Ejercicios Resueltos Contabilidad y Toma de Decisiones Arellano Blackburn

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
CONTABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES 
EAA 213 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HERNÁN ARELLANO 
STEPHEN BLACKBURN 
JULIO 1999 
CC. EW. 2004 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 1 
INTRODUCCIÓN 
 
 En los cursos de contabilidad es sumamente importante enfrentar los problemas que 
surgen con un claro dominio de la materia, pues nuestras decisiones se basarán en los 
resultados que obtengamos. En la vida laboral, muchas de estas decisiones involucrarán a 
terceras personas, que exigirán explicaciones claras y bien fundamentadas de éstas. Por esto 
creemos que es muy importante saber traducir los conceptos aprendidos en clases a 
números en problemas específicos. 
 El siguiente apunte es una recopilación de ejercicios de diversos temas relacionados 
especialmente con el curso “Contabilidad y Toma de Decisiones”, desarrollados en forma 
clara y exhaustiva. El objetivo de este trabajo es ayudar a comprender estos temas, de 
forma que sirvan como referencia para el planteamiento y resolución de problemas con 
mayor facilidad. 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 Queremos agradecer sinceramente a todas aquellas personas e instituciones que 
ayudaron a la creación de este apunte. 
 Queremos agradecer a la Escuela de Administración de la Pontificia Universidad 
Católica de Chile, los recursos destinados a este trabajo. 
 En particular, a los profesores Eduardo Walker, Fernando Lefort y Alvaro Pereyra 
por la elaboración de la mayoría de los temas que aquí se desarrollan, por su colaboración 
en la resolución, compilación y lectura crítica de este trabajo. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 2 
MERCADO DE CAPITALES, INCERTIDUMBRE E INFORMACIÓN 
 
 
 
 “Los mercados de capital se componen de los mercados en los cuales se emiten y 
negocian valores de mediano y largo plazo de individuos, empresas y entidades 
gubernamentales. Frecuentemente se subdividen en tres partes: el mercado de bonos, el 
mercado hipotecario y el mercado de acciones.”1 
 El mercado de capitales es la herramienta que nos permite tomar decisiones 
separadas entre producción y consumo, maximizando de esta forma nuestro bienestar. 
 La información es un bien que tiene el potencial de aumentar el bienestar de las 
personas, por el solo hecho de reducir la incertidumbre, también nos brinda la oportunidad 
de revisar una decisión (la nueva información). Es hoy una de las principales herramientas 
en el proceso de toma de decisiones, pues en mercados tan competitivos como los actuales 
sería sumamente riesgoso tomar decisiones de inversión sin contar con un completo sistema 
de información. La existencia de información que no es perfecta genera las decisiones bajo 
incertidumbre. 
 
1 “Administración Financiera”, L. Schall y C. Haley, Edit. Mc Graw Hill, 1988. Pág. 33. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 3 
- Ejercicio 1: 
 
Un inversionista posee una riqueza inicial de US$ 1.000 y debe decidir en que 
acción colocar su dinero. Él ha hecho una selección de lo que piensa que son las mejores 
alternativas de inversión, éstas son: la empresa eléctrica "Corriente S.A.", la petrolera 
"Petroleus S.A." y la forestal "Papelón S.A.". 
Las condiciones climáticas afectan fuertemente la rentabilidad de las acciones 
Corriente. Si hay sequía la rentabilidad anual será de solo un 5%, si el año es de lluvias 
normales ésta será de 7,5% y si es extremadamente lluvioso llegará a un 9%. La 
probabilidad de sequía es de 5% y la de tener un año muy lluvioso es 15%. 
A su vez Petroleus se ve fuertemente afectada por los cambios en el precio del 
petróleo internacional. Si este sube a más de US$25 por barril, la rentabilidad sería de un 
10%, si está entre US$18 y US$25 la rentabilidad baja a un 7%, y si el precio está bajo los 
US$18 alcanza a un 6%. La probabilidad de que el precio del barril sobrepase los US$25 es 
de 3% y de que sea menor a los US$18 es 8%. 
En el rubro forestal se pueden dar varias posibilidades tanto en el nivel de precios 
como en la calidad de la madera. Habrán precios buenos o malos y la calidad de la madera 
puede ser buena, regular o mala. Si el precio internacional es bueno las rentabilidades 
posibles son: 20% para madera buena, 10% para madera regular y un 5% para madera 
mala. Si el precio internacional es malo las rentabilidades serán de: 10% para madera 
buena, 5% para madera regular y -2% para madera mala. La probabilidad de obtener 
madera buena es de un 20% y de que salga mala 10%. Hay un 30% de posibilidades de 
obtener un buen precio para la madera este año. 
 
a) Determine qué acción le conviene comprar a este inversionista, si tiene una función de 
utilidad 4)( wwU = , donde w representa la riqueza al final del año. 
 
b) ¿Qué rentabilidad cierta anual debería ofrecer un banco a este inversionista para que no 
compre acciones sino que coloque los US$1.000 en el banco? 
 
c) ¿Cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar otro inversionista por información 
perfecta respecto a si el precio de la madera será bueno o malo? Suponga que está de 
acuerdo con las probabilidades y rentabilidades estimadas anteriormente y que la 
función de utilidad del nuevo inversionista es U(w) = w. 
 
Suponga que cuenta con la misma riqueza inicial de US$1.000. 
 
Hay un tercer inversionista que analiza la probabilidad de invertir en acciones corriente 
o en bonos que rinden una tasa anual del 8%. La función de utilidad es )ln()( wwU = , 
donde w es la riqueza final. 
 
d) ¿Qué decisión le conviene tomar? 
 
e) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por información perfecta para conocer las 
condiciones del tiempo durante el próximo año este tercer inversionista? 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 4 
 
f) La oficina meteorológica de la ciudad puede entregar datos respecto a cómo será el 
clima durante el próximo año. Históricamente los años de sequía habían sido 
pronosticados correctamente un 80% de las veces, los años con lluvia normal un 90% y 
los muy lluviosos un 95% de las veces. Además se sabe que un 5% de los años secos se 
pronosticaron como muy lluviosos; un 8% de los años con lluvia normal se 
pronosticaron como muy lluviosos. Por último, un 3% de las veces se pronosticó sequía 
y resultaron ser años muy lluviosos. Si la oficina meteorológica cobra US$1 por esta 
información, ¿le conviene comprarla ? 
 
- Solución: 
 
a) Para analizar la conveniencia de cada acción debemos comparar la utilidad que se 
esperaría de cada compra. Para facilitar la comprensión de este ejercicio realizaremos 
un árbol de decisión. Los árboles de decisión son representaciones gráficas de los 
problemas que nos permiten ver el problema desde una perspectiva amplia y clara. 
 
Sequía (5%) 1.050
d1 (Corriente) Normal (80%) 1.075
Lluvioso (15%) 1.090
Precio > 25 (3%) 1.100
d2 (Petroleus) 18 < Precio < 25 (89%) 1.070
Precio < 18 (8%) 1.060
M. Buena (20%) 1.200
Precios Buenos (30%) M. Regular (70%) 1.100
M. Mala (10%) 1.050
d3 (Papelón)
M. Buena (20%) 1.100
Precios Malos (70%) M. Regular (70%) 1.050
M. Mala (10%) 980
 
En este árbol de decisión se puede ver claramente cuáles son todos los eventos 
posibles y cuál sería nuestra riqueza final dado cada uno de estos eventos. Por ejemplo si 
decidimos comprar la acción Corriente y se da un período de sequía sabemos que la 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 5 
rentabilidad es de 5% y como nuestra riqueza inicial es de US$1.000, por esa razón la 
riqueza final en ese caso es de US$1.050. 
 
En los árboles de decisión existe una simbología, la existencia de un cuadrado 
significa que nosotros podemos intervenir y tomar la decisión de qué camino seguir; pero la 
existencia de círculos significa que el camino que se seguirá finalmente está fuera de 
nuestras manos, es decir, cualquier paso siguientees totalmente aleatorio y no lo podemos 
controlar. Por ejemplo, nosotros podemos decidir qué acción comprar. Supongamos que 
nuestra decisión fue adquirir la acción Papelón, una vez adquirida ya no podemos decidir si 
los precios serán buenos o malos o si la calidad de la madera será buena, regular o mala. 
Todos esos eventos están fuera de nuestro control. 
 
 Para decidir entonces cuál es la acción que nos conviene comprar compararemos la 
esperanza de la utilidad en cada caso, es decir, ponderando por las respectivas 
probabilidades de ocurrencia de los eventos y considerando que se tiene una función de 
utilidad: 
4)( wwU = 
 
( )[ ] 7273115,5090.1*15,0075.1*8,0050.1*05,0)1;( 444 =++=dswUE 
( )[ ] 7194578,5060.1*08,0070.1*89,0100.1*03,0)2;( 444 =++=dswUE 
( )[ ] [ ]444 050.1*1,0100.1*7,0200.1*2,0*3,0)3;( ++=dswUE 
[ ] 7205116,5980*1,0050.1*7,0100.1*2,0*7,0 444 =+++ 
 
Dado que la esperanza de la utilidad de la acción Corriente es la más alta, esa es la 
acción en la cual nos conviene invertir. 
 
b) Para saber cuál debiera ser la rentabilidad que nos debiera ofrecer un banco para que en 
el límite yo esté indiferente entre comprar la acción o colocar los US$1.000 en el banco, 
debemos considerar el valor del equivalente cierto. Recordemos que el equivalente 
cierto es el mínimo monto que yo estoy dispuesto a recibir con tal de no tener que 
participar de esa lotería. Por lo tanto calcularemos el monto del equivalente cierto en el 
caso de la acción Corriente y calcularemos que rentabilidad se obtendría con ese monto. 
 
( ) 9775,075.1727,5 4 = 
%6,7≥∴r 
 
Entonces vemos que la tasa que me ofrece el banco debe ser mayor o igual que 
7,6% para que yo no compre la acción e invierta en el banco. 
 
c) Para calcular lo máximo que estaría dispuesto a pagar por información perfecta debo 
analizar cual sería mi decisión de inversión dado que sé cual será el estado que se va a 
dar, es decir, si yo supiera que el precio será bueno, donde invertiría. Este análisis se 
hace para cada estado y le restamos una constante (C) que representará el precio que 
estoy pagando por la información perfecta. Luego debemos ponderar cada una de 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 6 
nuestras decisiones óptimas por la probabilidad de que se dé ese estado de la naturaleza. 
(Luego con un cálculo pequeño vemos cuanto sería lo máximo que estaría dispuesto a 
pagar). 
 
( ) wwU = 
 
Si la señal es Y1 (precio bueno) ¿Dónde me conviene invertir? 
 
Corriente: E(U/Y1) = 0,05*1.050 + 0,8*1.075 + 0,15*1.090 – C = 1.076 – C 
Petróleo: E(U/Y1) = 0,03*1.100 + 0,89*1.070 + 0,08*1.060 – C = 1.070 – C 
Papelón: E(U/Y1) = 0,2*1.200 + 0,7*1.100 + 0,1*1.050 – C = 1.115 – C 
 
De aquí vemos que si me dan la señal Precio Bueno yo elegiría invertir en las 
acciones Papelón, pero ¿qué sucede si la señal fuera Y2 (precio malo)? ¿Dónde me 
conviene invertir? 
 
