotación que no fue consumida en el presente con la tasa de inversión. 
4- Las TIR marginales serán las tasas a las que invierten y las TIR es el cociente entre lo que 
producen y lo que invierten. 
- Luego, esta relación se reemplaza en la función de riqueza sujeta al consumo, es decir, w = C0 + 
C1/(1 + r). Mismo modelo de operación que el problema de Robinson Crusoe. 
- El concepto de portafolio imitador surge a partir de dos “proyectos” que tengan flujos idénticos, es 
decir, que tengan el mismo valor presente. Más general, sus distribuciones de probabilidad tengan 
“parámetros relevantes” (retorno esperado, varianza, etc.) idénticos. 
- Uno busca crear un título a partir de títulos ya existentes, para así poder determinar su precio, 
rentabilidad, etc. Para trabajar con ellos supondremos inicialmente neutralidad frente al riesgo. Un 
ejemplo sencillo sería: 
Tenemos los siguientes activos en el mercado 
< 
 
 Precio S1 S2 S3 
A1 $30 $100 $0 $0 
A2 $70 $100 $100 $0 
A3 $60 $0 $100 $100 
Activo Libre de Riesgo $X $100 $100 $100 
 
Se busca encontrar un portafolio que imite el activo libre de riesgo, es decir, que entregue $100 en 
cada posible estado de la naturaleza, ¿cuál es su precio? 
- Si nos damos cuenta, podríamos obtener un portafolio imitador al comprar el activo 1 y el activo 3 
ya que de esta manera nos aseguramos de obtener $100 en cada posible estado de la naturaleza. 
- ¿Cómo encontramos el precio del activo libre de riesgo? Hay que encontrar el precio del portafolio 
imitador, si utilizamos la aditividad de valor, llegamos a la conclusión de que, como el portafolio 
imitador está conformado por el activo 1 y 3, el precio del portafolio será igual a la suma de los dos 
activos. 
- Existe otra forma para encontrar la cantidad de activos o títulos que hay que adquirir para obtener 
el portafolio imitador, esta forma consiste en un sistema de ecuaciones. 
- Consiste en igualar el flujo que esperamos en cada estado de la naturaleza con los flujos que entrega 
cada título por su cantidad. En este ejemplo sería: 
$100 = $100 x A1 + $100 x A2 + $0 x A3 
$100 = $0 x A1 + $100 x A2 + $100 x A3 
$100 = $0 x A1 + $0 x A2 + $100 x A3 
VGC 
 
22 
 
- A partir de este sistema de ecuaciones llegamos a que la cantidad que se requiere de cada activo 
es: 
A1 = 1 
A2 = 0 
A3 = 1 
- Un activo puro es aquel que paga $1 en sólo un estado de la naturaleza y $0 en el resto. Estos 
activos se forman a partir de títulos ya existentes usando la aditividad o resta de valor. 
- Si usamos el activo 1 del ejemplo anterior, que paga $100 sólo en el primer estado de la naturaleza, 
y lo dividimos por 100, obtenemos que paga $1 en el primer periodo. ¿Cuál es su precio? ¡El precio 
del activo 1 dividido $100! 
- Siempre se debe tener igual cantidad de activos puros como de estados de la naturaleza, por lo que 
deberíamos encontrar un activo puro que sólo pague en S2 y S3. 
- Mirando la tabla anterior, obtendríamos un título que sólo pague en S2 si compramos un A2 y 
vendemos un A1. Es decir, A2 – A1, nos paga $100 en S2. Si dividimos la diferencia en 100, 
obtenemos un nuevo activo puro. Su precio obtiene de la misma manera, restando los precios de 
A2 y A1 y luego dividirlo por 100. 
- Para el último activo puro, que sólo pague en S3, usamos la misma metodología. Obtenemos un 
título que sólo pague en S3 si compramos A1 y A3 y si vendemos A2. 
- Colocando esto en una tabla obtenemos: 
 
