Capitulo 2 AVELLO

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38 
CAPITULO II 
 
APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL 
 
En este Capítulo presentamos en primer lugar, como aplicación del Cálculo Diferencial, los teoremas de la 
función inversa e implícita. En seguida se estudia los extremos locales de las funciones reales de varias 
variables, los extremos libres y los condicionados mediante el método de los Multiplicadores de Lagrange. 
Para hacer esto se presentan las k-superficies generalizadas en Rn que llamamos variedades k-dimensionales 
en Rn y que localmente, no son más que permutaciones de gráficos, en Rn, de funciones de k variables. 
 
1.- LOS TEOREMAS DE LA FUNCION INVERSA, DE LA FUNCION IMPLICITA Y ESPACIO 
TANGENTE A UNA SUPERFICIE DE NIVEL. 
 
1.1. EL TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA. 
 
Este teorema permite, mediante el cálculo diferencial, deducir la existencia local de la inversa de una 
función diferenciable, permite además, calcular una aproximación afín de la inversa sin tener que calcular 
ésta última explícitamente. 
 
 
(a) En el caso m = 1: 
 
Teorema 1: 
 
Si    f a b f x: , ,  0 0 , entonces existe una vecindad V de x0, y una vecindad W de y f x0 0 ( ) tal que: 
 (1) f V W:  es biyectiva. 
(2) la inversa g de f de W V es derivable, con derivada continua. 
(3)       

g y f x
1
, para todo y f x ( ) de W. 
 
 
Ejemplo 1: 
 
 
Si  f D R R f x x: , tg   , sobre todo punto de  D   / , /2 2 , entonces 
 
 
   f x xsec2 0 , 
 
     : , / 2, / 2 , g g y Arctg y      , 
 
 
 
 

 



g y
f x x x y
1 1 1
1
1
12 2 2sec tg
, pues tg x y . 
 
 
 
 
 39 
(b) En el caso m  1: 
 
Teorema 2: 
Sea 
mmAf RR : de clase C1 sobre un abierto A, es decir f tiene todas sus derivadas parciales 


f
x
Ai
j
:  R continuas. Si en un punto P0 de A, la matriz jacobiana de f en P0, 
J P
f
x
Pf
i
j
( ) ( )0 0








 
 
 
es inversible, es decir, si det ( )


f
x
Pi
j
0 0





  . Entonces existe una vecindad abierta V de P0 en R
m
, una 
vecindad abierta W de Q f P0 0 ( ) en R
m
 tales que: 
 
(1) f V W:  es biyectiva, 
(2) la inversa g de f de W V es de clase C
1
, luego diferenciable y 
(3)  dg Q df P( ) ( )
1
, para todo Q f P ( ) de W. 
 
Observación: Este teorema admite una versión para funciones de clase 
kC , con 1k  , obteniéndose una 
inversa de clase 
kC . 
 
Ejemplo 2: 
Sea f :R R2 2 tal que f r x y( , ) ( , )  donde  sen ,cos ryrx  f es de clase 1C , 
 





 

























cossen
sencos
 
r
y
x
 
r
),(
r
r
y
x
rJ f 
 
  rrrrJ   22 sen cos),(det . 
 
Luego podemos afirmar que si ( , )r0 0
2 R es tal que r0 0 ,entonces, por el teorema de la F.I., existe 
  0 tal que: 
 
(1) la función )),((),(: 000   rBfrBf o  , donde B r ( , )0 0 es la bola abierta de centro ( , )r0 0 
y radio  , es biyectiva. 
(2) la función inversa : ( , ) ( , )g x y r  es de clase 1C . 
(3)  
1
( , ) ( , )dg x y df r 

 ,  ,x y en una vecindad de  0 0,x y , con    , ,x y f r  . 
 
Recordando que: 
a b
c d D
d b
c a





 








1
1 
 
, 
 
 40 
donde D ad bc  , resulta:  
 cos sen1
( , )
sen cos
r r
dg x y
r
 
 
 
  
 
. 
 
Ejercicio 1: 
Sea f f x y x y y x: , ( , ) ( cos , sen )R R2 2
1
4
1
4
    . 
Pruebe que todo punto (x0,y0) de R
2
 tiene una vecindad en la cual f V f V: ( ) es biyectiva, y su 
inversa es diferenciable, calcule la aproximación afín de g f 1 en la vecindad de un punto ( , )s t0 0 tal 
que ( , ) ( , )s t f x y0 0 0 0 . 
 
 
1.2. EL TEOREMA DE LA FUNCION IMPLICITA. 
 
Este teorema permite, mediante el cálculo diferencial, decidir si una ecuación de la forma F x y( , )   
define a una de las variables en función de la otra como una función diferenciable, en la vecindad de un 
punto  0 0,x y tal que F x y( , )0 0   . 
 
Teorema 3: 
Sea : A n m n m mF    R R R R de clase ( 1)kC k  en un abierto A de 
 R R R Rn m n m n mX U X U x x u u     ( ; ) ( , ) ( ,... , ,... )1 1 . P X U0 0 0 ( , ) , un punto 
de A tal que: 
 
(i) F X U( , )0 0   . 
(ii) det
( ,..., )
( ,..., )


F F
U U
m
m
P
1
1
0
0 , 
donde 
1
1,...,
1,...,1
( ,..., )
 
( ,..., )
m i
i m
j mm j
F F F
U U U
 
 


 
   
 
 
Entonces existe: 
una vecindad abierta M de ( , )X U0 0 contenida en A . 
una vecindad abierta de N de X0 en R
n
, 
una única función G N m:  R de clase kC 
tales que: 
 
(1)   X N X G X M,( , ( )) . 
(2) ( , ) , ( ; ) , ( )X U M F X U X N U G X     . 
(3) En particular, U G X0 0 ( ) y además 
(4) X N  , dG X
F
U
X G X
F
X
X G x( ) ( , ( )) ( , ( )) 

















1
o , 
donde:  ( , ) ( , ) ( , )
U
F F
dF X U X U X U
X
 
 
 
  
 
. 
 
 
 41 
Es decir: 








F
X
X U
F
X
F
U
F
U
j
i
j
k
( , ) ,





 





 . 
 