Corriente: E(U/Y2) = 0,05*1.050 + 0,8*1.075 + 0,15*1.090 – C = 1.076 – C 
Petróleo: E(U/Y2) = 0,03*1.100 + 0,89*1.070 + 0,08*1.060 – C = 1.070 – C 
Papelón: E(U/Y2) = 0,2*1.100 + 0,7*1.050 + 0,1*980 – C = 1.053 – C 
 
Notemos que la utilidad esperada de las acciones Corriente y Petróleo no cambia 
ante esta nueva información. Sin embargo en este caso la decisión correcta será invertir en 
las acciones Corriente. 
 
Por lo tanto debemos ver cual es la esperanza de la utilidad dado este nuevo sistema 
de información perfecta, ponderando las utilidades que obtendríamos bajo cada señal por la 
probabilidad de que se de esa señal. 
 
EYU= 0,3*(1.115 –C) + 0,7*(1.076 –C) = 1.087,7 – C 
 
Para calcular lo máximo dispuesto a pagar por información perfecta debemos 
igualar nuestra utilidad obtenida con información perfecta con la que podríamos obtener del 
banco. 
 
1.087,7 – C = 1.076 
C = 11,7 
 
Pero este valor de C fue calculado como lo dispuesto a pagar al final del período por 
lo que lo máximo que estaré dispuesto a pagar hoy por esta información será el valor 
presente de C, es decir: 
 
87,10
%6,71
7,11
1
7,11
=
+
=
+ r
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 7 
 
d) )ln()( wwU = 
Sequía (5%) 1.050
Corriente Normal (80%) 1.075
Lluvioso (15%) 1.090
Bono 1.080
 
Para analizar qué decisión nos conviene tomar debemos comparar cuál será la 
utilidad que se obtendría en las diferentes situaciones. 
 
( )[ ]
( )[ ] 98471632,6)080.1ln(
9809779,6)090.1ln(*15,0)075.1ln(*8,0)050.1ln(*05,0
==
=++=
B
C
wUE
wUE
 
 
Por lo tanto vemos que la decisión que le conviene tomar es invertir en Bonos. 
 
e) Debemos analizar cuál sería la mejor alternativa de decisión cuando se tiene certeza de 
cuál será el estado de la naturaleza que ocurrirá. Supongamos que: 
 
Y1 = Sequía 
Y2 = Normal 
Y3 = Lluvioso 
 
 Dado Y1: 
 
( )[ ]
( )[ ] )080.1ln(1/
)050.1ln(1/
CYBUE
CYCUE
−=
−=
 
Vemos que sería conveniente invertir en el Bono. 
 
Dado Y2: 
 
( )[ ]
( )[ ] )080.1ln(2/
)075.1ln(2/
CYBUE
CYCUE
−=
−=
 
Vemos que sería igualmente conveniente invertir en el Bono. 
 
 Dado Y3: 
 
( )[ ]
( )[ ] )080.1ln(3/
)090.1ln(3/
CYBUE
CYCUE
−=
−=
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 8 
 
Vemos que cambia nuestra decisión, pues en este caso la utilidad que se alcanzaría 
invirtiendo en Corriente sería mayor. 
 
Debemos comparar la esperanza de la utilidad con información perfecta ponderada 
con las respectivas probabilidades de ocurrencia de los estados de la naturaleza, con la 
utilidad que se obtendría del bono, de manera de encontrar el máximo monto que estaría 
dispuesto a pagar por la información perfecta. 
 
[ ] [ ] [ ]
3834,1
08,1
4941,1
1
4941,1
4941,1
)080.1ln(090.1ln(15,0)080.1ln(8,0)080.1ln(05,0
==
+
=
=−+−+−=
r
C
CCCUE Y
 
Por lo tanto lo máximo que estaré dispuesto a pagar hoy por información perfecta 
acerca de las condiciones del tiempo es de 1,3834. 
 
f) Debemos construir entonces la matriz de información con las probabilidades revisadas, 
esta matriz se construye de la siguiente forma: 
 
 
 Y1 Y2 Y3 π π (S/Y1) π (S/Y2) π (S/Y3)
S1 0,8 0,15 0,05 0,05 0,6612 0,0102 0,0119
S2 0,02 0,9 0,08 0,8 0,2645 0,9856 0,3062
S3 0,03 0,02 0,95 0,15 0,0744 0,0143 0,6818
P(Y) 0,0605 0,7305 0,209 1 1 1 1
 
 Donde: S1=Seco; S2=Lluvia Normal; S3=Muy Lluvioso. 
Para la construcción de esta matriz de información es necesario tener muy claros los 
conceptos estadísticos, especialmente el teorema de Bayes. (Ver apunte “Decisiones bajo 
incertidumbre..” de Eduardo Walker) 
 
Una vez completo el cuadro, analizamos cual sería la decisión óptima dada cada una 
de las señales, observando ahora la matriz de probabilidades revisadas. Aquí a la riqueza 
que se esperaba de cada estado hay que restarle el valor de la información que es de $1. 
 
[ ]
[ ] 9837,6)079.1ln()1/(
9653,6)089.1ln(*0744,0)074.1ln(*2645,0)049.1ln(*6612,0)1/(
==
=++=
YBUE
YCUE
 
 
Vemos que si me dicen que viene sequía lo más conveniente sería invertir en el 
Bono. 
Ahora veremos qué sucede si la señal que viene es Lluvia Normal. 
 
[ ]
[ ] 9837,6)079.1ln()2/(
9789,6)089.1ln(*0143,0)074.1ln(*9856,0)049.1ln(*0102,0)2/(
==
=++=
YBUE
YCUE
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 9 
Dado que la señal fue Lluvia Normal igual será conveniente invertir en el Bono. 
Finalmente debemos analizar la conveniencia de inversión dado que la información es Muy 
Lluvioso. 
 
[ ]
[ ] 9837,6)079.1ln()3/(
9876,6)089.1ln(*6818,0)074.1ln(*3062,0)049.1ln(*0119,0)3/(
==
=++=
YBUE
YCUE
 
 
Aquí la situación es diferente, es decir, dada la señal Y3 (Muy Lluvioso), invertir en 
corriente me genera mayor utilidad que en Bonos. 
 
Por lo tanto la utilidad esperada con información perfecta es: 
 
9845,69876,6*209,09837,6*7305,09837,6*0605,0 =++=UEY 
 
Sabemos que ( )UEUEVEIP Y −= .Como EYU = 6,9845 y E(U) = 6,9847 no 
estaremos dispuestos a pagar por información perfecta en este caso, pues ( ) U. E UE Y> . 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 10 
- Ejercicio 2: 
 
Suponga un país donde se cumplenlas siguientes condiciones: 
 
i. Inversionistas neutrales frente al riesgo. 
ii. Expectativas Homogéneas. 
iii. Mercado de Capitales Perfecto. 
 
La siguiente es la matriz de pagos de tres de los activos existentes en esta economía 
para el próximo período. 
 
 S1 S2 S3 
Activo 1 0 16 17 
Activo 2 15 20 14,5 
Activo 3 32 22 12 
 
 
 A todos los activos de esta economía se les exige una rentabilidad esperada de un 
10% 
 
a) Si las probabilidades de ocurrencia son las mismas para los tres estados. Si el mercado 
se comporta en forma eficiente con respecto al sistema de información. ¿Qué precios 
deberían tener los activos? 
 
b) Un inversionista de este país logra establecer un nuevo sistema de información en base 
a información absolutamente desconocida por el mercado. Este nuevo sistema entregará 
una señal en breves instantes más y tiene la siguiente estructura de información: 
 
p(Y/S) 
 Y1 Y2 
S1 0 1 
S2 1 0 
S3 1 0 
 
 Si este inversionista recibe la señal Y1, ¿Qué estrategia de inversión le brindaría una 
rentabilidad esperada "sobre normal" ? ¿Y si recibe la señal Y2? 
 
c) Los habitantes de este país incrementan sus preferencias por consumo presente, lo que 
lleva a que la rentabilidad esperada exigida a los activos en esta economía experimente 
un alza, llegando ésta a un 25%. ¿Cuál será el precio futuro esperado de los activos? 
¿Cuál será el precio que deberá exigir hoy? 
 
d) Suponga ahora que el sistema de información es público y que el mercado es eficiente 
en su forma semi-fuerte. ¿Cuál es el valor de este sistema de información para cualquier 
individuo participante del mercado? 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 11 
e) Antes de recibir el mercado alguna señal dada por el nuevo sistema. ¿Qué precios 
deberían tener los activos hoy? 
 
f) Bajo los mismos supuestos que en d). Si el sistema de información diera la señal 1, 
¿Cuál sería el precio futuro esperado y el precio actual de los activos en el mercado? 
 
- Solución: 
 
a) Si las probabilidades de ocurrencia de los estados son iguales y el mercado se comporta 
eficientemente respecto al sistema de información exigiendo rentabilidades de 10% a 
todos los activos, entonces: 
 
Fórmula general: 
 
i
n
i FP ∗=+∗ ∑
1
)1( πµ 
 
donde P es el precio del activo, µ es la rentabilidad del activo, πi es la probabilidad 
de ocurrencia del estado i, Fi es el flujo de caja esperado para el estado i. 
 
Entonces: 
 
20
)122232(*
3
1%)101(*
15
)5,142015(*
3
1%)101(*
10
)17160(*
3
1%)101(*
2
3
2
2
1
1
=
++=+
=
++=+
=
++=+
P
P
P
P
P
P
 
b) Como seguimos suponiendo que la probabilidad de ocurrencia de los estados sigue 
siendo la misma, entonces debemos construir la tabla de probabilidades revisadas dado 
el sistema de información que se tiene, este quedará entonces de la siguiente manera. 
 