 Precio S1 S2 S3 
AP1 $0,3 $1 $0 $0 
AP2 $0,4 $0 $1 $0 
AP3 $0,2 $0 $0 $1 
Activo Libre de Riesgo $X $100 $100 $100 
 
- Si nos vuelven a pedir un activo libre de riesgo que pague $100 en cada estado de la naturaleza, 
sólo debemos comprar 100 de cada activo puro. Haciendo esto llegamos a que el precio del activo 
libre de riesgo es de $90, lo mismo que se obtiene al comprar el A1 y A3. 
- Si nos ofrecen un proyecto de inversión que paga $1.000 en S1, $800 en S2 y $500 en S3 y que tiene 
un costo de $700. ¿Lo aceptamos? 
- Para determinar el valor de dicho proyecto, creamos un portafolio imitador conformado solamente 
por activos puros. Esto sería comprar 1000 AP1, 800 AP2 y 500 AP3, lo que resultaría en un costo 
de $720 > $700. Por lo tanto, como nos ofrecen un proyecto que entrega los mismos flujos que 
nuestro portafolio imitador, pero es más barato, lo aceptamos. 
- Una de las limitaciones del portafolio imitador es que no todos los títulos son divisibles y que no 
siempre habrá igual cantidad de títulos como de estados de la naturaleza. Además de que no 
siempre sabemos los posibles estados de la naturaleza. 
 
 
 
 
VGC 
 
23 
 
Matemáticas Financieras 
- Como ya hemos visto, a través del mercado de capitales es posible moverel dinero a través de 
distintos periodos. Pero existen tres reglas: 
1- Comparación y combinación de valores: Sólo es válido comparar o combinar valores si estos se 
encuentran en el mismo periodo. No puedo decir que $10 de mañana son más grande que los 
$5 de hoy ya que se desconoce la tasa de interés. 
2- Mover flujos de efectivo en el tiempo hacia adelante: Para mover un flujo de efectivo hacia 
adelante en el tiempo, debe capitalizarse. Multiplicar el flujo por la tasa de interés más la 
unidad. Esto da origen al valor futuro. Cuando el traspaso es en más de un periodo se utiliza la 
tasa de interés compuesta. El valor equivalente de dos flujos de efectivo en dos puntos distintos 
del tiempo se conoce como el valor del dinero en el tiempo. 
3- Mover flujos en el tiempo hacia atrás: Para mover un flujo de efectivo hacia atrás en el tiempo, 
debe descontarse. Es el análogo a la segunda regla, se debe dividir el flujo por la tasa de interés 
más la unidad, o bien, la tasa de descuento. 
- Si queremos saber cuánta riqueza nos dará una acción solo en dividendo tenemos que usar 
matemáticas financieras. Trabajamos con dos supuestos fuertes: 
1- Tasa de interés y crecimiento constantes. 
2- Dividendo constante. 
- Por ejemplo: Una acción entrega $10 en dividendos o flujos (F) semestre con una tasa de 
crecimiento (g) del 0,5%. Si hay una tasa de interés (r) de 5% y se entregan dividendos a 
perpetuidad, es decir, para siempre. ¿Cuál es el valor presente del patrón de flujos? 
VP = 
𝐅
𝐫 − 𝒈
 = 
$10
0,05 − 0,005
 = $222,22 
- La tasa de crecimiento del dinero se suele presentar como la inflación. 
- En la realidad las acciones no entregarán dividendos por siempre ya sea porque vendo la acción en 
algún momento o porque la empresa quiebra, por ejemplo. Para calcular el valor presente en un 
horizonte finito de n periodos utilizamos: 
VPN = 
𝐅
𝐫 − 𝒈
 (1 – 
(𝟏+𝒈)𝒏
(𝟏+𝐫)𝒏
) 
- Luego, el valor futuro del patrón de flujos de un proyecto se puede obtener a partir del valor 
presente de este. Una vez que se encuentra el valor presente, simplemente hay que capitalizar 
dicho valor hasta el periodo necesario. 
- La TIR da una medida relativa de la rentabilidad, muestra el retorno promedio de cada periodo. Se 
obtiene al igualar el valor presente neto a cero, es decir, cuando la inversión del proyecto es igual 
al valor presente de los flujos. 
- Es conveniente invertir cuando la TIR de un proyecto es mayor que la tasa de interés ya que 
indirectamente nos dice que el VPN es positivo. 
- ¡Esto se cumple siempre y cuando el valor de los flujos sea positivo! Ya que de lo contrario conviene 
tener una TIR menor que la tasa de descuento. 
VGC 
 
