Prueba 1 2018 - 02 (Respuestas)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudantes: Felipe Del Canto - Roberto Casses
Economía Matemática - EAE319B
Pauta Prueba 1
1. [6 puntos] Demuestre los siguientes teoremas:
(a) Teorema de Rolle: si la función f es continua en el intervalo ra, bs y derivable en el intervalo abierto pa, bq con
fpaq “ fpbq, entonces existe al menos un punto c P pa, bq tal que f 1pcq “ 0.
Solución. Por el teorema de Weierstrass, f alcanza su máximo y su mínimo en ra, bs. Si estos puntos coinciden
con a y b, entonces como fpaq “ fpbq, f debe ser constante y por lo tanto en todo x P pa, bq, f 1pxq “ 0. Si
no, entonces existe c P pa, bq tal que c es mínimo o máximo local de f y como c además es un punto interior,
f 1pcq “ 0.
(b) Si la función f es continua en el intervalo ra, bs y derivable en el intervalo abierto pa, bq con fpaq “ fpbq “ fpcq
para algún c P pa, bq, entonces existen al menos dos puntoS d, e P pa, bq tal que f 1pdq “ f 1peq “ 0. {Ayuda:
puede utilizar el Teorema de Rolle. }
Solución. Claramente, por hipótesis, f es continua en ra, cs y en rc, bs, derivable en pa, cq y pc, bq y fpaq “ fpcq
y fpcq “ fpbq. Luego, por el teorema de Rolle aplicado en cada uno de los trozos de f , existen d, e P pa, bq con
f 1pdq “ f 1peq “ 0.
(c) Teorema del Valor Medio: si la función f es continua en el intervalo ra, bs y derivable en el intervalo abierto
pa, bq, entonces existe al menos un punto c P pa, bq tal que f 1pcq “
fpbq ´ fpaq
b´ a
. {Ayuda: considere la recta que
y “ m ` nx que pasa por los puntos pa, fpaqq y pb, fpbqq, luego defina la función auxiliar gpxq “ fpxq ´ y y
aplique el Teorema de Rolle.
Solución. Consideremos la recta propuesta. Como pasa por pa, fpaqq y pb, fpbqq, entonces la pendiente de la
recta, n, es igual a
fpbq ´ fpaq
b´ a
. Claramente la función
gpxq :“ fpxq ´m´ nx,
es continua en ra, bs y derivable en pa, bq. Como además la recta pasa por los puntos mencionados, entonces
m´na “ fpaq y m´mb “ fpbq, de donde se obtiene que gpaq “ gpbq (ambos iguales a 0), luego por el teorema
de Rolle existe c P pa, bq con g1pcq “ 0, pero
0 “ g1pcq “ f 1pcq ´ n “ f 1pcq ´
fpbq ´ fpaq
b´ a
,
de donde se obtiene lo pedido.
2. [6 puntos] Una función es estríctamente convexa si @ x1, x2 P pa, bq y 0 ă α ă 1 se tiene que fpαx1 ` p1´αqx2q ă
αfpx1q ` p1´ αqfpx2q. Demuestre los siguientes teoremas:
(a) Si la función f continua en el intervalo ra, bs, es estrictamente convexa y derivable en el intervalo abierto pa, bq
y existe x˚ P pa, bq tal que f 1px˚q “ 0, entonces f logra un mínimo global único en x˚.
Solución. Sean x1 P ra, bs, x2 P pa, bq y α P p0, 1q cualesquiera. Notar que la condición de convexidad estricta
puede reescribirse como
fpx1q ´ fpx2q ą
fpx2 ` αpx1 ´ x2qq ´ fpx2q
α
.
Sea h :“ αpx1 ´ x2q, luego la expresión anterior queda
fpx1q ´ fpx2q ą
fpx2 ` hq ´ fpx2q
h
px1 ´ x2q.
Si hÑ 0, entonces obtenemos
fpx1q ´ fpx2q ě f
1px2qpx1 ´ x2q,
lo que vale para todo x1 P ra, bs, x2 P pa, bq. Con esto, si fpx˚q “ 0 con x˚ P pa, bq, entonces para todo x P ra, bs,
fpxq ě fpx˚q ` 0 ¨ px´ x˚q “ fpx˚q,
por lo que x˚ es mínimo global de f . La unicidad viene de que si x fuera otro mínimo global (notar que en tal
caso fpxq “ fpx˚q), entonces por la definición de convexidad se tendría que para todo α P p0, 1q
fpαx` p1´ αqx˚q ă αfpxq ` p1´ αqfpx˚q “ fpxq,
lo que contradice que los puntos sean mínimos globales de f .
(b) Si la función f es continua en el intervalo ra, bs y doblemente derivable en el intervalo abierto pa, bq con f2pxq ą 0
para todo x, entonces fpxq es estrictamente convexa.
Solución. Que f2pxq ą 0 para todo x implica que f 1 es una función creciente. Gráficamente eso implica que la
función siempre queda (estrictamente) por encima de la recta tangente a ella en un punto dado, es decir, para
todo x, y P pa, bq
fpyq ą fpxq ` f 1pxqpy ´ xq,
o, escrito de otra manera,
fpyq ´ fpxq ą f 1pxqpy ´ xq.
Luego, tomando x e y convenientemente podemos escribir
fpxq ´ fpp1´ tqx` tyq ą ´tf 1pp1´ tqx` tyqpy ´ xq
fpyq ´ fpp1´ tqx` tyq ą p1´ tqf 1pp1´ tqx` tyqpy ´ xq
Si se multiplica la primera ecuación por p1 ´ tq y la segunda por t y se suman, se obtiene la condición de
convexidad.