 
Ejercicio 2: 
Pruebe que la ecuación xyz z x y x y     sen( ) ( )6 2 02 2 define una vecindad del punto 
P x y z P0 0 0 0 0 116( , , ) ( , , ) a z como función implícita, diferenciable, de clase C
2, en las variables x e y. Es 
decir, z x y ( , ) . Determine           x y xy yx11 11 11 11, , , , , , , . 
 
 
1.3. EL ESPACIO TANGENTE A UNA SUPERFICIE DE NIVEL. 
Sea : nf V  R R una función de clase C1 en una vecindad V de un punto P n0 R , y sea S el 
conjunto de nivel definido por  : ( ) 0S P V f P   . 
Sea P S0  . Supongamos que  f P( )0  , entonces debido al teorema de la función implícita, existe 
una curva diferenciable : nI  R , tal que:   t I t S, ( )  , es decir, f t( ( ))  0 y tal que 
 pasa por P0, esto es, ( )0 0 P , y   ( )0 (donde I es un intervalo abierto que contiene a cero). 
 
DEFINICION: 
Se llama ESPACIO VECTORIAL TANGENTE a S en el punto P0 al conjunto de todos los vectores 
velocidades en P0 de las curvas diferenciables contenidas en S y que pasan por P0. 
 
Notación: 
V S V VP n0 0( ) : ( )    R  , donde : I S
n  R R es derivable y ( )0 0 P . 
 
Teorema 4: 
   V S f P V f P VP n0 0 0 0( ) ( ) : ( )      

 R . 
 
DEFINICION: 
Se llama ESPACIO TANGENTE a S en P0 al trasladado de V SP0 ( ) por el vector P0. Es decir, 
T S V S PP P0 0 0( ) ( )  . Se tiene: 
 P T S P P PP   0 1 0( ) , donde P V SP1 0 ( ) 
   P P V SP0 0 ( ) 
    f P P P( ) ( )0 0 0 
     f P P f P P( ) ( )0 0 0 . 
 
Ejemplo 3: 
 
 
Sea  S x y z x y z    ( , , ) :R3 2 2 2 1 . 
La ecuación del plano tangente a S en el punto P x y z0 0 0 0( , , ) , está dada por: 
2 2 2 00 0 0 0 0 0x x x y y y z z z( ) ( ) ( )      . 
Es decir: x x y y z z0 0 0 1   . 
 
 42 
 
 
 
 
 
2.- EXTREMOS DE FUNCIONES REALES. 
 
2.1. DEFINICIONES DE MAXIMOS, MINIMOS, PUNTOS CRITICOS. CONDICION NECESARIA 
PARA LA EXISTENCIA DE PUNTOS DE MAXIMO O DE MINIMO. 
 
 
DEFINICIONES: 
 
(a) Sea f A m:  R R y P A . Se dice que P es un PUNTO DE MAXIMO LOCAL de f, o que 
f(P) es un valor máximo local de f si existe una vecindad V de P, tal que: 
   X A V f X f P: ( ) ( ) 
(b) Análogamente se define la noción de MINIMO LOCAL de f. 
 
(c) Se dice que P es un punto de MAXIMO ABSOLUTO de f si 
  X A f X f P: ( ) ( ) 
(d) Análogamente se define la noción de MINIMO ABSOLUTO. 
 
 
Observación: Los máximos o mínimos locales (o absolutos) se llaman estrictos si las desigualdades 
precedentes son estrictas. 
 
 
Ejercicio 3: 
 
Sea  A x y x y   ( , ) :R2 2 2 1 . 
 
(a) Sea f :R R2  , tal que f x y e x y( , ) ( )  
2 2
 
¿Cuáles son los extremos de f sobre A? ¿sobre R2 ? 
 
(b) Sea g:R R2  , tal que g x y x y( , )  2 2 
¿Cuáles son los extremosde f sobre A? ¿sobre R2 ? 
 
 
Teorema 5: (De los valores extremos) Repaso. 
Si f K m:  R R es continua y K es cerrado y acotado, entonces  P P K1 2, tales que: 
 
   X K f P f X f P: ( ) ( ) ( ) 1 2 
 
Ejemplo 4: 
 
Sea    2 2 2 2 2( , ) ln , ( , ) :1 2f x y x y K x y x y       
Para P1 1 0 ( , ) , f P f X X K( ) ( ),1    
 
 43 
Para  P2 2 0 , , f P f X X K( ) ( ),2    . 
 
 
 
 
 
VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES. 
 
Teorema 6: 
Sea A m R abierto, f A:  R diferenciable en el punto P de A. Si P es un punto de máximo (o de 
mínimo) local de f, entonces: 


f
x
P
i
( )  0 para i m 12, ,...., 
Demostración: 
 
Para cada H mR fijo, existe   0 tal que P tH A  , esto es porque A es abierto. 
Sea g t f P tH( ) ( )  para t   .  g: ,  R está bien definida y tiene un máximo (o mínimo) 
local en 0, luego   g 0 0 . 
Pero         g t dg t df P tH H( ) 1 . 
Así,     0 0 0   g df P H , para todo H mR . 
Por lo tanto df P( )  0 (la aplicación lineal nula). 
Luego: 


f
x
P
i
( )  0 para todo  i m 1 2, ,..., . 
 
 
PUNTOS CRITICOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES. 
 
DEFINICION: 
Sea f A m:  R R diferenciable. Se dice que un punto P de A es un PUNTO CRITICO de f si 
 


f
x
P i m
i
( ) , ,....  0 1 2 
 
OBSERVACION: 
 
Hemos probado que para funciones diferenciables se verifica: 
 
P máximo o mínimo de  P punto crítico de f 
 
La afirmación recíproca es falsa. 
 
Ejemplo 5: 
Sean f :R R2  , f x y x y P( , ) , ( , )  3 3 0 0 0 
P0 es un punto crítico de f, pero P0 no es ni máximo ni mínimo de f, pues en cada vecindad de f existen 
punto donde f es mayor que 0 y puntos donde f es menor que 0. 
 
 
 44 
PUNTOS DE SILLA. 
DEFINICION: 
Sea f A m:  R R una función diferenciable. Se dice que un punto P de A es un PUNTO DE SILLA 
si: 
1) P es un punto crítico de f 
2) P no es ni máximo ni mínimo local de f; es decir en toda vecindad V de P, existen P P V1 2,  tales que: 
f P f P( ) ( )1  y f P f P( ) ( ) 2 . 
 
2.2. EL TEOREMA DE TAYLOR. 
 
Teorema 7: 
 
Sea A f Am m  R R R, : de clase C P Hk m 1 , , R tales que  P P H A,   
(donde  P P H,  denota al segmento de extremos P y P+H). Entonces: 
   f P H f P df P H d f P H
k
d f P H R Hk k( ) ( ) ( )( ) ( ) ...
!
( ) ( )      
1
2
12
, 
donde: lim 
 
 H
k
k
R H
H

0
0
( )
 
  d f P H
f
x x
P h h
i j
m
i j
i j
2
1
2
( ) ( )
,
 
 
 
 



 
 
  
3
3
, , 1
 
( ) ( ) 
 
m
i j k
i j k i j k
f
d f P H P h h h
x x x

  
  
 
    
 1 2 
1 1 2
,... 1 
( ) ...
 s
s
sm
s
i i i
i i i i i s
f
d f P H P h h h
x x x  

  . 
Demostración: 
 
Este teorema se obtiene del teorema en una variable. 
 Si de clase Entonces:
( (
donde lim 
 
g A C A x x h A
g x h g x g x h g x h
k
g x h R h
R h
h
k
k k
k
h
k
k
: ( ), , .
( ) ( ) ) ( ) ... ( ) ),
( )
.
   
       










R R 1
2 2
0
1
2
1
0
 
 
OBSERVACION: 
En el caso de m  2 se tiene: 
 f P H f P df P H d f P H R H( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     
1
2
2
2 
 
2.3. FORMAS CUADRATICAS. 
 
DEFINICIONES: 
 
 45 
(a) Una función q m:R R se llama una FORMA CUADRATICA si  ( ,..., )h hm
m
1 R , 
q H a h hi j i j
i j
m
( )
,


 
1
; donde los aij son números reales fijos. 
En forma matricial se escribe: 
 q H H AHT , 
donde    
1
1, ,...,
T
m
m
h
H H h h
h
 
 
 
 
  
 y A ai j ( ) . 
A se llama la matriz de la forma cuadrática q. 
 
(b) Se dice que q es SIMETRICA si a ai j j i  . 
Se dice que q es DEFINIDA POSITIVA si q H( )  0 para todo H   . 
Se dice que q es DEFINIDA NEGATIVA si q H( )  0 para todo H   . 
Se dice que q es NO DEFINIDA si existen H H m1 2,  R tales que: 
q H q H( ) ( )1 20  . 
 
CRITERIOS PARA QUE UNA FORMA CUADRATICA SEA DEFINIDA POSITIVA, DEFINIDA 
NEGATIVA, O NO DEFINIDA. 
 
Teorema 8: (CRITERIO DE LOS VALORES PROPIOS). 
Sea q m:R R una forma cuadrática. 
(a) q es definida positiva si todos los valores propios de la matriz asociada son positivos. 
(b) q es definida negativa si todos los valores propios de la matriz asociada son negativos. 
(c) q es no definida si existen valores propios positivos y valores propios negativos. 
Demostración: (Fleming Pág. 165). 
 
Teorema 9: (CRITERIO DE RUTH HURWICZ). 
Si q H H AHT( )  es una forma cuadrática sobre Rm tal que det A  0 , entonces q es: 
a) definida positiva si 0, 1,...,k k m    : 
b) definida negativa si  1 0, 1,...,
k
k k m     , esto es, 1 2 30, 0, 0,...      (alternados 
comenzando con negativo) : 
 
donde k
k
k k kk
a a a
a a a

11 12 1
1 2
...
... ...
... ...
...
, para k m 12, ,... . 
 
(c) q es no definida si ninguna de las 2 condiciones precedentes se cumple. 
 
OBSERVACION: 
 
Si det A=0, el criterio precedente no entrega información. 
 
 
 46 
2.4. LA MATRIZ HESSIANA. 
DEFINICION: 
Sea f A m:  R R de clase C 3 , y sea q Pf ( ) la forma cuadrática 
    q P H
f
x x
P h hf
i ji j
m
i j



 
2
1,
 
A la matriz simétrica 

 
2 f
x x
P
i j
( )





 se llama la MATRIZ HESSIANA de f en P. 
 
CRITERIO SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE MAXIMOS O MINIMOS LOCALES 
ESTRICTOS. 
Teorema 10: 
Sea f A m:  R R , de clase C 3 , P un punto crítico de f. 
1) Si la Hessiana q Pf ( ) es definida positiva entonces P es un mínimo local estricto. 
2) Si la Hessiana q Pf ( ) es definida negativa entonces P es un máximo local estricto. 
3) Si la Hessiana q Pf ( ) es no definida entonces P es un punto silla. 
 
OBSERVACION: 
Este criterio exige que det ( )

 
2
0
f
x x
P
i j





  . 
 
CASO DE 2 VARIABLES. 
Si f A:  R R2 de clase C 3 . Si 




f
x
P
f
y
P( ) ( )  0 se tiene: 
1) Si 


f
x
P
2
0( )  y    





 





 
2
2
2
2
2
0
f
x
P
f
y
P
f
x y
P( ) ( ) entonces P es un mínimo local 
estricto. 
2) Si 


2
2
0
f
x
P( )  y   0 , entonces P es un máximo local estricto. 
3) Si   0 , P no es ni máximo ni mínimo, es punto de silla. 
 
Demostración: 
 
2 2
2
0 0 2 2
2
( , ), ( , ) ( )f f f
f f
xx y x
q q x y q x y x y
yf f
x y y
 
  
 
  
 
 
       
  
 
 
q x y x y
f
x
P x
f
y x
P y
f
x y
P y
f
y
P x
f ( , ) ( , )
( ) ( )
( ) ( )


















 

 


2
2
2
2 2
2
 
 
 47 
    





  



 


2
2
2 2
2
22
f
x
P x
f
x y
P xy
f
y
P y( ) 
 q x y ax bxy cyf ( , )   
2 22 
 
con a
f
x
P b
f
x y
P c
f
y
P  



 


2
2
2 2
2
( ), ( ), ( ) 
 q x y
a
ax by yf ( , ) ( )  
1 2 2 , si a  0 
Luego: 
cuando  > 0 y a > 0, se tiene: q x yf ( , )  0 para ( , )x y  0 . 
cuando  > 0 y a < 0, se tiene: q x yf ( , )  0 para ( , )x y  0 . 
cuando  < 0, se puede probar que en toda vecindad de ( , )0 0 existen puntos P1 y P2 tales que: 
q P q Pf f( ) ( )1 20  , 
así qf no es definida. 
Por lo tanto, P es un punto silla. 
 
Ejercicio 4: 
 
Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones de dos variables y discuta la naturaleza de cada uno 
de ellos. 
 
1) f x y x xy y y( , )    2 24 2 2 . 
2) f x y x xy( , )  4 4 . 
3) f x y x y( , )  3 2 . 
4) f x y x xy( , )  3 23 . 
5) f x y ye x( , )  
 2
. 
6) f x y ax by e a bx y( , ) ( ) ( )    2 2
2 2
0
 . 
7)   2 2 3
2
, , 4 4 10 1
3
f x y z x z y z z x y z       . 
 
 
 
3.- MAXIMOS Y MINIMOS, VARIEDADES Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 
 
Teorema 11: 
Sea : I S  R , con I un intervalo abierto que contiene a cero, S m R , una curvadiferenciable 
con  ( )0  a S . 
Si f S A:   R , A abierto, es diferenciable y tiene un mínimo local (o un máximo) sobre S en a, 
entonces el vector gradiente f a( ) es ortogonal al vector velocidad  ( )0 . 
 
Demostración: 
 
h f :R R es diferenciable en 0, y alcanza un mínimo local (o un máximo local) ahí. 
 
 48 
Así  h ( )0 0 de donde                     f a f h  0 0 0 0 0 . 
 
Corolario: 
 
Si A es un abierto de , , :m a A f A R R tiene un máximo o un mínimo local en a y si f es 
diferenciable en a; entonces a es un punto crítico de f, es decir  f a( ) 0 . 
 
 
Demostración: 
Sea    , : , , 
mmv t a tv t v      R R R . 
Así, ( ) ( ) (0) 0f a v f a      . Puesto que f a( ) es ortogonal a todo vector v de Rm , entonces 
 f a( ) 0 . 
 
Ejemplo 6: 
 
Supongamos que deseamos encontrar el máximo y el mínimo valor de la función f x y z x y z( , , )    
sobre la esfera 
  S x y z x y z2 3 2 2 2 31     , , :R R 
El teorema 1 nos dice que si  a x y z , , es un punto en el cual f alcanza su máximo o su mínimo sobre 
S2, entonces f a( ) es perpendicular a toda curva sobre S2 que pasa por a, y por lo tanto ortogonal a la 
esfera en a (esto es, al plano tangente en a). 
Pero es claro que a es ortogonal a S2 en a, como f a( ) también lo es, resulta  f a a( )  , para algún 
número  , esto es: 
   1,1,1 , ,x y z 
Así: x y z   1  
Como x y z2 2 2 1   , resultan 2 posibilidades: 
 





     





a a
1
3
1
3
1
3 3
1
3
1
3
, , ; , , 
1
 
Como f a( )  3 y f a( )   3 , entonces a es un máximo y a es un mínimo. 
 
 
OBSERVACIONES: 
1) La razón por la que fuimos capaces de resolver este problema es que todo punto de la esfera S2 en R3 
tiene un plano tangente de dimensión 2, el cual se puede describir fácilmente en términos de su vector 
normal. 
Deseamos generalizar (y sistematizar) el método del ejemplo 6, para ser capaces de encontrar el máximo y el 
mínimo de una función real diferenciable sobre una superficie diferenciable de Rm . 
 
2) Una superficie 1m dimensional será un conjunto de Rm que tiene en cada punto un espacio tangente 
de dimensión 1m . 
 
 
 49 
Más precisamente si 
mM R y a M , se dirá que M tiene un espacio tangente en a , si la reunión de 
todas las rectas tangentes en a, a toda curva que pasa por a, es un espacio afín de dimensión 1m (un 
espacio afín de dimensión 1m es el trasladado de un subespacio 1m -dimensional de Rm ). 
 
3) Una parte P m R se llama un “gráfico” 1m dimensional, si existe  i m 1 2, ,... y 
h U m:  R R1 diferenciable tal que: 
 
    P x x x x h x x x xj m i j j m   1 1 1 1,..., ,..., : ,..., , ,..., 
 
Es decir P es el gráfico de la función diferenciable h. 
 
4) M m R , M es una sub-variedad de dimensión 1m si: 
  a M U, abierto que contiene al punto a tal que U M es el gráfico de una función real 
diferenciable de m-1 variables. 
 
Ejemplo 7: 
  1 2 2 2, : 1S x y x y    es una 1 sub-variedad de R2 . 
 
Teorema 12: 
Si M es una variedad m-1 dimensional de 
m
, entonces M tiene un espacio tangente de dimensión m-1 en 
todo punto. 
 
Teorema 13: 
Supongamos que : ng A R R es de clase C1. 
Sea  : ( ) 0 y ( ) 0M x A g x g x     . Entonces M es una sub-variedad m-1 dimensional. 
Dado a M , el vector gradiente g a( ) es ortogonal al espacio tangente a M en a . Aún más 
  T M g aa  

. 
 
 
En efecto: 
   V T M Va    0 , donde : I M
n  R R , diferenciable con   0  a . 
Por lo tanto V g a ( ) 0 , ya que: 
     V g a g a    0       g a  0        g  0 0 
    d g  0 0 (pues g  es la función nula ) 
De manera que  T M g aa  

( ) y como ambos son espacios de igual dimensión, entonces 
 T M g aa  

( ) . 
 