 Y1 Y2 π π(S/Y1) π(S/Y2) 
S1 0 1 1/3 0 1 
S2 1 0 1/3 1/2 0 
S3 1 0 1/3 1/2 0 
P(Y) 2/3 1/3 1 1 1 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 12 
 Vemos cual será el activo que nos brinde una utilidad sobrenormal dado Y1 y dado 
Y2. 
Dado Y1: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) %1512*
2
122*
2
132*0120
%155,14*
2
120*
2
115*0115
%6517*
2
116*
2
10*0110
3
2
1
−=⇒




+




+=+
=⇒




+




+=+
=⇒




+




+=+
µµ
µµ
µµ
 
Dado Y2: 
 
%6032*1)1(20
%015*1)1(15
%1000)1(10
3
2
1
=⇒=+
=⇒=+
−=⇒=+
µµ
µµ
µµ
 
Aquí podemos notar claramente que dada Y1 podríamos obtener rentabilidades 
sobrenormales en comprando el activo 1 y el 2 y vendiendo el activo 3; en cambio, dado Y2 
podríamos obtenerlas comprando el activo 3 y vendiendo los activos 1 y 2. 
 
 
c) Los precios actuales serían los siguientes: 
 
( )
( )
( ) 6,1712*
3
122*
3
132*
3
1%251*
2,135,14*
3
120*
3
115*
3
1%251*
8,817*
3
116*
3
10*
3
1%251*
33
22
11
=⇒




+




+




=+
=⇒




+




+




=+
=⇒




+




+




=+
PP
PP
PP
 
El precio futuro de estos activos será llevar a valor futuro, el precio actual de estos activos, 
a la tasa que se exige en el mercado. Es decir: 
 
Activo 1: 8,8*(1,25)=11 
 
Activo 2: 13,2*(1,25)=16,5 
 
Activo 3: 17,6*(1,25)=22 
 
 
d) El valor de este sistema de información sería cero pues si el mercado es eficiente en su 
forma semi-fuerte, es decir incorpora toda la información histórica y pública existente, 
los precios se ajustarán inmediata e insesgadamente. Por lo tanto no habrá 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 13 
sobrerreacciones ni subrreacciones en los precios. Todo esto hace que los individuos no 
compren el sistema de información pues no podrán obtener mayor rentabilidad producto 
de esta compra. 
 
e) El precio debe mantenerse igual que cuando llegó la última información puesto que el 
mercado no posee la nueva información, por lo tanto no cambiarían los precios. 
 
f) Si se diera la señal 1, los precios de los activos serían los siguientes: 
 
6,1312*
2
122*
2
1)32*0(%)251(*
8,135,14*
2
120*
2
1)15*0(%)251(*
2,1317*
2
116*
2
1)0*0(%)251(*
33
22
11
=⇒




+




+=+
=⇒




+




+=+
=⇒




+




+=+
PP
PP
PP
 
Y los precios futuros de estos activos serían los siguientes: 
 
Activo 1: 13,2*(1,25)=16,5 
 
Activo 2: 13,8*(1,25)=17,25 
 
Activo 3: 13,6*(1,25)=17 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 14 
ACTITUDES FRENTE AL RIESGO 
 
 
 
Las personas son diferentes y estas diferencias se notan según las actitudes que 
tienen frente al riesgo. Existen tres grupos diferentes de actitudes frente al riesgo: Aversos, 
Neutrales y Preferentes por el riesgo. 
Supondremos que existe una función de utilidad que nos permite evaluar las 
alternativas, esta función que será del tipo U(w) (donde w mide la riqueza del individuo) 
mide el bienestar en útiles. La forma que presente esta función de utilidad determinará la 
actitud que tiene cada persona frente al riesgo. 
 La aversión al riesgo es aquella actitud que tienen aquellas personas que prefieren 
evitar el riesgo de una u otra forma; es más, muchas veces están dispuestos a pagar con el 
fin de eliminar el posible riesgo que están corriendo. Este caso queda claramente 
visualizado en la actitud que toman las personas al contratar algún tipo de seguro, ya sea 
automotriz, de vida, isapres, etc. 
Generalmente cuando hay más riesgo se puede esperar una mayor rentabilidad. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 15 
- Ejercicio 3: 
 
Aversiño tiene una riqueza inicial de US$100.000 y su función de utilidad es U(w) = ln 
(w), donde w es la riqueza total final. 
 
a) La riqueza final de Aversiño consiste en los US$100.000 iniciales más un juego que 
puede tener los siguientes resultados: ganar US$30.000 con probabilidad 40% o perder 
US$20.000. A este señor se le ofrece un seguro que lo protege contra la posibilidad de 
perder los US$20.000 (el seguro paga sólo en ese caso), el que cuesta US$13.800. ¿Lo 
compra? 
b) Aversiño no contrató el seguro y la suerte no lo acompañó. Perdió US$20.000 y así su 
riqueza quedó en US$80.000. Si es sometido nuevamente al mismo juego y también se 
le ofrece el seguro, ¿lo compraría esta vez? 
 
- Solución: 
 
a) Primero debemos identificar qué actitud frente al riesgo tiene Aversiño, para lo cual 
veremos qué signo tiene la segunda derivada: 
 
 
Por lo tanto vemos que es averso al riesgo, por lo que si graficamos esta función 
tendremos una situación como la siguiente: 
 
 
 
U(w) 
w 
80.000 130.000100.000
11,77 
11,48 
11,51 
11,28 
W ∗ 
( )
28,11)000 . 80 ln( 
51,11)000. 100 ln( 
77,11000. 130 ln 
=
=
=
 
01
)( 22
2
<−=
∂
∂
WW
U
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 16 
EU(W)=0,4*ln(130.000) + 0,6*ln(80.000)=11,483985 
Ahora estimamos la utilidad esperada con el seguro, lo que da: 
EU(W)=0,4*ln(130.000-13800) + 0,6*ln(100000-13800) = 11,4838825 
Por lo queno se toma el seguro. 
 
b) Ahora nuestra riqueza inicial es de 80.000 y nos enfrentamos a una riqueza final 
incierta de 110.000 con probabilidad de 40% o de 60.000 con una probabilidad de 60%. 
De esta forma: 
 
EU(w)=0,4*ln(110.000) + 0,6*ln(60.000) =11,2445542 
Con seguro: 
EU(w)=0,4*ln(110.000-13.800) + 0,6*ln(80.000-13.800) = 11,2499353. 
La utilidad esperada es mayor con el seguro; se toma. Esto ocurre porque ahora el nivel 
inicial de la riqueza es menor, lo que implica que el efecto de las pérdidas sobre el bienestar 
a su vez es mayor. 
 
. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 17 
- Ejercicio 4: 
 
Suponga que Usted es un inversionista con una función de utilidad wwU =)( . Este es 
un mundo de sólo dos períodos y su riqueza a fines del período uno es incierta, pudiendo 
tomar dos posibles valores: US$ 10.000 en el estado 1 y US$ 3.600 en el estado 2. La 
probabilidad de que ocurra el estado 1 es 25%. 
 
a) Encuentre la riqueza esperada. 
 
b) Encuentre su utilidad esperada. 
 
c) Determine el monto máximo que usted estaría dispuesto a pagar en una compañía de 
seguros de manera de tener una riqueza cierta en el futuro igual a su riqueza esperada. 
Grafique. 
 
d) Dados los demás supuestos de c), ¿cuál debería ser la probabilidad de recibir US$3.600 
que justifique pagar una prima de US$ 400? 
 
e) Suponga que la probabilidad de que ocurra el estado 1 cambia a 0,5 para cualquier tipo 
de proyecto. Se le ofrece también otro proyecto de flujos inciertos. Se esperan flujos de 
US$ 8.100 en períodos buenos y US$ 2.500 en períodos malos. ¿Cambiaría el proyecto 
antiguo por este nuevo? Grafique. 
 
f) ¿Cuál sería el mínimo monto en períodos malos que soportaría el proyecto 2 para que se 
estuviera indiferente entre elegir éste o el primer proyecto? (Suponga una probabilidad 
igual a 0,5 para ambos estados) 
 
- Solución: 
 
a) 52003600*75,0000.10*25,0)( =+=wE 
 
b) ( )[ ] 70600.3*75,0000.10*25,0` =+=wUE útils. 
 
c) W∗ = U-1(EU(w))=4.900 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 18 
Máximo monto que estoy dispuesto a pagar es de 300 (5200-4900) 
 
U(w)
w
3.600 10.0005.200
100
70
72,11
60
W∗
 
 
d) ααα 400.6000.10)(600.3)1(000.10)( −=+−=wE 
400)600.1000.8000.10(400.6000.10
)40100(
40100)(600.3)1(000.10)(
2
2
=+−−−∴
−=∗
−=+−=
ααα
α
ααα
W
wEU
 
 
Despejando llegamos a que α=0,5 
 
e) Para analizar esta situación haremos una comparación entre los valores del equivalente 
cierto en cada proyecto. Yo voy a preferir aquel proyecto que tenga un mayor 
equivalente cierto. Entonces: 
 
 
900.4
705,0*500.25,0*100.8)(
300.55,0*500.25,0*100.8)(
400.6
805,0*600.35,0*000.10)(
800.65,0*600.35,0*000.10)(
2
2
2
1
1
1
=∗
=+=
=+=
=∗
=+=
=+=
W
útileswEU
wE
W
útileswEU
wE
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 19 
Dado que el equivalente cierto de la primera alternativa es mayor que el de la segunda 
decidimos no cambiarnos de proyecto. 
 
f) Si vamos a estar indiferentes entre este y el otro proyecto nuestro nivel de utilidad debe 
permanecer constante, es decir: 
 
 
Donde X es el mínimo monto en períodos malos que nos dejaría indiferentes entre este 
proyecto y el anterior. 
 
900.4
5,0*5,0*100.880
)()( 21
=
+=
=
X
X
wEUwEU
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 20 
- Ejercicio 5: 
 
 
Un inversionista que tiene aversión al riesgo vive en un mundo de dos períodos (t0 y t1). 
Este inversionista tiene solo dos alternativas para invertir su riqueza: 
 
 S1 S2 
Alternativa A W1 W2 
Alternativa B W1-200 W2+300 
Probabilidad 0,6 0,4 
 
Wi representa la riqueza terminal (en t1) asociada a la alternativa asociada al estado Si 
(i=1,2) y W2 > W1. 
 
Utilizando un análisis gráfico, demuestre que el equivalente cierto y la utilidad esperada 
asociadas a la Alternativa A serán siempre superiores al equivalente cierto y la utilidad 
esperada asociados a la alternativa B. Identifique cada punto relevante en su gráfico. 
 
- Solución: 
 
U(w)
w
W1 w2E(wa)=E(wb)
U(w2)
EU(wa)
U(w0)
U(w1)
wa*
EU(wb)
W2+300W1-200
U(w1-200)
U(w2+300)
Wb*
 
 
E(wa)= 0,6*w1 + 0,4* w2 
E(wb)= 0,6*(w1 – 200)+ 0,4*(w2 + 300) = 0,6*w1 + 0,4* w2= E(wa) 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 21 
PRINCIPIO DE SEPARACIÓN DE FISCHER 
 
 
 
 El principio de separación de Fischer es una herramienta que sirve para maximizar 
la riqueza de un individuo en un mercado de capitales perfecto. El concepto es que cuando 
se tiene acceso ilimitado a un mercado de capitales con una tasa de interés única, las 
decisiones de inversión y de consumo son independientes entre sí. Más claramente, se 
decidirá cuánto invertir en un proyecto maximizando la riqueza del individuo, lo que 
generará una restricción presupuestaria (la riqueza que tendrá disponible). Como el 
mercado de capitales tiene una única tasa de interés, maximizamos la utilidad del individuo 
repartiendo el consumo de esa riqueza a través del tiempo según sus preferencias. 
 Este concepto es muy útil para generar una visión clara del intercambio 
intertemporal de la riqueza, y para conocer la utilidad de la existencia de un mercado de 
capitales. También es el punto de partida para comprender el mercado de capitales 
imperfecto, al que tenemos acceso en la realidad. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 22 
- Ejercicio 6: 
 
 Fiji es un mundo cierto de dos períodos donde se consume sólo el codiciado bien 
"spizdi". La tasa única de interés de mercado (en spidzis) es r. 
Toñín Sau Sau tiene la siguiente función para producir spidzis a futuro (donde I0 
representa la inversión): 
 
( ) 00 23 IIF ⋅= 
 
a) Encuentre una función que relacione la cantidad óptima a ser producida con r, la tasa 
de interés. Demuestre que para cualquier tasa de interés positiva y finita será 
conveniente invertir una cantidad positiva. 
 
