4- Linealización y extremos

Cálculo vectorial: Diferenciación de funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
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Planos tangentes 
Definimos al vector gradiente de una función como un vector cuyas componentes son las 
derivadas parciales de la función. Ya lo usamos como auxiliar para calcular la derivada 
direccional en cualquier dirección, y vimos que la dirección dada por el gradiente es la de 
máximo crecimiento de la función. 
Veremos ahora una propiedad importante que satisface el gradiente de una función de dos 
variables ( , )f x y , con respecto a las curvas de nivel de esa función. 
Se tiene una función diferenciable ( , )f x y , y un punto : ( , )P a b que pertenece al dominio de 
f , en el que existen las derivadas parciales ( , ), ( , )x yf a b f a b . 
Sea C la curva de nivel de f que pasa por el punto ( , )a b , la ecuación de esta curva es 
( , )f x y K . Supongamos que esta curva tiene una parametrización dada por 
( ) ( ), ( )r t x t y t , que se puede derivar para cualquier t, y que satisface 0( ) ,r t a b . 
Como todos los puntos de la curva ( ) ( ), ( )r t x t y t están en la curva de nivel de f , 
satisfacen la ecuación ( , )f x y K . Por lo tanto, al componer f con ( )r t , obtenemos la 
igualdad ( ( )) ( ( ), ( ))f r t f x t y t K  . 
Vamos a derivar ambos lados de esa igualdad con respecto a la variable t. El lado derecho es 
una constante, su derivada es 0; y para derivar el lado izquierdo usamos regla de la cadena. 
0
f dx f dy
x dt y dt
 
   
 
 
Notemos que la expresión del lado izquierdo es igual al desarrollo del producto punto 
'( )f r t  . Al evaluar en el punto que nos interesa, esto es, 0( , ) ( , ),x y a b t t  ; obtenemos 
0( , ) '( ) 0f a b r t   . Por lo tanto, podemos afirmar que los vectores 0( , ) y '( )f a b r t resultan 
perpendiculares. Además, sabemos que el vector 0'( )r t es tangente a la curva C en el punto 
( , )a b . En conclusión, ( , )f a b es perpendicular a la curva de nivel de ( , )f x y en ( , )a b . 
En general, probamos que: 
Si ( , )a b es un punto del dominio de una función diferenciable ( , )f x y , el vector gradiente de 
f en ( , )a b es perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por ( , )a b . 
 
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Ejemplo 
Dada la función 2 2( , ) 2f x y x y  , graficar la curva de nivel que pasa por el punto (2;1) y 
escribir la ecuación de la recta tangente a dicha curva en ese punto. 
Para hallar la curva debemos igualar a la función a cierta constante. Para que la curva de nivel 
pase por el punto (2;1) , tiene que ser 2 2(2;1) 2 2 1 6K f     . 
La curva tiene ecuación 2 22 6x y  . Es una elipse, y como la ecuación es equivalente a 
2 2
1
6 3
x y
  , el centro está en el origen, y los semiejes miden 6 y 3 . 
Su gráfico: 
 
 
Por lo que vimos antes, el gradiente de f es perpendicular a la elipse en el punto (2;1) . Por lo 
tanto la recta tangente en ese punto sería perpendicular al gradiente. 
Calculemos: ( , ) 2 ;4f x y x y  , luego (2;1) 4;4f  . 
Si graficamos este vector empezando en el punto (2;1) , y 
la recta perpendicular al vector que pasa por (2;1) , 
tenemos: 
Para dar las ecuaciones paramétricas de la recta L, 
podemos buscar un vector perpendicular a 4;4 y 
usarlo como el vector director de la recta. 
Ese vector debe cumplir 1 24;4 ; 0v v  , entonces podría ser el vector 1; 1 (si elegimos 
algún múltiplo de este, la recta será la misma). 
Las ecuaciones paramétricas de L son: 
2
1
x t
y t
 