OBSERVACION: 
 
Del teorema precedente se deduce que: 
     T M x x M g a x xa m n   1 1 0,... : ,... 
 
 50 
     T M x x
g
x
a x
g
x
a xa m
m
m   






1
1
1 0,... : ... 




 
  T M dg aa  Ker . 
 
El espacio afín tangente en el punto a de la sub-variedad M es el traslado de T Ma por el vector a, esto es, 
T M aa  . 
 
Ejemplo 8: 
  S x x x x x x2 1 2 3 12 22 32 1   , , : 
  T S x x x a x a x a xa 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 0   , , : , 
tal que a a a1
2
2
2
3
2 1   . 
  a T S x y z f a a a x a y a z aa       2 3 1 2 3 1 2 3 0, , : ( , , ),( , , )R < 
 a T S a x a a x a a x aa       
2
1 1 2 2 3 3 0( ) ( ) ( ) 
 
Teorema 14: 
Sea : mg R R , de clase C1 y sea  M x g x g xm    R : ( ) ( ) y 0 0 . 
Si f M alcanza un máximo local o mínimo local en el punto a M , entonces   f a g a( )  para 
algún número  (llamado el Multiplicador de Lagrange). 
 
Demostración: 
 
Los vectores f a( ) y g a( ) son ambos ortogonales al espacio tangente a M en a. 
Como  g a( ) 0 , entonces,  dim T Ma

 1 . Luego  tal que: 
  f a g a ( ) 
Comentario: 
De acuerdo a este teorema, para maximizar o minimizar la función f m:R R sujeta a la restricción 
g x xm( ,..., )1 0 se deben resolver las ecuaciones: 
 g x  0 
    f x g x . 
Las que dan origen a m+1 ecuaciones escalares en las m+1 variables , x xm1 ,..., . Los máximos o 
mínimos, si existen, son soluciones del sistema anterior. 
 
Esto, en resumen, el método de los multiplicadores de Lagrange. 
 
Ejemplo 9: 
Encontrar las dimensiones de una caja rectangular de volumen 1000
3 u para la cual el área lateral sea 
mínima. 
f x y z xy xz yz( , , )   2 2 2 
g x y z xyz( , , )   1000 
 
 51 
Se trata aquí de maximizar f sobre la 2-variedad M de R3 dada 
por.  M x y z g x y z  ( , , ) : ( , , )R3 0 . 
 
 
Es claro que  g P( )  para P M , de manera que el método es aplicable. 
Se debe entonces resolver el sistema: 
2 2
2 2
2 2
1000
y z yz
x z xz
x y xy
xyz
 
 
 




 
 
Multiplicando las 3 primeras ecuaciones por x, y, z respectivamente y sustituyendo xyz por 1000 en los lados 
derechos, obtenemos: 
xy xz
xy yz
xz yz
 
 
 
500
500
500



 
De las 2 primeras ecuaciones:  xz yz z x y    0 . 
De la segunda y la tercera ecuaciones: xy xz  0 . 
Luego x y z  . 
Puesto que xyz  1000 , resulta x y z   10 y  
2
5
. 
 
OBSERVACIONES: 
 
1) Puede probarse analíticamente que efectivamente el punto P( , , )10 10 10 es mínimo. 
2) Ya veremos como. 
3) Ahora deseamos generalizar el método de los multiplicadores de Lagrange para ser capaces de maximizar 
o minimizar una función : mf A R R , sujeta a las restricciones 
 
 
1( ) 0
( ) 0n
g x
g x


… (*) 
 
donde n m . 
 
Por ejemplo si deseamos maximizar la función f x y z x y z( , , )   2 2 2 sujeta a las condiciones 
x y x y z2 2 1 0    , . 
La intersección del cilindro 
2 2: + =1 C x y y del plano P de ecuación x y z   0 , es una elipse en 
R3 , y se busca el máximo del cuadrado de la distancia del origen a la elipse. 
 
4) Si : m nG A R R es la función G g gm ( ,..., )1 , donde 1 2, ,..., :
m
ng g g A  , las 
ecuaciones (*) pueden escribirse como G x( )  0 . 
 
 
 52 
La experiencia sugiere que el conjunto S G 1 0( ) puede, en cierto sentido ser una  m n - variedad de 
mR . 
Necesitamos entonces la noción de k variedad de 
mR para 0 k m  . 
 
 
DEFINICION: 
 
i) 
mP R es un  - gráfico k-dimensional si existe una permutación : m m R R , tal que: 
 P es el gráfico de una función diferenciable, 
: k m kh U  R R , donde U es un abierto de kR . 
 
ii) 
mM R es una variedad diferenciable de dimensión k de mR si   a M V, vecindad de a en 
mR , tal que V M es un  - gráfico de dimensión k de mR . 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIONES:(1) En la definición anterior, el número k es un entero comprendido entre 1 y m . 
(2) En lugar de decir variedad diferenciable de 
mR diremos simplemente variedad de mR . También se 
utiliza el término sub-variedad de 
mR . 
 
 
Teorema 15: 
Si M es una variedad k dimensional en Rn , entonces M tiene cada punto un espacio tangente de dimensión 
k . 
 
Teorema 16: 
Sea : m nG A R R de clase C1 en A. 
Si  : ( ) 0 y rango de ( )M x A G x dG x n    , entonces M es una ( )m n -variedad. 
Dado a M , los vectores gradientes  G a G an1( ),..., ( ) de las componentes de G son todos 
ortogonales al espacio tangente de M en a. 
 T M X
G
x
a x i na
i
jj
m
j( ) : , , ,...  








 

1
0 1 2 
  T M a X
G
x
a x a i na
i
jj
m
j j    








: , , ,... 

1
0 1 2 . 
 
Teorema 17: (Versión general del método de los multiplicadores de Lagrange). 
 
Si : , ( )m nG A n m  R R , es de clase C1. Sea: 
 1: ( ) 0 y tal que los vectores ( ),..., ( ) son l.i.nM x A G x g x g x     . 
 
 53 
Si : mf A R R es diferenciable y alcanza un máximo o un mínimo local sobre M en el punto 
a M , entonces existen números reales 
1,..., n  tales que: 
1 1( ) ( ) ... ( )n nf a g a g a       
 
En resumen para localizar todos los puntos 
1( ,... )mx x M en los cuales f alcanza un valor máximo o 
mínimo, basta resolver las ( )m n ecuaciones escalares: 
1( ) 0g x  
 
 
 
1 1( ) ( ) ... ( )n nf x g x g x       
para las ( )m n incógnitas 1 1,..., , ,...,m nx x   . 
 
Demostración: 
M es una m n subvariedad, y tiene un espacio vectorial tangente T MP 0 en P0. Si N P 0 es el 
complemento ortogonal de T MP0 , entonces dim N nP 0  . 
 N TP P 0 0



. 
Los vectores linealmente independientes  g P g Pn1 0 0( ),..., ( ) quedan en N P 0 ; puesto que f P( )0 
también queda en N P 0 , sigue que f P( )0 es una combinación lineal de los vectores 
 g P g Pm1 0 0( ),..., ( ) . 
En resumen, para localizar todos los ( ,..., )x x Mm1  en los cuales f alcanza un valor máximo o un valor 
mínimo, basta resolver las m + n ecuaciones: 
 g x1 0( )  
  
 g xn ( )  0 
      f x g x g xn n( ) ( ) ... ( ) 1 1 
para las m + n variables: x xm n1 1,... , ,...   . 
 
 
Ejemplo 10: 
 
Supongamos que deseamos maximizar la función f x y z x( , , )  sobre la circunferencia intersección del 
plano de ecuación z  1 y la esfera de ecuación x y z2 2 2 4   . 
Definimos: G: R R3 2 por: 
g x y z z1 1( , , )   y g x y z x y z2
2 2 2 4( , , )     
Entonces:  f ( , , )10 0 ,  g1 0 01( , , ) y  g x y z2 2 2 2( , , ) . 
Las ecuaciones son z  1, x y z2 2 2 4   , 1 2 2  x , 0 2 2  y , 0 21 2   z 
Obtenemos las 2 soluciones: ( , , ) 3 0 1 para ( , , )x y z . Así, el máximo es 3 y el mínimo es  3 . 
 
Ejemplo 11: 
 ( ) 0ng x 
 
 54 
Supongamos que deseamos encontrar la mínima distancia entre la circunferencia C:x y2 2 1  y la recta 
L x y:   4 . 
 
Sea  x y u v Lx y, ( , ) , C, , el cuadrado de la distancia entre ellos es: 
 f x y u v x u y v( , , , ) ( ) ( )   2 2 
Deseamos minimizar f sujeta a las condiciones x y2 2 1  , u v  4 . Esto es, minimizamos 
F: R R4  sobre la 2-variedad M de R4 definida por las ecuaciones: 
G x y u v x y1
2 2 1 0( , , , )     
G x y u v u v2 4 0( , , , )     
 g x y1 2 2 0 0( , , , ) 
 g2 0 0 11( , , , ) son linealmente independientes sobre M, puesto que: 
        f x u y v x u y v2 2 2 2( ), ( ), ( ), ( ) 
Así, tenemos que resolver las ecuaciones: 
x y2 2 1  
2 2 1( )x u x   
2 2 1( )y v y   
u v  4 
  2 2( )x u  
  2 2( )y v  
 
De      2 22( ) ( )x u y v , vemos que x u y v   . 
1 fuera cero, encontramos ( , ) ( , )x y u v , lo cual no puede ocurrir porque C L  . Por lo tanto 
x
x u y v
y




  1 1
 y así u v . 
Sustituyendo x y u v , en x y2 2 1  y u v  4 obtenemos: 
x y u v    1 2 2/ , . 
 
Por lo tanto los puntos más cercanos sobre la circunferencia y la recta son: 
 1 2 1 2/ , / y ( , )2 2 . 
 
 
Ejercicio 5: 
Encuentre los punto de la intersección de las superficies: x y zx x xz2 2 21 1    ; , que están a la 
mayor distancia del origen y aquellos que están a la menor distancia del origen. 
 
 
 
UN CRITERIO SUFICIENTE PARA QUE UN PUNTO DETERMINADO POR EL METODO DE 
LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE SEA UN MAXIMO O UN MINIMO. 
 
 
 55 
Sea f A m:  R R de clase C1. G A m n:  R R , (con n m ), de clase C1, y sea 
 M P G G P G Pn   1 10( ): ( ),..., ( ) son L.I. , donde G G Gn ( ,..., )1 . Entonces M es una 
(m - n)-subvariedad de Rm . 
 
El espacio T MP ( ) vectorial tangente a M en P tiene dimensión m n. ( ) (0) pv T M v    , donde 
: I m R R , es de clase C P1 0, ( )  . 
 
Sabemos que si a  M es un punto de máximo o de mínimo de f M , entonces P es un punto crítico de f 
sobre M. Es decir: 
       

f a T M G a G aa m( ) ( ) ( ),..., ( )1 
(espacio generado por los vectores  G a G am1( ),...., ( ))  !( ,..., ) 1 n
nR tal que: 
   

f a G ai i
i
n
( ) ( )........( )
1
. 
Obtendremos una condición suficiente para que f M tenga un extremo en a. Considerando la función 
auxiliar: H H af
n ( ):R R para f en a definida por: 
H a x f x Gf i i
i
m
( )( ) ( ) ( )  

 
1
, 
nótese que ( ) ( )  H a 0 ; así a es un punto crítico para H. 
 
Estamos interesados en la forma cuadrática: 
q X
H a
x x
x x
i j
i j
i j
n
( )
( )
,



1
2
2
1

 
 
 
 . 
 
Teorema 18: 
Sea a un punto crítico de f sobre M; y sea q q aH ( ) la forma cuadrática en a, de la función auxiliar. 
H f Gi i
i
n
 


1
 de más arriba. 
Si f, g son ambas de clase C2 en una vecindad de a se tiene: 
(a) Si q es definida positiva sobre T Ma ( ) , entonces a tiene un mínimo local de f M . 
(b) Si q es definida negativa sobre T Ma ( ) , entonces a es un máximo local sobre M. 
(c) Si q es no definida sobre Ta, entonces a no es ni máximo ni mínimo. 
 
