Prueba 2 2014-2

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23 de Octubre de 2014
Nombre:
Prueba 2
Contabilidad y Toma de Decisiones
EAA213A
Segundo Semestre 2014
Tiempo: 80 minutos
Puntaje total: 80 puntos (11 preguntas)
Profesores:
Gino Manŕıquez
Francisco Mellado
Daniel Muñoz
Puntaje Total
Nota
Ayudantes:
Carolina Abuauad
Marco Egidio
Fernando Flores
Raimundo Gana
Arturo Ricke
Claudio Ricke
Josefa Varela
INSTRUCCIONES GENERALES:
Antes de comenzar a responder la evaluación, debe poner su nombre completo en
las hojas recibidas. Además apague celulares y manténgalos fuera del alcance. Si
un celular suena fuera del alcance durante la evaluación se descontarán 5 puntos del
puntaje obtenido por el alumno y si se encuentra un celular al alcance se presume
copia.
Los ayudantes no están facultados para responder preguntas (ni siquiera de enuncia-
do). Sin embargo, en caso de que respondan y la respuesta que den sea errónea (o
contraria a una clarificación que haga el profesor o el ayudante jefe) no se admitirá
como argumento en caso de recorreción.
Responda las preguntas en el espacio asignado. Si necesita más espacio conteste por
el reverso. Tenga en cuenta que no se corregirán preguntas respondidas en hojas no
asignadas.
Utilice solamente las hojas recibidas. Si necesita más hojas ṕıdalas al ayudante y escriba
su nombre en ellas.
No descorchetee lo que se ha entregado corcheteado.
La sospecha fundada de copia por parte del profesor y/o ayudantes, durante la eva-
luación o en su corrección posterior, tiene como sanción mı́nima una nota 1.0 en la
evaluación y un informe a la Dirección de la Escuela.
No está permitido utilizar calculadoras programables o con capacidades alfanuméricas
o gráficas.
1
Página: 2 Nombre:
1. (5 puntos) La duración es una medida de elasticidad o sensibilidad del cambio en el
valor presente ante un cambio en las tasas de interés la que, si bien es altamente utilizada,
presenta algunas debilidades. Explique al menos dos de estas debilidades y en qué contexto
ocurren.
Sólo útil para cambios pequeños en las tasas de interés. Si tenemos cambios mayores
la duración puede sobreestimar o subestimar el efecto sobre el valor presente.
Sólo para cambios paralelos en las tasas de interés. Para cambio en la pendiente de la
yield curve la duración no es una buena estimación.
No todas las tasas de interés se mueven en forma conjunto. Por ejemplo, al construir
una estrategia de inmunización asumimos que tasas de interés de activos y pasivos en
mueven en forma conjunta.
2. (5 puntos) El gerente de Finanzas manifestó que, dado que las tasas de interés van a
bajar, no vale la pena hacer inmunización alguna para los pasivos ya que si no se invierte en
un portafolio de activos, al tener tasas más bajas, la deuda disminuirá de todas maneras.
Falso. Al bajar las tasas de interés, el valor presente de la deuda aumentará. Al no armar
un portafolio inmunizador que también suba, la empresa queda expuesta al aumento de valor
que sufrirá la deuda vigente. En ningún caso, la deuda vigente va a disminuir si es que la
tasa de interés baja.
3. (5 puntos) Al inmunizar una deuda en bonos de la empresa, se consigue que el valor
de dicha deuda no cambie a pesar de los cambios futuros que se puedan dar en las tasas de
interés. Comente.
Falso. El valor presente de la deuda en bonos siempre va a cambiar dependiendo de
los cambios en la tasa de interés. Al inmunizar lo que se busca, es que estos cambios en la
valorización de la deuda no afecten el valor de la compañ́ıa, puesto que la inversión en activos
financieros que hace la empresa contrarrestaŕıa los efectos que produce sobre su deuda un
cambio en las tasas de interés.
