Clase 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Econometría I – EAE 250A
Juan Ignacio Urquiza – Segundo Semestre 2019
Modelo de Regresión Lineal 
Simple
 Herramienta que se emplea para estudiar la relación
entre dos variables.
 Objeto de estudio:
 Sean Y, X dos variables que representan a una
población.
 Se busca “explicar a Y en términos de X”, o la
“variación en Y ante variaciones en X”.
 Ej: gasto en vestimenta vs. nivel de ingreso
 Notación:
Modelo de Regresión Lineal 
Simple
 MRL Simple:
 Y: variable dependiente, explicada, predicha…
 X: variable independiente, explicativa, predictora, de 
control, regresor…
 β0, β1: parámetros poblacionales.
 ε: término de error, perturbación inobservable.
Representa factores distintos de X que afectan a Y.
Componente aleatorio.
Ejemplos
 Ecuación de Salarios:
 Y: salario
 X: años de educación
 ε: experiencia laboral, capacidad/habilidad innata, 
años de antigüedad en la empresa… 
 Rendimiento y Fertilizante:
 Y: rendimiento
 X: cantidad de fertilizante
 ε: calidad de la tierra, lluvia, sol… 
Supuestos
 Linealidad en los parámetros:
 Cambios unitarios en X tienen el mismo efecto sobre
Y, independientemente del valor inicial de X.
 No linealidades pueden incorporarse de otra manera.
 Media Condicional Cero – E(ε|X) = 0:
 El valor esperado de los factores inobservables no
depende del valor X, y dicho promedio es igual a 0.
 E(ε|X) = E(ε) = 0 ¿De qué manera se 
relaciona ε con X?
Regresión Poblacional
 Si se cumple con los supuestos anteriores:
 Linealidad en parámetros
 E(ε|X)=0
 Entonces,
 Por lo tanto, podemos descomponer a Y en una parte
“sistemática” (β0 + β1X) y una parte “no sistemática” (ε).
Función de Regresión 
Poblacional (FRP)
Regresión Poblacional
Cuando E(ε|X)=0, para 
cualquier valor de X la 
distribución de Y se 
concentra alrededor de 
E(Y|X) . 
La FRP es la relación 
entre el promedio de Y 
para diferentes valores 
de X.
El verdadero valor de Y 
puede ser mayor o 
menor dependiendo de 
los factores 
inobservables.
Interpretación
 Recuerde:
 Por lo tanto,
Cuando X aumenta en 
una unidad, el valor 
esperado de Y cambia 
en β1 unidades
Pendiente
β0 es el valor medio de 
Y cuando X es igual a 
cero
Intercepto 
(término constante)
Estimación
 Nuestro objetivo consiste en estimar los parámetros
poblacionales a partir de una muestra aleatoria de
tamaño n tomada de la población.
 Sea el modelo poblacional:
 Entonces, podemos escribir para cada i = 1, 2,… n:
donde εi es el término de error para la observación i.
Estimación
 Al análogo muestral del término de error se lo
conoce como “residuo”.
 Definición: llamaremos residuo a la diferencia entre
el “valor observado” y el “valor ajustado”:
 Así, los estimadores de Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO) son los argumentos que
minimizan la suma de los residuos al cuadrado:
Estimación
 CPO:
 Implicancia:
 Si en la muestra X e Y correlacionan positivamente,
entonces 𝛽1 es positivo.
 Si correlacionan negativamente, 𝛽1 es negativo.
Compruébelo!
Valores Ajustados y Residuos
Regresión Muestral
 Una vez estimados los parámetros, se obtiene
la función de regresión muestral (FRM) :
 Recordar:
 La FRP es fija pero desconocida.
 La FRM se obtiene a partir de una muestra.
Es la versión estimada de la FRP.
 Distintas muestras generan distintas FRM.
Regresión Muestral
 Propiedades Algebraicas:
 (1) La suma de los residuos es igual a cero.
 (2) La covarianza muestral entre el regresor y el
residuo es igual a cero.
Regresión Muestral
 Propiedades Algebraicas:
 (3) El punto 𝑋, 𝑌 siempre se encuentra sobre la
línea de regresión de MCO.
 Estas propiedades permiten reescribir a Yi
como su valor ajustado más su residuo:
Análisis de Varianza
 Def: suma de cuadrados totales = variación
muestral total.
Análisis de Varianza
 Entonces,
Suma de Cuadrados 
Residuales
Suma de Cuadrados 
Estimados
Análisis de Varianza
 Entonces,
Suma Residual de 
Cuadrados
Suma Explicada de 
Cuadrados
Análisis de Varianza
 Entonces,
 Por propiedades anteriores: 
Análisis de Varianza
 Entonces,
 Por lo tanto,
Bondad del Ajuste
 ¿Cuán bien explica la variable independiente a
la variable dependiente?
 Métrica: grado en que la regresión de MCO se
ajusta a los datos.
 Entonces,
Coef. de 
Determinación
Bondad del Ajuste
 Interpretación:
 Proporción de la variación muestral de Y que “es
explicada” por X.
 0 ≤ R2 ≤ 1.
 Se puede demostrar que:
 Es igual al cuadrado del coef. de correlación e/ Y e 𝑌.