4 Cuasi-Concavidad

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Cuasi-concavidad y pseudo-concavidad
Economía Matemática – 2019/1
Funciones cuasi-cóncavas
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo. Decimos que f es cuasi-cóncava si
f (tx + (1− t)y)≥ ḿın{f (x), f (y)}
para todo x ,y ∈ D y todo t ∈ [0,1].
• Perciba que si f es cóncava para todo x ,y ∈ D y todo t ∈ [0,1]
f (tx + (1− t)y)≥ tf (x) + (1− t)f (y)≥ ḿın{f (x), f (y)}
• Luego, concavidad implica cuasi-concavidad (mas la vuelta no es verdad).
Transformación creciente de función cuasi-cóncava
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo y τ : U → R una función estrictamente
creciente, donde Ues la imagen de f . Si f es cuasi-cóncava, entonces g = τ ◦ f
también es cuasi-cóncava.
• Ejemplo de función cuasi-cóncava: f (x) = x3
I h(x) = x es cóncava (y cuasi-cóncava)
I f (x) = x3 es una transformación creciente de h
Contorno superior de una función
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R. El conjunto U(f ,α) = {x ∈ D : f (x)≥ α}, con α ∈ R, es el
contorno superior de f en α.
[graph]
Contorno superior y cuasi-concavidad
Teorema
Una función f : D ⊆Rn→R, con D convexo, es cuasi-cóncava si, y solo si, U(f ,α)
es un subconjunto convexo de Rn para todo α ∈ R.
Demostración.
Pizarra.
[example consumer theory]
Cuasi-concavidad y funciones diferenciables
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R, con D convexo, una función diferenciable. Entonces, f es
cuasi-cóncava si, y solo si, ∇f (x) · (y − x)≥ 0 para todo x ,y ∈ D tal que
f (y)≥ f (x).
[example 90 degrees angle]
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R, con D convexo, una funcion dos veces diferenciable. Si f es
cuasi-cóncava, entonces h′Hf (x)h ≤ 0 para todo x ∈ D y h ∈ Rn tal que
∇f (x) ·h = 0.
Funciones estrictamente cuasi-cóncavas
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo. Decimos que f es estrictamente
cuasi-cóncava si para todo x 6= y en D y todo t ∈ (0,1)
f (tx + (1− t)y)> ḿın{f (x), f (y)}
Cuasi-concavidad y máximo
Teorema
Suponga f : D ⊆ Rn→ R, con D convexo, es estrictamente cuasi-cóncava.
Entonces, f no tiene más que un máximo global.
Demostración.
Pizarra.
Funciones pseudo-cóncavas
• Funciones cuasi-cóncavas no preservan la propiedad que un punto es máximo
global si, y solo si, es un punto critico.
• Por esto, definimos funciones pseudo-cóncavas
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo, una función diferenciable. Decimos que
f es pseudo-cóncava si f (y)> f (x) implica ∇f (x) · (y − x)> 0.
Funciones pseudo-cóncavas y máximos
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo, una función pseudo-cóncava. Entonces,
un punto x ∈ D es un máximo global si, y solo si, x es un punto critico.
Toda función pseudo-cóncava es cuasi-cóncava
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R, con D convexo, una función pseudo-cóncava. Entonces f es
cuasi-cóncava.
• La vuelta no es verdad.
[exemplo x3]