4. (5 puntos) Calcule, utilizando solamente perpetuidades, a cuánto dinero actual
equivale recibir $200.000 cada año, durante 10 años, si se reciben al final de cada año y la
tasa de interés de mercado es 10%. En lo anterior, reconozca la relación entre la perpetuidad
y la anualidad. Compruebe su resultado con una anualidad.
Para calcular el valor presente de 10 cuotas de $200.000 usando sólo perpetuidades, se
debe calcular la diferencia entre 2 perpetuidades de $200.000; una que comience en t = 0, y
otra en t = 10. La siguiente ĺınea de tiempo lo muestra más claramente:
t = 1 t = 2 · · · t = 10 t = 11 t = 12 · · ·
P1 200 M 200 M · · · 200 M 200 M 200 M · · ·
P2 0 0 · · · 0 200 M 200 M · · ·
P1 − P2 200 M 200 M · · · 200 M 0 0 · · ·
Página: 3 Nombre:
Ahora, calculando las perpetuidades en moneda de t = 0:
P1 =
$200,000
0, 1
= $2,000,000
P2 =
$200,000
0, 1
· 1
1, 110
= $771,086, 6
Por lo tanto, V P (P1–P2) = $2.000.000 - $771.086,6 = $1.228.913,4. Aśı podemos observar
que la anualidad es una diferencia de perpetuidades. Comprobémoslo con el ejercicio:
VP Anualidad = V P (P1 − P2) =
$200,000
0, 1
− $200,000
0, 1
· 1
1, 110
=
$200,000
0, 1
·
(
1− 1
1, 110
)
que es la fórmula usada para calcular una anualidad como la planteada.
5. (5 puntos) Como hemos visto en clases una forma de reducir el riesgo del patrimonio
ante cambios en las tasas de interés es utilizar una estrategia de inmunización. Se pide
desarrolle, grafique y explique una fórmula que determine la relación entre duración de los
activos, endeudamiento (Pasivos/Patrimonio) y duración de los pasivos bajo una estrategia
de inmunización.
Denotando Da, Dd y De las duraciones de los activos, pasivos (deuda) y patrimonio
(equity), respectivamente, podemos escribir la duración del patrimonio, en términos de la
razón de endeudamiento:
De =
A
E
·Da −
D
E
·Dd
Sabemos que A = D + E, que bajo inmunización tenemos que De = 0 y asumimos que
E ̸= 0. Luego
D + E
E
·Da =
D
E
·Dd
⇒ Da =
D
E
1 +
D
E︸ ︷︷ ︸
<1
·Dd
Dd
Da
Da =
D/E
1 +D/E
·Dd
Página: 4 Nombre:
Luego, para compensar aumentos en la duración de los pasivos se requiere un aumento algo
menor en la duración de los activos. Por otra parte, entre menor es el endeudamiento (D/E),
aumentos en la duración de los pasivos requieren menor aumento de la duración de los activos
para compensar.
6. (5 puntos) Las administradoras de fondos de pensiones (AFPs) deben pagar anualidades
de por vida a sus beneficiarios. Si una AFP desea mantenerse en el negocio indefinidamente,
sus obligaciones se asemejarán a una perpetuidad. Suponga que usted es un gerente de una
AFP que debe pagar anualmente US$ 2 millones a sus beneficiarios, a perpetuidad. La tasa
de descuento es un 16% para todos los vencimientos y por tanto el duration del pasivo es
7,25 años.
Si la duración de un bono a 5 años, con cupones anuales de 12% es 4 años, y la duración
de un bono a 20 años con cupones anuales de 6% es 11 años, ¿cuánto dinero debeŕıa usted
invertir en cada tipo de bono para financiar e inmunizar su posición? Note que el patrimonio
inicial es de cero.
El valor presente del pasivo a perpetuidad de la AFP es
2MM
0, 16
= US$ 12, 5 millones
Dado que el patrimonio es de cero, para inmunizar los activos deben replicar el valor y la
duración del pasivo.
Llamemos α a la proporción invertida en el bono a 5 años, y (1 − α) a la proporción
invertida en el bono a 20 años, y sabemos que la duración de un portafolio es igual al
promedio ponderado de las duraciones de los instrumentos que lo componen.