24 
 
- Al igual que en el punto anterior, existen varios casos donde la TIR se ve limitada, nos vemos en 
problemas si estamos considerando usar la TIR si somos inversionistas o deudores, si no todos los 
flujos tienen el mismo signo (habrá más de una TIR), incluso hay casos donde la TIR no existe. 
- ¿Por qué seguimos usando la TIR a pesar de todas estas limitaciones? Es porque las limitaciones se 
refieren a la TIR como regla para la toma de decisiones. Esta sigue mostrando el retorno promedio 
de una inversión, se puede usar para medir la sensibilidad del VPN al costo del capital, etc. 
- Sin embargo, surgen reglas alternativas para tomar decisiones: 
1- Regla del periodo de recuperación: La regla más sencilla es aquella que busca pagar la inversión 
realizada lo más rápido posible. Para aplicar la regla, primero se calcula la cantidad de tiempo 
que toma recuperar la inversión inicial, llamado tiempo de recuperación. Una forma de 
encontrar dicho periodo es ver el periodo donde el VPN deja de ser cero. 
2- TIR incremental o marginal: Esta regla se utiliza para comparar dos proyectos excluyentes. A 
uno de los proyectos se le resta los flujos del otro y luego se busca la TIR (da lo mismo cual se le 
resta a cuál). Dependiendo de la tasa de interés dada con respecto a la TIR marginal se 
determinará si se elige un proyecto o el otro. Tiene limitaciones similares al de la TIR como regla 
de decisión. 
3- Valor Económico Agregado (VEA): Aceptar cualquier oportunidad de inversión en la que el valor 
presente de todos los VEA futuros sean positivos cuando se calcule con el costo de capital (tasa 
de interés) del proyecto. 
- Consideremos un proyecto que requiere una inversión inicial de un costo X. Entrega flujos a 
perpetuidad y cada flujo es de C. El VEA en cada año es el valor agregado del proyecto después y 
por arriba del costo de oportunidad de conseguir el capital que se requiere para operar el proyecto. 
- Si el costo de oportunidad del capital es la tasa de interés, r, entonces el costo de dedicar X de 
capital a un activo libre de riesgo es de rX. Se hace referencia al costo de oportunidad que se asocia 
con el uso que hace el proyecto del capital, como cargo por capital. 
- El VEA en el periodo n es la diferencia entre el flujo de efectivo del proyecto de dicho periodo y el 
cargo por capital, es decir: 
VEA = C – rX 
- Es común que el capital invertido en un proyecto cambie con el tiempo. El capital suele perder valor 
debido al desgaste o la depreciación (desgaste de una máquina por el uso, por ejemplo), por lo que 
se requerirá hacer inversiones nuevas (máquinas nuevas o mantenimiento). 
- Si Xn-1 es la cantidad de capital asignado en n – 1, entonces el cargo por capital en el periodo n debe 
incluir el costo de oportunidad de dedicarlo, r Xn-1. La nueva fórmula del VEA es: 
VEAn = Cn – rXn-1 – (Depreciación periodo n) 
- Pongamos el siguiente ejemplo: 
Su empresa planea instalar en el almacén un sistema de iluminación de consumo eficiente de 
energía. La instalación saldrá $300.000 y se estiman ahorros totales de $75.000 por año. Las 
luminarias se deprecian de modo uniforme durante 5 años, momento en el que deberán 
reemplazarse. El costo de capital es de 7% por año. Utilizando la regla VEA, ¿se debe instalar el 
sistema de iluminación? 
 
Si las luces se deprecian en $300.000/5 por año, entonces el VEA se calcula de la siguiente manera: 
VGC 
 
25 
 
 
Año 0 1 2 3 4 5 
Capital 300 240 180 120 60 0 
Flujo de efectivo 75 75 75 75 75 
Cargo por capital – 21 – 16,8 – 12,6 – 8,4 – 4,2 
Depreciación – 60 – 60 – 60 – 60 – 60 
VEA – 6 – 1,8 2,4 6,6 10,8 
 
Recordar que cargo por capital es rXn-1. El primer cargo por capital se obtiene de 7%*300. 
VP(VEA) $8.556 
- Otra regla de toma de decisiones es el índice de rentabilidad (IDR), este mide el “resultado por 
moneda”, es decir, qué tanto VPN aporta cada recurso consumido. Matemáticamente se puede ver 
como una división entre ambos, respectivamente. Una vez calculado el índice de rentabilidad, los 
proyectos se clasifican con base en él. 
- Se comienza con el que tenga índice más alto, y se sigue en orden decreciente de proyectos hasta 
que el recurso se haya agotado. Hay que tener en consideración que el proyecto necesita de la 
totalidad del recurso para llevarse a cabo, raramente los proyectos son divisibles. 
Por ejemplo, se tienen siete proyectos en el que todos tienen distinto VPN y requieren distintas 
cantidades de mano de obra, estos se presentan a continuación: 
 
Proyecto VPN (MM de $) M.O Requerida IDR Asignación M.O 
Proyecto A 17,7 50 0,354 50 
Proyecto B 22,7 47 0,483 47 
Proyecto C 8,1 44 0,184 0 
Proyecto E 14 40 0,35 0 
Proyecto F 11,5 61 0,189 0 
Proyecto G 20,6 58 0,355 58 
Proyecto H 12,9 32 0,403 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
26 
 
Estructura de la tasa de interés y duración 
- En esta sección se trabaja con instrumentos libres de riesgo de no-pago. La primera parte es cómo 
cambia la tasa de interés cuando cambia el horizonte de tiempo. Tener un bono que pague a 1 año 
o a dos años tendrá distinta tasa de interés. 
- La tasa anual efectiva (TAE) es lo que indica la cantidad total de interés que se obtendrá al final del 
año. Por logeneral, esta corresponde a la tasa de interés (anual), r. 
- Sin embargo, no siempre trabajamos con periodos de un año. Si tuviésemos que nuestro periodo 
de duración es de dos años y una tasa de interés anual (r) determinada, el valor futuro del título va 
a ser el resultado de multiplicar el monto por la tasa de interés anual más la unidad, por cada año 
que se tenga, es decir, (1 + r)2. 
- ¿Qué se puede deducir a partir de esto? Dependiendo de la proporcionalidad relativa entre la tasa 
de interés anual y el periodo con el que tratamos es por cuánto estaremos elevando la tasa de 
interés anual más la unidad. 
- Si trabajamos con un periodo de 3 años, la tasa de interés será de (1 + r)3, si es de 10 años es de (1 
+ r)10, si es de 6 meses es de (1 + r)0,5 si es trimestral es de (1 + r)0,25. 
- Hay que tener en consideración que no todas las tasas de interés originales son anuales, nos 
podemos topar con casos donde nos pongan una tasa de interés semestral o mensual. El método 
de ajuste es extrapolable. 
- No todos los préstamos utilizan una tasa de interés fija, a veces esta se va ajustando y varía con el 
tiempo. La tasa de interés de un periodo mayor que el de la tasa misma se obtiene al multiplicar las 
distintas tasas de los distintos periodos. 
- Si tenemos una inversión que paga flujos durante tres años y con tasas de interés del 4%, 6% y 8% 
para cada año respectivamente, la tasa de interés para el periodo de 3 años es de (1 + 4%)(1 + 5%)(1 
+ 6%). 
- Cuando tenemos distintas tasas de interés, se puede obtener un rendimiento promedio por 
periodo, una tasa yield (y). Para bonos con características determinadas, la tasa yield ve la relación 
entre la TIR de los bonos y su plazo al vencimiento. En el ejemplo anterior, se encontraría de la 
siguiente forma: 
(1 + 4%)(1 + 5%)(1 + 6%) = (1 + y3)3 
- Esto se debe a que la fórmula de la tasa yield se obtiene a partir de la siguiente productoria: 
∏ (1 + rn)
t
n=1 = (1 + yt)
t 
- Es decir, 
(1 + r1) = (1 + y1)1 
(1 + r1)(1 + r2) = (1 + y2)2 
(1 + r1)(1 + r2)(1 + r3) = (1 + y3)3 
- El tipo de cambio a plazo, o mejor conocida como tasa forward (ft) para el periodo t, es la tasa de 
expectativa entre dos periodos determinados, es decir, es la tasa que creo que habrá entre el 
periodo t – 1 y t. Se obtiene por medio de bonos (que dan origen a la tasa yield). 
- Si estamos hablando de obtener la tasa de interés futura entre el periodo t - 1 y t, usamos la tasa 
forward, que se obtiene a partir de las tasas yield, usando la siguiente fórmula: 
VGC 
 
27 
 
1 + ft = 
(1 + yt)
t
(1 + yt−1)t−1
 
- ¿Por qué es tan útil tener una tasa forward? Porque nos permite determinar el rendimiento de una 
inversión futura. Sin embargo, nadie dice “me comprometo a hacer una inversión en dos años más 
si me das las tasas de ahora” ya que las tasas siempre van cambiando. 
- Cuando uno quiere invertir en el futuro, usando las tasas de ahora, uno tiene que asegurar la tasa 
forward. Esto implica que por medio de la compra y venta de activos uno logra desplazar el dinero 
hasta el periodo que queramos. 
- Las tasas forward pueden asegurarse desde un punto de vista financiero, la única diferencia entre 
un inversionista y un deudor es la secuencia de flujos: para el primero es negativa en t = 0 y positiva 
en las demás, con el deudor ocurre lo contrario. 
- Si el inversionista desea asegurar la tasa de interés desde ahora entre dos y tres años más (por 
ejemplo), debe endeudarse a dos años e invertir la cantidad a tres años. De esta manera, obtendría 
la tasa yield para el segundo y tercer año, con las cuales obtiene la tasa forward. 
- Un ejemplo siempre deja todo más claro: 
Supongamos que estamos octubre y ya estamos pensando en el viaje a Brasil que tendremos en 
enero. Como buen zorrón de comercial, sabemos que nos llegan unos $500.000 extra en diciembre 
para partir las vacaciones con el pie derecho. También sabemos que somos capaces de gastarnos 
dicho monto en webeo antes de irse de viaje, pero nuestro ser racional nos dice que sería bueno 
guardarla para enero. Si las tasas son de 3%, 4% y 5% para noviembre, diciembre y enero 
respectivamente, ¿qué estrategia de inversión/endeudamiento hay que hacer hoy para 
asegurarnos de recibir un único flujo en enero? Supongamos que el avión sale el 2 de enero y 
queremos recibir el flujo el 1 de enero. 
Lo primero que hay que hacer es vender un bono cero cupón que nos obligue pagar $500.000 en 
diciembre. De esta manera tenemos el dinero hoy, pero como quiero el dinero en enero, con el 
dinero que recibimos por vender el bono, compramos un bono cero cupón con el mismo precio que 
pague el primero de enero. 
Estas acciones se pueden resumir secuencialmente en la siguiente tabla: 
 
Acción Octubre, t = 0 Noviembre, t = 1 Diciembre, t = 2 Enero, t = 3 
Monto Extra 0 0 $500.000 0 
Endeudarse $462.278,1 0 -$500.000 0 
Invertir -$462.278,1 0 0 $535.144,69 
Flujo Neto 0 0 0 $535.144,69 
 
¿Por qué no esperamos a que nos entreguen dicho monto extra para luego invertirlo a un mes? 
Esta es una pregunta válida, pero como se explicó antes, las tasas cambian. Nada nos asegura que 
cuando llegue diciembre nos ofrezcan una tasa de interés a un 7,03% (tasa forward entre el periodo 
dos y tres, o bien, dividir 535.144,69 con 500.000). Asegurar la tasa forward se utiliza para minimizar 
riesgo. 
- Por años se ha intentado estimar el porqué de la forma y comportamiento de la estructura de tasas 
de interés. Hay una relación intuitiva entre las tasas de interés vigentes hoy para diferentes plazos 
VGC 
 
28 
 
y las tasas de interés que se espera estén vigentes en el futuro. Las hipótesis más conocidas son las 
siguientes: 
1- Hipótesis de segmentación. 
2- Hipótesis de expectativas. 
3- Hipótesis de preferencia por liquidez. 
4- Hipótesis de hábitat preferido. 
- La hipótesis de segmentación establece que no hay relación entre las tasas de diferentes plazos y 
las expectativas de tasas futuras. Simplemente había mercados segmentados para diferentes 
plazos. Si la tasa de corto plazo es menor que la de largo plazo es porque hay exceso en la oferta de 
bonos. 
- El mayor problema de esta hipótesis es que supone que los mercados están incomunicados, cuando 
en la realidad es lo contrario. Una empresa que desea llevar a cabo una inversión a largo plazo se 
va a endeudar a largo plazo, a menos que le resulte muy caro. 
- En la hipótesis de las expectativas se establece que las tasas forward son las tasas esperadas futuras. 
- La hipótesis de preferencia por liquidez se constituye sobre la base de la hipótesis anterior, se le 
agrega la aversión al riesgo y horizontes de inversión a corto plazo. Si el horizonte de inversión 
dominante es el de corto plazo, hay que pagarles una prima por riesgo a los inversores que inviertan 
en instrumentos de largo plazo. Esto implica que las tasas forward serán mayores que las tasas 
futuras esperadas. 
- La hipótesis de hábitat preferido establece que hay inversionistas/deudores que se sienten más 
“cómodos” en distintos tramos de la curva de tasas. Por “comodidad” se refiere a la necesidad de 
liquidez. 
- Los bancos también utilizan las tasas de interés en términos de una tasa porcentual anual (TPA), la 
que indica la cantidad de interés simple que se gana en un año, es decir, la cantidad de interés 
ganando sin el efecto de la capitalización. 
- Para pasar la TPA a una tasa anual efectiva se usa la siguiente fórmula, la cual depende del intervalo 
de capitalización (IC): 
TAE = (1 + 
TPA
IC
)IC – 1 
- El intervalo de capitalización corresponde a la cantidad de periodos sobre el total de un año, ambos 
sobre una misma unidad. 
- Un ejemplo sería tener una TPA del 6% con un intervalo de capitalización mensual, la tasa anual 
efectiva sería de = (1 + 
6%
12
)12 – 1 = 6,1678%. El intervalo de capitalización es la cantidad de periodos 
sobre un año, en el ejemplo el IC es de 12 ya que hay 12meses en un año. 
- Cuando el intervalo de capitalización se hace muy grande, o tiende a infinito, recurrimos al límite: 
lim
IC→∞
(1 +
TPA
IC
)
IC
= 𝑒TPA. 
- Las tasas de interés que anuncian los bancos y que usamos para descontar flujos son tasas 
nominales (i), estas indican la tasa a la que el dinero crecerá si se invierte, ajustándolo por inflación 
(π). La tasa nominal se encuentra utilizando la ecuación de Fisher: 1 + i = (1 + π)(1 + r). 
- La relación entre el plazo de inversión y la tasa de interés se denomina estructura de plazos de las 
tasas de interés. Esta relación se plasma en una gráfica que se conoce como curva de rendimientos. 
VGC 
 
29 
 
- Suponga que las tasas de interés a corto plazo son iguales a las de largo plazo. Si se espera que las 
tasas se eleven en el futuro, los inversionistas no querrían hacer inversiones a largo plazo. En vez 
de ello, harían mejor si invirtieran a corto plazo y luego reinvirtieran después de que las tasas se 
hubieran elevado. 
- Así, si se espera que las tasas de interés aumenten, aquellas de largo plazo tenderán a ser mayores 
que las de corto plazo para atraer a los inversionistas. 
- Esto implica que la forma de la curva de rendimiento depende mucho de las expectativas que haya 
sobre las tasas de interés. Una curva de rendimiento que aumenta en forma pronunciada, con tasas 
de largo plazo mucho mayores que las de corto, por lo general indica que se espera que las tasas 
de interés suban en el futuro. 
- Debido a que las tasas de interés tienden a caer en respuesta a una desaceleración de la economía, 
es frecuente interpretar a una curva de rendimiento invertida como un pronóstico negativo del 
crecimiento económico. 
- Es claro que la curva de rendimiento brinda información importante en extremo para el director de 
una empresa. Además de especificar las tasas de descuento para flujos de efectivo libres de riesgo 
que ocurren en horizontes distintos, también es un indicador potencial anticipado del crecimiento 
económico futuro. 
- Como hemos visto anteriormente, es importante considerar el factor de riesgo de una inversión al 
momento de evaluar la tasa de interés, pero también hay otro factor que se debe tomar en 
consideración, los impuestos. 
- Si se cargan los flujos de efectivo de una inversión, el flujo real que obtendrá el inversionista se 
reducirá a la cantidad que se pague en impuestos. Los impuestos reducen la cantidad de interés 
con que se queda el inversionista, y esta cantidad disminuida se conoce como tasa de interés 
después de impuestos (r(1 – t)). 
- En ciertos casos, la tasa de interés sobre préstamos es deducible de impuestos. En ese caso, el costo 
de pagar intereses sobre el préstamo se ve contrarrestado por el beneficio de la deducción de 
impuestos. Un ejemplo es un préstamo para comprar una casa, la que sí es deducible de impuestos. 
Si el impuesto es de 40% y la tasa de préstamo es de 30%, la tasa de interés después de impuestos 
es de 30% x 60% = 18%.a 
- El concepto de duración es parecido al de la elasticidad, cuán sensible es el valor de un activo o 
pasivo frente a cambios en su tasa de descuento. Este es un concepto desarrollado por el 
economista Macaulay, quien derivó la fórmula utilizando tasas continuamente compuestas. 
- Si y es una tasa geométrica, el valor de un bono (B) es la suma de los valores presentes de los flujos 
futuros: 
B = ∑ FCt t /(1 + 𝑦)t 
- La duración de Macaulay (DMAC) termina siendo en cuánto cambia el precio de un bono a medida 
que varía la tasa de interés real. Esta se obtiene por la fórmula: – 
𝑑B
𝑑r
1
B
. 
- Es decir, resulta ser el plazo restante para cada pago futuro ponderado por la importancia relativa 
de cada flujo en el valor total del bono. 
VGC 
 
30 
 
- Además, utilizando la propiedad de aditividad del valor presente, la duración también puede 
estimarse como el cociente entre el valor presente de los flujos por el periodo y el valor presente 
de los flujos, es decir, ∑ VP(tFCt)/ t VP(FCt). 
- ¿Cuál sería la duración de un bono bullet con 4% de interés, 3 años y $1.000 de valor par? Si el 
precio del bono es de $1.045,89 y la TIR de 2,4% tenemos que: 
 