 
. 
Despejando el parámetro de ambas e igualando, se obtiene 2 1x y   , que es equivalente a 
3y x  . 
La ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto (2;1) es 3y x  . 
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Plano tangente a una superficie de nivel 
De una manera similar al caso de funciones de dos variables, se puede demostrar que el 
gradiente de una función diferenciable ( , , )f x y z en un punto ( , , )a b c es perpendicular a 
cualquier curva C contenida en la superficie de nivel de f que pasa por ( , , )a b c . Por lo 
tanto, ( , , )f a b c es perpendicular a la superficie de nivel de f que pasa por ( , , )a b c . 
Ejemplo 
Obtener la ecuación del plano tangente al paraboloide 2 22 2x z y  en el punto (2;3;1) . 
Verifiquemos que el punto dado pertenece al paraboloide: 
?
2 22 2 3
4 2 6
x z  
 
. 
Para poder usar el resultado enunciado antes, hay que escribir al paraboloide como superficie 
de nivel de una función ( , , )f x y z . Podría ser 2 2( , , ) 2 2 0f x y z x z y    . 
Entonces el vector (2;3;1)f es perpendicular al paraboloide. Lo calculamos: 
( , , ) 2 ; 2;4 (2;3;1) 4; 2;4f x y z x z f      . 
Este vector, por ser perpendicular a la superficie, es el vector normal al plano tangente 
buscado. El punto de tangencia es el (2;3;1) . 
La ecuación del plano tangente es: 4 ( 2) 2 ( 3) 4 ( 1) 0x y z         . Desarrollándola, se 
obtiene: 4 8 2 6 4 4 0 4 2 4 6 2 2 3x y z x y z x y z              . 
En el gráfico notamos que las dos superficies se “asemejan” en los puntos cercanos al (2;3;1) . 
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Superficies gráficas de función 
 
Consideremos ahora el caso particular de las superficies que tienen ecuación ( , )z f x y , con 
f una función diferenciable. 
Queremos hallar el plano tangente la gráfica de f en el punto ( , , ( , ))a b f a b . Ya vimos la 
manera de hallarlo en los casos de superficies de nivel de funciones de tres variables. 
Observamos que la ecuación ( , )z f x y es equivalente a ( , ) 0f x y z  . Si escribimos 
( , , ) ( , ) 0G x y z f x y z   , la superficie es superficie de nivel de G . Podemos calcular el 
gradiente de G , y evaluarlo en el punto ( , , ( , ))a b f a b , y ese vector será el vector normal del 
plano tangente. 
Las derivadas parciales son: 
 ( , ) x
G
f x y z f
x x
 
  
 
 
 ( , ) y
G
f x y z f
y y
 
  
 
 
 ( , ) 1
G
f x y z
z z
 
   
 
 
Al evaluarlas en el punto, obtenemos: 
( , , ( , )) ( , )x
G
a b f a b f a b
x



 
( , , ( , )) ( , )y
G
a b f a b f a b
y



 
( , , ( , )) 1
G
a b f a b
z

 

 
 
La ecuación del plano tangente es: 
( , ) ( ) ( , ) ( ) 1 ( ( , )) 0x yf a b x a f a b y b z f a b         
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O lo que es equivalente, ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x yz f a b f a b x a f a b y b       . Notar la similitud 
con la aproximación lineal a la función de una variable que recordamos en la página 61. 
Esta última expresión nos permite linealizar una función de dos variables: 
Dada ( , )f x y diferenciable en el punto ( , )a b , su linealización es la función: 
( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x yL x y f a b f a b x a f a b y b       , que resulta una buena aproximación a 
( , )f x y en los puntos cercanos a ( , )a b . 
 
Ejemplo 
Hallar la aproximación lineal de la función ( , ) cos( ) xf x y x y ye   en el punto (0;0) , y 
usarla para aproximar el valor de (0,1;0, 2)f . 
La función es diferenciable, por ser producto y resta de funciones diferenciables. La 
aproximación que se pide es en el punto (0;0) , por lo cual debemos calcular los tres datos: 
(0;0), (0;0), (0;0)x yf f f . 
0(0;0) 0 cos(0) 0 0f e     
0cos( ) (0;0) cos(0) 0 1xx xf y ye f e       
0sen( ) (0;0) 0 sen(0) 1xy yf x y e f e           
La aproximación lineal es: ( , ) (0;0) (0;0) ( 0) (0;0) ( 0)x yL x y f f x f y       . 
Reemplazando con las tres constantes calculadas antes, se tiene: ( , )L x y x y  . 
Para aproximar el valor de (0,1;0, 2)f , evaluamos ese punto en la linealización: