3 Concavidad - Bárbara Bautista Aguilar

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Concavidad
Economía Matemática – 2019/1
Máximo local y global
Definición
Sea f : A→R, con A⊆Rn. Un elemento x de A es un máximo local si existe ε > 0
tal que f (x)≥ f (y) para todo y ∈ B(x ,ε)∩A. Un elemento x de A es un máximo
global si f (x)≥ f (y) para todo y ∈ A.
• La definición para mínimo local y global es similar.
[graph]
Conjuntos convexos
Definición
Sea A⊆ Rn. Decimos que A es convexo si para todo x ,y ∈ A y todo t ∈ [0,1],
tx + (1− t)y pertenece a A.
[graph]
Funciones cóncavas y convexas
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo. Decimos que f es cóncava si
f (tx + (1− t)y)≥ tf (x) + (1− t)f (y)
para todo x ,y ∈ D y todo t ∈ [0,1]. Decimos que es convexa si −f es cóncava.
[graph, alternative definition convex]
Epigrafo
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R. El epigrafo de f es el conjunto
epi(f ) = {(x ,y) ∈ Rn×R : x ∈ D y y ≥ f (x)}
El hypograph de f es el conjunto:
hypo(f ) = {(x ,y) ∈ Rn×R : x ∈ D y y ≤ f (x)}
[example in R2]
• El teorema que sigue caracteriza concavidad en términos del hypograph de la
función.
Teorema
Una función f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo, es cóncava si, y solo si, su
hypograph es convexo.
Demostración.
Pizarra.
Concavidad y funciones diferenciables
• Sea f : D ⊆ Rn y x = (x1,x2, ...,xn) ∈ D. El vector gradiente evaluado en x es
∇f (x) =
(
∂f (x)
∂x1
,
∂f (x)
∂x2
, ...,
∂f (x)
∂xn
)
• El producto interno de dos vectores x = (x1, ...,xn) y y = (y1, ...,yn) en Rn es
x · y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
Concavidad y funciones diferenciables
• El teorema que sigue presenta otra manera de determinar si una función es
cóncava para funciones diferenciables.
• Observación: siempre que suponemos que una función es diferenciable,
estamos suponiendo que su dominio es abierto.
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R una funcion diferenciable y D un conjunto convexo. Entonces,
f es concava si, y solo si,
f (y)≤ f (x) +∇f (x) · (y − x) , para todo x ,y ∈ D.
[example plane in R2]
Puntos críticos y máximos
• Sea f : D ⊆ Rn diferenciable. Entonces, un punto critico es un punto x en su
dominio (abierto) tal que ∇f (x) = 0.
• Ya sabemos que si x es un máximo local, entonces es un punto critico.
I El próximo teorema presenta un resultado mas fuerte para funciones cóncavas.
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R, con D convexo, diferenciable y cóncava. Entonces, x ∈ D es
un máximo global si,y solo si, x es un punto critico de f .
Demostración.
Pizarra.
Matriz hessiana
• Sea f : A⊆ Rn→ R. Para un dado x = (x1, ...,xn) ∈ A suponga que
Di,j f (x) =
∂2f
∂xj∂xi
(x) (1)
existe para todo i , j = 1, ...,n.
• La matriz hessiana es la matriz n×n dada por
Hf (x) =

D1,1f (x) · · · D1,nf (x)
...
...
Dn,1f (x) · · · Dn,nf (x)

• Hf (x) esta bien definida si f es dos veces diferenciable en el punto x .
• Si f es dos veces continuamente diferenciable, entonces Hf (x) es simetrica
para todo x (o sea, Hf (x) = (Hf (x))T ).
Teorema
Sea f : A⊆ Rn→ R una funcion dos veces diferenciable en x ∈ A. Entonces, existe
r : R→ R que satisface ĺımt→0 r(t)/t2 = 0 tal que:
f (x + th) = f (x) + t∇f (x) ·h+ t
2
2 h
′Hf (x)h+ r(t)
para todo h ∈ Rn y todo t ∈ R con x + th ∈ A. Además, si f es dos veces
diferenciable, entonces para todo x ,y ∈ A existe t ∈ [0,1] tal que
f (y) = f (x) +∇f (x) · (y − x) + 12 (y − x)
′Hf (x + t (y − x))(y − x)
Concavidad y la hessiana
• Una matriz n×n, denotada por A, es negativa semi-definida si v ′Av ≤ 0 para
todo v ∈ Rn y negativa definida si v ′Av < 0 para todo v ∈ Rn \{0}.
• Una matriz n×n, denotada por A es positiva semi-definida si v ′Av ≥ 0 para
todo v ∈ Rn y positiva definida si v ′Av > 0 para todo v ∈ Rn \{0}.
Teorema
Sea f : D ⊆Rn→R una función dos veces diferenciable, con D convexo. Entonces,
f es cóncava si, y solo si, Hf (x) es negativa semi-definida para todo x ∈ D.
[second order polinomials]
Concavidad estricta
Definición
Sea f : D ⊆ Rn→ R, donde D es convexo. Decimos que f es estrictamente
cóncava si
f (tx + (1− t)y) > tf (x) + (1− t)f (y)
para todo x ,y ∈ D, con x 6= y , y todo t ∈ (0,1). Decimos que es estrictamente
convexa si −f es estrictamente cóncava.
Concavidad estricta
Teorema
Sea f : D ⊆ Rn→ R una función diferenciable y D un conjunto convexo. Entonces,
f es estrictamente cóncava si, y solo si,
f (y) < f (x) +∇f (x) · (y − x) , para todo x ,y ∈ D, con x 6= y
Concavidad estricta
Teorema
Sea f : D ⊆Rn→R una función dos veces diferenciable, con D convexo. Entonces,
f es estrictamente cóncava si Hf (x) es negativa definida para todo x ∈ D.