4 · α + 11 · (1− α) = 7, 25 ⇒ α = 0, 5357 = 53, 57%
Por lo tanto, debemos invertir
53, 57% · 12, 5 = US$ 6, 7millones
en bonos a 5 años y 46, 43% · 12, 5 = US$ 5,8 millones en bonos a 20 años.
7. (5 puntos) Durante Septiembre recién pasado el Banco Central de Chile (BCCh) anunció
que, a pesar de nuevos posible recortes en la tasas de poĺıtica monetaria (TPM), su poĺıtica
de est́ımulos a través de este herramienta está por finalizar. Esto originó un alza importante
en las tasas de interés de mediano plazo. Explique bajo la teoŕıa de expectativas que puede
justificar el movimiento de las tasas de interés de mercado.
La teoŕıa de expectativas nos plantea que la estructura de tasas de interés spot (actuales)
se formarcon las expectativas de tasas de interés futuras. Por ejemplo, la tasa de interés a
dos años será la tasa de interés spot a 1 año más la expectativa de tasa a 1 año en un año
más y aśı sucesivamente.
(1 + 0R2)
2 = (1 + 0R1) · (1 + 1f2)
Página: 5 Nombre:
Luego, ante el anuncio del BCCh, a pesar del posible movimiento de corto plazo a la baja,
se afectó las expectativas sobre la tasa de interés futuras. El mercado, antes del anuncio,
contemplaba más bajas en la TPM por el cual debió revisar las expectativas y ajustar los
precios (tasa de interés).
8. (5 puntos) La empresa GrandesOportnidades está desarrollando su plan quinquenal,
para lo cual está decidiendo en que proyectos involucrarse. El gerente de finanzas plantea:
“debemos tomar los proyectos con VPN positivo o con TIR positiva ya que ambas criterios
de decisiones nos llevan a igual resultado”. Comente
El gerente de finanzas presenta dos errores en su planteamiento:
1) El criterio de decisión bajo VPN contempla como criterio de decisión que el VPN sea
mayor a cero, donde la tasa de descuento corresponda al retorno exigido. Por otra parte,
el criterio de decisión bajo TIR contempla como criterio de decisión que la TIR sea
mayor a la tasa de interés exigida. Luego, sólo en el caso que la tasa exigida sea 0%
podŕıa plantearse ese comentario.
2) Los resultados obtenidos utilizando VPN o TIR pueden no ser iguales y nos lleve a no
maximización de riqueza. Esto se puede explicar por:
Múltiples TIR. Producto de más de un cambio de signo en los flujos se pueden
generar más de un resultado.
Montos de Inversión (Escala). Una maximización de TIR puede dejar capital sin
invertir.
Plazo de inversión. Al comparar proyectos v́ıa TIR no tomamos en cuenta el plazo
de la inversión, sólo vemos rentabilidad.
9. (15 puntos) Los elfos de la ciudad de Rivendel están muy preocupados por la guerra
contra Sauron, lo que los hace vivir como si estuvieran en un modelo de 2 periodos (t = 0, 1)
pero con incertidumbre acerca de lo que pase en t = 1. Actualmente Rivendel posee una
dotación de 1.000 unidades de bien en t = 0 (nada para el futuro) y una tecnoloǵıa de
producción (antes de impuestos) de la forma
f(I) = 1000 ·
(
1− e−I/100
)
Los dos estados de la naturaleza que pueden haber en t = 1 son equiprobables en donde
s1 se refiere a una victoria contra Sauron y s2 una derrota. Sólo en este último caso se esperan
alzas en los impuestos a la producción de un 0% a un 50%. Por su parte las preferencias
relevantes (“representativas”) en Rivendel están descritas por:
U(C0, C(s1), C(s2)) = lnC0 +
1
1,2
· E[lnC1] = lnC0 +
1
1,2
· (0,5 · lnC1(s1) + 0,5 · lnC1(s2))
donde C0 es el consumo en t = 0, C1(s) es el consumo (incierto) en t = 1 cuando ocurre el
estado de la naturaleza s (s1 o s2).
Actualmente existe un activo mercado financiero perfecto, cuyos pagos en cada estado
de la naturaleza y precios son los siguientes:
Página: 6 Nombre:
Pagos t = 0 s1 s2
A1 0.8 1 1
A2 0.4 1 0
a) (5 puntos) Encuentre la inversión óptima.
Tenemos que el principio de separación se cumple por cuánto existen mercados de capi-
tales perfectos. Esto nos permite transportar riqueza de cualquier periodo/estado de la
naturaleza a otro:
Unidades en Traspasar a ¿Qué hacer?
t = 0 s1 Comprar A2
t = 0 s2 Comprar A1 y vender A2 (misma cantidad)
s1 s2
Comprar A1 y vender A2 (de
tal forma de tener 0 en t = 0)
Las transacciones opuestas permiten intercambiar los roles de las primeras dos columnas
y con ello mostramos que en efecto podemos mover riqueza libremente.
Dado que se cumple el principio de separación, tenemos que maximizar el VPN es lo
que cualquier individuo desea (independiente de sus preferencias) por cuanto mejoran sus
posibilidades de consumo.
Llamando qi el precio en t = 0 de 1 unidad de bien en si podemos escribir el VPN cuando
invertimos I según:
V PN(I) = −I + q1 · 1000 ·
(
1− e−I/100
)
+ q2 · 0,5︸︷︷︸
1−50%
·1000 ·
(
1− e−I/100
)
donde q1 y q2 los inferimos a partir de la tabla:
q1 = 0,4 ⇒ q2 = 0,8− 0,4 = 0,4
Maximizando V PN(I) tenemos como CPO:
dV PN
dI
= −1 + q1 · 1000 ·
(
−e−I/100
)
· −1
100
+ q2 · 0,5 · 1000 ·
(
−e−I/100
)
· −1
100
= 0
⇒ e−I/100 · (10 · q1 + 5 · q2) = 1
⇒ −I/100 = − ln(10 · q1 + 5 · q2)
⇒ I∗ = 100 · ln(10 · q1 + 5 · q2) ≈ 179,1759469
Si bien no forma parte de la pregunta, calculamos el VPN con la inversión óptima dado
que incide en b):
V PN(I∗) = 320,8240531
Página: 7 Nombre:
b) (5 puntos) Se sabe que el consumo óptimo en t = 1 es tal que C1(s1) = C1(s2); es decir,
consumen lo mismo independiente del estado de la naturaleza. Encuentre cuánto se consu-
me en t = 0 y en cada estado de la naturaleza de t = 1 (es decir, halle C∗0 , C
∗
1(s1), C
∗
1(s2)).
Llamando C1 = C1(s1) = C1(s2) tenemos que las preferencias quedan como
U(C0, C1) = lnC0 +
1
1,2
· lnC1
lo que nos deja como si estuviéramos bajo el caso de certidumbre. Por tanto la condicion
de tangencia queda como
∂U
∂C0
∂U
∂C1
=
1
C0
1
1,2 · C1
= 1 + r =
1
q1 + q2
= 1 + 25%
⇒ C∗1 =
1,25
1,2
· C∗0 (1)
La restricción presupuestaria es
C0+C1(s1)·q1+C1(s1)·q2 = V PN+VP Dotación = w = 320,8240531+1000 = 1320,8240531
usando que C1 = C1(s1) = C1(s2) nos queda
C0 + C1 · (q1 + q2) = w
Reemplazando el resultado de (1) en la ultima ecuación llegamos a
C∗0 =
w
1 + 1
1,2
≈ 720,4494835
C∗1 = C
∗
1(s1) = C
∗
1(s2) =
1 + r
1,2
· w
1 + 1
1,2
= 750,468212
c) (5 puntos) Explique cómo se implementa el consumo óptimo hallado en b) si Rivendel
explota la tecnoloǵıa (no la vende) en términos de los activos A1 y A2 a comprar/vender.
Con la inversión óptima es como si Rivendel tuviera una dotación de
(1000− I∗; f(I∗); 0,5 · f(I∗)) = (820,8240531︸ ︷︷ ︸
t=0
; 833,33333︸ ︷︷ ︸
s1
; 416,6666666︸ ︷︷ ︸
s2
)
por tanto para convertirla en su consumo deseado
(720,4494835; 750,468212; 750,468212)
debe realizar lo siguiente
Página: 8 Nombre:
Pagos en:
t = 0 s1 s2
Dotación + Producción 820.8240531 833.33333 416.666667
Compra A1 -267.0412363 333.801545 333.801545
Venta A2 166.6666654 -416.666663 0
Consumo Deseado 720.4494835 750.468212 750.468212
10. (15 puntos) En el páıs de Porterland existen 4 bonos libres de riesgo, cuyos precios
hoy (t = 0) y pagos futuros para los siguientes 4 años (t = 1, ..., 4) son lo siguientes:
Precio Pago
Bono t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
B1 16.9 10 0 10 0
B2 17.7 10 10 0 0
B3 14.9 0 10 0 10
B4 23.3 10 0 10 10
a) (5 puntos) Encuentre la tasa forward anualizada entre t = 1 y t = 4. ¿Cómo se puede
interpretar dicha tasa y por qué? Explique detalladamente.
Sabemos que
(1 + 1f4)
3 =
(1 + y4)
4
(1 + y1)
=
b1
b4
donde bt es el precio hoy de un cero con principal $1 y vencimiento en t años. Por tanto
nos basta con tener los precios de los bonos cero cupón a 1 y 4 años. Para obtenerlos
recurriremos a la idea del portafolio imitador
El bono 4 lo podemos ver como un portafolio de un bono B1 y 10 bonos cero cupón a 4
años:
23,3 = 16,9 + 10 · b4 ⇒ b4 = 0,64
El bono B3 es igual a un portafolio de 10 ceros a 2 y 4 años:
10 · b2 + 10 · b4 = 14,9 ⇒ b2 = 0,85
El bono B2 es igual a un portafolio de 10 ceros a 1 y 2 años:
10 · b1 + 10 · b2 = 17,7 ⇒ b1 = 0,92
Finalmente el bono 1 se compone de 10 bonos cero cupón a 1 y 3 años:
10 · b1 + 10 · b3 = 16,9 ⇒ b3 = 0,77
Con esto tenemos que
1f4 =
(
0,92
0,64
)1/3
− 1 ≈ 12,85893%
Página: 9 Nombre:
Esta tasa corresponde al yield que debiera tener un cero cupón a tres años en t = 1 para
que hoy (t = 0) exista indiferencia entre comprar el cero a 4 años o comprar un cero a
un año y en t = 1 comprar dicho cero a 3 años. Alternativamente 1f4 es la tasa a la cual
podemos endeudarnos/invertir entre t = 1 y t = 4, pero con transacciones efectuadas
hoy, asegurándose aśı dicha tasa.
b) (5 puntos) Encuentre la yield de un bono bullet con tasa de carátula 10% y vencimien-
to en t = 2. Adicionalmente calcule la duración de Macaulay y modificada para este bono.
Consideremos un bono bullet con principal de $1con precio P , luego su TIR está descrita
impĺıcitamente por1
P =
0,1
1 + TIR
+
1,1
(1 + TIR)2
⇒ TIR = 0,1 +
√
0,12 + 4 · P · 1,1
2 · P
(2)
en donde descartamos la ráız negativa dado que se obtienen TIR < −100%. El precio
hoy del bullet es de
P = 0,1 · b1 + 1,1 · b2 = 1,027
luego la yield del bono es
TIR = 8,476%
(la solución con ráız negativa es -198.738%).
La duración la podemos calcular fácilmente con
DMac = 1 ·
0,1 · b1
0,1 · b1 + 1,1 · b2
+ 2 · 1,1 · b2
0,1 · b1 + 1,1 · b2
= 1,91 años
DMod =
DMac
1 + y∗
=
1,91
1 + 8,476%
≈ 1,760758
c) (5 puntos) ¿En cuánto cambia la yield del bono bullet de b) cuando la tasa del bono
cero cupón a 2 años sube en 150 puntos base? ¿Cuánto es el nuevo valor del bono en este
caso? Compare el ajuste resultante con el predicho por la duración y explique.
La nueva yield del cero a dos años es
yNueva2 =
1
b0,52
+ 1,5%− 1 = 9,9652289% > y2 = 8,4652289%
luego el nuevo precio del cero a dos años es
bNuevo2 =
1
(1 + 9,9652289%)2
= 0,82696
1Da lo mismo el monto del principal, porque el precio del bono es proporcional a éste.
Página: 10 Nombre:
mientras que el del bullet seŕıa
P nuevo = 0,1 · b1 + 1,1 · bNuevo2 ≈ 1,00166591
Reemplazando en (2) encontramos un nuevo yield para el bullet de
TIR = 9,904135296%
El cambio predicho por la duración es de
∆%P = −DMod ·∆y = −1,760758 · (9,904135296%− 8,476%) = −2,5146%
mientras que el cambio observado es de
1,00166591
1,027
− 1 = −2,4668%
por tanto corroboramos que si bien la duración entrega una predicción muy cercana al
cambio efectivo, como siempre hallamos que sobreestima la pérdida de valor tras un alza
de las tasas de descuento.
11. (10 puntos) Su banco le ofrece dos formas alternativas excluyentes de financiamiento:
“POCOAPOCO” y “ALTIRO”. En el primer caso, la cantidad de dinero total que recibe en
préstamo es un poco menor, pero puede pagar el total adeudado después, tal como se ve en
la siguiente tabla:
t = 0 t = 1 t = 2 TIR
POCOAPOCO 32 20 -61 10.31%
ALTIRO 55 -60 0 9.09%
¿Es evidente que conviene endeudarse ALTIRO por tener menor TIR? Para su respuesta
haga un gráfico preciso del Valor Presente Neto de cada alternativa en función de la tasa
de descuento. Describa detalladamente y resuelva para este caso espećıfico cómo podŕıa
utilizarse la TIR para llegar a la decisión correcta. Haga expĺıcito el criterio de decisión y
las fórmulas utilizadas.
Si la afirmación es correcta entonces el proyecto incremental POCOAPOCO → ALTIRO
debe tener VPN positivo, independiente de la tasa de descuento prevaleciente.
t = 0 t = 1 t = 2
ALTIRO-POCOAPOCO 23 -80 61
La TIR del proyecto incremental resuelve:
23− 80
(1 + TIR)
+
61
(1 + TIR)2
= 0
⇒ TIR = 80±
√
802 − 4 · 23 · 61
2 · 23
− 1
⇒ TIR1 = 12,89% TIR2 = 134,93%
y nos dice bajo que tasas de descuento estamos indiferenctes entre uno u otro esquema de
deuda.
Página: 11 Nombre:
Si las tasas son muy bajas, no conviene ninguno dado que podriamos financiarnos a
la tasa de descuento y no con los programas propuestos. Luego para r ≤ 9,09% no se
elige ningún programa.
Si las tasas de descuento son muy altas (r → ∞), el esquema más conveniente será
ALTIRO: el VP se acercará a 55, mientras que la alternativa sólo a 32. Esto ocurre
desde r = 134,93% en adelante.
Para las tasas de descuento 9,09% ≤ r ≤ 12,89% conviene ALTIRO.
Para las tasas de descuento 12,89% ≤ r ≤ 134,93% conviene POCOAPOCO.
Por tanto encontramos que no siempre conviene endeudarse con el esquema que tenga menor
TIR, pues la respuesta depende de la tasa de descuento. En nuestro caso, si la tasa de
descuento esta entre 9,09% y 12,89% conviene el programa de deuda ALTIRO que posee la
mayor TIR.