Demostración: 
La demostración de este teorema se puede encontrar en el libro de Edwards. 
 
 
Ejemplo 12: 
Para la función f x y z xy xz yz( , , )   2 2 2 , del ejemplo 9, el punto a = (10,10,10) es un mínimo de f 
sobre la 2-variedad  M x y z g x y z xyz   ( , , ): ( , , ) 1000 0 . En efecto, la función auxiliar es: 
H x y z f x y z g x y zf ( , , ) ( , , ) ( , , )   
 
 56 
     2 2
2
5
400xy xz yz xyz . 
Matriz Hessiana de H en a 
 
 
 










 
 
 
0 2 2
2 0 2
2 2 0
. 
La forma cuadrática de H en a es q x y z xy xz yzH ( , , )    2 2 2 , la cual es no definida sobre R
3
. Sin 
embargo ella lo es sobre T Ma ( ) . En efecto: 
 T M x y z g a x y za ( ) ( , , ) : ( ),( , , )    R3 0 
     ( , , ) : ( , , ),( , , )x y z x y zR3 100 100100 0= 
      ( , , ) :x y z x y zR3 0 , 
el cual está generado por los vectores: v v1 21 10 10 1   ( , , ), ( , , ) . 
Luego, si v T Ma ( ) , entonces v sv tv s t s t     1 2 ( , , ) y así, 
q v s st t s t s t( ) ( )       2 2 2 02 2 2 2 2 , si v   . 
De manera que qH es definida positiva sobre el espacio tangente T Ma ( ) y por el teorema precedente, el 
punto a es efectivamente un mínimo de f M . 
 
 
 
 
 
Resumen: 
 
MAXIMOS Y MINIMOS: 
 
Caso de 2 variables: 
 
f A:  R R2 , ( , ) ( , )x y f x y , ( , )x y A0 0  es un punto crítico si: 
 f x y( , )0 0  
Así 
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
f x y
f x y



. 
Si ( , )x y0 0 es un punto crítico, f de clase C
2 y si  











 











 
2
2
2
2
2
2
0 0
f
x
f
y
f
x y
x y( , )
 se tiene: 
a) Si   0 y 
 0 0
2
2
,
0
x y
f
x


 , entonces ( , )x y0 0 esun punto de máximo local estricto. 
b) Si   0 y 
 0 0
2
2
,
0
x y
f
x


 , entonces ( , )x y0 0 es un punto de mínimo local estricto. 
c) Si   0 0 0, ( , ) x y es un punto silla. 
d) Si   0 , no hay información. 
 
 
 57 
Caso de 3 variables: 
f A:  R R3 , ( , , ) ( , , )x y z f x y z . 
1) ( , , )x y z0 0 0 es un punto crítico si  f x y z( , , )0 0 0 0 
Así: f x y zx ( , , )0 0 0 0 
 f x y zy ( , , )0 0 0 0 
 f x y zz ( , , )0 0 0 0 . 
 
2) Si ( , , )x y z0 0 0 es un punto crítico, f de clase C
2
 y 
Hes
 
f
P
x y z
f
x
f
x y
f
x z
f
x y
f
y
f
y z
f
x z
f
y z
f
z
( , , )0 0 0
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2
0






















 

 

 



 

 

 


. 
Si detHes f x y z( , , )0 0 0 0 y si 
  1
2
2 2
2
2
2
2 2
2
3 0
0
0
  





 

 


f
x
f
x
f
x y
f
x y
f
y
P
P
P
f
 
 detHes
 
, , ( ) . 
Se tiene: 
(a) Si  1 20 0 , y 3 0 , entonces P0 es un punto de mínimo relativo estricto. 
(b) Si  1 20 0 , y 3 0 , entonces P0 es un punto de máximo relativo estricto. 
(c) Si no se cumple ni (a), ni (b) entonces P0 no es ni máximo ni mínimo. 
(d) Si detHes f P( )0 0 , el criterio no da información, es decir, P0, puede ser máximo, mínimo, o ni 
mínimo ni máximo. 
 
 
Multiplicadores de Lagrange: 
 
Si : , m nf A n m  R R de clase C1. 1 2, ... :
m
ng g g A R R . P A0  , tal que 
1 0 0( ),..., ( )ng P g P  son L.I., es decir: 


g
x
P
j
i
( )0





 es de rango n . 
Si P0 es un extremo de f S , donde: 
 1: ( ) 0,..., ( ) 0 m nS P g P g P   R , 
entonces existe 1 2, ,..., m   R tales que: 
0 1 1 0 0( ) ( ) ... ( )n nf P g P g P       . 
De manera que P0 se obtiene como solución del sistema de n + m variables 1 1 2,..., , , ,...,m nx x    : 
 
 
 
 58 
 
 
1 2( ) ( ) ... ( ) 0ng P g P g P    . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DEL CAPITULO II 
 
 
PARTE A Función Inversa y Función implícita 
 
 
1. El volumen específico V , la presión P y la temperatura T de un determinado gas están relacionados 
por: 
2VV
RT
P




 , donde  ,  y R son constantes. 
 Hallar 
P
T


,
V
P


 y 
T
V


, además verificar que 1























T
V
V
P
P
T
. 
 
2. Para la función    yxxyxyxf  ,2, 23 ,   2, IRyx  y el punto  1,10 X . 
 
i) Probar que f es inversible en vecindades de 0X . 
ii) Calcular  0
1 YfJ  . 
iii) Hallar una aproximación afín para 
1f en vecindades de 0Y . 
 
3. Sea 
22: IRIRT  
 
1 1( ) ( ) ... ( )n nf P g P g P      
 
 59 
    yxvuT ,,  con componentes ux  e uvy  . 
 
i) Mostrar que la transformación T no posee inversa. 
 
ii) Mostrar T que es localmente inversible en una vecindad del punto  1,1 , con inversa 1T 
diferenciable, pero que en cualquier vecindad de  1,0 la aplicación T no es inyectiva. 
 