b) La tasa de interés r es 15% y Toñín no tiene spidzis para invertir (en chileno, no tiene ni 
un peso). Ilustre en un sólo gráfico lo siguiente: 
 
1. La cantidad óptima que debe invertir Toñín y cuánto produce. 
 
2. Cuánto debe prestar o pedir prestado en t0 para lograr la producción anterior. 
 
3. El valor presente. 
 
4. El valor presente neto. 
 
5. La tasa interna de retorno de la inversión total en tecnología. 
 
c) Su amigo, Quiquín tiene la misma tecnología productiva que Toñín, pero es un hombre 
muy rico: tiene un total de 300 spidzis a su disposición en t0. Explique en detalle como 
Quiquín podría consumir toda su riqueza en t1. ¿Qué TIR total obtendría Quiquín? 
¿Cómo explica que éste sea menor que el de Toñín? 
 
d) Si la función de utilidad de Quiquín es: 
 
1
2
0 CCU ⋅= 
 
¿Cuánto consumirá Quiquín en este período? ¿Y en el próximo? 
 
e) ¿Cómo cambia su respuesta en (d) si la tasa de interés para prestar es 10% mientras que 
la tasa para pedir prestado es 20%? Explique. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 23 
- Solución: 
 
a) La producción óptima es aquella que maximiza la riqueza del individuo. En este caso, el 
punto óptimo de producción es aquél donde 
( )
r
I
IF
+=
∂
∂
1
0
0 , como se observa en el 
gráfico siguiente: 
 
( )
r
I
IF
+=
∂
∂
1
0
0
 
 
Calculemos la inversión óptima en función de r: 
 
( )
r
I
IF
+=
∂
∂
1
0
0 
 
( ) rI +=⋅⇒ − 1
2
23 2/1*
0 
 
( )
2
*
0 12
23






+⋅
=
r
I 
 
Se puede observar que para cualquier valor de r positiva y finita, la cantidad óptima de 
inversión será positiva. 
 
b) Antes de graficar, encontremos los valores que se piden: 
 
1. La inversión óptima se obtiene reemplazando r = 15% en la expresión encontrada 
en (a), y la producción se obtiene reemplazando este valor en la función de 
producción. Así: 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 24 
100
15,12
23
2
*
0 =





⋅
=I 
 
La producción es de ( ) 23010023 2/1 = spidzis en t1. 
 
2. Para lograr la producción anterior, debe pedir prestados 100 en t0. 
 
3.El valor presente de la producción es: 
 
200
15,1
230
==VP 
 
4. El valor presente neto de la inversión es igual al VP menos la inversión inicial 
(100). Es decir: 
 
100200100 =+−=+−= VPIIVPN 
 
5. La TIR del proyecto es: 
 
( ) %13001001
230: =⇒=−
+
ρ
ρ
TIR 
 
 El gráfico es el siguiente: 
 
0 100-100
(1+TIR)
115
230
2. 4.
5.
3.
1.
 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 25 
c) Quiquín tiene 300 spidzis en t0. La inversión óptima sigue siendo de 100 spidzis, por lo 
que Quiquín debería invertir esa cantidad. Si quiere consumir toda su riqueza en t1, debe 
depositar en el banco los 200 spidzis que no invierte (recibiendo la tasa de interés de 
15%). Así, Quiquín podrá consumir ( )[ ] 46015,1200230 =⋅+ spidzis en t1. 
 
La TIR total que Quiquín obtendría es de: 
 
%3,53300
1
460
=⇒−
+
= ρ
ρ
TIR 
 
La TIR de Quiquín es menor que la de Toñín porque Toñín puede invertir todos sus 
spidzis a una tasa de retorno de 130%. Quiquín, por su parte, recibe un retorno de 130% 
por sólo parte de su dotación; por el resto sólo recibe un 15%. 
 
d) Para obtener el consumo de Quiquín en cada período, debemos maximizar su función 
de utilidad 1
2
0 CCU ⋅= sujetos a su restricción presupuestaria: 40020015,1
230
0 =+=w 
(la restricción de Quiquín es el valor presente de sus ingresos; es decir, su riqueza). 
 
Por lo tanto, la función a maximizar según el método de Lagrange es: 
 
max l: 





−+⋅−⋅ 400
15,1
1
01
2
0
C
CCC λ 
Derivando con respecto a los parámetros, encontramos las restricciones: 
 
1010
0
202 CCCC
C
=⇒=−=
∂
∂ λλl 
010 15,12 CCC ⋅=⇒ 
15,10
15,1
2
0
2
0
1
⋅=⇒=−=
∂
∂ CC
C
λλl 
 
400
15,1
0400
15,1
1
0
1
0 =+⇒=−+=∂
∂ CC
C
C
λ
l 
 
De este sistema de ecuaciones, obtenemos que: 
3,153
6,266
1
0
=
=
C
C
; además, la utilidad total 
de Quiquín es de 7,703.903.103,153)6,266( 21
2
0 =⋅== CCU útils. 
 
e) Si las tasas de interés para prestar y pedir prestado no son iguales, el mercado de 
capitales ya no es perfecto y no se cumple el principio de separación de Fischer. Esto se 
debe a que ya no es cierto que puedo transportar toda mi riqueza en el tiempo; si quiero 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 26 
consumir toda mi riqueza ahora, la tasa relevante para mí es la de pedir prestado; y 
viceversa si quiero consumir en el futuro. En un gráfico, esto se refleja así: 
 
Consumidor paciente
Consumidor impaciente
Mercado de capitales es
irrelevante para él
( )colr+− 1
( )capr+− 1
pacienteI0
impacienteI0
 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 27 
MATEMÁTICA FINANCIERA 
 
 
 
 En este capítulo se utilizan exhaustivamente las herramientas para calcular el valor 
presente y futuro de un conjunto de pagos repartidos en el tiempo, así como las anualidades 
y perpetuidades. Estos conceptos son muy útiles para la planificación financiera, como por 
ejemplo el ahorro para alcanzar una meta de dinero en un período determinado, y para la 
evaluación y comparación de distintas inversiones. 
 El manejo correcto y el conocimiento de la matemática financiera son necesarios 
para el entendimiento de instrumentos financieros como los leasings, los bonos, etc. 
También es indispensable para manejar fondos de pensiones y todo tipo de ahorros 
planificados. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 28 
- Ejercicio 7: 
 
 Paseando por Tumbuktú, usted se tropieza con una lámpara de bronce. La limpia, y 
aparece un genio (¿o qué creía que iba a pasar?). Este genio le regala como recompensa por 
haberle liberado de su maldición el no tener que trabajar nunca más. Para eso, ofrece un 
pago fijo mensual (“sueldo”) de $1.000.000. Sin embargo, el genio no quiere esclavizarse 
con usted (sino que quiere irse a Las Vegas a probar suerte), así que decide depositar en el 
banco un monto tal que Ud. reciba esa renta. El “Tumbuktú National Bank” ofrece una tasa 
de interés real de 8% anual. 
 ¿Cuánto debería depositar el genio para que Ud. reciba $1.000.000 mensual si: 
 
a.- Ud. vive por siempre (o sea, el genio además le regala vida eterna)? 
 
b.- Ud. tiene 22 años, y el genio sabe que Ud. va a morir en 67 años más (o sea, a los 
89)? 
 
c.- Ud. vive por siempre, pero quiere que su “sueldo” crezca a un 0,3% mensual? 
 
d.- Suponga la situación en b.- Ahora Ud. tiene 46 años, y cree que le alcanzará con un 
sueldo de $750.000 al mes de aquí a que se muera. ¿Cuánto puede retirar del banco 
(sin que se quede sin plata para su “sueldo”)? 
 
- Solución: 
 
a.- Aquí necesitamos calcular el valor presente del sueldo perpetuo que vamos a recibir. 
Para eso, necesitamos tener la cuota y la tasa de interés relevante. Tenemos la cuota 
(el millón mensual), pero la tasa de interés es de un 8% anual; nosotros necesitamos 
la tasa mensual, puesto que los pagos son mensuales (ojo: no es lo mismo sumar los 
pagos de cada mes (asumiendo que sería lo mismo recibir $12.000.000 en un año)). 
 Luego, la tasa de interés mensual es de: 
 
%6434,0108,111 1212 =−=−+= rrmensual 
 
Luego, usando la fórmula de la perpetuidad, obtenemos cuánto debe depositar el 
genio: 
 
2,581.423.155$
006434,0
000.000.1
===
r
CVP 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 29 
 
b.- En este caso, necesitamos calcular el valor presente de los flujos, que duran 67 años 
(es decir, 804 meses). Con la fórmula de la anualidad obtenemos el depósito 
necesario: 
 
51,659.528.154$
)006434,1(
11
006434,0
000.000.1
)1(
11 804 =





−⋅=





+
−⋅= nrr
CVP 
 
c.- Ahora debemos calcular una perpetuidad con crecimiento: 
 
7,038.203.291$
003,0006434,0
000.000.1
=
−
=
−
=
gr
CVP 
 
d.- Este ejercicio es un poco más complicado. Para saber cuánto es lo que nuestro 
amigo puede retirar, necesitamos saber cuánto le queda en t24 (es decir, el valor 
presente de las cuotas restantes cuando tiene 46 años), y cuánto es lo que necesita 
para su sueldo de $750.000. La diferencia es lo que puede retirar. 
 
 Trabajemos en moneda de t24: 
 El VP de las cuotas restantes (es decir, lo que queda en el banco) es de: 
 
( )[ ]
2,273.744.149$
006434,1
11
006434,0
000.000.1
12)4689( =





−⋅= ⋅−VP 
 
 Lo que necesita para lograr una cuota de $750.000, es: 
 
9,204.308.112$
)006434,1(
11
006434,0
000.750' 516 =





−⋅=VP 
 
 Por lo tanto, en este período nuestro amigo puede retirar: 
 
3,068.436.37$9,204.308.112$2,273.744.149$' =−=−VPVP 
 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 30 
- Ejercicio 8: 
 
 Juan Segura está planificando su situación financiera futura. Está muy preocupado 
respecto a sus tres hijos genios que con toda certeza estudiarán Ingeniería Comercial en la 
Universidad Católica. Sus hijos, Pedro, Pablo y María tienen 8, 6 y 4 años de edad 
respectivamente. Juan Segura estima que cuando el mayor entre a la Universidad, en 9 años 
más, los gastos de matrícula y mantención anual ascenderán a 3,5 millones de pesos. Estos 
costos deberían incrementarse en un 5% por año. 
 
1. Ayude a Juan Segura a determinar la cantidad que debería dedicar cada año desde hoy 
hasta el día que María termine de estudiar para lograr financiar los gastos de educación 
de sus hijos. Suponga que la tasa de interés es 7%, y que cada hijo demorará 5 años en 
terminar la carrera. 
 
2. ¿Cuánto es la máxima cantidad de dinero adicional anual que le costaría el que uno de 
sus "angelitos" repitiera un año? 
 
 
- Solución: 
 
1. Juan Segura va a ahorrar un monto fijo todos los años desde hoy hasta que María salga 
de la universidad; esto es, durante 19 años (María tiene 4 años hoy, entra a la 
universidad a los 18 (en 14 años más) y sale a los 23 (en 19 años más)). Para saber 
cuánto tiene que ahorrar, necesitamos conocer el valor presente de las cuotas de 
matrícula (estamos suponiendo que la matrícula se paga a comienzos de año). Luego, 
debemos distribuir este valor en cuotas iguales por 19 años. 
 