3. [6 puntos] Responda las siguientes preguntas:
(a) Una secuencia txnu8n“1 se dice de Cauchy si para cada ε ą 0 existe un N P N tal que |xn ´ xm| ă ε,
@ n,m ě N . Considere la secuencia t
?
nu8n“1. Demuestre que a pesar de que en este caso los términos están
cada vez más cerca: xn`1 ´ xn “
?
n` 1´
?
n ă
1
2
?
n
; esta no es una secuencia de Cauchy.
Solución. Notar que para ser de Cauchy, es necesario comparar términos no consecutivos. Para este caso, si
n ą m,
xn ´ xm “
?
n´
?
m “
n´m
?
n`
?
m
ě
n´m
2
?
n
ě
n´m
2n
“
1
2
´
m
2n
,
de donde obtenemos que para ε fijo pequeño, si n es mucho mayor que m, entonces xn ´ xm será aproximada-
mente más grande que
1
2
y por lo tanto no menor que ε. También se puede ver de la primera igualdad que si
m queda fijo pero n crece mucho, la diferencia se hace muy grande (porque
?
n crece a 8).
(b) Considere el siguiente teorema: “Si m P N y m2 es número impar, entonces m es impar”. Demuestre el teorema:
i) en forma directa, ii) por contrapositivo, iii) por contradicción.
Solución. Forma i) Por hipótesis m2 no tiene al 2 como factor, lo que significa que m tampoco lo tiene, dado
que m2 “ m ¨m.
Forma ii) Hay que mostrar que si m no es impar, entonces m2 no es impar. Si m no es impar, entonces es par
y por lo tanto m2 “ m ¨m es la multiplicación de un número par con otro, por lo que m2 es par.
Forma iii) Partimos de la hipótesis que m2 es impar y supongamos que m no es impar (o sea, que es par).
Luego m2 “ m ¨m es un número par, lo que contradice que sea impar. Se concluye que m debe ser impar.
(c) Enuncie el Teorema de Punto Fijo de Brouwer y utilícelo para demostrar que si usted tiene dos muñecas rusas
como las del dibujo y coloca una dentro de la otra, entonces existirá algún punto en el volumen de la muñeca
pequeña que esté asociado directamente al mismo punto en el volumen de la muñeca más grande. Sea claro en
cuál es la función, cuál es su dominio y las propiedades de ambos.
Solución. El teorema de punto fijo de Brouwer dice lo siguiente: “Sea A conjunto compacto y convexo y sea
f : AÑ A continua. Entonces f tiene un punto fijo en A”. Sea A la muñeca grande. Claramente A es compacto
(es cerrado y acotad) y convexo (como dijimos durante la prueba pensemos que son cilíndricas, como los
minions). Sea f : A Ñ A la función que toma la muñeca grande y la comprime en el volumen de la más
pequeña. Evidentemente, f : A Ñ A (aunque no todos los puntos del codominio tienen preimagen, pero eso
no es parte del teorema) y es continua porque la preimagen de una bola abierta en la muñeca pequeña es solo
una bola abierta mas grande en la muñeca grande, por lo que se tiene la continuidad. El Teorema de Punto
Fijo de Brouwer nos permite concluir lo deseado.
4. [6 puntos] Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
yx ` 2u2 ` v2 ´ xy “ 6
2y2 ` u2 ` v2 ` xy “ 26
Responda las siguientes preguntas:
(a) Compruebe que el punto z0 :“ px, y, u, vq “ p2, 3, 1, 1q es solución del sistema. Verifique además que alrededor
de z0, u y v son función de x e y.
Solución. La verificación se obtiene directamente de reemplazar z0 en el sistema. Para lo segundo, si llamamos
F1 a la primera ecuación y F2 a la segunda, basta verificar que∣∣∣∣∣∣∣
BF1
Bu
BF1
Bv
BF2
Bu
BF2
Bv
∣∣∣∣∣∣∣
z0
‰ 0.
Para este caso
BF1
Bu
“ 4u;
BF1
Bv
“ 2v;
BF2
Bu
“ 2u;
BF2
Bv
“ 2v,
luego ∣∣∣∣∣∣∣
BF1
Bu
BF1
Bv
BF2
Bu
BF2
Bv
∣∣∣∣∣∣∣
z0
“
∣∣∣∣4 22 2
∣∣∣∣
z0
“ 8´ 4 “ 4 ‰ 0.
Por lo que u y v pueden escribirse como funciones de x e y.
(b) Suponga que y aumenta en 0.01 y x se mantiene constante. Encuentre pu, vq alrededor de p1, 1q que solucionen
el sistema para este nuevo valor de y.
Solución. Restando F1 ´ F2 obtenemos
u2 “ 2y2 ` 2xy ´ yx ´ 20
Evaluando en x“ 2, y “ 3,01 obtenemos
u2 “ 1,1001ñ u « 1,05
Luego, despejando v2 de F2 se obtiene
v2 “ 26´ xy ´ 2y2 ´ u2,
y evaluando
v2 “ 0,7597ñ v « 0,87
Análogamente se pueden obtener aproximaciones como las vistas en clases.
(c) Suponga ahora que tanto x como y aumentan en 0.01. Encuentre u y v alrededor de p1, 1q que solucionen el
sistema para estos nuevos valores de x e y. {Ayuda: recuerde que
Bax
Bx
“ ax logpaq.}
Solución. Una solución similar a la anterior entrega que
u « 1,03; v « 0,88
Y también se pueden obtener aproximaciones como las vistas en clases.