4. Mostrar que cerca del punto    1,1,1,1,,, 0000 vuyx se puede resolver el sistema: 
 
2
2
423
2


vyxu
yvuxu
 
de manera única para  yxuu , y  yxvv , . Calcular 
x
u


,
y
u


,
x
v


 y 
y
v


 en  1,1 . 
5. Probar que cerca del punto    0,
2
,0,1,1,,,, 00000
vuzyx se puede resolver el sistema: 
 
 
    0cos
022
0cos
222
22



zvusinxy
zuvsinyx
zuvyx
 
 de manera única para yx, y z como 
funciones de u y v . Además encontrar 







0,
2

v
x
. 
 
 
 
 
 
 
6. Mostrar que el sistema: 
04
052
2222
2222


vuyx
vuyx
 
 Define 
implícitamente a  yxuu , y  yxvv , , con   21,0 u y   11,0 v . Además encontrar las 
diferenciales  1,0Du y  1,0Dv y la derivada parcial de segundo orden  1,0
2
2
x
v


. 
 
7. Sea IRIRf : una función de clase 1C y sea: 
 
 xfu  ,  xfxyv  . 
 
Si   00  xf , probar que esta transformación es inversible cerca de  00 , yx y que la inversa tiene 
la forma: 
 
 ufx 1 ,  ufuvy 1 . 
 
 60 
 
8. Sean IRIRgf 2:, , definidas por: 
 
 
1
),(


yx
xy
yxf y   yxyxg , 
 
Probar que la función  gfF , es localmente inversible en cada punto de 
 
      138:, 222  yxIRyxA . 
 
 
 
 
9. Considerar la función     






y
x
yxyxF
2
2
,, , 0y . 
 
i) Probar que F admite inversa local en vecindades 0U de  1,1 . 
ii) Sea 
22
0
1 : IRIRVF  ,       vuhvugyx ,,,,  la inversa local de F , 
calcular la razón de cambio de h en  1,4 en la dirección del vector 

 ji2 . 
 
 
 
 
 
10. Sea IRIRF 2: 
    vuFvu ,,  
 una función de clase 
2C que satisface 0





v
F
b
u
F
a . 
 
i) Verificar que la ecuación   0,  bzyazxF define a la variable z como función de 
clase 
1C de las variables x e y . 
ii) Hacer ver que las derivadas parciales 
x
z


 y 
y
z


 cumplen con la relación 
1





y
z
b
x
z
a . 
 
11. Dada la ecuación 42 22  yxxyxyyxze zyx . 
 
i) Probar que esta ecuación define a z como función de clase 2C de x e y en una 
vecindad del punto  1,0,1 . 
ii) Para  yx, en una vecindad V de  0,1 sea  yxgz , la función definida 
anteriormente. Verificar que el punto  0,1 es un punto crítico de g . 
 
 61 
iii) Mostrar que para   Vyx , se cumple que: 
 
  122
12)2(
2
2




xxxyeze
yyxyeze
zyx
y
zyx
zyx
x
zyx
 
 
iv) Usando lo anterior hallar los valores de xxz , xyz , yxz y yyz en el punto crítico  0,1 y 
deducir su naturaleza. 
v) 
 
PARTE B Puntos críticos , máximos y mínimos 
 
1) Analizar la naturaleza de todos los puntos críticos para las siguientes funciones: 
 
iv)    1sin,  yeyxf x 
v)   22, xyyxyxf  
vi)   xyzyxzyxf  222,, 
vii)   1412432, 22  yxyxyxf 
viii)   12,  yxxyyxf 
ix)   xyxyyxf 632, 23  
x)       27243,, 3  xyzzyxzyxzyxf 
xi)      12 22,,  zyxezxzyxf 
xii)   xyzzyxzyxf  222,, 
xiii)   zzxyyxzyxf 2,, 232  
 
2) Sea IRIRf 2: definida por 1020204),( 22  yxyxyxyxf . Hallar los extremos 
absolutos para f sobre la curva 1222  xyyx . 
 
3) Sea IRIRf 2: definida por 
22
),( xyeyxf  . Hallar el menor y el mayor valor de f sobre el 
conjunto   4:, 222  yxIRyxS . 
 
4) Encontrar el máximo valor de la función zyxzyxf 32),,(  sobre la curva de intersección del 
plano 1 zyx y el cilindro 122  yx . 
 
5) El material de fondo para una caja cuesta el triple por 
2m de lo que cuesta el material para las caras y 
la tapa. Encontrar la máxima capacidad de la caja que se puede obtener si la cantidad total de dinero es 
de 12$ y el 2m de material para el fondo cuesta 6.0$ . 
 
6) Sea IRIRf 2: 
  yx, yxxyyxyxf  22),( , hallar los valores extremos de f sobre 
el conjunto   30,0:, 2  yxyxIRyxS . 
 
 
 62 
7) Sean IRIRf 2: una función diferenciable,  baP ,0  un punto crítico de f y 
  IRIRIRfg 2: definida por    00 , tybtxaftg  , con  00 , yxP  un punto fijo 
de 
2IR , probar que 0t es un punto crítico para f . 
 
 
 
 
8) Considerar la curva C como la intersección de las superficies 
 
1: 2221  zyxzxS 
1: 222  zxS 
 
¿Cuáles son los puntos de C más alejados del origen? 
¿Cuáles son los más cercanos? 
 
9) Determinar la naturaleza de los puntos críticos de la función: 
 
     xyyyxf ln2,  . 
 
10) Encontrar los valores extremos de   22, yxyxf  sobre el conjunto 
  1:, 222  yxIRyxS . 
 
11) Considerar todoslos triángulos rectángulos con perímetro fijo P . Determinar las dimensiones de los 
lados de manera que se tenga el triángulo rectángulo de mayor área. 
 
 
 
 
 
 
 
12) La temperatura en un punto  zyx ,, está definida por la función 
 
  zyxzyxT 22,,  
 
i) ¿Existen extremos locales para T en 
3IR ? 
 
ii) Hallar la mayor y menor temperatura sobre el conjunto 
 
   1:,, 2223  zyxIRzyxD .