 Calculemos losvalores presentes: 
 
( ) ( )
9,704.569.8
07,1
1
07,1
05,11
05,007,0
000.500.3
9
5
=⋅














−⋅
−
=PedroVP 
 
Anualidad con 
crecimiento 
Traída al período 
0 (empiezo a 
pagar en 9 años 
más) 
 
Ya creció por 
dos años 
 
4,336.252.8
)07,1(
1
07,1
05,11
02,0
)05,1(000.500.3
11
52
=⋅














−
⋅
=PabloVP 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 31 
 
( ) 7.721.946.7
)07,1(
1
07,1
05,11
02,0
05,1000.500.3
13
54
=⋅














−⋅
⋅
=MaríaVP 
 
 Por lo tanto, la suma de los valores presentes (es decir, el valor en t0 de todo lo que 
Juan Segura deberá pagar por la universidad de sus hijos) es de: 
 
∑ == 763.768.24VPVPTotal 
 
 Juan quiere distribuir este monto en pagos iguales desde hoy hasta t19; calculemos la 
cuota que deberá pagar: 
 
( )
5,452.396.2
07,1
11
07,0
763.768.24 19 =⇒





−⋅= CC 
 
2. La máxima cantidad de dinero adicional que podría costarle a Juan es la 
correspondiente a que Pedro repita un año. Esta es la más costosa porque los flujos 
correspondientes a Pedro son los más cercanos en el tiempo. Calculemos el nuevo valor 
presente de la matrícula de Pedro: 
 
0,747.188.10
)07,1(
1
07,1
05,11
02,0
000.500.3
9
6
' =⋅














−⋅=PedroVP 
 
 Por lo tanto, el nuevo valor presente es de: 1,805.387.26' =TotalVP . Calculando la 
nueva cuota: 
 
7,099.553.2
)07,1(
11
07,0
1,805.387.26 19 =⇒





−⋅= CC 
 
 Y el cambio en la cuota es de: 2,647.1565,452.396.27,099.553.2 =−=∆+C . 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 32 
- Ejercicio 9: 
 
 Señor: "Ud. puede comprar en tres cuotas mensuales iguales (la primera pagadera 
hoy), cualquiera de los bienes de la tienda, sin intereses. Ahora bien, si usted decide pagar 
al contado esa es otra cosa. En ese caso le hacemos un descuento de 5% sobre el precio de 
lista (que es igual a la suma de las cuotas)" 
 
¿Se trata realmente de un crédito sin intereses? Calcule en base anual. 
 
- Solución: 
 
 Para simplificar, supondremos que cada cuota es de $1. Para saber si nos están 
cobrando intereses o no, debemos comparar el valor presente de las dos alternativas de 
pago. Si la tasa de interés implícita es distinta de 0, entonces sí nos están cobrando un 
interés. 
 
 Alternativa 1: pago al contado. Nos dan un 5% de descuento sobre el precio de lista; 
por lo tanto, estamos pagando 85,2$3$95,0 =⋅ . 
 
 Alternativa 2: pago en cuotas. Buscaremos la tasa de interés implícita que iguala el 
valor presente de las cuotas con el precio contado (en el fondo, estamos buscando la TIR de 
las cuotas): 
 
%36,5
)1(
1$
1
1$1$85,2$ 2 =⇒+
+
+
+= mensualrrr
 
 Se observa que el crédito sí tiene intereses. Si calculamos la tasa de interés anual, 
vemos que es un crédito con intereses bastante altos: 
 
( ) %09,8710536,01 12 =−+=anualr 
 
 Es decir, definitivamente no es un crédito sin intereses. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 33 
- Ejercicio 10: 
 
 Calcule, utilizando solamente las perpetuidades, a cuánto equivale recibir $200.000 
cada año, durante 10 años, si se reciben al final de cada año y la tasa de interés de mercado 
es 10%. Reconozca la relación entre la perpetuidad y la anualidad. Compruebe su resultado 
con una anualidad. 
 
- Solución: 
 
 Para calcular el valor presente de 10 cuotas de $200.000 usando sólo perpetuidades, 
se debe calcular la diferencia entre 2 perpetuidades de $200.000; una que comience en t0, y 
otra en t10. La siguiente línea de tiempo lo muestra más claramente: 
 
 
Tiempo: 0 1 2 ... 10 11 12 ... 
P1 200 200 200 ... 200 200 200 ... 
P2 0 0 0 ... 0 200 200 ... 
P1-P2 200 200 200 ... 200 0 0 ... 
 
Ahora, calculando las perpetuidades en moneda de t0: 
 
000.000.2$
1,0
000.200$
1 ==P 
 
6,086.771$
)1,1(
1
1,0
000.200$
102 =⋅=P 
 
4,913.228.1$6,086.771$000.000.2$)( 21 =−=−∴ PPVP 
 
 Podemos observar que la anualidad es una diferencia de perpetuidades. 
Comprobémoslo con el ejercicio: 
 
( ) ( ) 




−⋅=⋅−=−= 101021 1,1
11
1,0
000.200$
1,1
1
1,0
000.200$
1,0
000.200$PPA , 
 
que es la fórmula usada para calcular una anualidad como la planteada. 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 34 
- Ejercicio 11: 
 
 Arturo tiene 25 años y piensa jubilarse a los 65. Cotiza en la AFP un 10% de su 
salario mensual. En promedio espera una rentabilidad de 6% anual en su AFP. En su 
familia casi todos sus parientes han vivido hasta los 85 años y espera que también sea su 
caso. Al jubilar (cualquiera sea la fecha), tomará la riqueza acumulada en la AFP y 
comprará una renta vitalicia en la compañía de un tío (T.A. Seguro S.A), que ofrece pagos 
mensuales iguales, con una tasa de interés de 4% anual, que supondrá en sus cálculos que 
Arturo vivirá hasta los 85 años. Arturo analiza tres alternativas. 
 
i. Contratar un asesor que le permita escoger la AFP más rentable hasta la fecha de su 
jubilación, lo que significará un 1% de rentabilidad anual adicional. El asesor cobra 
un 10% de su riqueza final al momento de jubilarse como comisión. ¿Lo debe 
contratar? 
 
ii. ¿En cuánto tiempo podría Arturo adelantar su jubilación para obtener la misma 
pensión que, tiempo después habría obtenido sin el asesor (deducidos sus costos)? 
(note que el monto de la comisión del asesor cambia si cambia la fecha de 
jubilación). La edad para jubilar es 63,5 años; pruébela en su solución. 
 
iii. ¿Si decide no contratar el asesor, cuanto debe aumentar su cotización mensual para 
obtener la misma pensión anticipada, en las mismas condiciones que en (ii)? 
 
Nota: suponga que el sueldo mensual de Arturo es de $10. 
 
- Solución: 
 
i. Para comparar las alternativas de Arturo, debemos encontrar la opción que 
maximize su riqueza en el momento de jubilar (es decir, en t40). 
 
• Si no contrata al asesor, su rentabilidad es de 6% anual. El valor de su riqueza 
acumulada en t40 sería de: 
 
 Cotiza un 10% de $10 Lo llevo a t40. 
 
( ) ( ) ( ) 7,907.1$06,106,1
11
106,1
1$ 40
401240
=⋅





−⋅
−
=tVF 
 
• Si contrata al asesor, su rentabilidad es de un 7% anual, pero sólo tiene un 90% 
de lo que cotizó (debido a la comisión del asesor). Su riqueza en t40 sería de: 
 
( ) ( ) 4,224.2$07,1)07,1(
11
107,1
1$9,0 40401240 =





⋅





−⋅
−
⋅=tVF 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 35 
 Por lo tanto, a Arturo le conviene contratar al asesor. 
 
ii. Este ejercicio tiene dos partes: primero, debemos encontrar la cuota que Arturo 
recibiría mensualmente sin el asesor. Para esto, usaremos la tasa de la renta vitalicia. 
Luego, igualamos el valor futuro de las cotizaciones (en moneda del tiempo en que 
Arturo jubilará) con el valor presente de las cuotas de la jubilación que Arturo 
recibiría (en moneda del mismo tiempo), dejando como incógnita el número de años 
(tanto de las cotizaciones como de la jubilación). Es importante hacer estas 
comparaciones en moneda de un mismo período. 
 
1º. La pensión mensual que Arturo recibiría sin el asesor es de: 
( ) 488,11$)04,1(
11
104,1
7,907.1$ 2012 =⇒




−⋅
−
= CC 
Es decir, Arturo recibiría $11,488 mensuales desde que jubile hasta que 
muera si no contratara al asesor. 
 
2º. Ahora igualamos el valor de las cotizaciones en el momento de jubilar con el 
valor presente de las pensiones mensuales en moneda de ese mismo año. 
Como la incógnita en este caso es la edad para jubilar, la llamaremos n*. Así, 
el tiempo que Arturo cotice en años será (n*-25), y los años que reciba 
pensión serán (85-n*). De este modo, encontramos la expresión para 
encontrar n*: 
 
( ) ( ) 





−⋅
−
=








⋅








−⋅
−
⋅
−
−
− *
*
* 8512
25
2512 )04,1(
11
104,1
488,11$)07,1(
)07,1(
11
107,1
1$9,0
n
n
n
 
 
 Con esta expresión podemos comprobar que n* es 63,5 años. 
 
iii. Para saber el porcentaje de aumento de la cotización mensual necesariopara lograr 
la misma pensión anticipada, necesito saber cuánto debe tener acumulado Arturo al 
cumplir los 63,5 años con el asesor, para luego encontrar la cuota que se necesita 
cotizar (sin asesor) para lograr ese monto en el período señalado. 
El valor de las cotizaciones de Arturo en el momento de jubilar es de: 
 
( ) ( ) 36,994.1$)07,1(07,1
11
107,1
1$9,0 255,63255,6312 =







⋅





−⋅
−
⋅= −−VF 
 
Para lograr reunir ese monto sin el asesor, la cuota de cotización debe ser de: 
 
( ) 1522,1$)06,1()06,1(
11
106,1
36,994.1$ 255,63255,6312 =⇒⋅




−⋅
−
= −− C
C ; 
 
Es decir, cotiza mensualmente un 15,22% más que antes mensualmente. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 36 
BONOS; DEPRECIACIÓN ECONÓMICA 
 
 
 
 El bono es uno de los instrumentos más utilizados en el mercado financiero 
mundial. Son una herramienta de financiamiento que las empresas emiten normalmente, al 
igual que las acciones. Los bonos son muy utilizados básicamente por ser instrumentos que 
brindan mayor seguridad que otras inversiones. Además de ser fácilmente transables, sus 
pagos se conocen con seguridad, y la tasa de interés generalmente está establecida. 
 Existen distintos tipos de bonos, entre ellos: 
- Descuento puro: que otorga un pago único al final de la duración del bono. 
- Pagos iguales: amortizaciones del principal e intereses en cuotas iguales cada 
período. 
- Cupones de intereses, con amortización del total del principal al final del 
período de duración del bono. 
- Consoles: perpetuidades. 
Aquí se muestra cómo construir tablas de desarrollo de la vida de un bono, así como 
su valorización económica. Además se ilustra el concepto de depreciación económica 
(cambio en el valor presente de un activo en el tiempo). 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 37 
- Ejercicio 12: 
 
 La sociedad de inversiones El Venado adquirió el 1 de enero de 1998 una serie de 
bonos subordinados de la empresa Los Cuernitos. La tasa a la cual invirtió este dinero fue 
el equivalente a 15,40% (efectiva) nominal anual a un plazo de 4 años. Los bonos fueron 
adquiridos el mismo día de su emisión y sus características son las siguientes: 
 
 Valor nominal : UF 100.000. 
 Tasa de Carátula : UF + 9,55% anual, efectiva. 
 Amortización del Capital e Intereses : 24 anualidades bimestrales. 
 
a.- El día de su emisión dichos instrumentos se transaron a 98,756% de su valor par. ¿Cuál 
es la inflación anual proyectada por el mercado? 
 
b.- Determine la depreciación económica entre las cuotas número 13 y 14. 
 
c.- Determine la tasa de mercado mensual y el porcentaje por sobre o debajo del valor par a 
la que se transó el bono de la empresa Los Cuernitos durante la cuota 19 si es que la 
depreciación económica entre las cuotas 18 y 19 ascendió a UF 5.250 en vez de UF 
4.545. 
 