Periodos (1) Pago VP con la TIR (2) (1)*(2) = t*VP(FCt) 
0 - $1.045,89 0 0 
1 $40 $39,06 $39,06 
2 $40 $38,15 $76,3 
3 $1.040 $968,68 $2906,04 
Suma $1.045,89 $3.021,4 
Duración $3.021,4/$1.045,89 2,9 
Pico pal que lee 
- Podemos notar que siendo una “elasticidad” tiene una unidad de medida ya que es un promedio 
ponderado del plazo restante para el pago de cada uno de los flujos futuro, el promedio ponderado 
también quedará expresado en unidades de tiempo. 
- Sin embargo, algunos economistas consideración de duración de Macaulay un tanto inexacta. Es 
por esto que surge la duración modificada (DMOD), que es la duración de Macaulay descontada en 
la tasa de interés, 1 + r. 
- Utilizando la duración modificada se puede obtener de manera certera el cambio porcentual de un 
bono ante cambios en el precio. En el ejemplo anterior, la duración modificada sería de 2,9/1,024 
= 2,83. 
- Por lo tanto, si la tasa de interés cae en un 5%, el cambio en el precio del bono se da en un 2,83 x – 
(– 0,05) = 14,16%. Si la tasa de interés sube en un 5%, el precio del bono queda en un 1 – 14,16% = 
85,84% del valor original. 
- Un uso de la duración es que se le da es la cobertura con base en la duración. La capitalización de 
mercado de una empresa está determinada por la diferencia del valor de mercado de sus activos y 
el de sus pasivos. 
- Si los cambios en las tasas de interés afectan estos valores, influirán al valor del capital propio 
accionario de la compañía. Se mide la sensibilidad de una empresa ante las tasas de interés con el 
cálculo de la duración de su balance general. 
- Cuando las duraciones de los activos y pasivos de una empresa son muy diferentes, ésta tiene un 
desfase de duración. Este desface puede poner en riesgo a la empresa si las tasas de interés llegan 
a cambiar muy bruscamente. 
- La duración de los activos de una empresa se obtiene como la suma del peso que tiene cada activo 
por su duración. Por ejemplo. Si tengo $80 en caja con duración de un año y un computador 
valorado en $120 con duración de 5 años, la duración de mis activos son de 0,4 x 1 + 0,6 x 5 = 3,4 
años. 
- De igual manera se obtiene la duración de los pasivos. Si tengo $50 en un certificado de depósito 
duración de dos años y una deuda de largo plazo en $100 con duración de 3 años, la duración de 
mis pasivos es de 1/3 x 2 + 2/3 x 3 = 2,7 años. 
VGC 
 
31 
 
- Como resultado, el valor del capital propio, que es la diferencia entre activos y pasivos, bajará en 
forma significativa con una subida de las tasas de interés. 
- La duración del capital propio se obtiene por medio de la diferencia entre el peso de mis activos y 
mis pasivos por sus respectivas duraciones, es decir, como mi patrimonio es de $50. La duración es 
de $200/$50 x 3,4 - $150/$50 x 2,7 = 21,7 años. 
- Por lo tanto, si la tasa de interés sube un 1%, el valor de mi capital propio caerá un 21,7%. Si una 
firma está estructurada de tal manera que la duración del capital propio es cero, entonces esta 
posee una inmunización del patrimonio. 
- De todas formas, este concepto presenta limitaciones. La primera es que la duración de una cartera 
depende de la actual tasa de interés, a medida que cambien las tasas de interés, cambiará la 
valoración de los activos y pasivos, lo que puede llevar a la pérdida de la inmunización del 
patrimonio. 
- La segunda limitación importante es que una cartera con inmunización del patrimonio sólo está 
protegida contra cambios de la tasa de interés que afecten todos los movimientos de manera 
idéntica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
32 
 
Valoración de activos, pasivos y acciones de empresas 
- Cuando observamos un activo, pasivo, etc. De una empresa en su balance,