- Solución: 
 
a.- Nos piden la inflación esperada por el mercado. Por la ecuación de Fischer, sabemos 
que ( ) ( ) ( )ne ir +=+⋅+ 111 π . Como tenemos in, sólo necesitamos encontrar la tasa de 
interés de mercado r. 
¿Cómo hacerlo? Tenemos el valor nominal del bono, la tasa de carátula y el porcentaje 
del valor par al cual el bono se vendió. Sabemos que el valor de venta del bono se 
calcula descontando las cuotas con la tasa de interés del mercado. Tenemos el valor de 
la venta, y podemos calcular las cuotas. Luego, con estos datos podemos despejar la 
tasa de mercado r. 
 
El valor de venta del bono es de 756.98000.10098756,0 UFUF =⋅ . 
 
La tasa de interés de carátula del bono es anual; necesitamos la tasa bimestral: 
 
%532,110955,16 =−=bimestralr 
 
Las cuotas que paga el bono son de: 
 
( )
98,010.5
01532,1
11
01532,0
000.100 24 UFC
CUF =⇒





−= 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 38 
 
Ahora, igualando el valor presente de las cuotas (a la tasa real que buscamos) con el 
precio de venta del bono, encontramos rbimensual. 
 
%64,1
)1(
1198,010.5756.98 24 =⇒





+
−⋅= bimensual
bimensualbimensual
r
rr
UFUF 
 
Como buscamos πe anual, y tenemos in anual, convertiremos rbimensual en ranual; 
 
( ) %25,1010164,1 6 =−=anualr 
 
Por lo tanto, aplicando la ecuación de Fischer, ahora podemos despejar el valor deπe: 
 
( ) ( )( )
( )
( ) %67,40467,11025,1
1540,1
1
1
1 =⇒==
+
+
=+ eanual
ne
r
i
ππ 
 
b.- Sabemos que 14131413 VPVPD −= (la definición de la depreciación económica). Para 
calcularla, necesitamos encontrar el valor económico del bono en los períodos 13 y 14. 
En el período 13 quedan 11 cuotas del bono; en el período 14, 10. Por lo tanto, los 
valores presentes del bono son: 
 
 
( )
( )
30,871.45
0164,1
11
0164,0
98,010.5
27,061.50
0164,1
11
0164,0
98,010.5
1014
1113
=





−⋅=
=





−⋅=
VP
VP
 
 
97,189.430,871.4506127.5014131413 =−=−= VPVPD 
 
c.- La nueva depreciación económica se calcula con los valores presentes descontados a la 
nueva tasa de interés bimensual (que es nuestra incógnita). Despejándola de esta 
ecuación, podemos encontrar la nueva tasa de interés mensual. 
 






+
−
+
⋅=





+
−⋅−





+
−⋅= 6556 )1(
1
)1(
198,010.5
)1(
1198,010.5
)1(
1198,010.5250.5
rrrrrrr
 
*
bimensualrr =⇒ 
 
11 ** −+=∴ bimensualmensual rr 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 39 
Una vez obtenida *bimensualr , podemos calcular el valor económico del bono al momento 
de la venta (el período 19). Con este valor y el valor par del bono (a la tasa de carátula), 
podemos encontrar el valor sobre o bajo el valor par al que el bono se transó. 
 
( ) 





+
−⋅= 5**19 1
1198,010.5
bimensualbimensual
mercado
rr
VP 
 
31,943.23
)01532,1(
11
01532,0
98,010.5
519 =





−⋅=carátulaVP 
 
∴El porcentaje sobre o bajo la par al que se transó el bono es de: 100
31,943.23
19 ⋅
mercadoVP
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 40 
- Ejercicio 13: 
 
 La empresa KOLOKOBON S.A.I. acaba de vender un bono con las siguientes 
características: 
i. Valor Nominal: 1000 UF, 
ii. Tasa de interés: 7%, sobre UF, efectiva, anual, vencida, base 365 días. 
iii. Duración: 5 años, con uno de gracia, y posteriormente con cupones anuales que sólo 
pagan intereses, hasta la última cuota, que paga el interés y todo el principal 
adeudado. 
 
Se pide: 
 
a.- Construya las Tablas de Desarrollo del Valor Par y Financiero del bono. 
 
b.- En el tercer año, justo después de pagada la cuota del período, la tasa de interés exigida 
al bono cambió, llegando a un 9%. Reconstruya la tabla de desarrollo financiero del 
bono a partir de ese año, y reconozca el efecto sobre el sobreprecio o bajo precio del 
bono. 
 
- Solución: 
 
a.- La Tabla de Desarrollo del Valor Par se calcula con la tasa de interés de carátula del 
bono. El formato es el que sigue: 
 
Tabla de Desarrollo Valor Par 
 
T Pago Interés Amortización Saldo 
0 - - - 1.000 
1 - 70 - 1.070 
2 74,9 74,9 - 1.070 
3 74,9 74,9 - 1.070 
4 74,9 74,9 - 1.070 
5 1.144,9 74,9 1.070 0 
 
Los intereses se devengan todos los años, y en el año de gracia éstos se suman al 
principal. El pago de cada año corresponde a los intereses, y el último año además se 
amortiza el principal. 
 
Para calcular la tabla de desarrollo financiera, debemos calcular el valor presente de los 
pagos (que se definen en la tabla de valor par) con la TIR de 6,5% 
 
( ) ( ) ( ) ( )
9,021.1
065,1
9,144.1
065,1
9,74
065,1
9,74
065,1
9,74
5432 =+++=pagosVP 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 41 
 
El interés de esta tabla se calcula aplicando la TIR al saldo financiero (VPpagos). Si el 
interés devengado es menor que el pago, el resto de éste se amortiza. Si el interés 
devengado es mayor que el pago, el resto se suma al principal. Por lo tanto, la tabla de 
desarrollo financiero es: 
 
Tabla de Desarrollo Financiero (TIR = 6,5%) 
 
t Pago Interés Amortización Saldo 
0 - - - 1.021,9 
1 - 66,4 - 1.088,3 
2 74,9 70,7 4,2 1.084,13 74,9 70,5 4,4 1.079,7 
4 74,9 70,2 4,7 1.075,0 
5 1.144,9 69,9 1.075,0 0 
 
b.- Cambió la tasa de interés de mercado, por lo tanto cambió el valor presente de los pagos 
restantes, Para reconstruir la tabla financiera del bono, debemos calcular el nuevo valor 
presente: 
 
4,032.1
)09,1(
9,144.1
09,1
9,74' 2 =+=pagosVP 
 
Por lo tanto, la nueva tabla de desarrollo financiero será: 
 
Tabla de Desarrollo Financiero (TIR = 9%) 
 
t Pago Interés Amortización Saldo 
3 - - - 1.032,4 
4 74,9 92,9 - 1.050,4 
5 1.144,9 94,5 1.050,4 0 
 
Para encontrar el efecto del cambio en la tasa de mercado en el sobre o bajo precio, 
necesitamos conocer el monto de éste antes del cambio, y calcularlo después del 
cambio. El sobre (bajo) precio es la diferencia entre el valor de mercado del bono y su 
valor par. Necesitamos el valor par del bono, y su valor económico en t3+ (después de 
pagada la cuota del período). 
 
El valor par del bono es 1.070. 
Su valor económico antes del cambio de tasa era de 
( )
7,079.1
065,1
9,144.1
065,1
9,74
2 =+ . 
Por lo tanto, antes del cambio de tasa existía un sobre precio de 7,9)070.17,079.1( =− . 
Después del cambio de tasa existe un bajo precio de 6,37)4,032.1070.1( =− . 
Por lo tanto, debería reconocerse una utilidad extraordinaria por (9,7+37,6) = 47,3. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 42 
EVALUACIÓN DE INVERSIONES 
 
 
 
 En esta sección se ilustran los métodos más comunes para la evaluación de 
proyectos, como son el VPN (valor presente neto) y la TIR (tasa interna de retorno). Estas 
dos herramientas son útiles para valorar la riqueza que un proyecto es capaz de generar, y 
para comparar diferentes proyectos. 
 Los flujos incrementales sirven para evaluar la conveniencia de ampliar un proyecto 
ya existente. 
 Existen además otros métodos de valoración de proyectos, como son el índice de 
rentabilidad, la rentabilidad contable media, el período de recuperación (o payback), etc. 
Sin embargo, los métodos ilustrados a continuación son generalmente los más utilizados. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 43 
- Ejercicio 14: 
 
 La fábrica de ladrillos La Rojiza S.A. nuevamente se encuentra evaluando un gran 
proyecto, el que consiste en la elaboración de tejas a partir de la nueva arcilla que 
encontraron. La principal ventaja de este nuevo producto es su alta resistencia y durabilidad 
y, por lo tanto, puede tener una gran aceptación entre aquellos constructores que desean 
mejorar la calidad de las edificaciones. El gerente de finanzas estima que las ventas del 
primer año ascenderán a $11.000.000 en cifras del año respectivo para posteriormente 
disminuir un 2,5% nominal durante los siguientes cuatro años (hasta el año cinco 
inclusive). Esta disminución se debe principalmente a la entrada de nuevos competidores en 
la producción de dichos bienes. Se estima que la inflación será de 5,5% anual y se 
mantendrá en dichos niveles durante la duración del proyecto, vale decir, los próximos 
cinco años. 
 
 Los costos directos de operación del proyecto son de $7.900.000 para el primer año 
y $6.250.000, ambas cifras en términos reales -en pesos de hoy-. A partir del tercer año los 
costos de operación serán un 46% de las ventas. 
 
 La inversión de este negocio es simple, pues los terrenos, galpones al igual que los 
camiones que servirán para su transporte son los mismos que se han usado en la 
elaboración de otros productos. La única inversión física adicional consiste en una máquina 
para realizar el molde de las tejas, que tiene un costo de $7.500.000 en términos reales y 
contablemente se puede depreciar linealmente con un valor residual de $500.000 en 6 años 
según la superintendencia. Sin embargo, usted podrá venderla en $2.500.000 en pesos 
reales de hoy. Adicionalmente, para poder comercializar las tejas se requiere mantener un 
"inventario" (capital de trabajo) de un 2.5% de las ventas proyectadas para el próximo año. 
Este inventario debe tenerse al comenzar cada año (o a fines del año anterior). 
 
 Suponga que todas las ventas se producen al final de cada año, que la tasa de 
impuestos es del 15% y que la tasa de descuento relevante para este proyecto es del 12% 
real anual. 
 
Se Pide: 
 
Evalúe la conveniencia de llevar a cabo el proyecto y obtenga la TIR del proyecto. 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 44 
- Solución: 
 
 Resolveremos el ejercicio en términos reales (moneda de t0). Para eso, necesitamos 
homogeneizar los flujos en moneda de t0, y expresar todas las tasas de interés y crecimiento 
en términos reales. 
 
- Las ventas en términos reales tienen un valor de: 540.426.10
055,1
000.000.11
= . 
- Las ventas disminuyen a un 2,5% nominal (es decir, la tasa nominal es de –2,5%). 
Calculemos el decrecimiento real con la ecuación de Fischer: 
 
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) %58,7055,1
975,01
1
11 −=⇒=+⇒
+
+
=+ rrir
π
 
 
- Los costos directos ya están en términos reales. 
 
- La depreciación de la máquina, en términos reales, es de 
 
666.166.1
6
000.500000.500.7
=
− . 
- El valor de la venta de la máquina ya está en términos reales. Necesitamos conocer la 
utilidad (pérdida) contable que resulte de la venta de la máquina en t5 para fines 
tributarios: 
 
En t5 la máquina tendrá una depreciación acumulada de ( ) 333.833.5666.166.15 =⋅ . Por 
lo tanto, la venta de la máquina generará una utilidad contable de: 
 
 Caja 2.500.000 
 Dep. Ac. 5.833.333 
 Máquina 7.500.000 
 Ut. Vta. A.F. 833.333 
 
 
- El capital de trabajo necesario en cada año es un 25% de las ventas del año siguiente. Es 
importante saber que el capital de trabajo es un stock de dinero que se mantiene; por lo 
tanto, si esta necesidad cambia, sólo hay que agregar (o quitar) el diferencial entre lo 
que hay y lo que se necesita para el período siguiente. 
 
 Para evaluar la conveniencia del proyecto, primero calcularemos el flujo contable de 
cada período para luego calcular los impuestos de cada período. Posteriormente, 
reversaremos las cuentas que no son flujo de caja y agregaremos los flujos de caja no 
afectos a impuestos. 
 
 El desarrollo de los flujos de caja anuales es el que se presenta a continuación: 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 45 
 
 
 
 Una vez obtenidos los flujos de caja del proyecto, evaluaremos su conveniencia 
calculando su valor presente neto: 
 
5432 )12,1(
241.231.6
)12,1(
144.968.3
)12,1(
377.279.4
)12,1(
284.071.3
12,1
325.342.2664.760.7 +++++−=VPN 
 
05.252.396 >=VPN ; por lo tanto me conviene realizar el proyecto. 
 
 La TIR del proyecto es de: 
 
%9,34
)1(
241.231.6
)1(
144.968.3
)1(
377.279.4
)1(
284.071.3
1
325.342.2664.760.7 5432 =⇒+
+
+
+
+
+
+
+
+
+−= ρ
ρρρρρ
TIR
 
 
 La TIR es mayor que la tasa de descuento del proyecto, por lo tanto éste es 
conveniente. 
Ítem\Período 0 1 2 3 4 5
+Ventas 10.426.540 9.635.902 8.905.218 8.229.940 7.605.869
-Costos -7.900.000 -6.250.000 -4.096.400 -3.785.773 -3.498.700
-Depreciación -1.166.667 -1.166.667 -1.166.667 -1.166.667 -1.166.667
+Ut. Vta. A.F. 833.333
=Ut. Antes de Impuestos 1.359.874 2.219.235 3.642.151 3.277.501 3.773.836
-Impuestos -203.981 -332.885 -546.323 -491.625 -566.075
Ut. Después de Impuestos 1.155.893 1.886.350 3.095.828 2.785.876 3.207.761
+Depreciación 1.166.667 1.166.667 1.166.667 1.166.667 1.166.667
-Ut. Vta. A.F. -833.333
+ Flujo Vta. Maquinaria 2.500.000
+/- Capital de Trabajo -260.664 19.766 18.267 16.882 15.602 190.147
- Inv. Inicial Maquinari -7.500.000
Flujo de Caja Final -7.760.664 2.342.325 3.071.284 4.279.377 3.968.144 6.231.241
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 46 
- Ejercicio 15: 
 
 Considere los proyectos Ay B: 
 
Flujos de Tesorería 
Proyecto C0 C1 C2 TIR (%) 
A -4.000 2.410 2.930 21 
B -2.000 1.310 1.720 31 
 
 
a) El costo del capital es inferior al 10%. Utilice el criterio TIR para determinar que 
proyecto o proyectos deberían ser aceptados si: 
i. pueden emprenderse ambos. 
ii. sólo uno puede emprenderse.b) Suponga que el proyecto A tiene un VPN de 690 y el proyecto B tiene un VPN de 657 
¿Cuál es el VPN de la inversión incremental de 2.000 en A? 
 
 
- Solución: 
 
a) Si se pudieran emprender ambos proyectos, según los criterios de la TIR, se invertiría 
en los dos proyectos pues la TIR de cada uno de éstos es mayor que la tasa de mercado. 
En cambio si sólo se pudiera emprender uno de ellos emprenderíamos aquel con mayor 
TIR. Es decir, el proyecto A. Esto lo podemos verificar calculando el VPN de cada 
proyecto. 
 
Aquí vemos claramente que el VPN del proyecto A es mayor que el VPN del proyecto 
B para una tasa dada de 9% (menor que 10%). 
 
b) Dados estos VPN podemos calcular entonces cuál es la tasa de descuento relevante en 
este caso: 
 
 
52,649
09,1
720.1
09,1
310.1000.2
13,677
09,1
930.2
09,1
410.2000.4
2
2
=++−=
=++−=
B
A
VPN
VPN
%8,8
)1(
720.1
1
310.1000.2657
%8,8
)1(
930.2
1
410.2000.4690
2
2
=⇒
+
+
+
+−==
=⇒
+
+
+
+−==
ρ
ρρ
ρ
ρρ
B
A
VPN
VPN
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 47 
Vemos que la tasa relevante es de 8,8%, la inversión incremental de 2.000 en A es 
calcular el VPN de pasar del proyecto B al proyecto A, para lo cual calculamos A-B, de la 
siguiente manera: 
 
Por lo tanto vemos que el VPN de pasar de B a A es de 33,2. 
 
310
10
VPN
r
 
 
 El número de intersecciones en el eje de las abscisas dependerá del número de 
cambios de signos de los flujos esperados (el número de TIR que tenga el proyecto). De 
esta forma se ilustra uno de los problemas de la TIR: pueden existir muchas para un 
proyecto y puede resultar difícil decidir cuál hay que considerar. 
2,33
)088,1(
210.1
088,1
100.1000.2
2
=++−=− BA
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 48 
VALORACIÓN DE ACCIONES 
 
 
 
 “Las acciones son actualmente uno de los instrumentos financieros más utilizados 
dentro del mercado de capitales. Existen distintos tipos de acciones, como las acciones 
comunes de tesorería, preferentes acumulativas, preferentes participantes y acciones 
registradas. 
 Los dos tipos básicos de acciones son acciones comunes y acciones preferentes. Las 
acciones comunes son los títulos que representan la propiedad de corporaciones. Los 
propietarios de las acciones comunes de una empresa son los dueños de ésta. La acción 
preferente es mucho menos significativa que la acción común en términos del monto no 
pagado, y como un método de financiamiento. A los propietarios de acciones preferentes se 
les pagan los dividendos antes de que se pueda pagar cualquier dividendo a los propietarios 
de acciones comunes. Las acciones más comunes son las acciones registradas, que son 
aquellas que se han negociado en una bolsa organizada de títulos”2 
 
2 Op. Cit., Págs. 17-18. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 49 
- Ejercicio 16: 
 
 Una empresa tiene una UPA de $8, que se mantendrá constante mientras la empresa 
mantenga sus activos existentes intactos. La empresa está evaluando la posibilidad de 
invertir $5 por acción al año para desarrollar un nuevo proyecto. La rentabilidad que se 
espera para este proyecto es del 18% permanentemente. El proyecto estará completamente 
desarrollado en cinco años. ¿Cuál será el precio por acción y la utilidad por acción al 
considerar este proyecto si los accionistas exigen una tasa de rentabilidad del 10%? ¿Y si 
exigen el 18%? 
 
- Solución: 
 
 Primero debemos considerar la inversión inicial de $5 por acción cada período. Esta 
nos ofrece un retorno perpetuo de: 0,18*5=0,9 por acción. 
Por lo tanto el VPN por acción, para el primer período, con una tasa de rentabilidad 
exigida del 10%, es de: 
Para el segundo período tendremos: 
Dada esta relación podemos ver que para los 5 períodos tendremos una situación del 
siguiente tipo: 
 
Nosotros sabemos que se debe cumplir la siguiente relación: 
 
Por lo tanto el precio de la acción debe ser: 
 
La rentabilidad de esta acción será entonces: 
 
64,3
1,1
4
1,1
1*
1,0
9,0
1,1
5
==+
−
=VPN
31,3
1,1
4
1,1
1*
1,0
9,0
1,1
5
222 ==+
−
=VPN
163,15
1,1
4
1,1
4
1,1
4
1,1
4
1,1
4
5432 =++++=VPOC
VPOC
r
UPAPacción +=
163,95163,15
1,0
8
=+=acciónP
%4,8
163,95
8
==
acciónP
UPA
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 50 
 
¿Qué sucede cuando los accionistas exigen una tasa de rentabilidad igual a la que se 
espera del proyecto? 
 
En este caso, el valor presente de las oportunidades de crecimiento será cero, por lo 
tanto el precio de la acción en esta situación será: 
 
La rentabilidad de la acción en este debe ser entonces igual al 18%, veamos: 
 
 
 
4,440
18,0
8
=+=+= VPOC
r
UPAPacción
%18
4,44
8
==
acciónP
UPA
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 51 
- Ejercicio 17: 
 
 Un inversionista de corto plazo estima el beneficio de invertir en una acción como: 
 Y uno de (muy) largo plazo como: 
 
Demuestre la equivalencia entre ambas formas de determinar el precio de la acción. 
 
 
- Solución: 
 
 Intuitivamente, este ejercicio demuestra como la visión de corto plazo en el mercado 
bursátil e exactamente equivalente a una visión de largo plazo, pues el cortoplacista 
considera lógico designarle a una acción un precio actual igual al precio futuro de la acción 
más los dividendos que se obtienen y todo eso traerlo a valor presente. En cambio el 
inversionista centrado en el largo plazo considera el precio actual de la acción igual al valor 
presente de todos los dividendos que se espera recibir. 
 
r
DPP
+
+
=
1
11
0 r
DPP
+
+
=
1
22
1 r
DPP
+
+
=
1
33
2
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( ) gr
D
r
tP
r
gDlim
r
tP
r
gD
r
Dt
r
gD
r
gD
r
DP
r
D
r
D
r
DPP
r
D
r
DPP
tt
t
t
tt
t
t
−
=





+
+
+
+
∴
=







+
+
+
+
=
+
++
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
∑
−
∞→
−
1*1
)1(1
11
)1(1
11
)1(
..........
)1(
)1(1
)1(
)1(1
)1(
1
)1(
1
)1(
2
)1(
33
)1(
1
)1(
22
1
1
3
2
20
230
20
 
 
r
DPP
+
+
=
1
11
0
gr
DP
−
=
1
0
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 52 
CUENTAS POR COBRAR 
 
 
 
 Las cuentas por cobrar son, en algunas industrias, el principal activo de la empresa. 
Este es el caso de las empresas que se dedican principalmente al otorgamiento de créditos, 
ya sea a personas o a otras empresas. Dentro de esta categoría podemos encontrar 
principalmente a los bancos y últimamente las tiendas por departamento, que permiten la 
venta a crédito a través de tarjetas emitidas por filiales de ellas. De esta forma las cuentas 
por cobrar pasan a ser un aspecto de especial cuidado en estos rubros. 
 Aquí se pretende analizar de alguna forma la importancia de las cuentas por cobrar, 
el precio equivalente contado, las tasas de interés implícitas en los créditos, etc. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 53 
- Ejercicio 18: 
 
 Una empresa vende $500.000.000 al mes. La mitad de estas ventas son al contado y 
el resto es a crédito en dos cuotas iguales a 30 y 60 días. Generalmente se producen 
incobrables de estas cuotas y corresponden al 6% de las cuotas a 30 días y al 18% de las 
cuotas a 60 días. La tasa de descuento mensual pertinente es de 5%. La empresa está 
absolutamente indiferente entre vender al contado y a crédito. Suponiendo que los 
incobrables esperados se dan en forma exacta. Calcule de dos formas alternativas el valor 
económico de las cuentas por cobrar en régimen (es decir cuando se estabilizan las 
cobranzas). 
 
- Solución: 
 
Existen dos formas para calcular el valor económico de las cuentas por cobrar. El 
primer método se conoce como el método de diferencia de perpetuidades y el segundo es el 
método directo. 
 
1) Diferencia de Perpetuidades: 
 
Primero debemos calcular cual debiera ser nuestro ingreso por venta mensual tomando 
en cuenta la existencia de incobrables. En este caso este cálculo será: 
 
0,94*125.000.000 + 0,82*125.000.000 = 220.000.000Luego si la empresa está indiferente entre vender a crédito o al contado, el precio 
equivalente contado debiera ser igual al valor presente de las cuotas: 
Precio equivalente contado: 
Ahora que tenemos el ingreso por venta mensual y el precio contado podemos calcular 
el valor económico de las cuentas por cobrar como diferencia de perpetuidades: 
 
447,283.875.204
05,1
000.000.125*82,0
05,1
000.000.125*94,0
2 =+
( ) 06,331.494.302
05,0
447,283.875.204000.000.220
=
−
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 54 
2) Método Directo 
 
 
 
Aquí podemos ver que en la primera venta se esperan los flujos de 117.500.000 en t=0 
y de 102.500.000 en t=1, luego en la venta del otro período se esperan los mismos flujos 
pero con un período de desfase, y así sucesivamente. Podemos observar que el saldo de la 
cuenta por cobrar se ha estabilizado a partir de t=1, cuando se produce la estabilización, 
nosotros vemos cual será el valor económico de las cuentas por cobrar de la siguiente 
manera: 
 
t=1 t=2 
102.500.000 
117.500.000 102.500.000 
220.000.000 102.500.000 
 
Como en t=1 ya se estabilizaron las cuentas por cobrar, es decir tenemos las cuentas por 
cobrar en régimen. Ahora entonces el valor económico de las cuentas por cobrar será el 
valor presente de los flujos ya estabilizados: 
 
 
 
066.331.494.302
05,1
000.500.102
05,1
000.000.220
2 =+
Vtas t=0 t=1 t=2 t=3
1 117.500.000 102.500.000
2 117.500.000 102.500.000
3 117.500.000 102.500.000
4 117.500.000
117.500.000 220.000.000 220.000.000 220.000.000
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 55 
- Ejercicio 19: 
 
 El señor Teco Braré vende refrigeradores al contado y a crédito. Cuando vende a 
crédito permite el pago en dos cuotas trimestrales iguales por un total de $200.000, sin 
intereses. El señor Braré es neutral frente al riesgo y tiene una tasa de costo alternativo de 
5% trimestral. Históricamente se ha observado lo siguiente: 
 
• Un 70% de los compradores a crédito pagan el total adeudado. 
 
• Un 20% de los compradores a crédito pagan la primera cuota pero no pagan la segunda, 
perdiéndose el saldo adecuado. 
 
• Un 10% adicional de los compradores a crédito, no pagan ni la primera ni la segunda 
cuota, perdiéndose el saldo adeudado. 
 
a) ¿Cuál es el mínimo precio contado que estaría dispuesto a cobrar el señor Braré con tal 
de estar indiferente entre una venta al contado y una venta a crédito? 
 
b) Suponga que se adopta la política de vender al contado al precio encontrado en a). 
¿Cuál es el interés efectivo cobrado a un cliente, dado que éste tiene intenciones de 
pagar el total adeudado? 
 
c) Suponga que la empresa consigue cien nuevos deudores por trimestre, cantidad 
suficiente como para que se den los promedios de incobrables en forma exacta. ¿A 
cuánto ascendería el valor económico de las cuentas por cobrar en régimen si es que se 
vende sólo a crédito? 
 
- Solución: 
 
a) El mínimo precio contado que se estaría dispuesto a cobrar debe ser igual al valor 
presente de las cuotas corregidas según el porcentaje de incobrables, pues de esa forma 
en términos relativos el precio contado sería igual a lo que el vendedor espera recibir. 
 
 
b) 
( )
%97,21206.149
1
000.100
1
000.100
2 ≅→=+
+
+
r
rr
 
206.149
05,1
7,0*000.100
05,1
9,0*000.100
2 =+=Pc
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 56 
c) Si usamos el método directo encontraremos un sistema de cobranzas del tipo: 
 
t=1 T=2 t=3 
90.000 70.000 
 90.000 70.000 
 160.000 70.000 
 
Por lo tanto el valor económico de las cuentas por cobrar será: 
 
873.215
05,1
000.70
05,1
000.160
2
=+=CxC 
 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 57 
- Ejercicio 20: 
 
 Usted es vendedor en una prestigiosa tienda de deportes, esta tienda vende una gran 
variedad de artículos ya sea al contado como a crédito. Los ingresos por ventas totales 
anuales son de US$144.000. Los ingresos por ventas son cantidades iguales todos los meses 
del año. La política de la empresa es que el 60%de las ventas mensuales son al contado y el 
resto a crédito. Las ventas a crédito son siempre de tres cuotas iguales (30, 60 y 90 días). El 
porcentaje de incobrables de estas cuotas es de 5%, 10% y 15% respectivamente. La tasa de 
interés relevante es de 8% mensual. Calcular el valor económico de las cuentas por cobrar 
en régimen y el precio contado. 
 
- Solución: 
 
Si las ventas anuales son de 144.000, y son iguales cada mes, entonces las ventas 
mensuales son de 12.000. De estos 12.000, 7.200 se reciben al contado y 4.800 a crédito en 
tres cuotas iguales a 1.600. Pero al existir incobrables el pago efectivo de las cuotas será de: 
1.520 ; 1.440 ; 1.360 para 30,60 y 90 días respectivamente. 
Si resolvemos este ejercicio mediante el método de diferencia de perpetuidades 
encontraremos que el precio contado será de: 
 
 
 
También sabemos que: 0,95*1.600 + 0,9*1600 + 0,85*1600 = 4.320 
 
Por lo que el valor ec. De las Cuentas por Cobrar es: 
 
Comprobación mediante el método directo: 
 
Ventas t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 
Enero 1.520 1.440 1.360 
Febrero 1.520 1.440 1360 
Marzo 1.520 1440 1360 
 4.320 2.800 1.360 
 
Si nos damos cuenta, a partir de t=3 las ventas se han estabilizado por lo que el valor 
económico de las cuentas por cobrar sería: 
 
58,721.3
08,1
360.1
08,1
440.1
08,1
520.1
22 =++=Pc
16,480.7
08,0
58,721.3320.4.. =−=CxCecV
16,480.7
08,1
360.1
08,1
800.2
08,1
320.4.. 32 =++=CxCecV
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 58 
CORRECCIÓN MONETARIA 
 
 
 
 Como todos sabemos, los estados financieros son un reflejo de la situación contable 
de una empresa en un momento del tiempo (balance) o de un período (estado de resultados, 
estado de fuentes y usos de fondos). Sin embargo, en países donde la inflación es 
significativa (como Chile hasta hace algunos años) ésta juega un papel importante en los 
resultados de una empresa, pues los ítems monetarios –como por ejemplo el efectivo o las 
cuentas corrientes- pierden su valor con el paso del tiempo. 
 La corrección monetaria es una manera de reflejar fielmente en los estados 
financieros (balance y estado de resultados) el efecto de la inflación en el resultado de las 
empresas. 
 El siguiente ejercicio ilustra cómo corregir monetariamente los estados financieros 
de una empresa, y los efectos de la inflación en ellos. 
Ejercicios Contabilidad y Toma de Decisiones Página 59 
- Ejercicio 21: 
 
 El primero de julio de 1997 comenzó sus operaciones la empresa de mensajes 
cantados La Traviatta. Sus socios José Carreras y Luciano Pavarotti arrendaron un local en 
la Plaza de Armas pagando por adelantado $150.000 correspondiente al arriendo de todo el 
segundo semestre. Los socios aportaron $300.000 en disfraces y $10.000 en caja. El 
balance inicial es 
 
ACTIVOS PASIVOS Y PATRIMONIO 
Caja 10.000 Capital 460.000 
Arriendo Ad. 150.000 
Disfraces 300.000 
 
 El primer mes de operaciones fue desastroso pues no llegó ningún cliente. El 
primero de agosto José y Luciano se decidieron a publicar un aviso que decía: "Felicite a 
sus amigos al son de Puccini, declare su amor con Verdi, llame a José y Luciano al 555-
5555". El aviso costó $50.000 pesos y fue pagado con un cheque a fecha por $50.000 que 
sería cobrado el primero de enero de 1998. Afortunadamente para José y Luciano, un mes 
después, el 1/9/97 llegó Bill Clinton de visita a Chile y les solicitó un mensaje cantado para 
su colega Eduardo Frei. Bill pagó 500 dólares americanos. El primero de noviembre José y 
Luciano fueron contratados para cantarle "La donna e mobile" a la polola de un amigo de 
ellos. Se pagó 80.000 pesos en caja. A fines de año se reconoce el gasto por arriendo. No 
hay impuestos. La información relevante en cuanto al IPC y el tipo de cambio es: 
 
 IPC $/US$ 
1/07/97 100 - 
1/08/97 101 - 
1/09/97 102 430 
1/11/97 104 - 
31/12/97 106 460 
 
Se Pide: 
 
 Encuentre el saldo de la cuenta Corrección